06-integrais de superf­cie

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Matemática, Cálculo, Análise,Integrais, Superfcie, Vetor normal, plano tangente, Integral, superfície, campo escalar, campo vetorial, Teorema da divergência, Teorema de Stokes Se quiser a fonte em LaTeX ofereço com todo o gosto: sandra.gaspar.martins@gmail.com

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  • 1. AM2 Superfcie Vetor normal e plano tangente Integral de superfcie de campo escalar Integral de superfcie de campo vetorial Teorema da divergencia Teorema de Stokes Integrais de Superfcie Analise Matematica 2/ Calculo 2 2o Semestre 2013/14 versao de 5 de Junho de 2014 1/42

2. AM2 Superfcie Vetor normal e plano tangente Integral de superfcie de campo escalar Integral de superfcie de campo vetorial Teorema da divergencia Teorema de Stokes Denicao Chama-se parametrizacao de uma superfcie a uma aplicacao: R : D R2 R3 (u, v) (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) com D um aberto conexo de R2. 2/42 3. AM2 Superfcie Vetor normal e plano tangente Integral de superfcie de campo escalar Integral de superfcie de campo vetorial Teorema da divergencia Teorema de Stokes Exerccios I Parametrize as superfcies usando, se possvel, as projeccoes em xOy, yOz e em xOz: 1 S = (x, y, z) R3 : x2 + y2 = z, z 4 2 S = (x, y, z) R3 : x2 + y2 = z2 , 1 z 4 3 S = (x, y, z) R3 : x2 + y2 + z2 = 9, z 0 4 * S = (x, y, z) R3 : x2 + y2 = 16, 1 z 3 3/42 4. AM2 Superfcie Vetor normal e plano tangente Integral de superfcie de campo escalar Integral de superfcie de campo vetorial Teorema da divergencia Teorema de Stokes Exerccios II 5 S = (x, y, z) R3 : z = 1 x2 , z 0, 0 y 3 6 S = (x, y, z) R3 : x + y + x = 1, x 0, y 0, z 0 7 S = (x, y, z) R3 : z = 1, x2 + y2 4 8 S = (x, y, z) R3 : x = y, 1 z 3, 0 x 2 4/42 5. AM2 Superfcie Vetor normal e plano tangente Integral de superfcie de campo escalar Integral de superfcie de campo vetorial Teorema da divergencia Teorema de Stokes Exerccios III Parametrize as superfcies usando coordenadas polares: 1 S = (x, y, z) R3 : x2 + y2 = z, z 9 2 S = (x, y, z) R3 : x2 + y2 + z2 = 1, z 0 3 S = (x, y, z) R3 : x2 + y2 = z2 , 3 z 0 4 * S = (x, y, z) R3 : x2 + y2 = 4, 1 z 4 5/42 6. AM2 Superfcie Vetor normal e plano tangente Integral de superfcie de campo escalar Integral de superfcie de campo vetorial Teorema da divergencia Teorema de Stokes Qual o tipo de deformacao que e produzida pela parametrizacao em coordenadas polares e em coordenadas cartesianas? 6/42 7. AM2 Superfcie Vetor normal e plano tangente Integral de superfcie de campo escalar Integral de superfcie de campo vetorial Teorema da divergencia Teorema de Stokes Exerccios IV Parametrize as superfcies: 1 S = (x, y, z) R3 : x2 + y2 = 9 z, 0 z < 5, x 0 2 S = (x, y, z) R3 : x2 + y2 = z2 , 4 z 0, y x, x 0 3 S = (x, y, z) R3 : x2 + y2 = 4, 2 z 3, y 0 4 S = (x, y, z) R3 : x2 + y2 + z2 = 9, x 0, y 0, z 0 7/42 8. AM2 Superfcie Vetor normal e plano tangente Integral de superfcie de campo escalar Integral de superfcie de campo vetorial Teorema da divergencia Teorema de Stokes Exerccios V Parametrize as superfcies: 1 S = (x, y, z) R3 : (x 2)2 + (y + 1)2 = 9 z, z 0 2 S = (x, y, z) R3 : y2 + z2 = x2 , 4 x 0, z 0 3 S = (x, y, z) R3 : x 3 2 + y2 = 4, 1 z 5, y 0 4 S = (x, y, z) R3 : (x 3)2 + z 2 2 = y, x 3, y 4 8/42 9. AM2 Superfcie Vetor normal e plano tangente Integral de superfcie de campo