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Structures en treillis
ARC-2007 Conception de structures
R. Pleau
École d’architecture, Université Laval
Méthodes graphiques
2
Il est possible de calculer les efforts internes dans toutes les membrures d'un treillis isostatique en utilisant la méthode point par point décrite précédemment. Toutefois, pour peu que le treillis possède plusieurs membrures, ou que sa géométrie soit complexe, cette méthode devient rapidement longue et fastidieuse. C'est dans ce contexte que des méthodes graphiques ont été développées au XIXe siècle pour faciliter l'analyse des structures. À une époque où la calculatrice n'existait pas encore, ces méthodes permettaient d'analyser des structures complexes sans avoir à faire le moindre calcul ce qui constituait alors un avantage considérable.
Aujourd'hui, l'omniprésence de l'ordinateur fait en sorte que la nécessité d'exécuter des calculs, même complexes, ne constitue plus un obstacle et de nombreux logiciels spécialisés rendent possible l'analyse des structures complexes. Dans ce contexte, on pourrait croire que la maîtrise des méthodes graphiques est devenue obsolète et inutile. Ce n’est pas le cas car, mis à part la simplification des calculs, la nature graphique de ces méthodes leur confère un grand avantage: elles permettent de "visualiser" les efforts internes dans l'ensemble de la structure. Pour cette raison, elles demeurent pertinentes comme outil d'apprentissage pour des étudiants en architecture car elles contribuent à acquérir une compréhension plus intuitive du comportement structural.
Conditions requises
3
La méthode point par point utilisait le calcul vectoriel pour calculer l'équilibre statique de chacun des noeuds de la structure en procédant de manière séquentielle (i.e. on traite chacun des noeuds les uns après les autres). Essentiellement la méthode graphique fait la même chose mais de façon globale sur l'ensemble de la structure plutôt que de traiter les noeuds pris isolément. Cette méthode permet de tracer un polygone de forces qui rassemble, en une seule représentation graphique, tous les efforts internes dans chacune des membrures du treillis. Son utilisation est possible à trois conditions: 1.que le treillis soit isostatique; 2.que toutes les forces externes soient appliquées aux noeuds
et qu'elles soient situées sur le pourtour extérieur du treillis; 3.que les réactions d'appui du treillis soient connues
Description de la méthode
4
Nous allons analyser le treillis illustré ci-dessous pour présenter la méthode graphique. Cette méthode comprend trois étapes: 1. Tracer le diagramme de forme et procéder à la notation par intervalles 2. Construire le polygone de forces 3. Tracer le diagramme des efforts internes
Diagramme de forme
Le diagramme de forme du treillis est une représentation graphique, tracée à l'échelle, du diagramme de corps libre du treillis avec toutes les charges externes qui le sollicitent ainsi que les réactions d'appui. Sur ce diagramme on identifie divers intervalles en utilisant une combinaison de lettres et de chiffres.
10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Sur le pourtour extérieur du treillis on identifie avec des lettres les divers intervalles entre les charges externes.
L’ordre de numérotation n’a pas d’importance mais, par habitude, on commence généralement par l’extrémité supérieure gauche du treillis et on se déplace autour du treillis dans le sens horaire.
Diagramme de forme(1 cm = 1 m)
10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
Ainsi l’intervalle A désigne tout l’espace situé entre la force horizontale de 40 kN et la force verticale de 10 kN.
A
(1 cm = 1 m)
10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
L’intervalle B désigne l’espace situé entre les forces verticales de 10 et 20 kN.
A B
(1 cm = 1 m)
10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
L’intervalle C désigne l’espace situé entre les forces verticales de 20 et 30 kN.
A B C
(1 cm = 1 m)
10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
L’intervalle D désigne l’espace situé entre la force verticale de 30 kN et la force horizontale de 40 kN.
A B C D
(1 cm = 1 m)
10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
L’intervalle E désigne l’espace situé entre la force horizontale de 40 kN et la force verticale de 45 kN.
A B C D
E
(1 cm = 1 m)
10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
L’intervalle E désigne l’espace situé entre la force horizontale de 40 kN et la force verticale de 45 kN.
A B C D
EF
(1 cm = 1 m)
10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
L’intervalle G désigne l’espace situé entre la force verticale de 15 kN et la force horizontale de 40 kN.
