- 1 -

Във въпроса “Незатихващи механични трептения. Затихващи и

принудени механични трептения” вие ще се запознаете със следните

величини , понятия и закони , както и с основните единици за измерва-

не:

Трептене

Видове трептения

Хармонично трептене

Равновесно положение

Отклонение

Амплитуда

Пълно трептене

Период (повторение)

Честота

Фаза на трептене

Начална фаза

Кръгова честота

Хармонична или възвръщаща сила

Пружинно махало

Математично махало

Физично махало

Приведена дължина на физично махало

Затихващи трептения

Критичен коефициент на затихване

Време на релаксация

Декремент на затихване

Логаритмичен декремент на затихване

Доброкачественост

Принудени трептения

Резонанс

Резонансна честота

Резонансна крива

Единици за измерване

Единицата за измерване на честотата

Херц

НЕЗАТИХВАЩИ МЕХАНИЧНИ ТРЕПТЕНИЯ.

ЗАТИХВАЩИ И ПРИНУДЕНИ МЕХАНИЧНИ

ТРЕПТЕНИЯ

https://www.facebook.com/theoretical.mechanics

- 2 -

1. Хармонично трептене. Основни характеристики

на хармоничното трептене

1.1.Трептене

Движение , което се извършва около определено равновесно

положение и се повтаря с течение на времето , се нарича трепте-

ливо движение (трептене .)

Във физиката понятието трептене има по-широк смисъл. Трептене

представляват не само посочените механични движения около равно-

весно положение , а също така всички процеси, които се характеризират

с периодично изменящи се във времето физични величини (например

електромагнитните трептения).

1.2.Видове трептения

Трептенията, които се срещат в природата , се класифицират по

различен начин .

1) В зависимост от природата им различаваме механични, елект-

ромагнитни, електромеханични трептения и др .

При механичните трептения се изменя положението на тялото в

пространството . При електромагнитните трептения се изменя интензите-

тът на електричното и на магнитното поле .

2) Според характера на въздействието съществуват:

А) Собствени (или свободни) трептения

Трептения, които се извършват без непрекъснато добавяне

на енергия в системата от вън, се наричат собствени трепте-

ния.

Б) Принудени трептения

Трептения, които се извършват при наличието на външно ,

периодично изменящо се с времето въздействие , се наричат при-

нудени трептения.

В) Автотрептения

Собствени трептения, които не затихват в система с диси-

пативни сили поради това , че в системата постъпва допълни-

телно енергия, се наричат автотрептения.

- 3 -

Г) Параметрични трептения

Трептения, при които външното въздействие не предизвиква

трептене на цялата система , а само периодична промяна на няка-

къв неин параметър , се наричат параметрични трептения.

1.3. Хармонично трептене

Нека разгледаме движението на една материална точка с маса m ,

която извършва движения само по оста x под действието на квазиелас-

тична сила F kx= − , където k е положителна константа (нарича се кое-

фициент на еластичност). От втория принцип на Нютон следва , че : 2

2

d xm kx

dt= − ,

2

20

d x kx

mdt+ = ,

или 2

22

0d x

xdt

ω+ = ,

където 2 /k mω = .

Решение на това диференциално уравнение са синусови и косину-

сови функции на времето .

Хармонично трептене

Всяко трептене , което се извършва по синусов (косинусов)

закон, се нарича хармонично трептене .

sin( )o ox A tω ϕ= +

Причината за разглеждане на този тип трептения е фактът, че те са

най-прости. Срещащите се в природата трептения са близки до хармо-

ничните . Освен това всеки един периодичен процес може да се предста-

ви като сума от хармонични трептения.

1.4. Величини, които характеризират хармоничното

трептене

Равновесно положение

Равновесно положение се нарича точката , около която треп-

ти системата .

Отклонение

Отклонение се нарича стойността на променящата се вели-

чина в определен момент от време .

Отклонението се означава с буквата x .

