1 introduction

Analyse d’une structure tendue

Un câble d’ascenseur

Conception de structuresAutomne 2012

R. Pleau

École d’architecture, Université Laval

vendredi 7 septembre 12

Considérons une structure très simple constituée d’une cabine d’ascenseur (2,5 x 2,5 x 2,5 m) suspendue à un câble.

2Définition du problème



représentation schématiquede l’ascenseur






Le problème structural consiste à dimensionner le câble en acier qui supporte la cabine (i.e. à déterminer le diamètre minimal que le câble doit posséder pour éviter qu’il ne se rompe sous le poids de la cabine et de ses occupants).





Cet exemple très simple nous fournira l’occasion d’introduire différents concepts structuraux qui seront repris et traités en détails ultérieurement.

Le problème structural consiste à dimensionner le câble en acier qui supporte la cabine (i.e. à déterminer le diamètre minimal que le câble doit posséder pour éviter qu’il ne se rompe sous le poids de la cabine et de ses occupants).


3

Estimationdes charges


4Nature des charges

On distingue deux types de charges : 1 - les charges réparties sont distribuées plus ou moins uniformément sur une grande surface 2 - les charges ponctuelles sont appliquées sur une très petite surface.


Dans notre exemple le poids de la cabine constitue une charge répartie alors que le poids des occupants constitue une série de charges ponctuelles. Puisque ces charges sont des charges de gravité, elles sont orientées verticalement vers le bas.

4Nature des charges

On distingue deux types de charges : 1 - les charges réparties sont distribuées plus ou moins uniformément sur une grande surface 2 - les charges ponctuelles sont appliquées sur une très petite surface.


5Classification des charges

Les charges peuvent aussi être classées en deux autres catégories selon leur caractère permanent ou temporaire :


Les charges permanentes (ou charges mortes). Ces charges (essentiellement le poids propre de la structure) sollicitent la structure en permanence et peuvent être évaluées assez précisément.







Les surcharges (ou charges vives). Ces charges (charges d’utilisation, vent, neige, séisme, etc.) sont par nature variables en intensité et en durée et sont beaucoup plus difficiles à évaluer.





Les surcharges (ou charges vives). Ces charges (charges d’utilisation, vent, neige, séisme, etc.) sont par nature variables en intensité et en durée et sont beaucoup plus difficiles à évaluer.

Dans notre exemple, la charge morte correspondrait au poids de la cabine et cette donnée nous serait fournie par le fabricant. Pour les besoins de l’exercice, nous estimerons qu’elle est égale à 15 kN (i.e. 1 500 kg).


Dans notre exemple, la charge vive est une charge d’utilisation qui correspond au poids des occupants de la cabine. Cette charge nous est imposée par le Code National du Bâtiment du Canada (C.N.B.) qui stipule que, pour ce type d’utilisation, on doit prendre en compte une charge vive uniformément répartie de 4,8 kN/m2 (i.e. environ 480 kg/m2) ce qui constitue une estimation conservatrice. La charge vive totale sera donc égale à :

Charge vive = 4,8 kN/m2 × 2,5 m × 2,5 m = 30 kN (i.e. 3000 kg)



Pour assurer la sécurité des usagers d’un bâtiment, le C.N.B. (comme tous les autres codes nationaux) exige que les charges soient majorées (ou pondérées) par un facteur de sécurité. Ce facteur tient compte de la probabilité que la charge puisse excéder la valeur estimée pour diverses raisons qui sont, par nature, imprévisibles comme par exemple :

7Majoration des charges




- un changement de vocation du bâtiment ou une utilisation abusive (par exemple une salle de classe que l’on utilise comme salle d’entreposage)





- une erreur de calcul





- une erreur de calcul

- un événement exceptionnel et imprévisible (tempête de neige, ouragan, explosion, etc.)


La charge totale majorée est donc obtenue de la façon suivante :

Pf = 1,25 Pd + 1,5 PL




Pf = 1,25 Pd + 1,5 PL


Où : Pd = charge morte (l’indice d signifie dead load) PL = charge vive (l’indice L signifie live load) Pf = charge totale majorée (l’indice f signifie factored load)



Pf = 1,25 Pd + 1,5 PL



L’indice de majoration est plus élevé pour les charges vives que pour les charges mortes parce que ces charges sont plus difficiles à évaluer.



