5 diamond model

Постановка задачиПоведение домохозяйств

Динамика капитала

Современные модели экономического ростаЛекция 5. Модель перекрывающихся поколений Даймонда

В. Хачатуров

Экономический факультетСанкт-Петербургский Государственный Университет

15 мая 2009 года

В. Хачатуров Модели роста



Outline

1 Постановка задачи

2 Поведение домохозяйств

3 Динамика капитала




Теперь нашей задачей будет построение моделей, вкоторых динамика будет существенным образомопределяться “микроэкономическим” поведениеммаксимизирующих агентов.При этом мы по-прежнему предполагаем темпы ростанаселения и технологический прогресс заданными.




Теперь нашей задачей будет построение моделей, вкоторых динамика будет существенным образомопределяться “микроэкономическим” поведениеммаксимизирующих агентов.При этом мы по-прежнему предполагаем темпы ростанаселения и технологический прогресс заданными.




Фирмы

Существует большое количество одинаковых фирм.Агрегированный выпуск фирм описываетсяпроизводственной функцией Y = F (K ,AL),удовлетворяющей всем указанным ранее условиям(неоклассической).Технологический прогресс A задан, темп его роста g .Фирмы нанимают факторы на конкурентных рынках, ипродают весь выпуск на конкурентном рынке продукта.Домохозяйства являются владельцами фирм, поэтому весьдоход фирм без остатка переходит к ним.




Фирмы





Фирмы





Фирмы





Фирмы





Домохозяйства

Домохозяйства владеют капиталом и одалживают егофирмам.Ключевое предположение: существует постоянный оборотлюдей. Кто-то рождается, а кто-то умирает. Для простотыпредположим, что индивид живёт два периода.В периоде t рождается Lt индивидов. Как и прежде,население растёт с темпом n: Lt = (1 + n)Lt−1.Поскольку каждый живёт только два периода, в периоде tесть Lt родившихся сейчас и Lt−1 = Lt/(1 + n) родившихсяв предыдущем периоде, и выбывающих в этом.Каждый индивид приносит в экономику 1 единицу труда в“молодости”, то есть в первом периоде. Доход от трударазделяется между сбережениями и текущимпотреблением первого периода.

























Во втором периоде индивид уже не работает, а толькопотребляет то, что было сбережено им в первом периоде, сначисленной ставкой процента.Обозначим через C1t и C2t+1 потребление индивида впервом и втором периодах соответственно.Тогда совокупная полезность индивида, родившегося впериоде t, примет следующий вид (мы используемфункцию полезности CRRA):

U(t) =C 1−θ

1t1− θ

+1

1 + ρ

C 1−θ2t+1

1− θ, θ > 0, ρ > −1 (1)






U(t) =C 1−θ

1t1− θ

+1

1 + ρ

C 1−θ2t+1

1− θ, θ > 0, ρ > −1 (1)






U(t) =C 1−θ

1t1− θ

+1

1 + ρ

C 1−θ2t+1

1− θ, θ > 0, ρ > −1 (1)




Здесь ρ – относительный вес, который индивидприсваивает потреблению во втором периоде.Для простоты предположим, что коэффициент выбытиякапитала δ = 0.Всё остальное совершенно такое же, как в модели Солоу:

Рынки конкурентныКапитал и труд зарабатывают свой предельный продуктФирмы имеют нулевую прибыль

Тогда доход капитала составит rt = f ′(kt), доход трудаwt = f (kt)− kt f ′(kt).Наконец, исходный запас капитала K0 принадлежит всемдомохозяйствам.




























Словами процесс в модели можно описать следующимобразом: в нулевом периоде молодые совмещают свойтруд с капиталом старых для получения выпуска и дохода.Старые проедают свой доход плюс то, что они сберегают, азатем умирают.Молодые разделяют свой доход (wtAt) междупотреблением и сбережением. Запас капитала следующегопериода равен совокупному сбережению всех индивидов впредыдущем периоде: Kt+1 = Lt(wtAt − C1t). Этоткапитал комбинируется с трудом следующего поколениямолодых, и процесс продолжается.




