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Conceptos de análisis combinatorio, ejercicios, combinaciones, permutaciones, variaciones, con repetición y sin repetición.
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Análisis Combinatorio
Trabajo Practico Nº 5 Análisis Combinatorio
1) Con las letras de la palabra MESA, forme todas las palabras posibles con o sin sentido sin repetir letras, calculando previamente su número.
2) ¿ De cuántas maneras distintas pueden salir alineados al campo de juego, los jugadores titulares de un equipo de fútbol ?. De cuántas maneras distintas pueden hacerlo si el arquero debe ocupar siempre la primera posición ?.
3) Un grupo musical va a grabar un compact que contiene 7 temas ; ¿ De cuántas maneras puede elegir la secuencia de los temas ? Si el compact requiere que dos temas en particular no se escuchen en forma consecutiva, ¿ de cuántas maneras puede elegir la secuencia de los temas ?
4) Para confeccionar un examen, se dispone de 3 problemas de Geometría, 4 de Combinatoria y 2 de Algebra. ¿ De cuántas maneras pueden ordenarse los problemas si los que corresponden a un mismo tema deben aparecer en forma consecutiva ?
6) Cuatro amigos se reúnen a jugar al truco. ¿ De cuántas maneras diferentes pueden sentarse alrededor de la mesa ?.
5) Un señor olvidó la combinación del candado que cierra su maletín y que consiste en cinco ruedas contiguas con los dígitos de 1 a 6 cada rueda. En el peor de los casos, ¿ cuántos intentos tendrá que hacer antes de poder abrirlo ?
7) Con los dígitos 1, 2, 3, 4, y 5. ¿ Cuántos números de tres cifras distintas pueden formarse ?. ¿ Cuántos son pares ?. ¿ Cuántos terminan en 32 ?. Cuántos son divisibles por 5 ?.
8) Con 22 consonantes y 5 vocales :a) ¿ Cuántas palabras distintas con o sin sentido de cinco letras (sin que se repitan letras) se pueden formar ? b) ¿ En cuántas de las palabras del ítem a) la letra central es una vocal ?c) ¿ Cuántas de las palabras del ítem a) se forman con 3 consonantes y 2 vocales ?
9) En un curso de 42 estudiantes de Lic. en Sistemas, se desea elegir 3 alumnos para formar una Comisión.
a ) De cuántas maneras se puede elegir si los representantes tienen iguales atribuciones ?.
b) ¿ De cuántas maneras se puede elegir si los representante tienen diferentes atribuciones ?.
10) Se tienen 10 puntos a, b, c, . . . . , j ; pertenecientes a un plano , de los cuales no hay 3 alineados.a) ¿ Cuántas rectas determinan esos puntos ?b) ¿ Cuántas de esas rectas pasan por el punto a ?c) ¿ Cuántos triángulos determinan esos puntos ?d) ¿ Cuántos de esos triángulos tienen un vértice en a ?e) ¿ Cuántos de esos triángulos tienen un lado en ab ?
11) Entre 12 hombres y 8 mujeres debe elegirse una delegación de 5 personas. a) ¿ De cuántas maneras se puede formar la delegación ?
b) ¿ De cuántas maneras se puede formar si dos personas determinadas deben estar siempre la delegación?
c) ¿ De cuántas maneras se puede formar si en la delegación deben haber 3 hombres y 2 mujeres ?
d) ¿ De cuántas maneras se puede formar si en la delegación deben haber por lo menos 3 hombres y 1 mujer ? e) ¿ De cuántas maneras se puede formar si en la delegación no pueden estar juntas 2 personas enemistadas ? f) ¿ De cuántas maneras se puede formar la delegación si un hombre y una
mujer (esposos) deben estar los dos o ninguno en la delegación ?
12) Todas las personas que asisten a una fiesta se estrechan la mano. Si se estrecharon la mano en 45 oportunidades ; ¿ cuántas personas asistieron a dicha reunión ?.
13) Cuántas palabras con o sin sentido pueden formarse con las letras de las palabras : INDEPENDENCIA ; CATAMARCA ; MONOMIO. (usando todas las letras en cada caso)
14) Con los dígitos 2, 3 y 9 : ¿ Cuántos números mayores que 100 se forman ? ¿ Cuántos son pares ?
15) Determine n N si existe, tal que :
5
15
43)
nna
AAA nnnb 12
1232
1)
CA nnc 31
2 67)
1023
34
) 22
32 AA nnd 564) 2
12
22 CCC nnne
16) Desarrolle las siguientes potencias aplicando Binomio de Newton :
5)3() xa43 )
1()
xxb
17) Hallar si existe :
a) el undécimo término de sin efectuar el desarrollo.
b) el ó los términos centrales de
c) el coeficiente de x32 en
d) el término de grado 7 en
e) el término que contiene a-35 en
152 )2( xx 9)23( yx
15
34 1
xx
732/1 )( xx 25
23 3
aa
18) En el desarrollo ordenado del binomio , los términos T10 y T15 son equidistantes de los extremos. Hallar n.
nax )(
PermutacionesSi tres alumnos deben exponer en una clase especial, y desean analizar todas las posibilidades del orden de exposición que tienen . . . .
Es simple advertir que una alternativa es . . . . .
Primero expone Pablo (que suele ser muy
convincente)
Pablo
luego expone Matías, (que sabe mucho , pero no convence)
Matíasy por último Julio, (que es algo desordenado)JulioUna alternativa diferente será si Julio
toma el lugar de Matías y éste el de Julio
Pablo MatíasJulio
Otra posibilidad es que Julio tome el lugar de Pablo y éste el de Julio Pablo MatíasJulio
44
1-2-31-2-3
1-21-2
33 44
Ahora si Pablo y Matías cambian sus posiciones, tenemos otra alternativa
PabloMatíasJulio
Luego es Matías el que toma el primer turno
PabloMatías Julio
Y finalmente, puede haber nuevamente un intercambio entre el segundo y el tercer
expositorPabloMatías Julio
Todo lo expuesto podemos sintetizar en que para tres personas existen tres lugares (ordenes de exposición); así, si queremos saber cuántos son
los órdenes en que pueden exponer estas tres personas podemos buscar . . . . . .
la cantidad de funciones inyectivas posibles, entre el conjunto de personas y los lugares que pueden ocupar
Que se encuentra con la expresión Pn = n!
