Минимизация булевых функций с малым числом нулей в классе нормальных форм

ММИИННИИММИИЗЗААЦЦИИЯЯ ББУУЛЛЕЕВВЫЫХХ ФФУУННККЦЦИИЙЙ

СС ММААЛЛЫЫММ ЧЧИИССЛЛООММ ННУУЛЛЕЕЙЙ ВВ ККЛЛААССССЕЕ

ННООРРММААЛЛЬЬННЫЫХХ ФФООРРММ

ЖЖууррааввллёёвв ЮЮ..ИИ..

ДДььяяккоонноовв АА..ГГ..

ММооссккооввссккиийй ггооссууддааррссттввеенннныыйй ууннииввееррссииттеетт

ииммееннии ММ..ВВ.. ЛЛооммооннооссоовваа ((ММоосскквваа,, РРооссссиияя))

99--яя ММеежжддууннааррооддннааяя ккооннффееррееннцциияя

""ДДииссккррееттнныыее ммооддееллии вв ттееооррииии ууппррааввлляяюющщиихх ссииссттеемм""

ППооссввяящщааееттссяя 9900--ллееттииюю ссоо дднняя рроожжддеенниияя СС..ВВ.. ЯЯббллооннссккооггоо

9-я Международная конференция ДМвТУС 2 слайд из 33 Дьяконов А.Г. (Москва, МГУ)

Минимизация булевых функций с малым числом нулей в классе нормальных форм 20 мая 2015 года

ББууллеевваа ффууннккцциияя ззааддааннаа ппееррееччннеемм ввссеехх ннууллееввыыхх ннааббоорроовв

k

n

k

n

nk

i

j

aa

M

1

11

1

Практические применения

1010110...

0101011...

0010101...

1010000...

0001111...

0111000...

Dhruv Mubayi, György Turán, Yi Zhao The DNF exception problem //

Theoretical Computer Science, Volume 352, Issues 1–3, 7 March 2006,

Pages 85–96



Методы построения ДНФ

ммееттоодд ННееллььссооннаа

)(),,( 1

11

1 & ini

n

k

in xxxxf

xxx & , 0& xx , xyyx && ,

1121 KKKK , 111 KKK .



Формула С.В. Яблонского

1121)(&)( 11 ttttttnn xxxxxxxxxx

nnn

в нельсоновской схеме перемножать [2/]k скобок,

но не получим сокращённую ДНФ.

Ю.И. Журавлёв и А.Ю. Коган обобщили на случай k=3,4

1. В матрице fM отсутствуют нулевые и единичные столбцы;

2. Одинаковые столбцы в матрице fM расположены

последовательно;

3. Из любых двух двойственных столбцов (один из которых является

отрицанием другого) в матрице fM присутствует не более одного

столбца.



Работы Ю.И.Журавлёва и А.Ю.Когана

Журавлев Ю.И., Коган А.Ю. Реализация булевых функций с малым

числом нулей дизъюнктивными нормальными формами и смежные

задачи // Докл. АН СССР. – 1985. Т. 285. № 4. – С. 795–799.

Журавлев Ю.И., Коган А.Ю. Алгоритм построения дизъюнктивной

нормальной формы, эквивалентной произведению левых частей

булевых уравнений нельсоновского типа // Ж. вычисл. матем. и

матем. физ. – 1986. Т. 26. № 8. – С. 1243–1249.

Коган А.Ю. Дизъюнктивные нормальные формы булевых функций с

малым числом нулей. Каталог функций с четырьмя нулями. – М.: ВЦ

АН СССР, 1986. – 18с.

Коган А.Ю. Методы минимизации бинарных функций с малым

числом нулей: Дис. ... канд. физ.-матем. наук. М. ВЦ АН СССР. 1987. –

138с.



Приведённая функция

идея Б.И. Финикова

0 0

0 1

1 0

21 & xx

0 0 0

0 1 1

1 0 1

полная функция, k=3

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 1 1 1

0 1 1 0 0 1 1

1 0 1 0 1 0 1

полная функция, k=4

12 1 k столбцов

0 0 0 0

0 0 1 1

1 1 0 0

4243432121 xxxxxxxxxx



Лемма (Журавлёв, Коган)

2|| крат

nkD

Теорема (Журавлёв, Коган)

Если )(log2 nnk , )(n , то любая функция может быть

реализована ДНФ длины

)(nn .

Лемма (Журавлёв, Коган)

При 1logloglog 222 nnk для почти всех функций n

kPf

соответствующая им приведённая функция – полная и справедливо

||12|| тупик1тупик

DnD k

f ,

причём тупиковая ДНФ тупик

fD функции f строится непосредственно

по тупиковой ДНФ тупик

D функции .



