Upload
moeiraqiorg
View
30
Download
5
Embed Size (px)
Citation preview
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل األول/ األعــــداد المركــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد
1
األعداد المركبة /الفصل األول
:تعرف
مالحظة : فمثالا 𝒊 ر ألي عدد حقق سالب بداللة مكننا كتابة الجذ
𝒂 𝒊𝟏𝟔 𝒃 𝒊𝟓𝟖 𝒄 𝒊𝟏𝟐𝒏+𝟗𝟑 𝒅 𝒊−𝟏𝟑 : أكتب ما ل ف أبسط صورة /(1 مثال
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل األول/ األعــــداد المركــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد
2
3 − 5i
مالحظة
+𝒂األعداد التالة على الصورة أكتب / 2 مثال 𝒃𝒊
𝒅 𝟏+ −𝟐𝟓
𝟒 𝒄 − 𝟏− −𝟑 𝒃 −𝟏𝟎𝟎 𝒂 − 𝟓
𝒅 𝟏+ −𝟐𝟓
𝟒=𝟏
𝟒+ 𝟐𝟓𝒊
𝟒=
𝟏
𝟒+𝟓
𝟒𝒊
: لة بالصغة الجبرة للعدد المركبأكتب األعداد التا/ مثال
𝒂 𝒊𝟏𝟔 = 𝒊𝟒 𝟒 = 𝟏 𝟒 = 𝟏 = 𝟏 + 𝟎𝒊
𝒃 𝒊𝟏𝟓 = 𝒊𝟏𝟐 . 𝒊𝟑 = 𝟏 . −𝐢 = −𝐢 = 𝟎 − 𝐢
𝒄 𝒊 −𝟐𝟑 = 𝟏
𝒊𝟐𝟑=𝒊𝟐𝟒
𝒊𝟐𝟑= 𝒊 = 𝟎 + 𝒊
𝒅 𝒊−𝟔 = 𝟏
𝒊𝟔=𝒊𝟖
𝒊𝟔= 𝒊𝟐 = −𝟏 = −𝟏 + 𝟎𝐢
𝒆 𝒊−𝟒𝟒 = 𝟏
𝒊𝟒𝟒=𝒊𝟒𝟒
𝒊𝟒𝟒= 𝟏 = 𝟏+ 𝟎𝐢
𝒇 𝒊 −𝟏𝟑 = 𝟏
𝒊𝟏𝟑=𝒊𝟏𝟔
𝒊𝟏𝟑= 𝒊𝟑 = −𝒊 = 𝟎 − 𝒊 𝒐𝒓 𝒊 −𝟏𝟑 = 𝒊 −𝟏𝟑 . 𝒊 𝟏𝟔 = 𝒊𝟑 = −𝒊 = 𝟎− 𝒊
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل األول/ األعــــداد المركــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد
3
: biبالصغة تأأكتب كال مما مثال /
, , ,
.للعدد المركب ضعها بالصغة الجبرة عن الجزء الحقق والجزء التخل لؤلعداد المركبة التالة ثم/ مثال
بالصغة العادة أو الجبرة للعدد المركب كالا مما أت ضع
خاصة التساوي
: ان المعادلة ف كل مما أت الحققتن الت تحقق x ,yجد قمة كل من /(3)مثال
𝒂 𝟐𝒙− 𝟏+ 𝟐𝒊 = 𝟏+ 𝒚+ 𝟏 𝒊
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل األول/ األعــــداد المركــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد
4
𝒃 𝟑𝐱+ 𝟒𝒊 = 𝟐+ 𝟖𝒚𝒊
(c ) 𝟐𝒚 + 𝟏 – 𝟐𝒙 – 𝟏 𝒊 = −𝟖+ 𝟑𝒊
على األعداد المركبة عملة الجمع
بعضزها والنزاته زو أضزا عزدد عند جمع األعداد المركبة نجمع األجزاء الحققة مع بعضها واألجززاء التخلزة مزع
:وكما ل مركب
𝑪𝟏 نفرض = 𝒂𝟏 + 𝒃𝟏𝒊 و 𝑪𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐𝒊 : عددان مركبان فأن
𝑪𝟏 + 𝑪𝟐 = 𝒂𝟏 + 𝒂𝟐 + 𝒃𝟏 + 𝒃𝟐 𝒊
على األعداد المركبة : خواص الجمع
مغلقةأبدالة تجمعة
النظر الجمع العنصر المحاد
زمرة أبدالة
ف كل مما أت : نجد مجموع العدد /(4)مثال
𝒂 𝟑+ 𝟒 𝟐 𝒊 , 𝟓− 𝟐 𝟐 𝒊
𝟑 + 𝟒 𝟐 + 𝟓 − 𝟐 𝟐 = 𝟑 + 𝟓 + 𝟒 𝟐 − 𝟐 𝟐 = 𝟖 + 𝟐 𝟐
𝟑 , 𝟐 − 𝟓
𝟑 + 𝟎 + 𝟐 − 𝟓 = 𝟑 + 𝟐 + 𝟎 − 𝟓 = 𝟓 − 𝟓
𝟏 − , 𝟑
𝟏 − + 𝟎 + 𝟑 = 𝟏 + 𝟎 + −𝟏 + 𝟑 = 𝟏 + 𝟐
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل األول/ األعــــداد المركــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد
5
: أوجد ناته جمع األعداد المركبة التالة/ مثال
𝟏 = 𝟏 + 𝟓 , = 𝟑 + 𝟕 , = −𝟏 −
+ + = + 5 + 3 + 7 + − − = + 3 − + 5 + 7 − = 3 +
𝟐 𝟐 + −𝟐 , − 𝟓 + 𝟐
𝟐 + 𝟐 + −𝟓 + 𝟐 = 𝟐 − 𝟓 + 𝟐 + 𝟐 = −𝟑 + 𝟐 𝟐
طرح األعداد المركبة= أذا كان + = و + − فأن = + −
جد ناته : / (5)مثال
𝟕 − 𝟏𝟑 − 𝟗 + 𝟒
𝟕 − 𝟏𝟑 + −𝟗 − 𝟒
𝟕 − 𝟗 + −𝟏𝟑 − 𝟒 = −𝟐 − 𝟏𝟕
𝟐 حل المعادلة / (6)مثال − 𝟒 + = −𝟓 + ℂ حث
= −𝟓 + − 𝟐 − 𝟒 = −𝟓 + + −𝟐 + 𝟒 = −𝟓 − 𝟐 + 𝟏 + 𝟒 = −𝟕 + 𝟓
= أذا كان/ مثال 𝟏 + 𝟐 , = −𝟏 − 𝟕 , = −𝟏 − 𝟏𝟏
− 𝟐−ل فأوجد ما 𝟒 + 𝟑
−𝟐 − 𝟒 + 𝟑 = −𝟐 𝟏 + 𝟐 − 𝟒 −𝟏 − 𝟕 + 𝟑 −𝟏 − 𝟏𝟏
= −𝟐 − 𝟒 + 𝟒 + 𝟐𝟖 + −𝟑 − 𝟑𝟑
= −𝟐 + 𝟒 − 𝟑 + −𝟒 + 𝟐𝟖 − 𝟑𝟑 = −𝟏 − 𝟗
= أذا كان 𝟏 + 𝟐 , = −𝟏 − 𝟕 , = −𝟏 − :ل أوجد ماف 𝟏𝟏
𝟐 + 𝟑 𝟑 𝟑 + + − 𝟑 + 𝟐 − 𝟒 + 𝟐 𝟐 + + 𝟑
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل األول/ األعــــداد المركــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد
6
عملة الضرب على األعداد المركبة
= أذا كان + ، = + , k فأن
𝟏 . = + + = + + + 𝟐 = − + +
𝟐 . = + = +
على األعداد المركبة خواص عملة الضرب
أي أن الناته دائما عدد مركب مغلقة عملة الضرب (1). 𝟏 أي أن أبدالةعملة الضرب (2) 𝟐 = 𝟐 . 𝟏 . 𝟏 أي أن تجمعة عملة الضرب (3) 𝟐 . 𝟑 = 𝟏 . 𝟐 . 𝟑 𝟏( وكتب 1 و )المحاد الضرب (4) = 𝟏 + 𝟎
بالصغة كتبمكن أن و 𝟏− و ( c)للعدد النظر الضرب (5)𝟏
:جد ناته كال مما أت / (7) مثال
𝟐 − 𝟑 𝟑 − 𝟓
𝟐 − 𝟑 𝟑 − 𝟓 = 𝟔 − 𝟏𝟎 − 𝟗 + 𝟏𝟓 𝟐 = 𝟔 − 𝟏𝟓 + −𝟏𝟎 − 𝟗 = −𝟗 − 𝟏𝟗
𝟑 + 𝟒 𝟐
𝟑 + 𝟒 𝟐 = 𝟗 + 𝟐𝟒 + 𝟏𝟔 𝟐 = 𝟗 − 𝟏𝟔 + 𝟐𝟒 = −𝟕 + 𝟐𝟒
𝟏 +
𝟏 + = + 𝟐 = − 𝟏 = −𝟏 +
−𝟓
𝟐 𝟒 + 𝟑
−𝟓
𝟐 𝟒 + 𝟑 =
−𝟓
𝟐 𝟒 −
𝟓
𝟐 𝟑 = −𝟏𝟎 −
𝟏𝟓
𝟐i
𝟏 + 𝟐 + 𝟏 − 𝟐
𝟏 + 𝟐 + 𝟏 − 𝟐 = 𝟏 + 𝟐 + 𝟐 + 𝟏 − 𝟐 + 𝟐 = 𝟐 − 𝟐 = 𝟎
جد ناته كل مما ل :
𝟐 𝟏 + − 𝟑 𝟏 + 𝟐 𝟏 𝟐 + −𝟑 𝟏 + 𝟐 −𝟑
𝟒 𝟐 + −𝟐 𝟐 𝟑 𝟑 + −𝟖 𝟐 + 𝟐 −𝟐
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل األول/ األعــــداد المركــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد
7
مرافق العدد المركب
= أي أذا كان عدد مركب فأن مرافقه رمز له C أذا كان + فأن = − .
𝟑فمثالا : + 𝟑 و مرافق العدد − وبالعكس . − و وبالعكس , وكذلك مرافق العدد
𝟑 + 𝟑 و مرافق العدد 𝟐 − . 𝟑 و 𝟑وبالعكس , وكذلك مرافق العدد 𝟐
مالحظة
𝟏 أذا كان = + 𝟐 عدد مركب مرافقه هو = − فأن و
𝟏 𝟏 + 𝟐 = 𝟐 𝟐 𝟏 + 𝟐 = 𝟐 𝟑 𝟏 𝟐 = 𝟐 + 𝟐
: الجدول أدناه وضح المرافق للعدد المركب والنظر الجمع والضرب
المرافق النظر الضرب النظر الجمع العدد المركب
+ − − 𝟏
+ −
𝟑 − 𝟐 −𝟑 + 𝟐 𝟏
𝟑 − 𝟐 𝟑 + 𝟐
−𝟒 𝟒 𝟏
−𝟒 −𝟒
−𝟔 𝟔 𝟏
−𝟔 𝟔
𝟑 − 𝟑 = 𝟏
𝟑
𝟐 − 𝟐 = 𝟏 𝟏
𝟐= 𝟐 = −𝟏 𝟐 = −𝟏
𝟏 , −𝟒 −𝟏 , 𝟒 𝟏
𝟏 , −𝟒 𝟏 , 𝟒
𝟐 أذا كان / (8)مثال = 𝟑 − 𝟐 , 𝟏 = 𝟏 + من :فتحقق
𝟏 𝟏 + 𝟐 = 𝟏 + 𝟐
. 𝟏 + 𝟐 = 𝟏 + + 𝟑 − 𝟐 = 𝟒 − = 𝟒 +
. 𝟏 + 𝟐 = 𝟏 + + 𝟑 − 𝟐 = 𝟏 − + 𝟑 + 𝟐 = 𝟒 + . = .
𝟐 𝟏 − 𝟐 = 𝟏 − 𝟐
. 𝟏 − 𝟐 = 𝟏 + − 𝟑 + 𝟐 = −𝟐 + 𝟑 = −𝟐 − 𝟑
. 𝟏 − 𝟐 = 𝟏 + − 𝟑 − 𝟐 = 𝟏 − − 𝟑 + 𝟐 = −𝟐 − 𝟑 . = .
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل األول/ األعــــداد المركــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد
8
𝟑 𝟏. 𝟐 = 𝟏 . 𝟐
. 𝟏. 𝟐 = 𝟏 + . 𝟑 − 𝟐 = 𝟑 − 𝟐 + 𝟑 − 𝟐 𝟐 = 𝟓 + = 𝟓 −
. 𝟏 . 𝟐 = 𝟏 + . 𝟑 − 𝟐 = 𝟏 − . 𝟑 + 𝟐 = 𝟑 + 𝟐 − 𝟑 − 𝟐 𝟐 = 𝟓 −
𝟒 𝟏 = 𝟏
𝟏 = 𝟏 + = 𝟏 − = 𝟏 + = 𝟏
𝟓 ( 𝟏 𝟐)
=
𝟏
𝟐 𝟐 𝟎
. ( 𝟏 𝟐)
= (
𝟏 +
𝟑 − 𝟐 )
= (
𝟏 +
𝟑 − 𝟐
𝟑 + 𝟐
𝟑 + 𝟐 )
= .
𝟑 + 𝟐 + 𝟑 + 𝟐 𝟐
𝟗 + 𝟒/
= (
𝟏 + 𝟓
𝟏𝟑)
=𝟏 − 𝟓
𝟏𝟑
. 𝟏
𝟐 = 𝟏 +
𝟑 − 𝟐 =
𝟏 −
𝟑 + 𝟐 =
𝟏 −
𝟑 + 𝟐 𝟑 − 𝟐
𝟑 − 𝟐 =𝟑 − 𝟐 − 𝟑 + 𝟐 𝟐
𝟗 + 𝟒=𝟏 − 𝟓
𝟏𝟑
مالحظة
. بمرافق المقام لتبسط الحلف المقام نضرب مقام البسط وكسره عند ظهور (1)
و و ساوي 𝟏− مكن أستخدام التعبر )مقلوب العدد المركب( بدل )النظر الضرب( ورمز له بالرمز (2)𝟏
= مركب الجد النظر الضرب للعدد / (9مثال ) 𝟐 − وضعه بالصغة العادة للعدد المركب 𝟐
𝟏
=
𝟏
𝟐 − 𝟐 =
𝟏
𝟐 − 𝟐 𝟐 + 𝟐
𝟐 + 𝟐 =
𝟐 + 𝟐
𝟐𝟐 + 𝟐𝟐=𝟐 + 𝟐
𝟒 + 𝟒=𝟐 + 𝟐
𝟖=𝟐
𝟖+𝟐
𝟖 =
𝟏
𝟒+𝟏
𝟒
أذا كان / (10مثال )𝟑−𝟐
−
𝟏+𝟓 , مترافقان فجد قمة كل من , .
− 𝟏+𝟓
= (𝟑−𝟐
)
− 𝟏+𝟓
=𝟑+𝟐 −
− − = 𝟑 + 𝟐 𝟏 + 𝟓
− + 𝟐 = 𝟑 + 𝟏𝟓 + 𝟐 + 𝟏𝟎 𝟐 − − = −𝟕 + 𝟏𝟕
من تساوي األعداد المركبة نجد أن
− = −𝟕 = 𝟕 الحقيقي
− = 𝟏𝟕 = التخيلي 𝟏𝟕−
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل األول/ األعــــداد المركــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد
9
𝟏 أذا كان / (11مثال ) = 𝟑 − 𝟐 , 𝟐 = 𝟏 + )فتحقق من 𝟏
𝟐)
=
𝟏
𝟐
. ( 𝟏 𝟐)
= (
𝟑 − 𝟐
𝟏 + )
= (
𝟑 − 𝟐
𝟏 +
𝟏 −
𝟏 − )
= .
