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2. .Clculo., ' .. ~...'-' -!-i."..-~..,,. '.' '.i: .''.~ 3. TOM M.APOSTOLCLCULO VOLUME2Clculo com funes de vrias variveis e lgebra Linear, com aplicaes s equaes diferenciais e s probabilidaddesEDITORIAL REVERT, S. A. Barcelona- Bogot- Buenos Aires - Caracas -Mxico 4. Ttulo da obra Original: CALCULUS, Onc-Variable Calculus, With an introduction to Linear Algebra Second Edition. Volume 2 Ediiio original em lingua inglesa publicada por:. Blaisdell Publishing Company, Waltbam, Massachusetts, USACopyright by Blaisdell Publishing Company Tradup de: Joaquim Ferreira Marques Doutor em Cincias ExactasPropiedad de: EDITORIAL REVERT, S. A. Loreto, 13-15, Local B 08029 Barcelona Tel: (34) 93419 33 36 Fax: (34) 93 419 51 89 e-mail: reverte@rcverte.com www.reverte.com Proibida a reproduo de toda ou parte desta obra, sob qualquer forma, sem por escrito do editor. Reservados todos os direitos Edio em portugusEDITORIAL REVERT, S. A., 1996 Reimpresin: octubre de 2004 lmpreso enEspana~Printed in SpainISBN:84-291-5016-I ISBN: 84-291-5014-5Tomo2 Obra completaDepsito Legal: B-44494-2004 lmpreso por Domingraf lmpressors Pol. lnd. Can Magarola 08100 Mollet del Vai ls (Barcelona)auloriza~o 5. .,...,..,aJane e Stephen'"-'-:'' "! 6. PREFCIOEste livro a continuao do livro do autor Cdlculo, volume I, Segunda Edio. O presente volume foi escrito com a mesma ideia fundamental que norteou o primeiro. Uma adequada orientao para a. tcnica ligada a um rigoroso e profundo desenvolvimento terico. Procurou-se fazer chegar ao estudante o esprito da materntica moderna sem exagerar o formalismo. Como no Volume I. incluem-se notas histricas para dar ao estudante uma ideia da evoluo do pensamento matemtico. O segundo volume est dividido em trs partes, intituladas Anlise Linear. Anlise no Linear e Tpicos Especiais. Os dois ltimos captulos do Volume I repetem-se aqui, constituindo os dois primeiros captulos deste Volume, com a finalidade de que todo o material relativo lgebra Linear se apresenta de forma completa em cada um dos volumes. A Parte I contm um introduo lgebra linear, incluindo transformaes lineares, matrizcs, determinantes, valores prprios e formas quadrticas. Fazem-se algumas aplicaes Anlise, em particular ao estudo das equaes diferenciais lineares. Com a ajuda do clculo matricial estudam-se os sistemas de equaes diferenciais. Demonstram-se teoremas de existncia e unicidade por intermdio do mtodo de Picard das aproximaes sucessivas, que tambm se trata na teoria dos operadores de contraco. Na Parte 2 estuda-se o clculo para funes de vrias variveis. O clculo diferencial unificado e simplificado com auxlio da lgebra linear. Incluem-se a generalizao da regra de d~rivao de uma funo composta para campos vectoriais e escalares e aplicaes s equaes de derivadas parciais e a problemas de extremos. O clculo integral inclui os integrais de linha, integrais mltiplos, e integrais de sup_erfcie, com aplicaes Anlise vectorial. Aqui a exposio segue mais ou menos a linha clssica e no inclui um desenvolvimento formal das formas diferenciais. Os tpicos especiais tratados na Parte 3 so Prohabilidade.f e Anlise Numrica. A parte referente s Probabitidades est dividida em dois captulos, um que trata oVII 7. VIIIPrefcioassunto considerando o conjunto fundamental (ou espao amostra) finito ou infinito numervel; o outro em que se consideram conjuntos fundamentais no numerveis, variveis aleatrias e funes de. repartio. Fazem-se algumas aplicaes no estudo de variveis aleatrias uni e bidimensionais. O ltimo captulo contm uma introduo Anlise Numrica, dando-se particular nfase ao estudo de diferentes tipos de aproximao polinomial. Aqui, mais uma vez se procura a unificao das ideias pela notao e terminologia da lgebr-a linear. O livro termina co.m o estudo de frmulas de integrao aproximada, tais como a regra de Simpson, e com uma discusso da frmula de somao de Euler. Contm este volume matria suficiente para um curso anual com trs-ou quatro tempos semanais. Pressupe a conhecimento do clculo para funes de uma varivel tal como se estuda na maior parte dos primeifos anos dos cursos de clcuio. O autor idealizou a matria exposta para um curso com quatro aulas semanais, duas de exposio por parte do professor e duas para questes postas aos alunos. desenvolvido ao longo de dez semanas para cada parte e omitindo as seces assinaladas com um asterisco. Este segundo volume foi planeado de maneira a poderem omitirse vrios captulos em cursos abreviados. Por exemplo, o ltimo captulo de cada uma das partes pode ser omitido, sem que tal origine descontinuidade na exposio.- A Parte I proporciona material para um curso combinado de lgebra linear e equaes diferenciais ordin.rias. Cada professor pode escolher os tpicos adequados s suas necessidades e preferncias por consulta do diagrama da pgina seguinte que coindencia a interdependncia lgica dos captulos. Mais uma vez agradeo com prazer a colaborao de muitos amigos e colegas. Ao preparar a segunda edio recebi valiosa ajuda dos Professores Herbert S. Zuckcrman da Universidade de Washington e Basil Gordoh da Universidade da Califrnia, Los Angeles, tendo cada um deles sugerido vrias modificaes. Agradecimento so tambm devidos ao pessoal da Baisde1 Publishing Company pela sua assistncia e cooperao. Como noutras ocasies, para mim uma satisfao especial exprimir a minha gratido a minha esposa pela sua valiosa e variada colaborao. Em sinal de reconhecimento dedico-lhe gostosamente este livro. T. M.A. Pasadena. Califrnia 8. I ESPAOS LINEARES_I 2 TRANSFORMAOES LINEARES E MATRIZES15 INTRODUO ANLISE NUMRICA3 DETERMINANTES6 EQUA0ES DIFERENCIAl LINEARESI r7SISTEMAS DE EQUAOES plFERENCIAI8 CLCULO DIFERENCIAL EM CAMPOS ESCALARES E VECTORIAIS4 VALORES PRPRIOSE VECTORES PRPRIOS 5 VALORES PRPRIOS DE OPERADORES QUE ACTUAM EN ESPAOS EUCLIDEANOS10 NTEGRAIS DE LINHA-I 11 NTEGRAI~LTIPLOIh 9 APLICA0ES DO CLCULO DIFERENCIAL13 FUNOES DE CONJUNTO E PROBABILIDADE ELEMENTAR12 INTEGRAIS DE SUPERFICIEI 14 FLCULO DA PROBABILIDADES ~ 9. NDICE ANALTICOPARTE I. ANALISE LINEAR I. !.I.1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7.1.8. 1.9. 1.10. 1.11. 1.12. 1.13. 1.14. 1.15. 1.16.1.17.Introduo 3 Definio de espao linar 3 5 Exemplos de espaos lineares Consequncias elementares dos axiomas 6 Exerccios 8 9 Subespaos de um espao linear 10 Conjuntos dependentes e independentes num espao linear Bases e dimenso 13 Componentes 15 Exerccios 15 Producto interno. espaos eUclidianos. Normas 16 Ortogonalidade num espao euclidiano 20 Exerccio~ 23 Construao de cnjuntos ortogonais. O mtodo de Gram-Schmidt Complementos ortogonais. Projecces 30 . A melhor aproximao de elementos de um espao euclidiano por elementos de um subespao de dimenso finita 32 Exerccios 342. 2.1. 2.2. 2.3.ESPAOS LINEARES25TRANSFORMAOES LINEARES E MATRIZESTransformaes lineares 35 Espao nulo e contradomnio Nulidade e ordem 3837Xl 10. ndice analticoXII 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8. 2.9. 2.10. 2.11. 2.12. 2.13. 2.14. 2.15. 2.16. 2.17. 2.18. 2.19: 2.20. 2.21.Exerccios 39 Operaes elgbricas relativas a transformaes lineares 41 Inversas 43 Transformaes lineares biunvocas 46 Exerccios 48 Transformaes lineares com valores determinados 50 Representao matricial das transformaes lineares 51 Construo de uma representao matricial. na. forma diagonal Exerccios 56 Espaos lineares de matrizes 58 Isomorfismo entre transformaes lineares de matrizes 59 Multiplicao de matrizes 61 Exerccios 64 Sistemas de equaes lineares 66 Tcnicas de clculo 68 Inversas de matrizes quadradas 73 Exerccios 76 Exerccios variados sobre matrices 773. 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7.3.8. 3.9. 3.10. 3.11. 3.12. 3.13. 3.14. 3.15. 3.16. 3.17.4.4. 4,5.DETERMINANTESIntroduo 79 Justificao da escolha dos axiomas para a funo determinante 80 Um conjunto de axiomas para a funo determinante 82 Clculo de determinantes 84 O teorema de unicidade 88 Exerccios 89 Producto de determinantes 91 Determinante da matriz inversa de uma matriz no singular 92 Determinantes e independncia de vectores 93 Determinante de uma ma triz diagonal por blocos 93 Exerccios 95 Frmulas para o desenvolvimento de determinantes. Menores e complementos algbricos 96 .Existncia da funo determinante 100 O determinante da matriz transposta 102 A matriz complementos algbricos 103 Regra de Cramer I OS Exerccios 106 4.4.1. 4.2. 4.3.54VALORES PRPRIOS E VECTORES PRPRIOSTransformaes lineares representadas por matrizes diagonais 109 Valores prprios e vectores prprios de urna transformao linear 110 Independncia linear de vectores prprios correspondentes a valores prprios distintos 113 Exerccios 113 O caso de dimenso finita. Polinmios caractersticos 116 11. indice analticoXIII4.6.Clculo de valores prprios e vectores prprios no caso de dimenso finita 117 4.7. Trao de uma matriz 120 4.8. Exerccios 121 4.9. Matrizes representarido a mesma transformao linear. Matrizes semelhantes 123 4.10. Exerccios 127 5.5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6.5.7. 5.8.VALORES PRPRIOS DE OPERADORES. EM ESPAOS EUCLIDIANOSValores prpios e productos in~ernos 129 Transformaes hermticas e hemihermticas 130 Valores prprios e vectores prprios de operadores hermticos e hemi-hermticos . 132 Ortogonalidade de vector"es prprios correspondentes 133 a valores prprios distintos Exerccios 134 Existncia de um conjunto ortonormal de vectores prprios para operadores hermticos e hemi-hermticos em espaos de dimenso finita 135 Representao matricial de operadores hermticos 137 e hemi-hermticos Matrizes ht::nnliCas e hemi-hermticas. A associada de uma matriz138Diagonalizao de uma matriz hermtica ou hemi-hermtica 138 Matrizes unitrias. Matrizes ortogonais 139 Exerccios 140 Formas quadrticas 143 Reduo de uma forma quadrtica real forma diagonal 145 Aplicaes geometria analtica 147 151 Exerccios Valores prprios de uma transformao simtrica obtidos como valores de sua forma quadrtica 152 *5.17. Propriedades extremais dos valores prprios de uma transformao simtrica 154 *5.18. O caso de dimenso finita 155 5.19. Transformaes unitrias 155 5.20. Exerccios 1585.9. 5.10. 5.11. 5.12. 5.13. 5.14. 5.15. *5.16.6. 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6.EQUAES DIFERENCIAIS LINEARESIntroduo histrica 161 Reviso dos resultados j establecidos relativos s equaes diferenciais 162 lineares de primeira e de segunda ordem Exerccios 164 Equaes diferenciais lineares de ordem n 165 O teorema de existncia e unicidade 166 A dimenso do espao sOluo de .uma equao linear homognea 167 12. lndice analticoXIV 6.7. 6.8. 6.9. 6.10. 6.11.6.12. 6.13.6.14. 6.15. 6.16. 6.17. 6.18. 6.19. 6.20. 6.21. 6.22. 6.23. 