Upload
swaditya-
View
1.414
Download
75
Embed Size (px)
Citation preview
© 2015
Swaditya Rizki, M.Sc.
ii
BAHAN AJAR
PERSAMAAN & FUNGSI KUADRAT
Pendidikan Matematika FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH METRO
© 2015
Swaditya Rizki, M.Sc.
iii
DAFTAR ISI
Persamaan Kuadrat ............................................................................ 1
1. Akar Persamaan Kuadrat ........................................................................... 1
Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Dengan Pemfaktoran ....................... 2
Bentuk Umum Rumus Persamaan Kuadrat ............................................ 5
Melengkapi Kuadrat Sempurna ............................................................ 7
2. Sifat-sifat Akar Persamaan Kuadrat ............................................................ 8
3. Akar Persekutuan ................................................................................... 10
4. Aplikasi Persamaan Kuadrat .................................................................... 12
Fungsi Kuadrat ................................................................................ 20
1. Fungsi kuadrat ....................................................................................... 20
a. Pembuat nilai nol ............................................................................ 21
b. Nilai Ekstrim ................................................................................. 22
2. Grafik Fungsi Kuadrat ............................................................................. 27
3. Aplikasi Fungsi Kuadrat .......................................................................... 29
DAFTAR PUSTAKA …………………………………………………………………… 36
© 2015
Swaditya Rizki, M.Sc.
1
BAB I
Persamaan Kuadrat
1. Akar Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang variabelnya mempunyai
pangkat tertinggi sama dengan dua.
Bentuk umum persamaan kuadrat adalah:
0;02 acbxax
a, b, dan c elemen bilangan riil yang disebut konstanta, x disebut variabel
(peubah). Sebagai contoh, berikut akan disajikan beberapa persamaan
kuadrat yang akan diubah ke dalam bentuk standar.
1. 6)1( xx
2. 43
xx
3. 155252 xx
4. 32 xx
5. 6272 xxx
Penyelesaian:
a. Hilangkan tanda ( )
06
6
2
2
xx
xx
b. Kalikan semua ruas dengan x:
034
43
2
2
xx
xx
c. Pindahkan ruas kanan ke ruas kiri
01052 xx
© 2015
Swaditya Rizki, M.Sc.
2
d. Hilangkan tanda akar dengan cara mengkuadratkan kedua ruas
034
3)2(
2
2
xx
xx
e. Satukan variable sejenis
065
0627
2
2
xx
xxx
Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Dengan Pemfaktoran
Cara pemfaktoran merupakan cara penyelesaian persamaan kuadrat yang
paling mudah untuk konstanta yang kecil, dengan catatan persamaan
kuadratnya dapat difaktorkan. Berikut bentuk umumnya:
(x + a)(x + b) = 0
x.x + ax + bx + ab = 0
x 2 + (a+b)x + ab = 0
Ada persamaan kuadrat yang dapat diselesaikan dengan cara pemfaktoran.
Berikut ini beberapa contoh persamaan kuadrat tersebut.
1. 5)4( xx
Penyelesaian: 542 xx
0542 xx
15
0105
0)1)(5(
xx
xataux
xx
2. 01032 xx
Penyelesaian:
52
0502
0)5)(2(
01032
xx
xataux
xx
xx
© 2015
Swaditya Rizki, M.Sc.
3
3. 012102 2 xx
Penyelesaian:
2
342
03042
0)3)(42(
012102 2
x
xx
xataux
xx
xx
4. 062 xx
Penyelesaian: ……………………………………………………………………………..…
………..………………………………………………………………………
……..…………………………………………………………………………
……………………………..…………………………………………………
5. 816
x
x
Penyelesaian: ……………………………………………………………………………..…
………..………………………………………………………………………
………………………………..………………………………………………
…………………………………………………………………………….….
6. 02092 xx
Penyelesaian: ……………………………………………………...…………………………
…..……………………………………………………………………………
…………………………..……………………………………………………
………………………………………………………………..………………
7. 092 x
Penyelesaian: ………………………………………………………..………………………
……..…………………………………………………………………………
……………………………..…………………………………………………
……………………………..…………………………………………………
8. 0213 2 aa
Penyelesaian: ………………………………………………………………………..………
………………………..……………………………………………….………
…………………………………………………..……………………………
………………………………………………………………..………………
© 2015
Swaditya Rizki, M.Sc.
4
9. 01252 2 mm
Penyelesaian: ………………………………………………………………………………..
…………………………..……………………………………………………
…………………………………………………..……………………………
………………………………………………………………………………..
