Embed Size (px)
Citation preview
ANÁLISIS DE VARIANZA. EXPERIMENTOS DE UN SOLO
FACTOR.
Experimentos de un solo factor.
Número de tratamientos: t. Número de repeticiones por cada tratamiento: ri
El interés se encuentra en probar la igualdad de las medias de los t tratamientos. Las hipótesis apropiadas
son:
1.- Planteamiento de las hipótesis. Hipótesis nula. Hipótesis alternativa.
H0: t ...21 H1: ji para al menos un par ),( ji .
2.- Nivel de significancia.
El nivel de significancia para la prueba es (Una cola).
3.- Regla de decisión.
Diseño balanceado: No rechazar H0 si )1(,1, rttFF Rechazar H0 si
)1(,1, rttFF
Diseño no balanceado: No rechazar H0 si tNtFF ,1, Rechazar H0 si
tNtFF ,1,
4.- Estadístico de prueba.
E
osTratamient
CM
CMF
5.- Datos típicos de un experimento de un solo factor.
Tratamiento (nivel)
Observaciones ir
Totales
( .iy ) i
i
r
y .2
Promedios
( .iy )
1 11y 12y ... ny1
1r .1y .1y
2 21y 22y ... ny2
2r .2y .2y
...
t 1ty
2ty ... nty tr .ty .ty
..y ..y
n
j
jii yy1
. Total de las observaciones bajo el tratamiento i-ésimo.
n
yy
i
i
..
Promedio de las observaciones bajo el tratamiento i-ésimo.
a
i
n
j
jiyy1 1
.. Gran total de todas las observaciones.
N
yy ..
.. Gran promedio de todas las observaciones.
6.- Tabla ANOVA.
Fuente de Variación
Suma de cuadrados
Grados de libertad
Cuadrado medio F
Tratamientos SCTratamientos t – 1 CMTratamientos CMTratamientos/CME
Error SCE t (r – 1) ó N – t CME
Total SCT t r – 1 ó N – 1
7.- Suma de cuadrados. Total.
t
i
r
j
jiT yySC1 1
2..)(
N
yySC
t
i
r
j
jiT
2
1 1
2 ..
Tratamientos.
t
i
iosTratamient yyrSC1
2..).(
N
yy
rSC
t
i
r
j
iosTratamient
2
1 1
2 ...
1
N
y
r
ySC
a
i
r
j i
iosTratamient
i 2
1 1
2...
(Diseño no balanceado)
Error.
t
i
r
j
ijiE yySC1 1
2).( osTratamientTE SCSCSC
8.- Grados de libertad.
Diseño balanceado:
Tratamientos: 1t Error: )1( rt Total: 1rt
Diseño no balanceado:
Tratamientos: 1t Error: tN Total: 1N
9.- Cuadrado medio. Diseño balanceado.
Tratamientos: 1
t
SCCM osTratamient
osTratamient Error:
)1(
rt
SCCM E
E
Diseño no balanceado.
Tratamientos: 1
t
SCCM osTratamient
osTratamient Error:
tN
SCCM E
E
10.- Coeficiente de determinación.
T
osTratamient
SC
SCR 2
11.- Coeficiente de variación.
..y
CMCV
E
12.- Intervalos de confianza.
Para la media del i-ésimo tratamiento.
Diseño balanceado.
r
CMty
r
CMty E
rtiiE
rti )1(,2/)1(,2/ ..
Diseño no balanceado.
i
EtNii
i
EtNi
r
CMty
r
CMty ,2/,2/ ..
Para la diferencia de las medias de dos tratamientos.
Diseño balanceado.
r
CMtyy
r
CMtyy E
rtjijiE
rtji
2..
2.. )1(,2/)1(,2/
Diseño no balanceado.
ji
EtNjiji
ji
EtNjirr
CMtyyrr
CMtyy11
..11
.. ,2/,2/
13.- Pruebas sobre medias de tratamientos individuales.
Hipótesis nula. Hipótesis alternativa.
H0: ji H1: ji
14.- Diferencia mínima significativa (DMS) de Fisher.
Diseño balanceado. Diseño no balanceado.
r
CMtDMS E
rt
2)1(,2/
ji
EtNjirr
CMtDMS11
,2/,
Regla de decisión.
Rechazar H0 si DMSyy ji .. No rechazar H0 si DMSyy ji ..