6.24.A lgebra de operadores de coeficientes constantes 168 Determinao de uma base de solues para equaes lineares com coeficientes constantes por factorizao de operadores 170 Exerccios 175 Relao entre as equaes homogneas e no homogneas 177 Determinao de uma soluo particular da equao no homognea. O mtodo de variao das constantes 178 No singularidade da matriz wronskiana de n solues independentes de uma equao linear homogea 182 Mtodos especiais para determinao de soluoes particulares de equaes no homogneas. Reduo a um sistema de equaes lineares de primeira ordem 184 O mtodo do anulador para determinao de uma soluo particular da equao no homognea 185 Exerccios 188 Exerccios variados sobre equaes diferenciais lineares 189 191 Equaes lineares de segunda .ordem com coeficientes analticos A equao de Legendre 194 Os polinmios de Legendre 197 Frmula de Rodrigues para os polinmios de Legendre 199 200 Exerccios O mtodo de Frobenius 204 A equao de Bessel 206 Exerccios 2127.SISTEMAS DE EQUAOES DIFERENCIAISIntroduo 215 218 Conceitos do clculo para funes matriciais Sries de matrizes. Normas de matrizes 218 220 Exerccios A matriz exponencial 221 222 A equao diferencial verificada por e 1A Teorema da unicidade para a equao diferencial matricial F' (t) = AF(t) 223 7.8. Regra do producto de exponenciais de matrizes 224 7.9. Teoremas de existncia e unicidade para sistemas lineares homogneos 7.10. O problema do clculo de etA 226 7.11. O teorema de Cayley-Hamilton 228 7.12. Exerccios 230 7.13. Mtodo de Putzer para o clculo de tfA 231 7.14. Outros mtodos para calcular e 1A em casos particulares 235 238 7.15. Exerccios 7.16. Sistemas lineares no homogneas com coeficientes constantes 239 7.17. Exerccios 241 7.18. O sistema linear geral Y'(t) = P(t)Y(t) + Q(t) 244 7.19. Resoluo de sistemas lineares homogneos por intermdio de sries de potncias 248 7.20. Exerccios 249 7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 7.5. 7.6. 7.7.225 13. XVndice analtico 7 .21. 7 .22. 7 .23.7'.24. *7.25. *7.26. *7.27. *7.28. ~1 .29.Demostrao do teorema de existncia pelo mtodo das aproximaes sucessivas 258 O mtodo das aproximaes sucessivas aplicado a sistemas no lineares 255 de primeira ordem Demostrao de um teorema de existncia e unicidade para sistemas no lineares de primeira ordem 257 Exerccios 259 Aproximaes sucessivas e pontos fixos de operadores 261 Espaos lineares normados 262 Operadores de contraco . 263 . Teorema do ponto fixo para operadores de contraco 264 Aplicaes do teorema do ponto fixo 266PARTE 2. 8.ANALISE NAO LINEARCALCULO DIFERENCIAL EM CAMPOS ESCALARES E VECTORIAISFunes de Rn em Rm. Campos vectoriais e escalares 273 Bolas abertas e coujontos abertos 274 Exerccios 276 Limites e continuidade 278 8.4. Exerccios 282 8.5. A derivada de um campo escalar relativamente a um vector 283 8.6. Derivadas direccionais e derivadas parciais 286 8.7. 8.8. 287 Derivadas parciais de ordem superior 8.9. Exerccios 287 288 8.10. Derivadas direccionais .e continuidade 290 8.11. A diferencial 291 8.12. Gradiente de um campo escalar 293 8.13. Uma condio suficiente de diferenciabilidade 8.14. Exerccios 295 8.15. Gener~lizao do regra de derivao .de funes compostas para derivadas de campos escalares 296 8.16. Aplicaes geomtricas. Conjuntos de nvel. Planos tangentes 298 8.17. Exerccios 301 8.18. Derivadas de campos vectoriais 303 8.19. A diferenciabilidade implica a continuidade 304 8.20. Generalizao da regra de d~rivao da funo composta para derivadas de campos vectoriais 305 8.21. Forma matricial da regra de derivao para a composio 306 8.22. Exerccios 309 '8.23. Condies suficientes para a igualdade das derivadas parciais mistas 8.24. Exerccios variados 315 8.1.8.2. 8.3.9. 9.1.APLICAES DO CALCULO DIFERENCIALEquaes de derivadas parciais319311 14. lndice ana/iticoXVI 9.2. 9.3. 9.4. 9.5. 9.6. 9.7. 9.8. 9.9. 9.10. 9.11. 9.12. 9.13. 9.14. 9.15. 9.16. 9.17.Uma equao de derivadas parciais de primeira ordem 320 com coeficientes constantes Exerccios 322 - A equao unidimensional das ondas 324 Exerccios 329 331 Derivadas de funes implcitas Exemplos resolvidos 335 Exerccios 340 Mximos, mnimos e pontos sela 341 Frmula de Taylor de segunda ordem para campos escalares 346 A natureza do ponto de estacionaridade determinada pelos valores prprios da matriz Hessiana 348 Critrio das derivadas de segunda ordem para extremos de funes de duas variveis 351 Exerccios 351 Extremos condicionados. Multiplicadores de Lagrange 353 EXerccios 357 Teorema do valor extremo para campos escalares continuas 358 O teorema da continuidade uniforme para campos escalares contnuos10. 10.1. 10.2. 10.3. 10.4. 10.5. 10.6. 10.7. 10.8. 10.9. 10.10. 10.11. 10.12. .10.13. 10.14. 10.15. 10.16. 10.17. 10.18. 10.19. 10.20. 10.21.INTEGRAIS DE LINHAIntroduo363 Integrais de linha e linhas de integrao 363 Outras notaes para os integrais de linha 364 Propriedades fundamentais dos integrais de linha 366 Exerccios 368 369 O conceito de trabalho como um integral de linha 370 Integrais de linha relativos ao comprimento de arco Outras aplicaes dos integrais de linha 371 Exerccios 372 Conjuntos conexos abertos. Independncia da linha 374 374 O segundo teorema fundamental do clculo para as integrais de linha Aplicaes mecnica 376 Exerccios 378 379 O primeiro teorema fondamental do clculo para integrais de linha Condies necessrias e suficientes para que um campo de vectores seja um gradiente 381 Condies necessrias para que um campo vectorial seja um gradiente 382 Mtod~s especiais de construo de funes potenciais . 384 Exerccios 387 Aplicaes s equaes diferenciais exactas de primeira ordem 389 Exerccios 392 393 Funes potenciais em conjuntos convexos11. 11.1.361Introduo397INTEGRAIS MLTIPLOS 15. ndice ana/itico 11.2. 11.3. 11.4. 11.5. 11.6. 11.7. 11.8. 11.9. 11.10. 11.11. 11.12. 11.13. 11.14. 11.15. 11.16. 11.17. 11.18. 11.19. 11.20. 11.21.11.22. *11.23. *11.24. *11.25. 11.26. 11.27. 11.28. 11.29. 11.30. 11.31. 11.32. 11.33. 11.34.XVIIParties de retngulos. Funes em escada 398 O integral duplo de uma funo em escada 399 A definio de integral duplo de uma funo definida e limitada num retngulo 401 Integrais duplos superior e inferior 402 403 Clculo de um integral duplo por integrao unidimensional repetida Interpretao geomtrica do integral duplo como um volume 404 Exemplos resolvidos 405 Exerccios 407 Integrabilidade de funes continuas 408 Integrabilidade de funes limitadas com descontinuidades 409 Integrais duplos estendidos a regies mais gerais 410 Aplicaes a reas e volumes 414 Exemplos resolvidos 415 Exerccios 417 Outras aplicaes dos integrais duplos 419 Dois teoremas de Pappus 422 Exerccios 424 Teorema de Green no plano 425 Algumas aplicaes do teorema de Green 429 Uma condio necessaria e suficiente para que um campo vectorial bidimensional seja um gradiente 430 Exerccios 433 Teorema de Green para regies multiplamente conexas 435 O nmero de giros 437 Exerccios 439 441 Mudana de variveis num integral duplo Casos particulares da frmula de mudana de variaveis 445 Exerccios 449 Demonstrao da frmula de mudana de variveis num caso particular 450 Demonstrao da frmula de mudana de variveis no caso geral 453 Extenses a um nmero superior de dimenses 455 Mudana de variveis num integral n-mltiplo 457 Exemplos resolvidos 459 Exerccios 46312. 12.1. 12.2. 12.3. 12.4. 12.5. 12.6. 12.7. 12.8. 12.9.INTEGRAIS DE SUPERF!CIERepresentao paramtrica de uma superfcie 467 O producto vectorial fundamental 471 O producto vectorial fundamental definido uma normal superfcie 474 Exerccios 475 rea de uma superfcie na representao param~rica Exerccios 481 Integrais de superfcie 481 Mudana de representao paramtrica 484 486 Outras notaes para os integrais ?e superfcie475 16. lndice analticoXVIII 489 12.10. Exerccios 490 12.11. O teorema de Stokes 493 12.12. O rotacional e a divergncia de um campo vectorial 495 12.13. Exerccios 496 12.14. Outras propriedades do rotacional e da divergncia 500 . 12.15. Exerccios *12.16. Reconstruo de um campo vectorial a partir do seu rotacional *12.17. Exerccios 506 507 12.18. Extenses do teorema de Stokes 511 12.19. O teorema da divergncia (teorema de Gauss) 515 12.20. Aplicaes do teorema da divergncia 517 12.21. Exerccios502PARTE 3. TEMAS ESPECIAIS 13. 13.1. 13.2. 13.3. 13.4. 13.5. 13.6. 13.7. 13.8. 13.9. 13.10. 13.11. 13.12. 13.13. 13.14. 13.15. 13.16. 13.17. 13.18. 13.19. 13.20. 13.21. 13.22. 13.23.FUNES DE CONJUNTO E PROBABILIDADE ELEMENTARIntroduo histrica 525 526 Funes de conjunto completamente aditivas Medidas finitamente aditivas 528 Exerccios 529 A definio de probabilidade para conjuntos fundamentais finitos 530 Terminologia peculiar da teoria das probabilidades 533 Exerccios 534 Exemplos resOlvidos 535 Exerccios 537 Alguns princpios bsicos de anlise combinatria 539 Exerccios 544 Probabilidade condicionada 545 Independncia aleatria 547 Exerccios 549 551 Experincias compostas Esquema de Bernoulli 555 O nmero mais favorvel de ocorrncias do acontecimento favorvel .em n experincias dum esquema de Bernoulli 557 Exerccios 560 Conjuntos numerveis e no numerveis 562 Exerccios 566 Definio de probabilidade para conjuntos fundamentais infinitos numerveis 567 Exerccios 569 Exerccios variados sobre probabilidades 56914. 14.1.14.2.CALCULO DAS PROBABILIDADESA d~finio de probabilidade para conjuntos fundamentais no numeraveis 573 Numerabilidade de conjuntos de pontos com probabilidade positiva574 17. /ndice analitico 14.3. 14.4. 14.5. 14.6. 14.7. 14.8. 14.9. 14.10. 14.11. 14.12, 14.13 .. 14.14. 14.15. 14.16. 14.17. 14.18. 14.19. 14.20. 14.21. 14.22. 14.23. 14.24. 14.25. 14.26. 14.27. 14.28. 14.29. 14.30. 14.31.XIXVariveis aleatrias 575 Exerccios 577 Funes de repartio 578 Discontinuidades das funes de repartio 582 Distribues discfetas. Funes de massa probabilstica 585 Exerccios 588 Distribuies continuas. Funes densidade 591 Distribuio uniforme num il.tervalo 592 Distribuio de Cauchy 597 Exerccios 598 Distribuies exponenciais 599 602 Distribuies normais Indicaes referentes a distribuies mais gerais 606 Exerccios 607 Distribuies de funes de variveis aleatrias 608 Exerccios 609 Distribuio de Variveis aleatrias bidimensionais 610 Distribuies discretas bidirnensionais 613 Distribuies bidimensionais continuas. Funes densidade 614 Exerccios 616 Distribuio de funes de duas variveis aleatrias 618 Exerccios 622 Esperana matemtica e varincia 625 Esperana matemtica de uma funo de urna varivel aleatria 630 Exerccios Desigualdade de Tchebycheff 632 Leis dos grandes nmeros 634 Teorema limite central do clculo das probabilidades 637 Exerccios 639 Bibliografia15.641INTRODUO A ANALISE NUMERICAIntroduo histrica 643 Aproximao p'olinornial 644 Aproximao polinomial e espaos lineares normados 646 Problemas fundamentais da aproximao polinorpial' 648 Exerccios 650 652 Polinmios interpoladores Pontos de interpolao igualmente separados 655. Anlise do erro na interpolao polinomial 656 Exerccios 659 Frmula de interpolao de Newton 662 Pontos de interpolao igualmente espaados. O operador das diferenas sucessivas 664 15.12. Polinmios factoriais 666 15.13. Exerccios 66 7 15.14. Um problema de nmero relativo n~Jrma maximal 66915.1. 15.2. 15.3. 15.4. 15.5. 15.6. 15.7. 15.8. . 15.9. 15.10. 15.11.629 18. XX 15.15. 15.16. 15.17. 15.18. 15.19. 15.20. 15.21. 15.22. 15.23.lndice analtico Polinmios de Tchebycheff 670 Uma propriedade de mnimo dos polinmios de Tchebycheff 674 Aplicao formuia de erro na interpolao Exerccios 675 Integrao aproximada. A regra trapezoidal 677 Regra de Simpson 680 Exerccios 685 A frmula de somao de Euler 688 Exerccios .694 Bibliografia697Solus dos exerccioslndice alfabtico745699672 19. :..'-',.Clculo 20. PARTE I ANLISE LINEAR 21. 