04 superficies en el espacio

MATEMÁTICA III. CÁLCULO VECTORIAL PARA

ESTUDIANTES DE INGENIERÍA,

CIENCIA Y TECNOLOGÍA.

CAPÍTULO 4: SUPERFICIES EN EL

ESPACIO.

Ing. Willians Medina.

Maturín, Julio de 2015.

Capítulo 4. Superficies en el espacio.

Matemática III. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 1

PRESENTACIÓN.

La presente es una Guía de Ejercicios de Matemática III (Cálculo Vectorial) para

estudiantes de Ingeniería, Ciencia y Tecnología dictada en las carreras de Ingeniería

Ambiental, Civil, de Computación, Eléctrica, Electrónica, Industrial, Mecánica, de

Petróleo, de Sistemas y Química de reconocidas Universidades en Venezuela.

El material presentado no es en modo alguno original, excepto la inclusión de las

respuestas a ejercicios seleccionados y su compilación en atención al contenido

programático de la asignatura y al orden de dificultad de los mismos.

Dicha guía ha sido elaborada tomando como fuente las guías de ejercicios y

exámenes publicados en su oportunidad por Profesores de Matemática III en los núcleos de

Monagas y Anzoátegui de la Universidad de Oriente, además de la bibliografía

especializada en la materia y citada al final de cada capítulo, por lo que el crédito y

responsabilidad del autor sólo consiste en la organización y presentación en forma

integrada de información existente en la literatura.

Adicionalmente es conveniente mencionar que este trabajo ha sido realizado con

fines estrictamente académicos y su uso y difusión por medios impresos y electrónicos es

libre, no representando ningún tipo de lucro para el autor.

Finalmente, se agradece infinitamente la dispensa y atención a esta modesta

contribución en la enseñanza y aprendizaje de la Matemática, así como las sugerencias que

tengan a bien para mejorar este trabajo, las cuales pueden hacer llegar directamente a través

de los teléfonos: +58-424-9744352 ó +58-426-2276504, PIN: 2736CCF1 ó 7A264BE3,

correo electrónico: [email protected] ó [email protected], twitter: @medinawj ó

personalmente en la sección de Matemáticas, Universidad de Oriente, Núcleo de Monagas.

Ing. Willians Medina.



ACERCA DEL AUTOR.

Willians Medina es Ingeniero Químico, egresado de la Universidad de Oriente,

Núcleo de Anzoátegui, Venezuela. Durante el transcurso de su carrera universitaria se

desempeñó como preparador docente en el área de Laboratorio de Química I y

Termodinámica Aplicada de la carrera de Ingeniería Química de la referida Universidad.

En el año 1996 ingresó a la Industria Petrolera Venezolana, Petróleos de Venezuela

(PDVSA), desempeñando el cargo de Ingeniero de Procesos en la Planta de Producción de

Orimulsión, en Morichal, al sur del Estado Monagas hasta el año 1998, momento en el cual

comenzó su desempeño en la misma corporación como Ingeniero de Manejo de Gas en el

Complejo Operativo Jusepín, al norte del Estado Monagas hasta finales del año 2000.

Durante el año 2001 formó parte del Plan Integral de Adiestramiento (PIA) en San Tomé,

Estado Anzoátegui, donde recibió cursos de preparación integral en las áreas de producción

y manejo de petróleo y gas, pasando finalmente a la Gerencia de Manejo de Gas del Norte

del Estado Monagas, en la localidad de Punta de Mata, siendo responsable del tratamiento

químico anticorrosivo de gasoductos de la zona de producción de petróleo y gas hasta

finales del año 2002. Desde el año 2006, forma parte del Staff de Profesores de

Matemáticas, adscrito al Departamento de Ciencias, Unidad de Cursos Básicos del Núcleo

de Monagas de la Universidad de Oriente (UDO), cargo en el cual ha dictado asignaturas

tales como Matemáticas I (Cálculo Diferencial), Matemáticas II (Cálculo Integral),

Matemáticas III (Cálculo Vectorial), Matemáticas IV (Ecuaciones diferenciales), Métodos

Numéricos, Termodinámica y Fenómenos de Transporte para estudiantes de Ingeniería. Es

autor de compendios de ejercicios propuestos y formularios en el área de Matemáticas,

Física, Química, Mecánica Vectorial, Métodos Numéricos, Termodinámica, Estadística,

Diseño de Experimentos, Fenómenos de Transporte, Mecánica de los Fluidos e Ingeniería

Económica. Es miembro del Colegio de Ingenieros de Venezuela.



4.1.- CILINDROS.

