Зджанська Г.О.Вчитель математики вищої категорії Жвирківської

зш І-ІІІ ст

Логарифмічною функцією називається функція виду y=y=loglogaax ,x , де a > 0, a ≠ 1.

Логарифм – з грецької означає “логос”- відношення і “аритмос”- число.

Десятковий логарифм – це логарифм з основою 10, позначається lg b.

Натуральний логарифм – це логарифм за основою e

e – іррацілнальне число, наближене значення якого

≈ 2,7, позначається ln b.

1 x

y

1

0

y=logax

y = x

y = ax

Функції y=ax та y=logax (a > 0, a ≠ 0) – взаємно обернені функції, тому їх графіки симетричні відносно прямої y = x.

x

y

1

1

0

y = xy = ax

y=logax

a>1

0 < a < 1

1 x

y

1

0

y=logax, a > 1

y=logax 0 < a < 1

1 x

y

1

0

1. Область визначення: );0()(log.0 xDx a

2. Область значень: RxERy a )(log.3. Функція: ні парна, ні непарна

4. Точки перетину з осями координат:

з віссю Oy: немає з віссю Ox:

01

yx

1 x

y

1

0

y=logax, a > 1

1 x

y

1

0

y=logax

0 < a < 1

5. Проміжки зростання і спадання:Функція logax зростає

при a > 1 на всій області визначення

Функція logax спадає при 0 < a < 1 на всій області визначення

6. Проміжки знакосталості:

10,0log

,1,0log

xприxy

xприxy

a

a

1,0log

,10,0log

xприxy

xприxy

a

a

1 x

y

1

0

y=logax, a > 1

1 x

y

1

0

y=logax 0 < a < 1

7. Найбільшого й найменшого значень функція не має

)(log 12 xy

1 x

y

1

0- 1

2

2 4

221 xy log

xy 3log

xy31log

1. Серед даних функцій логарифмічною є функція:

А. Б.

В. Г.

1,3xy xlogy 1,3x(1,3)y 1,3-xy

2. Якщо logab=x, то …А. Б.

В. Г.

abx bax axb xab

3. Спадною є функція:

xy lnxy 3log

xy lg

xy 12log

xy log

4. Зазначте проміжок спадання функціїА. Б.

В. Г.

Д.

xlogy21

0; 0;- ;- ;0

0;

5. Областю визначення функції 1)(xlogy 3 є:А. Б.

В. Г.

Д.

1;- ;1

;3 ;3 ;

6. Графіком функції y=ln(-x) може бути лінія:

Г

А Б

В

7. Графік функції y=log2(4x) зображено на рисунку:

А

Б

В

Г

Д

Зірки, шум і логарифми – що об’єднує?

Аналогічно оцінюється і гучність шуму. Шкідливий вплив промислових шумів на здоров'я робітників і на продуктивність праці спонукало виробити прийоми точної числової оцінки гучності шуму. Одиницею гучності служить «бел», але практично використовуються одиниці гучності, рівні його десяті частки, - так звані «децибели». Послідовність ступеня гучності 1 бел, 2 белу і т. д. складають арифметичну прогресію.

Астрономи ділять зірки за ступенем яскравості на видимі і абсолютні зоряні величини - зірки першої величини, другий, третій і т. д. Послідовність видимих зоряних величин, що сприймаються оком, являє собою арифметичну прогресію. Але фізична їх яскравість змінюється по іншому закону: яскравості зірок складають геометричну прогресію зі знаменником 2,5. Легко зрозуміти, що «величина» зірки являє собою логарифм її фізичної яскравості. Оцінюючи яскравість зірок, астрономи оперують таблицею логарифмів, складеної при підставі 2,5.

Фізичні ж величини, що характеризують шуми (енергія, інтенсивність звуку та ін), складають геометричну прогресію зі знаменником 10. Гучність, виражена в белах, дорівнює десятковому логарифму відповідної фізичної величини. Розглянемо кілька прикладів: тихий шелест листя оцінюється в 1 бел, гучна розмовна мова - в 6,5 бел, гарчання лева - в 8,7 бел, шум Ніагарського водоспаду - 9 бел. Звідси випливає, що за силою звуку розмовна мова перевищує шелест листя в 106,5 - 1 = 105,5 = 316000 раз,, гарчання лева сильніше гучної мови в 108,7-6,5 = 102,2 = 158 разів.

ЛОГАРИФМІЧНА СПІРАЛЬЗвичайна воронка, яка утворюється водою під час витікання з раковини; лютий смерч, який спустошує все на своєму шляху; величний кругообіг гігантського космічного вихору туманностей і галактик - всі вони мають форму спіралей.

Вперше про логарифмічної спіралі говориться в одному з листів французького математика Рене Декарта в 1638г. Побачити її можна, наприклад, в витках раковини слимака. Насіння в квітки соняшнику, також розміщується по кривих, близьким до дуг логарифмічної спіралі.

Одна з чудових властивостей логарифмічної спіралі полягає в тому, що довільний промінь, що виходить із її полюса, перетинає будь-виток спіралі під одним і тим же кутом. Ця властивість застосовується в ріжучих машинах. Шлях обертання ножів соломорізки утворює логарифмічну спіраль. Кут різання такого механізму сталий вздовж всієї кромки рухомого ножа.

Виявляється, що трубу, яка підводе воду до лопастей турбінного колеса на гідроелектростанції, також слід загортати по логарифмічної спіралі. Тоді втрати енергії рухомої води будуть мінімальними.

Логарифмічна спіраль - крива «з твердим характером». Вона не змінює своєї природи при багатьох перетвореннях, до яких чутливі інші криві. Стиснути або розтягнути цю спіраль щодо її полюси - те ж саме, що повернути її на певний кут.

Властивості логарифмічної спіралі так глибоко вразили швейцарського математика Якоба Бернуллі, що він наказав висікти її на своїй могильній плиті, супроводжуючи зображення латинської фразою «Eadem mutata resurgo» - «Измененная, я вновь воскрешаюсь».

Якоб Якоб БернулліБернуллі