1 ESPAOS LINEARES1.1. Introduo . No desenvolvimento da Matemtica encontramos muitos exemplos de objectos matemticos que podem ser adicionados uns aos outros e multiplicados por nmeros reais. O primeiro exemplo de tais objectos so os prpriOs nmeros reais. Outros exemplos so as funes reais. os nmeros complexos. as sries infinitas, os vectores num espao n dimensional e as funes vectoriais. Nestt: captulo vamos analisar um conceito matemtico geral, chamado espao linear, que inclui todos estes exemplos e muitos outros como casos particulares. Em resumo, um espao linear um conjunto de elementos de natureza qualquer no qual se efectuam certas operaes (chamadas adio e multiplicao por nmeros). Ao definir-se um espao linear, no necessrio e.peciftcar a natureza dos elementos nem dizer como se realizam entre eles as operaes acabadas de referir. Em vez disso, exige-se que as oper_aes gozem de certas propriedades que se tomam como axiomas do espao linear. Vamos precisamente, em seguida, faze:r uma descrio pormenorizada desses axiomas. 1.2. Definio de espao linear S~ja V um conjunto no vazio de objectos, chamados elementos. O conjunto. V chama-se um espao linear se satisfaz aos dez axiomas que a seguir se enunciam, divididos em trs grupos.Axiomas de fecho. AXIOMA I. FECHO A RESPETTO DA ADIO. A todo o par de elementos x e)' de V corresponde um nico elemento de V. chqmado soma de x e y e representado p"or x + y. 22. Clculo4 AXIOMA 2.A todo oFECHO A RESPEITO DA MULTIPLICAO POR NMEROS REAIS.x de V e todo o nmero real a corresponde um elemento de V, chamado o produto de a por x e representado por ax. Axiomas parti a adio. AXIOMA 3.PROPRIEDADE COMUTATIVA.Para todo o X e jJ de V. temseAXIOMA 4. PROPRIEDADE ASSOCIATIVA.Para todoOX,y eZX+y=y+X.de V, tem-sex+(y+z)=(x+y)+z. AXIOMA 5.EXISTCNCJA DE ELEMENTO ZERO.Existe um elemento em V, representadopelo smbolo O, tal que x + O= xpara todo o x de V.AXIOMA 6. EXISTINCIA DE SIMTRICOS. Para todo o X de V, o elemento (- 1 )x tem a propriedadex+(-!)x=O. Axiomas pala a multiplicao por nmeros. AXIOMA 7.PROPRIEDADE ASSOCIATIVA~Para todo oXde V, e todo o par de nmerosreais a e h. tem-sea(bx)=(ab)x.AXIOMA 8. PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA PARA A ADIO EMV. Para todo o parx e y de V e todo o real a. tem-sea(x AXIOMA+ y) =ax+ ay.9. PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA PARA A ADIO DE NMEROS. Para todoo x em V e todo o par de reaL'f a e b tem-se(a+ b)x = ax+ bx.AXIOMA 10. EXISTINCIA DE ELEMENTO IDENTIDADE.Para todo x em V, tem-selx= x. Os espaos lineares. como foram definidos atrs, so muitas vezes chamados espaos lineares reais, para fazer ressaltar o facto de que se multiplicam elementos de V por nmeros reais. Se nos Axiomas-2. 7, 8 e 9 substiuimos nmero real por nmero 23. Espaos lineares5complexo, a estrutura resultante chama-se lim espao /ineaJ' complexo. Por vezes um espao linear chama-se tambm espao vectorial linear. ou mais simpleSmente espao vectorial; os nmeros usados como multiplicadores diamam-se escalares. Um espaolinear real admite os nmeros reais como escalares, um espao linear complexo admite os nmeros complexos como escalares. Embora se considerem aqui fundamentalmente exemplos de espaos vectoriais lineares reais, todos os teoremas so verdadeiros igualmente para os espaos vectofiais complexos. Quando fazemos uso da expresso espao linear, sem qualquer designao suplementar, deve subentender-se que o espao pode ser real ou complexo. 1.3. Exemplos de espaos linearesSe especificamos qual o. conjuil.to V e dizemos como somar os seus elementos e como multiplic-los por nmeros, obtemos um exemplo concreto de um espao linear. O leitor pode facilmente verificar que cada um dos seguintes exemplos satisfaz a todos os axiomas para um espao linear real. EXEMPLO I. Seja V= R o conjuntO dos. nmeros reais, e sejam x multiplicao usuais de nmeros reais.+ y e ax a adio eeEXEMPLO 2. Seja V~ C o conjunto dos nmeros complexos, seja x + y a adio ordinria de nmeros complexos e ax a multiplicao de nmeros complexos x pelo nmero real a. Embora os elementos de V sejam nmeros complexos, este um espaO linear real porque os escalares so reais. EXEMPLO 3. Seja V= Vn o espao vcctorial dos sistemas de n nmeros reais, com a adio e a multiplicao por escalares definida da maneira usual em funo das componentes.EXEMPLO 4. Seja V o conjunto de todos os vectores em V" ortogonais a um dado vector no nulo N. Se n = 2, este espao linear uma recta que passa por O, ad~intin do N como vector normal. Se n = 3, um plano que passa por O com N como vector normal. Os exemplos que se seguem dizem-se espaos funcionaiS. Os elementos de V sO funes reais, com a adio de duas funes f c g definidas na forma usual: (f+ g)(x)= f(x) + g(x)para todo o real x pertencente interseco dos domnios de f e g. A multiplicao de uma funo f por um escalar real a define-se do modo seguinte: af a funo cujo valor para cada x no domnio de f e af(x). O elemento zero a funo cujos valores so sempre zero. O leitor verificar com facilidade que cada um dos conjuntos seguintes ~ um espao funcionaL 24. Clculo; EXEMPLO 5. Oconjunto de todas as funes definidas num dado intervalo.EXEMPLO 6. Oconjunto de todos os polinmios.EXEMPLO 7. O conjunto de todos os polinmios de grau ;:i n, com n fixo. (Sempre que se considera este conjunto subentende-se que o polinmio zero est tambm incluido). O conjunto de todos os polinmios de grau igual a n no um espao linear porque os axiomas de fecho nO so satisfeitos. Por exemplo, a soma de dois polinmios de grau n no ter necessariamente grau n. EXEMPLO 8. O conjunto de todas as funes contnuas num dado intervalo. Se o intervalo [a, bl representamos este espao linear por C(a, b). EXEMPLO 9. Oconjunto de todas as funes derivveis num dado ponto.EXEMPLO 10. Oconjunto de todas as funes integrveis num dado intervalo.EXEMPLO 11. O conjunto de todas as funes f definidas no ponto I, comf(l)~ O: O nmerO O fundamental neste exemplo. Se substituirmos O por um nmero c no nulO, violamos os axiomas de fecho. EXEMPLO 12. O conjunto de todas as solues de uma equao diferencial linear homognea y- + ay' + by =O, com a e b constantes. Aqui mais uma vez o O essencial. O conjunto de solues de uma equao diferencial no homognea no satisfaz aos axiomas de fecho.Estes .exemplos e muitos outros mostram bem quanto o conceito de espao linear est estendido Algebra, Geometria e Anlise. Quando se deduz um teorema a partir dos axiomas de um espao linear, obtemos, de uma vez, um resultado vlido para cada exemplo concreto. Unificando diferentes exemplos desta maneira ganhainos um conhecimento mais aprofundado de cada um. Algumas vezes o conhecimento de um exemplo particular ajuda-nos a antecipar ou interpretar resultados vlidos para outros exemplos e pe em evidncia relaes que de outro modo poderiam passar desPerebidas. IA. Consequnciils elementares dos axiomasOs teoremas que se seguem deduzem-se facilmente dos axiomas para um espao linear. TEOREMA 1.1. UNICIDADE DO ELEMENTO ZERO.Em qualquer espao linear existeum e um s elemento zero. Demonstrao. o axioma 5 diz-nos que existe pelo menos um elemento zero. Suponham.os que existiam dois, por exemplo o, e o,. Tomando X~ o, 'e o~ o, no Axiom 25. Espaos lineares75, obtemos O,+ O,= O,. Analogamente, tomando x =O, e O= O,, encontramos O,+ O,= O,. Mas O,+ O,= O,+ O,, devido propriedade comutativa, pelo queo,= o,.TEOREMA 1.2. UNICIDADE DOS ELEMENTOS SIMETRICOS. Em qualquer espao lineartodo o elemento Qdmite unicament um simtrico, isto , para todo o x existe um e um s y tal que x + y= O.Demonstrao. O Axioma 6 di~-nos que cad x admitepelo menos um simtrico, a saber ( -l)x. Admitamos agora que x tinha dois simtricos, y, e y,. Ento x + y, =O e x + y, = O. Somando y, a ambos os membros da primeira igualdade e utilizando os Axiomas 5, 4 e 3, encontramosy,+ (x + y 1 )= y, +O= y,,ePortanto y, Notao.=y,, pelo que x tem precisamente um simtrico, o elemento (- l)x.o simtrico deXrepresenta-se por-X.A diferena y:.......X definida pelasoma y + ( -x).O teorema seguinte refere um certo nmero de propriedades que regemo.s c.lculos algbricos elementares num espao linear. TEOREMA i .3. Num dado espao linear, sejam x e Y elementos arbitrrios e a e b escalares arbiJrrios. Ento verificam-se as seguintes propriedades: (a) Ox =O.(b)a0=0. (c) ( -a)x = - (ax) = a( -x). (d)Seax=O, entoou a=Ooux=D. (e) Se ax = ay e a >' O, ento x = y. (f) Seax = bx e x >'O, ento a= h. (g) -(x + y) = (-x) + (-y) = - x - y. (h) x + x = 2x, x + x + x = 3x, e em geralL;=l x = nx.Vamos demonstrar (a), (b) e (c), deixando as demonstraes das restantes ao cuidado do leitor.Demonstrao de (a). Seja z = Ox. Desejamos provar que z =O. Somando z a si prprio e aplicando o Axioma 9, verificamos que .z+z= Ox+ Ox = (O+ O)x =Ox = z.Adiconamos agora -z a ambos o"s membros e obtemos z = O. 26. 8ClculoDemonstrao de (b). Seja z ~aO; adicionemos z a maS.SIprprio e utilizemos o Axio-Demonstrao de (c). z ~ ( -a)x. Adicionando z a ax e utilizando o Axioma 9, verificamos que z+ ax =( -a)x+ ax =(-a+ a)x =Ox = O,pelo que z o simtrico de ax, z ~ -(ax). Analogamente, se adicionamos a( -x) a ax eutilizamos o Axioma 8 e a propriedade (b), encontramos que a( -x) ~ -(ax).1.5. Exerccios Nos Exerccios I a 28, determinar se cada um dos conjuntos dados um espao linear real, com a adio e a multiplicao por escalares reais definidas da forma usual. Para os Exerccios em que assim no seja, dizer quais so o-s axiomas que no se verificam. As funes nos Exerccios I a 17 so reais. Nos Exerccios 3, 4 e 5 cada funo tem um domnio contendo O e I. Nos Exerccios 7 a 12, o domnio e o conjunto de todos os nmeros reais. I. Todas as funes racionais. 2. Todas as funes racionais_f/g, com o-grau de f;;[: que o grau de g(incluindof = 0). 3. Todas as funesfcomf(O) ~/(1). 4. Todas as funes f com 2{(0) ~f'( I). 5. Todas as funesfcomf(l) ~ I + f(O). 6. Todas as funes em escada definidas em escada [0, I L 7. Todas as funes comf(x) ___.,O quando x- + oo~ 8. Todas as funes pares. 9. Todas as funes mpares. 10. Todas as funes limitadas. I I. Todas as funes crescentes. 12. Todas as funes peridicas de perodo 2n. 13. Todas as funesfntegraveis em [0, 1], com J~f(x)dx =O. 14. Todas as funes/integrveis em [0, 11, comJ~f(x)dr f:; O. 15. Todas as funes verificando f(x) ~ /(1 - x) para todo o x. 16. Todos os polinmios de Taylor de grau ~ n para um n dado (incluindo o polinmio zero). 17. Todas as solues da equao diferencial linear homognea de segunda ordemy- + P(x)y' + Q(x)y =O, com P e Q funes dadas e contnuas para todo x. 18. Todas as sucesses reais limitadas. 19. Todas as sucesses reais convergentes. 20. Todas as sries reais convergentes. 21. Todas as sries reais absolutamente convergentes. 22. Todos os vectores (x, y, z) de V 3 com z =O. 23. Todos os vectores (x, y. z) de V3 com- x =O ou y =O. 24. Todos os vectores (x, y. z) de V3 com y = 5x. 25. Todos os vectores (x. y, z) de V3 com 3x + 4y = 1, Z =O. 26. Todos os vectores (x, y, z) de V 3 que so mltiplos escal:ires de (I, 2, 3). 27. Todo~ os vectores (x. y, z) de V3 cujas componentes satisfa!m a um sistema de trs equaes lineares de forma: 27. Espaos lineares928. Todos os vectores de V,1 que so combinaes lineares de dois vectores dados A e B. 29. Seja V= R+. o conjunto dos nmeros reais positivos. Defina-se a ~soma" de dois elementos x e y em V como sendo o seu produto xy(no sentido usual) e defina-se"multiplicao" de um elemento x de V por um escalar c como sendo xc. Provar que -v um espao linear real com I como elemento zero. 30. (a) Provar que o Axioma lO pode ser provado a partir dos outros axiomas. (b} Provar que o Axioma to no pode ser deduzido dos outros Axiomas se o Axioma 6 for substitudo pelo Axioma 6':1 "Para todo x em V existe um elemento y de V tal que X+ _V= ON. . 