A B C D
EF
G
(1 cm = 1 m)
10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
Après avoir identifié par des lettres tous les intervalles sur le pourtour du treillis, on identifie par des chiffres tous les triangles à l’intérieur du treillis.
A B C D
EF
G
(1 cm = 1 m)
10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
Ainsi l’intervalle 1 désigne le premier triangle à gauche.A B C D
EF
G1
(1 cm = 1 m)
10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
L’intervalle 2 désigne le second triangle à gauche…A B C D
EF
G1
2
(1 cm = 1 m)
10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
L’intervalle 3 désigne le second triangle à gauche…A B C D
EF
G1
23
(1 cm = 1 m)
10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
… et ainsi de suite jusqu’à l’extrémité droite du treillis.A B C D
EF
G1
23
4 56
78
(1 cm = 1 m)
10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
Chacune des membrures de la structure est identifiée par la combinaison de lettres et/ou de chiffres qui désigne les deux intervalles adjacents à la membrure.
Par exemple, la membrure identifiée en vert sur le diagramme de forme sera appelée la membrure F-3 ou 3-F.
La membrure identifiée en orange sur le diagramme de forme sera appelée la membrure 1-2 ou 2-1.
La membrure identifiée en violet sur le diagramme de forme sera appelée la membrure D-8 ou 8-D.
A B C D
EF
G1
23
4 56
78
(1 cm = 1 m)
Polygone de forces
Le polygone de forces est une représentation graphique, tracée à l'échelle, qui regroupe sur une même figure toutes les charges externes ainsi que tous les vecteurs représentant les efforts internes dans chacune des membrures du treillis.
Utilisation d’une règle parallèle roulante
21
La construction du polygone de forces nécessite de tracer des lignes parallèles aux membrures du treillis.
Cette opération peut être fasti-dieuse mais elle est grandement facilitée par l’utilisation d’une règle parallèle roulante que vous pouvez vous procurer pour une vingtaine de dollars.
10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
À partir du diagramme de forme, on trace le polygone des forces externes qui sollicitent la structure en utilisant une échelle prédéfinie (par exemple 1 cm = 5 kN)
On commence par placer le point a sur le polygone de forces et, à partir de ce point, on se déplace sur le pourtour extérieur en tournant dans le sens horaire.
A B C D
EF
G1
23
4 56
78
Polygone de forces
a
(1 cm = 1 m)
(1 cm = 5 kN)
10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
En passant de l’intervalle A à l’intervalle B, on intercepte une force verticale de 10 kN dirigée vers le bas. Le point b est donc situé à une distance de 2 cm en-dessous du point a.
A B C D
EF
G1
23
4 56
78
Polygone de forces
a
b
(1 cm = 1 m)
2 cm
(1 cm = 5 kN)
10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
En passant de l’intervalle B à l’intervalle C, on intercepte une force verticale de 20 kN dirigée vers le bas. Le point c est donc situé à une distance de 4 cm en-dessous du point b.
A B C D
EF
G1
23
4 56
78
Polygone de forces
a
b
(1 cm = 1 m)
4 cm
c
(1 cm = 5 kN)
10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
En passant de l’intervalle C à l’intervalle D, on intercepte une force verticale de 30 kN dirigée vers le bas. Le point d est donc situé à une distance de 6 cm en-dessous du point c.
A B C D
EF
G1
23
4 56
78
Polygone de forces
a
b
(1 cm = 1 m)
6 cm
c
d
(1 cm = 5 kN)
10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
En passant de l’intervalle D à l’intervalle E, on intercepte une force horizontale de 40 kN dirigée vers la gauche. Le point e est donc situé à une distance de 8 cm à gauche du point d.
A B C D
EF
G1
23
4 56
78
Polygone de forces
a
b
(1 cm = 1 m)
8 cm
c
de
(1 cm = 5 kN)
10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
En passant de l’intervalle E à l’intervalle F, on intercepte une force verticale de 45 kN dirigée vers le haut. Le point f est donc situé à une distance de 9 cm au-dessus du point e.
A B C D
EF
G1
23
4 56
78
Polygone de forces
a
b
(1 cm = 1 m)
9 cm
c
de
f
(1 cm = 5 kN)
10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
En passant de l’intervalle F à l’intervalle G, on intercepte une force verticale de 15 kN dirigée vers le haut. Le point G est donc situé à une distance de 3 cm au-dessus du point e.