- 4 -

При хармоничното трептене отклонението се представя с функцията

sin( )o ox A tω ϕ= + , която е решение на диференциалното уравнение .

Амплитуда

Максималната стойност на отклонението се нарича ампли-

туда .

Амплитудата се означава с буквата А. При хармоничното трептене

constA = .

Пълно трептене

Движението на една трептяща система от едно положение

(прието за начално) дo връщането й отново в това положение се

нарича пълно трептене .

Период (повторение)

Най-малкият интервал от време , след който се повтарят

всички величини , характеризиращи трептенето , се нарича пери-

од.

Периодът се означава с буквата T и се измерва в секунди (s). За

един период системата извършва едно пълно трептене .

Честота

Броят на пълните трептения, които се извършват за единица

време , се нарича честота .

Честотата показва колко пъти се повтаря цикълът на трептене за

една секунда .

Единицата за измерване на честотата

Единицата за измерване на честотата се нарича херц (Hz).

Херц

Честота един херц има един периодичен процес , при който за

една секунда се извършва едно пълно трептене

Връзката между периода T и честота ν е следната :

1T

ν= и

1

Tν = .

Фаза на трептене

Величината , служеща за аргумент на синуса ( )o otϕ ω ϕ= + , се на-

- 5 -

рича фаза на трептенето .

Начална фаза

Стойността oϕ на фазата в началния момент ( 0t = ) се нарича

начална фаза .

Кръгова честота

Величината oω , която фигурира във фазата , се нарича кръго-

ва честота на трептенето .

Кръговата честота oω е свързана с честотата oν и с периода T на

трептенето със следните зависимости: 2

2o oT

πω πν= = .

Хармоничното трептене е пример за периодичен процес.

Периодичен процес

Всеки процес , който се повтаря през равни интервали от

време , се нарича периодичен процес .

1.5. Кинематика на хармоничното трептене

Законът за движението на материална точка при трептенето се да-

ва с израза

sin( )o ox A tω ϕ= + .

Скоростта на материалната точка при трептенето се получава с

диференциране по времето на горния израз, или

cos( ) cos( )o o o o o odx

v A t v tdt

ω ω ϕ ω ϕ= = + = + .

Величината о ov Aω= е максималната стойност (амплитудата) на ско-

ростта .

Ускорението на материалната точка при трептенето се получава с

диференциране по времето на израза за скоростта , или

2 sin( ) sin( )o o o o o odv

a A t a tdt

ω ω ϕ ω ϕ= = − + = − + .

Величината 2о oa Aω= е максималната стойност (амплитудата) на ус-

корението .

Изразът за ускорението може да се представи и във вида : 2oa xω= − .

Знакът минус показва , е във всеки момент ускорението при хармо-

нично трептене е насочено обратно на отклонението x (т.е . то има по-

- 6 -

сока към равновесното положение).

Хармоничното трептене е пример за неравнопроменливото движе-

ние . При него a const≠ , тъй като зависи от отклонението x .

Скоростта и ускорението при хармоничното трептене се изменят по

хармоничен закон със същата кръгова честота oω , както отклонението .

Скоростта изпреварва по фаза отклонението с / 2π .

Фазовата разлика между ускорението и отклонението е π , т.е . те са

в противофаза .

1.6. Динамика на хармоничното трептене

За да намерим силата , която действа на една трептяща система,

използваме дадените по-горе изрази и втория принцип на Нютон : 2 sin( )o o oF ma mA tω ω ϕ= = − + .

Като вземем предвид, че sin( )o ox A tω ϕ= + и 2 /o k mω = , получаваме

2oF m x kxω= − = − .

Хармонична или възвръщаща сила

Силата , която кара тялото да трепти хармонично , е пропор-

ционална на отклонението на системата от равновесното й по-

ложение и е винаги насочена към това положение . Такава сила се

нарича хармонична или възвръщаща сила .

1.7. Енергия на хармоничното трептене

Система, която извършва хармонично трептене под действие на си-

ла от вида F kx= − , притежава както кинетична, така и потенциална енер-

гия.