31. SejaS o conjunto de todos os pares ordenados (x 1, x 2 ) de Omeros reais. Em cada alnea determinar se sim ou no S um espao linear com as "operaes de adio e multiplicao por escalares ddinidas como se indica. Se o conjunto no fr um espao linar. dizer quais os axiomas que no so verificados. a(x1 , x 2) ~ (ax1 , O). (a) (x1 ,x2) + (y1 ,y2) ~ (x1 + y 1 ,x2 + y 2 ), (b) (x1 ,x2) + (y1 ,y2 ) ~ (x1 + y 1 ,0), a(x1 , x 2) = (ax1 , ax 2). (c) (x1 ,x2) + (y.,y2 ) ~ (x1 ,x2 + y 2 ), a(x1 , x 2) = (ax1 , ax2 ). (d) (x1 ,x2 ) + (y1 ,y2 ) ~ (lx1 +x2 (,(y. + y 2 (), a(x1 , x 2) ~ (lax1 (, (ax2 1). 32. Demonstrar as partes da d at h do Teorema 1.3.e1.6. Subespaos de um espao linear Dado um espao linear V, seja S um conjunto no vazio de V. Se S tambm um eSpao linear. com as mesmas operaes de adio e multiplicao por escalares. ento S diz-se um subespao de V. O teorema que apresentamos a seguir d um critrio simples para determinar se sim ou no um subconjunto de um espao linear um subespao. TEOREMA 1.4. Se S um subconjunto no vazio de um espao linear V, ento S um subespao se e s se S satisfaz aos axiomas de fecho.Demonstrao. Se S um subespao, verificam-se todos os axiomas para um espao linear e por conseguinte, ~m particular, verificam-se os axiomas de fecho. Demonstremos agora que st: S satisfaz aos axiomas de fecho, satisfaz igualmente aos outros. As propriedades comutativa e associativa para a adio (Axiomas 3 e 4) e os axiomas para a multiplicao por escalares (Axiomas 7 e lO) so automaticamente satisfeitos em S porque so vlidos para todos os elementos de V. Falta verificar os Axiomas 5 e 6, a existncia em S do elemento zero e a existncia do simtrico de cada elemento de S .. Seja x um qualquer elemento de S. (S tem pelo menos um elemento visto que no vazio.) Pelo -Axioma 2, ax est em S para todo o escalar a. Fazendo a= O, resulta que Ox est em S. Mas Ox ~ O, pelo teorema 1.3(a), pelo que O E Se o Axioma 5 satisfeito. Fazendo a~ - I, vemos que (- I )x pertenece a S. Mas x + (- I )x ~ O visto que quer x, quer (-J)x esto em V, e consequentemente o Axioma 6 satisfeito em S. Deste modo S subespao de V DEFINIO. S~iade V da formaS um subconjunto no vazio de um espao linear V. Um elemento x 28. Clculo10onde x . X2, ... , xk. pertencem todos aS e c,, C2 , , ckso escalares, diz-Se uma combinao linear finita de elementos de S. O conjunto de todas as combinaes lineares finitas deelementos de S verificam os axiomas de fecho e por conseguinte um subespao de V. Chama-se este o subespao gerado por S. e representa-se por L(S). Se S vazio. definimos L(S) como I OI, o conjunto constando unicamente do elemento :era.Conjuntos distintos podem gerar o mesmo subespao. Por exemplo, o espao V, gerado por cada um dos seguintes conjuntos de vectores {i, jl, {i, j, i+jl. {0, i-i, }-j. i+jl. O espao de todos os polinmios np(t) de grau ;:;; n gerado pelo conjunto de n + I polinmios. tambm gerado pelo conjunto 1, t/2, t'/3, ... , t!(n + I )I, e por li, (I + t), (I + t)', .. . , (I+ t}'>}. O espao de todos os polinmios gerado pelo conjunto infinito dos polinmios li, t.t', ... }. Um certo nmero de perguntas se podem pr ao chegarmos a este ponto. Por exemplo, que espaos podem ser gerados por um conjunto finito de elementos? Se um espao pode ser gerado por um conjunto finito de elementos, qual o nmero mnimo de elementos necessrios? Para analisar estas e outras questes, introduzimos os conceitos de dependncia e independncia linear, bases e dimenso. Estas noes j (oram referidas no captulo 12 quando do estudo do espao vectorial V,. Agora apenas as vamos generalizar aos espaos lineares de tipo qualquer.1.7. Conjuntos dependentes e independentes num espao linear DEFINICO. Um conjunto S de elementos de um espao linear V diz-se dependente se existe um conjunto finito de eli!menlos distintos de S; por exemplo X 1, X 2 , ... , xk e um correspondente conjunto de escalares C1 , c2 , . , ck. no conjuntamente todos nulos, tais que kL CJXi =o. i=lUina eqao 1=1 C;X; =O com algum C; =I= O diz-se ser uma.- l representao nao trivial de O. O conjunto S diz-se linetirmente independente se no e dependente, isto . quGi.'lquer que sejam os elementos distintos x 1 , x 2 , . , Xk de Se Os escalares C1 , c2 , , Ck, k1: c,x, =oimplicai=l-Embora a dependncia e irldependncia sejam propriedades dos conjuntos de el( _mentos, aplicam-se habitualmente estas designaes aos prprios elementos dess1 29. Espaos lineares11mesmos conjuntos. Por exemplo, os elementos de um conjunto independente dizemse linearmente independentes. Se S um conjunto finito, a definio precedente concorda com a dada no Captulo 12 para -o espao Vn Contudo, a presente definio no est rest_ringida a conjuntos finitos. EXEMPLO l. Se um subconjunto T de um conjunto S dependente, ento S tambm dependente. Isto logicamente equivalente afirmao de que cada subconjunto de um conjunto independente ' independente.EXEMPLO 2. Se um elemento de S um mltiplo escalar do outro, ento S dependente. EXEMPLO 3. Se O E S. ento S dependente. EXEMPLO4. O conjunto vazio independente.No Volume I foram discutidos muitos exemplos de conjunts dependentes e independentes de vectores de Vn Os exemplos seguintes ilustram esses conceitos em espaos funcionais. Em. cada caso o espao linear fundamentalmente V o conjunto de todas as funes reais definidas na recta real. EXEMPLO 5. Sejam u,(l) = cos 2 1, u 2 (1) = sen 2 1, u,(l) =I, para todo o nmero realA identidade de Pitgoras mostra que u, u,, U 2 , U3, so dependentes.+ u2 -u3= O,t:pelo que as trs funesEXEMPLO 6. Seja u,(l) = 1' para k .~ O, I, 2, ... , e 1 real. O conjuntoS= {u,, u,, ... } independente. -Para demostrar isto, basta provar que para cada n. os n + I po1inmios u0 , U 1 , , u" so independentes. Uma relao da formaLc~k =O significa que(1.1)para todo o real I. Quando I= O; encontramos c0 =O. Derivando (1.1) e fazendo 1 =O, encontramos c, =O. Repetindo o processo, verificaffios que cada coeficiente ck zero. EXEMPLO7. Se- a 1, , a, so nmeros reais distintos, as n funes exponenciaisso independentes. Podemos demonstr-lo por induo relativamente a n. O resultado verifica-se trivialmente quando n= I. Admitamos por conseguinte que verdadeira para n- l funes exponenciais e consideremos os escalares c1,.c1,. , c, tais que 30. Clculo12(1.2) Seja aMo maior-dos n nmeros a,; a,, ... , a . Multiplicando ambos os membros de (1.2) por e- 0 MX, obtemos L cke(a~;-a.I()X = o.(1.3)k=lSe k#: M. o nmero ak- aM negativo. Deste modo. quando x- + oo na equao ( 1.3), cada termo com k M tende para zero e encontramos que eM~ O. Suprimindo o termo de ordem M em ( 1.2) e aplicando a hiptese de induo, encontramos que cada um dos n- 1 restantes coeficientes ck zero.*TEOREMA 1.5. Se S ~ lx,, x, . ... , xd um conjun(o independente formado por k elementos de um espao linear V e se L(S) o subespao gerado por S, ento todo o conjunto de k + I elementos de L(S) dependente.Demonstrao. A demonstrao faz-se por induo em k. que representa o nmero de elementos de S. Em primeiro lugar suponhamos k ~ I. Ento, por hiptese, S formado por um nico elemento x" com x, 1=0, visto que S independente. Consideremos agora dois quaisquer elementos distintos y, e y 2 em L(S). Ento cada um destes elementos um escalar multiplicado por X 1 seja y, = c,x 1 e y 2 = c2x" onde c, e Cz so ambos diferentes de o_ Multiplicando yl por Cz e Yz por CI e subtraindo, obtemosEsta uma representao no trivial de O, pelo que y 1 e y 2 sero dependentes; est, pois, demonstrado o teorema quando k = l. Admitamos agora que o teorema verdadeiro para k- 1 e provemos que ainda verdadeiro para k. Tomemos um conjunto de k + I elementos em L(S), digamos T = {_r" y 2 , ___ , J'k+l }_ Desejamos provar que T dependente. Visto que cada y,- est em L(S) podemos escrever k(1.4)Yi = Laii.ii j=lpara cada i= I, 2, ___ , k + I_ ExaminemOs todos os escalares a,-1 que multiplicam x, e para tal devdamos a demonstrao em duas partes conforme todos estes escalares so ou no nulos_ CASO I. a 1, ~O para cada i~ I, 2, ... , k +I. Neste caso a soma em (1.4) no contm Xp pelo que cada y,- em T est no subespao linear gerado pelo conjunto s ;= lx,, ... , x,}. Mas S' independente e consta de k- I elementos. Pela hiptese 31. Espaos lineares13de induo, o teorema verdadeiro para k- I pelo que o conjunto T dependente. Est assim demonstrado o teorema no Caso I. CASO -2. Nem todos os escalares G; 1 so nulos. Admitamos que 0 11 *O. (Se-necessrio, podemos numerar de novo os y de modo a que isso se verifique.) Fazendo;= I na equao (IA) c multiplicando ambos os membros por c;. com C;= a;Ja 11 , obtemos kc,y1 = anx 1+L c1a 11x 1 i=2Se a-esta subtrairmos,mem~roa membro, a equao (1.4)-resulta kc,y 1-y, = L(cia 11-a 11 )x1 ,.i=2para i= 2,; .. , k + i. Esta equao exprime cada um dos k elemen~os C;J' 1 - Y; como uma COf!lbinao linear de k- 1 elementos independentes x2 ... ' Xk. Pela hiptese de indtio, os k elementos C;J 1 - Y; devem ser dependentes. Consequente-mente para determinada escolha dos escalares 12 , , tk+l no simultneamente nulos, temos k+l2t,(c,y1-y,) =O,i=2donde resultaEsta, porm, uma combinao linear no trivial de y 1 , , Yk+l que representa o elemento zero, pelo que os elementos y~> ... , Yk+ 1 devem ser dependenteS, ficando assim completado a demonstrao.1.8. Bases e dimenso DEFINIO. Um conjunto finito S"de elementos num espaO linear_ V chama-se uma base finita de V se S independente e gera V. O espao V diz-se de dimenso finita se tm uma base finita. ou se V forf!1ado unicamente por O. Caso contrrio V diz-se de dimenso infinita.eTEOREMA 1.6. Se V um espao linear de dimenso finita,' ento cada base finita de V tem o mesmo nmero de elementos.''IDemonstrao. Sejam S e T duas bases finitas de V. Suponhamos que S formado por k elementos e T formada por m elementos. Uma vez que S independente a gera V, o teorema 1.5 diz-nos que cada conjunto de k + I elementos de V dependente. Por conseguinte, todo o conjunto de mais do que k elementos de V dependente. Visto 32. Clculo14que T um conjunto independente. devemos ter m s k. O mesmo raciocnio com S e T permutados mostra que k:::; m. Portanto k = m. DEFINIO. Se um espao linear V tem uma base com n elementos, o inteiro n chamase dimenso de V, e escreve-se n = dim V. Se V= 10} diz-se que V tem dimenso O. EXEMPLO 1. O espao V n tem dimenso n. Urna base deste espao o conjunto dos n vectores coordenados unitrios. EXEMPLO 2. O espao de todos os polinmios p(t) de grau ,;; n tem dimenso n + I. Uma base o conjunto de n + I polinmios1, I, I', ... , l"l. Todo o polinmio de grau;;::: n uma combinao linear desses n + I polinmios. EXEMPLO 3. O espao das solues da equao diferencial y"- 2r- 3r ~ O tem dimenso 2. Uma base consiste das duas funes u 1(x) =e-x, u 2 (.