Словами процесс в модели можно описать следующимобразом: в нулевом периоде молодые совмещают свойтруд с капиталом старых для получения выпуска и дохода.Старые проедают свой доход плюс то, что они сберегают, азатем умирают.Молодые разделяют свой доход (wtAt) междупотреблением и сбережением. Запас капитала следующегопериода равен совокупному сбережению всех индивидов впредыдущем периоде: Kt+1 = Lt(wtAt − C1t). Этоткапитал комбинируется с трудом следующего поколениямолодых, и процесс продолжается.




Потребление индивида во втором периоде равно:

C2t+1 = (1 + rt+1)(wtAt − C1t) (2)

Отсюда естественным образом получается бюджетноеограничение индивида:

C1t +1

1 + rt+1C2t+1 = Atwt (3)

Индивид решает задачу максимизации полезности (1) прибюджетном ограничении (3).





C2t+1 = (1 + rt+1)(wtAt − C1t) (2)


C1t +1

1 + rt+1C2t+1 = Atwt (3)






C2t+1 = (1 + rt+1)(wtAt − C1t) (2)


C1t +1

1 + rt+1C2t+1 = Atwt (3)





Ну давайте её решим. Выпишем функцию Лагранжа:

L =C 1−θ

1t1− θ

+1

1 + ρ

C 1−θ2t+1

1− θ+λ

[Atwt −

(C1t +

11 + rt+1

C2t+1

)](4)

Дифференцируя, получаем условия первого порядка:

C−θ1t = λ (5)1

1 + ρC−θ2t+1 =

11 + rt+1

λ (6)

Комбинируя, получаем уравнение Эйлера для нашейзадачи:

C2t+1

C1t=

(1 + rt+1

1 + ρ

). (7)





L =C 1−θ

1t1− θ

+1

1 + ρ

C 1−θ2t+1

1− θ+λ

[Atwt −

(C1t +

11 + rt+1

C2t+1

)](4)


C−θ1t = λ (5)1

1 + ρC−θ2t+1 =

11 + rt+1

λ (6)


C2t+1

C1t=

(1 + rt+1

1 + ρ

). (7)





L =C 1−θ

1t1− θ

+1

1 + ρ

C 1−θ2t+1

1− θ+λ

[Atwt −

(C1t +

11 + rt+1

C2t+1

)](4)


C−θ1t = λ (5)1

1 + ρC−θ2t+1 =

11 + rt+1

λ (6)


C2t+1

C1t=

(1 + rt+1

1 + ρ

). (7)




Если из уравнения Эйлера выразить C2t+1 через C1t иподставить в бюджетное уравнение потребителя, мыполучим следующее выражение для потребления в первомпериоде, как части дохода:

C1t =(1 + ρ)1/θ

(1 + ρ)1/θ + (1 + rt+1)(1−θ)/θAtwt (8)

Из этого уравнения следует, что сберегаемая часть зависитот ставки процента. Обозначим зависимость сберегаемойчасти дохода от процента через s(r). Тогда

s(r) =(1 + r)(1−θ)/θ

(1 + ρ)1/θ + (1 + r)(1−θ)/θ(9)

Таким образом,

C1t = [1− s(rt+1)]Atwt . (10)





C1t =(1 + ρ)1/θ

(1 + ρ)1/θ + (1 + rt+1)(1−θ)/θAtwt (8)


s(r) =(1 + r)(1−θ)/θ

(1 + ρ)1/θ + (1 + r)(1−θ)/θ(9)


C1t = [1− s(rt+1)]Atwt . (10)





C1t =(1 + ρ)1/θ

(1 + ρ)1/θ + (1 + rt+1)(1−θ)/θAtwt (8)


s(r) =(1 + r)(1−θ)/θ

(1 + ρ)1/θ + (1 + r)(1−θ)/θ(9)


C1t = [1− s(rt+1)]Atwt . (10)




Из выражения для s(r) видно, что сбережения молодогоиндивида растут с ростом r только тогда, когда растёт(1 + r)(1−θ)/θ.Производная этого выражения по r равна[(1− θ)/θ](1 + r)(1−2θ)/θ. Значит, s возрастает по r еслиθ < 1 и убывает, если θ > 1.Поскольку параметр θ отражает баланс между эффектомдохода и эффектом замещения в межвременном выбореиндивида (вспомним вид функции полезности), то такимобразом можно отследить влияние межвременныхпредпочтений на сбережения.