Кинетичната енергия на системата, се дава по следния начин : 2 2 2

2cos ( )2 2

ok o o

mv mAE t

ωω ϕ= = + .

Потенциалната енергия на системата, се представя с израза 2 2 2

2sin ( )2 2

oo o

kx mAW t

ωω ϕ= = + .

Пълната енергия на трептенето е сума от кинетичната и потенци-

алната енергия на системата: 2 2 2 2

2 2cos ( ) sin ( )2 2

o ok o o o o

mA mAE E W t t

ω ωω ϕ ω ϕ= + = + + + ,

или 2 2

2omA

Eω

= .

Вижда се , че енергията на системата не се променя с времето , т.е .

валиден е законът за запазване на енергията .

- 7 -

2. Трептящи системи

2.1. Пружинно махало

Система от тяло с маса m , свързано с лека пружина , се нари-

ча пружинно махало .

Нека разгледаме вертикално пружинно махало . В равновесното по-

ложение силата на тежестта G mg= се уравновесява от силата o oF kx= ,

възникваща при разтягане на пружината с ox (фиг.1,а). Тук k е коефи-

циентът на еластичност на пружината . Ако външна сила изведе тялото

от равновесното му положение (характеризиращо се с 0x = ), то започва

да извършва хармонични трептения (фиг.1,б).

Фиг.1

При отклонение x на тялото от равновесното му положение пружи-

ната се разтяга и възниква допълнителна сила F kx= − , която се стреми

да върне тялото в това му положение . Уравнението на движение на тя-

лото е 2

22

0od x

xdt

ω+ = ,

където 2 /k mω = .

Това е уравнението на хармоничния осцилатор . Следователно въз-

никват хармонични трептения с кръгова честота

ok

mω = и период 2

mT

kπ= .

Кръговата честота и периодът се определят от масата m на тялото

и от коефициента на еластичност k на пружината .

- 8 -

2.2. Математично махало

Малко топче с маса m , закачено на достатъчно дълга тънка

неразтеглива нишка с дължина L , се нарича математично махало .

Дължината L на нишката е достатъчна , когато е много по-голяма от

радиуса на топчето . Ако отклоним топчето от равновесното му положе-

ние на ъгъл θ , върху него действат силата на тежестта G mg= и силата

на опъване на нишката T . Резултантната на тези две сили предизвиква

въртене на топчето около точката на окачване О.

фиг.2

Отклонението на топчето във всеки момент от време се характери-

зира с ъгъла θ . При малки стойности на този ъгъл ( 6oθ ≈ ), топчето из-

вършва хармонично трептене . Тогава уравнението на движение на топ-

чето има вида 2

2sin 0

d g

Ldt

θθ+ = .

При малки ъгли на отклонение може да се приеме, че sinθ θ≈ и то-

гава за уравнението на движение се получава 2

20

d g

Ldt

θθ+ = или

22

20o

d

dt

θω θ+ = ,

което е уравнението на хармоничния осцилатор ( 2 /o g Lω = ).

Следователно математичното махало извършва хармонични трепте-

ния с кръгова честота

og

Lω = и период 2

LT

gπ= .

Периодът на трептенията зависи само от дължината L на махалото

и от земното ускорение g . Той не зависи от масата на окаченото топче .

- 9 -

2.3. Физично махало

Физично махало е всяко твърдо тяло , което може да се люлее

свободно (без триене) около неподвижна ос .

Фиг.3

На фиг.3 оста на въртене минава през точката О и е перпендику-

лярна на равнината чертежа . Инерчният момент на махалото спрямо та-

зи ос на въртене е означен с I . Масата на махалото е m , а разстоянието

от оста до центъра на масите С на тялото е означено с L .

Аналогично на математичното махало , за уравнението на движение

на физичното махало се получава 2

2sin

dI mgL

dt

θθ= − .

