Задачи к лекции № 4

I. Основные задачи

1. Известно, что число a при делении на 5 дает остаток 3, а при делении на 7 — остаток 4. Найдитеостаток от деления числа a на 35.

2. Делится ли число m на число n, если: а) m = 903178476126, n = 6; б) m = −34658630, n = 12;в) m = 94949492, n = 22; г) m = 347809234535, n = 45?

3. В числе 7862346� напишите последнюю цифру так, чтобы число делилось на 2; 5; 3; 9; 4; 25; 11.

4. Решите в целых числах уравнение (x− 2)(xy + 7) = 1.

5. Существует ли такое целое число, которое при делении на 15 дает остаток 13, а при делении на9 — остаток 5?

6. Докажите, что при любом натуральном n число n(n+ 1)(2n+ 1) делится на 6.

7. Докажите, что квадрат нечетного числа дает остаток 1 при делении на 8.

II. Дополнительные и творческие задачи

8. Докажите признак делимости на 7: число делится на 7, если число, полученное прибавлением к егопоследней цифре утроенного числа, составленного из всех остальных цифр, делится на 7. Пользуясьэтим признаком (возможно, не один раз), докажите, что число 2009 делится на 7.

9. Может ли число вида 4n+ 3 быть квадратом некоторого целого числа?

10. На мебельной фабрике изготовляют табуретки с четырьмя и с тремя ножками. На складе име-ется 717723 ножки. При изготовлении продукции должны быть использованы все ножки. На какоеминимальное число можно изготовить табуреток с четырьмя ножками меньше, чем с тремя?

11. Докажите, что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел делится на 9.

12. Решите в целых числах уравнения: а) x2 − 3xy + 2y2 = 3; б) 3x+ 2y = 7; в) x2 − 3y = 17.