Из сказанного выше следует, что в нашей экономике запаскапитала определяется сбережениями:

Kt+1 = s(rt+1LtAtwt (11)

Заметим, что индивид сберегает под ожидаемую ставкупроцента, свою текущую заработную плату.Разделим обе части на Lt+1At+1, и учтём известные намтемпы роста и выражения для rt и wt , получая динамикукапитала:

kt+1 =1

(1 + n)(1 + g)s(f ′(kt+1))[f (kt)− kt f ′(kt)] (12)







kt+1 =1

(1 + n)(1 + g)s(f ′(kt+1))[f (kt)− kt f ′(kt)] (12)







kt+1 =1

(1 + n)(1 + g)s(f ′(kt+1))[f (kt)− kt f ′(kt)] (12)




Видно, что динамика капитала у нас определилась тольконеявно (поскольку kt+1 стоит и в правой части). В общемслучае трудно что-либо сказать про явный вид этойзависимости.Перейдём к логарифмической полезности (θ = 1) и ПФКобба-Дугласа:

kt+1 =1

(1 + n)(1 + g)

12 + ρ

(1− α)kαt (13)




Видно, что динамика капитала у нас определилась тольконеявно (поскольку kt+1 стоит и в правой части). В общемслучае трудно что-либо сказать про явный вид этойзависимости.Перейдём к логарифмической полезности (θ = 1) и ПФКобба-Дугласа:

kt+1 =1

(1 + n)(1 + g)

12 + ρ

(1− α)kαt (13)










Сдвиг в коэффициенте дисконтирования аналогичен ростунормы сбережения в модели Солоу: уровни переменныхвырастают, темпы роста переменных в расчёте на единицуэффективного труда после сходимости снова нулевые.




Как и раньше, нас интересуют не только качественные, нои количественные предсказания модели: в том числе,скорость сходимости.Разложим kt+1 в ряд вдоль траектории сбалансированногороста, то есть k = k∗:

kt+1 ≈ k∗ +

(dkt+1

dkt(k∗)

)(kt − k∗) (14)

Пусть λ есть значение производной. Тогда решением этогоЛРУ будет:

kt − k∗ ≈ λt(k0 − k∗) (15)





kt+1 ≈ k∗ +

(dkt+1

dkt(k∗)

)(kt − k∗) (14)


kt − k∗ ≈ λt(k0 − k∗) (15)





kt+1 ≈ k∗ +

(dkt+1

dkt(k∗)

)(kt − k∗) (14)


kt − k∗ ≈ λt(k0 − k∗) (15)




Отсюда следует, что если λ между 0 и 1, система плавносходится.Если λ между −1 и 0, система сходится, осциллируявокруг сбалансированной траектории.Если λ по модулю больше 1, система “взрывается” ирасходится.Для ПФ Кобба-Дугласа λ = α. Поскольку α лежит между0 и 1, такой вид ПФ означает успешную монтоннуюсходимость.При этом скорость сходимости отличается от скоростисходимости в модели Солоу – причина лежит в том, что вовтором периоде “старики” потребляют, но не сберегают,причём не постоянную часть дохода.




















Общий случай

Несмотря на простоту модели, рассмотрение динамики вобщем случаем нетривиально.В частности, в зависимости от вида ПФ и функцииполезности, может возникнуть ситуация, когдаравновесных значений k будет больше двух.Причём эти равновесия могут оказаться как устойчивыми,так и не устойчивыми, или вообще не определятьсяоднозначным образом.

















Более того, экономика модели Даймонда может бытьточно так же динамически неэффективна, как и экономикамодели Солоу – в частности, состояние равновесия можетбыть с k∗ > kgold .Казалось бы, как так может быть? Конкурентностьэкономики и отсутствие экстерналий должно привести кПарето-эффективному распределению.Причина состоит в том, что у нас бесконечное числоагентов. Social planner мог бы устраивать в такойэкономике распределения, которые не являютсярезультатом рыночного механизма: в частности, он мог быбесконечно забирать одну единицу дохода от труда умолодых и отдавать старым, причём делать это длякаждого поколения – а значит, можно улучшитьдецентрализованное распределение.










Education

5 diamond model