ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΙΕΡΑΡΧΙΑΣ

Πατσιλινάκος Παναγιώτης

Σκοπός

●Να δείξουμε ότι μηχανές με περισσότερους πόρους (χρονικούς-χωρικούς) έχουν περισσότερες δυνατότητες.

●Να δείξουμε ότι οι κλάσεις πολυπλοκότητας διαφέρουν μεταξύ τους. (-> υπάρχουν “δύσκολα” προβλήματα)

ΧΩΡΙΚΗ ΙΕΡΑΡΧΙΑ

Χωρικά Κατασκευάσιμες Συναρτήσεις

Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών το Ν, με f(n) τουλάχιστον Ο(logn), καλείται χωρικά κατασκευάσιμη όταν η συνάρτηση που απεικονίζει τη λέξη στη δυαδική αναπαράσταση της τιμής f(n) είναι υπολογίσιμη σε χώρο Ο(f(n)).

1n

Χωρική Κατασκευασιμότητα

● Κάθε συνήθης συνάρτηση που είναι τουλάχιστον Ο(logn) είναι χωρικά κατασκευάσιμη (όπως logn , n logn και ).

● (Στρογγυλοποίηση προς τα κάτω μη ακεραίων συναρτήσεων)

● Κέρδος κατασκευασιμότητας στο θεώρημα ιεραρχίας ?

n2

Θεώρημα Χωρικής Ιεραρχίας

Για οποιαδήποτε χωρικά κατασκευάσιμη συνάρτηση, με πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών το N, υπάρχει γλώσσα που διαγιγνώσκεται σε χώρο Ο(f(n)) αλλά όχι σε χώρο ο(f(n)).

Αποδεικτική Διαδικασία

● Θα δείξουμε ότι υπάρχει γλώσσα που διαγιγνώσκεται σε χώρο Ο(f(n)) και δεν διαγιγνώσκεται σε χώρο ο(f(n)).

● Κατασκευή αλγορίθμου D που διαγιγνώσκει τη γλώσσα σε χώρο Ο(f(n)). (η γλώσσα ορίζεται από τον D)

● Χρήση του ορισμού του D για να δείξουμε ότι η γλώσσα δεν διαγιγνώσκεται σε χώρο o(f(n))

(αρχή της διαγωνιοποίησης).

Ο Αλγόριθμος D

Για είσοδο w:

● Έστω n το μήκος της w

● Οριοθετούμε χώρο f(n). Σε περίπτωση υπέρβασης απορρίπτουμε.

● Ελέγχουμε αν w είναι της μορφής , όπου Μ μηχανή Turing. Aν όχι απορρίπτουμε.

● Προσομοιώνουμε την Μ για είσοδο w. Αν το πλήθος των βημάτων υπερβεί το φράγμα , απορρίπτουμε

● Αν Μ αποδέχεται, απορρίπτουμε. Αν Μ απορρίπτει αποδεχόμαστε.

⟨Μ ⟩10*

2o(f (n))

Ανάλυση Του D

● D διαγνώστης που λειτουργεί σε χώρο O(f(n)).

● Έστω Μ διαγιγνώσκει την γλώσσα του D σε χώρο o(f(n)) (έστω g(n)).:

– Η D μπορεί να προσομοιώσει την Μ σε χώρο dg(n) (καθώς η D έχει περ/σμένο αλφάβητο).

– Αλλά g(n) = o(f(n)) άρα υπάρχει n0 τ.ω: για κάθε , dg(n)<f(n). Άρα για αυτά τα n υπάρχει αρκετός χώρος ώστε να ολοκληρωθεί η προσομοίωση της Μ από την D.

– Άρα αν καλέσουμε την D με είσοδο: η προσομοίωση θα ολοκληρωθεί και η D απαντά (ορσ) αντίθετα από την Μ. Άρα η Μ δεν αναγνωρίζει την γλώσσα του D

n≥n0

⟨M ⟩10n0

Χρήσιμα Πορίσματα

● Έστω συναρτήσεις f1, f2 με πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών το N, με f1(n) = ο(f2(n)), και f2 χωρικά κατασκευάσιμη, τότε:

● Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς ,

SPACE (f1 (n))⊂SPACE (f2(n))

0≤ε1<ε2 SPACE (nε 1)⊂SPACE (nε 2)

Κάποια Πορίσματα Εγκλεισμών Κλάσεων Πολυπλοκότητας (1)

● Από θ. Savich έχουμε .● Από θ. χωρικής ιεραρχίας έχουμε

. ● Άρα .

NL⊆SPACE (log2n)

SPACE (log2n)⊂SPACE (n)

NL⊂PSPACE

Κάποια Πορίσματα Εγκλεισμών Κλάσεων Πολυπλοκότητας (2)

Από θ. χωρικής ιεραρχίας:●

●

● Άρα:

● Δηλαδή υπάρχουν προβλήματα που απαιτούν υποχρεωτικά εκθετικό (υπερπολυωνυμικό) χώρο για τη διαγνωσιμότητά τους.

SPACE (nk )⊂SPACE (nlogn)

SPACE (nlogn)⊂SPACE (2n)

PSPACE⊂EXPSPACE

ΧΡΟΝΙΚΗ ΙΕΡΑΡΧΙΑ

Χρονικά Κατασκευάσιμες Συναρτήσεις

Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών το N, όπου f(n) τουλάχιστον Ο(n logn), καλείται χρονικά κατασκευάσιμη όταν η συνάρτηση που απεικονίζει τη λέξη στη δυαδική αναπαράσταση της τιμής f(n) είναι υπολογίσιμη σε χρόνο Ο(f(n)).