𝟑 − 𝟑 − 𝟐 + 𝟐 𝟐
𝟏𝟐 + 𝟏𝟐/
= (
𝟏 − 𝟓
𝟐)
=𝟏 + 𝟓
𝟐=𝟏
𝟐+𝟓
𝟐
. 𝟏
𝟐 = 𝟑 − 𝟐
𝟏 + =𝟑 + 𝟐
𝟏 − =𝟑 + 𝟐
𝟏 − 𝟏 +
𝟏 + =𝟑 + 𝟑 + 𝟐 + 𝟐 𝟐
𝟏𝟐 + 𝟏𝟐=𝟏 + 𝟓
𝟐=𝟏
𝟐+𝟓
𝟐
قسمة األعداد المركبة
عند قسمة عدد مركب على عدد مركب أخر نضرب بمرافق المقام وكما ل 𝟏
𝟐=
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
+ ضع كال مما أت بالصورة / (12مثال ) :
𝟏 +
𝟏 −
𝟏 +
𝟏 −
𝟏 +
𝟏 + =𝟏 + + + 𝟐
𝟏𝟐 + 𝟏𝟐=𝟐
𝟐= = 𝟎 +
𝟐 −
𝟑 + 𝟒
𝟐 −
𝟑 + 𝟒 𝟑 − 𝟒
𝟑 − 𝟒 =𝟔 − 𝟖 − 𝟑 + 𝟒 𝟐
𝟑𝟐 + 𝟒𝟐=𝟐 − 𝟏𝟏
𝟗 + 𝟏𝟔=𝟐 − 𝟏𝟏
𝟐𝟓=
𝟐
𝟐𝟓 −
𝟏𝟏
𝟐𝟓
𝟏 + 𝟐
−𝟐 +
𝟏 + 𝟐
−𝟐 + −𝟐 −
−𝟐 − =−𝟐 − − 𝟒 − 𝟐 𝟐
−𝟐 𝟐 + 𝟏𝟐=𝟎 − 𝟓
𝟓=−𝟓
𝟓= − = 𝟎 −
مالحظة
𝟐 مكن تحلل + + الى حاصل ضرب عددن مركبن كل منهما من الصورة 𝟐 :أي
𝟐 + 𝟐 = 𝟐 − 𝟐 𝟐 = − +
+ الى حاصل ضرب عاملن من الصورة مما أت لل كالا ح/ (13مثال ) , حث . أعداد نسبة
𝟏𝟎 𝟓𝟑 𝟑𝟗
𝟏𝟎 = 𝟗 + 𝟏 = 𝟗 − 𝟐 = 𝟑 − 𝟑 +
𝟓𝟑 = 𝟒𝟗 + 𝟒 = 𝟒𝟗 − 𝟒 𝟐 = 𝟕 − 𝟐 𝟕 + 𝟐
𝟑𝟗 = 𝟑𝟔 + 𝟑 = 𝟑𝟔 − 𝟑 𝟐 = 𝟔 − 𝟑 𝟔 + 𝟑
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل األول/ األعــــداد المركــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد
10
− تمارين
: ضع كالا مما أت بالصغة العادة للعدد المركب / 1س
𝟓 , 𝟔 , 𝟏𝟐𝟒 , 𝟗𝟗𝟗 , 𝟒 +𝟏 , 𝟐 + 𝟑 𝟐 + 𝟏𝟐 + 𝟐 , 𝟏𝟎 + 𝟑 𝟎 + 𝟔 ,
𝟏 + 𝟒 − 𝟏 − 𝟒 ,𝟏𝟐 +
,
𝟑 + 𝟒
𝟑 − 𝟒 ,
𝟐 + 𝟑 , (
𝟑 +
𝟏 + )𝟑
,𝟐 + 𝟑
𝟏 −
𝟏 + 𝟒
𝟒 + ,
𝟏 + 𝟑 + 𝟏 − 𝟑
𝟓 = 𝟒. = 𝟏 . = = 𝟎 +
𝟔 = 𝟒. 𝟐 = 𝟏 −𝟏 = −𝟏 = −𝟏 + 𝟎
𝟏𝟐𝟒 = 𝟒 𝟑𝟏 = 𝟏 𝟑𝟏 = 𝟏 = 𝟏 + 𝟎
𝟗𝟗𝟗 = 𝟒 𝟐𝟒𝟗. 𝟑 = 𝟏 𝟐𝟒𝟗. 𝟐. = 𝟏. −𝟏 . = − = 𝟎 −
𝟒 +𝟏 = 𝟒 . = 𝟒 . = 𝟏 = = 𝟎 +
𝟐 + 𝟑 𝟐 + 𝟏𝟐 + 𝟐 = 𝟒 + 𝟏𝟐 + 𝟗 𝟐 + 𝟏𝟐 + 𝟐 = 𝟕 + 𝟏𝟒
𝟏𝟎 + 𝟑 𝟎 + 𝟔 = 𝟎 + 𝟔𝟎 + 𝟎 + 𝟏𝟖 𝟐 = −𝟏𝟖 + 𝟔𝟎
𝟏 + 𝟒 − 𝟏 − 𝟒 = 𝟏 + 𝟐 𝟐 − 𝟏 − 𝟐 𝟐 = 𝟏 + 𝟐 + 𝟐 𝟐 − 𝟏 − 𝟐 + 𝟐 𝟐
= 𝟐 𝟐 − −𝟐 𝟐 = 𝟒 𝟐 − 𝟒 𝟐 = 𝟎 = 𝟎 + 𝟎
𝟏𝟐 +
=
𝟏𝟐 +
−
− =−𝟏𝟐 − 𝟐
− 𝟐=𝟏 − 𝟏𝟐
𝟏= 𝟏 − 𝟏𝟐
𝟑 + 𝟒
𝟑 − 𝟒 =
𝟑 + 𝟒
𝟑 − 𝟒
𝟑 + 𝟒
𝟑 + 𝟒 =𝟗 + 𝟏𝟐 + 𝟏𝟐 + 𝟏𝟔 𝟐
𝟑𝟐 + 𝟒𝟐=−𝟕 + 𝟐𝟒
𝟗 + 𝟏𝟔=−𝟕
𝟐𝟓+𝟐𝟒
𝟐𝟓
𝟐 + 𝟑 =
𝟐 + 𝟑 𝟐 − 𝟑
𝟐 − 𝟑 =𝟐 − 𝟑 𝟐
𝟐𝟐 + 𝟑𝟐=𝟑 + 𝟐
𝟒 + 𝟗=𝟑 + 𝟐
𝟏𝟑=
𝟑
𝟏𝟑+
𝟐
𝟏𝟑
(𝟑 +
𝟏 + )𝟑
= (𝟑 +
𝟏 + 𝟏 −
𝟏 − )𝟑
= .𝟑 − 𝟑 + − 𝟐
𝟏𝟐 + 𝟏𝟐/
𝟑
= (𝟒 − 𝟐
𝟐)𝟑
= 𝟐 − 𝟑
= 𝟐 − 𝟐 𝟐 − = 𝟒 − 𝟒 + 𝟐 𝟐 − = 𝟑 − 𝟒 𝟐 − = 𝟔 − 𝟑 − 𝟖 + 𝟒 𝟐 = 𝟐 − 𝟏𝟏
𝟐 + 𝟑
𝟏 −
𝟏 + 𝟒
𝟒 + =𝟐 + 𝟖 + 𝟑 + 𝟏𝟐 𝟐
𝟒 + − 𝟒 − 𝟐=−𝟏𝟎 + 𝟏𝟏
𝟓 − 𝟑 =−𝟏𝟎 + 𝟏𝟏
𝟓 − 𝟑
𝟓 + 𝟑
𝟓 + 𝟑
=−𝟓𝟎 − 𝟑𝟎 + 𝟓𝟓 + 𝟑𝟑 𝟐
𝟓𝟐 + 𝟑𝟐=−𝟖𝟑 + 𝟐𝟓
𝟐𝟓 + 𝟗=−𝟖𝟑 + 𝟐𝟓
𝟑𝟒=−𝟖𝟑
𝟑𝟒+𝟐𝟓
𝟑𝟒
𝟏 + 𝟑 + 𝟏 − 𝟑 = 𝟏 + 𝟐 𝟏 + + 𝟏 − 𝟐 𝟏 − = 𝟏 + 𝟐 + 𝟐 𝟏 + + 𝟏 − 𝟐 + 𝟐 𝟏 −
= 𝟐 + 𝟐 𝟐 − 𝟐 + 𝟐 𝟐 = 𝟒 𝟐 = −𝟒 = −𝟒 + 𝟎
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل األول/ األعــــداد المركــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد
11
, كل منجد قمة / 2س الحققتن اللتن تحققان المعادالت األتة :
+ 𝟓 = 𝟐 + + 𝟐 + 𝟓 = 𝟐 𝟐 + 𝟒 + + 𝟐 𝟐 + 𝟓 = 𝟐 𝟐 − 𝟐 + 𝟒 +
+ 𝟓 = 𝟐 𝟐 − 𝟐 + 𝟓 = 𝟐 𝟐 − ①معادلة 𝟐
𝟓 = 𝟓 = 𝟏 ①معادلة نعوض في
= 𝟐 𝟏 𝟐 − 𝟐 = 𝟐 − 𝟐 = 𝟎 = 𝟎
𝟖 = + 𝟐 + 𝟐 + 𝟏
𝟖 = + 𝟐 + 𝟐 + 𝟒 𝟐 + 𝟏 𝟖 = + 𝟐 + 𝟐 − 𝟑
𝟖 = − 𝟑 + 𝟐 + 𝟐
− 𝟑 = 𝟎 = 𝟑 =𝟑
①معادلة
𝟐 + 𝟐 = 𝟖 𝟐 ⇒ + = 𝟒 = 𝟒 − ①معادلة ② نعوض في
𝟒 − = 𝟑 𝟒 − 𝟐 = 𝟑 𝟐 − 𝟒 + 𝟑 = 𝟎 − 𝟑 − 𝟏 = 𝟎
− 𝟑 = 𝟎 = 𝟑 = نعوض في معادلة 𝟏
− 𝟏 = 𝟎 = 𝟏 = نعوض في معادلة 𝟑
(𝟏 −
𝟏 + ) + + = 𝟏 + 𝟐 𝟐
+ = 𝟏 + 𝟐 𝟐 − (𝟏 −
𝟏 + ) = 𝟏 + 𝟒 + 𝟒 𝟐 − (
𝟏 −
𝟏 + 𝟏 −
𝟏 − ) = −𝟑 + 𝟒 − .
𝟏 − − + 𝟐
𝟏𝟐 + 𝟏𝟐/
+ = −𝟑 + 𝟒 − (−𝟐
𝟐) = −𝟑 + 𝟒 + + = −𝟑 + 𝟓 = −𝟑 = 𝟓
𝟐 −
𝟏 + +
𝟑 −
𝟐 + =
𝟏
[𝟐 −
𝟏 + 𝟏 −
𝟏 − ] + [
𝟑 −
𝟐 + 𝟐 −
𝟐 − ] =
𝟒
0
𝟐 − 𝟐 − + 𝟐
𝟏𝟐 + 𝟏𝟐1 + 0
𝟔 − 𝟑 − 𝟐 + 𝟐
𝟐𝟐 + 𝟏𝟐1 = 𝟑
[𝟏 − 𝟑
𝟐] + [
𝟓 − 𝟓
𝟓] = −
( نضرب بالعدد 𝟏𝟎 )
⇒ 𝟓 𝟏 − 𝟑 + 𝟐 𝟓 − 𝟓 = −𝟏𝟎
𝟓 − 𝟏𝟓 + 𝟏𝟎 − 𝟏𝟎 = 𝟎 − 𝟏𝟎
𝟓 + 𝟏𝟎 = ①معادلة 𝟎
−𝟏𝟓 − 𝟏𝟎 = تحل أنيآ بالجمع معادلة 𝟏𝟎−
−𝟏𝟎 = −𝟏𝟎 = 𝟏 ①معادلة نعوض في
𝟓 𝟏 + 𝟏𝟎 = 𝟎 𝟏𝟎 = −𝟓 =−𝟓
𝟏𝟎 =
−𝟏
𝟐
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل األول/ األعــــداد المركــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد
12
:أثبت أن / 3س
𝟏
𝟐 − 𝟐−
𝟏
𝟐 + 𝟐=
𝟖
𝟐𝟓
الطريقة األولى 𝟏
𝟐 − 𝟐−
𝟏
𝟐 + 𝟐= (
𝟏
𝟐 − )𝟐
− (𝟏
𝟐 + )𝟐
(𝟏
𝟐 − 𝟐 +
𝟐 + )𝟐
− (𝟏
𝟐 + 𝟐 −
𝟐 − )𝟐
(𝟐 +
𝟐𝟐 + 𝟏𝟐)𝟐
− (𝟐 −
𝟐𝟐 + 𝟏𝟐)𝟐
(𝟐 +
𝟓)𝟐
− (𝟐 −
𝟓)𝟐
= .𝟒 + 𝟒 + 𝟐
𝟐𝟓/ − .
𝟒 − 𝟒 + 𝟐
𝟐𝟓/ = (
𝟑 + 𝟒
𝟐𝟓) − (
𝟑 − 𝟒
𝟐𝟓)
𝟑 + 𝟒 − 𝟑 + 𝟒
𝟐𝟓=
𝟖
𝟐𝟓
الطريقة الثانية 𝟏
𝟐 − 𝟐−
𝟏
𝟐 + 𝟐= 𝟐 + 𝟐 − 𝟐 − 𝟐
𝟐 − 𝟐 𝟐 + 𝟐= 𝟒 + 𝟒 + 𝟐 − 𝟒 − 𝟒 + 𝟐
𝟒 − 𝟒 + 𝟐 𝟒 + 𝟒 + 𝟐
𝟑 + 𝟒 − 𝟑 − 𝟒
𝟑 − 𝟒 𝟑 + 𝟒 =𝟑 + 𝟒 − 𝟑 + 𝟒
𝟑𝟐 + 𝟒𝟐=
𝟖
𝟗 + 𝟏𝟔=
𝟖
𝟐𝟓
الطريقة الثالثة 𝟏
𝟐 − 𝟐−
𝟏
𝟐 + 𝟐=
𝟏
𝟒 − 𝟒 + 𝟐 −
𝟏
𝟒 + 𝟒 + 𝟐=
𝟏
𝟑 − 𝟒 −
𝟏
𝟑 + 𝟒
(𝟏
𝟑 − 𝟒 𝟑 + 𝟒
𝟑 + 𝟒 ) − (
𝟏
𝟑 + 𝟒 𝟑 − 𝟒
𝟑 − 𝟒 ) = (
𝟑 + 𝟒
𝟑𝟐 + 𝟒𝟐) − (
𝟑 − 𝟒
𝟑𝟐 + 𝟒𝟐)
(𝟑 + 𝟒
𝟗 + 𝟏𝟔) − (
𝟑 − 𝟒
𝟗 + 𝟏𝟔) = (
𝟑 + 𝟒
𝟐𝟓) − (
𝟑 − 𝟒
𝟐𝟓) =
𝟑 + 𝟒 − 𝟑 + 𝟒
𝟐𝟓=
𝟖
𝟐𝟓
3د / 2012وزاري
𝟏 − 𝟐
𝟏 + + 𝟏 + 𝟐
𝟏 − = −𝟐
الطريقة األولى 𝟏 − 𝟑 + 𝟏 + 𝟑
𝟏 + 𝟏 − = 𝟏 − 𝟐 𝟏 − + 𝟏 + 𝟐 𝟏 +
𝟏𝟐 + 𝟏𝟐
𝟏 − 𝟐 + 𝟐 𝟏 − + 𝟏 + 𝟐 + 𝟐 𝟏 +
𝟏 + 𝟏= −𝟐 𝟏 − + 𝟐 𝟏 +
𝟐
−𝟐 + 𝟐 𝟐 + 𝟐 + 𝟐 𝟐
𝟐=𝟐 𝟐 + 𝟐 𝟐
𝟐=−𝟐 − 𝟐
𝟐=−𝟒
𝟐= −𝟐
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل األول/ األعــــداد المركــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد
13
الطريقة الثانية 𝟏 − 𝟐
𝟏 + + 𝟏 + 𝟐
𝟏 − = 𝟏 − 𝟏 −
𝟏 + + 𝟏 + 𝟏 +
𝟏 −
(𝟏 −
𝟏 + ) 𝟏 − + (
𝟏 +
𝟏 − ) 𝟏 + = (
𝟏 −
𝟏 + 𝟏 −
𝟏 − ) 𝟏 − + (
𝟏 +
𝟏 − 𝟏 +
𝟏 + ) 𝟏 +
.𝟏 − − + 𝟐
𝟏𝟐 + 𝟏𝟐/ 𝟏 − + .