10. 02184 2 xx
Penyelesaian: …………………………………………………………………………..……
…………………………..……………………………………………………
…………………………..……………………………………………………
……………………………..…………………………………………………
11. 155
2 xx
Penyelesaian: ……………………………………………………………………..…………
…………………..……………………………………………………………
…………………………………………..……………………………………
………………………………………………………..………………………
12. 329 2 x
Penyelesaian: ……………………………………………………………..…………………
…………………………..……………………………………………………
…………………………………………………..……………………………
………………………………………………………………..………………
13. 08215 2 xx
Penyelesaian: ……………………………………………………………..…………………
…………………………..……………………………………………………
…………………………………………………..……………………………
………………………………………………………………..………………
14. 031756 2 xx
Penyelesaian: ……………………………………………………………..…………………
…………………………..……………………………………………………
…………………………………………………..……………………………
15. 0169 2 x
Penyelesaian: ……………………………………………………………..…………………
…………………………..……………………………………………………
…………………………………………………..……………………………
© 2015
Swaditya Rizki, M.Sc.
5
Bentuk Umum Rumus Persamaan Kuadrat
Untuk mencari akar-akar persamaan dari bentuk umum persamaan kuadrat
diatas dapat diturunkan rumus sebagai berikut.
0
0;0
2
2
a
cx
a
bx
acbxax
Agar dapat dibentuk persamaan kuadrat sempurna maka harus diubah ke
dalam bentuk berikut:
222 ma
cmx
a
bx
Misalkan:
a
bm
xa
bmx
mxa
bxmmxxmx
2
2
2)( 22222
Sehingga
a
acbbx
a
acb
a
bx
a
acb
a
bx
a
acb
a
bx
a
c
a
b
a
bx
a
b
a
c
a
bx
a
bx
ma
cmx
a
bx
2
4
2
4
2
4
4
2
4
4
2
42
22
2
2,1
2
2
2
2
22
2
22
22
2
222
© 2015
Swaditya Rizki, M.Sc.
6
Dimana acb 42 disebut diskriminan (D) dari persamaan kuadrat
02 cbxax . Diskriminan ini dapat digunakan untuk menyelidiki akar-akar
pesamaan kuadrat yaitu:
1. Jika D > 0 maka terdapat dua akar real yang tidak sama 21 xx
2. Jika D = 0 maka akar-akarnya adalah akar kembar/sama dan real 21 xx
3. Jika D < 0 maka kedua akar tidak real atau imajiner.
Contoh 1:
Selesaikan persamaan kuadrat berikut ini:
0652 xx
Penyelesaian:
Dari persamaan di atas diketahui nilai a = 1, b = 5, dan c = 6.
32
15atau2
2
15Jadi
2
15
1.2
24255
1.2
6.1.455
2
4
21
2
2
2,1
xx
a
acbbx
Contoh 2:
Tentukan nilai p agar persamaan kuadrat 04)2(2 xpx mempunyai
akar-akar kembar.
Penyelesaian:
Agar suatu persamaan mempunyai akar kembar maka diskriminannya harus
sama dengan nol:
© 2015
Swaditya Rizki, M.Sc.
7
2atau6
0)2)(6(
0124
01644
04.1.4)]2([
04
21
2
2
2
2
pp
pp
pp
pp
p
acb
Melengkapi Kuadrat Sempurna
Jika suatu persamaan kuadrat dapat dinyatakan ke dalam bentuk
0dengan)( 2 qqpx , maka persamaan itu disebut kuadrat sempurna.
Apabila bentuk persamaan kuadrat belum merupakan bentuk kuadrat
sempurna, maka harus diubah dahulu ke dalam bentuk kuadrat sempurna.
Langkah-langkah penyelesaian dengan melengkapi kuadrat sempurna:
1. Ubah persamaan 02 cbxax ke dalam bentuk cbxax 2 .
2. Apabila 1a , maka bagilah kedua ruas dengan a sehingga
a
cx
a
bx 2
3. Lengkapi persamaan kuadrat dengan menambahkan 2
2
a
bpada
kedua ruas, sehingga 22
2
22
a
b
a
c
a
bx
a
bx
4. Tulislah ruas kiri dari persamaan awal sebagai kuadrat sempurna
sehingga bentuknya menjadi qpx 2)(
5. Gunakan sifat penarikan akar.
6. Selesaikan persamaan-persamaan linier yang diperoleh untuk mencari
akar-akarnya.
© 2015
Swaditya Rizki, M.Sc.
8
Contoh 3:
Selesaikanlah persamaan kuadrat berikut dengan melengkapi kuadrat
sempurna: 0542 xx .
