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UNIVERSIDAD NACIONAL UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOSMAYOR DE SAN MARCOS
Universidad del Perú, DECANA DE AMERICAUniversidad del Perú, DECANA DE AMERICA
FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICASFACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS
Mg. María Estela Ponce AruneriMg. María Estela Ponce Aruneri
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE ESTADÍSTICA ACADÉMICO PROFESIONAL DE ESTADÍSTICA
DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ESTADÍSTICADEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ESTADÍSTICA
SEMESTRE 2009-II
¿Cuál es la distribución de probabilidad conjunta de un vector que sigue una distribución normal p-dimensional?
1º Para el caso univariado se tiene que :2
1
21( )
2π
x
f x e
2
1
2( ) kx
f x e
2º Sea
2( )2
2
1( )
x bb y f x ke
3º Sea el vector aleatorio:
1
2
.
p
x
xx
x
1
2
.
p
βY el vector de constantes:
4º Reemplazando 3º en 2º se tiene: 1
2( ) kf e
'
x-β A x-βx
1
21 2 ................ 1pdx dx dxke
'
x-β A x-β
El exponente es una forma cuadrática o distancia estadística.
5º ¿A qué es igual k?
* 1Sea k
k
Utilizaremos el siguiente corolario: Sí A es simétrica y definida positiva entonces existe una matriz C no singular tal que: C’AC =I
Si hacemos:
1
2
.:
.
p
y
y
donde
y
(x - β) = Cy
y
' ' ' '(x - β) A(x - β) = y C ACy y y
Necesitamos calcular el jacobiano de la transformación , el que es igual al valor del determinante de la matriz C.
Luego:
2
2
1 2
1 2
1* 2 .......
1* 2 .......
1
1* 2
1
1..........
..........i
i
p
p
i
p y
i
p y
i
y y y
y y y
y
d d d
d d d
d
k Mod ek
k Mod e
k Mod e
y'yC
C
C
1/ 2
1pero Mod C
A
2
2
1* 2
1
1/ 2 / 2* 2
1
1
2
1
2
2
2 2 (*)
i
i
i
i
p y
i
p yp p
i
y
y
d
d
k Mod e
k Mod e Mod
C
C C
1/ 2
/ 22( ) p
k
A
Reemplazando en (*) se tiene:
1/ 2 1
2/ 2
2( )
( ) pf e
'x-β A x-βA
x
Reemplazando el valor de k en 4º se tiene:
Es la función de densidad de una distribución normal p-variante.¿Quién es ?
Sea el vector aleatorio: '1 2 .............. px x xX
( ) ( )
( ) ?
E E
E
(x - β) = Cy x Cy β
x C y β
y
1 2
1 1
2 2 ...../ 2 / 2
1 1
2 2( ) ( ) .........
( ) ( ) pi ip pdy dy dyyf e E y e
' 'y y y y
y
2
2 2
1 2
1
2 .....1/ 2
1
1 1
2 21/ 2 1/ 2
1
1
2
1 1
2 2
( ) .........( )
( )( ) ( )
( ) 0
i
i i
p
i j
p y
i ii
py y
i ijj i
i
dy dy dy
dy dy
y
y
E y e
E y e e
E y
1
.( )
.
p
E
x μ
( )
( ) ( )
E
E E
y 0
x C y β μ
¿A qué es igual A?
( )
( )como
V E
V E E
'x x - μ x - μ
x Cyy'C' C yy' C'
2 2 2
1 2
1
2 ...../ 2
1 1 1
2 2 21/ 2 1/ 2 1/ 2
1
1
2
1 1 1
2 2 2
( ) .........( )
( ) 0( ) ( ) ( )
( ) 0
i j h
p
i j h
i j i j p
py y y
i j i jhh i j
i j
dy dy dy
dy dy dy
y y
y y
E y y e
E y y e e e
E y y
y'y
Sí i j
Sí i = j
2 2
1 2
12 2 .....
/ 2
1 12 2 2
1/ 2 1/ 21
2
2
2
1
2
1 1
2 2
( ) .........( )
( ) 1( ) ( )
( ) 0 ( )
i j
p
i j
i p
py y
iji j
i
i
i
dy dy dy
dy dy
y
y
E y e
E y e e
E y E
y'y
yy' I
1
:
( )
ademas
V E
x C yy' C' CIC' CC'
C'AC = I A CC'
1( ) ( ) 'V V E x A Σ x x - μ x - μ Σ
Teorema: Si la función de densidad de un vector aleatorio x p-dimensional está dada por:
1/ 2 1
2/ 2
2( )
( ) pf e
'x-β A x-βA
x
Donde:
1
( )
( ) ( )
E
V Cov
x β
x x A
Recíprocamente para un vector µ y una matriz simétrica
definida positiva , existe una f.d.p., dada por:
1
21/ 2/ 2
1
2( )
( ) pf e
' -1x-μ Σ x-μx
ΣTal que:
21 1 12 1
22 21 2 2
21 2
)
. .
. .
.( ) ( . . . . .
. . . . . .
. .
p
p
p p p p
yE Cov
x x Σμ
Propiedades de la distribución normal p-variante
Teorema Nº 1
Si X Np(µ,) y y = AX+c donde Akxp y c k y Nk(?, ?) .