A B C D
EF
G1
23
4 56
78
Polygone de forces
a
b
(1 cm = 1 m)
3 cm
c
de
f
g
(1 cm = 5 kN)
10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
En passant de l’intervalle G à l’intervalle A, on intercepte une force horizontale de 40 kN dirigée vers la droite. En se déplaçant de 8 cm vers la droite à partir du point g, on revient donc au point d’origine, a, du polygone de forces.
A B C D
EF
G1
23
4 56
78
Polygone de forces
a
b
(1 cm = 1 m) c
de
f
g8 cm
(1 cm = 5 kN)
10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
Le polygone que nous venons de tracer représente l’addition vectorielle de toutes les forces externes qui sollicitent la structure.
Ce polygone est fermé ce qui confirme que la structure est en équilibre statique.
A B C D
EF
G1
23
4 56
78
Polygone de forces
a
b
(1 cm = 1 m) c
de
f
10 kN
20 kN
30 kN
40 kN
45 kN
15 kN
40 kNg
(1 cm = 5 kN)
10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
Nous allons maintenant compléter le polygone de forces en y ajoutant les chiffres de 1 à 8 pour connaître les efforts internes dans les membrures du treillis.
Sur le diagramme de forme, chacune de ces membrures correspond à une ligne qui sépare deux intervalles.
Sur le polygone de forces, chacune des forces internes dans les membrures sera représentée par une ligne qui réunit deux points correspondant aux intervalles situés de part et d’autre de cette membrure.
A B C D
EF
G1
23
4 56
78
Polygone de forces
a
b
(1 cm = 1 m) c
de
f
g
(1 cm = 5 kN)
10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
On commence par placer le point 1 sur le polygone de forces. Ce point est adjacent aux membrures G-1 et F-1; les points G et F étant déjà placés sur le polygone de forces.
L’effort interne dans la membrure G-1 est donc situé sur une ligne parallèle à la membrure G-1 et qui passe par le point G. Cela signifie que le point 1 est situé quelque part sur la ligne verticale verte illustrée ci-contre.
A B C D
EF
G1
23
4 56
78
Polygone de forces
a
b
(1 cm = 1 m) c
de
f
g
(1 cm = 5 kN)
10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
Pour sa part, l’effort interne dans la membrure F-1 est situé sur une ligne parallèle à la membrure F-1 et qui passe par le point F. Cela signifie que le point 1 est situé quelque part sur la ligne horizontale orange illustrée ci-contre.
Le point 1 est donc forcément situé à l’intersection des lignes verte et orange ce qui signifie qu’il est superposé au point f.
A B C D
EF
G1
23
4 56
78
Polygone de forces
a
b
(1 cm = 1 m) c
de
f,1
g
(1 cm = 5 kN)
10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
Passons maintenant au point 2 qui est adjacent aux membrures A-2 et 1-2; les points a et 1 étant déjà placés sur le polygone de forces.
L’effort interne dans la membrure A-2 est situé sur une ligne parallèle à la membrure A-2 et qui passe par le point G. Cela signifie que le point 2 est situé quelque part sur la ligne horizontale verte illustrée ci-contre.
A B C D
EF
G1
23
4 56
78
Polygone de forces
a
b
(1 cm = 1 m) c
de
f,1
g
(1 cm = 5 kN)
10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
L’effort interne dans la membrure 1-2 est situé sur une ligne parallèle à la membrure 1-2 et qui passe par le point 1. Cela signifie que le point 2 est situé quelque part sur la ligne diagonale orange illustrée ci-contre.
Le point 2 se situe donc à l’interception des lignes verte et orange.
A B C D
EF
G1
23
4 56
78
Polygone de forces
a
b
(1 cm = 1 m) c
de
f,1
g2
(1 cm = 5 kN)
10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
Poursuivons avec le noeud 3 qui est adjacent aux membrures F-3 et 2-3 (les points F et 2 étant déjà placés sur le polygone de forces).
Sur le polygone de forces, le point 3 est situé sur une droite parallèle à la membrure F-3 et passant par le point F (la ligne verte illustrée ci-contre). Il est aussi situé sur une ligne droite parallèle à la membrure 2-3 et passant par le point 2 (la ligne orange illustrée ci-contre).