𝟏 + + + 𝟐
𝟏𝟐 + 𝟏𝟐/ 𝟏 + = (
−𝟐
𝟐) 𝟏 − + (
𝟐
𝟐) 𝟏 +
− 𝟏 − + 𝟏 + = − + 𝟐 + + 𝟐 = 𝟐 + 𝟐 = −𝟏− 𝟏 = −𝟐
الطريقة الثالثة 𝟏 − 𝟐
𝟏 + + 𝟏 + 𝟐
𝟏 − =𝟏 − 𝟐 + 𝟐
𝟏 + +𝟏 + 𝟐 + 𝟐
𝟏 − =
−𝟐
𝟏 + +
𝟐
𝟏 −
الحظ عززي الطالب نا تستطع أن تضرب كل جزء بالمرافق أو توجد المضاعف )توحد المقامات(
−𝟐 𝟏 − + 𝟐 𝟏 +
𝟏 + 𝟏 − =−𝟐 + 𝟐 𝟐 + 𝟐 + 𝟐 𝟐
𝟏𝟐 + 𝟏𝟐=𝟐 𝟐 + 𝟐 𝟐
𝟏 + 𝟏=−𝟐 − 𝟐
𝟐=−𝟒
𝟐= −𝟐
الطريقة الرابعة 𝟏 − 𝟐
𝟏 + + 𝟏 + 𝟐
𝟏 − = 0
𝟏 − 𝟐
𝟏 + 𝟏 −
𝟏 − 1 + 0
𝟏 + 𝟐
𝟏 − 𝟏 +
𝟏 + 1
= 0 𝟏 − 𝟑
𝟏𝟐 + 𝟏𝟐1 + 0
𝟏 + 𝟑
𝟏𝟐 + 𝟏𝟐1 = 0
𝟏 − 𝟐 𝟏 −
𝟏 + 𝟏1 + 0
𝟏 + 𝟐 𝟏 +
𝟏 + 𝟏1
= 0 𝟏 − 𝟐 + 𝟐 𝟏 −
𝟐1 + 0
𝟏 + 𝟐 + 𝟐 𝟏 +
𝟐1 = 0
−𝟐 𝟏 −
𝟐1 + 0
𝟐 𝟏 +
𝟐1
= 0−𝟐 + 𝟐 𝟐
𝟐1 + 0
𝟐 + 𝟐 𝟐
𝟐1 = [
−𝟐 − 𝟐
𝟐] + [
−𝟐 + 𝟐
𝟐] = −𝟏 − − 𝟏 + = −𝟐
𝟏 − 𝟏 − 𝟐 𝟏 − 𝟑 = 𝟒
𝟏 − 𝟏 − 𝟐 𝟏 − 𝟑 = 𝟏 − 𝟏 + 𝟏 [𝟏 − − ]
𝟏 − 𝟐 [𝟏 + ] = 𝟏 − 𝟐 + 𝟐 = 𝟐 + 𝟐 − 𝟐 − 𝟐 𝟐 = 𝟐 − 𝟐 𝟐 = 𝟐 + 𝟐 = 𝟒
, 𝟐𝟗 مززن األعززداد حلززل كززالا / 4س 𝟏𝟐𝟓 , 𝟒𝟏 , الززى حاصززل ضززرب عززاملن مززن 𝟖𝟓
+ الصورة , حث :عددان نسبان
𝟐𝟗 = 𝟐𝟓 + 𝟒 = 𝟐𝟓 − 𝟒 𝟐 = 𝟓 − 𝟐 𝟓 + 𝟐
𝟏𝟐𝟓 = 𝟏𝟐𝟏 + 𝟒 = 𝟏𝟐𝟏 − 𝟒 𝟐 = 𝟏𝟏 − 𝟐 𝟏𝟏 + 𝟐
𝟒𝟏 = 𝟐𝟓 + 𝟏𝟔 = 𝟐𝟓 − 𝟏𝟔 𝟐 = 𝟓 − 𝟒 𝟓 + 𝟒
𝟖𝟓 = 𝟖𝟏 + 𝟒 = 𝟖𝟏 − 𝟒 𝟐 = 𝟗 − 𝟐 𝟗 + 𝟐
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل األول/ األعــــداد المركــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد
14
, جد قمة / 5س أذا علمت أن 𝟔
+ ,
𝟑+
𝟐− . مترافقان
البسط والمقام للعدد التخل إشارةنغر 𝟑+
𝟐− . لك صبح العددان متساوان ونحل المعالة
𝟔
+ =𝟑 −
𝟐 + 𝟔 𝟐 + = + 𝟑 − + =
𝟔 𝟐 +
𝟑 −
+ = 𝟔 𝟐 +
𝟑 − 𝟑 +
𝟑 + = 𝟔 𝟔 + 𝟐 + 𝟑 + 𝟐
𝟑𝟐 + 𝟏𝟐= 𝟔 𝟓 + 𝟓
𝟗 + 𝟏=𝟑𝟎 + 𝟑𝟎
𝟏𝟎
+ = 𝟑 + 𝟑 = 𝟑 , = 𝟑
******************************************************************
أمثلة أضافية محلولة كل مما أت :أكتب بالصغة العادة أو الجبرة / مثال
𝟏 𝟓 + 𝟑 𝟏 + + 𝟐 − 𝟐
𝟓 + 𝟓 + 𝟑 + 𝟑 𝟐 + 𝟒 − 𝟒 + 𝟐 = 𝟐 + 𝟖 + 𝟑 − 𝟒 = 𝟓 + 𝟒
𝟐 . 𝟑 −
𝟏 + 𝟑 /
𝟗
. 𝟑 −
𝟏 + 𝟑 /
𝟗
= . 𝟑 −
𝟏 + 𝟑
𝟏 − 𝟑
𝟏 − 𝟑 /
𝟗
= ( 𝟑 − 𝟑 − + 𝟑 𝟐
𝟏𝟐 + 𝟑 𝟐
)
𝟗
= (−𝟒
𝟒)𝟗
= − 𝟗
= − 𝟖 = − = 𝟎 −
𝟑 𝟏 − −𝟑 𝟐+ 𝟐 − −𝟑
𝟐
𝟏 − 𝟑 𝟐+ 𝟐 − 𝟑
𝟐= 𝟏 − 𝟐 𝟑 + 𝟑 𝟐 + 𝟒 − 𝟒 𝟑 + 𝟑 𝟐
−𝟐 − 𝟐 𝟑 + 𝟏 − 𝟒 𝟑 = −𝟏 − 𝟔 𝟑
𝟔مجموعهما مترافقن جد عددن مركبن/ مثال 𝟏𝟎 وحاصل ضربهما = =
𝟏 العدد هو نفرض أن = + 𝟐 عدد مركب مرافقه هو = −
𝟏 + 𝟐 = 𝟐 𝟔 = 𝟐 = 𝟑
𝟏. 𝟐 = 𝟐 + 𝟐 𝟏𝟎 = 𝟑𝟐 + 𝟐 𝟐 = 𝟏 = 𝟏
𝟑 العددان هما ∴ − 𝟑 و +
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل األول/ األعــــداد المركــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد
15
𝟑 العدد أكتب/ مثال + 𝟐 −𝟐 + . بالصغة العادة ثم جد النظر الضرب له بالصغة الدكارتة
𝟑 + 𝟐 −𝟐 + = −𝟔 + 𝟑 − 𝟒 + 𝟐 𝟐 = −𝟖 − الصيغة االجبرية
𝟏
−𝟖 − =
𝟏
−𝟖 − −𝟖 +
−𝟖 + =
−𝟖 +
−𝟖 𝟐 + 𝟏𝟐=−𝟖
𝟔𝟓+
𝟏
𝟔𝟓 = (
−𝟖
𝟔𝟓 ,
𝟏
𝟔𝟓) الصيغة الديكارتية
= أذا كان / مثال −𝟏 + 𝟐 فأوجد قمة المعادلة 𝟐 + 𝟐 + 𝟓
𝟐 + 𝟐 + 𝟓 = −𝟏 + 𝟐 𝟐 + 𝟐 −𝟏 + 𝟐 + 𝟓
= 𝟏 − 𝟒 + 𝟒 𝟐 + −𝟐 + 𝟒 + 𝟓 = −𝟑 − 𝟒 − 𝟐 + 𝟒 + 𝟓 = 𝟎 = 𝟎 + 𝟎
+ 𝟐مرافق له جد العدد المركب الذي حقق و ℂ أذا كان / مثال 𝟑 =𝟑 +
= + = −
𝟑 + + − = 𝟐 + 𝟑 𝟑 + 𝟑 + − = 𝟐 + 𝟑
𝟑 + = 𝟑 𝟒 = 𝟑 =𝟑
𝟒
𝟑 − = 𝟐 𝟐 = 𝟐 = 𝟏
= + =𝟑
𝟒+
= كانأذا / مثال 𝟏𝟑−
𝟒+ , =
𝟕−
𝟐− , أثبت أن + 𝟐 أحسب المقدا ر ثم مترافقان 𝟐 𝟐 .
نثبت أن ناتج عملية الجمع والضرب ينتمي الى مجموعة األعداد الحقيقية
=𝟏𝟑 −
𝟒 + =𝟏𝟑 −
𝟒 +
𝟒 −
𝟒 − =𝟓𝟐 − 𝟏𝟑 − 𝟒 + 𝟐
𝟒𝟐 + 𝟏𝟐=𝟓𝟏 − 𝟏𝟕
𝟏𝟕=𝟓𝟏
𝟏𝟕−𝟏𝟕
𝟏𝟕 = 𝟑 −
=𝟕 −
𝟐 − =𝟕 −
𝟐 − 𝟐 +
𝟐 + =𝟏𝟒 + 𝟕 − 𝟐 − 𝟐
𝟐𝟐 + 𝟏𝟐=𝟏𝟓 + 𝟓
𝟓= 𝟑 +
𝟑 + + 𝟑 − = 𝟔
𝟑 + 𝟑 − = 𝟑𝟐 + 𝟏𝟐 = 𝟗 + 𝟏 = 𝟏𝟎
, مترافقان
𝟐 + 𝟐 = + = 𝟏𝟎 𝟔 = 𝟔𝟎
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل األول/ األعــــداد المركــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد
16
العادة أو الجبرة بدون الضرب بالعامل المنسب )المرافق(أكتب بالصغة / مثال
𝟓
𝟏 − 𝟐
𝟓
𝟏 − 𝟐 =
𝟏 + 𝟒
𝟏 − 𝟐 =𝟏 − 𝟒 𝟐
𝟏 − 𝟐 = 𝟏 − 𝟐 𝟏 + 𝟐
𝟏 − 𝟐 = 𝟏 + 𝟐
𝟓
𝟐 −
𝟓
𝟐 − =𝟒 + 𝟏
𝟐 − =𝟒 − 𝟐
𝟐 − = 𝟐 − 𝟐 +
𝟐 − = 𝟐 +
𝟏𝟑
𝟐 + 𝟑
𝟏𝟑
𝟐 + 𝟑 =
𝟒 + 𝟗
𝟐 + 𝟑 =𝟒 − 𝟗 𝟐
𝟐 + 𝟑 = 𝟐 − 𝟑 𝟐 + 𝟑
𝟐 + 𝟑 = 𝟐 − 𝟑
𝟏𝟑
𝟑 + 𝟐
𝟏𝟑
𝟑 + 𝟐 =
𝟗 + 𝟒
𝟑 + 𝟐 =𝟗 − 𝟒 𝟐
𝟑 + 𝟐 = 𝟑 − 𝟐 𝟑 + 𝟐
𝟑 + 𝟐 = 𝟑 − 𝟐
𝟏𝟎
𝟏 + 𝟐
𝟏𝟎
𝟏 + 𝟐 =
𝟐 𝟓
𝟏 + 𝟐 =𝟐 𝟏 + 𝟒
𝟏 + 𝟐 =𝟐 𝟏 − 𝟒 𝟐
𝟏 + 𝟐 =𝟐 𝟏 − 𝟐 𝟏 + 𝟐
𝟏 + 𝟐 = 𝟐 𝟏 − 𝟐
𝟏𝟎
𝟏 + 𝟐 = 𝟐 − 𝟒
𝟏𝟎
𝟐 +
𝟏𝟎
𝟐 + =𝟐 𝟓
𝟐 + =𝟐 𝟒 + 𝟏
𝟐 + =𝟐 𝟒 − 𝟐
𝟐 + =𝟐 𝟐 − 𝟐 +
𝟐 + = 𝟐 𝟐 − = 𝟒 − 𝟐
كل مما أت : حلل الى عاملن لعددن مركبن/ مثال
𝟏 𝟐 + 𝟒 𝟐 + 𝟒 = 𝟐 − 𝟒 𝟐 = − 𝟐 + 𝟐
𝟐 𝟐 + 𝟐𝟓 𝟐 𝟐 + 𝟐𝟓 𝟐 = 𝟐 − 𝟐𝟓 𝟐 𝟐 = − 𝟓 + 𝟓
𝟑 𝟑 − 𝟔𝟒 𝟑 − 𝟔𝟒 = 𝟑 + 𝟔𝟒 𝟑 = + 𝟒 𝟐 − 𝟒 − 𝟏𝟔
𝟒 𝟑 +𝟏
𝟐𝟕 𝟑 +
𝟏
𝟐𝟕 = 𝟑 −
𝟏
𝟐𝟕 𝟑 = ( −
𝟏
𝟑 ) ( 𝟐 +
𝟏
𝟑 +
𝟏
𝟗 𝟐)
𝟑 +𝟏
𝟐𝟕 = ( −
𝟏
𝟑 ) ( 𝟐 +
𝟏
𝟑 −
𝟏
𝟗)
𝟓 𝟐 − + 𝟏𝟐 𝟐 − + 𝟏𝟐 = 𝟐 − − 𝟏𝟐 𝟐 = − 𝟒 + 𝟑
𝟔 𝟐 + 𝟕 − 𝟏𝟎 𝟐 + 𝟕 + 𝟏𝟎 𝟐 = + 𝟓 + 𝟐
𝟕 − 𝟐 𝟐 + 𝟒 − 𝟐 𝟐 + 𝟒 = − 𝟐 𝟐 − 𝟒 𝟐 = − 𝟐 − 𝟐 − 𝟐 + 𝟐
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل األول/ األعــــداد المركــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد
17
, أوجد قمة / مثال ف كل مما أت : الحققتن والت تحقق المعادلة
𝟑 + 𝟐 𝟐 = + 𝟑 𝟐
𝟗 + 𝟏𝟐 + 𝟒 𝟐 = 𝟐 + 𝟔 + 𝟗 𝟐 𝟗 + 𝟏𝟐 − 𝟒 = 𝟐 + 𝟔 − 𝟗
𝟗 − 𝟒 = 𝟐 − 𝟗 𝟓 = 𝟐 − 𝟗 = 𝟐 − 𝟗
𝟓 معادلة
𝟏𝟐 = 𝟔 𝟐 = ①معادلة نعوض في
= 𝟐 − 𝟗
𝟓 =
𝟐 𝟐 − 𝟗
𝟓=𝟒 𝟐 − 𝟗
𝟓 𝟓 = 𝟒 𝟐 − 𝟗 𝟒 𝟐 − 𝟓 − 𝟗 = 𝟎
𝟒 𝟐 − 𝟓 − 𝟗 = 𝟎 𝟒 − 𝟗 + 𝟏 = 𝟎
𝟒 − 𝟗 = 𝟎 𝟒 = 𝟗 =𝟗
𝟒 = 𝟐 = 𝟐 (
𝟗
𝟒) =
𝟗
𝟐
+ 𝟏 = 𝟎 = −𝟏 = 𝟐 = 𝟐 −𝟏 = −𝟐
+ 𝟓 = 𝟐 + +
+ 𝟓 = 𝟐 + + + 𝟓 = 𝟐 𝟐 + 𝟐 + + 𝟐 + 𝟓 = 𝟐 𝟐 + 𝟑 − 𝟏
= 𝟐 𝟐 − معادلة 𝟏
𝟓 = 𝟑 =𝟓
𝟑①معادلة نعوض في
= 𝟐 (𝟓
𝟑)𝟐
− 𝟏 = 𝟐(𝟐𝟓
𝟗) − 𝟏 =
𝟓𝟎
𝟗− 𝟏 =
𝟓𝟎 − 𝟗
𝟗 =
𝟒𝟏
𝟗
+ 𝟐 − = 𝟖 +
+ =𝟖 +
𝟐 − =𝟖 +
𝟐 − 𝟐 +
𝟐 + =𝟏𝟔 + 𝟖 + 𝟐 + 𝟐
𝟐𝟐 + 𝟏𝟐=𝟏𝟓 + 𝟏𝟎
𝟓= 𝟑 + 𝟐
+ = 𝟑 + 𝟐 = 𝟑 = 𝟐
+ + = 𝟏
+ =𝟏
+ =
𝟏
+ −
− =
−
𝟐 + 𝟐 + =
−
𝟐 + 𝟐
=
𝟐 + 𝟐 =
−
𝟐 + 𝟐
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل األول/ األعــــداد المركــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد
18
+ + − = 𝟏𝟑 −
𝟐 + + 𝟐 − = 𝟏𝟑 − 𝟐 + 𝟐 + − = 𝟏𝟑 −
𝟐 + 𝟐 = معادلة 𝟏𝟑
− = −𝟏 = + في②معادلة ① معادلة 𝟏 نعوض
𝟐 + + 𝟏 𝟐 = 𝟏𝟑 𝟐 + 𝟐 + 𝟐 + 𝟏 = 𝟏𝟑
𝟐 𝟐 + 𝟐 − 𝟏𝟐 = 𝟎 ( نقسم المعادلة على 𝟐)
⇒ 𝟐 + − 𝟔 = + 𝟑 − 𝟐 = 𝟎
+ 𝟑 = 𝟎 = −𝟑 = + 𝟏 = −𝟑 + 𝟏 = −𝟐
− 𝟐 = 𝟎 = 𝟐 = + 𝟏 = 𝟐 + 𝟏 = 𝟑
𝟐 + − + =𝟗 𝟐 + 𝟒𝟗
𝟑 + 𝟕
−𝟐 + 𝟐 − 𝟐 + 𝟐 =𝟗 𝟐 − 𝟒𝟗 𝟐
𝟑 + 𝟕
−𝟑 + 𝟐 − 𝟐 = 𝟑 − 𝟕 𝟑 + 𝟕
𝟑 + 𝟕 −𝟑 + 𝟐 − 𝟐 = 𝟑 − 𝟕
−𝟑 = 𝟑 − = معادلة
𝟐 − 𝟐 = −𝟕 𝟐 + 𝟕 = 𝟐 𝟐 = 𝟗 = 𝟑 ①معادلة نعوض في
= − = − 𝟑 = 𝟑
:الى عاملن لعددن مركبنكل مما أت حلل / 1س
𝟒 𝟑 +𝟏
𝟏𝟐𝟓
𝟏 𝟐 + 𝟗
𝟓 𝟐 − + 𝟔 𝟐 𝟐 + 𝟏𝟔 𝟐
𝟔 𝟐 + 𝟕 − 𝟏𝟐 𝟑 𝟑 − 𝟖
𝟖 𝟑 − 𝟐 𝟐 + 𝟗 𝟕 − 𝟏 𝟐 + 𝟒
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل األول/ األعــــداد المركــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد
19
, أوجد قمة / 2س ف كل مما أت : الحققتن والت تحقق المعادلة
+ 𝟐 = 𝟐 + 𝟐 𝟒
+ 𝟐 𝟏 + 𝟑 = 𝟏
+ −𝟏 = 𝟏 + 𝟑
𝟏 − 𝟑
𝟏
𝟏 + = + 𝟐
𝟏 + 𝟑
+ = 𝟓 + 𝟐 −𝟐
:ضع كال مما ل بالصغة العادة للعدد المركب / 3س
𝟓 + 𝟐 −𝟐 𝟑 + 𝟒 −𝟏 𝟏 + 𝟐 −𝟐 𝟑 + 𝟒 𝟐
******************************************************************
الجذور التربعة للعدد المركب
𝟐 أذا كان = = فأن 𝟐 أما أذا كانت و الجذور التربعة للعد د = = فأن 𝟒 زو 𝟐
. احد جذري المعادلة وألجاد الجذور التربعة للعدد المركب توجد طرقتان الحظ األمثلة التالة
= جد الجذور التربعة للعدد / (14مثال ) 𝟖 + 𝟔
+ و (c) نفرض أن الجذر التربع للعدد / ①الطرقة
+ 𝟐 = 𝟖 + 𝟔 𝟐 + 𝟐 + 𝟐 𝟐 = 𝟖 + 𝟔 𝟐 − 𝟐 + 𝟐 = 𝟖 + 𝟔
𝟐 − 𝟐 = ①معادلة 𝟖
𝟐 = 𝟔 = 𝟑 =𝟑
②معادلة في②معادلة ① نعوض
𝟐 −𝟗
𝟐= 𝟖
(نضرب 𝟐 )
