Upload
manolis-vavalis
View
3.696
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Γραμμική ΄Αλγεβρα
Επανάληψη - Βάση και διάσταση χώρων
Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας
5 Νοεμβρίου 2014
Θεώρημα
΄Εστω ο m×n πίνακας A. Τότε1. Ο μηδενόχωρός του A είναι διανυσματικός υπόχωρος τουRn.
2. Ο αριστερός μηδενόχωρός του A είναι διανυσματικόςυπόχωρος του Rm
.
3. Ο χώρος γραμμών του A είναι διανυσματικός υπόχωροςτου Rn
.
4. Ο χώρος στηλών του A είναι διανυσματικός υπόχωροςτου Rm
.
5. Το σύνολο των λύσεων του Ax= b δεν αποτελείδιανυσματικό υπόχωρο του Rn
.
Θεώρημα
΄Εστω ο m×n πίνακας A. Τότε1. Ο μηδενόχωρός του A είναι διανυσματικός υπόχωρος τουRn.
2. Ο αριστερός μηδενόχωρός του A είναι διανυσματικόςυπόχωρος του Rm
.
3. Ο χώρος γραμμών του A είναι διανυσματικός υπόχωροςτου Rn
.
4. Ο χώρος στηλών του A είναι διανυσματικός υπόχωροςτου Rm
.
5. Το σύνολο των λύσεων του Ax= b δεν αποτελείδιανυσματικό υπόχωρο του Rn
.
Θεώρημα
΄Εστω ο m×n πίνακας A. Τότε1. Ο μηδενόχωρός του A είναι διανυσματικός υπόχωρος τουRn.
2. Ο αριστερός μηδενόχωρός του A είναι διανυσματικόςυπόχωρος του Rm
.
3. Ο χώρος γραμμών του A είναι διανυσματικός υπόχωροςτου Rn
.
4. Ο χώρος στηλών του A είναι διανυσματικός υπόχωροςτου Rm
.
5. Το σύνολο των λύσεων του Ax= b δεν αποτελείδιανυσματικό υπόχωρο του Rn
.
Θεώρημα
΄Εστω ο m×n πίνακας A. Τότε1. Ο μηδενόχωρός του A είναι διανυσματικός υπόχωρος τουRn.
2. Ο αριστερός μηδενόχωρός του A είναι διανυσματικόςυπόχωρος του Rm
.
3. Ο χώρος γραμμών του A είναι διανυσματικός υπόχωροςτου Rn
.
4. Ο χώρος στηλών του A είναι διανυσματικός υπόχωροςτου Rm
.
5. Το σύνολο των λύσεων του Ax= b δεν αποτελείδιανυσματικό υπόχωρο του Rn
.
Θεώρημα
΄Εστω ο m×n πίνακας A. Τότε1. Ο μηδενόχωρός του A είναι διανυσματικός υπόχωρος τουRn.
2. Ο αριστερός μηδενόχωρός του A είναι διανυσματικόςυπόχωρος του Rm
.
3. Ο χώρος γραμμών του A είναι διανυσματικός υπόχωροςτου Rn
.
4. Ο χώρος στηλών του A είναι διανυσματικός υπόχωροςτου Rm
.
5. Το σύνολο των λύσεων του Ax= b δεν αποτελείδιανυσματικό υπόχωρο του Rn
.