Le point 3 est donc situé à l’intersection des lignes verte et orange.
A B C D
EF
G1
23
4 56
78
Polygone de forces
a
b
(1 cm = 1 m) c
de
f,1
g2
3
(1 cm = 5 kN)
10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
Si on poursuit le même raisonnement, le point 4 se situe quelque part sur une ligne parallèle à la membrure B-4 et passant par le point B (i.e. la ligne verte ci-contre). Il se situe également quelque part sur une ligne parallèle à la membrure 3-4 et passant par le point 3 (i.e. la ligne orange illustrée ci-contre).
Le point 4 se situe donc à l’interception des lignes verte et orange.
A B C D
EF
G1
23
4 56
78
Polygone de forces
a
b
(1 cm = 1 m) c
de
f,1
g2
34
(1 cm = 5 kN)
10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
… en poursuivant le raisonnement on place le point 5 …
A B C D
EF
G1
23
4 56
78
Polygone de forces
a
b
(1 cm = 1 m) c
de
f,1
g2
34
5
(1 cm = 5 kN)
10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
… puis le point 6 …
A B C D
EF
G1
23
4 56
78
Polygone de forces
a
b
(1 cm = 1 m) c
de
f,1
g2
34
5
6
(1 cm = 5 kN)
10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
… et le point 7 …
A B C D
EF
G1
23
4 56
78
Polygone de forces
a
b
(1 cm = 1 m) c
de
f,1
g2
34
5
6
7
(1 cm = 5 kN)
10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
… pour finalement compléter le polygone de force en plaçant le point 8.
A B C D
EF
G1
23
4 56
78
Polygone de forces
a
b
(1 cm = 1 m) c
de
f,1
g2
34
5
6
7
8
(1 cm = 5 kN)
10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
Sur le polygone de forces, la ligne D-8 donne aussi l’effort interne dans la membrure D-8
A B C D
EF
G1
23
4 56
78
Polygone de forces
a
b
(1 cm = 1 m) c
de
f,1
g2
34
5
6
7
8
(1 cm = 5 kN)
10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
Le polygone de forces est maintenant complété.
A B C D
EF
G1
23
4 56
78
Polygone de forces
a
b
(1 cm = 1 m) c
de
f,1
g2
34
5
6
7
8
(1 cm = 5 kN)
Diagramme des efforts internes
La dernière étape consiste à mesurer les efforts internes dans chacune des membrures et à déterminer si ces membrures sont sol l icitées en tension ou en compression. Ces efforts sont rapportés sur un diagramme d'efforts internes, une représentation graphique qui permet de visualiser, d'un seul coup d'oeil, la répartition des efforts internes dans l'ensemble le treillis. Sur ce diagramme, les efforts de compression sont représentés en bleu et les efforts de tension en rouge.
10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
Chacune des lignes sur le polygone de forces corres-pond à un effort interne dans une membrure. Pour connaître l’intensité des efforts, il suffit de mesurer la longueur des lignes sur le polygone de forces.
Par exemple, la ligne 7-8 fait 12,7 cm de longueur ce qui signifie que l’effort interne dans la membrure 7-8 est égal à 63,6 kN (i.e. 12,7 cm × 5 kN/cm).
En mesurant toutes les lignes, on obtient l’intensité des efforts internes dans chacune des membrures.
A B C D
EF
G1
23
4 56
78
Polygone de forces
a
b
(1 cm = 1 m) c
de
f,1
g2
34
5
6
7
8
(1 cm = 5 kN)
12,7 cm
= 63,5 kN
10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
Il nous reste maintenant à déterminer si les membrures sont sollicitées en tension ou en compression. Pour y parvenir on doit identifier un noeud adjacent à la membrure pour laquelle on veut connaître la nature de l’effort interne (tension ou compression).
A B C D
EF
G1
23
4 56
78
Polygone de forces
a
b
(1 cm = 1 m) c
de
f,1
g2
34
5
6
7
8
(1 cm = 5 kN)
10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
Considérons par exemple le noeud situé au point d’application de la force externe de 10 kN. On trace le DCL du noeud et on circule autour en tournant dans le sens horaire.
