L’acqua nei suoli e nel sottosuolo Darcy, Buckingham

(ovvero la seconda legge della dinamica)

Riccardo Rigon

Jay

Stra

tton

Noll

er, G

reat

Bas

in S

oil

#2

, 2

00

9

R. Rigon

Obbiettivi:

!2

L’acqua nei suoli e nel sottosuolo

•Introdurre il bilancio di quantità di moto nel caso dei moti nei mezzi porosi

•Introdurre la legge di Darcy , e la legge di Buckingham

R. Rigon

L’esperimento di

Darcy

!3

Equazioni ed esperimenti

R. Rigon

Q ⇥ (A/l)(h2 � h1)

Jv =Q

A= K

(h2 � h1)l

(h2 � h1)l

=dh

dz

Jv = Kdh

dz

!4

Equazioni ed esperimenti

R. Rigon

Jv = Kdh

dz

K è detto conducibilità idraulica

D’altra parte la pressione

alla base della colonna è

p = �wg(h� z)

Quindi:

h = z +p

�wg

!5

Equazioni ed esperimenti

R. Rigon

h = z +p

�wg

Si può osservare che h è il

carico idraulico (l’energia

per unità di volume) di un

volume d’acqua posto ad

altezza z e sottoposto

alla pressione relativa p

!6

Equazioni ed esperimenti

R. Rigon

Studi successivi conducibilità idraulica a quello di Darcy hanno mostrato

che la conducibilità idraulica ha, in suoli non omogenei un vettore con

componenti lungo tre direzioni preferenziali

K̄ = (Kx� , Ky� , Kz�)

Ed è pertanto un tensore nella direzione di un sistema di assi coordinati

arbitrari (x,y,z)

La conducibilità idraulica

!7

Equazioni ed esperimenti

R. Rigon

La conducibilità idraulica

!8

limite inferiore

di validità

limite superiore

(deformazione della matrice)

Equazioni ed esperimenti

R. Rigon

La conducibilità idraulica è, in generale, un tensore. Ma qui la

consideriamo per semplicità uno scalare. Questo fattore è un

parametro concentrato che riunisce in se tutti i fattori fisici che

interagiscono con il moto del fluido nel mezzo poroso:

!- le proprietà meccaniche del fluido

!- e le caratteristiche geometriche del mezzo

!9

La conducibilità idraulica

Equazioni ed esperimenti

R. Rigon

Le proprietà meccaniche del fluido: !!

- viscosità cinematica !- la densità del fluido !- (o la loro combinazione, la viscosità dinamica)

Le caratteristiche geometriche del mezzo !

- la scala dei grani (la struttura dei pori) !- la forma geometrica del fattore dei pori

d [L]N

µ [L2T�1]

� [ML�3]

� [M(LT)�1]

!10

La conducibilità idraulica

Equazioni ed esperimenti

R. Rigon

Ricordando che K ha le dimensioni di una velocità, ne consegue, che la

conducibilità idraulica dovrebbe essere composta da una forma monomia ,

combinazione delle grandezze precedenti elevate ad un opportuno esponente:

[Nda�b] = [TL�1]

Da cui, uguagliando gli esponenti, risulta:

K = N d2 ��1 � k ��1

k è detto permeabilità e dipende solo dalla geometria del mezzo

!11

La conducibilità idraulica

Equazioni ed esperimenti

R. Rigon

!12!12

Deriving from momentum balance

Navier-Stokes equation (i.e. Newton Law plus Newton hypothesis on fluid flows

Darcy flows

R. Rigon

Fundamentals

R. Rigon

!13!13

Deriving from momentum balance

Navier-Stokes equation (i.e. Newton Law plus Newton hypothesis on fluid flows

Darcy flows

R. Rigon

Fundamentals

R. Rigon

!14!14

Darcy equations are OK for saturated flow

They can be obtained from Navier-Stokes Equation by*:

!•introducing a resistance term

•assuming creep flow (neglecting kinetic terms)

•integrating over the Darcy scale

*Whitaker, 1966; Bear, 1988; Narsilio et al., 2009

Fundamentals

R. Rigon

q

R=2RH

A A

sezione A_A

a

q

Flusso laminare all’interno di un tubo capillare: la legge di Poiseuille

q = v ⇤ =� (2Rh)2

8µ�h a

La conducibilità idraulica

!15

Equazioni ed esperimenti

L’acqua nei suoli e nel sottosuolo

Alberto Bellin

16

La legge di Darcy vale per i sistemi saturi

Vale anche per l’acqua nei mezzi porosi insaturi (vadosi) ?

R. Rigon

!17

Che cosa muove l’acqua nei suoli ?

Il fluido che si muove (e questo vale in generale) deve muoversi per effetto di un

campo di forze termodinamiche generato:

•gradienti di forze esterne (la gravità)

•gradienti di temperatura

•gradienti di pressione

•gradienti di potenziale chimico (tra questi le forze osmotiche e le forze

capillari)

•etc.

Queste forze, nel caso dei fluidi nei mezzi porosi, agiscono a livello dei pori.

La legge di Darcy è una rappresentazione “statistica” di queste forze alla scala di

Darcy ;-)

R. Rigon

!18

Come si rappresenta l’energia nei mezzi porosiA

fter

Lu

an

d G

od

t, 2

01

2 -

Ch

apte

r 3

R. Rigon

!19

Tre modi per rappresentare l’energia (per unità di peso di acqua nei pori)

• carico idraulico o energia per unità di peso d’acqua

• pressione o energia per unità di volume d’acqua

• potenziale chimico o energia per moleAft

er L

u a

nd

God

t, 2

01

2 -

Ch

apte

r 3

R. Rigon

osmosi < 0suzione < 0: è una tensione !

gravità

Carico idraulico

!20

Consideriamo l’energia come carico idraulico

R. Rigon

!21

Consideriamo l’energia come carico idraulico

R. Rigon

carico atmosferico

!22

Consideriamo l’energia come carico idraulico

Spesso si considera la suzione relativa alla pressione atmosferica

R. Rigon

Legge di Darcy-Buckingham

Flusso volumetrico attraverso il contorno del volume infinitesimo

Conducibilità idraulica x gradiente del carico

Bu

ckin

gh

am, 1

90

7, R

ich

ard

s, 1

93

1

!23

~Jv = K(✓w)~r h

Equazioni ed esperimenti

che generalizza Darcy per i suoli insaturi