1-21-2
33 44
44
1-2-31-2-3
La función factorial n! se define:
de N0 N
)()1()1(
1)1(
1)0(
)(
hfhhf
f
f
nf
es decir: n! es igual al producto de los n primeros números naturales
n! = n (n-1) (n-2) (n-3) . . . . . . 3 2 1
Así, para hallar la cantidad de posibilidades de colocar tres elementos (alumnos) en tres ubicaciones diferentes (orden de exposición)
resolvemos . . .
P3 = 3 ! = 3 2 1 = 6
1 2 3 4 5 6
Pablo Pablo Julio Julio Matías Matías
Matías Julio Pablo Matías Julio Pablo
Julio Matías Matías Pablo Pablo Julio
Los ordenamientos posibles son
1-21-2
33 44
44
1-2-31-2-3
1) Calculamos previamente el número de palabras con o sin sentido que se forman con las letras de la palabra MESA, sin repetir letras
Se trata de ordenar cuatro elementos (letras) en
cuatro posiciones diferentesP4 = 4! = 4 3 2 1 = 24
MESA EMSA SMEA AMES
MEAS EMAS SMAE AMSE
MAES ESMA SEMA AEMS
MASE ESAM SEAM AESM
MSEA EAMS SAME ASEM
MSAE EASM SAEM ASME2) Si son jugadores de un equipo de fútbol son once jugadores para once
posicionesP11 = 11! = 11 10 9 . . . . . . . 3 2 1 = 39.916.800
si el arquero ocupa siempre la primera
posición
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
se pueden cambiar los lugares del 2 al 11 (entre 10 jugadores)
P10 = 10 ! = 10 9 8 . . . . . . . 3 2 1 = 3.628.800
1A
3) Se deben ordenar 7 temas para un compact
P7 = 7 ! = 7 6 5 . . . . . . . 3 2 1 = 5.040si dos temas no se deben escuchar en forma
consecutiva . . . vamos a buscar el número de situaciones en que aparecen dos temas en particular (por ejemplo el 2 y el 3) juntos
Un ordenamiento será :
1 2 3 4 5 6 7 si 2 y 3 deben estar juntos
otro ordenamiento puede ser . . .
1 2 34 5 6 7
observando convenientemente advertimos que estamos ordenando 6 temas en 6 lugares (el 2 y 3 consideramos un
solo tema)P6 = 6 ! = 720
Y debemos considerar también cuando 1 3 24 5 6 7
Aparece primero el 3 y luego el 2 (los temas aparecen
juntos)
nuevamente . . .
P6 = 6 ! = 720
entonces dos temas determinados no aparecen juntos en
P7 – 2 P6 = 7 ! – 2 6 ! = 5.040 – 2 720 = 3.600
el total de ordenamientos posibles es
4) Cada asignatura puede ocupar una posición, las posibilidades son
G A C
P3 = 3 ! = 6
Pero el orden de
los problemas
de cada materia también pueden
cambiarse
G
1
2
3
1
3
2
2
1
3
2
3
1
3
1
2
3
2
1
C
A
G C A
A G C
A C G
C A G
C G
1
2
3
4
1
2
4
3
1
3
2
4
1
3
4
2
1
4
2
3
1
4
3
2
2
1
3
4
2
1
4
3
2
3
1
4
2
3
4
1
2
4
1
3
2
4
3
1
3
1
2
4
3
1
4
2
3
2
1
4
3
2
4
1
3
4
1
2
3
4
2
1
4
1
2
3
4
1
3
2
4
2
1
3
4
2
3
1
4
3
1
2
4
3
2
1
A1
2
2
1
entonces la cantidad total de posibles temas es :
P3 ( P3 P4 P2 ) =
3 ! ( 3! 4! 2! ) = 6 6 24 2 = 1.728
5) Supongamos que el maletín tenga una sola rueda de 6 dígitos
Las posibilidades serán que se abra con 1, 2, 3, 4, 5, ó 6
Lo que significa que en el peor de los casos se deberá hacer 6 intentos
Pero si el maletín tuviera 2 ruedas de 6
dígitos
le corresponden 6 dígitos de la segunda rueda
2
1
2
3
4
5
6
habrán entonces 6 nuevas alternativas por
cada dígito de la primera rueda
Las posibilidades con 2 ruedas son 6 x 6 = 36
Pero el maletín tiene 3 ruedas, entonces se agregan 6 alternativas más a cada una de las 36 posibilidades
anterioresPara tres ruedas son 6 x 6 x 6 = 216
Generalizando, podemos plantear que para n ruedas el número de intentos será : 6 n
a cada dígito de la primera rueda
En este caso, con n = 5 65 = 7.776
13456
Permutaciones CircularesSi debo ordenar cuatro amigos en fila sabemos que la
cantidad de alternativas está dada por la permutación de 4 elementos
P4 = 4! = 4 3 2 1 = 24 formas a b c d b c d a
c d a b d a b c
Entre las que se encuentran las siguientes . . .y son formas
diferentesPero, si los amigos
estuvieran alrededor de un círculo en vez de estar
alineados . . .
dc
b
aa
d
c
bb
a
d
cc
b
a
d
Lo que antes eran 4 configuraciones diferentes,
ahora no se pueden diferenciar
En todos los casos a la izquierda de a está
d y a la derecha b . . .