Pf = 1,25 Pd + 1,5 PL



L’indice de majoration est plus élevé pour les charges vives que pour les charges mortes parce que ces charges sont plus difficiles à évaluer.

Pour notre exemple on trouve que :

Pf = (1,25 × 15) + (1,5 x 30) = 64 kN


9Unité de mesure des forces

Par définition, une force est égale à une masse multipliée par une accélération :

F = m × a




Dans le système international d’unités (S.I.), la masse s’exprime en kilogrammes (kg), l’accélération en mètres par secondes au carré (m/s2) et la force en Newtons (N). Par définition on a donc :

1 N = 1 kg m / s2

F = m × a


L’accélération gravitationnelle étant égale à environ 10 m/s2 (la valeur exacte est 9,81 m/s2), une force de 1 N correspond approximativement à un poids de 100 g (1 N ≈ 0,1 kg × 10 m/s2) ce qui constitue une unité de mesure très faible.



Dans le système international d’unités (S.I.), la masse s’exprime en kilogrammes (kg), l’accélération en mètres par secondes au carré (m/s2) et la force en Newtons (N). Par définition on a donc :

1 N = 1 kg m / s2

F = m × a


En structure, on préfère utiliser le kilonewton (kN) comme unité de mesure des forces (1 kN = 1000 N). Comme le kN est une unité de mesure abstraite, on peut mieux prendre conscience de sa signification en se rappelant que :





1 kN ≈ 100 kg(i.e. le poids d’un joueur de football !)



10

environ 1 kN

Unité de mesure des forces




10

environ 1 kN



10 kN ≈ 1000 kg ≈ 1 tonne (i.e. le poids d’une voiture compacte)


environ 1 tonne (10 kN)


10

environ 1 kN



10 kN ≈ 1000 kg ≈ 1 tonne (i.e. le poids d’une voiture compacte)


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Équilibre statique

des forces


12Nature vectorielle des forces

Le câble doit supporter une force qui est constituée du poids de la cabine ainsi que de celui de ses occupants.




Une force est une entité vectorielle à laquelle on associe une intensité et une direction.


Graphiquement elle est représentée par une flèche dont la pointe indique la direction de la force et dont la longueur est proportionnelle à son intensité.















13Diagramme de corps libre (DCL)


13

Le diagramme de corps libre (DCL) est une représentation graphique de la structure, ou d’une partie de la structure, avec toutes les forces qui la sollicitent.

Diagramme de corps libre (DCL)


13



DCL de lastructure entière


13

DCL de lacabine isolée





DCL del’appui au toit

13






14Force résultante

On peut simplifier la représentation graphique en remplaçant l’ensemble des forces qui sollicitent la cabine par une seule force résultante équivalente.


Cette force résultante est obtenue en faisant l’addition des forces individuelles et elle est appliquée en un point appelé le centre de gravité (la notion de centre de gravité sera abordée dans un cours ultérieur).

14Force résultante





14Force résultante




Forcerésultante


+centre de gravité


14Force résultante



Pour que la structure soit en équilibre statique (i.e. pour qu’elle ne bouge pas), il faut que la somme des forces qui s’exercent sur elle soit nulle (∑ F = 0).

15Équilibre statique des forces


Pour que la structure soit en équilibre statique (i.e. pour qu’elle ne bouge pas), il faut que la somme des forces qui s’exercent sur elle soit nulle (∑ F = 0).

15Équilibre statique des forces


64 kN

64 kN

Puisque la cabine est soumise à une force de 64 kN vers le bas, le câble qui la soutient doit générer une force de 64 kN dirigée vers le haut. Le câble est donc soumis à une force de traction de 64 kN.


16Nature dynamique des forces

Jusqu’à maintenant nous avons traité la cabine d’ascenseur comme un élément statique c’est-à-dire un corps rigide immobile.




Comme l’analyse des forces dynamiques est difficile, on remplace souvent ces forces par des forces statiques équivalentes en adoptant des hypothèses conservatrices (on préfère surestimer que sous-estimer les charges).





Dans le cas d’un câble d’ascenseur, les normes canadiennes recommandent de tripler les forces statiques pour prendre en compte les effets dynamiques (et l’usure possible des câbles) et assurer la sécurité des occupants.





Dans le cas d’un câble d’ascenseur, les normes canadiennes recommandent de tripler les forces statiques pour prendre en compte les effets dynamiques (et l’usure possible des câbles) et assurer la sécurité des occupants.