Penyelesaian:
Untuk menyelesaikannya ikuti seperti langkah-langkah di atas:
1. Ubah persamaan 0542 xx ke dalam bentuk 542 xx .
2. Karena a=1 maka langkah 2 dilewati.
3. Cari nilai 2
2
a
b yaitu 4)2(
1.2
4
2
2
22
a
b
4. Sehingga diperoleh
944
4544
2
2
xx
xx
Selanjutnya ubah ke bentuk qpx 2)( dimana
9)2(
944
2
2
x
xx
5. 39)2( x (sifat penarikan akar)
6. Penyelesaian untuk mencari akar-akar
5
3)2(
x
x atau
1
3)2(
x
x
Jadi, akar-akar persamaan kuadratnya adalah x = 5 atau x = -1.
2. Sifat-Sifat Akar Persamaan Kuadrat
Misal akar-akar dari persamaan kuadrat 02 cbxax adalah 1x dan
2x ,
maka dapat ditulis 0))(( 21 xxxx
0)( 2121
2 xxxxxx ……………. (1)
02 cbxax
02
a
cx
a
bx ……………………… (2)
Dari persamaan (1) dan (2) didapat sifat-sifat akar persamaan kuadrat:
a
bxx 21
a
cxx 21.
a
Dxx 21
© 2015
Swaditya Rizki, M.Sc.
9
Bentuk 21 xx dan 21.xx merupakan bentuk simetri dari akar-akar
persamaan kuadrat 02 cbxax , dimana setiap bentuk simetri tersebut
dapat dinyatakan ke dalam bentuk 21 xx dan 21.xx . Misalkan:
a. 21
2
21
2
2
2
1 2)( xxxxxx
b. )(3)( 2121
3
21
3
2
3
1 xxxxxxxx
c. ))(.( 2121
2
2
2
1 xxxxxx
d. 2
21
22
2
2
1
4
2
4
1 )(2)( xxxxxx
Contoh 4:
Jika diketahui suatu persamaan 0642 2 xx . Tentukan nilai 2
2
2
1 xx
tanpa mencari 21 dan xx
Penyelesaian:
2
3.2)2(
2)()(
32
6
22
4
0642
2
21
2
21
2
2
2
1
21
21
2
xxxxxx
a
cxx
a
bxx
xx
Diketahui
Contoh 5:
Salah satu akar 062 pxx adalah dua kali yang lain. Hitunglah p?
Penyelesaian:
Akar-akar itu dimisalkan m= x1 dan n=2x1
Jumlahnya adalah
2
63
6)2(
1
1
11
x
x
a
bxx
Jadi akar-akar tersebut adalah m = 2 dan n = 4.
Hasil kalinya adalah
p
p
pp
a
cxx
8
4.2
1. 21
nilai p = 8.
© 2015
Swaditya Rizki, M.Sc.
10
3. Akar Persekutuan
Dua buah persamaan kuadrat dapat dikatakan mempunyai akar
persekutuan apabila dari kedua persamaan tersebut terdapat akar-akar yang
nilainya sama.
Perhatikan persamaan kuadrat dibawah ini:
2
3;2
0)32)(2(0672).2
2;4
0)2)(4(082).1
43
2
21
2
xx
xxxx
xx
xxxx
Dari akar-akar persamaan 1) dan 2) di atas dapat dilihat 232 xx
Jadi, kedua persamaan di atas mempunyai akar persekutuan.
Perhatikan apabila kedua persamaan itu kita kurangkan:
211
22
02211
_067210672).2
016422082).1
22
22
x
x
xxxx
xxxx
Disini juga dapat kita lihat bahwa akar persekutuan itu dapat diperoleh dari
persamaan selisih.
Secara umum:
Bila dua persamaan 02 qpxx dan 02 tsxx mempunyai sebuah
akar persekutuan, maka akar persekutuan itu didapat dari persamaan
selisih.
Bukti:
Akan ditunjukkan:
1. 02 qpxx akar-akarnya 21 dan xx
2. 02 tsxx akar-akarnya 31 dan xx
x1 memenuhi 1 dan 2, jadi:
© 2015
Swaditya Rizki, M.Sc.
11
npersekutuaakarMerupakansp
qtx
qtxsp
tqxsp
tsxx
qpxx
1
1
1
1
2
1
1
2
1
)(
0)(
_0
0
Contoh 6:
Persamaan 0422 pxx dan 0652 2 pxx mempunyai sebuah akar
persekutuan. Hitung p dan akar-akarnya.
Penyelesaian.
px
px
pxxpxx
pxxpxx
2
02
_065210652
08422042
22
22
Jadi, akar persekutuannya adalah px 2 atau 2
xp . kemudian masukkan
ke dalam persamaan satu, didapat.