~) = e'x. Toda a soluo uma combinao linear destas duas. EXEMPLO 4. O espao de todos os polinmios p(l) de dimenso infinita. O conjunto infinito li, I, t', ... gera este espao e nenhum conjuntofinilo de polinmios gera .o espao.TEOREMA 1.7 Seja V um espao linear de dimenso finita com dim V= n. Ento verifica-se que: (a) Todo o conjunto de elementos independientes de V um subconjunto de alguma base de V. (b) Todo o conjunto de n elementos independentes uma base para V.DemOnstrao. Para demonstrar (a), designamos por S = {x 1 , , xk} qualquer conjunto independente de elementos de V. Se L(S) ~ V, ento S uma base. Caso contrrio, existe algum elemento y em V, o qual no pertencer a L(S). Juntemos este elemento aS e consideremos o novo conjuntoS'= {x1 , , xk>y}. Se este conjunto fosse dependente existiriam escalares c 10 ..:..... ck+., no todos nulos, tais queI c,x, + cHY = O .*i=lMas ck + 1 O visto x 1, , x k serem independentes. Consequentemente. podemos resolver esta equao em relao a y, chegando concluso de que y E L(S), o que contradiz o facto de que y no pertence a L(S). Portanto, o conjuntos independente e contm k + I elementos. Se L(S) ~ V, ento S uma base e, visto ser S um sul>conjunto de S , a alnea (a) est demonstrada. Se S no uma base, podemos raciocinar de novo com s' como o flZemos com S, obtendo um novo conjuntos- o qual conter k + 2 elementos e ser independente. Se S- uma base, ento a alnea (a) est demonstrada. Caso contrrio, repete-se o processo. Devemos assim chegar a uma base ao fim de um nmero finito de etapas, doutro. modo obteramos eventualmente um conjunto independente com n + I elementos, contradizendo o teorema 1.5. Por isso, a alnea (a) do teorema 1.7 est demonstrada. 33. Espaos lineares15Para demonstrar a alnea (b), designemos por S qualquer conjunto independente formado por n elementos. Devido alnea (a), S um subconjunto de certa base, por exemplo B. Mas pelo teorema 1.6, a base B tem precisamente n elementos, e assim s~B.1.9. Cnrnp(_mcntesSeja V um espao linear de dimenso n e consideremos uffia base cujos elementos e., ... , en se tomam segundo determinada ordem. Representamos uma tal base ordenada por um n-sfstema {e,, ... , en). Se x E V, podemos exprimir x como uma combinaOIIinear destes elementos da base: nx=:ciei.(1.5)i=lOs coeficientes nesta igualdade determinam um n-sistema de nmeros (c" c2 , , cn) o qual fia univocamente determinado para x. Com efeito, se tivessemos outra representao dex como combinao linear de e 1, , e"' por exemplo x = 2 '!= 1 d;e 1, ento subtraindo membro a membro de (1.5), encontramos 27~ 1 (c,- d,)e,~O. Mas porque os elementos de base so independentes. a igualdade anterior implica c;= d; para todo o i~ 1, 2, ... , n, pelo que ser (c,, c,, ... , c.)= (d,, d,, ... , d.). Os elementos do n-sistema ordenado (c,," c,, ... , cJ definidos por (1.5) dizem-se as componentes de X relativamente buse ordenada(e~"e 2, , e,n)-1.1 O. Exerccios Em cada um dos Exerccios I a 10, S o conjunto de todos os vectores (x, y, z) de V3 cujas componentes satisfazem condio dada. Determinar-se S um subespao de V3 Se S for um subespao, calcular dim S. 1. X= 0, 2. X+ y = 0.J. X+ y+Z=0:4. X =y. 5. x = y =z.6. X= J OU X =_z. 7.x2 -y2 =0. 8. X+ y = 1. 9. y = 2x e z = 3x. 10. X + y + Z = 0 e X-y -Z= 0.Seja P, o espao linear de todos os polinmios de grau -;;;,- n, com n fixo. Em cada um aos Exerccios 11 a 20, representeS o conjunto de todos os polinmios f em P, satisfazendo s condies dadas. Determinar se sim ou no S um subespao de P,. Se S for um subespao, calcular dim S. 11. J(O) ~O. 12.['(0) =0. 13. J"(O) ~O. 14.[(0) +['(O) ~o. 15.[(0) =[(1).16. [(O)~ [(2).17.f par. 18. f mpar. 19. f tem grau,; k, com k < n, ou f= O. 7.0.ftem grau k, com k < n, ou f~ O. 34. Clculo1621. No espao linear de todos os polinmios reais p{t), descrever o subespao gerado por cada um dos seguintes subconjuntos de polinmios e determinar a dimenso-desse sUbespao. (a) {I, 12 , t 4 ); (b) {t, 13, t 5); (c) {1, 12}; (d) {I + t, (I + 1)2}. 22. Neste Exerccio, L(S) repfescnta o subespao gerado por um subconjunto S de um espao linear V. Provar cada uma das proposies seguintes de (a) a (f). (a) S c;;L(S). (h) Se S T s; V e se T um subespao de V, ento L(S) T. Esta propriedade enuncia-se dizendo que L(S) o menor subespao de V que contm S. (c) Um subconjuntoS de V um subespao de V se e s se L(S) =S. (d) Se S ; T ; V, ento L(S) c;;L(n. (e) Se Se T so subespaos de V, ento tambm o S n T. (f) Se Se Tso subconjuntos de V, ento L(S n 7) c;;L(S) nL(n. (g) Dar um exemplo no qual L(S n 7) L(S) n L(7). 23. Seja V o espao linear de todas as funes reais definidas na recta real. Determinar se cada um dos seguintes subconjuntos de V C-dependente ou independente. Calcular a dimenso do subespao gerado por cada conjunto. (a) {I, e"", e'"), a T' h. (f) {cos x, sen xl. (b) (e"", xe""). (g) {cos' x, sen' xl. (c) (I, e"", xe""). (h) {I, cos 2x, sen' xl. (d) (e"", xe"", x 2e""). (i) {sen x .. sen 2xl. (e) kT, e-.T, ch x. (j) {ex cos x, e-x.sen x}. 24. seja V um espao linear de dimenso finita e S um subespao de V. Demonstrar cada uma das seguintes proposies. (a) S tem dimenso finita e dim S :5 dim V. (b) dim S = dim V se e s se S = V. (c) Toda a base de S parte de uma base de V. (d) Uma base de V no contm necessariamente uma base de S.*1.11. ProdUto interno, espaos euclidianos. NormasNa geometria euclidiana, aqu.elas propriedades que contam com a possibilidade de medio de comprimento de segmentos de recta e ngulos definidos por rectas chamam-se propriedades mtricas. No nosso estudo de Vn, definimos comprimento e ngulos a partir do produto escalar. Desejamos agora generalizar aquelas noes a espaos lineares mais gerais. Introduziremos em primeiro lugar uma generalizao do produto escalar que designaremos agora por produto interno e definiremos comprimentos e ngulos em funo do produto interno. O produto escalar x y de dois vectores x = (x 1 , x 2 , , Xn) e y = {y~" )-'2 , , Yn) em Vn foi definido, no Capitulo 12, pela frmula (1.6). n(1.6)x. y = LxiYi i=lNum espao linear qualquer, escrevemos (x, y), em vez de x y, para o produto interno e definimos este axiomaticamente, em vez de o fazermos por uma frmula especfica, isto , estabelecemos um certo nmero de propriedades que pretendemos que o produto interno possua e consideramo-las como axiomas. 35. Espaos lineares17DEFINIO. Define-se mim espao linear real V um produto interno se a cada par de elementos x e y em V corresponde um nico nmero real (x, y) satisfazendo aos seguintes axiomas. quaisquer que sejlim x. y e z de V e qualquer que seja o escalar real~(I) (x,y) ~ (y, x) (comutatividade, ou simetria). (2) (x, y + z) ~ (x, y) + (x, z) (distributividade, ou linearidade). (3) c(x, y) ~(ex, y) (associatividade. ou homogeneidade). (4) (x, x) >o se x O (positividade). Um espao linear dotado com a operao produto interno diz-se um espao eucli-*diano real. Nota.Fazendo c= O em (3), encontramos (0, y) =O para todo o y.Num espao linear complexo, um produto interno (x, y) um nmero complexo satisfazendo aos mesmos axiomas que_ os do produto interno real, excepto o axioma de simetria que substituido pela relao (x, y) = (y, x),(!')(simetra hermticat)onde (y, x) representa o complexo conjugado de (y, x). No axioma da homogeneidade, o factor escalar c pode ser qualquer nmero complexo. Do axioma da homogeneidade e (I ) obtemos a relao (x, cy) = (cy, x) = c(y, x) = c(x, y).(3')Um espao linear complexo dotado de produto interno chama-se um espao euclidiano complexo. (Algumas vezes tambm se usa a designao espao unitrio). Um exemplo o espao vectorial complexo V,(C) j referido na Seco 12.16 do Volume I. Embora o nosso interesse resida fundamentalmente nos exemplos de espaos euclidianos reais, os teoremas que se apresentam a seguir so vlidos igualmente para espaos euclidianos complexos. Quando usarmos a expresso espao euclidiano, sem fazer qualquer referncia complementar, subentender-se- que o espao pode ser real ou complexo. O leitor verificar que cada um dos exemplos seguintes satisfaz a todos os axiomasdo produto interno. EXEMPLO I.Em v. seja (x, y)EXEMPLO 2. Se x (x, y) pela frmula~~(x,, x,) e yx y, o produto escalar usual de x por y. ~(y,, y,) so dois vectores quaisquer de V,, definir(x, y) = 2x,y1+ x 1y 2 + x,y + x,y,. 1(t) Em honra de Charles Hermite (1822-1901). um matemtico francs que contribuiu muito para o desenvolvimento da lgebra e anlise. 36. C/cu/c18Este exemplo mostra que _pode estar definido mais do que Um produto interno num dado espao linear. EXEMPLO 3. Represente C(a. h) o espao linear de todas as funes reais contnuas definidas num intervalo la, hl. Definamos o produto interno de duas funes f e g pela frmula(f, g)=I:/(t)g(t) dt.Esta frmula anloga Equao (1.6) que define o _produto escalar de dois vectores de v. Os valores das funes f(t) e g(t) desempenham o papel das componentes x; e Yi e a integrao substitui a somao. EXEMPLO4. No espao C(a, b), definimos (f, g) =J: w(t)f(t)g(t) dt,com w uma funo positiva dada em C( a, b). A funo w diz-se a funo peso. No exemplo 3 temos w(t) = I para todo o t. EXEMPLO 5. Nb espao linear dos polinmios reais, definimosu. g) =r.-'j(i)g(t) dt.Em virtude do factor exponencial, este integral imprprio convci"ge para todo o par de polinmiosfe g. TEOREMA 1.8. I'lum espao euclidiano V, todo o produto interno verifica a desiguq/dade de Cauchy:Schwarz:j(x,y)j'~(x, x)(y,y)quaisquer que sejam x e y em V.Alm disso. o sinal de igualdade verifica-se se e s se x e y so dependentes. Demonstrao. Se acontece que ou x = O ou y = O' a demonstrao trivial, pelo que supomos que ambos X e y so no nulos. Seja z = ax + by, com a e b escalares a serem especificados mais adiante. Temos a desigualdade (z, z) i: O para todo o par a e b. Quando explicitamos esta desigualdade em funo de x e y com uma escolhe. adequada de a e b, obtemos a desigualdade de Cauchy-Schwarz. Para exprimir (z, z) em funo de x e y servimo-nos das propriedades ( !'), (2) e (3.) e conclumos que 37. rEspaos lineares(z, z)19= (ax + by, ax + by) = (ax, ax) + (ax, by) + (by, ax) + (by, by) = a(x, x) + ah(x,y) + b(y, x) + bh(y,y);?: O.fomando a= (r, y) e suprimindo na desigualdade o factor positivo (y, y) resulta' (y,y)(x, x) Faamos agora b =-+ h(x,y) + b(y, x) + bh;?: O.(x, y). Entob= -(y, x) e a ltima desigualdade simplifica-se,tomando a forma(y, y)(x, x) :?: (x, y)(y, x) = i(x, y)l'. o que prova a desigualdade de Cauchy-Schwarz. O sinal de igualdade vlido atravs da demonstrao, se e s se:::= O.lsto verifica-se, em particular, se e s se x e y so dependentes. EXEMPLO. Aplicando a teorema 1.8 ao espao C(a, b) com o produto interno (f, g) = J;;f(t)g(t)dt, encontramos para a desigualdade de Cauchy-Schwarz(J:f(t)g(t) dt)':o;; ({' f'(t)ar)(J: g'(t) ar).O produto interno pode ser usado para introduzir o conceito mtrico de comprimento em qualquer espao euclidiano.DEFtNtO. Num espao euclidiano V. o nmero no negativo 11 xll definido pela igualdadellx !I= (x,x)lichama-se a norma do elemento x. Exprimindo a desigualdade de Cauchy-Schwarz em .termos deno~masescreve-sel(x,y)l :o;; llxll llyllVisto ser possvel definir um produto interno de diferentes maneiras, a norma de um elemento depender da escolha do produto inerno. Esta falta de unicidade era de esperar. Tal facto anlogo ao de podermos atribuir diferentes nmeros medida do comprimento de. dado segmento de recta, dependendo da escolha da unidade de medida. O teorema seguinte define propriedades fundameiltais das normas que no dependem da escolha do produto interno. 