escalar Integral de superfcie de campo vetorial Teorema da divergencia Teorema de Stokes Exerccios VI Parametrize, usando coordenadas esfericas, as superfcies: 1 S = (x, y, z) R3 : x2 + y2 + z2 = 9, x 0, y 0, z 0 2 S = (x, y, z) R3 : x2 + y2 + z2 = 4, x 0, y 0, z 0 3 S = (x, y, z) R3 : x2 + y2 + z2 = 25, x 0, y 0, z 0 Coordenadas esfericas x = cos() sin() y = sin() sin() z = cos() , [0, 2[, [0, ], R+ 9/42 10. AM2 Superfcie Vetor normal e plano tangente Integral de superfcie de campo escalar Integral de superfcie de campo vetorial Teorema da divergencia Teorema de Stokes Seja S uma superfcie parametrizada por r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) D de classe C1(D). r u (a, b, c) e um vetor tangente `a superfcie S no ponto (a, b, c) . r v (a, b, c) e um vetor tangente `a superfcie S no ponto (a, b, c) . 10/42 11. AM2 Superfcie Vetor normal e plano tangente Integral de superfcie de campo escalar Integral de superfcie de campo vetorial Teorema da divergencia Teorema de Stokes Vetor normal Seja S uma superfcie parametrizada por r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) D de classe C1(D). Um vetor normal `a superfcie num ponto P = (a, b, c) = (x(u0, v0), y(u0, v0), z(u0, v0)) e dado por r u (u0, v0) r v (u0, v0) = e1 e2 e3 x u y u z u x v y v z v = y u z v z u y v e1+ z u x v x u z v e2+ x u y v y u x v (desde que seja nao nulo.) Ao vetor anterior chama-se vetor produto fundamental. 11/42 12. AM2 Superfcie Vetor normal e plano tangente Integral de superfcie de campo escalar Integral de superfcie de campo vetorial Teorema da divergencia Teorema de Stokes Notas: 1 n = r u r v r u r v e normal `a superfcie e unitario. 2 O vetor r v r u tambem e normal a S mas tem sentido oposto a r u r v . 3 Uma superfcie com vetor normal (nao nulo) em todos os pontos diz-se regular (nao apresenta regioes pontiagudas). 4 Equacao cartesiana do plano que passa no ponto (a, b, c) e e normal ao vetor n = (n1, n2, n3): n1(x a) + n2(y b) + n3(z c) = 0 12/42 13. AM2 Superfcie Vetor normal e plano tangente Integral de superfcie de campo escalar Integral de superfcie de campo vetorial Teorema da divergencia Teorema de Stokes Exerccios 1 Determine a equacao do plano tangente ao paraboloide parametrizado por r(u, v) = (u, v, u2 + v2 ) no ponto (1, 2, 5). 2 Determine as equacoes dos planos tangentes ao paraboloide dado pela equacao x2 + y2 = 4 z nos pontos (0,0,4) e (-1,1,2). 13/42 14. AM2 Superfcie Vetor normal e plano tangente Integral de superfcie de campo escalar Integral de superfcie de campo vetorial Teorema da divergencia Teorema de Stokes Denicao (Integral de superfcie de campo escalar) Seja S r(D) uma superfcie, r C1(D) e f : R um campo escalar limitado com S . Dene-se o integral de superfcie de f sobre S como: S f dS = D f (r(u, v)) r u r v (u, v) dudv Nota: area de S = S 1 dS 14/42 15. AM2 Superfcie Vetor normal e plano tangente Integral de superfcie de campo escalar Integral de superfcie de campo vetorial Teorema da divergencia Teorema de Stokes Proposicao O integral de superfcie de campo escalar nao depende da parametrizacao. Se S e S1 sao duas superfcies que apenas diferem num numero nito de linhas, entao: S f dS = S1 f dS Interpretacao: S f dS da a quantidade total de f sobre a superfcie S. Por exemplo, se f (x, y, z) indicar a quantidade de humidade em cada ponto (x,y,z), este integral indica a quantidade total de humidade