4atau0
0)4(
04
02
42
042
21
2
2
2
xx
xx
xx
xxx
pxx
Untuk 01 x maka p = 0 dan
Untuk 42 x
maka p = 2.
© 2015
Swaditya Rizki, M.Sc.
12
1020
0)10)(20(
020010
20010
10200
)10(200
2
2
2
xx
xx
xx
xx
xx
xx
lpL
PanjangPersegiLuasRumus
4. Aplikasi Persamaan Kuadrat
Dalam kehidupan sehari-hari, persamaan kuadrat sering digunakan untuk
menyelesaikan permasalahan sehari-hari. Berikut ini diberikan contoh-
contoh yang berkaitan dengan persamaan kuadrat:
Contoh 7:
Ada suatu tanah pekarangan berbentuk persegi panjang. Pekarangan
tersebut memiliki panjang 10 meter lebih panjang daripada lebarnya.
Diketahui dalam sertifikat bahwa luas pekarangan tersebut yaitu 200 m2.
Berapa meterkah panjang dan lebar pekarangan tersebut?.
Penyelesaian: ∴ Karena panjang tidak mungkin negatif, maka pilih x = 10. sehingga lebar dari
pekarangan tersebut = 10 m, sedangkan panjangnya = x+10 = 10+10 = 20 m. Contoh 8:
Ada kamar tidur berukuran 4m x 4m. Kamar tersebut telah dipasang keramik
yang berbentuk persegi dan menghabiskan 100 buah keramik.
1. Berapa cm kah ukuran keramik tersebut?.
2. Jika ada kamar lain yang berukuran 4m x 3m. Berapa buah keramik yang diperlukan dengan keramik yang sama?.
Penyelesaian no.1: Ukuran kamar 4m x 4m = 400cm x 400cm Luas kamar tidur = 400cm x 400cm = 160000cm2
x
x+10
© 2015
Swaditya Rizki, M.Sc.
13
Luas 1 keramik = Luas kamar tidur : banyaknya keramik = 160000 : 100 = 1600 cm2 Karena keramik berbentuk persegi, maka
Luas 1 keramik = x2
1600 = x2
x2
- 1600 = 0
(x – 40)(x + 40) = 0
x = 40 atau x = -40
∴ karena panjang selalu positif maka panjang sisi keramik yaitu 40 cm.
sehingga keramik tersebut memiliki ukuran 40cm x 40cm.
Penyelesaian no.2:
Ukuran kamar 4m x 3m = 400cm x 300cm
Luas kamar tidur = 400cm x 300cm = 120.000cm2
Luas keramik 40cm x 40cm = 1600cm2
Banyaknya keramik yang diperlukan = luas kamar tidur : luas keramik
= 120000cm2 : 1600cm2
= 75
∴ Jadi banyaknya keramik yang diperlukan untuk dipasang pada kamar
berukuran 4m x 3m yaitu sebanyak 75 buah.
© 2015
Swaditya Rizki, M.Sc.
14
Latihan:
1. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah 5 dan -2. Penyelesaian:
2. Selesaikan persamaan kuadrat berikut menggunakan rumus abc:
0442 xx Penyelesaian:
3. Selesaikan persamaan kuadrat berikut menggunakan pemfaktoran dan
kuadrat sempurna: 02032 2 xx
Penyelesaian:
© 2015
Swaditya Rizki, M.Sc.
15
4. Buktikan bahwa akar-akar dari persamaan 0962 xx adalah nyata
dan sama besar.
Penyelesaian:
Syarat akar-akar nyata dan sama besar jika D …. 0
5. Apabila a adalah bilangan nyata, selidikilah banyaknya akar-akar
persamaan 0)23()3(2 axax
Penyelesaian:
Syarat akar-akar nyata jika D …. 0
6. Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan 01662 xx . Hitunglah:
a. 21 xx
b. 21 xx
c. 21xx
© 2015
Swaditya Rizki, M.Sc.
16
d. )( 2
2
2
1 xx
e. )( 3
2
3
1 xx
f. )( 4
2
4
1 xx
7. Salah satu akar 082 2 pxx adalah tiga kali yang lain. Hitunglah p?
Penyelesaian:
© 2015
Swaditya Rizki, M.Sc.
17
8. Carilah 3
2
3
1
11
xx jika diketahui bahwa x1 dan x2 merupakan akar-akar dari
persamaan 0562 xx Penyelesaian:
9. Sepasang persamaan berikut axxdanaxx 622 22
mempunyai
akar persekutuan. Hitunglah a! Penyelesaian:
© 2015
Swaditya Rizki, M.Sc.
