Три знамениті задачі Стародавнього світу

   Математики Стародавнього світу, як правило,  рівняння розв'язували геометричним способом, використовуючи різні спеціальні прилади. Наприклад, вони могли за допомогою циркуля і лінійки порівняно легко побудувати:Суму двох(або декількох)  відрізків: a + b;Різницю двох відрізків: a - b;Поділ відрізка на  будь-яку кількість рівних кількість(теорема Фалеса). Множення відрізка на звичайний дріб.Поділ кута навпіл(бісектриса трикутника).Відрізок, що рівний:  a∙b/c(побудова подібних трикутників).Квадратний корінь добутку двох відрізків(середнє геометричне, найменша висота прямокутного трикутника);Квадратний корінь суми квадратів двох відрізків(довжина гіпотенузи прямокутного трикутника);Квадратний корінь різниці квадратів двох відрізків(довжина катета прямокутного трикутника).Використовуючи ці побудову можна було геометрично отримувати розв'язки лінійних і деяких квадратних рівнянь.Зазначимо, вже строго доведено сучасними засобами, що кубічне рівняння з раціональними коефіцієнтами, яке не має раціональних коренів, не може бути геометрично розв'язане в квадратних радикалах, тобто, ні один з коренів цього рівняння не можна побудувати за допомогою циркуля та лінійки. Відома така легенда. Цар Мінос звелів побудувати пам'ятник своєму сину Главку. Архітектори виконали пам'ятник у формі куба, ребро якого дорівнювало 100 ліктям. Але Мінос оглянувши пам'ятник, вирішив, що він маленький. Цар наказав подвоїти  цей куб. Відчуваючи своє безсилля у розв'язку даної задачі, архітектори звернулись за допомогою до вчених геометрів, проте і вони не змогли розв'язати даної задачі. Перша задача. Делоська задача на побудову. Задача про подвоєння куба. Треба побудувати ребро куба, який по об'єму був би в два рази більше даного куба. Вказівка. Згідно умови задача, треба розв'язати рівняння  х3 = 2∙а3, тобто треба побудувати добуток відрізка на ірраціональне число, рівне кубічному кореню з двійки. Вже доведено у першій половині  ХІХ століття, що  за допомогою циркуля і лінійки, без  застосування інших  допоміжних приладів, не можна геометрично побудувати відрізок, який би дорівнював кубічному кореню з двійки. Друга задача. Задача на побудову. Задача про поділ кута на три рівні частини(трисекція).Треба довільний кут поділити на три рівні частини.Зауваження. Наприклад. Для прямого кута, це зробити можна, якщо на обох сторонах кута побутувати правильні(рівносторонні) трикутники, зі спільною вершиною, яка співпадає з вершиною прямого кута. Виявіть, чи можна поділити на три рівні частини кут, який рівний половині прямого або півтора прямого кута. Проблема трисекції кута. Нехай, нам необхідно побудувати правильний дев'ятикутник. А це можна було б зробити так. Побутувати коло. Хордами, що рівні довжині радіуса,  поділити все коло на шість рівних частин. Побудувати правильний

шестикутник. У правильному шестикутник провести три маленькі діагоналі і отримати правильний трикутник. Якщо у правильному трикутнику вдасться поділити центральний кут на три рівні частини, то можна було б отримати правильний дев'ятикутник.  Ось тут і виникла проблема. Як за допомогою циркуля виконати трисекцію центрального кута. Згодом вияснили, що ця задача є нерозв'язною для циркуля та лінійки. Це строго довів в 1837 році  П. Ванцель.Третя задача. Задача на побудову. Задача про квадратуру круга. Треба побудувати квадрат, площа якого дорівнювала б площі даного круга.