⇒ 𝟒 − 𝟗 = 𝟖 𝟐 𝟒 − 𝟖 𝟐 − 𝟗 = 𝟎 𝟐 − 𝟗 𝟐 + 𝟏 = 𝟎
𝟐 = 𝟗 = 𝟑 ②معادلة نعوض في
=𝟑
=
𝟑
𝟑 = 𝟏
𝟐 + 𝟏 = 𝟎 𝟐 = يهمل 𝟏−
𝟑 + , − 𝟑 − الجذران هما
نالجزء الحقق الى عدد نجزئ / ②الطرقة
𝟖 + 𝟔 = 𝟗 + 𝟔 − 𝟏 = 𝟗 + 𝟔 + 𝟐 = 𝟑 + 𝟐 بالجذر ⇒ = 𝟑 +
𝟑 + , − 𝟑 − الجذران هما
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل األول/ األعــــداد المركــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد
20
مالحظة+ نفرض الجزذر زو حتوي على مركب عند أجاد الجذور التربعة لعدد ثزم نربعزه ونكمزل الحزل كمزا
. ف المثال التال, 𝟖 :جد الجذور التربعة لؤلعداد / (51مثال ) − , −𝟏𝟕,−𝟐𝟓
𝟖
+ و 𝟖 نفرض أن الجذر التربع للعدد / ①الطرقة
𝟖 = + 𝟐 𝟖 = 𝟐 + 𝟐 + 𝟐 𝟐 𝟖 = 𝟐 − 𝟐 + 𝟐
𝟐 − 𝟐 = ①معادلة 𝟎
𝟐 = 𝟖 = 𝟒 =𝟒
②معادلة في②معادلة ① نعوض
𝟐 −𝟏𝟔
𝟐= 𝟎
(نضرب 𝟐 )
⇒ 𝟒 − 𝟏𝟔 = 𝟎 𝟐 − 𝟒 𝟐 + 𝟒 = 𝟎
𝟐 − 𝟒 = 𝟎 𝟐 = 𝟒 = 𝟐 نعوضها في معادلة ②
=𝟒
=
𝟒
𝟐 = 𝟐
𝟐 + 𝟒 = 𝟎 𝟐 = تهمل 𝟒−
𝟐 + 𝟐 , −𝟐 − الجذران هما 𝟐
/ ②الطريقة
𝟖 = 𝟒 + 𝟖 − 𝟒 = 𝟒 + 𝟖 + 𝟒 𝟐 = 𝟐 + 𝟐 𝟐 بالجذر ⇒ 𝟐 + 𝟐
𝟐 + 𝟐 , −𝟐 − الجذران هما 𝟐
−
+ و − نفرض أن الجذر التربع للعدد / ①الطرقة
− = + 𝟐 − = 𝟐 + 𝟐 + 𝟐 𝟐 − = 𝟐 − 𝟐 + 𝟐
𝟐 − 𝟐 = ①معادلة 𝟎
𝟐 = −𝟏 =−𝟏
𝟐 =
−𝟏
𝟐 ②معادلة في②معادلة ① نعوض
𝟐 −𝟏
𝟒 𝟐= 𝟎
(نضرب 𝟐 𝟒)
⇒ 𝟒 𝟒 − 𝟏 = 𝟎 𝟐 𝟐 − 𝟏 𝟐 𝟐 + 𝟏 = 𝟎
𝟐 𝟐 − 𝟏 = 𝟎 𝟐 𝟐 = 𝟏 𝟐 =𝟏
𝟐 =
𝟏
𝟐 نعوضها في معادلة ②
=−𝟏
𝟐 =
−𝟏
𝟐 ( 𝟏
𝟐) =
−𝟏
𝟐 𝟐( 𝟏
𝟐) =
𝟏
𝟐
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل األول/ األعــــداد المركــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد
21
𝟐 𝟐 + 𝟏 = 𝟎 𝟐 𝟐 = −𝟏 𝟐 =−𝟏
𝟐 تهمل
−𝟏
𝟐+
𝟏
𝟐 ,
𝟏
𝟐−
𝟏
𝟐 الجذران هما
/ ②الطريقة
− = √𝟏
𝟐− −
𝟏
𝟐 = √
𝟏
𝟐− +
𝟏
𝟐 𝟐 = √(
𝟏
𝟐−
𝟏
𝟐 )
𝟐
= (𝟏
𝟐−
𝟏
𝟐 )
−𝟏
𝟐+
𝟏
𝟐 ,
𝟏
𝟐−
𝟏
𝟐 الجذران هما
− 𝟏𝟕
𝟐 = −𝟏𝟕 = −𝟏𝟕 = 𝟏𝟕 −𝟏 = 𝟏𝟕 𝟐 = 𝟏𝟕
− 𝟐𝟓
𝟐 = −𝟐𝟓 = −𝟐𝟓 = 𝟐𝟓 −𝟏 = 𝟐𝟓 𝟐 = 𝟓
ℂحل المعادلة التربعة ف 𝟐 مثالا كن حلها بطرقة التجربة فه تحل بطرقة الدستورم كل معادلة تربعة ال + + = 𝟎
, و 𝟎 حث , = فزأن − 𝟐−𝟒
𝟐 ز ـزـدار الممــزـه أذا كزان مقــــزـظ أنـزـونالح
𝟐 − ا 𝟒 ووجزد نوعزان فأن مجموعة الحلول الخاصة بالمعادلزة تنتمز الزى مجموعزة األعزداد المركبزة سالبا .من حل المعادالت التربعة
على يال حتوالنوع األول / الممز
𝟐 حل المعادلة التربعة / (16مثال ) + 𝟒 + 𝟓 = .ف مجموعة األعداد المركبة 𝟎
= حسب قانون الدستور فأن , = 4 , = 5
=− 𝟐 − 𝟒
𝟐 =
−𝟒 𝟏𝟔 − 𝟒 𝟏 𝟓
𝟐 𝟏 =
−𝟒 𝟏𝟔 − 𝟐𝟎
𝟐=−𝟒 −𝟒
𝟐
=−𝟒 𝟒 −𝟏
𝟐 =
−𝟒 𝟒 𝟐
𝟐 =
−𝟒 𝟐
𝟐 = −𝟐
{−𝟐 + , −𝟐 − } مجموعة حل المعادلة هي
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل األول/ األعــــداد المركــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد
22
مالحظة
𝟐 المعادلة التربعة جذري من قانون الدستور نعلم أن + + = معامالتها الحققة الت 𝟎
𝟏 =− + 𝟐 − 𝟒
𝟐 , 𝟐 =
− − 𝟐 − 𝟒
𝟐
𝟏 + 𝟐 =− + 𝟐 − 𝟒
𝟐 +− − 𝟐 − 𝟒
𝟐 =− + 𝟐 − 𝟒 − − 𝟐 − 𝟒
𝟐
𝟏 + 𝟐 =−𝟐
𝟐 𝟏 + 𝟐 =
−
(مجموع الجذرين)
𝟏. 𝟐 =− + 𝟐 − 𝟒
𝟐 − − 𝟐 − 𝟒
𝟐
𝟏. 𝟐 = 𝟐 + 𝟐 − 𝟒 − 𝟐 − 𝟒 − 𝟐 − 𝟒
𝟐
𝟒 𝟐 =
𝟐 − 𝟐 + 𝟒
𝟒 𝟐 =
𝟒
𝟒 𝟐=
𝟏. 𝟐 =
( حاصل ضرب الجذرين)
:من الخاصة أعاله ف أجاد الجذور التربعة وكما ل االستفادةومكن
𝟐 − ( مجموع الجذرين) + ( حاصل ضرب الجذرين) = 𝟎 𝟐 −
+
= 𝟎
𝟐 جذرا ا ت جد المعادلة التربعة ال/ (71مثال ) + 𝟐
−𝟐 − 𝟐 + 𝟐 + 𝟐 = −𝟐 + 𝟐 + −𝟐 + 𝟐 = 𝟎 + مجموع الجذرين 𝟎
−𝟐 − 𝟐 . 𝟐 + 𝟐 = −𝟒 − 𝟒 − 𝟒 − 𝟒 𝟐 = −𝟒 − 𝟖 + 𝟒 = حاصل ضرب الجذرين 𝟖−
𝟐 − ( مجموع الجذرين) + ( حاصل ضرب الجذرين) = 𝟎
𝟐 − 𝟎 + −𝟖 = 𝟎 𝟐 − 𝟖 = المعادلة التربيعية 𝟎
مالحظة+ ا أحززد جززذرا معامالتهززا حققززة والتزز المعادلززة التربعززة التزز فززأن الجززذر األخززر ززو 𝟎 حززث
− والعكس صحح .
𝟑ها جذر معامالتها حققة وأحد كون المعادلة التربعة الت/ (81مثال ) − 𝟒
𝟑أحد الجذرين هو معامالت المعادلة حقيقية و ∵ − 𝟒
𝟑الجذر األخر هو المرافق ويساوي ∴ + 𝟒
𝟑 − 𝟒 + 𝟑 + 𝟒 = 𝟑 + 𝟑 + −𝟒 + 𝟒 = مجموع الجذرين 𝟔
𝟑 − 𝟒 . 𝟑 + 𝟒 = 𝟗 + 𝟏𝟐 − 𝟏𝟐 − 𝟏𝟔 𝟐 = 𝟗 + 𝟏𝟔 = حاصل ضرب الجذرين 𝟐𝟓
𝟐 − ( مجموع الجذرين) + ( حاصل ضرب الجذرين) = 𝟎
𝟐 − 𝟔 + 𝟐𝟓 = 𝟎 𝟐 − 𝟔 + 𝟐𝟓 = المعادلة التربيعية 𝟎
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل األول/ األعــــداد المركــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد
23
− تمارين 2
حل المعادالت التربعة األتة وبن أي منها كون جذرا ا مترافقان ؟ / 1س 𝟐 = −𝟏𝟐
𝟐 = 𝟏𝟐 𝟐 = 𝟏𝟐 𝟐 = ( جذراها مترافقان) 𝟑 𝟐
𝟐 − 𝟑 + 𝟑 + = 𝟎
= 𝟏 = −𝟑 = 𝟑 + تحل بالدستور
=− 𝟐 − 𝟒
𝟐 =
− −𝟑 𝟗 − 𝟒 𝟏 𝟑 +
𝟐 𝟏
=𝟑 𝟗 − 𝟏𝟐 − 𝟒
𝟐 =
𝟑 −𝟑 − 𝟒
𝟐①معادلة
𝟑− األن نحسب مقدار الجذر − ①ف المعادلة ثم نعوضه 𝟒
+ = −𝟑−𝟒 تربيع الطرفين⇒ + 𝟐 = −𝟑 − 𝟒 𝟐 − 𝟐 + 𝟐 = −𝟑 − 𝟒
𝟐 − 𝟐 = ②معادلة 𝟑−
𝟐 = −𝟒 =−𝟒
𝟐 =
−𝟐
③معادلة ③معادلة في نعوض
𝟐 − (−𝟐
)𝟐
= −𝟑 𝟐 −𝟒
𝟐= −𝟑 ( 𝟐 (نضرب
𝟒 − 𝟒 = −𝟑 𝟐 𝟒 + 𝟑 𝟐 − 𝟒 = 𝟎 𝟐 + 𝟒 𝟐 − 𝟏 = 𝟎
𝟐 + 𝟒 = 𝟎 𝟐 = (يهمل) 𝟒−
𝟐 − 𝟏 = 𝟎 𝟐 = 𝟏 = 𝟏 ③معادلة نعوض في
=−𝟐
=
−𝟐
𝟏 = 𝟐
𝟏 − 𝟐 , −𝟏 + ①نعوض في المعادلة الجذران هما 𝟐
=𝟑 − 𝟏 + 𝟐
𝟐 =
𝟐 + 𝟐
𝟐 = 𝟏 +
=𝟑 + 𝟏 − 𝟐
𝟐 =
𝟒 − 𝟐
𝟐 = 𝟐 −
𝟏}مجموعة الحل هي ∴ + , 𝟐 − والجذران غير مترافقان {
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل األول/ األعــــداد المركــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد
24
𝟐 𝟐 − 𝟓 + 𝟏𝟑 = 𝟎
= 𝟐 = −𝟓 = 𝟏𝟑 تحل بالدستور
=− 𝟐 − 𝟒
𝟐 =
− −𝟓 𝟐𝟓 − 𝟒 𝟐 𝟏𝟑
𝟐 𝟐 =𝟓 𝟐𝟓 − 𝟏𝟎𝟒
𝟒
=𝟓 −𝟕𝟗
𝟒 =
𝟓 𝟕𝟗 𝟐
𝟒=𝟓 𝟕𝟗
𝟒 =
𝟓
𝟒 𝟕𝟗
𝟒
,مجموعة الحل هي ∴𝟓
𝟒+
𝟕𝟗
𝟒 ,
𝟓
𝟒−
𝟕𝟗
𝟒 والجذران مترافقان -
𝟐 + 𝟐 + 𝟐 − = 𝟎
= 𝟏 = 𝟐 = 𝟐 − = 𝟐 − 𝟐 = 𝟏 + تحل بالدستور 𝟐
=− 𝟐 − 𝟒
𝟐 =−𝟐 𝟒 − 𝟒 𝟏 𝟏 + 𝟐
𝟐 𝟏 =
−𝟐 𝟒 − 𝟒 − 𝟖
𝟐
=−𝟐 −𝟖
𝟐①معادلة
①ثم نعوضه في المعادلة 𝟖− األن نحسب مقدار الجذر
+ = −𝟖 تربيع الطرفين⇒ + 𝟐 = −𝟖 𝟐 − 𝟐 + 𝟐 = 𝟎 − 𝟖
𝟐 − 𝟐 = ②معادلة 𝟎
𝟐 = −𝟖 =−𝟖
𝟐 =
−𝟒
③معادلة ③معادلة في نعوض
(−𝟒
)𝟐
− 𝟐 = 𝟎 𝟏𝟔
𝟐− 𝟐 = 𝟎 (− 𝟐 (نضرب
𝟒 − 𝟏𝟔 = 𝟎 𝟐 − 𝟒 𝟐 + 𝟒 = 𝟎
𝟐 − 𝟒 = 𝟎 𝟐 = 𝟒 = 𝟐 ③معادلة نعوض في
=−𝟒
=
−𝟒
𝟐 = 𝟐
𝟐 − 𝟐 , −𝟐 + ①نعوض في المعادلة الجذران هما 𝟐
=−𝟐 + 𝟐 − 𝟐
𝟐 =
−𝟐
𝟐 = −
=−𝟐 − 𝟐 + 𝟐
𝟐 =
−𝟒 + 𝟐
𝟐 = −𝟐 +
− , −}مجموعة الحل هي ∴ 𝟐 + والجذران غير مترافقان {
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل األول/ األعــــداد المركــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد
25
التجربة الحظ الحلأخرى بواسطة قانون السابق بطرقة (d)مكن حل الفرع
𝟐 + 𝟐 + 𝟐 − = 𝟎
+ + 𝟐 − = 𝟎
= − = −𝟐 +
− , −}مجموعة الحل هي ∴ 𝟐 + والجذران غير مترافقان {
𝟒 𝟐 + 𝟐𝟓 = 𝟎
𝟒 𝟐 = −𝟐𝟓 𝟐 =−𝟐𝟓
𝟒 𝟐 =
𝟐𝟓 𝟐
𝟒 = √
𝟐𝟓 𝟐
𝟒 =
𝟓
𝟐
−,مجموعة الحل هي ∴𝟓
𝟐 ,
𝟓
𝟐 والجذران مترافقان -
𝟐 − 𝟐 + 𝟑 = 𝟎
𝟐 − 𝟐 − 𝟑 𝟐 = 𝟎 − 𝟑 + = 𝟎
− 𝟑 = 𝟎 = 𝟑 + = 𝟎 = −
والجذران غير مترافقان { 𝟑 , −}مجموعة الحل هي ∴
𝟐 − 𝟐 + 𝟑 = ( حل أخر) 𝟎
= 𝟏 = −𝟐 = 𝟑 تحل بالدستور
=− 𝟐 − 𝟒
𝟐 =
− −𝟐 −𝟒 − 𝟒 𝟏 𝟑
𝟐 𝟏 =𝟐 −𝟏𝟔
𝟐=𝟐 𝟒
𝟐= 𝟐
والجذران غير مترافقان { 𝟑 , −}مجموعة الحل هي ∴
حث : , المعادلة التربعة الت جذرا ا كون / 2س
= 𝟏 + 𝟐 = 𝟏 −
𝟏 + 𝟐 + 𝟏 − = 𝟏 + 𝟏 + 𝟐 − 𝟏 = 𝟐 + مجموع الجذرين
𝟏 + 𝟐 . 𝟏 − = 𝟏 − + 𝟐 − 𝟐 𝟐 = 𝟑 + حاصل ضرب الجذرين
𝟐 − ( مجموع الجذرين) + ( حاصل ضرب الجذرين) = 𝟎
𝟐 − 𝟐 + + 𝟑 + = المعادلة التربيعية 𝟎
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل األول/ األعــــداد المركــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد
26
=𝟑 −
𝟏 + = 𝟑 − 𝟐 𝟐
=𝟑 −
𝟏 + =𝟑 −
𝟏 + 𝟏 −
𝟏 − =𝟑 − 𝟑 − + 𝟐
𝟏𝟐 + 𝟏𝟐=𝟐 − 𝟒
𝟐 = 𝟏 − 𝟐
= 𝟑 − 𝟐 𝟐 = 𝟗 − 𝟏𝟐 + 𝟒 𝟐 = 𝟓 − 𝟏𝟐 = 𝟓 − 𝟏𝟐
𝟏 − 𝟐 + 𝟓 − 𝟏𝟐 = 𝟏 + 𝟓 + −𝟐 − 𝟏𝟐 = 𝟔 − مجموع الجذرين 𝟏𝟒
𝟏 − 𝟐 . 𝟓 − 𝟏𝟐 = 𝟓 − 𝟏𝟐 − 𝟏𝟎 + 𝟐𝟒 𝟐 = −𝟏𝟗 − حاصل ضرب الجذرين 𝟐𝟐