18
10. Ada suatu sawah berbentuk persegi panjang. Sawah tersebut memiliki
panjang 8 meter lebih panjang daripada lebarnya. Diketahui dalam
sertifikat bahwa luas sawah tersebut yaitu 240 m2. Berapa meterkah
panjang dan lebar sawah tersebut?.
Penyelesaian
© 2015
Swaditya Rizki, M.Sc.
19
Catatan:
© 2015
Swaditya Rizki, M.Sc.
20
BAB II
FUNGSI KUADRAT
1. Fungsi Kuadrat
Fungsi Kuadrat adalah pemetaan dari daerah asal (domain) ∈ 𝑅 ke tepat
satu daerah hasil (range) yang dinyatakan dengan rumus
cbxaxxfy 2)(
dimana a, b, dan c adalah konstanta bilangan riil, 0a . Dengan )(xf atau
y disebut dengan fungsi. Bila 1x dan 2x adalah absis titik potong pada
sumbu x maka fungsi kuadrat dapat ditulis sbb:
))(()( 21 xxxxaxfy
Contoh 1:
Akan ditunjukkan fungsi kuadrat 34)( 2 xxxfy bahwa untuk setiap
nilai 𝑥 memetakan ke satu nilai 𝑦.
Penyelesaian:
untuk 𝑥 = −3 → 𝑓 𝑥 = (−3)2 + 4 −3 + 3 = 0
untuk 𝑥 = −2 → 𝑓 𝑥 = −2 2 + 4 −2 + 3 = −1
untuk 𝑥 = −1 → 𝑓 𝑥 = (−1)2 + 4 −1 + 3 = 0
untuk 𝑥 = 0 → 𝑓 𝑥 = (0)2 + 4 0 + 3 = 3
untuk 𝑥 = 1 → 𝑓 𝑥 = (1)2 + 4 1 + 3 = 8
untuk 𝑥 = 2 → 𝑓 𝑥 = (2)2 + 4 2 + 3 = 15
© 2015
Swaditya Rizki, M.Sc.
21
f (x)
Daerah asal
(Domain)
Daerah hasil
(Range)
-n
…
-3 .
-2 .
-1 .
0 .
1 .
2 .
…
n.
f(-n)
…
.-1
. 0
. 3
. 8
. 15 …
f(n)
Pada fungsi kuadrat ini akan diselidiki mengenai:
a. Pembuat nol )(xf atau harga nol )(xf
b. Nilai-nilai ekstrim dari )(xf
a. Pembuat nol dari cbxaxxf 2)(
Maksud pembuat nol disini adalah nilai 𝑥 yang menyebabkan 0)( xf .
Untuk mencari nilai 𝑥 dapat menggunakan rumus persamaan kuadrat
sebagai berikut:
𝑥1,2 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
Jika 𝐷 > 0, maka akan didapat dua nilai pembuat nol yaitu 𝑥1dan 𝑥2,
𝑥1 ≠ 𝑥2.
x
x2 x1 x2 x1
© 2015
Swaditya Rizki, M.Sc.
22
Jika 𝐷 = 0, maka akan didapat sebuah nilai pembuat nol yaitu 𝑥1 = 𝑥2 =
−𝑏
2𝑎.
Jika 𝐷 < 0, maka tidak ada nilai pembuat nol.
Fungsi seperti ini (D < 0) mempunyai 2 harga definit yaitu :
1. Definit Positif
Fungsi akan selalu berharga positif untuk setiap harga x atau grafik
fungsi seluruhnya berada diatas sumbu x. Syaratnya a > 0, D < 0
2. Definit Negatif
Fungsi akan selalu berharga negatif untuk setiap harga x atau grafik
fungsi seluruhnya berada dibawah sumbu x. Syaratnya a < 0, D < 0
b. Nilai Ekstrim
Nilai Ekstrim ada dua kategori yaitu ekstrim maksimum (𝑦𝑚𝑎𝑥 ) dan ekstrim
minimum (𝑦𝑚𝑖𝑛 ).
cbxaxxfy 2)(
Dapat diubah menjadi:
x1=x2
x1=x2
© 2015
Swaditya Rizki, M.Sc.
23
a
D
a
bxa
a
acb
a
bxa
a
bac
a
bxa
a
bc
a
bxa
a
b
a
ca
a
bx
a
bxa
a
b
a
c
a
bx
a
bxa
a
cx
a
bxa
cbxaxxf
42
4
4
2
4
4
2
42
42
22
)(
2
22
22
22
2
22
2
22
2
2
2
Karena 2
2
a
bxa selalu positif atau nol, maka tanda
2
2
a
bxa selalu
tergantung pada tanda a , sedangkan a
D
4 merupakan konstanta.