38. Clculo20TEOREMA 1.9. Num espao euclidiano, toda a norma goza das seguintes propriedades para todos os elementos x e y, e todo o escalar c:(a) 11 xll ~O se x ~ O. (blllxii>O se x*O. (c) llcx~~kl~xll (d) llx + Yll ,; llxll +li .vil(positividade). (homogeneidade). (desigualdade triangular).O sinal de igualdade verifica-se em (d) se x= O. se y =O. ou se y =ex para algum c> O.Demonstrao. As propriedades (a), (b) c (c) deduzem-se imediatamente dos axiomas do produto interno. Para demonstrar (d), observemos que llx+ yll' = (x + y, x + y) = (x, x) + (y,y) + (x,y) + (y, x) =llxll' + llyll' + (x,y) + (x,y).A soma (x, y) + (x, y) real. A desigualdade de Cauchy-Schwarz mostra quel(x, _v)l ;" ~ xll ~Y~ e l(x, y)l o llxl[ll.vll. pelo que se temllx + yll' :S: Jlxll' + llyll' + 211xll llyll=(llxll + llyll)'.o que demonstra (d). Cuandoy ~ex, com c> O, temosJlx + yll = llx + cxJI = (I +c) llxJI = JlxJI + llcxJI = Jlxll + llyll. DEFINIO. Num espao euclidiano real V, o ngulo definido por dois elementos no nulos x e y define-se como sendo o nmero O do intervalo O ::;; O :s: n dado por(1.1)cosO =(x, y) .llxJIJiyJI Nota: A desigualdade de Cauchy-Schwarz mostra que o valor do quociente-no segundo membro de ( 1.7) pertence ao interValo [-I, li, pelo que existe um e um s 8 no intervalo lO, nl cujo cosseno igual ao valor daquele quociente.1.12. Ortogonalidade num espao euclidiano DEFINIO. Num espao euclidiano V. dois elementos x e y dizem-se. ortogonais se o correspondente produto interno for zero. Um subconjunto S de V diz-se um subconjunto ortogonal se (x, y) ~O para cada par de elementos distintos x e y de S. Um conjunto ortogonal diz-se ortonormado se cada um dos seus elementos tem norma l. 39. Espaos lineares21O element zero ortogonal a todo o elemento de V; o nico elemento ortogonal a si prprio. O teorema seguinte mostra uma relao entre oitogonalidade e dependncia. TEOREMA 1.10. Num espao euclidiano V. todo o conjunto ortogonal de elementos no nulos independente. Em particular, num espao euclidiano de dimenso finita com dim V= n, todo o conjUnto ortogonal formado por n elementos no nulos define uma base de V.Demonstrao. Seja S um conjunto ortogonal de elementos no nulos de V, e suponhamos .que certa combinao linear finita de elementos de S igual a zero, qu~r dizer k:2cixi=O, i=londe cada xiES: Multiplicando escalarmente ambos os membros por x, e tendo presente que (x,, x;) =O se i =F I, encontramos que c,(x 1 , x 1 ) =O. Mas (x 1 , x,-) *O visto que X 1 *O, donde resulta c 1 =O. Repetindo o raciocnio com x 1 substituido por x_;. enContramos cada c1 = O, o que prova que S independente. Se dim V= n e se S formado por n elementos, o teorema 1.7(b) mostra que S uma base de V. EXEMPLO. No espao linear real C(O, 2") com o produto interno (f, g) = (i."f(x)g(x) dx, seja S o conjunto de funes trigonomtricas (u 0 , u 1 , ) definido da seguinte maneirau0 (x) = I,Se rnpara n = 1,2, ....u 2 n_ 1 (x) = cos nx,* n, temos as relaes de .ortogonalidade "'" J, u,(x)um(x) dx =O,e portanto S um conjunto ortogonal. Visto que nenhum elemento de S o elemento zero, S independente. A norma de cada elemento de S calcula-se facilmente. Temos (u0 , u 0 ) = f~ n dx = 2n e, para n ~ I, temos (uz.11 _ 1 ,U 271 _ 1 )=f.,,0~os2nx dx=7T,. . f." sen(u 211 , u 211 ) =02nx dx=7T.Por conseguinte, 11 u,l = ..(hr e 11 u,ll = .,;;; para n f; I. Dividindo cada u, pela respectiva norma, obtemos um conjunto ortonormado {~ 0 , rp,, ~, ... } com 1{1, = u,~lu,,ll. Ento resulta 40. Clculo22 .

O, ou (x, x) < O.*ISugesto: Supor (x, x) >O para certo x =F O e (y, y) (t)dt).13. V formado por todas as sucesses infinitas {x nl de nmeros reais para as quais as sries x~ convergem. Se x = {xnl e y = tyn} so dois elementos de V, define-se!ro(x,y)= IxnYn R=l(a) Provar que esta srie converge absolutamente:!Sugesto. Utilizar a desigualdade de Cauchy-Schwarz para estimar a somaI!' 1 lx,.y,.l.l. ... 43. Espaos .lineares25(b) Provar que V um espao linear com (x, y) como produto interno.(c)Calcular(x,y)sex.~ I/ney.~1/(n+ l)paran;,l.(d) Calcular (x, y) se X 11 = 211 e Yn = 1/n! para n ~ I. 4. Seja V o conjunto de todas as funes reais f contnuas em [0, +co) e tais que o integral -~"'eJ'(t)dt converge. Definir if, g) ~ J,"'ef(t)g(t)dt. (a) Provar que o integral para (f, g) converge absolutamente para cada par de funes f e g em V. !Sugesto: dtl.Utilizar a desigualdade de Cauchy-Schwarz para estimar o integral ~e-1/(t)g(t)l(b) Provar que V um espao linear com ({. g) como produto interno. (c) Calcular (f, g) se/(1) ~ e- e g(l) ~ t", com n ~O, I, 2, . 15. Num espao euclidiano complexo, provar que o produto interno tem as seguintes propriedades para todos os elementos x, vez e todos os complexos a c h. (a) (ax, by) ~ ab(x, y) (b) (x. ay + bz) ~ (x, y) + b(x, z) . 16. Provar que as identidades seguintes so vlidas em todo o espao euclidiano.(a) llx + yll' ~ llxll' + llyll' + (x,y) + (y, x). (b) llx + yll 2 - llx- yll' ~ 2(x,y) + 2(y,x)_ (c) llx + yll'+ llx- yll' ~ 2 llxll 2 + 2 llyll'17. Provar que o espao de todas as funes complexas contnuas num intervalo la, bl se transforma num espao unitrio se definirmos um produto interno pela frmula([,g) ~J:w(t)f(t)g(t) dt,com w uma funo positiva dada, contnua em a, h].1.14 Construo de conjuntos ortogonais. O mtodo de Gram-Schmidt Todo o espao linear de dimenso finita possui uma base finita. Se o espao euclidiano, podemos sempre construir uma base ortogonal. Este resultado ser deduzido como uma consecuncia de um teorema geral, cuja demonstrao ensina a construir conjuntos ortogonais. em qualquer espao euclidiano, com dimenso finita ou infinita. A proceso de construo chama-se o mtodo de ortogonalizao de Gram-Schmidt, em honra de J. p_ Gram ( 1850-1916) e E. Schmidt ( 1845-1921 )_ TEOREMA l.IJ TEOREMA DE ORTOGONALIZAO. Seja x 1 X 2 , .. uma sucesso fiiita ou infinita de elementos de um espao euclidiano V. e seja L(x 1 , x 2 ) o subespao ge.rado pelos primeiros k daqueles elementos. Existe uma sucesso correspondente de elementos Yi. y 2 , de V, a qual goza das .eguintes propriedades para todo o inteiro k: (a) O elemento Yk ortogonal a todo o elemento do subespaO L(y 1 , y 2 , Yk-~). (b) O subespao gerado por y 1 Yt. o mesmo que o gerado por x 1 x 2 . x/.:: L(y,,. __ ,y.) = L(x,, __ ., x,). (c) A suces5o _)'1 y 2 , nica. a menos defactores e."icalares. isto . sey;.y; .... outra sucesso de elementos de V satisfazendo s propriedades (a) e (b), ento para cada k existe um escalar ck tal que Yi = CJ..:Yk 44. Clculo26Demonstrao. Construamos os elementos y,, y 2 , : , por induo. Para iniciar o Processo, fazemos y 1 = x 1 Suponhamos agor que construmos Y~> . _., y, de maneira que (a) e (b) sejam satisfeitas quando k ~r. Definamos y,+, pela igualdade (1.14)Yr+l =. Xr+l -' .L aiyi .i=lcom os escalares a 1, dado por,a, a determinar. Paraj::; r, o produto internodey,+ comyi' (yH 1 ,y;) = (x,+,,y;)- l;a;(y,,y 1) = (x,+ 1 ,y 1) - a;(y,,y;), i=lvisto que {y;, Yj)~Ose i* j. Se Yj* O, podemos fazer y,+, ortogonal a Yj tomando(1.15)Se Yj = O, entO Yr+ 1 ortogonal a y1 para qualquer escolha de a1, e neste caso escolhemos a1 =O. Assim, o elemento Yr+ 1 fica bem definido e ortogonal a cada um dos elementos precedentes y,, ... , y,., portanto ortogon'.l a todo o elemento do subespaoL(y,, ... , y,) . Isto prova (a) quando k ~ r+ I. Para demonstrar (b) quando k~ r+ I, devemos provar que L(y,, ... ,yn,)~ L(x,, ... , x,+,), dado que L(y,, ... , y,) ~ L(x,, ... , x,). Os r primeiros elementos y, ... , y, esto em L(x,, ... , x,)e por isso esto no subespao mais amplo L(x,, ... , x,+ 1). O novo elemento Yr+t dado por (1.14) a diferena de dois elementos de L(x,, x,, ... , x,+ ,), pelo que tambm est em L(x 1 , x,+ 1). Isto prova queA equao (1.14) mostra que xr. Os elementos T(ek+ 1 ), , T(ek-1-n) so dependentes uma vez que n >r. Utilizar esta concluso para obter lima tal contradio.!N(n e e 1 ,2.5. Operaes algbricas relativas a transformaes lineares Funes cujos valores pertencem ao espao linear W podem somar-se entre-siou ITJ.Itiplicarem-se por escalares em W de acordo com a seguinte definio. DEFINIO. Sejam fi: V 4 W e T: V 4 W duas fun+es com um domnio comum V e cujo_s valores esto num espao linear W. Se c qualquer escalar em W, definimos a soma S + Te o produto cT pelas igualdades(2.4)(S+ T)(x) =S(x)+ T(x),(cT)(x) = cT(x)para todo o x ae V. Interessa-nos particularmente o caso em que V tambm um espao linear com os mesmos escalares que W. Nesie caso designamos por !l'(V, W) o conjunto de todas as transformaes lineares de V em W. Se S e T so duas transformaes lineares de !l' (V, W), uma questo simples a verificao de que S + Te cTso tambm transformaes lineares de !l'(V, W). Mais do que isso, ainda, com as operaes acabadas de definir, o conjunto !l'(V, W) ele prprio um novo espao linear. A transformao zero serve de elemento zero deste espao e a transformao (- I )T a simtrica de T. uma questo imedita a verifi- 60. Clculo42cao de que os dez axiomas para uril espao linear so satisfeitos. Portanto, temos o seguinte. TEOREMA 2.4. O conjunto ..2'( V, W) de todas as transformaes lineares de V em W um espao linear com as operaes de adio e multiplicao por escalares definids em (2.4).A oper.ao algb~ica mais interessante que se efectua com as transformaes lineares a composio ou multiplicao de transformaes. Esta operao no faz qualquer uso da.estrutura algbrica de um espao linear e pode definir-se, com toda a generalidade, de modo seguinte:FIG. 16.1. Composio de duas transformaes. DEFINIO. Dados os conjuntos U, V e W. sejam T: U ~ V uma funo com domnio U e valores em V, e S: V-+ W outra funo com domnio V e valores em W. A composiO ST a funo ST: Ut~ W definida por(ST)(x) = S[T(x)]para todo o x em UAssim~ pafa aplicar x mediante a composico ST, aplicamos em primeiro lugar x por Te depois aplicamos T(x) por S. Isto est representado na figura 2.1.A composio de funes reais tem-se encOntrado repetidas vezes no nosso estudo e vimos que a operao no , em geral, comutativa. COntudo aqui, como no caso das funes reais, a composio satisfaz a propriedade associativa. TEOREMA 2.5. Se T: U ~ V. S: V~ W. e R: W ~X so trs funes, tem-seR(ST) = (RS)T. Demonstrao. Ambas as funes R(SD .e (RS)T tm domnio U e valores em X: Para cada x de U, temos 61. Transformaes lineares e "matrizes[R(ST)](x)43= R((ST)(x)] = R(S[T(x)]]o que prova que R(ST)~e[(RS)Jl(x)=(RS)[T(x)]=R[S[T(x)]],(RS)T.DEFINIO. Seja T: V~ V uma funo que aplica V em si prprio. Definem-se as potincias inteiras de T por induo do modo seguinte:yn = rrn-1T" =I,para n:2: 1 .Aqui I representa a transformao identidade. O leitor poder verificar que a propriedade .associativa implic a regra TmTn = Tm+n, quaisquer que sejam os inteiros no negativos m e n. O teorema que se enuncia a seguir mostra que a composio de transformaes lineares ainda linear. TEOREMA 2.6. Se U, V. W so espaos lineares com Os mesmos escalares e se T: U- V e S: V~ W so tran:iformaes linedres, ento a composio ST: V - W linear.Demonstrao. Para quaisquer x e y de U e quaisquer escalares a e b, temos (ST)(ax+ by) =S[T(ax+ by)] =S[aT(x)+ bT(y)] =aST(x)+ bST(y).A composio pode combinar-se com as operaes algbricas de adio e mu.Jtiplicao por escalares em 2( V, W) para dar origem ao seguinte::v.TEOREMA 2.7. Sejam V e W espaos lineares com os mesmos escalares, suponhase que Se T pertencem a .!f( V, W) e seja c um escalar qualquer. (a) Para qualquer funo R com I'Q/ores em V, tem-se(S+ T)R =SR+ TR(b) Para qualquer transformao. linear R: R(S + T) = RS+ RTew__, U. e(cS)R = c(SR).tem-se R(cS) ~ c(RS).A demonstrao uma aplicao imediata da defin-io de composio e deixada ao leitor como exerccio.2.6. Inversas~-fl'No nosso estudo das funes de uma varivel real aprendemos a construir novas funes por inverso das funes montonas. Pretendemos agora generalizar n processo de inverso a uma classe mais geral de funes. 