Pour dimensionner notre câble nous prendrons donc en compte une force de tension de 192 kN (3 x 64 kN).


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Résistancedes matériaux


Par définition, une contrainte (σ) est une force (F) qui s’exerce par unité de surface (A) :

σ = F / A

18Notion de contrainte



σ = F / A


Dans le système international d’unités (S.I.), les forces sont exprimées en Newtons (N), les surfaces en mètres carré (m2) et les contraintes en Pascal (Pa). Par définition on a donc que:

1 Pa = 1 N/m2 (i.e. environ 100 g/m2)



σ = F / A


Dans le système international d’unités (S.I.), les forces sont exprimées en Newtons (N), les surfaces en mètres carré (m2) et les contraintes en Pascal (Pa). Par définition on a donc que:

1 Pa = 1 N/m2 (i.e. environ 100 g/m2)

(10 kg/cm2)

Un Pa est donc une unité de mesure très faible et, en structure, on préfère utiliser le kiloPascal (kPa) ou le mégaPascal (MPa) :

1 kPa = 1000 Pa = 1000 N/m2 = 1 kN/m2 (100 kg/m2) 1 MPa = 1 000 000 Pa = 1 000 000 N/m2 = 1 N/mm2


Lorsque l’on effectue des calculs de structure, une bonne façon d’éviter les erreurs d’unité consiste à ramener toutes les forces en N, toutes les dimensions en mm et toutes les contraintes en MPa puisque 1 MPa = 1 N/mm2

19Astuce


Pour chaque matériau de construction, on peut définir une contrainte admissible qui correspond à la contrainte maximale que le matériau peut supporter sans se rompre. Le tableau ci-dessous donne la valeur approximative de la contrainte admissible associée aux principaux matériaux de construction.

20Résistance des matériaux



Matériau Compression TensionContrainte admissible (MPa)

Acier de charpenteAcier pour câblesBois de sciageBois lamellé-colléBéton armé

35010001330

20 à 40

3501000 620≈ 0




Matériau Compression TensionContrainte admissible (MPa)

Acier de charpenteAcier pour câblesBois de sciageBois lamellé-colléBéton armé

35010001330

20 à 40

3501000 620≈ 0


Pour prévenir la rupture, il faut donc s’assurer que les contraintes qui sollicitent les divers éléments d’une structure n’excèdent jamais la contrainte admissible du matériau.


Cette contrainte admissible est majorée par un coefficient de tenue (φ), un facteur de sécurité qui tient compte de la variabilité associée aux propriétés du matériau :

φ = 0,9 pour l’acier φ = 0,7 pour le bois φ = 0,6 pour le béton



À chaque élément structural, on peut associer un effort résistant (à la traction, à la compression ou à la flexion) qui correspond à l’effort maximal que peut supporter l’élément avant que la contrainte maximale n’excède la contrainte admissible du matériau ce qui amènerait la rupture de l’élément.

22Effort résistant



22Effort résistant

Diagramme de corps libred’une section de câble

contrainteuniforme (σ)

câble

effort de traction (T)

dSi on admet que le câble est soumis à une contrainte de traction uniforme (σ), l’effort résistant (Tr) est égal à :



Tr = φ σadm A

où φ = coefficient de tenue du matériau σadm = contrainte admissible du matériau A = aire de la section du câble = π d2 / 4

d = diamètre du câble

22Effort résistant

Diagramme de corps libred’une section de câble

contrainteuniforme (σ)

câble

effort de traction (T)

dSi on admet que le câble est soumis à une contrainte de traction uniforme (σ), l’effort résistant (Tr) est égal à :


Le dimensionnement du câble consiste à calculer quel est le diamètre minimal requis afin que l’effort de traction imposé au câble par les charges majorées (Tf) ne dépasse pas son effort résistant (Tr) d’où :

23Dimensionnement du câble



Tf < Tr = φ σadm π d2

4

23Dimensionnement du câble




4

23

En isolant d, on obtient que : d > 4 Tf

φ σadm π

Dimensionnement du câble




4

En admettant que φ = 0,9 et σadm = 1000 MPa pour l’acier utilisé, on trouve que :

23


φ σadm π





4

En admettant que φ = 0,9 et σadm = 1000 MPa pour l’acier utilisé, on trouve que :

23

d > 4 x 192 000 N = 16.5 mm 0,9 x 1000 MPa x 3,1416


φ σadm π



Education

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