Jika a > 0, maka 2
2
a
bxa selalu positif atau nol sehingga
f(x) mencapai minimum = a
D
4apabila
a
bx
2
Jika a < 0, maka 2
2
a
bxa selalu negatif atau nol sehingga f(x)
mencapai maksimum = a
D
4 apabila
a
bx
2
Dari turunan fungsi di atas, jika titik puncaknya ),( qp maka persamaan
fungsi kuadrat di atas dapat ditulis sbb:
qpxaxfy 2)()(
© 2015
Swaditya Rizki, M.Sc.
24
8
1.8
8
42
b
b
ab
a
bx
9
74.84
78)(
2
2
xxxfy
Ciri-ciri fungsi kuadrat dan grafiknya:
1. Memiliki sumbu simetri a
bx
2 .
2. Koordinat titik puncak
a
D
a
b
4,
2
3. 𝑎 > 0 grafik terbuka ke atas.
𝑎 < 0 grafik terbuka ke bawah.
4. Jika tanda b sama dengan tanda a, puncak berada disebelah kiri
sumbu y.
Jika tanda b berbeda dengan tanda a, puncak berada disebelah kanan
sumbu y.
5. 𝑐 > 0 grafik memotong sumbu y positif.
𝑐 < 0 grafik memotong sumbu y negatif.
𝑐 = 0 grafik melalui titik (0,0).
6. 𝐷 > 0 grafik memotong sumbu x di dua titik yang berbeda.
𝐷 = 0 grafik menyinggung sumbu x.
𝐷 < 0 grafik tidak memotong sumbu x.
Contoh 2:
Jika 7)( 2 bxxxf puncaknya berabsis 4, maka ordinatnya adalah…
Penyelesaian:
Ordinatnya =
Contoh 3:
Tentukan fungsi kuadrat yang melalui titik potong pada sumbu x yaitu -2
dan 5, serta memotong sumbu y pada (0,10).
Penyelesaian:
Titik potong pada sumbu x: (-2,0) dan (5,0) dan
titik potong pada sumbu y: (0,10)
© 2015
Swaditya Rizki, M.Sc.
25
14
0)1)(4(
043
016124
41612
.4
..443
4
4
2
2
2
2
2
max
aataua
aa
aa
aa
aa
a
aa
a
acby
13
2
0)1)(23(
0223
016824
24168
)2(4
)3)(2(4)4(1
4
4
2
2
2
2
2
max
aataua
aa
aa
aa
aa
a
aa
a
acby
103
)103(1
)5)(2(1
2
2
xx
xx
xxy
adalahtersebutkuadratfungsijadi
Fungsi kuadratnya yaitu:
1
)50)(20(10
)10,0(
)5)(2(
))(( 21
a
a
melalui
xxay
xxxxay
Contoh 4:
Nilai tertinggi fungsi axaxxf 4)( 2 ialah 3, sumbu simetrinya adalah…
Penyelesaian:
Karena titik puncaknya adalah maksimum, maka pilih 𝑎 < 0, yaitu a = -1.
Sehingga sumbu simetrinya adalah
2)1(2
4
2
a
bx
∴ Sumbu simetrinya adalah 2.
Contoh 5:
Jika fungsi kuadrat axaxxf 342)( 2 mempunya nilai maksimum 1, maka
...927 2 aa Penyelesaian:
183
29
3
227927
0,
2
2
aa
apilihmakamaksimumnilaiKarena
© 2015
Swaditya Rizki, M.Sc.
26
15164)(
15164
1)2(4
)(
,
4
)1())2(1(3
)(
2
2
2
2
2
2
xxxfyadalahtersebutkuadratfungsi
xxy
xy
qpxay
maka
a
a
qpxay
yaitu1)2,(baliktitikkoordinatmempunyai
dan1,3)(titikmelaluiyangkuadratfungsi
)1,2(,
11.4
3.1.44
4
2)1(2
4
2
2
yaitubaliknyatitikkoordinatjadi
a
Dy
a
bx
Contoh 6:
Fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik (-1,3) dan titik terendahnya sama
dengan puncak grafik 34)( 2 xxxf adalah…
Penyelesaian:
Contoh 7:
Tentukan a agar fungsi )3(4)( 2 axxxf harganya selalu positif untuk
setiap harga x ? Penyelesaian :
Definit positif syaratnya 0a sudah dipenuhi
7
7
428
012416
0)3)(1(416
040 2
a
a
a
a
a
acbD
© 2015
Swaditya Rizki, M.Sc.
27
2. Grafik Fungsi Kuadrat
Himpunan titik-titik ),( yx yang memenuhi 0;)( 2 acbxaxxfy
adalah parabola. Sedangkan cbxaxxfy 2)( disebut persamaan
parabola.