Las cuatro ordenaciones deben ser consideradas la misma ordenación
La permutación circular de m elementos se resuelve . . .
mP
P mc,m )!m(P )m( 11
6) Cuatro amigos se reúnen a jugar al truco. ¿ De cuántas maneras diferentes pueden sentarse alrededor de la mesa ?.
Puede que Ud. esté pensando en la permutación de cuatro elementos . . . .
y esto sería correcto si los amigos juegan al truco en fila
indiaA B C D
Pero todos sabemos que al truco se juega en pareja y
alrededor de una mesaA
B
C
Ddonde . . .
es lo mismo que . . .
C
D
B
AA y C siguen
siendo compañeros
B a la izquierda y D a la derecha de A
Se trata entonces de la permutación circular de 4
elementosque se resuelve . . .
c,P4 612314 )!(
VARIACION ó ARREGLOSi queremos formar números de dos cifras con los dígitos 1, 2 y 3
Resulta que debemos tomar dos de los elementos (dígitos) y formar un número de dos cifras
Por ejemplo, si tomamos los dígitos 1 y 2 formamos el 12
El mismo 12, con las cifras invertidas forma otro número de dos cifras 21
también 13 y 31 . . . . . . . finalmente 23 y 32
Esta operación viene dada por la expresión: )!nm(
!mAV m
nn,m
donde m = 3 y n = 2
616
2333
2
)!(
!A
observe que con solo cambiar el ordensolo cambiar el orden de los dígitos, se considera un caso diferente; aunque no se haya cambiado
alguno de los dígitos
3 : cantidad total de elementos que disponemos2 : cantidad de elementos que tomamos para formar cada
arreglo
Se lee “arreglo de m
elementos tomados de a
n”
77
8-9-108-9-10
8 a8 a
99
77
1010
8 b8 b
7) Si disponemos de los dígitos 1, 2, 3, 4, y 5 para formar números de tres cifras
i) debemos resolver
!
!)!(
!A
22345
3555
3
Si los números de tres cifras buscados deben ser pares, la última cifra debe ser un número
par
parcifra 2
cifra 1
Asignamos el lugar de la cifra par al 2 2cifra
2cifra
1y quedan 2 lugares para cuatro dígitos posibles
12!2
!234)!24(
!442
A
pero en vez del 2, el último dígito pudo ser el 4
4cifra 2
cifra 1
ii) Los números pares son:
241222 42 A
iii) Si los números deben terminar en 32
23cifra
3223
1333
1
!!
)!(!
Aiv) Si debe ser múltiplo de 5, debe terminar en 5
5cifra 2
cifra 1
122
23424
442
!!
)!(!
A
60
8 a) Con 22 consonantes y 5 vocales se pueden formar palabras con ó sin sentido de cinco letras (sin que se repitan letras)
Por ejemplo la
palabraL U C H A Si se cambia el orden de
sus letras resulta otra palabra distinta
LUC H Asin haber cambiado ninguna de sus letras
(elementos)Debe aplicarse Debe aplicarse
VARIACIÓN O ARREGLOVARIACIÓN O ARREGLO
Dispongo de 22 c + 5 v para formar las palabras, 27 27 elementos en total
mnA
A =
27
Para formar palabras de 55 letras (elementos)
5
)!(!527
27
)!nm(!m
Esto se puede resolver directamente con calculadora ó simplificando previamente
!!
2227
!!
22222324252627 9.687.600 9.687.600
palabraspalabras
8 b8 b
8 b) Si deseo saber en cuántas palabras de 5 letras (que no se repiten) formadas por 22 consonantes y 5 vocales, la letra central es una vocalPodemos pensar
que la palabra será:
Si el lugar central debe ocupar una vocal (por
ejemplo la A)
AQuedan 4 lugares para completar con 22
consonantes y 4 vocales (porque una vocal ya fue ubicada en el centro)
La operación que resuelve esto es:
A =
26
4
)!(!426
26
!!
2226
!!
222223242526 358.800 palabras
Pero, el lugar central puede ser ocupado por cinco vocales distintas
Entonces a 26
4ALo multiplicamos por 5 porque la letra central puede
ser
AEIOU
)!(
!A
42626
55 26
4
5 x 358.800 = 1.794.000 palabras1.794.000 palabras
COMBINACIONSi tenemos una situación donde nos interesa saber las
alternativas posibles cuando es necesario que cambie un elemento al menos (no nos interesa el orden en que se
presenten los elementos)Tenemos una combinación,combinación,
que se resuelve con la expresión )!nm(!n
!mC m
n
Si tenemos Jamón, queso y lechuga y queremos saber cuántos tipos de sandwich podemos preparar usando dos de los alimentos mencionados un sandwich hecho de jamón y queso será lo mismo que uno hecho de
queso y jamón
Una vez elegidos dos alimentos cualesquiera, es necesario cambiar uno de ellos al menos para cambiar el sabor del sandwich
Este es un caso de combinacióncombinación, que se resuelve:
)!(!
!C
23233
2
!!!
1223
3
11-1211-12
1010 1313
11 a11 a
12 c12 c
1010
1313
11 b-c11 b-c
11 d-e11 d-e 12 a-b12 a-b
12 d12 d 12 e12 e
12 f12 f
9) De 42 estudiantes; debo tomar 3; pero no hay diferencia de posiciones ni de “cargos” entre los tres, en la comisión son todos “iguales”
Es un caso de combinacióncombinación )!(!
!C
34234242
3
!!
3912339404142
2014
11.480 formas11.480 formas
Que tienen iguales atribuciones
significa que todos pueden cumplir el
mismo rolPero . . . Juan prepara las diapositivas
María dá la charla de introducción
Pablo expone
Será diferente si . . .