A B C D
EF
G1
23
4 56
78
Polygone de forces
a
b
(1 cm = 1 m) c
de
f,1
g2
34
5
6
7
8
(1 cm = 5 kN)
2 34
A B
10 kN
DCL du noeud
10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
En tournant dans le sens horaire, on passe de l’intervalle B à l’intervalle 4.
Sur le polygone de forces on trace une force qui part du point B pour se rendre au point 4.
A B C D
EF
G1
23
4 56
78
Polygone de forces
a
b
(1 cm = 1 m) c
de
f,1
g2
34
5
6
7
8
(1 cm = 5 kN)
2 34
A B
10 kN
DCL du noeud
10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
On ramène cette force sur le DCL du noeud en préservant son orientation (i.e. dirigée vers la droite).
Comme la force est orientée vers le noeud, on en déduit que la membrure est comprimée.
A B C D
EF
G1
23
4 56
78
Polygone de forces
a
b
(1 cm = 1 m) c
de
f,1
g2
34
5
6
7
8
(1 cm = 5 kN)
2 34
A B
10 kN
DCL du noeud
10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
En poursuivant notre rotation dans le sens horaire on passe de l’intervalle 4 à l’intervalle 3.
Sur le polygone de forces on trace une force qui part du point 4 pour se rendre au point 3.
On ramène cette force sur le DCL du noeud. Comme elle est orientée en direction opposée du noeud, on en conclut que la membrure est tendue.
A B C D
EF
G1
23
4 56
78
Polygone de forces
a
b
(1 cm = 1 m) c
de
f,1
g2
34
5
6
7
8
(1 cm = 5 kN)
2 34
A B
10 kN
DCL du noeud
10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
En passant de l’intervalle 3 à l’intervalle 2, on trace une force verticale orientée vers le haut sur le polygone de forces.
En ramenant cette force sur le DCL du noeud, on en conclut que la membrure 2-3 est comprimée.
A B C D
EF
G1
23
4 56
78
Polygone de forces
a
b
(1 cm = 1 m) c
de
f,1
g2
34
5
6
7
8
(1 cm = 5 kN)
2 34
A B
10 kN
DCL du noeud
10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
On complète notre rotation autour du noeud en se déplaçant de l’intervalle 2 vers l’intervalle A. Sur le polygone de forces, la force A-2 est donc orientée vers la droite.
En la ramenant sur le DCL du noeud, on constate que la force est orientée vers le noeud ce qui signifie que la membrure est comprimée.
A B C D
EF
G1
23
4 56
78
Polygone de forces
a
b
(1 cm = 1 m) c
de
f,1
g2
34
5
6
7
8
(1 cm = 5 kN)
2 34
A B
10 kN
DCL du noeud
10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
Sur le polygone de forces illustré ci-contre, on a identifié les cinq forces (une force externe et quatre efforts internes) qui sollicitent le noeud.
On constate que le polygone de forces fait l’addition vectorielle de toutes les forces qui sollicitent le noeud. On constate également que le noeud est en équilibre statique puisque le polygone de forces est fermé.
A B C D
EF
G1
23
4 56
78
Polygone de forces
a
b
(1 cm = 1 m) c
de
f,1
g2
34
5
6
7
8
(1 cm = 5 kN)
2 34
A B
10 kN
DCL du noeud
10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
Diagramme de forme
Si on s’intéresse à un autre noeud, par exemple le noeud qui relie les intervalles F-6-7-8 (voir figure ci-dessus), on constate que le polygone de forces reproduit l’addition vectorielle des forces sollicitant ce noeud et que ces forces sont en équilibre statique.
En répétant cette opération, on constaterait que le polygone des forces résout l’équilibre statique pour chacun des noeuds du treillis.
A B C D
EF
G1
23
4 56
78
Polygone de forces
a
b
(1 cm = 1 m) c
de
f,1
g2
34
5
6
7
8
(1 cm = 5 kN)
DCL du noeud
67
F
8
Diagramme de forme
10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
A B C D
EF
G 1
2
3
4 5
6
7
8
Diagramme d’efforts internes
(1 cm = 1 m)
On termine notre analyse en traçant le dia-gramme d’efforts internes qui indique l’intensité et la nature de efforts (tension ou compression) dans chacune des membrures.