Реализация полных функций

Для полных функций )(|| крат nnD f

n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 n=7 n=8 n=9

n n+1 n+3 n+7

n+6

n+14

n+12

n+31

n+23

n+66

n+39

n+133

n+75

n+271

Кириллов А. Дипломная работа «Дизъюнктивные нормальные

формы специального вида для функций с малым количеством

нулей».

Задоян К.В. Об одной булевой функции с малым числом нулей //

Математические методы в распознавании образов и дискретной

оптимизации. – М: ВЦ АН СССР, 1990. – С. 57–65.



Сложность полных функций

Число конъюнкий Число букв

Журавлёв, Коган ))1(1(2 n ))1(1(4 n

Дьяконов ))1(1( n )log( nn

Максимов ))1(1( n ))1(1(3 n

из работы Ю. В. Максимов Кратчайшие и минимальные

дизъюнктивные нормальные формы полных функций //

arXiv:1501.01331v1 [math.CO] 6 Jan 2015



Редукционный алгоритм

~ асимптотически кратчайшие ДНФ булевой функции по перечню её

нулей

),,,0,,,(),,,1,,,(),,( 1111111 njjjnjjjn xxxxfxxxxxfxxxf

),,,,,(),,,,,( 11121111 njjjnjjj xxxxfxxxxxfx



Если задавать функцию перечнем нулевых интервалов

ППррии kn ссуущщеессттввууеетт ффууннккцциияя,, ззааддааннннааяя ммааттррииццеейй ннууллееввыыхх

ииннттееррввааллоовв ррааззммеерраа nk ,, ттааккааяя,, ччттоо ееёё ссооккрраащщёённннааяя ДДННФФ яяввлляяееттссяя

ттууппииккооввоойй ии ииммеееетт ддллииннуу d ,, k

knd / ..

0...0-...--...--...-

-...-0...0-...--...-

-...--...-0...0-...-

-...--...--...-0...0

)(&)( 12/2/1 nnn xxxxf ,, 2n ,,

ККННФФ ддллиинныы 22 ДДННФФ ддллиинныы [2/]2/ nn



Результаты А.А.Алексаняна

Дизъюнктивные нормальные формы над линейными функциями

(ЛДНФ): qKK 1 , где

))&()&(( ,1

1

,

0

,)}(,,2,1{

& n

n

itititiTt

i xxK

,

За счёт такого «расширения» понятия ДНФ удаётся экономное

представление функций формулами и построение эффективных

алгоритмов синтеза этих формул. Например, задачу построения

ЛДНФ по матрице нулей размера nk удаётся свести к аналогичной

задаче с матрицей размера tk , где kt .

Кратчайшая ЛДНФ булевой функции с k нулями, 10k , содержит не

более ( 2n )-х конъюнкций.

Алексанян А.А. Дизъюнктивные нормальные формы над линейными

функциями (Теория и приложения) / Под ред. Ю.И. Журавлёва. –

Ереван: Изд-во Ереван. ун-та, 1990. – 200c.



Функции k-значной логики

Функциями k-значной логики называются функции вида :),,( 1 nxxf

k

n

k )( . Известно, что

,

)],,(),(,),(min[max 1}{1}{)(),,(

11

nnaaaa

aafxJxJfnn

kn

здесь и далее при kM определена функция

. ,0 , ,1

)(MxMxk

xJM

~ аналог представления булевой функции в виде совершенной ДНФ.

Нурлыбаев А.Н. О нормальных формах k-значной логики //

Сборник работ по математической кибернетике. – М.: ВЦ АН СССР,

1976. – Вып. 1. С. 56-68.

Абдугалиев У.А. О нормальных формах k-значной логики //

Кибернетика. — 1967. №1.-С. 16-20.




Элементарной конъюнкцией называется выражение

]),(,),(min[ 11nMM xJxJQ

n ,

где nxx n |},,{| 1 , }1,,2,1{ k .

А.Н. Нурлыбаев

kiM

У.А. Абдугалиев

},,1,{],[ iiiiii baabaM ,

10 kba ii

А.Ю.Коган

kiiM }{ или kiM

nkr )1( конъюнкций




Бинарные функции, т.е. функции вида }1,0{)( : n

kf .

Обобщены на k-значный случай также

операции склеивания,

алгоритм Квайна,

аналитический критерий поглощения конъюнкции нормальной

формой,

построен наилучший локальный алгоритм индекса 1 для синтеза

ДНФ типа сумма тупиковых.