María prepara las diapositivas
Pablo dá la charla de introducción
Juan expone; Se aprecia que: aunque los elementos seleccionados (Juan, Pablo y María)
sean los mismos, los equipos 1 y 2 serán diferentes, por el rol que desempeñan sus integrantes. Ahora nos interesa el orden de los
elementos
esto se resuelve con variación ó variación ó
arregloarreglo
!
!!!
)!(!
A39
394041423942
3424242
3
= 68.880 formas= 68.880 formas
ArregloArreglo CombinacióCombinaciónn
10) Si tenemos 10 puntos en un plano de los cuales no hay 3 alineados
Sabemos que dos puntos cualesquiera determinan una recta
)!(!!
210210
!!
!82
89105
45
ac cf ch ce
bi df dj eh
Pero la recta aces la misma
que ca
la recta bies la misma
que ib
Es necesario que un elemento (punto) sea diferente para que se trate de una recta
diferenteLa cantidad de elementos que
disponemos para formar rectas son 10 puntos
son necesarios 2 puntos para unirlos (sin importar el orden ) y así formar la recta
entonces . . .
por ejemplo
y así sucesivamente . . .
102C
11 b-c11 b-c 11 d-e11 d-e
10 b) Para saber cuántas de las 45 rectas pasan por el punto a, pensemos que disponemos de 10 puntos
b, c; d; . . . h; i; j
En principio tengo 10 elementos para 2 lugares –recta- sin importar
el orden
Si uno de los lugares ocupa el punto aa
Me quedan ahora 9 elementos para el lugar que
resta
!
!)!(!
!8189
1919
11 c) tres puntos no alineados pueden formar un triánguloPodemos distinguir entre otros,
el
triángulo acf;
el triángulo cfi
; etc.
Entonces corresponderá tomar los 10 puntos de tres en tres
recordando quecfi
= fci
= icf
etc.
!!
)!(!!
7678910
310310
3
2
5
120 triángulos120 triángulos
91C
9 9 rectasrectas
103C
11 d-e11 d-e
d) Para saber cuántos triángulos tienen vértice en a :
En principio tengo 10 elementos (puntos) para 3 lugares (vértices del
triángulo)
Si el elemento a debe estar siempre ocupando un lugar
a
porque es un vértice de cualquiera de los triángulos que busco
Me quedan 9 elementos (puntos) para ubicar en las dos posiciones restantes que son 2
(vértices)
!!
!)!(!
!72789
2929
4
36 triángulos tienen vértice en a36 triángulos tienen vértice en a
e) Si los triángulos deben tener un lado (ab) común, significa que de los 10 puntos
dos puntos ya están ubicados
a b Me quedan entonces 8 elementos (puntos) para ocupar un lugar (vértice)
!
!)!(!
!7178
1818 8 8
triángulostriángulos
92C
81C
11 a) Si hay 12 hombres y 8 mujeres para formar la delegación (tengo en total 20 personas) y debemos elegir 5 personas (sin distribuir cargos ni considerar el orden)
Las cantidad de delegaciones posibles estará dada por la combinación . . .combinación . . .
C
de 20 personas (total de
elementos)
tomadas de a 5 (cantidad de miembros de cada delegación
posible)
)!(!!
520520
!!
!155
20
!!
1512345151617181920
3 15.504 maneras 15.504 maneras distintasdistintas
12 b) Si dos personas deben estar siempre en la misma delegación
de los 5 lugares que dispongo
dos ya están ocupados
supongamos . . .persona aa persona b
b
La operación es la misma . . .
C
pero del total de 20 personas descuento 2 que ya están ubicadas porque deben estar siempre juntas
y me quedan 3 lugares para las 18 personas restantes
183
)!(!!
318318
!
!15123
151617183
816 formas si dos personas deben estar 816 formas si dos personas deben estar juntasjuntas
205
12 c12 c 12 d12 d 12 e12 e 12 f12 f
11 c) Si en la delegación deben haber tres hombres y dos mujeres
Primero busco la cantidad de delegaciones que se pueden formar con los 12 hombres disponibles tomados de a 3
123C
)!(!!
312312
!
!9123
91011122 220 delegaciones de tres 220 delegaciones de tres
hombreshombres
Y busco la cantidad de delegaciones que se pueden formar
con las 8 mujeres disponibles tomadas de a 2
82C
)!(!!
2828
!!
612678
4
= 28 delegaciones de dos = 28 delegaciones de dos mujeresmujeres
Para hallar el total de delegaciones posibles de tres hombres y dos mujeres, planteamos los siguiente . . . .
para cada delegación de 3 hombres hay 28 delegaciones posibles de 2 mujeres
como tengo 220 delegaciones posibles de 3 hombres . . . las delegaciones de al menos tres hombres y dos mujeres son . .
.
82
123 CC
220 28 =
6.160 formas de 6.160 formas de componer la delegación componer la delegación
solicitadasolicitada
12 d12 d 12 e12 e 12 f12 f
11 d) si en la delegación deben haber por lo menos 3 hombres y una mujer, analizamos las siguientes alternativas . . . De los cinco lugares disponibles
h hTres están ocupados por hombres
hy quedan dos lugares para mujeres
m m
la cantidad de delegaciones posibles con esta configuración ya hemos visto
en el punto anterior 82
123 CC
220 28 = 6.160
Pero también puede suceder que . . . h h h mDe los cinco lugares disponiblescuarto están ocupados por
hombresy solo uno por mujer
h
lo que resulta . . . 81
124 CC
)!(!!
)!(!!
1818
412412
!!
!!
7178
8123489101112
5 495 8 = 3.960
No hay otra alternativa que verifique la condición, porque si
hay cinco hombres, no hay mujeres; y si hay tres o mas
mujeres, queda lugar para dos hombres o menos
El resultado es la suma de las dos posibilidades analizadas
82
123 CC 8
1124 CC
10.120 10.120 formasformas
12 e12 e 12 f12 f
11 e) si dos personas enemistadas no deben estar juntas en la delegación
Supongamos que los enemistados son a y bLa cantidad de
delegaciones en las que a y b están juntos
son . .
a b
183C
)!(!!
