Aplicaciones de la derivadas a la Física

La Física es una ciencia cuyas aplicaciones en la matemática son muy importantes, una de ellas es la derivada, a la cual también se le denomina diferenciación.

La velocidad es la derivada de la distancia en función del tiempo.La aceleración es la derivada de la velocidad en función del tiempo.

Aceleración Velocidad y Posición

Las Fórmulas que necesitaremos para desarrollar los problemas sobre aplicaciones de la derivada a la Física son las siguientes:

x= , R

a=

Debemos conocer también los conceptos de ciertas palabras:Hockey.-Es el juego en donde se utiliza un disco y se empuja sobre hieloPosición.-Ubicación de un cuerpo o partícula con respecto a un sistema de referencia.Velocidad.-Cambio de posición en el tiempo.Aceleración.-Cambio de velocidad en el tiempo.Celeridad.-velocidad, rapidez.Se debe conocer además la derivación implícita que se desarrolló en clases, así como las siguientes fórmulas de integración.

=lnu +k

= +k

Estas fórmulas serán utilizadas para resolver algunos problemas de los que se dan a continuación.

1.-Una partícula se mueve en línea recta con.

s=t3-6t2+9t, en pies y segundos. Hallar su velocidad y aceleración considerando los siguientes tiempos: t=1/2; t=3/2; t=5/2; t=4

2.-La distancia de una locomotora desde un punto fijo sobre una vía recta en el instante t viene dada por s=3t4-44t3+144t2 ,¿Cuándo va marcha atrás?3.- En cada uno de los movimientos rectilíneos hallar: a) s y a cuando v=0 b) s y v cuando a=0 c) ¿Cuándo s es creciente? d) ¿Cuándo es v creciente? e) ¿Cuándo cambia la dirección del movimiento?

4.- Un disco de hockey sobre hielo se desliza se desliza sobre una película de hielo horizontal animado de una aceleración directamente proporcional a su celeridad.

a(v)=-0.50v m/s2 v>0 , donde la velocidad se expresa en metros por segundo, si el disco lleva una velocidad de 15m/s cuando x=0,determinar su velocidad en función de la distancia y calcular

su velocidad cuando x=20

5.- El aire frena a los objetos que se mueven a través suyo con una fuerza que aumenta Como al cuadrado de la velocidad. A causa de ello, la aceleración de un ciclista que Ciclista que baja por una pendiente resulta ser: a(v)=0.122-0.0007v2m/s2, donde la velocidad se expresa en metros por segundo Determinar la velocidad del ciclista en función de la distancia si la velocidad es nula Cuando x=0.

6.-Dada la gráfica de la velocidad en función del tiempo y las posiciones iniciales Construye la correspondiente gráfica de la posición en función del tiempo.

7.- Un globo se eleva desde el punto A de la tierra a una velocidad de 15m/s y su Ascenso se observa desde otro punto B, situado en la horizontal que pasa por A y a una distancia de 50 metros. Encuentre la rapidez de variación de la distancia del punto B al globo, cuando la altura de este es 50metros.

x

50

508.-Si el precio de cierto producto es p dólares, se venden q miles de unidades de acuerdo con la ecuación p+2q+pq=28.Si p y q dependen del tiempo(en semanas)¿Con qué velocidad(unidades/semana)están cambiando las ventas semanales cuando estas alcanzan las 3000 unidades y el precio está cayendo a razón de 0.40dólares/semana?9.- Se han colocado 60 árboles en un terreno rectangular, cada uno de los cuales rinde 45 frutos. Sin embargo por cada 5 árboles sembrados adicionalmente, la producción de cada árbol disminuye en 12 frutos. Emplee el concepto de derivada para calcular

50

0

-50

-100

0 10 20 30 40 50 60

la máxima producción posible.10.-Un fabricante de calzado puede destinar su planta a producir zapatos para caballero o para dama. Si se produce x e y miles de pares por semana respectivamente, se sigue que x e y están relacionados por la ecuación de transformación x2+xy+y2=1.Si el costo del fabricante se expresa mediante C=x2+y2 ,determine ¿Cuántos pares de cada tipo deberá producir con el fin de minimizar su costo(exprese el costo en función de x)?11.-Se sabe que la ganancia G depende de las ventas V, de acuerdo con la función G(V)=0.02V4+10;mientras que V depende de la publicidad S, de acuerdo con V(S)=S1.5+2.Encontrar:

i) La rapidez de cambio de G con respecto a S, cuando S=4.ii)La rapidez de variación de la ganancia con respecto a la publicidad cuando V=3.