5
Polygone de forces(1 cm = 5 kN)
a
b
c
de
f,1
g2
34
6
7
8
les efforts de compression sont représentés en bleu et les efforts de tension sont représentés en rouge
10 kN 20 kN 30 kN
40 kN
45 kN15 kN
40 kN
E
55 kN 60 kN 60 kN 45 kN
45 k
N
45 k
N20 k
N
15 k
N
15 k
N
15 kN 5 kN 40 kN
63,6 kN
21,2 kN
7,1 kN
21,2 kN
0
Analyse structurale de quelques treillis usuels
56
57
Treillis de type Pratt
58
Dans les ailes du treillis (i.e. les membrures horizontales), les efforts augmentent lorsqu'on se rapproche de son centre. Ce comportement est cohérent avec le fait que ce sont essentiellement les ailes qui résistent au moment de flexion (M) et que, pour une charge uniformément répartie, ce moment est nul aux extrémités de la poutre et maximal au centre de la portée.
En revanche, les membrures qui constituent l'âme du treillis (i.e. les membrures verticales et diagonales) affichent un comportement bien différent. On remarque que toutes les membrures verticales sont comprimées et toutes les membrures diagonales sont tendues. On remarque aussi que, dans ces membrures, les efforts sont minimaux au centre de la travée et augmentent lorsqu'on se rapproche des points d'appui. Ce comportement est aussi cohérent avec le fait que le rôle de l'âme du treillis est d'acheminer l'effort tranchant (V) vers les appuis et que, pour une charge uniformément répartie cet effort est maximal aux appuis et nul au centre de la portée.
59
Le d iagramme d'e ffor ts internes révèle aussi que l'effort interne est nul dans les membrures I-1 et I-16. Cela signifie que ces membrures ne sont pas sollicitées et qu'on pourrait les supprimer sans que la stabilité du treillis n'en soit compromise. La suppression de ces mem-brures constitue d'ailleurs une pratique courante qui offre notamment l'avantage de libérer de l'espace près du point d'appui pour faciliter le passage de conduits de mécanique.
60
Un examen attentif du polygone de forces est également r iche en enseignements. Sur ce diagramme, on peut identifier l'enveloppe des efforts internes, c'est-à-dire le rectangle qui permet de tous les englober, et le comparer à la charge externe résultante supportée par le treillis. Plus l'enveloppe des efforts internes est compacte p/r à la charge externe résultante, moins les efforts internes sont élevés et plus la structure est efficace. Pour le treillis de type Pratt, la charge externe résultante est donnée par l'addition des sept charges externes de 60 kN appl iquées aux noeuds de la membrure supérieure du treil l is (charge résultante = 7 x 60 kN = 420 kN). Elle peut être représentée par un vecteur qui part du point a pour se rendre au point h. L'enveloppe des efforts, qui forme presqu'un carré, est relativement compacte comparée à la charge résultante ce qui signifie que ce treillis est performant du point de vue structural.
61
Si on examine le polygone de forces pour le treillis illustré ci-contre, on constate que l’enveloppe des efforts internes est un peu plus compacte comparat ivement à la charge externe résultante (un vecteur qui part du point g pour se rendre au point d). On en conclut que ce treillis est légèrement plus performant que le treillis de type Pratt de la page précédente pour supporter les charges qui lui sont imposées.
L'examen du polygone de forces permet souvent de prévoir l'impact de certaines modifications géométriques sur la performance structurale d'un treillis. Par exemple, si on diminue la hauteur du treillis de type Pratt, l’angle des diagonales va se rapprocher de l'horizontal et le polygone de forces va s'étirer horizontalement. On en conclut que l'intensité des efforts internes dans les membrures est inversement proportionnelle à la hauteur de treillis. Au moment de la conception d'un treillis, sa géométrie sera adaptée à l'intensité des charges qu'il supporte et à la résistance du matériau qui le constitue. Par exemple, le rapport de la portée sur la hauteur du treillis (L/h) sera élevé pour les poutrelles de plancher en acier (typiquement L/h ⋍ 24) qui sont construites avec un matériau très résistant, l'acier, et qui supportent de faibles charges. En revanche, ce rapport sera beaucoup plus faible pour les treillis en bois (un matériau moins résistant) qui supportent des charges plus lourdes (typiquement L/h ⋍ 10).