𝟐 − ( مجموع الجذرين) + ( حاصل ضرب الجذرين) = 𝟎
𝟐 − 𝟔 − 𝟏𝟒 + −𝟏𝟗 − 𝟐𝟐 = المعادلة التربيعية 𝟎
: المركبة األتة لؤلعدادجد الجذور التربعة / 3س
− 𝟔
+ = 𝟔 تربيع الطرفين⇒ + 𝟐 = −𝟔 𝟐 + 𝟐 + 𝟐 𝟐 = −𝟔
𝟐 − 𝟐 + 𝟐 = −𝟔
𝟐 − 𝟐 = ①معادلة 𝟎
𝟐 = −𝟔 =−𝟔
𝟐 =
−𝟑
②معادلة نعوض معادلة في ①
𝟐 − (−𝟑
)𝟐
= 𝟎 𝟐 −𝟗
𝟐= 𝟎
(نضرب 𝟐 )
⇒ 𝟒 − 𝟗 = 𝟎
𝟒 − 𝟗 = 𝟎 𝟐 − 𝟑 𝟐 + 𝟑 = 𝟎
𝟐 − 𝟑 = 𝟎 𝟐 = 𝟑 = 𝟑 نعوض في معادلة
=−𝟑
=
−𝟑
𝟑 = 𝟑
𝟐 + 𝟑 = 𝟎 𝟐 = ( تهمل) 𝟑−
− 𝟑 + 𝟑 , 𝟑 − الجذران هما 𝟑
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل األول/ األعــــداد المركــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد
27
𝟕 + 𝟐𝟒
+ = 𝟕 + 𝟐𝟒 تربيع الطرفين⇒ + 𝟐 = 𝟕 + 𝟐𝟒
𝟐 + 𝟐 + 𝟐 𝟐 = 𝟕 + 𝟐𝟒 𝟐 − 𝟐 + 𝟐 = 𝟕 + 𝟐𝟒
𝟐 − 𝟐 = ①معادلة 𝟕
𝟐 = 𝟐𝟒 =𝟐𝟒
𝟐 =
𝟏𝟐
②معادلة ①معادلة نعوض في
𝟐 − (𝟏𝟐
)𝟐
= 𝟕 𝟐 −𝟏𝟒𝟒
𝟐= 𝟕
(نضرب 𝟐 )
⇒ 𝟒 − 𝟏𝟒𝟒 = 𝟕 𝟐
𝟒 − 𝟕 𝟐 − 𝟏𝟒𝟒 = 𝟎 𝟐 − 𝟏𝟔 𝟐 + 𝟗 = 𝟎
𝟐 − 𝟏𝟔 = 𝟎 𝟐 = 𝟏𝟔 = 𝟒 ②معادلة نعوض في
=𝟏𝟐
=
𝟏𝟐
𝟒 = 𝟑
𝟐 + 𝟗 = 𝟎 𝟐 = ( تهمل) 𝟗−
𝟒 + 𝟑 , −𝟒 − الجذران هما 𝟑
𝟒
𝟏 − 𝟑
+ جب تحولة الى الصغة عن طرق الضرب بمرافق المقام
𝟒
𝟏 − 𝟑 =
𝟒
𝟏 − 𝟑 𝟏 + 𝟑
𝟏 + 𝟑 =𝟒 𝟏 + 𝟑
𝟏𝟐 + 𝟑 𝟐=𝟒 𝟏 + 𝟑
𝟏 + 𝟑=𝟒 𝟏 + 𝟑
𝟒= 𝟏 + 𝟑
/ ①الطرقة
+ = √𝟏 + 𝟑 تربيع الطرفين⇒ + 𝟐 = 𝟏 + 𝟑
𝟐 + 𝟐 + 𝟐 𝟐 = 𝟏 + 𝟑 𝟐 − 𝟐 + 𝟐 = 𝟏 + 𝟑
𝟐 − 𝟐 = ①معادلة 𝟏
𝟐 = 𝟑 = 𝟑
𝟐 ②معادلة ①معادلة نعوض في
. 𝟑
𝟐 /
𝟐
− 𝟐 = 𝟏 𝟑
𝟒 𝟐− 𝟐 = 𝟏
(نضرب 𝟐 𝟒 )
⇒ 𝟑 − 𝟒 𝟒 = 𝟒 𝟐
𝟒 𝟒 + 𝟒 𝟐 − 𝟑 = 𝟎 𝟐 𝟐 + 𝟑 𝟐 𝟐 − 𝟏 = 𝟎
𝟐 𝟐 − 𝟏 = 𝟎 𝟐 𝟐 = 𝟏 𝟐 =𝟏
𝟐 =
𝟏
𝟐②معادلة نعوض في
= 𝟑
𝟐 =
𝟑
𝟐( 𝟏
𝟐)=
𝟑
𝟐 𝟐( 𝟏
𝟐) =
𝟑
𝟐
𝟐 𝟐 + 𝟑 = 𝟎 𝟐 𝟐 = ( تهمل) 𝟑−
𝟑
𝟐+
𝟏
𝟐 , −
𝟑
𝟐−
𝟏
𝟐 الجذران هما
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل األول/ األعــــداد المركــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد
28
/ ②الطرقة
√𝟏 + 𝟑 = √𝟑
𝟐+ 𝟑 −
𝟏
𝟐 = √
𝟑
𝟐+ 𝟑 +
𝟏
𝟐 𝟐 = √.
𝟑
𝟐+
𝟏
𝟐 /
𝟐
= . 𝟑
𝟐+
𝟏
𝟐 /
𝟑
𝟐+
𝟏
𝟐 , −
𝟑
𝟐−
𝟏
𝟐 الجذران هما
: المعامالت الحققة وأحد جذرها و ما المعادلة التربعة ذات / 4س
− المعامالت أعداد حققة لذا فان الجذر األخر و المرافق و و
+ − = 𝟎 + 𝟎 + 𝟏 − 𝟏 = 𝟎 + مجموع الجذرين 𝟎
. − = − 𝟐 = − −𝟏 = حاصل ضرب الجذرين 𝟏
𝟐 − ( مجموع الجذرين) + ( حاصل ضرب الجذرين) = 𝟎
𝟐 − 𝟎 + 𝟏 = 𝟎 𝟐 + 𝟏 = المعادلة التربيعية 𝟎
𝟓 −
𝟓 المعامالت أعداد حققة لذا فان الجذر األخر و المرافق و و +
𝟓 − + 𝟓 + = 𝟓 + 𝟓 + −𝟏 + 𝟏 = مجموع الجذرين 𝟏𝟎
𝟓 − . 𝟓 + = 𝟐𝟓 − 𝟓 + 𝟓 − 𝟐 = 𝟐𝟓 + 𝟏 = حاصل ضرب الجذرين 𝟐𝟔
𝟐 − ( مجموع الجذرين) + ( حاصل ضرب الجذرين) = 𝟎
𝟐 − 𝟏𝟎 + 𝟐𝟔 = المعادلة التربيعية 𝟎
𝟐 + 𝟑
𝟒
)المعامالت أعداد حققة لذا فان الجذر األخر و المرافق و و 𝟐
𝟒−
𝟑
𝟒 )
. 𝟐
𝟒+𝟑
𝟒 / + .
𝟐
𝟒−𝟑
𝟒 / = .
𝟐
𝟒+ 𝟐
𝟒/ + (
𝟑
𝟒−𝟑
𝟒) =
𝟐 𝟐
𝟒 =
𝟐
𝟐 مجموع الجذرين
. 𝟐
𝟒+𝟑
𝟒 / . .
𝟐
𝟒−𝟑
𝟒 / = .
𝟐
𝟒/
𝟐
+ (𝟑
𝟒)𝟐
=𝟐
𝟏𝟔+
𝟗
𝟏𝟔=𝟏𝟏
𝟏𝟔 حاصل ضرب الجذرين
𝟐 − ( مجموع الجذرين) + ( حاصل ضرب الجذرين) = 𝟎
𝟐 − . 𝟐
𝟐/ + (
𝟏𝟏
𝟏𝟔 ) = 𝟎 𝟐 −
𝟏
𝟐 +
𝟏𝟏
𝟏𝟔= المعادلة التربيعية 𝟎
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل األول/ األعــــداد المركــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد
29
𝟑أذا كان / 5س + 𝟐 ذري المعادلزة ــــزـ و أحزد ج − + 𝟓 + 𝟓 = ؟ ومزا فمزا قمزة 𝟎
1د / 2011وزاري قمة الجذر األخر؟
نفرض الجذر األخر و
𝟑 + + = ①معادلة (مجموع الجذرين)
𝟑 + . = 𝟓 + ( حاصل ضرب الجذرين) 𝟓
=𝟓 + 𝟓
𝟑 + =𝟓 + 𝟓
𝟑 + 𝟑 −
𝟑 − =𝟏𝟓 − 𝟓 + 𝟏𝟓 − 𝟓 𝟐
𝟑𝟐 + 𝟏𝟐=𝟐𝟎 + 𝟏𝟎
𝟏𝟎= 𝟐 + (الجذر األخر)
= 𝟐 + ①معادلة ) (نعوض في
𝟑 + + = 𝟑 + + 𝟐 + = = 𝟓 + 𝟐
******************************************************************
أمثلة أضافية محلولة𝟓𝟓−المركب أوجد الجذور التربعة للعدد / مثال − تخدم الناته ف أجاد الحل للمعادلة التربعة ــــثم أس 𝟒𝟖𝟐 التالة + 𝟏 + 𝟐 + 𝟏𝟑 𝟏 + = 𝟎
𝟓𝟓− نفرض أن الجذر التربع للعدد − + و 𝟒𝟖
+ = −𝟓𝟓 − 𝟒𝟖 تربيع الطرفين⇒ + 𝟐 = −𝟓𝟓 − 𝟒𝟖
𝟐 + 𝟐 + 𝟐 𝟐 = −𝟓𝟓 − 𝟒𝟖 𝟐 − 𝟐 + 𝟐 = −𝟓𝟓 − 𝟒𝟖
𝟐 − 𝟐 = ①معادلة 𝟓𝟓−
𝟐 = −𝟒𝟖 =−𝟒𝟖
𝟐 =
−𝟐𝟒
②معادلة ①معادلة نعوض في
𝟓𝟕𝟔
𝟐− 𝟐 = −𝟓𝟓
(نضرب 𝟐 )
⇒ 𝟓𝟕𝟔 − 𝟒 = −𝟓𝟓 𝟐 𝟒 − 𝟓𝟓 𝟐 − 𝟓𝟕𝟔 = 𝟎
𝟐 − 𝟔𝟒 𝟐 + 𝟗 = 𝟎
𝟐 = 𝟔𝟒 = 𝟖 ②معادلة نعوض في
=−𝟐𝟒
=−𝟐𝟒
𝟖 = 𝟑
𝟐 + 𝟗 = 𝟎 𝟐 = يهمل 𝟗−
𝟑 − 𝟖 , − 𝟑 + الجذران هما 𝟖
𝟐 األن نحل المعادلة + 𝟏 + 𝟐 + 𝟏𝟑 𝟏 + = بأستخدام قانون الدستور حث 𝟎
= 𝟏 , = 𝟏 + 𝟐 , = 𝟏𝟑 𝟏 +
=− 𝟐 − 𝟒
𝟐 =− 𝟏 + 𝟐 𝟏 + 𝟐 𝟐 − 𝟒 𝟏 𝟏𝟑 + 𝟏𝟑
𝟐 𝟏
=− 𝟏 + 𝟐 𝟏 + 𝟒 + 𝟒 𝟐 − 𝟓𝟐 + 𝟓𝟐
𝟐 𝟏 =− 𝟏 + 𝟐 𝟏 + 𝟒 − 𝟒 − 𝟓𝟐 + 𝟓𝟐
𝟐
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل األول/ األعــــداد المركــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد
30
=− 𝟏 + 𝟐 𝟏 + 𝟒 − 𝟒 − 𝟓𝟐 − 𝟓𝟐
𝟐=− 𝟏 + 𝟐 −𝟓𝟓 − 𝟒𝟖
𝟐
𝟓𝟓−لت قمنا بحسابها سابقا للعدد األن نعوض الجذور ا − 𝟒𝟖
=− 𝟏 + 𝟐 𝟑 − 𝟖
𝟐
𝟏 =−𝟏 − 𝟐 − 𝟑 − 𝟖
𝟐=−𝟏 − 𝟐 − 𝟑 + 𝟖
𝟐=−𝟒 + 𝟔
𝟐 𝟏 = −𝟐+ 𝟑
𝟐 =−𝟏 − 𝟐 + 𝟑 − 𝟖
𝟐=−𝟏 − 𝟐 + 𝟑 − 𝟖
𝟐=𝟐 − 𝟏𝟎
𝟐 𝟐 = 𝟏 − 𝟓
𝟐−}مجموعة الحل + 𝟑 , 𝟏 − 𝟓 }
𝟑/ كون المعادلة التربعة الت جذر ا مثال − , 𝟏𝟎
𝟑−
𝟏 = 𝟑 − , 𝟐 =𝟏𝟎
𝟑 − =
𝟏𝟎
𝟑 − 𝟑 +
𝟑 + =𝟏𝟎 𝟑 +
𝟑𝟐 + 𝟏𝟐=𝟏𝟎 𝟑 +
𝟏𝟎 𝟐 = 𝟑 +
𝟑 − + 𝟑 + = 𝟑 + 𝟑 + −𝟏 + 𝟏 = مجموع الجذرين 𝟔
𝟑 − . 𝟑 + = 𝟗 + 𝟑 − 𝟑 − 𝟐 = 𝟗 + 𝟏 = حاصل ضرب الجذرين 𝟏𝟎
𝟐 − ( مجموع الجذرين) + ( حاصل ضرب الجذرين) = 𝟎
𝟐 − 𝟔 + 𝟏𝟎 = المعادلة التربيعية 𝟎
𝟖−جد الجذور التكعبة للعدد المركب / مثال
𝟑 = −𝟖 𝟑 + 𝟖 = 𝟎 𝟑 − 𝟖 𝟐 = 𝟎 𝟑 − 𝟖 𝟑 = 𝟎
𝟑 − 𝟖 𝟑 = − 𝟐 𝟐 + 𝟐 + 𝟒 𝟐 = − 𝟐 𝟐 + 𝟐 − 𝟒 = 𝟎
− 𝟐 = 𝟎 𝟏 = 𝟐
𝟐 + 𝟐 − 𝟒 = 𝟎 ( بالدستور)
⇒ = 𝟏 = 𝟐 = −𝟒
=− 𝟐 − 𝟒
𝟐 =
−𝟐 𝟒 𝟐 − 𝟒 𝟏 −𝟒
𝟐 𝟏 =
−𝟐 −𝟒 + 𝟏𝟔
𝟐
=−𝟐 𝟏𝟐
𝟐 =
−𝟐 𝟐 𝟑
𝟐 = − 𝟑
− , 𝟐}مجموعة الحل هي ∴ + 𝟑 , − − 𝟑}
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل األول/ األعــــداد المركــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد
31
𝟖جد الجذور التكعبة للعدد المركب / مثال
𝟑 = 𝟖 𝟑 − 𝟖 = 𝟎 𝟑 − 𝟖 = − 𝟐 𝟐 + 𝟐 + 𝟒 = 𝟎
− 𝟐 = 𝟎 = 𝟐
𝟐 + 𝟐 + 𝟒 = 𝟎 ( بالدستور)
⇒ = 𝟏 = 𝟐 = 𝟒
=− 𝟐 − 𝟒
𝟐 =
−𝟐 𝟒 − 𝟒 𝟏 𝟒
𝟐 𝟏 =
−𝟐 𝟒 − 𝟏𝟔
𝟐
=−𝟐 −𝟏𝟐
𝟐 =
−𝟐 𝟏𝟐 𝟐
𝟐 =
−𝟐 𝟐 𝟑
𝟐 = −𝟏 𝟑
, 𝟐}مجموعة الحل هي ∴ −𝟏 + 𝟑 , −𝟏 − 𝟑 }
𝟐 أوجد مجموعة الحل للمعادلة التالة / مثال − 𝟐 − 𝟐 = 𝟎
𝟐 − 𝟐 − 𝟐 = ( نقسم المعادلة على ) 𝟎
𝟐 −𝟐
−
𝟐
= 𝟎 𝟐 −
𝟐 𝟒
− 𝟐 = 𝟎 𝟐 − 𝟐 𝟑 − 𝟐 = 𝟎
𝟐 + 𝟐 − 𝟐 = 𝟎 ( تحل بالدستور)
⇒ = 𝟏 = 𝟐 = −𝟐
=− 𝟐 − 𝟒
𝟐 =−𝟐 𝟐 𝟐 − 𝟒 𝟏 −𝟐
𝟐 𝟏 =−𝟐 −𝟒 + 𝟖
𝟐
=−𝟐 𝟒
𝟐=−𝟐 𝟐
𝟐 = − 𝟏
+ −}مجموعة الحل هي ∴ 𝟏 , − − 𝟏}
𝟐 أوجد مجموعة الحل للمعادلة التالة / مثال − 𝟒 + 𝟒 = 𝟎
𝟐 − 𝟒 + 𝟒 = 𝟎 ( تحل بالدستور)
⇒ = 𝟏 = −𝟒 = 𝟒
=− 𝟐 − 𝟒
𝟐 =− −𝟒 −𝟒 𝟐 − 𝟒 𝟏 𝟒
𝟐 𝟏
=𝟒 𝟏𝟔 𝟐 − 𝟏𝟔
𝟐 =
𝟒 𝟏𝟔 𝟐 − 𝟏
𝟐
=𝟒 𝟏𝟔 − 𝟐
𝟐 =
𝟒 𝟏𝟔 𝟐 𝟐
𝟐=𝟒 𝟒
𝟐
= 𝟐 𝟐
𝟐}مجموعة الحل هي ∴ + 𝟐 , 𝟐 − 𝟐 }
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل األول/ األعــــداد المركــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد
32
+ من المعادلة التالة x , yأوجد قمة كل من / مثال 𝟐 −𝟖−𝟖
𝟏+ + 𝟏𝟓 = 𝟎
+ 𝟐 −𝟖 − 𝟖
𝟏 + + 𝟏𝟓 = 𝟎 𝟐 + 𝟐 + 𝟐 𝟐 =
𝟖 − 𝟖
𝟏 + − 𝟏𝟓
𝟐 − 𝟐 + 𝟐 = (𝟖 − 𝟖
𝟏 + 𝟏 −
𝟏 − ) − 𝟏𝟓
𝟐 − 𝟐 + 𝟐 = .𝟖 − 𝟖 − 𝟖 + 𝟖 𝟐
𝟏𝟐 + 𝟏𝟐/ − 𝟏𝟓
𝟐 − 𝟐 + 𝟐 = (−𝟏𝟔
𝟐) − 𝟏𝟓 𝟐 − 𝟐 + 𝟐 = −𝟖 − 𝟏𝟓
𝟐 − 𝟐 = ①معادلة 𝟏𝟓−
𝟐 = −𝟖 =−𝟖
𝟐 =
−𝟒
②معادلة ①معادلة نعوض في
(−𝟒
)
𝟐
− 𝟐 = −𝟏𝟓 𝟏𝟔
𝟐− 𝟐 = −𝟏𝟓
(نضرب 𝟐 )
⇒ 𝟏𝟔 − 𝟒 = −𝟏𝟓 𝟐
𝟒 − 𝟏𝟓 𝟐 − 𝟏𝟔 = 𝟎 𝟐 − 𝟏𝟔 𝟐 + 𝟏 = 𝟎
𝟐 − 𝟏𝟔 = 𝟎 𝟐 = 𝟏𝟔 = 𝟒 ②معادلة نعوضها في
=−𝟒
=−𝟒
𝟒 = 𝟏
𝟐 + 𝟏 = 𝟎 𝟐 = تهمل 𝟏−
+ من المعادلة التالة x , yأوجد قمة كل من / مثال 𝟐 =𝟑𝟔−𝟐
𝟑+𝟐
+ 𝟐 =𝟑𝟔 − 𝟐
𝟑 + 𝟐 𝟐 + 𝟐 + 𝟐 𝟐 = (
𝟑𝟔 − 𝟐
𝟑 + 𝟐
𝟑 − 𝟐
𝟑 − 𝟐 )
𝟐 − 𝟐 + 𝟐 = .𝟏𝟎𝟖 − 𝟕𝟐 − 𝟔 + 𝟒 𝟐
𝟑𝟐 + 𝟐𝟐 / = (
𝟏𝟎𝟒 − 𝟕𝟖