При малки ъгли на отклонение може да се приеме, че sinθ θ≈ и то-

гава 2

20

d mgL

Idt

θθ+ = или

22

20o

d

dt

θω θ+ = ,

което е уравнението на хармоничния осцилатор ( 2o

mgL

Iω = ).

Следователно физичното махало извършва хармонични трептения с

кръгова честота

omgL

Iω = и период

'2 2

I LT

mgL gπ π= = .

Величината 'I

LmL

= се нарича приведена дължина на физичното

махало .

Приведена дължина на физичното махало.

Приведена дължина на физичното махало е тази дължината на

математично махало , което има същия период, както даденото

физично махало .

- 10 -

3. Основни характеристики на затихващите трептения

Кръговата честота и периодът на свободните (собствени) трептения

зависят единствено от характеристиките на системата. За да възникнат

собствени трептения механичната система трябва да бъде изведена от

равновесие с еднократно внасяне на енергия отвън . Ако няма сили на

триене (съпротивление), тези трептения са незатихващи трептения.

Незатихващи трептения

Трептения, чиято амплитуда не се изменя с времето , се нари-

чат незатихващи трептения.

Например хармоничните трептения са незатихващи при отсъствието

на сили на съпротивление и триене (дисипативни сили).

В реалните системи обаче винаги действат дисипативни сили, които

предизвикват намаляване на амплитудата на системата. Затова трепте-

нията са затихващи .

Затихващи трептения

Трептения, чиято амплитуда непрекъснато намалява с вре-

мето в резултат на действието на дисипативни сили в трептя-

щата система , се наричат затихващи трептения.

3.1. Характеристики на затихващите трептения

Разглеждаме тяло с маса m , което се движи по хоризонтална рав-

нина под действие на еластична възвръщаща сила F kx= − , като върху

тялото действа сила на съпротивление , пропорционална на скоростта :

cdx

F bv bdt

= − = − .

Тук b е положителна константа . Знакът минус със формулата показ-

ва , че силата на съпротивление е насочена обратно на посоката на ско-

ростта . За уравнението на движение на това тяло се получава 2

2

d x dxm kx b

dtdt= − − .

Ако положим 2/ ok m ω= и 2

b

mβ= , за отклонението x на тялото полу-

чаваме уравнението 2

22

2 0od x dx

xdtdt

β ω+ + = .

Тук отново oω е собствената кръгова честота , а константата β се

- 11 -

нарича коефициент на затихване .

Отклонение

Решението x на последното диференциално уравнение , което пред-

ставлява отклонението на тялото като функция от времето има вида

( )sinto ox A e tβ ω ϕ−= + ,

където ω е кръговата честота на трептенето , константата oA е на-

чалната амплитуда , а oϕ - началната фаза на затихващите трептения.

Кръгова честота

При затихващите трептения кръговата честота ω се различава от

собствената честота oω на трептящата система ( oω ω< ):

2 2oω ω β= −

Когато , 0oβ ω ω= = и процесът става апериодичен .

Период

Периодът на затихващите трептения е следният:

2 2

2

o

Tπ

ω β=

−.

Ако означим с 2

oo

Tπ

ω= периодът на собствените трептения, от пос-

ледната формула следва , че периодът на затихващите трептения е по-

голям от този на собствените трептения ( oT T> ).

Критичен коефициент на затихване

Коефициентът на затихване k oβ ω= , при който 0ω = и затих-

ващото трептене преминава в апериодично движение , се нарича

критичен коефициент на затихване .

При по-големи стойности на коефициента на затихване ( oβ ω> )

изобщо не възникват трептения (фиг.4).

Фиг.4

- 12 -

Фиг.5

Амплитудата на затихващите трептения намалява с времето по ек-

споненциален закон (фиг.5): t

oA A e β−= .

Време на релаксация

Времето , за което амплитудата на затихващото трептене

намалява е-пъти ( 2,718)e ≈ , се нарича време на релаксация.

Времето на релаксация τ се определя от коефициента на затихване

β :

1τ

β= .