318318
!
!15123
151617183
816
Conociendo la cantidad total de delegaciones que se pueden formar (de 12a)
y la cantidad de delegaciones en las que dos personas están juntasLas delegaciones en las que esas dos personas no están juntas, será . . .
183
205 CC
15.504 – 816 = 14.688 formas14.688 formas
Otra manera de calcular lo mismo es mediante la operación
184
184
185 CCC 8.568 + 3.060 + 3.060 = 14.688 formas14.688 formas
justifique Ud. el procedimiento . . .
12 f12 f
11 f) Si un hombre y una mujer (esposos) deben estar los dos ó ninguno . . . Tenemos dos alternativas: la primera es que estén juntos
Así de 20 personas (12 H y 8 M) quedan 18 posibles (porque 2 ya están ubicados) para 3 lugares de los 5
iniciales
183C
)!(!!
318318
!
!15123
151617183
816
La otra alternativa es que no estén ninguno de
los dos
En esa situación tenemos 18 personas para cubrir los
cinco lugares, porque no están ninguno de los dos
185C
)!(!!
518518
!
!1312345
1314151617188.568
3 4 3
El resultado está dado por la suma de las cantidades de ambas posibilidades
185
183 CC
816 + 8.568 = 9.384 9.384 formasformas
12) Todas las personas se estrechan la mano una vezSupongamos que sean tres personas: A , B y C
A B A C B C
se produjeron tres saludos
observe Ud. Que para tener un “saludo diferente”, necesitamos que se salude al menos una persona
diferenteEntonces se trata de una combinación . . .
CPero como no sabemos de cuántas personas, consideramos esa cantidad
igual a my como el saludo se establece entre dos personas, a las m personas las tomamos de 2
en 2
m
En total fueron 45 saludos
45
resolvemos . . .45
22
)!m(!!m
4522
21
)!m(!)!m()m(m
2451 )m(m 902 mm 0902 mm
buscamos m aplicando la fórmula que resuelve la ecuación de segundo grado
2
mC2
0902 mm
12
901411 2
21)()(
m
236011
21m
23611
2191
220
2191 10
218
2191 - 9
m1 = 10m2 = - 9
Por ser – 9 un número negativo, adoptamos como solución única m = m = 1010
Verificamos . . .
102C
)!(!!
210210
!!
!82
89105
45
Permutaciones con repetición
Si tenemos solo dos símbolos ( 0 y 1 )
Podremos emitir las señales 0 1 1 0
si los símbolos no pueden repetirseLa cantidad de señales
posibles se calcula mediante 2122 P
si no debemos repetir símbolos . .
Pero si podemos repetir símbolos; con dos ceros y dos
unos 0 0 1 1 0 1 1 00 1 0 1 1 0 0 1
El conjunto de símbolos será { 0, 0, 1, 1 }
y las señales posibles . . .La cantidad de señales
posibles cuando hay símbolos repetidos se
calcula conPermutaciones con repetición
224
,P
Permutación de cuatro elementos, con dos
elementos que se repiten dos veces cada uno
Con dos elementos que se repiten dos veces cada
uno ( 0 y 1 )
!!
!22
4
!!!
22234
2
para emitir señales de 2 símbolos diferentes
1 0 1 01 1 0 0
6
Generalizando
...,,mP !!....!!
!m
Sabe Ud. que el procesador de una computadora trabaja básicamente con elementos biestables llamados bit; y que 8 bit conforman 1 byte; . . . y 1.000 byte son 1 Kb, etc.Si 1 byte tiene 8 bit, significa que puede
almacenar 8 símbolos (que pueden ser ceros ó unos)
ese byte con sus 8 símbolos
emitirá señales como . .
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 1 0 1 0 1
1 0 1 0 0 1 0 0
etc. etc. . .
Supongamos un byte en el que hay 5 ceros y 3 unos
¿ Cuántas señales diferentes podrá emitir ese byte ?
En este caso, el conjunto de elementos es { 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1 }
conjunto de 8 elementos,
de los cuales uno se repite 5 veces;
y el otro se repite 3 veces
358
,P
!!
!35
8
12355678
!!
358
,P 56 Señales diferentes se pueden emitir desde 1 byte con 5 ceros y 3 unos
y la operación que resuelve . . .
13 i) La palabra I N D E P E N D E N C I A tiene 13 letras
De las cuales I se repite 2 veces
N se repite 3 veces
D se repite 2 veces
E se repite 3 vecesLas demás letras de la palabra, no se repiten, aparecen solo
una vez
13P 23, 2, 3,
!!!!!
323213
1231212312
12345678910111213 43.243.200 43.243.200 palabraspalabras
i i ) La palabra C A T A M A R C A tiene 9 letras De las cuales
C se repite 2 veces A se repite 4 veces
9P2 4,
!!!42
9
!!
412456789 7.560 palabras7.560 palabras
4
i i i ) La palabra M O N O M I O tiene 7 letras De las cuales
M se repite 2 veces O se repite 3 veces
7P2 3,
!!
!32
7
!!
31234567
420 420 palabraspalabras
3
Arreglo con Repetición
Dado un conjunto de dos elementos {a, b} puedo formar cadenas
de tres elementosdonde al menos un elemento se repite
a a a a a b a b aa b b b a a b b a b a bb b bSe trata de un Arreglo de 2
elementos, tomados de tres en tres,
con repetición
2A3 r,823
Dado un conjunto de tres elementos {a, b, c} también puedo formar cadenas
de dos elementosincluyendo aquellas donde los elementos se
repiten
a a a b b bb a c a c c b c
a cSe trata de un Arreglo de 3
elementos, tomados de dos en dos,
con repetición
3A2 r,932
c b
Generalizando, Arreglo de m elementos tomados de n en n, con repetición; se calcula con . .