𝟗 + 𝟒 ) = (
𝟏𝟎𝟒 − 𝟕𝟖
𝟏𝟑 )
𝟐 − 𝟐 + 𝟐 = 𝟖 − 𝟔 𝟐 − 𝟐 = ①معادلة 𝟖
𝟐 = −𝟔 =−𝟔
𝟐 =
−𝟑
②معادلة ①معادلة نعوض في
(−𝟑
)
𝟐
− 𝟐 = 𝟖 𝟗
𝟐− 𝟐 = 𝟖
(نضرب 𝟐 )
⇒ 𝟗 − 𝟒 = 𝟖 𝟐
𝟒 + 𝟖 𝟐 − 𝟗 = 𝟎 𝟐 + 𝟗 𝟐 − 𝟏 = 𝟎
𝟐 − 𝟏 = 𝟎 𝟐 = 𝟏 = 𝟏 ②معادلة نعوضها في
=−𝟑
=
−𝟑
𝟏 = 𝟑
𝟐 + 𝟗 = 𝟎 𝟐 = تهمل 𝟗−
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل األول/ األعــــداد المركــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد
33
𝟐 معامالتها حققة وأحد جذرا ا كون المعادلة التربعة الت / مثال − 𝟐
𝟐 − 𝟐= 𝟐
𝟐− 𝟐 𝟐 + 𝟐 = 𝟐 − 𝟐 𝟐 − 𝟏 = 𝟏 − الجذر األول 𝟐 𝟐
𝟏معامالت المعادلة حققة لذا فأن الجذر األخر و المرافق + 𝟐 𝟐
𝟏 − 𝟐 𝟐 + 𝟏 + 𝟐 𝟐 = 𝟏 + 𝟏 + −𝟐 𝟐 + 𝟐 𝟐 = مجموع الجذرين 𝟐
𝟏 − 𝟐 𝟐 . 𝟏 + 𝟐 𝟐 = 𝟏 + 𝟐 𝟐 − 𝟐 𝟐 − 𝟐 𝟐 𝟐= 𝟏 + 𝟖 = حاصل ضرب الجذرين 𝟗
𝟐 − ( مجموع الجذرين) + ( حاصل ضرب الجذرين) = 𝟎
𝟐 − 𝟐 + 𝟗 = المعادلة التربيعية 𝟎
******************************************************************
, 𝟔𝟒 , 𝟔𝟒− التالة لؤلعدادجد الجذور التكعبة 𝟏𝟐𝟓 , 𝟔𝟒 ثم جد الجذر التربع للعدد 𝟐𝟕−
ةد المركباعد لؤلهندسالتمثل ال+ العدد المركب ا بالنقطة , مكن تمثله ندسا − حث سمى المحور بالمحور
− الحقق و و مثل الجزء الحقق للعدد المركب , أما المحور فسمى المحور التخل و و مثل
ا وتسمى الجزء التخل للعدد المركب , ومكن تمثل بعض العملات الت تجري على األعداد المركبة تمثالا ندسا
األشكال الناتجة بأشكال أرجاند وسمى المستوي الذي حتوها بالمستوي المركب .
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل األول/ األعــــداد المركــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد
34
𝟏 أذا كان = 𝟏 + 𝟏 , 𝟐 = 𝟐 + , 𝟏 𝟏 عددان مركبان ممثالن بالنقطتن 𝟐 𝟏
𝟐 𝟐 , فأن : 𝟐
𝟏 + 𝟐 = 𝟏 + 𝟐 + 𝟏 + 𝟐
𝟏 ومكن تمثل + 𝟏 𝟑 بالنقطة 𝟐 + 𝟐 , 𝟏 + وذلك بأستخدام المعلومات المتعلقة بالمتجهات 𝟐
وكما موضح بالشكل :
𝟏 أي أن : + 𝟐
= 𝟑
ا ف شكل أرجاند : (19مثال ) / مثل العملات األتة ندسا
𝟑 + 𝟒 + 𝟓 + 𝟐
𝟏 = 𝟑 + 𝟒 𝟏 𝟑, 𝟒 𝟐 = 𝟓 + 𝟐 𝟐 𝟓, 𝟐
𝟏 + 𝟐 = 𝟑 + 𝟒 + 𝟓 + 𝟐 𝟏 + 𝟐 = 𝟑 = 𝟖 + 𝟔 𝟑 𝟖, 𝟔
𝟔 − 𝟐 − 𝟐 − 𝟓
𝟏 = 𝟔 − 𝟐 𝟏 𝟔,−𝟐 𝟐 = 𝟐 − 𝟓 𝟐 −𝟐, 𝟓
𝟏 + − 𝟐 = 𝟔 − 𝟐 + −𝟐 + 𝟓 𝟏 + 𝟐 = 𝟑 = 𝟒 + 𝟑 𝟑 = 𝟒 + 𝟑 𝟑 𝟒, 𝟑
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل األول/ األعــــداد المركــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد
35
− تمارين 3
أكتب النظر الجمع لكل من االعداد األتة ثم مثل ذه االعداد ونظائر ا الجمعة على شكل أرجاند . / 1س 𝟏 = 𝟐 + 𝟑 , 𝟐 = −𝟏+ 𝟑 , 𝟑 = 𝟏 − , 𝟒 =
العدد نظره الجمع تمثله البان
− 𝟏 = −𝟐− 𝟑 − 𝟏 = −𝟐 ,− 𝟑
𝟏 = 𝟐 + 𝟑 𝟏 = 𝟐 , 𝟑
− 𝟐 = 𝟏 − 𝟑 − 𝟐 = 𝟏 , − 𝟑
𝟐 = −𝟏 + 𝟑 𝟐 = −𝟏 , 𝟑
− 𝟑 = −𝟏+ − 𝟑 = −𝟏 , 𝟏
𝟑 = 𝟏 − 𝟑 = 𝟏 , −𝟏
− 𝟒 = − − 𝟒 = 𝟎 , −𝟏
𝟒 = 𝟒 = 𝟎 , 𝟏
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل األول/ األعــــداد المركــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد
36
أكتب العدد المرافق لكل من االعداد التالة ثم مثل األعداد ومرافقاتها على شكل أرجاند / 2س
𝟏 = 𝟓 + 𝟑 , 𝟐 = −𝟑 + 𝟐 , 𝟑 = 𝟏 − , 𝟒 = −𝟐
العدد مرافق العدد تمثله البان
𝟏 = 𝟓 − 𝟑 𝟏 𝟏 = 𝟓 , − 𝟑
𝟏 = 𝟓 + 𝟑 𝟏 𝟏 = 𝟓 , 𝟑
𝟐 = −𝟑 − 𝟐 𝟐 𝟐 = −𝟑 ,− 𝟐
𝟐 = −𝟑 + 𝟐 𝟐 𝟐 = −𝟑 , 𝟐
𝟑 = 𝟏 + 𝟑 𝟑 = 𝟏 , 𝟏
𝟑 = 𝟏 − 𝟑 𝟑 = 𝟏 , −𝟏
𝟒 = 𝟐 𝟒 𝟒 = 𝟎 , 𝟐
𝟒 = −𝟐 𝟒 = 𝟎 , −𝟐
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل األول/ األعــــداد المركــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد
37
= أذا كان / 3س 𝟒 + , فوضح على شكل أرجاند كآل من 𝟐 , −
= 4 + 2 = 4 , 2
= 4 − 2 = 4 , −2
− = −4 − 2 − = −4 , −2
𝟐 أذا كان / 4س = 𝟏 + 𝟐 , 𝟏 = 𝟒 − :فوضح على شكل أرجاند كآل من 𝟐
−𝟑 𝟐 , 𝟐 𝟏 , 𝟏 − 𝟐 , 𝟏 + 𝟐
−3 = −3 + 2 = −3 − 6 −3 = −3 , −6
2 = 2 4 − 2 = 8 − 4 2 = 8 , −4
− = 4 − 2 − + 2 = 4 − + −2 − 2 = 3 − 4 − = = 3 − 4 = 3,−4
+ = 4 − 2 + + 2 = 4 + + −2 + 2 = 5 + i + = = 5 + i = 5,
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل األول/ األعــــداد المركــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد
38
للعدد المركب 𝑷𝒐𝒍𝒂𝒓 𝑭𝒐𝒓𝒎 الصورة القطبة
= كان ارا + = , = فان = = و = أن حث
ذدع وهو انمركب انعذد مقاش ( ) انمركب نهعذد انتخه انجسء انمركب نهعذد انحقق انجسء
وتكتب انمركب انعذد سعة( 𝜃) تسمى و ‖ ‖ بانرمس نه ورمس وسمى سانب غر حقق
= , 𝟎 ] حث = ومكه انقول أن 𝟐 ‖ ‖ +
= أو كتب +
= ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐
=
=
‖ ‖
=
=
‖ ‖
= اذا كان / (02مثال ) 𝟏 + . فجد المقاس والقمة األساسة لسعة 𝟑
= = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = 𝟏 + 𝟑 = 𝟐
=
=
‖ ‖=𝟏
𝟐 =
=
‖ ‖= 𝟑
𝟐 =
𝟑 الربع األول
=
𝟑
= اذا كان / (12مثال ) −𝟏 − . فجد المقاس والقمة األساسة للعدد
= = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = 𝟏 + 𝟏 = 𝟐
=
=
‖ ‖=−𝟏
𝟐 =
=
‖ ‖=−𝟏
𝟐 =
𝟒 الربع الثالث
= +
𝟒=𝟓
𝟒
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل األول/ األعــــداد المركــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد
39
عبر عن كل من االعداد التالة بالصغة القطبة :/ (22مثال )
2د / 2012وزاري
𝟐 𝟑 − 𝟐
= 𝟐 𝟑 − 𝟐
= = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = 𝟏𝟐 + 𝟒
= 𝟏𝟔 = 𝟒
=
=
‖ ‖=
𝟐 𝟑
𝟒= 𝟑
𝟐
=
=
‖ ‖=
−𝟐
𝟒 =
−𝟏
𝟐
= = 𝟐 −
𝟔=𝟏𝟏
𝟔
= 𝟒 ( 𝟏𝟏
𝟔+
𝟏𝟏
𝟔)
1د / 2013وزاري − 𝟐 + 𝟐 = −𝟐 + 𝟐
= = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = 𝟒 + 𝟒
= 𝟖 = 𝟐 𝟐
=
=
‖ ‖=
−𝟐
𝟐 𝟐=−𝟏
𝟐
=
=
‖ ‖=
𝟐
𝟐 𝟐 =
𝟏
𝟐
= = −
𝟒=𝟑
𝟒
= 𝟐 𝟐 ( 𝟑
𝟒+
𝟑
𝟒)
التالة بالصغة القطبة : عبر عن كل من االعداد/ (32مثال )
𝟏 − 𝟏 −
𝟏 = 𝟏 + 𝟎 = 𝟏 𝟎 + 𝟎
− 𝟏 = −𝟏 + 𝟎 = 𝟏 +
= 𝟎 + = 𝟏 (
𝟐 +
𝟐)
− = 𝟎 − = 𝟏 ( 𝟑
𝟐 +
𝟑
𝟐)
مالحظة
على األعداد المركبة وكما ل :( السابق نستنته طرقة مكن تطبقها 23من خالل المثال )
𝟑 = 𝟑 𝟏 = 𝟑 𝟏 + 𝟎 = 𝟑 𝟎 + 𝟎
𝟓 = 𝟓 𝟎 + = 𝟓(
𝟐 +
𝟐)
−𝟐 = 𝟐 −𝟏 = 𝟐 −𝟏 + 𝟎 = 𝟐 +
−𝟕 = 𝟕 − = 𝟕 𝟎 − = 𝟕( 𝟑
𝟐 +
𝟑
𝟐)
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل األول/ األعــــداد المركــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد
40
𝑫𝒆 𝑴𝒐𝒊𝒗𝒓𝒆′𝒔 𝑻𝒉𝒆𝒐𝒓𝒆𝒎 مبر نة دموافر
= + = + لكل , فأن
= − = − − , فأن لكل
= (𝟏 )( (
+ 𝟐
) + (
+ 𝟐
)) = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, , − 𝟏
)أحسب / (42مثال )𝟑
𝟖 +
𝟑
𝟖 )
𝟒
( 𝟑
𝟖 +
𝟑
𝟖 )
𝟒
= ( 𝟏𝟐
𝟖 +
𝟏𝟐
𝟖 ) = (
𝟑
𝟐 +
𝟑
𝟐 ) = 𝟎 −
− / (52مثال ) = − بين لكل , فأن
الطرف األيسر = − = + − = [ + − ]
= [ − + − ] = وبجعل −
= [ + ] = +
= − + − = − =
مالحظة
التبسط : عملات القوانن التالة مهمة ف
+ = +
− = −
+ = −
− = +
𝟏 / أحسب بأستخدام مبر نة دموافر (62مثال ) + 1د / 2015وزاري 2د / 3201وزاري . 𝟏𝟏
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل األول/ األعــــداد المركــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد
41
= + = = ‖ ‖ = + = + = 2
𝜃 =
=
‖ ‖=
2 𝜃 =
=
2 =
4
= + = 𝜃 + i i 𝜃 = 2
( (
4) + i i (
4))
= 2
( (
4) + i i (
4)) = 2 2
( (
8 + 3
4) + i i (
8 + 3
4))
= 2 2 ( (2 +3
4) + i i (2 +
3
4))
= 32 2 *( 2 (
) − 2 (
)) + ( 2 (
) + 2 (
))+
= 32 2 0( (3
4)) + . (
3
4)/1 = 32 2 [
−
2+
2 ] = 32 − + = −32 + 32
مالحظة
− = + − = − + − = −
− = −
𝟑 / حل المعادلة (27مثال ) + 𝟏 = ℂ حث 𝟎
𝟑 + 𝟏 = 𝟎 𝟑 = −𝟏 𝟑 = + بالجذر التكعيبي
= + 𝟏𝟑 = (
+ 𝟐
𝟑) + (
+ 𝟐
𝟑) = 𝟎, 𝟏, 𝟐
= 𝟎 = (
𝟑) + (
𝟑) =
𝟏
𝟐+ 𝟑
𝟐
= 𝟏 = + =−𝟏 + 𝟎 = −𝟏
= 𝟐 = (𝟓
𝟑) + (
𝟓
𝟑) =
𝟏
𝟐− 𝟑
𝟐
2𝟏
𝟐+ 𝟑
𝟐 , −𝟏 ,
𝟏
𝟐+ 𝟑
𝟐 3 مجموعة الحل للمعادلة هي
𝟑 أوجد الصغة القطبة للمقدار : / (28مثال ) + 𝟐
ثم جد الجذور الخمسة له .