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Treillis de type Howe
64
Treillis de type Warren
65
Treillis Pratt
Treillis Howe
Treillis Warren
Exemple 1
National Library de Sejong City
Séoul, Corée du Sud
66
Bibliothèque de Sejong
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La structure de ce b â t i m e n t e s t s u p p o r t é e p a r deux immenses treillis en acier qui créent de longs et s p e c t a c u l a i r e s porte-à faux à ses deux extrémités. L'un de ces porte-à-faux atteint 25 m de portée.
68
Bibliothèque de Sejong
69
Bibliothèque de Sejong
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Bibliothèque de Sejong
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Exemple 2
Conception d’une toiture en treillis
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73
P r e n o n s l ' e x e m p l e d ' u n architecte qui souhaite utiliser une structure en bois pour recouvrir une grande salle multi-fonctionnelle de 15 m de portée à Québec. Cet exemple nous fournira l'occasion d'illustrer comment la méthode graphique peut être utilisée comme outil de conception structurale.
Dans un premier temps, notre architecte veut utiliser des treillis en bois de type Fink de 5 m de hauteur espacés à 3 m c/c. Le revêtement de to i ture est constitué d'un pontage en planches de bois de 64 mm d'épaisseur recouvert d'un isolant rigide et d'un revêtement métallique. Ce pontage est lui-même déposé sur des poutrelles en bois qui transmettent les charges aux noeuds du treillis.
Estimation des charges
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Le poids de la toiture peut être évalué simplement:
revêtement en bois: 5,5 kN/m3 × 0,064 m = 0,35 kN/m2
isolant rigide + membrane + revêt. métal. = 0,30 kN/m2 poids des treillis et des poutrelles ≃ 0,20 kN/m2 wD = 0,85 kN/m2
La charge de neige à Québec est égale à 3,8 kN/m2. Chacun des trois noeuds situés sur la corde supérieure du treillis supporte une largeur de toiture correspondant au quart de la portée totale (15 m/4 = 3,75 m). Comme la corde supérieure est inclinée de 33,7° p/r à l'horizontale, chaque noeud supporte une surface de toiture égale à 13,5 m2 (3 m × 4,5 m = 13,5 m2). La charge morte appliquée à chacun des noeuds (PD) est donc égale à:
3,75 m
75
La charge de neige s'applique sur la projection horizontale du treillis (les flocons de neige tombent verticalement et la quantité de neige sur la toiture ne dépend pas de son inclinaison). On trouve donc que la charge vive (PL) sur chacun des noeuds est égale à:
La charge totale majorée (PF) est donnée par:3,75 m
Analyse statique
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On remarque que le polygone de forces est compact compara-tivement à la charge externe résultante ce qui indique que la structure est efficace. Le polygone de forces montre clairement que c'est la pente élevée de la toiture qui confère au treillis son efficacité structurale (les efforts internes augmenteraient si on diminuait cette pente)
Dimensionnement des membrures
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La membrure B-2 est la plus sollicitée avec un effort de compression PF de 212 kN. L'élancement de cette membrure (Le) est égal à: Le = k L = 1 × 4,5 m = 4,5 m En consultant le tableau de sélection des profilés en bois lamellé-collé, on choisit un profilé de 175x190 mm pour lequel PR = 258 kN > PF. Par souci d'uniformité, ce profilé pourrait être utilisé pour toutes les membrures du treillis.
En examinant le diagramme des efforts internes, notre architecte remarque que les membrures sollicitées en tension pourraient être remplacées par des tirants en acier et qui cela pourrait contribuer à alléger la charpente de la structure. L'effort maximal de tension (TF) est égal à 177 kN et, en supposant qu'on utilise un acier doux usuel (Ft = 350 MPa), le diamètre minimal du câble (d) est égal à:
78
La figure ci-contre montre l'allure du treill is où les membrures t e n d u e s e n b o i s o n t é t é remplacées par des tirants en acier. On constate que cette structure est visuellement plus légère que la structure originale. Notre architecte se dit que cette structure serait probablement plus expressive si on rehaussait la membrure horizontale inférieure. À l’aide de la méthode graphique, on peut refaire l’analyse statique pour la géométrie modifiée.