Untuk melukis grafik fungsi :
cbxaxxfy 2)(
DIPERLUKAN SYARAT-SYARAT SEBAGAI BERIKUT :
1. Titik potong dengan sumbu x
Syarat f(x) = 0 ax2 + bx + c = 0
(x – x1) (x – x2) (x1, 0) dan (x2, 0)
2. Titik potong dengan sumbu y
Syarat x = 0 f(0) = a(0)2 + b (0) + c
f(x) = c (0,c)
3. Sumbu Simetri
Sumbu simetrinya adalah : a
bx
2
4. Titik balik / Titik puncak
Titik balik atau titik puncak adalah:
a
Dy
4
Sehingga koordinat titik puncak adalah
P ),( yx
P(a
b
2 ,
a
D
4)
Parabola mencapai titik balik minimum jika a >0 dan parabola mencapai
titik balik maksimum jika a <0.
© 2015
Swaditya Rizki, M.Sc.
28
Contoh 8:
Gambarlah grafik fungsi 86)( 2 xxxf
Penyelesaian:
Titik potong dengan sumbu x, syarat f(x) = 0
x2 – 6x + 8 = 0 (x – 2)(x – 4) = 0
(2,0) dan (4,0)
Titik potong dengan sumbu y, syarat x = 0
f(0) = 02 + 6 ( 0) + 8
= 8
f(x) = 8 (0,8)
Koordinat titik puncak adalah ),( yx
x = -b/2a = 6/2 =3
y = D/-4a = b2 – 4ac / -4a = 36 – 4 (1) (8)/-4
= 36 – 32 / -4
= 4/-4
= -1
Jadi puncaknya adalah p ),( yx p (3,-1). Untuk mendapatkan gambar
grafik yang baik kita menggunakan tabel fungsi sebagai berikut:
x 0 1 2 3 4 5 6
y 8 3 0 -1 0 3 8
Gambar grafik:
(3,-1)
y
x
-1
4 2
8
© 2015
Swaditya Rizki, M.Sc.
29
3. Aplikasi Fungsi Kuadrat Fungsi kuadrat juga sering digunakan untuk menyelesaikan permasalahan
sehari-hari. Fungsi kuadrat biasanya digunakan untuk menentukan nilai
maksimum atau minimum dari suatu permasalahan. Biasanya kata
maksimum sama maknanya dengan kata tertinggi, terpanjang, terbesar,
terjauh, terluas, dsb. Sedangkan kata minimum sama maknanya dengan kata
terendah, terpendek, terkecil, terdekat, tersempit, dsb. Berikut ini diberikan
contoh-contoh aplikasi yang berkaitan dengan fungsi kuadrat:
Contoh 9:
Ada sebuah kawat ram panjangnya 20 m yang akan digunakan untuk membuat
kandang ayam. Tentukan panjang dan lebar kandang ayam tersebut agar luasnya
maksimum.
Penyelesaian:
Panjang kawat ram = keliling persegi/persegi panjang
Dimisalkan panjang kawat = x, dan lebar = y.
Keliling = 2(p+l)
20 = 2(x+y)
10 = x+y y = 10-x
Luas (L) = p . l
= x . y
=x (10 - x)
=10x - x2
L merupakan fungsi kuadrat dalam x yaitu L(x) = 10x - x2
L(x) = -x2
+ 10x a=-1, b=10, c=0
Berdasarkan konsep fungsi kuadrat, agar luas maksimum maka :
metera
bx 5
)1.(2
10
2
y = 10-x = 10 - 5 = 5 meter
jadi agar kandang ayam memiliki luas maksimum maka panjang dan lebar kandang
ayam tersebut masing-masing yaitu panjang 5 meter dan lebar 5 meter, karena
panjang dan lebarnya sama maka kandang ayam tersebut berbentuk persegi.
© 2015
Swaditya Rizki, M.Sc.
30
042000460
0000.400.8000.92200
2
2
PP
PP
Contoh 10:
Ada sebuah perusahaan yang memproduksi sepeda sports. Perusahaan tersebut ingin
menjual sepeda sports tersebut dengan harga yang sesuai agar mendapatkan
keuntungan yang maksimal. Berikut ini data yang dimiliki perusahaan tersebut:
Biaya pembuatan pabrik dan pemasaran: 700.000 dollar
Biaya pembuatan 1 sepeda: 110 dollar
Kurva penjualan:
Dari kurva tersebut didapat persamaan:
Unit penjualan= 70.000- 200P
dimana P adalah Price (Harga).