.
mAn r,
nm
Ahora podemos volver sobre el problema del total de información que se almacena en 1 byte . . . un bit entrega señales bi-estables con los elementos son { 0, 1 }Pero, en 1 byte hay 8 bit, es decir que las cadenas que se forman
en un byte están conformadas por 8 señales, que pueden ser ceros ó unos
Para calcular cuántas señales diferentes puedo almacenar en 1 byte, debo plantear un Arreglo
2A8 r,25628
de dos elementostomados de ocho en
ocho
con repeticiónseñales señales diferentesdiferentes
14) Con los dígitos 2, 3 y 9 se puede formar números
De los cuales serán mayores que 100 solo aquellos números que tengan
tres cifras3
3 r,A 2733 Son pares los números
terminados en cifra par
en este caso, la única cifra par es el 2
2
quedan entonces dos lugares, pero los elementos de que disponemos para esos dos lugares siguen
siendo 3recuerde que hay repetición de elementos; y los resolvemos con
. . .
32 r,A 932
2
efectivamente, esos números son . . .
2 2
2 2 2
2 2
2 3
2 9
3 2
3 3
3 9
2 2 29 2
9 3
9 9
5
15
43)
nna
]!5)1[(!5
)!1(5
)!4(!4
!3
n
n
n
n
desarrollamos las expresiones factoriales hasta que queden en condiciones de poder simplificarse
)!(!
)!(
)!()()(!
)!(
6451
56544
13
nn
nnnnn Haciendo pasajes de
divisores como factores y viceversa
)!(!
)!(
)!()()(!
)!(
6456
51544
13
nn
nnnnn simplificando los factores
que son idénticos en el numerador y el denominador
!)()(! 41
5443
nn
n se simplifica 4! ; se resuelve el producto de los binomios
12054
32
)( nnnn
haciendo pasajes de términos
)( 2093 2 nnn finalmente 032092 nnn
ó bien 020122 nn
15)
16 b16 b 16 c-d16 c-d 16 e16 e
Resolvemos ahora 020122 nn
como ecuación de segundo grado a x2 + b x + c = 0
con la fórmula a
acbbx
242
21
si a = 1 b = -12 y c = 20
aacbb
x2
42
21
12
20141212 2)()(
28014412
2
8122
6412 220
1 x 10
24
2 x 2
310 21 xx
son soluciones de la ecuación 020122 nn
adoptamos como solución de
5
15
43
nnn = 10
porque n = 2 es una solución absurda, ya que no es posible hallar
5
125
4
23
16 b16 b 16 c-d16 c-d 16 e16 e
Verificamos la solución n = 10
5
15
43
nn
5
1105
4
103
)!(!!
)!(!!
5959
54104
103
!!!
!!!
4595
5649103
!!!
!!!
!!!
!!!
4595
945
5649103
945
56103
Multiplicamos ambos miembros por
!!!
945
y simplificamos
55
queda verificado el resultado
16 b16 b 16 c-d16 c-d 16 e16 e
AAA nnnb 12
1232
1)
]!)[(
)!(
]!)[(
)!(
)!(
!
211
211
321
nn
nn
nn
)!n()!n(
)!n()!n(
)!n(!n
31
31
321
Multiplicamos por 2 ambos miembros
finalmente
16 c-d16 c-d 16 e16 e
)!n()!n(
)!n()!n(
)!n(!n
312
312
3
Ahora multiplicamos ambos miembros por (n – 3 )!
)!n()!n()!n(
)!n()!n()!n(
)!n()!n(!n
3312
3312
33
simplificamos y
obtenemos
)!n()!n(!n 1212
que se puede escribir
)!n()!n()!n(n 12121 Dividimos ambos miembros por (n -
1)!
)!n()!n(
)!n()!n(
)!n()!n(n
112
112
11
y simplificamos
22 n 4n
Verificamos la solución n = 4
16 c-d16 c-d 16 e16 e
AAA nnn 12
123
21 AAA 14
214
243
21
)!(!
)!(!
)!(!
233
233
344
21
23232
1234
66
queda verificado el resultado
CA nnc 31
2 67)
)!(!
!
]!)[(
)!(
336
211
7
nn
nn
desarrollamos las factoriales y resolvemos según convenga )!(
)!(
)!(
)!(
31231
631
7
nnn
nn
hacemos pasajes factores como divisores y viceversa
)!(
)!(
)!(
)!(
31233
611
7
nnn
nn
y simplificamos
entonces
n7 luego n = 7
1023
34
) 22
32 AA nnd 10
222
23
233
34
]!)[(
)!(
]!)[(
)!(
nn
nn
resolvemos 102
23
13
34
!
)!(
)!(
)!(
nn
nn desarrollamos
convenientemente las factoriales y simplificamos
1012
23
1123
34
!
!))((
)!(
)!)()((
nnnn
nnnn
16 e16 e
te queda la tarea de verificar el resultado
Quedamos con 1012
23
2334
))(())(( nnnn
Sacamos factor común 10123
334
2
)()()( nnn
Resolvemos el corchete
Y finalmente 030132 nnEn la ecuación de 2º grado
a = -1 b = 13 c = -30
1023
23
312
34
2
nnn )( 10
25
62
nn )(
efectuamos el producto del 1er
miembro10
210
62
25
6
2
nnn
1056
136
2
nn
Para resolver la ecuación de 2º grado previamente
multiplicamos todo por (6)
106566136
66 2
nn simplificamos
)(
)()(
1230141313 2
21
x
2
49133
2713
1
x
102
7132
x
Las soluciones posibles son
n = 3 n = 1016 e16 e
Verificamos para n = 3 1023
34 2
23
2 AA nn
1023
34 23
233
2 AA 1023
34 5
262 AA
1025
523
266
34
)!(
!)!(
!10
35
23
456
34
!!