Prueba 1
21/ 2/ 2
1
2( )
( ) pf e
' -1x-μ Σ x-μx
Σ
( ) ?f
-1y = Ax + c x = A (y - c)
y
El jacobiano de la transformación es:
1
2
1/ 21
1/ 2
1/ 21
1/ 2
1 1 1
' ( ' )
'
ModMod
Mod
Mod
AA A AA
Σ Σ ΣA
A Σ A A Σ A A Σ A
ΣA
AΣA
1/ 2 1
21/ 2 1/ 2/ 2
1
2( )
( ) 'pf e
'-1 -1 -1A (y-c)-μ Σ A (y-c)-μx
Σ
Σ AΣA
Resolviendo la forma cuadrática se tiene:
1( ) ' ( )
' '-1-1 -1A (y-c)-μ Σ A (y-c)-μ y- Aμ c AΣA y- Aμ c
11( ) ' ( )
21/ 2/ 2
1
2( )
( ) '
, '
p
k
f e
N
'y- Aμ c AΣA y- Aμ c
xAΣA
y Aμ c AΣA
Teorema Nº 2
Si X Np(µ,) y y = -1/ 2(X- µ) es una transformación de X con -1/ 2 simétrica y definida positiva y1, y2, ……….., yp son v.a.i. N(0,1) .
Prueba
Usando las propiedades de transformaciones de vectores aleatorios, así como de esperanza y varianza de una vector aleatorio, se puede probar este teorema.
Interpretación geométrica de c2
La distribución normal p-variada tiene densidad constante sobre elipses o elipsoides de la forma:
2c -1x - μ 'Σ x - μ
A estos elipsoides se denominan contornos de la distribución o elipsoides de igual concentración.
Estos elipsoides están centrados en µ y la longitud media del i-ésimo eje en dirección i es igual a c i
1/2
Ejemplo
Graficar el elipsoide de igual concentración para la distribución normal bivariada con c=2 y:
1 1 0
1 0 2
μ Σ
Distribuciones Marginales
Si
1 11 12
2 21 22
μ Σ Σμ = Σ =
μ Σ Σ
Es particionada en “q” y “p-q” componentes, con
2
1),(x
xxΣμ~x pN
),(~),,(~ 22221111 ΣμxΣμx qpq NN
Prueba:
1
1
1
( )
( )
E
Cov Cov Cov
1q
2
1q 1
2
1q 1 11
2
xx I 0
x
μx I 0 μ
μ
xx I 0 x Σ
x
De forma similar se puede probar para la otra partición de X2.
),(~ 1111 Σμx qN
Ejemplo:
1 2
31 2 4
65
,
x x
x x
xx
x x
Encuentre las distribuciones marginales de los vectores.
16
2
( , )N
xx ~ μ Σ x
x
Distribuciones Condicionales
Si
1 11 12
2 21 22
μ Σ Σμ = Σ =
μ Σ Σ
Es particionada en “q” y “p-q” componentes, con
2
1),(x
xxΣμ~x pN
12
11121221.22
111
112121.2
1.221.21.2 ),(
ΣΣΣΣΣ
μxΣΣμμ
Σμ~x
qpN
Prueba:
12
22
( )
( )
E
Cov
q1 1 1-1-1
21 11 p-q2 2 21 11 1 2
q 1 1-1 -1
21 11 p-q 2 2 21 11 1
q q11 11-1 -1
21 11 p-q 21 11 p-q21
I 0y x xy =
Σ Σ Iy x - Σ Σ x x
I 0 μ μy
Σ Σ I μ μ Σ Σ μ
I 0 I 0Σ Σ Σ 0y
Σ Σ I Σ Σ IΣ Σ 22 12
12.1 2 21 11 1 1( )
-121 110 Σ Σ Σ Σ
μ μ Σ Σ x μ
11 2 2
3
,x
xx
x x
Ejemplo:
Hallar la distribución condicional de la segunda participación conociendo la primera.
321
221
111
3
2
1
),(3 ΣμΣμ~x N
CORRELACIÓN MÚLTIPLE
La máxima correlación entre xi y la combinación lineal x2, es:
20 1
i
R R
-1
i2 22 2iΣ Σ Σ
11 1 12 22
'1 1
( / )
( / )
E x
E x
2 2 2
2 2 2
x x μ
x x μSe tiene que
21 1
2 2 2 11 1 2 2
1 1
1 1
( / )
( / )( / )
Var x
Var xVar x R R
-12 12 22 21
-12 12 22 21
2
x Σ Σ Σ
x Σ Σ Σx
11 2 2
3
,x
xx
x x
Ejemplo:
Hallar la correlación entre la segunda y primera partición
321
221
111
3
2
1
),(3 ΣμΣμ~x N
CORRELACIÓN PARCIAL
1.2 ,R diag -1/2 -1/21.2 11.2 1.2 1.2 11.2D Σ D D Σ
Es la matriz de correlaciones parciales.
Ejemplo: calcular e interpretar las correlaciones parciales para los datos del ejercicio anterior,( de X2 eliminado el efecto de X1)
OBSERVACIONES
1°Las curvas de equidensidad de una distribución normal multivariante son elipsoides (es decir, transformaciones lineales de hiperesferas) centrados en la media. Las direcciones de los ejes principales de los elipsoides vienen dados por los autovectores de la matriz de covarianza Σ. Las longitudes relativas de los cuadrados de los ejes principales vienen dados por los correspondientes autovalores.
2° Sí un vector aleatorio tiene una distribución normal multivariante, cada uno de los componentes del vector aleatorio tiene distribución normal.
3° Sí un vector aleatorio tiene una distribución normal multivariante, entonces cualesquiera dos o más de sus componentes que sean incorrelacionadas, son independientes.