Επανάληψη διαδικασίας επίλυσης
Αν θέσω όλες τις ελεύθερες μεταβλητές ίσες με 0 εύκολαυπολογίζω μια λύση s0
του μη-ομογενούς Ax= b :
Παράδειγμα:
1 0 ∗ 0 ∗ π
0 1 ∗ 0 ∗ e0 0 0 1 ∗ p
20 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0
Θέτω x3 = x5 = 0
x1 +0x2 +∗0+0x4 +∗0=π
0x1 +x2 +∗0+0x4 +∗0= e
0x1 +0x2 +∗0+x4 +∗0=p
2
x1 =π,x2 = e,x4 =p
2,x3 = x5 = 0 είναι μια λύση.Πώς θα βρούμε όλες τις άλλες λύσεις;
Επανάληψη διαδικασίας επίλυσης
Αν θέσω όλες τις ελεύθερες μεταβλητές ίσες με 0 εύκολαυπολογίζω μια λύση s0
του μη-ομογενούς Ax= b :
Παράδειγμα:
1 0 ∗ 0 ∗ π
0 1 ∗ 0 ∗ e0 0 0 1 ∗ p
20 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0
Θέτω x3 = x5 = 0
x1 +0x2 +∗0+0x4 +∗0=π
0x1 +x2 +∗0+0x4 +∗0= e
0x1 +0x2 +∗0+x4 +∗0=p
2
x1 =π,x2 = e,x4 =p
2,x3 = x5 = 0 είναι μια λύση.Πώς θα βρούμε όλες τις άλλες λύσεις;
Επανάληψη διαδικασίας επίλυσης
Αν θέσω όλες τις ελεύθερες μεταβλητές ίσες με 0 εύκολαυπολογίζω μια λύση s0
του μη-ομογενούς Ax= b :
Παράδειγμα:
1 0 ∗ 0 ∗ π
0 1 ∗ 0 ∗ e0 0 0 1 ∗ p
20 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0
Θέτω x3 = x5 = 0
x1 +0x2 +∗0+0x4 +∗0=π
0x1 +x2 +∗0+0x4 +∗0= e
0x1 +0x2 +∗0+x4 +∗0=p
2
x1 =π,x2 = e,x4 =p
2,x3 = x5 = 0 είναι μια λύση.Πώς θα βρούμε όλες τις άλλες λύσεις;
Η διαφορά δύο λύσεων
΄Εστω siμια οποιαδήποτε άλλη λύση, οπότε Asi = b.
Τότε
A(si − s0) =Asi −As0 = b−b= 0
Δηλαδή το (si − s0) = s είναι λύση του ομογενούς Ax= 0.΄Αρα si = s0 + s.
Συμπέρασμα
Το σύνολο των λύσεων του Ax= b ισούται με το σύνολο τωνλύσεων του Ax= 0 συν μια οποιαδήποτε λύση του Ax= b.
Η διαφορά δύο λύσεων
΄Εστω siμια οποιαδήποτε άλλη λύση, οπότε Asi = b.
Τότε
A(si − s0) =Asi −As0 = b−b= 0
Δηλαδή το (si − s0) = s είναι λύση του ομογενούς Ax= 0.΄Αρα si = s0 + s.
Συμπέρασμα
Το σύνολο των λύσεων του Ax= b ισούται με το σύνολο τωνλύσεων του Ax= 0 συν μια οποιαδήποτε λύση του Ax= b.
Η διαφορά δύο λύσεων
΄Εστω siμια οποιαδήποτε άλλη λύση, οπότε Asi = b.
Τότε
A(si − s0) =Asi −As0 = b−b= 0
Δηλαδή το (si − s0) = s είναι λύση του ομογενούς Ax= 0.
΄Αρα si = s0 + s.
Συμπέρασμα
Το σύνολο των λύσεων του Ax= b ισούται με το σύνολο τωνλύσεων του Ax= 0 συν μια οποιαδήποτε λύση του Ax= b.
Η διαφορά δύο λύσεων
΄Εστω siμια οποιαδήποτε άλλη λύση, οπότε Asi = b.
Τότε
A(si − s0) =Asi −As0 = b−b= 0
Δηλαδή το (si − s0) = s είναι λύση του ομογενούς Ax= 0.΄Αρα si = s0 + s.
Συμπέρασμα
Το σύνολο των λύσεων του Ax= b ισούται με το σύνολο τωνλύσεων του Ax= 0 συν μια οποιαδήποτε λύση του Ax= b.
Η διαφορά δύο λύσεων
΄Εστω siμια οποιαδήποτε άλλη λύση, οπότε Asi = b.
Τότε
A(si − s0) =Asi −As0 = b−b= 0
Δηλαδή το (si − s0) = s είναι λύση του ομογενούς Ax= 0.΄Αρα si = s0 + s.
Συμπέρασμα
Το σύνολο των λύσεων του Ax= b ισούται με το σύνολο τωνλύσεων του Ax= 0 συν μια οποιαδήποτε λύση του Ax= b.
