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Si hay un signo menos delante de un paréntesis o de una fracción, hay queaplicar la regla de los signos y la propiedad distributiva.
− 3− x =− 3− − x =− 3 x
−x−12
=−x−1
2=−x1
2
− 2 − x 5 =− 2 − x − 2 ⋅5= 2x − 10
−2⋅4x5
=−24x
5=−8−2x
5
−2⋅4x5
=2 4x
−5=82x
−5−2⋅4x
5=−
24x 5
=−82x5
0. Recuerda: operaciones con el signo
MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 7. ECUACIONES DE PRIMER GRADO Javier Fernández
• Identidad: Es una expresión con una igualdad que se cumple siempre.– Identidad numérica: Sólo aparecen números.– Identidad algebraíca: Aparecen números y letras.
• Ecuación: Es una expresión con letras y números en una igualdad que secumple sólo para ciertos valores de las letras.
¿Cuánto vale x si la balanza está equilibrada?
Hay que resolver le ecuación x + 3 = 7 x = 7 – 3
x = 4
La solución es x = 4 porque 4 + 3 = 7
Soluciones de una ecuación son los valores que tiene que tomar la incógnitapara que se verifique la igualdad.
1.1 Identidades y ecuaciones
MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 7. ECUACIONES DE PRIMER GRADO Javier Fernández
Resolver una ecuación es hallar sus soluciones
Soluciones
Una
Infinitas
Ecuación
x + 3 = 7
x + 3 = y + 2
x + 5 = x – 1 Ninguna
Compatibles
Incompatibles
En este caso es una identidad
No hay ningún número tal que al sumarle 5 yrestarle 1 dé lo mismo
1.2 Soluciones de una ecuación
MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 7. ECUACIONES DE PRIMER GRADO Javier Fernández
Para plantear correctamente el enunciado de un problema nos convienemanejar el lenguaje matemático y traducir del lenguaje usual al algebraico.
• El cuadrado de la mital de un número más tres
• El cuadrado de la mitad de la suma de un número más 3.
• El doble de la edad de Fermando dentro de diez años
• Dentro de 10 años la edad de Fernando será el doble de la que tiene ahora
Si el número es x : x2
2
3
Si el número es x : x32
2
Si la edad es x: 2(x + 10)
Si la edad es x: (x + 10) = 2x
2. Expresión de relaciones con símbolos
MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 7. ECUACIONES DE PRIMER GRADO Javier Fernández
Si a los dos miembros de una ecuación se le suma o resta los mismosnúmeros o letras, se obtiene otra ecuación equivalente
Resolver: 6x – 1 = 2x + 8
Se resta 2x: 6x – 1 – 2x = 2x + 8 – 2x
4x – 1 = 8
Se suma 1: 4x – 1 + 1 = 8 + 1
4x = 9
x= 94=2, 25
3.1 Regla de la suma
MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 7. ECUACIONES DE PRIMER GRADO Javier Fernández
• La regla de la suma equivale a transponer términos: pasar un término de unmiembro a otro cambiado de signo.• Una aplicación muy útil de la regla de la suma es la simplificación: se puedesuprimir en los dos miembros un mismo término
Resolver: 3x – 5 = 7 + 2x – 4
Mediante la regla de la suma
Mediante la transposición de términos
Se opera: 3x – 5 = 3 + 2x
Se resta 2x a los dos miembros3x – 5 –2x = 3 + 2x –2x
Se opera: x – 5 = 3
Se suma 5 a los dos miembrosx – 5 + 5 = 3 + 5
x = 8
Se opera: 3x – 5 = 3 + 2x
Se transponen miembros3x – 2x = 3 + 5
Se opera: x = 8
3.2 Simplificar y transponer términos
MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 7. ECUACIONES DE PRIMER GRADO Javier Fernández
Si a los dos miembros de una ecuación se les multiplica o divide por elmismo número, se obtiene otra ecuación equivalente
4x + 12 = 16
x + 3 = 4
Dividiendo por 4 ambos miembros
3.3 Regla de producto
MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 7. ECUACIONES DE PRIMER GRADO Javier Fernández
Se multiplica por 8:
Re solver :−3x
8=2
8⋅−3x8
= 2⋅8
− 3x= 16
Se divide por (–3): −3x−3
=16−3
x= 16−3
=−163
=−163
3.4 Utilizació de la regla del producto
MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 7. ECUACIONES DE PRIMER GRADO Javier Fernández
• La regla del producto equivale a transponer términos respecto al producto: lostérminos que están multiplicando a todo un miembro pueden pasar dividiendo alotro, y los que están dividiendo pueden pasar multiplicando.• Una aplicación muy útil de la regla de la suma es la simplificación: se puedensuprimir números distintos de cero que están multiplicando o dividiendo a los• dos miembros de una ecuación
Ejemplos: Es correcto No es correcto
2x13
= 5x−13
⇒ 2x + 1 = 5x – 12x1
3= 5x
3−1 ⇒ ?
2x3
5= 5x12
5⇒ 2x3
= 5x12
2x74
= 5x73
⇒ ?
3.5 Simplificar y transponer términos
MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 7. ECUACIONES DE PRIMER GRADO Javier Fernández
1 5x – 3 = 7 – (1 – 2x)
5x – 3 = 7 – 1 + 2x
5x – 3 = 6 + 2x
5x = 9 + 2x
3x = 9
x = 3
2 x – 6 = –2(3x – 4)
x – 6 = –6x + 8
x = –6x + 14
7x = 14
x = 2
4.1 Resolución de ecuaciones de primer grado
MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 7. ECUACIONES DE PRIMER GRADO Javier Fernández
3x2
− 2x15
= 5x4
73 4x4
=1− x− 46
m.c.m (4, 6) = 12
12⋅x4=12−12⋅x− 4
6
3x = 12 – 2(x – 4)
3x = 12 – 2x + 8
5x = 20
x = 4
m.c.m (2, 5, 4) = 20
20⋅3x2
− 20⋅2x15
=20⋅5x4
140
30x – 8x – 4 = 25x + 140
22x – 4 = 25x + 140
–3x = 144
x = – 48
4.2 Resolución de ecuaciones de primer grado
MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 7. ECUACIONES DE PRIMER GRADO Javier Fernández
• Al eliminar un paréntesis precedido de un signo menos, hay que cambiar todoslos signos de los términos del paréntesis.• En el caso de que un signo menos preceda a una fracción, éste ha de cambiar elsigno del numerador o del denominador.
– 3(x – 2) = 3(– x + 2) = –3x + 6
También se puede poner:– 3(x – 2) = 3(x – 2)(–1)
3x 5 x
20 5
Observa la siguiente ecuación:
Las siguientes igualdades son tambiénválidas:
3x 5 x
20 5
3x 5 x
20 5
3x 5 x
20 5
Con qué debemos tener cuidado
MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 7. ECUACIONES DE PRIMER GRADO Javier Fernández