Penyelesaian:
Unit penjualan= 70.000 – 2P
Penjualan = unit penjualan x harga = (70.000-2P) x P = 70.000P – 2P2
Biaya = 700.000+ (110x(70.000-2P)) = 700.000 +7.700.000-22.000P
= 8.400.000 – 22.000P
Keuntungan = Penjualan – Biaya
= (70.000P – 2P2) – (8.400.000 – 22.000P)
= -200P2 + 92.000P – 8.400.000
Jadi Keuntungan tersebut merupakan fungsi kuadrat. Untuk mengetahui titik potong
dengan sumbu x atau dengan kata lain keuntungan akan nol jika nilai P berada pada
titik potong tersebut:
dari persamaan kuadrat tersebut dicari akar-akarnya menggunakan rumus, sehingga
didapat nilai
334126 21 PatauP
Dari akar-akar di atas disimpulkan bahwa keuntungannya akan 0 (nol) jika harga
sepeda sportnya 126 dollar atau 334 dollar.
© 2015
Swaditya Rizki, M.Sc.
31
Dari fungsi keuntungan di atas merupakan fungsi kuadrat di atas dapat ditulis:
000.400.8000.92200)(: 2 PPPfKeuntungan
Berdasarkan konsep fungsi kuadrat, keuntungan akan maksimum jika harga (P)
yaitu:
dollara
bP 230
)200.(2
000.92
2
Keuntungan: f(P)= -200(2302) + 92.000(230) – 8.400.000
= 2.180.000 dollar
Cara lain:
Karena keuntungan maksimum didapatkan pada saat P = 230 dollar, maka
Unit penjualan = 70.000 – 2(230) = 24.000
Penjualan = 230 x 24.000 = 5.520.000 dollar
Biaya = 700.000 + (110 x 24.000) = 3.340.000 dollar
Keuntungan = penjualan – biaya
= 5.520.000 – 3.340.000
= 2.180.000 dollar
Keuntungan
maksimum
© 2015
Swaditya Rizki, M.Sc.
32
Latihan:
1. Nilai minimum fungsi yang ditentukan oleh rumus pxxxf 82)( 2 adalah
20. Nilai ...)2( f
Penyelesaian:
2. Jika fungsi 6)1()( 2 xppxxf mencapai nilai tertinggi untuk 1x
maka nilai ...p
Penyelesaian:
3. Jika fungsi kuadrat axaxxf 34)( 2 mempunyai nilai minimum -11, maka
...2 aa
Penyelesaian:
© 2015
Swaditya Rizki, M.Sc.
33
4. Fungsi kuadrat yang mempunyai nilai minimum 2 untuk 𝑥 = 1 dan mempunyai
nilai 3 untuk 𝑥 = 2 adalah…
Penyelesaian:
5. Fungsi )(xfy yang grafiknya melalui titik (2,5) dan (7,40) serta mempunyai
sumbu simetri 1x , mempunyai nilai ekstrim… (minimum atau maksimum?)
Penyelesaian:
© 2015
Swaditya Rizki, M.Sc.
34
6. Praktekkan grafik fungsi berikut ini dan tulislah perbedaannya
a. 23)( 2 xxxf
b. 82)( 2 xxxf
c. 34)( 2 xxxf
d. 43)( 2 xxxf
e. 2)( 2 xxxf
f. 23)( 2 xxxf
Tulislah kesimpulan dari grafik-grafik di atas jika dilihat dari nilai a,b, atau c.
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
7. Praktekkan grafik fungsi berikut ini dan tulislah perbedaannya:
a. 32)( 2 xxxf
b. 12)( 2 xxxf
c. 42)( 2 xxxf
Tulislah kesimpulan dari grafik-grafik di atas.
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
© 2015
Swaditya Rizki, M.Sc.
35
Catatan:
© 2015
Swaditya Rizki, M.Sc.
36
DAFTAR PUSTAKA
A. E.J. Purcell dan D. Varberg. (terjemahan I N Susila, B. Kartasasmita, dan
Rawuh). 2007. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid I. Edisi V. Jakarta:
Erlangga
B. Etsa Indra Irawan dan Cucun Cunayah. 2013. 1700 Bank Soal Matematika.
Yrama Widya. Bandung.
C. Sukino. 2014. Matematika SMA (Kurikulum 2013). Erlangga. Jakarta.
D. Swaditya Rizki. 2015. Aljabar Elementer. FKIP. Universitas Muhammadiyah
Metro
E. Swaditya Rizki. 2012. Pemanfaatan Teknologi Komputer Untuk
Pembelajaran Matematika Khususnya Persamaan Kuadrat. Prosiding Seminar
Nasional Pendidikan. Universitas Muhammadiyah Metro. Hal. 171-176
F. https://www.mathsisfun.com/algebra/quadratic-equation-real-world.html