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل األول/ األعــــداد المركــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد
42
= 𝟑 + = = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = 𝟑 + 𝟏 = 𝟐
=
=
‖ ‖= 𝟑
𝟐 =
=𝟏
𝟐 =
𝟔
= 𝟐 (
𝟔+
𝟔) 𝟐 = 𝟐𝟐 (
𝟔+
𝟔)𝟐
𝟐 = 𝟒(
𝟑+
𝟑)
𝟐 𝟏𝟓 = 𝟒
(𝟏𝟓)(
𝟑+
𝟑)
𝟏𝟓= 4
4 6
( 𝟑) + 𝟐
𝟓7 + i i 6
( 𝟑) + 𝟐
𝟓75
= 4
6 4
+ 𝟔 𝟑𝟓
5 + 4
+ 𝟔 𝟑𝟓
57
𝟐𝟓
= 𝟒𝟓
[ ( + 𝟔
𝟏𝟓) + (
+ 𝟔
𝟑)] = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒
= 𝟎 𝟏 = 𝟒𝟓
𝟏𝟓+
𝟏𝟓
= 𝟏 𝟐 = 𝟒𝟓
𝟕
𝟏𝟓+
𝟕
𝟏𝟓
= 𝟐 𝟑 = 𝟒𝟓
𝟏𝟑
𝟏𝟓+
𝟏𝟑
𝟏𝟓
= 𝟑 𝟒 = 𝟒𝟓
𝟏𝟗
𝟏𝟓+
𝟏𝟗
𝟏𝟓
= 𝟒 𝟓 = 𝟒𝟓
𝟐𝟓
𝟏𝟓+
𝟐𝟓
𝟏𝟓 = 𝟒
𝟓
𝟓
𝟑+
𝟓
𝟑
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل األول/ األعــــداد المركــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد
43
− تمارين 4
أحسب ما ل : / 1س
[ 𝟓
𝟐𝟒 +
𝟓
𝟐𝟒 ]
𝟒
[ 𝟓
𝟐𝟒 +
𝟓
𝟐𝟒 ]
𝟒
= [ 𝟐𝟎
𝟐𝟒 +
𝟐𝟎
𝟐𝟒 ] = [
𝟓
𝟔 +
𝟓
𝟔 ] = * ( −
𝟔) + ( −
𝟔)+
= * (
𝟔) + (
𝟔)+ + * (
𝟔) − (
𝟔)+
= −
𝟔+
𝟔=− 𝟑
𝟐+𝟏
𝟐
[ 𝟕
𝟏𝟐 +
𝟕
𝟏𝟐 ]
−𝟑
[ 𝟕
𝟏𝟐 +
𝟕
𝟏𝟐 ]
−𝟑
= [ −𝟐𝟏
𝟏𝟐 +
−𝟐𝟏
𝟏𝟐 ] = [
−𝟕
𝟒 +
−𝟕
𝟒 ] = [
𝟕
𝟒 −
𝟕
𝟒 ]
= * (𝟐 −
𝟒) − (𝟐 −
𝟒)+
= * 𝟐 (
𝟒) + 𝟐 (
𝟒)+ − * 𝟐 (
𝟒) − 𝟐 (
𝟒)+
= 𝟐 (
𝟒) + 𝟐 (
𝟒) =
𝟏
𝟐+
𝟏
𝟐
:ما أت )أو التعمم ( أحسب بأستخدام مبر نة دموافر / 2س 1د / 2012وزاري
𝟏 − 𝟕
= − = = ‖ ‖ = + = + = 2
𝜃 =
=
‖ ‖=
2 , 𝜃 =
=−
2 , = 2 −
4=7
4 الربع الرابع
= 𝟏 − 𝟕 = 𝜃 + i i 𝜃 = 2
( 7
4+ i i
7
4)
= 2
( 49
4+ i i
49
4) = 2 2
* (
4+ 2 ) + i i (
4+ 2 )+
= 2 2 *( (
4) 2 − (
4) 2 ) + ( i (
4) 2 + (
4) 2 )+
= 8 2 *( (
4) 2 ) + ( i (
4) 2 )+ = 8 2 * (
4) + i (
4)+
= 8 2 [
2+
2] = 8 + = 8 + 8
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل األول/ األعــــداد المركــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد
44
2د / 2014وزاري
𝟑 + −𝟗
= 𝟑 + = = ‖ ‖ = + = 3 + = 2
𝜃 =
=
‖ ‖= 𝟑
2 𝜃 =
=
2 =
6 الربع األول
− = 𝟑 + −𝟗
= − 𝜃 + i i 𝜃 − = 2 − (
6+ i i
6)−
− =
2 ( (
−9
6) + i i (
−9
6)) =
5 2( (
−3
2) + i i (
−3
2)) =
5 2(
3
2− i i
3
2)
− =
5 2[ − − ] =
5 2
2د / 2013وزاري :بسط ما أت / 3س
𝟐 + 𝟐 𝟓
𝟑 + 𝟑 𝟑
𝟐 + 𝟐 𝟓
𝟑 + 𝟑 𝟑=[ + 𝟐]𝟓
[ + 𝟑]𝟑= + 𝟏𝟎
+ 𝟗= +
+ 𝟖 − 𝟒
= 𝜃 + i 𝜃 𝜃 + i 𝜃 𝜃 − i 𝜃
= 𝜃 + i 𝜃 [ 𝜃 + i 𝜃 𝜃 − i 𝜃 ] = 𝜃 + i 𝜃 [ 𝜃 − i 𝜃 ]
= 𝜃 + i 𝜃 [ 𝜃 + i 𝜃 ] = 𝜃 + i 𝜃 = 4 𝜃 + i 4𝜃
𝟏−باستخدام مبر نة دموافر جد الجذور التربعة للعدد المركب / 4س + 𝟑
= − + 3 = = ‖ ‖ = + = + 3 = 4 = 2
𝜃 =
=
‖ ‖=−𝟏
2 , 𝜃 =
= 3
2 = −
3=2
3 الربع الثاني
= √− + 3 = − + 3 ( )= (
) 𝜃 + i i 𝜃 (
) = 2(
) ( (
2
3) + i i (
2
3))
( )
= 2 6 4
2 3 + 2
25 + i i 4
2 3 + 2
257 = 2 6 4
2 + 6 32
5 + i i 4
2 + 6 32
57
= 2 [ (2 + 6
6) + i i (
2 + 6
6)] = 𝟎, 𝟏
= 𝟎 = 2[ (2
6) + (
2
6)] = 2 (
𝟑+
𝟑) = 2.
𝟏
𝟐+ 𝟑
𝟐 / =
𝟏
2+ 𝟑
2
= 𝟏 = 2[ (8
6) + (
8
6)] = 2 (
𝟒
𝟑+
𝟒
𝟑) = 𝟐 * ( +
𝟑) + ( +
𝟑)+
= 2[ (
𝟑) − (
𝟑)] + * (
𝟑) + (
𝟑)+
= 2[− (
𝟑) − (
𝟑)] = 2.
−𝟏
𝟐− 𝟑
𝟐 / =
−𝟏
2− 𝟑
2
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل األول/ األعــــداد المركــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد
45
𝟐𝟕باستخدام مبر نة دموافر جد الجذور التكعبة للعدد المركب / 5س
= 𝟐𝟕 = = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = 𝟐𝟕 𝟐 = 𝟐𝟕
=
=
‖ ‖=
𝟎
𝟐𝟕= 𝟎 , =
=𝟐𝟕
𝟐𝟕= 𝟏 =
𝟐 الربع االول
𝟑
= 𝟐𝟕 𝟑
= 𝟐𝟕 (𝟏𝟑) = (
𝟏𝟑) + (
𝟏𝟑) = 𝟐𝟕 (
𝟏𝟑) (
𝟐+
𝟐)(𝟏𝟑)
𝟑
= 𝟐𝟕𝟑
4 4
𝟐 + 𝟐
𝟑5 + 4
𝟐 + 𝟐
𝟑55 = 𝟎, 𝟏, 𝟐
= 𝟎 = 3[ (
6) + (
6)] = 𝟑 0
𝟑
𝟐+
𝟏
𝟐1 =
𝟑 𝟑
𝟐+𝟑
𝟐
= 𝟏 = 3[ (5
6) + (
5
6)] = 𝟑 * ( −
6) + ( −
6)+
= 𝟑 *− (
6) + (
6)+ = 𝟑 0
− 𝟑
𝟐+𝟏
𝟐 1 =
−𝟑 𝟑
𝟐+𝟑
𝟐
= 𝟐 = 3[ (9
6) + (
9
6)] = 𝟑 [ (
3
2) + (
3
2)] = 𝟎 + 𝟑 − = −𝟑
. باستخدام مبر نة دموافر 𝟏𝟔− للعدد ور األربعةجد الجذ / 6س
= −𝟏𝟔 = = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = 𝟏𝟔 𝟐 = 𝟏𝟔
=
=
‖ ‖=−𝟏𝟔
𝟏𝟔= −𝟏 , =
=
𝟎
𝟏𝟔= 𝟎 =
𝟒
= −𝟏𝟔𝟒
= −𝟏𝟔 (𝟏𝟒) = (
𝟏𝟒) + (
𝟏𝟒) = 𝟏𝟔 (
𝟏𝟒) + (
𝟏𝟒)
= 6
( ( + 2
) + i i (
+ 2
)) = 4
= 𝟎 = 2[ (
4) + (
4)] = 𝟐 [
𝟏
𝟐+
𝟏
𝟐] = 𝟐 + 𝟐
= 𝟏 𝟐 = 𝟐[ (𝟑
𝟒) + (
𝟑
𝟒)] = 𝟐[ ( −
𝟒) + ( −
𝟒)] = 𝟐[− (
𝟒) + (
𝟒)]
= 𝟐 [−𝟏
𝟐+
𝟏
𝟐] = − 𝟐 + 𝟐
= 𝟐 𝟑 = 𝟐[ (𝟓
𝟒) + (
𝟓
𝟒)] = 𝟐[ ( +
𝟒) + ( +
𝟒)] = 𝟐[− (
𝟒) − (
𝟒)]
= 𝟐 [−𝟏
𝟐−
𝟏
𝟐] = − 𝟐 − 𝟐
= 𝟑 𝟒 = 𝟐[ (𝟕
𝟒) + (
𝟕
𝟒)] = 𝟐[ (𝟐 −
𝟒) + (𝟐 −
𝟒)]
= 𝟐[ (
𝟒) − (
𝟒)] = 𝟐 [
𝟏
𝟐−
𝟏
𝟐] = 𝟐 − 𝟐
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل األول/ األعــــداد المركــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد
46
. بأستخدام مبر نة دموافر 64− جد الجذور الستة للعدد / 7س
= −64 = = ‖ ‖ = + = 64 = 64
𝜃 =
=
‖ ‖=
𝟎
64= , 𝜃 =
=−𝟔𝟒
64= − =
3
2
= −64
= −64 ( ) = (
) 𝜃 + i i 𝜃 (
) = 64 (
) (
3
2+ i i
3
2)( )
= 64
6 4
3 2 + 2
65 + i i 4
3 2 + 2
657 = 2 [ (
3 + 4
2) + i i (
3 + 4
2)]
= 𝟎 = 2[ (3
2) + (
3
2)] = 𝟐 * (
𝟒) + (
𝟒)+ = 𝟐 [
𝟏
𝟐+
𝟏
𝟐]
= 𝟐 + 𝟐
= 𝟏 𝟐 = 𝟐[ (𝟕
𝟏𝟐) + (
𝟕
𝟏𝟐)] = 𝟐[ (
𝟑+
𝟒) + (
𝟑+
𝟒)]
= 𝟐 *( (
𝟑) (
𝟒) − (
𝟑) (
𝟒)) + ( (
𝟑) (
𝟒) + (
𝟑) (
𝟒))+
= 𝟐 0.𝟏
𝟐 𝟏
𝟐− 𝟑
𝟐 𝟏
𝟐/ + .
𝟑
𝟐 𝟏
𝟐+𝟏
𝟐 𝟏
𝟐/1 = 𝟐 0.
𝟏
𝟐 𝟐−
𝟑
𝟐 𝟐/ + .
𝟑
𝟐 𝟐+
𝟏
𝟐 𝟐/1
= 𝟐 0.𝟏 − 𝟑
𝟐 𝟐/ + .
𝟑 + 𝟏
𝟐 𝟐/1 =
𝟏 − 𝟑
𝟐+
𝟑 + 𝟏
𝟐
= 𝟐 𝟑 = 𝟐[ (𝟏𝟏
𝟏𝟐) + (
𝟏𝟏
𝟏𝟐)] = 𝟐[ ( −
𝟏𝟐) + ( −
𝟏𝟐)]
= 𝟐 *( (
𝟏𝟐) + (
𝟏𝟐)) + ( (
𝟏𝟐) − (
𝟏𝟐))+
= 𝟐 *− (
𝟏𝟐) + (
𝟏𝟐)+ = *− (
𝟒−
𝟔) + (
𝟒−
𝟔)+
= 𝟐 *−( (
𝟒) (
𝟔) + (
𝟒) (
𝟔)) + ( (
𝟒) (
𝟔) − (
𝟒) (
𝟔))+
= 𝟐 0−.𝟏
𝟐 𝟑
𝟐+
𝟏
𝟐 𝟏
𝟐/ + .
𝟏
𝟐 𝟑
𝟐−
𝟏
𝟐 𝟏
𝟐/1 = 𝟐 0
− 𝟑 − 𝟏
𝟐 𝟐+ 𝟑 − 𝟏
𝟐 𝟐 1
=− 𝟑 − 𝟏
𝟐+ 𝟑 − 𝟏
𝟐
= 𝟑 = 2[ ( 5
2) + (
5
2)] = 𝟐 [ (
𝟓
𝟒) + (
𝟓
𝟒)]
= 𝟐[ ( +
𝟒) + ( +
𝟒)]
= 𝟐 *( (
𝟒) − (
𝟒)) + ( (
𝟒) + (
𝟒))+
= 𝟐 *− (
𝟒) − (
𝟒)+ = 𝟐 [
−𝟏
𝟐−
𝟏
𝟐] = − 𝟐 − 𝟐
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل األول/ األعــــداد المركــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد
47
= 𝟒 𝟓 = 𝟐[ (𝟏𝟗
𝟏𝟐) + (
𝟏𝟗
𝟏𝟐)] = 𝟐[ (𝟐 −
𝟓
𝟏𝟐) + (𝟐 −
𝟓
𝟏𝟐)]
= 𝟐 [( 𝟐 (𝟓
𝟏𝟐) + 𝟐 (
𝟓
𝟏𝟐)) + ( 𝟐 (
𝟓
𝟏𝟐) − 𝟐 (
𝟓
𝟏𝟐))]
= 𝟐 [ (𝟓
𝟏𝟐) − (
𝟓
𝟏𝟐)] = * (
𝟒+
𝟔) − (
𝟒+
𝟔)+
= 𝟐 *( (
𝟒) (
𝟔) − (
𝟒) (
𝟔)) − ( (
𝟒) (
𝟔) + (
𝟒) (
𝟔))+
= 𝟐 0.𝟏
𝟐 𝟑
𝟐−
𝟏
𝟐 𝟏
𝟐/ − .
𝟏
𝟐 𝟑
𝟐+
𝟏
𝟐 𝟏
𝟐/1 = 𝟐 0
𝟑 − 𝟏
𝟐 𝟐 −
𝟑 + 𝟏
𝟐 𝟐 1
= 𝟑 − 𝟏
𝟐 −
𝟑 + 𝟏
𝟐
= 𝟓 𝟔 = 𝟐[ (𝟐𝟑
𝟏𝟐) + (
𝟐𝟑
𝟏𝟐)] = 𝟐[ (𝟐 −
𝟏𝟐) + (𝟐 −
𝟏𝟐)]
= 𝟐 *( 𝟐 (
𝟏𝟐) + 𝟐 (
𝟏𝟐)) + ( 𝟐 (
𝟏𝟐) − 𝟐 (
𝟏𝟐))+
= 𝟐 * (
𝟏𝟐) − (
𝟏𝟐)+ = * (
𝟒−
𝟔) − (
𝟒−
𝟔)+
= 𝟐 *( (
𝟒) (
𝟔) + (
𝟒) (
𝟔)) − ( (
𝟒) (
𝟔) − (
𝟒) (
𝟔))+
= 𝟐 0.𝟏
𝟐 𝟑
𝟐+
𝟏
𝟐 𝟏
𝟐/ − .