62. Clculo44Dada uma funo T, _ nosso objectivo encontrar,- se possvel, outra funo S cuja composio com T seja a transformao idntica. Visto a composio no ser, em geral, comutativa, temos que distinguir TS de ST. Para tal introduzimos duas espcies de funes inversas que chamamos inversa esquerda e inversa direita. DEFINIO. Dados dois cm~jumos V e W e uma jimo T: V---+ W. di:-se que uma funo S: T (V)- V a inversa esquerda de T se S I T(x)l ~ x para todo o x em V, isto , seonde I v a transformao idem idade em V Uma funo R: T( V) ...... V di::-se inversa direi_ta de T se TIR (y)l ~ y para todo o r em T( V), isto , seTR=[T-, k=lt(x)~c,.x'+ 1 k=O(a) Seja p(x) = 2 + 3x - x 2 + x 3 e determinar a imagem de p sob cada: uma das seguintes transformaes: R, S, T, ST, TS, (TS)', T'S', S'T', TRS, RST. (b) Provar que R~ Se Tso lineares e determinar o espao nulo e o contradomnio de cada uma. (c) Provar que T biunvoca em V e determinar a sua inversa. (d) Se n ~ I. exprimir (TS)" e SirTn em funo de 1 e R. 32. Considerar o Exerccio 28 da Seco 2.4. Determinar se T biunvoca em V. Caso afirmativo, dizer qual a sua inversa. 68. 50'Clculo2.9. Transformaes lineares com valores determinadosSe V tem dimenso fin.ta, podemos sempre construir uma transformao linear V~ W com valores determinados para os elementos duma base de V, como se explica no seguinte: T:TEOREMA 2.12. Se e 1 , , en constitui uma base de um espao linear n-dimensiona/ V e ui' .... un so n elementos arbitrrios de um espao linear W, ento existe uma e uma s transformao linear T: V ..... W tal queT(e,) = u(2.7)para k = I, 2, ... , n.Esta transformao T aplica um elemento arbitrrio x de V do modo seguinte:(2.8)nSe x = !x.eento T(x) = !x.u . iO=lk=lDemonstrao. Cada x de V pode exprimir-se de uma nica maneira como combinao linear de e,, ... , en sendo os coeficientes x 1, Xn as componentes de x na base ordenada {e,, ... , en> Se definimos Tpor (2.8), uma questo imediata a verificao de que T linear. Se x = ek para certo k, ento todas as componentes de x so O, excepto a de ordem k, que I, pelo que (2.8) d T(e.) ~ como se pretendia provar. Para demonstrar que existe unicamente uma transformao linear satisfazendo (2.7), designamos por T' outra transformao e calculamos T'(x). Encontramosu.,Visto que T'(x) trao.~T(x) para todo o x em V, temos T' = T, o que completa a demons-EXEMPLO. Deter111inar a transformao linear T: V2 -+ V2 que aplica os elementos base i= (I, O) e j = (0, I) do modo seguinte:T(i)=i+j,Resoluo. Se x = x 1iT(x) = x 1 T(i)T(j) = 2i- j.+ x,j um elemento arbitrrio de+ x,T(j) =x,(i+ j) + x2(2i- j) =(x1V,, ento T(x) dada por+ 2x,)i + (x1 -x 2)j. 69. J ~;.yTransformaes lineares e matrizes,512.10. Representao matricial das transformaes lineares O teorema 2.12 mostra que uma transformao linear T: V- W de um espao linear de dimenso finita V fica completamente determinada pela sua aco sobre um dado conjunto de elementos de uma base e 1 e h . , en de V. Suponhamos agora que o espao W tem tambm dimenso finita, por exemplo dim W = m e seja w1, , wn uma base de W. (As dimenses ni e n podem no ser iguais.) Visto T ter valores em W, cada elemento T(ek) pode representar-se de maneira nica, como uma combinao linear dos elementos de base w1, w2 , , ~m. a saber mT(e.)=I r,.w,, i=londe t 1 k, ... , tmk so as componentes de T(ek) na base ordenada (w,, w2 , Disporemos verticalmente o m-sistema (t, b ... , t miJ do modo seguinte: ,wm).(2.9)Esta disposi chama-se um vector coluna ou uma matriz coluna. Teremos um tal vector coluna para cada um dos n elementos T(e,), ... , T(e.). Colocamo-los lado a lado, encerrando-os por um par de parntesis rectos de modo a obter-se a seguinte disposio rectangular.Este arranjo diz-se uma mfltriz formada por m linhas e n colunas. Chamamo-la uma matriz m por n ou uma matriz m X n. A primeira linha uma matriz 1 X n (t,,. t 12 , ... , r,.). A matriz m X I destacada em (2.9) a coluna de ordem k. Os escalares t;k esto afectados de dois ndices, indicando o primeiro (o ndice i) a linha, e o segundo (o ndice k) a coluna em que se situa t;k Chamamos a l;k o elemento ik da matriz. Tambm se utiliza por vezes uma notao mais compacta ou 70. 52Clculopara presentar a matriz cujo elemento ik t 1k. Assim, cada transformao linear T de um espao n dimensional V sobre um esk), pao m dimensional W d iugar a uma matriz m X n, (t1 cujas colunas so as componentes de T(e,), ... , T(en) relativamente base (w,, ... , wml A matriz considerada define a representao matricial de T relativamente escolha de bases ordenadas k), (e,, ... , en) para V e (w, ... , wm) para W. Uma vez conhecida a matriz (t 1 as componentes de qualquer elemento T(x) relativamente base (w,, ... ,~ wm) pode determinar-se como se indica a seguir. TEOREMA 2.13. Seja T uma transformao /ine~r em .2'(V. W). onde dim V= n e dim W = m e sejam (e,, ... , enJ e (w, ... , wm) bases ordenadas de V e W, respectiva-mente, e seja (t 1k) uma matriz m X n cujos elementos so definidos pelas equaes m(2.10)T(e,)=I t ,w i=l 1para k =I, 2, ... , n.1,Ento um elemento arbitrrio(2.11) -de Ji com componeTites (x 1 , elemento -,Xn) relativamente a (e,, ... , en) ~aplicado por T numm(2.12)T(x)=I y w 11i=1de W com componentes '" ... , Ym) relativamente a (w,, ... , wm) Os Y; esto relacionados com as componentes de .x mediante as equa~s /lneares n(2.13)Yi= Ltitxk-jiaiil i= 1, 2, ... , m.Demonstrao. Aplicando T a cada membro de (2.11) e considerando (2.10), obtemosonde cada y 1 dado por (2.13), o que completa ademonstrao~Tendo escolhido um par de bases (e, ... , eJ e (w,, ... , w..,) para V e W, respectivamente, toda a trarisformao _linear T: V__,. W admhe numa representao matricial (t 1kl Inversamente, se dispomos mn escalares conforme os elementos da matriz (t 1k) e 71. ,,, f) '!!f,rransformaes lineares e matrizes53;~'::'escolhemos um par de bases ordenadas para V e W, ento fcil provar que existe precisamente uma transformao linear T: V-+ W tendo aquela representao matricial.Definimos muito simplesmente T com os elementos base de V por intermdio de (2.10). Ento, pelo teorema 2.12, existe uma e uma s transformao linear T: V- W com aqueles valores previamente determinados. A imagem T(x) de um ponto arbitrrio x de V ento dada pelas eqaes (2.12) e (2.13). EXEMPLO I. Construo de uma dada transformao linear a partir de uma matriz .dada. Suponhamos que partimos com a matriz 2 X 3 de elementosEscolhamos as bases usuais de vectores unitrios coordenados para V3 e V2 Ento, a matriz dada representa uma transformao linear T: V3 - V2 a qual aplica um v~ctor arbitrrio (x,, x,, x,) de V, no vector (y,, y,) de V, segundo as equaes linearesy,= x,+Ox2 +4x3 EXEMPLO 2. Construo da representao matricial de uma transformao linear dada. Seja V o espao linear de todos os polinmios reais p(x) de grau ,; 3. Este espao tem dimenso 4, e escolhamos a base (1, x, x', x'). Seja Do operador derivao que aplica cada polinmios p(x) em V na sua derivada p"(x). Podemos considerar D como uma transformao linear de V em W, onde W o espao tridimensional de todos os poli-nmios reais de grau ::; 2. Em W escolhemos a base (l, x, x 2 ). Para determinar arepresentao matricial de D, relativamente a esta escolha de bases, transformamos(derivamos) cada elemento da base de V e exprimimo-lo como uma combinao linear dos elementos da base de W. Assim, encontramos D(l) =O= O+ Ox + Ox', D(x')= 2x = O + 2x + Ox',D(x).= l =I+ Ox + Ox', D(x')=3x'= O + Ox + 3x'.Os coeficientes destes polinmios determinam as colunas da representao matricial de D. Deste modo. a representao pedida vem dada pela matriz 3 X 4: 72. C/cu/54Para evidenciar o facto de que a representao matricial depende no s dos elementos das bases mas tambm da respectiva ordem, invertamos a ordem dos elementos da base de W e utilizemos, em seu lugar, a base ordenada (x', x, 1). Ento os elementos da base de V so transformados nos mesmos polinmios obtidos atrs, mas as componentes destes polinmios relativamente nova base (x', x, I) aparecem por ordem inversa. Portanto, a representao matricial de D vem agora[~ ~ ~ ~lCalculemos uma terceira representao matricial para D, usando a base (I, I + x, I + x + x', I + x + x' + x') para V, e a base {I, x, x') para W. Os elementos da base de V transformam-se do modo seguinte: D(l) =O,D{l D(l+ x) =I,D(l+ x + x' + x') = I f+ x + x') = 2xI+ 2x,+ 3x',pelo que a representao matricial vem, neste caso,2.11. Construo de uma representao matricial na forma diagonal Uma vez que possvel obter diferentes representaes matriciais de uma dada transformao linear por diferentes escolhas de bases, mitural tentar a escolha de bases de maneira que a matriz resultante tenha uma forma particularmente simples. O teorema que enunciaremos a seguir mostr que podemos fazer com que todos os elementos da matriz sejam nulos, excepto possivelmente ao longo da diagonal par-fileira de elementos I seguidos de zeros, sendo o nmero de I igual ordem da transforma-o. Uma matriz (t;t) com todos os elementos l;k =O quando i i= k chama-se- tindo do canto superior esquerdo da matriz. Esta diagonal ser formada por umamatriz diagonal.TEOREMA 2.14. Sejam V e W espaos lineares de dimenso finita. com dim V~ n e dim W ~ m. Admita-se que TE .!l'( V, W) e represente r~ dim T( V) a ordem de T. Existem ento uma base para V (e,, ... , en), e uma base (w,, ... , wn) para W tais que(2.14)T(et)=wipai-ai= 1, 2, ... , r, 73. "' _,_ Transformaes lineares e matrizes> ,r55e (2.15)T(e,) = Oparai= r+ I, ... , n.Por conseguinte. a matriz (t;d de T relativa a estas bases tem todos os elementos zero, excepto para os r elementos da diagonal ln=f22= '=lrr =1Demonstrao: Construmos, em primeiro lugar, uma base para W. Porque T( V) um subespao de W com dim T( V)= r, o espao T( V) tem uma base de r elementos em W, sejam w,, w1 , wr. Pelo teorema 1.7, estes elementos formam um subconjunto de uma certa base de W. Deste modo podemos juntar os elementos wr+to ... , wmde modo que (2.16)seja uma base de W. Seguidamente construmos uma base para V. Cada um dos primeiros r elementos w, em (2.16) a. imagem de pelo menos um elemento de V. Escolhamos um tal elemento de V c designemo-lo por e,. Ento T(e,) = para i= I, 2, ... , r pelo que (2.14) satisfeita. Seja agora k a dimenso do espao nulo N(D. Pelo teorema 2.3 temos n = k + r. Visto ser dim N( D = k, o espao N( D admite uma base formada por k eleme r .vs de V, que designamos por er+ ... , er+k. Para cada um destes elementos, a equao (16.15) satisfeita. Portanto, para completar a demonstrao, devemos provar que o conjunto