Декремент на затихване

Отношението на две последователни амплитуди на затихва-

щото трептене , отличаващи се с време един период, се нарича

декремент на затихване : ( )

( )

TA td e

A t T

β= =+

.

Логаритмичен декремент на затихване

Логаритъмът на декремента на затихване се нарича лога-

ритмичен декремент на затихване:

( ) 1ln

( )

A t TD T

A t T Nβ

τ

= = = = +

.

Логаритмичният декремент на затихване е равен на рецип-

рочната стойност на броя на трептенията , за които амплиту-

дата намалява е-пъти .

- 13 -

Доброкачественост

За количествена характеристика на бързината , с която трептящата

система губи своята енергия в резултат на действието на силите на три-

ене , се използва величината доброкачественост Q (нарича се още Q -

фактор).

Доброкачествеността е равна на отношението на енергията

на трептящата система в даден момент към енергията , която тя

губи за един период, умножено по 2π :

( )2

( ) ( )

E tQ

E t E t Tπ=

− +.

О тази формула за доброкачествеността се получава

2oQ N

ωπ

β= = .

Доброкачествеността е равна на произведението от числото

π и броя N на трептенията , които системата извършва , докато

амплитудата й намалее е-пъти .

- 14 -

4. Принудени трептения. Резонанс

Принудени трептения се получават в реални трептящи системи със

сили на съпротивление и триене . Те обаче са незатихващи, защото вър-

ху системата действа непрекъсната външна сила , която внася енергия.

Принудени трептения

Трептения, които се извършват при наличието на външно ,

периодично изменящо се с времето въздействие , се наричат при-

нудени трептения.

4.1. Характеристики на принудените трептения

Нека върху тяло с маса m , което се движи под действие на еластич-

на възвръщаща сила F kx= − при наличие на сила на съпротивление

cdx

F bdt

= − да действа и периодична сила , която се изменя по закона

sinoF F t= Ω ,

където oF е амплитудата на силата , а Ω е кръговата честота на тази

сила .

Движението на тялото се описва от уравнението 2

2sino

d x dxm kx b F t

dtdt= − − + Ω

или 2

22

2 sinoo

d x dx Fx t

dt mdtβ ω+ + = Ω ,

където /o k mω = е кръгова честота на свободните трептения, а

/ 2b mβ = − коефициентът на затихване ,.

Решението на това диференциално уравнение е

( ) sin( )x t A t ϕ= Ω + ,

където

( )2

2 2 2 24

o

o

FA

m ω β

=

− Ω + Ω

и 2 2

2tg

o

βϕ

ω

Ω= −

− Ω.

Оттук се вижда , че амплитудата на принудените трептения зависи

от кръговата честота Ω на външната сила , от собствената кръгова чес-

тота oω на системата и от коефициента на затихване β .

- 15 -

4.2.Резонанс

Явлението , при което амплитудата на принудените механич-

ни трептения нараства , когато кръговата честота на външната

сила се доближава до собствената кръгова честота на трептя-

щата система , се нарича резонанс .

Резонансна честота

Кръговата честота , при която амплитудата на принудените

трептения е максимална , се нарича резонансна честота .

Резонансната честота е равна на

2 22p oω βΩ = − .

Резонансна крива

Графичната зависимост ( )A Ω на амплитудата на принудените

трептения от кръговата честота на външната сила се нарича

резонансна крива (фиг .6).

Фиг.6 Фиг.7

Когато затихването е малко ( oβ ω≪ или 0β ≈ ), резонансът настъпва

при кръгова честота на външната сила , приблизително равна на собст-

вената кръгова честота ( p oωΩ ≈ ). При голямо затихване резонансната

честота е по-малка от собствената честота ( p oωΩ < ) фиг.7.

Доказва се , че при малко затихване доброкачествеността на треп-

тящата системата се дава с формулата

pQ

Ω=

∆Ω,

където ∆Ω е ширината на резонансната крива на височина

maxmax0,707

2

AA= (фиг.6).

5. Влияние на трептенията върху

човешкия организъм