15.- Prueba de Tukey.
Diseño balanceado. Diseño no balanceado.
r
CMqT E
rtt )1(,,
ji
E
tNt
jirr
CMq
T11
2
,,
,,
Regla de decisión.
Rechazar H0 si Tyy ji .. No rechazar H0 si
Tyy ji ..
Intervalo de confianza para la diferencia de las medias de dos tratamientos.
Diseño balanceado.
r
CMqyy
r
CMqyy E
rttjijiE
rttji )1(,,)1(,, ....
Diseño no balanceado.
ji
E
tNt
jiji
ji
E
tNt
jirr
CMq
yyrr
CMq
yy11
2..
11
2..
,,,,
16.- Comparación de medias de tratamientos con un control (Prueba de Dunnett).
Diseño balanceado. Diseño no balanceado.
r
CMdD E
rtt
2)1(,1,
ji
EtNtjirr
CMdD11
,1,,,
Regla de decisión.
Rechazar H0 si Dyy ji .. No rechazar H0 si
Dyy ji ..
17.- Prueba del rango múltiple de Duncan.
h
EtNpp
r
CMrR ,,
para tp ...,,3,2
Diseño balanceado: Diseño no balanceado:
rrh
t
i i
h
r
tr
1
1
Regla de decisión.
Rechazar H0 si pji Ryy .. Acepar H0 si
pji Ryy ..
18. Contrastes.
En general, un contraste es una combinación lineal de parámetros de la forma
t
i
iic1
donde las
constantes de los contrastes accc ,,, 21 suma cero; es decir, 0
1
t
i
ic . Las dos hipótesis pueden
expresarse en términos de contrastes:
H0: 01
t
i
iic H1: 01
t
i
iic .
Las pruebas de hipótesis que incluyen contrastes pueden hacerse de dos maneras básicas. En el primer método se utiliza la prueba t. El contraste de interés se escribe en términos de los totales de
los tratamientos, obteniéndose
t
i
ii ycC1
.
El estadístico de prueba es
Diseño balanceado. Diseño no balanceado.
t
i
iE
t
i
ii
cCMr
yc
t
1
2
10
.
t
i
iiE
t
i
ii
crCM
yc
t
1
2
10
.
Regla de decisión.
Rechazar H0 si tNtt ,2/0 No rechazar H0 si
tNtt ,2/0
En el segundo enfoque se utiliza la prueba F.
El estadístico de prueba es
t
i
iE
t
i
ii
cCMr
yc
tF
1
2
2
12
00
..
El estadístico de prueba puede escribirse como
E
C
CM
CMF 0
, donde la suma de cuadrados de los
contrastes con un solo grado de libertad es:
Diseño balanceado. Diseño no balanceado.
t
i
i
t
i
ii
C
cr
yc
SC
1
2
2
1
.
t
i
ii
t
i
ii
C
cr
yc
SC
1
2
2
1
.
Regla de decisión.
Rechazar H0 si tNFF ,1,0 No rechazar H0 si
tNFF ,1,0
Intervalo de confianza para un contraste.
El intervalo de confianza de ( 1 )% para el contraste
t
i
iic1
es
t
i
iE
tN
t
i
ii
t
i
ii
t
i
iE
tN
t
i
ii cr
CMtyccc
r
CMtyc
1
2
,2/
111
2
,2/
1
..
Contrastes ortogonales.
Dos contrastes con coeficientes }{ ic y }{ id son ortogonales si 01
t
i
iidc ó para un diseño no
balanceado si 01
t
i
iii dcr .
Para t tratamientos, el conjunto de t – 1 contrastes ortogonales hace la partición de la suma de cuadrados
debido a los tratamientos en t – 1 componentes independientes con un solo grado de libertad. Por lo
tanto, las pruebas que se realizan en los contrastes ortogonales son independientes.
En general, el método de contrastes (o de contrastes ortogonales) es útil para lo que se llama comparaciones preplaneadas. Es decir, los contrastes se especifican antes de llevar a cabo el experimento
y de examinar los datos.
Autor: Ing. Willians Medina. / +58–424–9744352 / +58–426–2276504 / [email protected] / PIN: 58B3CF2D – 569A409B.
http://www.slideshare.net/asesoracademico/
Mayo 2016.