ordenadow,(2.17) uma base para V. Porque dim V= n = r+ k, necessitamos unicamente mostrar _que estes elementos so independentes. Suponhamos que certa combinao linear deles seja zero, por exemplo 1'+k(2.18)Ic,e,=O. i=lAplicando Te usando as equaes (2.14) e (2.15) encontramos r+krIc,T(e,) = Ic,w, =O. i=li=lMas w 1 , : , wr sO independentes e p.or isso c 1 = ... =C r= O. Daqui resulta que os 1 primeiros termos em (2.18) so zero, pelo que (2.18) se reduz a 74. Clculo56Mas e,+u ... , e,+k so-independentes visto tormarenl uma base para N(D. e por isso = ... = c,+k = 0 .. Porque todos os c; em (2.18) so nulos, os elementos de (2.17) formam uma base para V, e o teorema est demonstrado.c,+oEXEMPLO. Consideremos o Exemplo 2 da Seco 2.10, onde D o operador derivao que aplica o espao V dos polinmios de grau 5 3 no espao W dos polinmios de grau 5 2. Neste exemplo, o contradomnio T( V)= W, pelo que T tem ordem 3. Aplicando o mtodo usado para demonstrar o teorema 2.14 definimos uma base qualquer para W, por exemplo a base (I, x, x'). Um conjunto de polinmios de V que se aplica nestes elementos (x, x 2 , tx 3 ). Ampliase este conjunto para obtermos uma base para V juntando-lhe o polinmio constante I, o qual uma base para o espao nulo-de D. Deste modo, se utilizamos a base (x, !x', tx', I) para V e a base (I, x, x') para W, a correspondente representao matricial para D tem a forma diagonal2.12. Exerccios Em todos os exerccios .em que intervenha o espao vectorial Vn, considera-se a base usual formada pelos vectores coordenados unitrios, a menos que se diga expressamente o contrrio. Nos exerccios relativos matriz de uma transformao linear T: V-+ W com V= W, toma-se a mesma base quer em V quer em W, a menos que seja indicada outra escolha. I. Determinar a matriz de cada uma das seguintes transformaes lineares de Vn em V,.: (a) a transformao identidade. (b) a transformao zero. (c) multiplicao por unl escalar dado c. 2. Determinar a matriz de cada uma das seguintes projeces. (a) T: vl- vl. onde T(xu Xz xl) = (x Xz). (b) T: V,- V,, onde T(x,. x,. x,) ~ (x,, x,). (c) T: V5 ..... V1 , onde T(x 1, l"2 x 3 X 4 , X 5 ) = (x1 , x 3 , x 4 ). 3. Uma transformao linear T: V2 ..... V2 aplica os vectores da base i e j da maneira seguinte: T(i)(a) Calcular~i+j,TU)~2 - j .T(3i - 4j) e P(3i- 4j) em funco de i e j. (b) Determinar as matrizes de Te P. (c) Resolver a alnea (b) se a base (i.j) substituida por (e 1, e 2). onde e 1 =i- j. e 2 = Ji + j. 4. Uma transformao linear T: V2 ..... V2 define-se do modo seguinte: Cada vector (x; y) transforma-se no seu simtrico relativamente ao eixo OY.e depois duplica-se o seu comprimento para se obter T(x, y). Determinar a matriz de Te de P. 5. Seja T: V1 ..... V3 uma transformao linear tal que 75. ':J; Transformaes lineares e matrizes T(k)6.7.8.9. 10.~2i+ 3j + 5k,57 T(j+k)~i,T(i+ j + k)~j-k.(a) Calcular T(i + 2j + 3k) e determinar a nulidade e ordem de T. (b) Determinar a matriz de T. Para a transformao linear do Exerccio 5, escolhamse ambas as bases definidas por (e~> e2 , e 3 ), onde e 1 = (2, 3, 5), e 2 = (1, O, 0), e 3 = (0, I, -I); determinar a matriz de Trelativa s novas bases. Uma transformao linear T: V1 ..... V2 aplica os vectores da base da maneira seguinte: T(i)~(O,O), T(j)~(l, 1), T(k)~(l, -I). (a) Calcular T(4i-j + k) e determinar a nulidade e a ordem de T. (b) Determinar a matriz de T. (c) Usar a base (i,j, k) de v3 e a base {wu Wz) de v2 com wl = (1, I), Wz = (1, 2). Determinar a matriz de T relativa a estas bases. (d) Determinar bases (e 1, e 2 , e3 ) de V1 e (w1 , w2) de V2 , relativamente s quais a matriz de T . .tenha a forma diagonal. Uma transformao linear T: V2 __,. V3 aplica os vectores da base do modo seguinte: T(i) = (1,0, 1), T(j)~(-1,0, 1). (a) Calcular T(2i- 3j) e determinar a nulidade (dimenso do ncleo) e a ordem T (b) Determinar a matriz de T. (c) Achar bases (e 1, e 2 ) para V2 e (w1 , W 2 , w3) para V3 para as quais a matriz de Ttem a forma diagonal. Resolver o Exerccio 8 se T(i) ~(I, O, I) e T(j) ~(I. I, 1). Sejam V e W espaos lineares, cada um com dimenso 2 e ambos com a base (eu e2 ). Seja T. V___,. W uma transformao linear tal que(a) CalcularT(e2 - e 1) e determinar a nulidade e a orderr. de T. (b) Determinar a matriz de T relativa a uma base dada. (c) Utilizar a base (e 1 , e 2) para V e determiriar uma nova base da forma(e 1 para W, relativamente qual a matriz de T ter a forma diagonal.+ ae2, 2e 1 + be2)No espao linear de todas as funes reais, cada um dos conjuntos seguintes independente e gera um subespao V de dimenso finita. Utilizar o conjunto dado como base para V e seja D: V___,. V o operador derivao. Em cada caso determinar a matriz de D e de D 1 , relativa base que se indica. 11. (sen t", cos x). 12. (l,x,e").13. (I, I+ x,14. (e", xe").I+x+e").15. (-cosx,senx). 16. (senx,cosx,xsel).x,xcosx). 17. (ersenx,excosx). 18. (ezx sen 3x, ezx cos 3x).19. Escolher a base (I, x, xl, x 3 ) no espao linear V de todos os polinmio(reais de grau:::= 3. Representando D o operador derivao, seja T: V___,. V a transfoqnao linear que aplica . p(x) em xp'(x). Relativamente base dada, determinar a matriz dcada uma das seguintes transformaes: (a) T; (b) DT; (c) TD; (d) TD- DT; (e) T'; (!) .T'D'- D'T'. 20. Considerar o Exerccio 19. Seja W a imagem de V pela transf9rmao TD. Determinar bases para V e para W relativamente s quais a matriz de TD tem. forma diagonal. 76. Clculo58 2.13. Espaos lineares de matrizesVimos corria as matrizes se apresentam de Uma maneira natural, como representaes de transformaes lineares. Mas as matrizes podem tambm considerar-se como existentes por direito prprio, sem neceSsariamente estarem ligados s transformaes lineares. Consideradas como tal. formam outra classe de objectos matemticos relativamente aos quais podem definir-se operaes algbricas. A ligao com as transformaes lineares serve como motivao para estas definies, mas esta ligao ser ignorada por agora. Sejam m e n dois inteiros positivos e Im, no conjunto de todos os pares de inteiros (i, J) tal que I ,; i,; m, I ,; j,; n. Qualquer funo A cujo domnio Im.n chama-se uma matriz m X n. O valor da funo A(i,J) chama-se o elemento ij da matriz e representa-se por a,j. Habitualmente dispem-se todos os valores da funo num rectngulo por intermdio de m linhas e n colunas, como se indicaOs elementos aij podem ser objectos arbitrrios de riatureza qualQuer. Usualmente sero nmeros reais ou complexos, mas por vezes conveniente considerar matrizes cujos elementos so de outra natureza, por exemplo funes. Tambm pOdemos representar as matrizes na notao mais compactaouA= (aii).Se m = n, a matriz diz-se quadrada. Uma matriz l X n diz-se uma matriz linha e uma matriz m X l diz-se uma matriz coluna. Duas funes so iguais se e s se tiverem o mesmo domnio e tomarem os mesmos valores em cada elemento do domnio. Visto que as matrizes so funes, duas matrizes A= (a;j) e B = (bi} so iguais se e s se tiverem o mesmo nmero de linhas e de colunas, e forem iguais os elementos aij= bupara todo o par {i,J). Supondo agora que os elementos da matriz so nnieros (reais ou complexos), vamos definir a adio de matrizes e a multiplicao por escalares pelo mesmo mtodo usado para funes reais ou complexas quaisquer. DEFINIO. Se A= (aij) e B = (bij) so duas matrizes m quer, definem-se as matrizes A +- B e cA do f!lOdo seguinte:A+B =(a;;+ b;;),x n e se c um escalar qual-cA = (ca;;). 77. Transformaes lineares e matrizes59A soma define-se unicamente quando A e B so do mesmo tipo m linhas e mesmo nmero de colunas). EXEMPLO. Se.A=[IX. [5eoI-2B=-In (mesmo nmero detemos pois 2 6 A+ B = [ O -24-6]. o22A = [-28' [-5(-I)B =.-1o 2-I]o-3Definimos a matriz nula O, como sendo a matriz m X n na qual todos os elementos so O. Com estas definies um exerccio simples verificar que o conjunto de todas as matrizes m X n define um espao linear. RepresentamOs este espao linear por M m, ,. Se os elem,entos so nmeros reais, o espao Mm.n um espao linear real. Se os elementos-so complexos, Mm,n um espao linear_ complexo. igualmente fcil provar que este espao tem dimenso mn. Com efeito, uma base para Mm,n consiste de mn matrizes, tendo cada uma delas um elemento igual a I e todos os outros iguais a O. Por exemplo, as seis matrizes I [ooo], [o o]. o o o 1o o1], [o o o].o o [o o oI O Oformam uma base para o conjunto de todas as matrizes 2 X 3.2.14. Isomorfismo entre transformaes lineares de matrizes Voltamos agora relao entre matrizes e transformaes lineares~ Sejam V e W espaos lineares de dimenso finita, com dim V= n e dim W = m. Escolhamos uma base (e,, ... , e.) para V e uma base (w,, ... , w.) para W. Nesta discusso estas bases consideram-se fixas. Seja 2'( V, W) o espao linear de todos as transformaes lineares de V em W. Se TE .P(V, W), seja m(7) a matriz de T relativamente s bases dadas. Lembramos que m(1) se define como segue: A imagem de cada elemento base ek exprime-se como uma combinao linear dos elementos da base de W: m(2.19)T(e,)=L t;,w;parak = I, 2, o o., n.i=lOs coeficientes escalares (2.20)tikso os elementos ik de m(n. Assim temos m(T) =(1;,);:';~ 1 78. Clculo60A equao (2.20) define uma nova funo m cujo domnio !f'( V, W) e cuyos valores so matrizes de M m n Uma vez que .cada matriz m X n a matriz m(D para algum Tem !f'( V, W), o cont~adomno de m M m. n O teorema que apresentamos a seguir mostra que a transformao m: !f' (V, W)~ Mm.n linear e biunvoca em !l'(V, W). TEOREMA 2.15. TEOREMA DO ISOMORFISMO. Para todo S e todo Tem !f' (V, W) etodo escalar c. tem-se m(S+D=m(S)+ m(Dem(cD= cm(D.Alm disso. m(S) = m(DimplicaS= T,pelo que m biunvoca em !f'( V, W). Demonstrao. A matriz m(D formada pelos coeficientes t;k de (2.19). Analogamente. a matriz m(S) formada pelos coeficientes s;k nas equaes mS(e,)(2.21)=Ii=ls,.w,parak=1, 2, ... , n.Uma vez que se tem mm(S+ T)(e,) =I (s,. + t,.)w, i=le( cT)(e) =I (ct..)w,, i=lnobtemos m(S + = (s,.+ t"J = m(S) + m(D e m(cD = (ct,,) = cm(D. o que provoca quem linear. Para provar que m biunvoca, suponhamos que m(S) = m( D. onde S = (s;k) e T =(r,,). As equaes (2.19) e (2.21) mostram que S(e,) ~ T(e,) para cada elemento da base e,, pelo que S(x) = T(x) para todo x de V, e por conseguinteS= T. Nota: A funo m chama-se um isomorfismo. Para uma dada escolha das bases. m estabelece uma correspondncia biunvoca entre o conjunto de transformaes lineares, 2(V. W) e o conjunto M m,n de matrizes m X n. As operaes de adio e multiplicao por escalares conservam-se atravs desta correspondncia. Os espaos lineares !P( V, W) eM m.n di cem-se isomorfos. Incidentemente, o teor.ema 2.11 mos-. tra .que o domnio de uma transformao linear biunvoca tem a mesma dimenso que o respectivo contradomnio. Portanto, dirn 2(V, W) = dim M ....~ = mn.Se V= W e se escolhermos a mesma base em V e W, ento a matriz m(/) que corres_ponde transformao identidade /: V- V umq matriz diagonal n X n, con cada elemento da diagon:il igual unidade e todos o.s restantes iguais a O. Esta a matriz identidade ou matriz unidad2 c representa-se por I ou por !n- 79. Transformaes lineares e matrizes612.15. Multiplicao de matrizes Algumas transformaes lineares podem multiplicar-se por meio da composio. Vamos passar a definir multiplicao de matrizes de tal maneira que o produto de duas matrizes corr