1n

Θεώρημα Χρονικής Ιεραρχίας

Για κάθε χρονικά κατασκευάσιμη συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών το Ν, υπάρχει γλώσσα που διαγιγνώσκεται σε χρόνο Ο(f(n)) αλλά όχι σε χρόνο ο(f(n) / log f(n)).

Χρήσιμα Πορίσματα

● Έστω δύο συναρτήσεις f1, f2, με πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών το Ν. Εάν f2 χρονικά κατασκευάσιμη και f1(n) = ο(f2(n)/logf2(n)), τότε

.● Για οποιουσδήποτε δύο πραγματικούς

αριθμούς , ισχύει:● Από τα παραπάνω:

TIME (f1)⊂TIME (f2)

1≤ε1<ε2 TIME (nε 1)⊂TIME (nε2)

P⊂EXPTIME

Απόδειξη Ύπαρξης “Δύσκολων” Προβλημάτων

● Έχουμε δείξει:● Αρκεί να βρούμε μια EXPSPACE πλήρη

γλώσσα.

PSPACE⊂EXSPACE

Η Γλώσσα ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ/REX^

● ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ/REX^ = { οι Q, R είναι ισοδύναμες γενικευμένες κανονικές εκφράσεις}

● (Γενικευμένες κανονικές εκφράσεις REX^: εκτός από τις γνωστές πράξεις της ένωσης, της συναρμογής και της συσσώρευσης των κανονικών εκφράσεων, ορίζουμε και την πράξη της “ύψωσης σε δύναμη”)

● Η γλώσσα ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ/REX^ είναι EXPSPACE πλήρης

⟨Q , R ⟩ |

Απόδειξη EXPSPACE Πληρότητας της ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ/REX^ (1)

● :– Κατασκευάζουμε ανταιτιοκρατική μηχανή Ν, που

ελέγχει αν δύο ανταιτιοκρατικά πεπερασμένα αυτόματα είναι ισοδύναμα.

– Η Ν λειτουργεί σε γραμμικό χώρο (οι εκθέτες αναπαριστούνται ως δυαδικοί ακέραιοι).

– Από Savitch μπορούμε να κατασκευάσουμε αιτιοκρατική μηχανή ισοδύναμη της Ν, έστω Ν' που λειτουργεί σε χώρο

– Χρησιμοποιώντας την Ν' κατασκευάζουμε μηχανή Ε που διαγιγνώσκει τη γλώσσα σε εκθετικό χώρο.

ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ /REX ^ ∈ EXPSPACE

O(n2)

Απόδειξη EXPSPACE Πληρότητας της ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ/REX^ (2)

● Ε= Με είσοδο δύο κανονικές εκφράσεις , :– Μετατροπή των , σε αντίστοιχες

κανονικές εκφράσεις , (με αντικατάσταση των δυνάμεων – εκθετική πολυπλοκότητα)

– Μετατροπή των , σε ισοδύναμα NFA ,

(γραμμική πολυπλοκότητα)

– Έλεγχος ισοδυναμίας των , με χρήση του Ν' ( )

R1 R2

R1 R2

B1 B2

B1 B2 N 1

N 2

N 1 N 2O(n2

)

Απόδειξη EXPSPACE Πληρότητας της ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ/REX^ (3)

● Πληρότητα ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ/REX^:– Θέλουμε να δείξουμε ότι κάθε γλώσσα Α που

ανήκει στο EXPSPACE ανάγεται στην ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ/REX^

Απόδειξη EXPSPACE Πληρότητας της ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ/REX^ (4)

● Ιδέα της αναγωγής (έστω Α διαγιγνώσκεται σε εκθετικό χώρο από μηχανή Μ):

– Για οποιαδήποτε λέξη w παράγουμε δυο γενικευμένες κανονικές εκφράσεις ,

– , με (δηλ. Όλα τα πιθανά υπολογιστικά χρονικά της Μ )

– (δηλ. Όλα τα πιθανά υπολογιστικά χρονικά της Μ εκτός από εκείνα που αποτελούν απορριπτικά χρονικά για είσοδο w)

R1=Δ* Δ=Γ∪Q∪{#}

R2=Rλάθος-αρχή∪Rλάθος-παράθυρο∪Rλάθος-απόρριψη

R2R1

Απόδειξη EXPSPACE Πληρότητας της ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ/REX^ (5)

● Η παραπάνω αναγωγή μπορεί να γίνει σε πολυωνυμικό χώρο λόγω των δυνατοτήτων των γενικευμένων κανονικών εκφράσεων.

● Πιο συγκεκριμένα:–

–

–

● Προφανώς όταν (και μόνο) οι και ταυτίζονται η w ανήκει στην Α.

Rλάθος-αρχή=S0∪S1∪⋯∪Sn∪Sb∪S#

R λάθος−απόρριψη=Δ−qαπόρριψης*

R λάθος−παράθυρο=U λάθος(abc,def) Δ*abcΔ(2(nk)−2)defΔ*

R1 R2

Συμπέρασμα

● Με βάση τα παραπάνω η γλώσσα ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ/REX^ (όπως και κάθε EXPSPACE πλήρης γλώσσα) δεν είναι διαγνώσιμη σε πολυωνυμικό χώρο (-άρα ούτε και σε πολυωνυμικό χρόνο)

● Γενικότερα δείξαμε ότι υπάρχουν “δύσκολα” υπολογιστικά προβλήματα

● Επιπλέον είδαμε ότι τουλάχιστον κάποιοι από τους γνωστούς εγκλεισμούς των κλάσεων πολυπλοκοτητας είναι “γνήσιοι” (δηλ. ότι οι κλάσεις αυτές διαφέρουν μεταξύ τους)

Πηγές

● Εισαγωγή στη θεωρία υπολογισμού, Michael Sipser

● Υπολογιστική Πολυπλοκότητα, Δημήτριος Ι. Καββαδίας