Тестовый подход к задаче ДНФ-реализации

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 1 1 1

0 1 1 0 0 1 1

1 0 1 0 1 0 1

тест

Лемма. ДНФ

i

j

k

i

n

tjT KDD

11 ,

где TD – произвольная ДНФ функции ),,( 1 tT xxf , реализует

функцию f .

iq

ij

qjTq

j

i

j xxK

)(

1 &&

Аналогично строится тупиковая ДНФ.

Почти все конъюнкции имеют собственные околонулевые точки.




Дьяконов А.Г. Построение дизъюнктивных нормальных форм в

логических алгоритмах распознавания // Журнал вычислительной

математики и математической физики, 2002, Т. 42, №12, С. 1899-

1907.

Дьяконов А.Г Тестовый подход к реализации дизъюнктивными

нормальными формами булевых функций с малым числом нулей //

Журнал вычислительной математики и математической физики,

2002, Т. 42, №6, С. 924-928.




Если T содержит все столбцы вида (*), то алгоритмом *

DA можно

построить ДНФ *D такую, что

)(2|||| * tnDD T .

Построение «равномерных» ДНФ

nba

ba ppnn

Dh1

равн ||)1(

2)( ,

где ),,()( 1 nppD p , qp – число конъюнкций во множестве D , в

которые входит буква qx или qx , },,2,1{ nq .



Построение «равномерных» ДНФ

Тупиковая ДНФ тестовым методом

(T(j)=T; L=1449; hравн=143,3; t<1 сек)

матрицей нулей размера 50100

0

200

400

600

800

1000

1200

в тупиковую ДНФ, построенную

методом плавающего теста

(T(j)={1,2,...,j-1}; L=1146; hравн=20,25;

t<1 сек)

0

25

50

75

100

125

150

в «равномерную» ДНФ, построенную

тестовым методом (L=1559;

hравн=12,31; t<1 сек)

0

25

50

75

100

125

150

в ДНФ, построенную по обобщённой

формуле С.В. Яблонского (1-е

умножение; L=2125; hравн=43,95;

t<1 сек)

0

50

100

150

200

250

300



Явные ДНФ-формулы

10000

0001000001

fM

q

jEqjq

jZqj

n

kjba

kba

F

f xxxxxxD)()(11

&&][

2/)5(2 kkn

)2,,2,1,,1()( nnD fp

ji

jEiji

jZi

n

kjn

F xxxxxxD)()(1

1][

1)( kkn

),,,1,,1()( kkknknD p



Построение ДНФ последовательным перемножением

F

y

FF DDD &&1

Журавлев Ю.И., Платоненко И.М. Об экономном умножении булевых

уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. – 1984. Т. 24. № 1. –

С. 164–166.

Трофимов С.В. Об оптимальном уменьшении числа уравнений в

системах нельсоновского типа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. –

1986. Т. 26. № 10. – С. 1552–1558.

Платоненко И.М. О реализации алгоритмов типа «Кора» с помощью

решения систем булевых уравнений специального вида // Сообщения

по прикладной математике. – М.: ВЦ АН СССР, 1983. – 21с.

Дьяконов А.Г. Построение ДНФ последовательным перемножением //

Журнал вычислительной математики и математической физики,

2003, Т. 43, №10, С. 1589-1600.



Предложены алгоритмы эффективного умножения и эффективного

умножения на скобку КНФ

Случайная матрица интервалов размера 2020

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000Длины текущих ДНФ

0 cек

5 cек

10 cек

15 cек

20 cек

25 cек

30 cек

35 cек

40 cек

45 cек

50 cекВремя построения текущих ДНФ

Современные компьютеры

размеры конъюнкций время

25×25 58 922 1.6 сек

25×30 138 092 11 сек

30×25 95 418 5 сек

30×30 237 977 24 сек



Обобщённая формула С.В. Яблонского

Для произвольных множеств qII ,,1 , 2q , справедливо

q

i

i

q

i

iqqq IIIIIIII11

1121 \\\\

.

)( 521516435436354323221 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxD

)(& 7654321 xxxxxxx

)()()( 643543521633232515421 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxD

5421251154521421515421 )()( xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx



Длины текущих ДНФ при &-умножении по обобщённой формуле

С.В. Яблонского (n=200, k=100, L=14651, hравн=102,9)

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

Время построения этих текущих ДНФ

0 cек

10 cек

20 cек

30 cек

40 cек

50 cек

60 cек

Современные компьютеры: 0.5 сек



Построение ДНФ последовательным перемножением

Пусть булева функция f задана своей матрицей нулей ]|[ xy

f MMM ,

k

t

k

tyM

1

11

1

tyy ,,1 .

k

n

k

nxM

1

11

1

nxx ,,1

Определение. ДНФ функции f называется тестовой (относительно

переменных tyy ,,1 ), если она состоит из конъюнкций, в каждую из

которых входит не более одной буквы из множества

},,,,,{ 11 nn xxxx , а дизъюнкция конъюнкций, в которые не входит ни

одной буквы из этого множества, реализует булеву функцию с

матрицей нулей yM .