Τα σύνολα των λύσεων Ax= 0 ανδ Ax= b σαν υποσύνολατου Rn
s0 Ax = 0
Ax = b
Παράδειγμα
Μη-ομογενές: Ax= b
x1 +2x2 −3x3 +2x4 −4x5 = 12x1 +4x2 −5x3 +1x4 −6x5 = 3
5x1 +10x2 −13x3 +4x4 −16x5 = 7
Ομογενές: Ax= 0
x1 +2x2 −3x3 +2x4 −4x5 = 02x1 +4x2 −5x3 +1x4 −6x5 = 0
5x1 +10x2 −13x3 +4x4 −16x5 = 0
Παράδειγμα
Μη-ομογενές: Ax= b
x1 +2x2 −3x3 +2x4 −4x5 = 12x1 +4x2 −5x3 +1x4 −6x5 = 3
5x1 +10x2 −13x3 +4x4 −16x5 = 7
Ομογενές: Ax= 0
x1 +2x2 −3x3 +2x4 −4x5 = 02x1 +4x2 −5x3 +1x4 −6x5 = 0
5x1 +10x2 −13x3 +4x4 −16x5 = 0
Υπάρχει λύση;
Επαυξημένος πίνακας: 1 2 −3 2 −4 12 4 −5 1 −6 35 10 −13 4 −16 7
L2 ←− L2 −2L1, L3 ←− L3 −5L1: 1 2 −3 2 −4 10 0 1 −3 2 10 0 2 −6 4 2
L3 ←− L3 −2L2: 1 2 −3 2 −4 1
0 0 1 −3 2 10 0 0 0 0 0
Υπάρχει λύση.
Υπάρχει λύση;
Επαυξημένος πίνακας: 1 2 −3 2 −4 12 4 −5 1 −6 35 10 −13 4 −16 7
L2 ←− L2 −2L1, L3 ←− L3 −5L1: 1 2 −3 2 −4 1
0 0 1 −3 2 10 0 2 −6 4 2
L3 ←− L3 −2L2: 1 2 −3 2 −4 10 0 1 −3 2 10 0 0 0 0 0
Υπάρχει λύση.
Υπάρχει λύση;
Επαυξημένος πίνακας: 1 2 −3 2 −4 12 4 −5 1 −6 35 10 −13 4 −16 7
L2 ←− L2 −2L1, L3 ←− L3 −5L1: 1 2 −3 2 −4 1
0 0 1 −3 2 10 0 2 −6 4 2
L3 ←− L3 −2L2: 1 2 −3 2 −4 1
0 0 1 −3 2 10 0 0 0 0 0
Υπάρχει λύση.
Υπάρχει λύση;
Επαυξημένος πίνακας: 1 2 −3 2 −4 12 4 −5 1 −6 35 10 −13 4 −16 7
L2 ←− L2 −2L1, L3 ←− L3 −5L1: 1 2 −3 2 −4 1
0 0 1 −3 2 10 0 2 −6 4 2
L3 ←− L3 −2L2: 1 2 −3 2 −4 1
0 0 1 −3 2 10 0 0 0 0 0
Υπάρχει λύση.
Υπολόγισε μια λύση του μη-ομογενούς
Ελεύθερες μεταβλητές: x2,x4,x5.
Τις θέτω ίσες με 0 και λύνω:x1 = 4, x3 = 1. ΄Αρα μια λύση είναι
s0 =
40100
.
Υπολόγισε μια λύση του μη-ομογενούς
Ελεύθερες μεταβλητές: x2,x4,x5. Τις θέτω ίσες με 0 και λύνω:
x1 = 4, x3 = 1. ΄Αρα μια λύση είναι
s0 =
40100
.
Υπολόγισε μια λύση του μη-ομογενούς
Ελεύθερες μεταβλητές: x2,x4,x5. Τις θέτω ίσες με 0 και λύνω:x1 = 4, x3 = 1. ΄Αρα μια λύση είναι
s0 =
40100
.
Υπολόγισε όλες τις λύσεις του ομογενούς
1 2 −3 2 −4 00 0 1 −3 2 00 0 0 0 0 0
x1x2x3x4x5
=
−2x2 +7x4 −2x5
x23x4 −2x5
x4x5
= x2
−21000
+x4
70310
+x5
−20−201
΄Ολες οι λύσεις του ομογενούς
Κάθε γραμμικός συνδυασμός των στοιχείων του παρακάτω
συνόλου
−21000
,
70310
,
−20−201
Span{u,v}
v
u
΄Ολες οι λύσεις του μη-ομογενούς40100
+
−21000
,
70310
,
−20−201
v
us
s + Span{u,v}
0
0
Γραμμική Εξάρτηση
x= αy
xk = c1x1+c2x2+ . . .+cnxn
΄Ενα σύνολο διανυσμάτων λέγονται γραμμικά
εξαρτημένα αν το καθένα απο αυτά μπορεί να
γραφθεί σαν γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων.