1. Identificar y graficar las siguientes superficies:

a) xz 1 b) 2yz c) 2xy

d) 12 yx e) 22 xy f) 42 xz

g) 21 zx h) 12 yz i) 1zy

j) xy k) yx l) 2 xz

m) zy 1 n) 2 yx ñ) xz 32

o) 34 xx p) 422 yx q) 122 xz

r) 122 zy s) 3622 yz t) 164 22 zx

u) 4)3()1( 22 xy v) 0222 yyx w) 548 22 yyxx

x) 149

22

yx

y) 116

22

yx

z) 122 zy

aa) 44 22 yz ab) 14

22

yz ac) 1)1()2( 22 yx

ad) 326 22 yyxx ae) xy sen af) yx sen

ag) yz sen ah) xy ln ai) )1(ln zy

aj) xz ln1 ak) 1)2(ln zx al) 0 yez

am) xy 2 an) 12 yz añ) 2)( 1

21 zy

ao) 1)( 2

21 yx ap)

4

2

x

xy aq)

z

zx

1

2

ar) 2

95

x

xz as)

z

zy

1

52 at) xyyx 52

au) 132 zyyz av) 04 zyx

Respuesta:



b) Cilindro parabólico

c) Cilindro parabólico

ae) Cilindro senoidal

af) Cilindro senoidal

ag) Cilindro senoidal

al) Cilindro exponencial

a) Plano; d-h) Cilindro parabólico; i) Cilindro; j-ñ) Cilindro semiparabólico; o) Punto; p-w)

Cilindro circular; x-ad) Cilindro hiperbólico; ah-ak) Cilindro logarítmico; am-ao) Cilindro

exponencial; ap-au) Cilindro; av) Plano.

4.2.- SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN.

2. Obtener la ecuación de la superficie de revolución que se genera al girar la curva plana

dada alrededor del eje indicado:

a) yx 42 en el plano yx , alrededor del eje x .

b) zy 3 en el plano zy en derredor del eje y .

c) 14449 22 zy en el plano zy , en derredor del eje z .

d) )(sen xy en el plano yx , en derredor del eje z .

4.3.- SUPERFICIES CUÁDRICAS.

3. Identificar y graficar las siguientes superficies:

a) 16222 zyx b) 444 222 zyx



c) 36494 222 zyx d) 2522 222 zyx

e) 444 222 xzy f) 01226834 222 zyxzyx

g) 1642 222 zyx h) 44 222 zxy

i) 023241223 222 zyxzyx j) 44 22 zyx

k) 224 yxz l) yxz 1249 22

m) 01849 22 xzy n) 222 994 yzx

ñ) )(3 222 yxz o) 0416

222

zyx

p) 091649

222

zyx

Respuesta: a) Esfera; b-c) Elipsoide; d-f) Hiperboloide de una hoja; g-i) Hiperboloide de

dos hojas; j-k) Paraboloide elíptico; l-m) Paraboloide hiperbólico; n-p) Cono.

4.4.- FUNCIONES VECTORIALES Y SUPERFICIES.

4. [EP] Demuestre que las curvas se encuentran en una esfera con centro en el origen.

a) kttjtittr 247972)( , 210 t

b) ktjtitttr cossencossen )( 2 , 20 t

Respuesta: a) 9222 zyx

5. Mostrar que la función vectorial kttjttittr sen 2cos2)( se encuentra en el cono

2224 zyx . Dibujar la curva.

6. [EP] Demuestre que la espiral ktjttitttr sen cos)( está en el cono circular

0222 zyx . ¿En qué superficie está la espiral ktjttitttr sen cos3)( ?

Respuesta: 099 222 zyx .

7. Mostrar que la función vectorial kejteitetr ttt sen cos)( se encuentra en el

cono 222 yxz . Dibujar la curva.



8. [DZ] Demuestre que los puntos sobre las hélices cónicas dadas yacen sobre el cono

elíptico 2

2

2

2

2

2

b

y

a

x

c

z .

a) ktcjttbittatr sen cos)( b) kecjtebiteatr tktktk sen cos)(

0a , 0b . 0c . 0k .

9. [GT] La curva de ecuación ktjttitttr 1sen 3cos2)( está sobre una

cuádrica. Dedúzcase la ecuación de esta superficie y dígase de que tipo es.

Respuesta: 1194

222

zyx

, Elipsoide.

10. [WM] Una hormiga se mueve dentro de un recipiente sobre una trayectoria descrita por

la función kejteitetr ttt 422 43sen3cos)( . Demuestre que el recipiente tiene forma

de un paraboloide y determine su ecuación.

Respuesta: zyx 22 44

11. [BJ] El movimiento tridimensional de una partícula se define mediante el vector de

posición kttjtitttr sen 13cos3)( 2 , donde r y t se expresan en pies y segundos.

Demuestre que la curva descrita por la partícula se encuentra sobre el hiperboloide

199

222

zyx

, determine las magnitudes de la velocidad y de la aceleración cuando

0t .

12. [WM] Sabiendo que la trayectoria de un transbordador espacial está descrita por la

función ktjtittr 22)21()( , determine la ecuación de la recta tangente y del plano

normal a la trayectoria en los puntos donde el transbordador atraviesa a la galaxia cuya

superficie es 22 yxz .



BIBLIOGRAFÍA.

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BEER, F., E. R. JOHNSTON Jr. y P. J. CORNWELL, Dinámica., McGraw-

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Education

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