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L'examen du polygone de forces et du diagramme des efforts internes révèle que les modifications apportées à la géométrie du treillis ont eu pour conséquence d'accroître l'intensité des efforts internes.
En observant le polygone de forces on constate également que, en augmentant la pente de la toiture, on pourrait comprimer le polygone de forces horizontalement et réduire ainsi les efforts internes dans les membrures du treillis.
La figure de la page suivante montre qu'en augmentant la hauteur de treillis de 5 à 7 m, on comprime le polygone de forces pour le ramener l'intensité des efforts internes dans les membrures à des valeurs légèrement supérieures à celles du treillis initial.
81
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La membrure A-1 est la plus sollicitée (PF = 280 kN) et son élancement (Le) est égal à:
Le = k L = 1 × 5,6 m = 5,6 m En consultant le tableau de sélection des profilés en bois lamellé-collé, on choisit un p r o fi l é d e 2 1 5 x 2 2 8 m m (PR = 371 kN > PF = 280 kN). Ce profilé est plus gros que c e l u i cho i s i i n i t i a l emen t (175x190 mm). Les tirants en acier sont légèrement plus soll icités et leur diamètre minimal est égal à:
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La structure peut résister efficacement aux charges horizontales exercées par le vent qui souffle parallèlement au treillis. En revanche, si le vent souffle dans la direction longitudinale du bâtiment (i.e. perpendiculairement au treillis), le pontage en planches de bois doit agir comme un diaphragme pour ramener les charges horizontales aux sommets des murs. En examinant la structure, notre architecte se dit que, en croisant les câbles dans la direction longitudinale du bâtiment, il augmenterait considérablement la stabilité de la structure dans cette direction et que, visuellement, le croisement des câbles viendrait rompre la monotonie de la construction et lui conférer plus de dynamisme sans accroître les efforts de compression dans les membrures en bois. De plus, comme le pontage en bois de la toiture n'agit plus comme un diaphragme, il serait alors possible de percer de larges ouvertures dans la toiture pour laisser entrer la lumière, une possibilité que l'architecte n'avait pas envisagée initialement.
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Peut-on modifier la géométrie de notre treillis pour le rendre encore plus léger? se demande notre architecte. Si on pouvait remplacer les deux membrures inclinées en bois par des câbles se serait rudement bien se dit-il. Est-ce possible? En regardant attentivement le polygone de forces, il constate que, en modifiant l'inclinaison de la droite B-2 pour la rapprocher de l'horizontale, le point 2 se déplace par aller se placer au-dessus du point 1. Cela a pour conséquence d'inverser la direction de la force B-2 qui passe alors de la compression à la tension. Par symétrie, on obtiendra un résultat similaire en diminuant l'inclinaison de la membrure C-4. La page suivante montre le résultat obtenu de l'analyse statique par la méthode graphique lorsque l'on abaisse le sommet du treillis de 2 m (on revient alors la hauteur initiale de 5 m pour le treillis) pour réduire l'angle d'inclinaison des membrures B-2 et C-4.
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Comme prévu, le diagramme des efforts internes indique que toutes les membrures formant l'âme du treillis sont maintenant tendues. Il indique également que l'intensité des efforts i n t e r n e s m a x i m a u x e s t légèrement diminuée p/r au treillis précédent. La structure obtenue se révèle bien plus légère que le treillis initial ce qui é ta i t p réc isément le but recherché.
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Comme pour le treillis précédent, on peut accroître la stabilité horizontale de la structure et lu i donner une apparence plus dynamique en croisant l e s c â b l e s d a n s l a d i r e c t i o n long i tud ina le du bâ t iment . La démarche d'optimisation structurale donne, au final, une charpente plus efficace, qui utilise moins de matériau et qui est plus intéressante d'un point de vue architecturale que la structure banale du départ. En prime, puisque le revêtement de la toiture est libéré de sa fonction structurale de diaphragme, d e s o u v e r t u re s p e u v e n t ê t r e pratiquées librement sur la toiture pour laisser entrer la lumière (on pourrait a u s s i u t i l i s e r d e s m a t é r i a u x translucides comment éléments d'enveloppe). Cet exemple montre bien comment la méthode graphique peut être utilisée comme un outil au service de la conception architecturale.