Γραμμική Εξάρτηση
x= αy
xk = c1x1+c2x2+ . . .+cnxn
΄Ενα σύνολο διανυσμάτων λέγονται γραμμικά
εξαρτημένα αν το καθένα απο αυτά μπορεί να
γραφθεί σαν γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων.
Γραμμική Εξάρτηση
x= αy
xk = c1x1+c2x2+ . . .+cnxn
΄Ενα σύνολο διανυσμάτων λέγονται γραμμικά
εξαρτημένα αν το καθένα απο αυτά μπορεί να
γραφθεί σαν γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων.
΄Ενα σύνολο διανυσμάτων x1,x2, . . . ,xk ∈Rnλέγονται γραμμικά
εξαρτημένα ανν υπάρχουν αριθμοί c1,c2, . . . ,ck ∈R εκ τωνοποίων τουλάχιστον ένας δεν είναι μηδέν και για τους
οποίους ισχύει c1x1 +c2x2 . . . ,ckxk = 0.
Για να ελέγξουμε την εξάρτηση των x1,x2, . . . ,xk ∈Rn
Ï Σχηματίζουμε τον πίνακα A οποίος έχει σαν στήλες ταδιανύσματα αυτά
Ï Υπολογίζουμε τον μηδενόχωρο του AΑν αυτός περιλαμβάνει μόνον το μηδενικό διάνυσμα τοότε
αυτά είναι γραμμικά ανεξάρτητα.
΄Ενα σύνολο διανυσμάτων x1,x2, . . . ,xk ∈Rnλέγονται γραμμικά
εξαρτημένα ανν υπάρχουν αριθμοί c1,c2, . . . ,ck ∈R εκ τωνοποίων τουλάχιστον ένας δεν είναι μηδέν και για τους
οποίους ισχύει c1x1 +c2x2 . . . ,ckxk = 0.
Για να ελέγξουμε την εξάρτηση των x1,x2, . . . ,xk ∈Rn
Ï Σχηματίζουμε τον πίνακα A οποίος έχει σαν στήλες ταδιανύσματα αυτά
Ï Υπολογίζουμε τον μηδενόχωρο του AΑν αυτός περιλαμβάνει μόνον το μηδενικό διάνυσμα τοότε
αυτά είναι γραμμικά ανεξάρτητα.
Ορισμοί
Εάν ένας διανυσματικός χώρος V αποτελείται απόόλους τους γραμμικούς συνδυασμούς των
διανυσμάτων v1,v2, . . . ,vkτότε λέμε ότι αυτά
παράγουν τον V.
΄Ενα σύνολο διανυσμάτων παράγει έναν
διανυσματικό χώρο ανν κάθε διάνυσμα του χώρου
μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός συνδυασμός των
εν λόγω διανυσμάτων.
Ορισμοί
Εάν ένας διανυσματικός χώρος V αποτελείται απόόλους τους γραμμικούς συνδυασμούς των
διανυσμάτων v1,v2, . . . ,vkτότε λέμε ότι αυτά
παράγουν τον V.
΄Ενα σύνολο διανυσμάτων παράγει έναν
διανυσματικό χώρο ανν κάθε διάνυσμα του χώρου
μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός συνδυασμός των
εν λόγω διανυσμάτων.
Ορισμοί
΄Ενα σύνολο διανυσμάτων αποτελεί βάση ενός
διανυσματικού χώρου ανν αυτά είναι γραμμικά
ανεξάρτητα και παράγουν τον χώρο.
Διάσταση ενός υποχώρου είναι το πλήθος των
στοιχείων της βάσης του.
Ορισμοί
΄Ενα σύνολο διανυσμάτων αποτελεί βάση ενός
διανυσματικού χώρου ανν αυτά είναι γραμμικά
ανεξάρτητα και παράγουν τον χώρο.
Διάσταση ενός υποχώρου είναι το πλήθος των
στοιχείων της βάσης του.