que esta sobre a superfcie S. 15/42 16. AM2 Superfcie Vetor normal e plano tangente Integral de superfcie de campo escalar Integral de superfcie de campo vetorial Teorema da divergencia Teorema de Stokes Exerccios I 1 Calcule S f dS sendo f (x, y, z) = x2 + y2 + z2 + 5 S = (x, y, z) R3 : x2 + y2 = z2 , 0 z 1 . R: 6 2 2 Calcule S (x + z) dS onde S e a parte do cilindro y2 + z2 = 9 entre x = 0 e x = 4 contida no 1o octante. R: 12 + 36 3 Calcule S f dS sendo f (x, y, z) = xy z S = (x, y, z) R3 : x2 + y2 = z, 4 x2 + y2 16 . R: 65 3 2 17 3 2 3 16/42 17. AM2 Superfcie Vetor normal e plano tangente Integral de superfcie de campo escalar Integral de superfcie de campo vetorial Teorema da divergencia Teorema de Stokes Exerccios II 4 Calcule a area da superfcie S = (x, y, z) R3 : x2 + y2 = z, 0 z 4 R: 6 ( 17 3 1) 5 Verique que a area da superfcie de uma esfera unitaria e 4. Sug: Use coordenadas esfericas. 6 Calcule a area da superfcie dada por x2 + y2 z = 0 z 9 R: 2 37 3 2 1 3 17/42 18. AM2 Superfcie Vetor normal e plano tangente Integral de superfcie de campo escalar Integral de superfcie de campo vetorial Teorema da divergencia Teorema de Stokes Orientacao de uma superfcie Uma superfcie S diz-se orientavel se podemos denir um vetor normal unitario n a cada ponto de S e de modo que estes vetores variem continuamente sobre a superfcie S. Uma superfcie orientada tem dois lados distintos. Assim quando orientamos uma superfcie escolhemos um dos dois possveis vectores normais unitarios. 18/42 19. AM2 Superfcie Vetor normal e plano tangente Integral de superfcie de campo escalar Integral de superfcie de campo vetorial Teorema da divergencia Teorema de Stokes Fita de Mobius http://www.youtube.com/watch?v=BVsIAa2XNKc&NR= 1&feature=fvwp 19/42 20. AM2 Superfcie Vetor normal e plano tangente Integral de superfcie de campo escalar Integral de superfcie de campo vetorial Teorema da divergencia Teorema de Stokes Garrafa de Klein http://www.youtube.com/watch?v=E8rifKlq5hc 20/42 21. AM2 Superfcie Vetor normal e plano tangente Integral de superfcie de campo escalar Integral de superfcie de campo vetorial Teorema da divergencia Teorema de Stokes Denicao (Integral de superfcie de campo vetorial) Seja S uma superfcie orientada de parametrizacao r e orientacao n, isto e, (S, n). Seja F : R3 um campo vetorial contnuo, tal que S . Dene-se S F dS = S F n dS = D F (r(u, v))| r u r v dudv Nota: S F dS e o uxo que atravessa S com velocidade F, ou seja, e a quantidade de uido que atravessa a superfcie S por unidade de tempo. 21/42 22. AM2 Superfcie Vetor normal e plano tangente Integral de superfcie de campo escalar Integral de superfcie de campo vetorial Teorema da divergencia Teorema de Stokes Campo vetorial de velocidades (constantes em modulo), v de um escoamento de agua num tubo innitesimalmente pequeno. Quais partculas do uido contribuirao mais para o uxo? v1-Tem a contribuicao maxima possvel: v1 n = f1 v3-Nao contribui: v1 n = 0 v2-So tem contribuicao da componente horizontal.1 1 Pedro Silva,IFMC,ISEL 22/42 23. AM2 Superfcie Vetor normal e plano tangente Integral de superfcie de campo escalar Integral de superfcie de campo vetorial Teorema da divergencia Teorema de Stokes Exerccio Determine se e positivo, negativo ou nulo, o uxo atraves das superfcies abaixo, de F(x, y, z) = (0, 0, z), G(x, y, z) = (x, 0, 0), H(x, y, z) = (0, 1, 0), J(x, y, z) = (0, 0, z 2) 23/