!!
103
34523
4456
34
!
!!
!2 2
103040
Para n = 10 10
23
34 210
2310
2 AA 1023
34 12
2132 AA
10212
1223
21313
34
)!(
!)!(
!10
10101112
23
11111213
34
!
!!
!4 6
1011634134 10198208
queda verificado el resultado n = 3
queda verificado el resultado n = 10
simplificamos
16 e16 e
564) 21
22
2 CCC nnne
5622212
1222
24
)!(!
!
]!)[(!
)!(
]!)[(!
)!(
nn
nn
nn
resolvemos . . . 562212
12
24
)!(!
!
)!(!
)!(
!!
)!(
nn
nn
nn desarrollamos los
factoriales
5622
2112
112
124
)!(!
)!()(
)!(!
)!()(
!!
!)()(
nnnn
nnnn
nnnn simplificamos2
562
121
122 )()())((
nnnnnn
y operamos . . . .
562222
22222
2 nnnn
nnn )( 564422 2 nnnn
finalmente tenemos
56452 2 nn que es 05252 2 nn
Resolvemos 05252 2 nn como una ecuación de 2º grado
Donde a = 2 b = 5 c= -52
22
522455 2
21
)(n
4
44154
215 4
416
1 n
413
426
2
nDescartamos n2 como resultado porque el resultado debe ser entero
y verificamos n = 4
564 42
142
242 CCC 56
2524
2525
2626
4
)!(!
!)!(!
!)!(!
!
562234
32345
42456
4
!
!!
!!
3 25661060
queda verificado el resultado n = 4
Binomio de Newton
Sabemos que el cuadrado de un
binomio
( a + b )2
se desarrolla a2 + 2 a b + b2
y el cubo de un binomio
( a + b )3
se desarrolla a3 + 3 a2 b + 3 a b2 + b3
generalizando
( a + b )n nnnnnnnnnn ba
n
nba
n
nba
nba
nba
nba
1122110
1210)(...)(
0 1 2 1n- n
El desarrollo dela potencia de un binomio se compone de una sucesión de sumas (sumatoria) donde cada términoestá compuesto por un número
combinatorioque multiplica al primer término del binomio elevado a una potenciay multiplica también al segundo término del binomio elevado a otra potenciadonde el numerador de los números combinatorios se mantiene
constantemientras el denominador aumenta desde 0 hasta n
el exponente del primer término en cada sumando se forma con la diferencia entre el numerador y denominador del número combinatorio (va de n a 0)el exponente del segundo término en cada sumando se forma con el denominador del número combinatorio (va de 0 a n)
17 a17 a
17 b17 b
El desarrollo de la potencia de un binomio se escribe
nnnnnnnnnn ban
nba
n
nba
nba
nba
nba
1122110
1210)(...)(
n
k
kknn bak
nba
0
)(
!!
!
)!(!
!
nn
nnn
1000
!!
!
)!(!
!
0nn
nnnn
n
n1 1
)!(!
)!(
)!(!
!
111
111 nnn
nnn
!)!(
)!(
)]!([)!(
!
111
111 nnn
nnnn
n
nn n
)!(!
)!()(
)!(!
!
2221
222 nnnn
nnn
!)!(
)!()(
)]!([)!(
!
2221
222 nnnn
nnnn
n
n
2
2 nn
2
2 nn
Los números combinatorios equidistantes en el desarrollo del binomio de Newton son
iguales
17 a17 a 17 b17 b
5)3() xa
n
k
kknn bak
nba
0
)(
donde a = x ; b = -3 ; n = 5
3352251150055 3
3
53
2
53
1
53
0
53 )()()()()( xxxxx
555445 3
5
53
4
5)()( xx
nos conviene resolver los números combinatorios como cálculo auxiliar
!
!
)!(!
!
515
0505
0
51
!
!
)!(!
!
4145
1515
1
55
!
!
)!(!
!
32345
2525
2
5
!!
!
)!(!
!
055
5555
5
51
!!
!
)!(!
!
23345
3535
3
5
!!!
)!(!!
1445
4545
4
5
10 10
5
16)
17 b17 b
reemplazamos los valores de los números combinatorios hallados en la expresión
5
0
555 35
33k
kk )(xk
)(x)x(
)()()()( 24311815271091035113 23455 xxxxxx
24340527090153 23455 xxxxxx )(
observe que los números combinatorios equidistantes que conforman el desarrollo de la potencia del binomio son iguales
555445335225115005 35
53
4
53
3
53
2
53
1
53
0
5)(x)(x)(x)(x)(x)(x
17 b17 b
43 )1
()x
xb
n
k
kknn bak
nba
0
)(
2243
1143
0043
43 1
2
41
1
41
0
41x
)x(x
)x(x
)x(x
x
4443
1343 1
4
41
3
4
x)x(
x)x(
nos conviene resolver los números combinatorios como cálculo auxiliar
donde a = x3 ; b = 1/x ; n = 4
!
!
)!(!
!
414
0404
0
41
!!
)!(!!
3134
1414
1
44
!!!
)!(!!
22234
2424
2
4
!!!
)!(!!
044
4444
4
41
!!!
)!(!!