Тестовая ДНФ функции f всегда существует и может быть построена

тестовым алгоритмом *

DA .



Теорема.

Если ДНФ FD , реализующая функцию f , является тестовой, то

сокр12 ]]][[prpr[pr DDt ,

где FDсокр – сокращённая ДНФ булевой функции ),,( 1 nxx с матрицей

нулей xM .

} | {| DKxKxD jjx j

, } | {|\|\| DKxKDDDD jxxx jjj

,

})}({})({ : | {\]Sm[ KNKNDKDKDD ,

}]| ,| | {|\|\Sm[][pr 2121 jjjj yjyjyyj DKyDKyKKDDDD ,



Частный случай – метод Нельсона

Пусть xM – произвольная булева матрица,

10000

000100000100000

yM ,

11 1

1

1

1

1

11

ijj

ji

n

j

k

ijt

n

jxyxyyD

.

Тестовая ДНФ qjtqj

yyD

1

реализует функцию f , а конъюнкции

вида qj yy не участвуют в операциях ]pr[ .

]][pr[pr 1 Dr ~ последовательное умножение скобок сокращённой

КНФ в методе Нельсона.



Частный случай – метод Блейка

xy MM

),,( 1 nyyD – произвольная ДНФ для yM .

jj

n

jjj

n

jxyxyDD

11

Для ]][pr[pr)1( 1

* DrD r справедливо

)}( | {)}( | sm[{)]([pr)1( **** rDKyKxrDKyKxrDrD rrrrr

]|)(\|)(\)()}(, | { ****

2121 rr yyrr rDrDrDrDKyKyKK .

]][pr[pr 1 Dr ~ реализация метода Блейка



k-значный случай

Обобщение большинства алгоритмов

Например, тестовый подход

Дьяконов А.Г. Кодировки и их использование при ДНФ-реализации

бинарных функций // Журнал вычислительной математики и

математической физики, 2004, Т. 44, №8, С. 1511-1520.



Кодировки



Кодировки

1000

00100001

EM

Теорема. Всевозможным собственным тупиковым столбцовым

покрытиям матрицы 2f

M при кодировке E взаимно однозначно

соответствуют всевозможные простые Н-импликанты функции kf .

Теорема. Всевозможным кодирующим простым импликантам функ-

ции 2f , составленным из букв без отрицаний, при кодировке E

взаимно однозначно соответствуют всевозможные простые Т-

импликанты функции kf .



Кодировки

11110111

001100010000

MM

Теорема. Всевозможным кодирующим

конъюнкциям из сокращённой ДНФ

функции 2f при кодировке M взаимно

однозначно соответствуют всевозможные

квазипростые импликанты функции kf .

Определение. Допустимая для бинарной функции f элементарная А-

конъюнкция ]1),(,),(min[ ],[1],[ 11 nbaba xJxJnn

называется квазипростой

импликантой функции f , если для всех },,2,1{ nj справедливо

1. Если 0ja , то конъюнкция

]1),(,),(,),(min[ ],[],0[1],[ 11 nbajbba xJxJxJnnj

не является допустимой для f .

2. Если 1 kb j , то конъюнкция

]1),(,),(,),(min[ ],[]1,[1],[ 11 nbajkaba xJxJxJnnj

не является допуст-ой для f .



Сложность ДНФ-реализации

оценка автор комментарий

nkO Дьяконов, 2002,

Mubayi. Turan, Zhao, 2006

Верхняя, все ф-ии

n

nkO

2log

Журавлёв, Коган, 1985 Верхняя, п.в. 2/2nk

n Дьяконов, 2001 Нижняя, изол. ноль

nkn

nk

22 loglog

Коган, 1987 Верхняя, п.в. 2/2nk

kn

nk

22 loglog

Максимов, Гранин, 2014 Нижняя, п.в. 2/2nk

из статьи С.С. Гранин, Ю.В. Максимов Сложность дизъюнктивных

нормальных форм и полу-эффект Шеннона в некоторых подклассах

булевых функций // arXiv:1501.03444v1 [math.CO] 14 Jan 2015

Education

Минимизация булевых функций с малым числом нулей в классе нормальных форм