1334
3434
3
4
6212
4
reemplazamos los valores de los números combinatorios hallados en la
expresión
4443
3343
2243
1143
0043 1
4
41
3
41
2
41
1
41
0
4
x)x(
x)x(
x)x(
x)x(
x)x(
4
0
434
3 141k
kk
xx
kxx )(
4
403
3
313
2
223
1
133
0
043
43 1
11
41
61
41
11
xx
xx
xx
xx
xx
xx
)()()()()(
4
0
3
3
2
69
0
1243 464
1xx
xx
xx
xx
xx
xx
44812 464 xxxx
8 4
1
1
Término k-ésimoSi el desarrollo de la
potencia de un binomio es
n
k
kknn bak
nba
0
)(
Vemos que en el número combinatorio, para el primer término k = 0; para el segundo término k = 1; para el tercer término k = 2 y así
sucesivamente . . . El desarrollo de la potencia n del binomio siempre tiene n + 1
términos
así)()( 11
1
kknk ba
k
nT
Si n (exponente) es par, n + 1 (cantidad de términos) es impar
entonces el desarrollo tendrá un término central
Si n (exponente) es impar, n + 1 (cantidad de términos) es par
entonces el desarrollo tendrá dos términos centrales
18 c-d18 c-d 18 e18 e18 a-b18 a-b
17) a) Para hallar el undécimo término sin efectuar el desarrollo de
152 )2( xx
Aplicamos la fórmula )()( 11
1
kknk ba
k
nT
donde a = 2 x2 ; b = - x ; n = 15 y k = 11
11111115211 2
111
15
)()( )( xxT 1052210
15)()( xx
101010511 12
10151015
xxT )()!(!
!
2032510
15x
!!
!
Tenga presente que (–x)10 = [(-1)10
x10]
2009696 x.
9)23( yx b) Calcular el o los términos centrales de
Si n = 9 el desarrollo tiene 10 términos, entonces hay 2 términos centrales
hacemos 52
19 términos
centrales son el 5º y 6º
908172635445362718099
9
9
8
9
7
9
6
9
5
9
4
9
3
9
2
9
1
9
0
9bababababababababababa )(
comprobamos
21n
18 c-d18 c-d 18 e18 e
Hallamos entonces el 5º y el 6º término para
9)23( yx
)()( 11
1
kknk ba
k
nT donde a = 3 x b = -2 y
n = 9 y k = 5
)()( )()( 151595 23
15
9
yxT 45 234
9)()( yx
4455 23
4949
yx )()!(!
!
45 1624354
9yx
!!
! 45888489 yx. ahora a = 3 x b = -2 y n = 9 y k = 6
)()( )()( 161696 23
16
9
yxT 54 235
9)()( yx
5544 23
5959
yx )()!(!
!
54 328145
9yx
)(
!!
! 54592362 yx.
17 c) El coeficiente de x32 en el desarrollo de
15
34 1
xx
Debe hallarse teniendo en cuenta que el término que
contenga x32 (si existe) debe ser de la forma
132115 11
15
kkk xa
kT )()(
aplicando la fórmula del término k-ésimo )()( ))(()()( 1311154 11
15
kkkk xx
kT
Resolvemos en el término k-ésimo solamente los factores que contienen x
331164 11
15
kkkk xx
kT )()()( 331464 1
1
15
kkk xxk
)()(
133464 11
15
kkk xxk
)()(133464 1
1
15
kkkxk
)(
Llegamos a una expresión que contiene una potencia de x, en función de k ; como nosotros queremos saber cuál es el término (k) que contiene x32 ; igualamos el exponente de x a 32 y despejamos k
32767 k k73267 5k
18 d18 d 18 e18 e
17 c) Para verificar hallamos el 5º término del desarrollo de
15
34 1
xx
15315151545 1
15
15
)()()( )( xxT 434114 14154
15)()()(
)!(!
!
xx
1244
11415
xx
!!
! 323651 x.
732/1 )( xx 18 d) Para hallar el término de grado 7 en
Usamos el mismo procedimiento
que en el ejercicio anterior
131721
1
7
kkk xx
kT )()( / 332
8
1
7
kk
xxk
entonces, trabajando con los exponentes
725
1332
4332
8
kk
kk
k733
28
kk
625
k 512
526
k
El problema NO TIENE SOLUCIONNO TIENE SOLUCION porque k debe ser un número natural 18 e18 e
17 e) Para hallar el término que contiene a-
35 en
25
23 3
aa
1
21253 3
1
25
kk
ka
)a(k
T
y estudiamos en particular los factores
que contienen a
)k(
k)k(
aa
12
1263 3
planteamos . . .
)k(
)k()k(
a
a12
37813
)k()k()k( aa 2237813
)kk()k( a 2237813
3522378 aa )kk(
35580 k
80355 k 235
115
k
La potencia del denominador pasa al numerador con signo
cambiado
operamos los exponentes del factor a (producto de potencias de igual base)
igualamos el factor a elevado a la potencia que buscamos ( -35 )igualamos los exponentes y despejamos
k
El término que contiene El término que contiene aa-35 -35 es el 23º es el 23º
Recuerde que k debe ser un número natural menor ó igual que el exponente
del binomio
23 < 25 23 < 25 B.C.B.C.
18) Si los términos T10 y T15 son equidistantes de los extremos en el desarrollo de (x + a)n
El desarrollo tiene n + 1 términos
T10
hallar n es mucho mas simple de lo que parece
y si T10 y T15 son equidistantes de los extremos
Antes que T10
hay
T9
T8
T2
T1
+ + + + + +. . .
9 términos después de T15
. . . +
T15
también deben haber 9 términos
T24
T23
T17
T16
+ + + +. . .+podíamos haber planteado: si T10 y T15 son equidistantes de los
extremos
10 – 1 = 9 9 términos a la izquierda de T1015 + 9 =
24 el último término es T24
el desarrollo de cualquier binomio tiene n + 1 términos
n + 1 = 24
entonces . . . n = 23n = 23
y para finalizar . .
.
te presento alguien que en algún en algún momento puede darte una ayuda momento puede darte una ayuda
importante . . .importante . . .
Serás lo que debas ser, sino serás nada. Gral. José de San
Martín