𝟏
𝟐 𝟑
𝟐−
𝟏
𝟐 𝟏
𝟐/1 = 𝟐 0
𝟑 + 𝟏
𝟐 𝟐 −
𝟑 − 𝟏
𝟐 𝟐 1
= 𝟑 + 𝟏
𝟐 −
𝟑 − 𝟏
𝟐
******************************************************************
حلول التمارين العامة الخاصة بالفصل األول
, جد قمة / 1س والت تحقق :
𝟏+ =
𝟐+𝟒
+𝟐 3د / 2013وزاري
𝟏 + =
𝟐 + 𝟒
+ 𝟐
𝟏 + 𝟏 −
𝟏 − =
𝟐 − 𝟒 𝟐
+ 𝟐
−
𝟏𝟐+𝟏𝟐=
−𝟐 +𝟐
+𝟐
−
𝟐= − 2
− = 𝟐 − 4 = 𝟐
− = −4 − ⇒ = 𝟒 نعوض في معادلة
𝟒 = 𝟐 = 𝟐
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل األول/ األعــــداد المركــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد
48
= أذا كان / 2س𝟏− 𝟑
𝟏+ −𝟑ا , جد بأستخدام مبر نة دموافر عدداا مركبا
𝟏
𝟐
=𝟏 − 𝟑
𝟏 + −𝟑=𝟏 − 𝟑
𝟏 + 𝟑 𝟏 − 𝟑
𝟏 − 𝟑 = 𝟏 − 𝟑
𝟐
𝟏𝟐 + 𝟑 𝟐=𝟏 − 𝟐 𝟑 + 𝟑 𝟐
𝟏 + 𝟑
=−𝟐 − 𝟐 𝟑
𝟒 =
−𝟏
𝟐− 𝟑
𝟐
= = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = √.−𝟏
𝟐/
𝟐
+ .− 𝟑
𝟐/
𝟐
= √𝟏
𝟒+𝟑
𝟒= 𝟏 = 𝟏
=
=
‖ ‖=(−𝟏 𝟐 )
𝟏=−𝟏
𝟐 , =
=
.− 𝟑 𝟐 /
𝟏=− 𝟑
𝟐 تقع في الربع الثالث
= +
𝟑=𝟒
𝟑
𝟏𝟐 = .
−𝟏
𝟐− 𝟑
𝟐 /
(𝟏𝟐)
= (𝟏𝟐) + (
𝟏𝟐) = 𝟏 (
𝟏𝟐) (
𝟒
𝟑+
𝟒
𝟑)(𝟏𝟐)
𝟏𝟐 = 6 4
𝟒 𝟑 + 2
25 + i i 4
𝟒 𝟑 + 2
257 = ,
= 𝟎 𝟏𝟐 = (
4
6) + (
4
6) = (
2
3) + (
2
3) = ( −
3) + ( −
3)
𝟏
𝟐 = [ (
𝟑) + (
𝟑)] + * (
𝟑) − (
𝟑)+
𝟏𝟐 = (
𝟑) − (
𝟑) = −
𝟏
𝟐+ 𝟑
𝟐
= 𝟏 𝟏𝟐 = [ 4
𝟒 𝟑 + 2
25 + 4
𝟒 𝟑 + 2
25] = 4
𝟒 + 𝟔 𝟑2
5+ 4
𝟒 + 𝟔 𝟑2
5
𝟏𝟐 = .
𝟏𝟎
6/ + .
𝟏𝟎
6/ = .
5
3/+ .
5
3/ = (2 −
3)+ (2 −
3)
𝟏
𝟐 = [ 2 (
𝟑) + 2 (
𝟑)] + * 2 (
𝟑) − 2 (
𝟑)+
𝟏𝟐 = 2 (
𝟑) − 2 (
𝟑) =
𝟏
𝟐− 𝟑
𝟐
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل األول/ األعــــداد المركــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد
49
حلول األسئلة الوزارية الخاصة بالفصل األول
𝟏 : ضع 1/ د 98سؤال وزاري + 𝟑 𝟐 + 𝟑 − بالصغة العادة للعد المركب. 𝟐 𝟐
المقدار الحل/ = + 6 + 9 + 9 − 2 + 4
= + 6 − 9 + 9 − 2 − 4 = −3 − 6
+ 𝟑 انحققته إرا عهمت أن: yو x: جذ قمت 1/د99سؤال وزاري 𝟐 𝟐 = 𝟐𝟎𝟎
𝟒+𝟑
+ 9 انحم/ 2 + 4 =
+
−
−
9 − 4 + 2 = −
+
9 − 4 + 2 = 32 − 24
9 − 4 = 32 . . , 2 = −24 ⇒ = −2 =
−
. 2
9 − 4(
) = 32 9 −
= 32
. ⇒ 9 − 6 = 32
9 − 32 − 6 = 9 + 4 − 4 =
+ 9 أمايهمـــل 4 =
− أو 4 = = 4 = 22 =
−
= −
−2 =
= : إرا كان:1/د2000سؤال وزاري 𝟐 + 𝟑 , = 𝟑 − 𝟐 , جذ قمة + 𝟐 𝟐 .
2 = انحم/ + 3 = 4 + 2 + 9 = −5 + 2
= 3 − = 9 − 6 + = 8 − 6
+ 2 = −5 + 2 + 2 8 − 6 = −5 + 2 + 6 − 2 =
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل األول/ األعــــداد المركــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد
50
انحققته إرا عهمت: yو x: جذ قمة كم مه 2/د2000سؤال وزاري
+ + − + = 3
+ انحم/ + − + = 3 + + − + = 3 +
+ = 3 . , − + = = + . . 2
+ + = 3 + + 2 + − 3 =
2 + 2 − 2 = ⇒ + − 6 = + 3 − 2 =
+ 3 = = −3 = −3 + = −2
− 2 = = 2 = 2 + = 3
: ضؤؤؤؤم انمقؤؤؤؤذار 1/د2001سؤؤؤؤال وزاري 𝟕+ 𝟑
𝟏+𝟐 𝟑 بانصؤؤؤاة انعادؤؤؤؤة نهعؤؤؤؤذد انمركؤؤؤؤب اؤؤؤم جؤؤؤؤذ انمقؤؤؤؤاش وانقمؤؤؤؤة
األساسة نهسعة.
انحم/ +
+ =
+
+
−
−
= − + −
+ =
−
= − 3
المقياس = + 3 = 4 = 2 , 𝜃 =
, i 𝜃 =
−
= 𝜃 القيمة األساسية للسعة 2 −
=
𝜃 تقع في الربع الرابع
𝟑 : ضؤؤؤم 1/د2002سؤؤؤؤال وزاري + 𝟐 −𝟐 + بانصؤؤؤاة انعادؤؤؤة نهعؤؤؤذد انمركؤؤؤب اؤؤؤم جؤؤؤذ و ؤؤؤر ان ؤؤؤرب
وبانصاة انعادة أ ا.
3 انحم/ + 2 −2 + = −6 + 3 − 4 + 2 = −8 −
النظير الضربي =
− −
− +
− + =
− +
+ =
−
+
− المعادلة التربيعية −3 − 4 + 5 + 6 =
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل األول/ األعــــداد المركــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد
51
= : اذا كان 2/د2002سؤال − 𝟑, ا, أكتب الشكل الجبري لهذا العدد ثم جد مقاسه والقمة 𝟏 عدداا مركبا
األساسة لسعته.
= الحل/ − 3 + الشكل الجبري
║ = 3 + = 4 = 𝜃 , المقياس 2 =−
, i 𝜃 =
= 𝜃 القيمة األسياسية للسعة −
6=5
6 𝜃 تقع في الربع الثاني
= : إذا كان 1/د2003سؤال وزاري 𝟏 − , = 𝟑 + + إثبت أن 𝟐 = + .
+ الحل/ = 3 + 2 + − = 4 + = 4 −
+ = 3 + 2 + − = 3 − 2 + + = 4 −
+ = +
𝟑: جد النظر الضرب للعدد المركب 1/د2003سؤال وزاري + ثم ضعه بالصورة العادة. 𝟓
النظير الضربي الحل/ =
+ =
+
−
− =
−
+ =
−
=
−
ا مقاسه ) Z: إذا كان 2/د2003سؤال وزاري )( وسزعته 2عدداا مركبا
𝟑جزد كزال مزن الشزكل الزدكارت والجبزري (
لهذا العدد.
𝜃 الحل/ =
=
=
=
i 𝜃 =
i
=
=
= 3
= الشكل الجبري + 3
= الشكل الديكارتي , 3
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل األول/ األعــــداد المركــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد
52
𝟏 : جد الصغة العادة للعد المركب 1/د2004سؤال وزاري − 𝟑 𝟐+ 𝟐 − 𝟑
𝟐.
𝟑 − الحل/ + 2 − 𝟑
= − 2 𝟑 + 3 + 4 − 4 𝟑 + 3
= 5 − 6 𝟑 − 3 − 3
= − − 6 𝟑
𝟑 : جد ناته 1/د2005سؤال وزاري + 𝟒 𝟐 + 𝟓 − 𝟑 𝟏 + بالصغة الدكارتة.
المقدار الحل/ = 9 + 24 + 6 + 5 + 5 − 3 − 3
= 9 − 6 + 5 + 3 + 24 + 5 − 3 = + 26
الصيغة الديكارتية 26,
= : إذا كان 2/د2005سؤال −𝟏 + 𝟐 فجد 𝟐 + 𝟑 + بالصغة الدكارتة. 𝟓
+ 3 + 5 = − + 2 + 3 − + 2 + 5
= − 4 + 4 − 3 + 6 + 5 = − + 2
2, − الديكارتية الصيغة
ا مقاسه ) z: إذا كان 1/د2006سؤال وزاري )( وسعته االساسة 4عددا مركبا𝟓
𝟔فجد كال من الشكل الدكارت (
.z د والشكل الجبري للعد
الحل/
=
−
=
2 = −4 3 = −2 3
i
=
=
2 = 4 = 2
= الشكل الجبري −2 3 + 2
= الشكل الديكارتي −2 3, 2
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل األول/ األعــــداد المركــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد
53
+ 𝟐 الحققتن من المعادلة: yو x: جد قمت 1/د2006سؤال وزاري + 𝟐 = 𝟐 + 𝟗 .
+ 2 الحل/ 4 + + 2 = 2 + 9 2 − 2 + 4 + = 2 + 9
2 − 2 = 2 2 = 4 = 2 =
4 + = 9 . 2
4 +
= 9
. ⇒ 4 + 2 = 9 4 − 9 + 2 =
4 − − 2 =
− 4 أما = 4 = =
4 =
2
4
= 8
− أو 2 = = 2 =2
2 =
الحققتن إذا علمت أن: yو x: جد قمت 2/د2006سؤال وزاري
3 − 2 + + = 7
+ 6 الحل/ 3 − 2 − + = + 7
6 + 2 + 3 − 2 = + 7
6 + 2 = ⇒ = −2 =
−
. .
3 − 2 = 7 . 2
3 − 2 (−
) = 7
. ⇒ 3 + 4 = 7 3 − 7 + 4 =
3 − 4 − =
3 − 4 = 3 = 4 =
=
−
=−
=
−
− = = =−
= −2
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل األول/ األعــــداد المركــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد
54
𝟑: جد الجذر التربع للعدد 1/د2007سؤال وزاري + 𝟒 .
3 نفرض الحل/ + 4 = + بالتربيع
3 + 4 = − + 2
− = 3 . . , 2 = 4 ⇒ = 2 =
2
. . 2
−4
= 3
. ⇒ − 4 = 3 − 3 − 4 = − 4 + =
− 4 = = 4 = {2 =
−2 = −
3 + 4 = ,2 + −2 −
): جد المقاس والسعة األساسة للعدد المركب 2/د2007سؤال وزاري 𝟐
𝟏+ ).
الحل/
+ =
+
−
− =
−
=
+
= + = +
المقياس = + = 2 , 𝜃 =
, i 𝜃 =
𝜃 =
𝟏 : جد المقاس والقمة األساسة للسعة للعدد المركب 1/د 2008سؤال وزاري + 𝟑 𝟐
.
+ الحل/ 3 = + 2 3 + 3 = −2 + 2 3
المقياس = 4 + 2 = 6 = 4 , 𝜃 =−
=
−
, i 𝜃 =
=
= −
=
تقع في الربع الثاني
الحققتن واللتان تحققان المعادلة yو x : جد قمت 2/د2008سؤال وزاري
+ 5 = 2 + +
+ الحل/ 5 = 2 + 2 + + + 5 = 2 − + 3
= 2 − . , 5 = 3 =
= 2 (
) − =
− =
−
=
= 4
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل األول/ األعــــداد المركــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد
55
: جد الجذر التربع للعدد:1/د2009سؤال وزاري 𝟏𝟒+𝟐
𝟏+ .
الحل/ +
+ =
+
+
−
−
= − + −
=
−
= 8 − 6
8 نفرض − 6 = + بالتربيع⇒ 8 − 6 = − + 2
− = 8 . . , 2 = −6 ⇒ = −3 =
−
. 2
−9
= 8
. ⇒ − 9 = 8 − 8 − 9 = − 9 + =
يهمل
− 9 = = 9 = {3 = − −3 =
8 − 6 = ,3 − −3 +
𝟒 : حل المعادلة 2/د2009سؤال وزاري + 𝟏𝟑 𝟐 + 𝟑𝟔 = عدد مركب. zحث 𝟎
+ الحل/ 9 + 4 =
+ 9 = = −9 = 9 = 3
+ 4 = = −4 = 4 = 2
مج = {−2 , 2 , −3 , 3 }
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل األول/ األعــــداد المركــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد
56
الحققتن واللتان تحققان المعادلة: yو x: جد قمت 1/د2010سؤال وزاري
+ 𝟑 − 𝟐 = 𝟏𝟐 + 𝟓
− الحل/ 2 + 3 − 6 = 2 + 5 + 6 + −2 + 3 = 2 + 5
+ 6 = 2 = 6 =
.
−2 + 3 = 5 2
−2 + 3(
) = 5
. ⇒ −2 + 8 = 5 2 + 5 − 8 =
2 + 9 − 2 =
2 + 9 = 2 = −9 =−
=
=−
= =
−
− 2 = = 2 =
= = 3
= حث z: جد الجذرن التربعن للعدد المركب 2/د2010سؤال وزاري −𝟏 + 𝟕 𝟏 +
= الحل/ − − + 7 + 7 = −8 + 6
8− نفرض + 6 = + بالتربيع⇒ −8 + 6 = − + 2
− = −8 . , 2 = 6 = 3 =
. . 2
− (
) = −8 −
= −8
. ⇒ − 9 = −8 + 8 − 9 =
+ 9 − =
+ أما 9 = يهمل
− أو = = = { = 3
− = −3
−8 + 6 = , + 3 − − 3
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل األول/ األعــــداد المركــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد
57
: إذا كان 1/د2012سؤال وزاري 𝟐+
𝟑− ,
𝟓
+ الحققتن. y ,xمترافقن, جد قمت
الحل/
+ =
−
+ 2 − + = 5 + 5 + =
+
−
+
+
+ = + + +
+ + =
+
= 5 , = 5 + = 5 + 5
𝟏 ضع بالصغة العادة للعدد المركب المقدار : : 2/د2012سؤال وزاري + 𝟓 + 𝟏 − 𝟓
الحل/
𝟏 + 𝟓 − 𝟏 − 𝟓 = [ 𝟏 + 𝟐]𝟐 𝟏 + − [ 𝟏 − 𝟐]𝟐 𝟏 −
= 𝟏 + 𝟐 + 𝟐 𝟐 𝟏 + − 𝟏 − 𝟐 + 𝟐 𝟐 𝟏 −
= 𝟐 𝟐 𝟏 + − −𝟐 𝟐 𝟏 −
= −𝟒 𝟏 + − −𝟒 𝟏 −
= −𝟒 − 𝟒 + 𝟒 − 𝟒 = −𝟖 = 𝟎 − 𝟖
𝟏 جد قمة : : 1/د2013سؤال وزاري − 𝟏 − 𝟐 𝟏 − 𝟑
𝟏 بصغة أثبت (13)الحل/ ذا السؤال محلول ف الصفحة − 𝟏 − 𝟐 𝟏 − 𝟑 = 𝟒
𝟏 − 𝟏 − 𝟐 𝟏 − 𝟑 = 𝟏 − 𝟏 + 𝟏 [𝟏 − − ] = 𝟏 − 𝟐 [𝟏 + ]
= 𝟏 − 𝟐 + 𝟐 = 𝟐 + 𝟐 − 𝟐 − 𝟐 𝟐 = 𝟐 − 𝟐 𝟐 = 𝟐 + 𝟐 = 𝟒
: 3/د2013سؤال وزاري
𝟐 أذا كان = 𝟓 + 𝟐 , 𝟏 = 𝟑 + 𝟏 وضح ف شكل أرجاند 𝟒 + 𝟐
الحل/
𝟏 = 𝟑 + 𝟒 𝟏 = 𝟑 , 𝟒
𝟐 = 𝟓 + 𝟐 𝟐 = 𝟓 , 𝟐
𝟏 + 𝟐 = 𝟑 = 𝟑 + 𝟒 + 𝟓 + 𝟐
𝟑 = 𝟖 + 𝟔 𝟑 = 𝟖 , 𝟔
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل األول/ األعــــداد المركــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد
58
𝟑 √للمقدار : للجذور الخمسة جد الصغة القطبة: 1/د2014سؤال وزاري + 𝟐𝟓
= 𝟑 + = = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = 𝟑 + 𝟏 = 𝟐
=
=
‖ ‖= 𝟑
𝟐 =
=𝟏
𝟐 =
𝟔
= 𝟐 (
𝟔+
𝟔) 𝟐 = 𝟐𝟐 (
𝟔+
𝟔)𝟐
𝟐 = 𝟒(
𝟑+
𝟑)
𝟐 𝟏𝟓 = 𝟒(
𝟏𝟓) (
𝟑+
𝟑)
𝟏𝟓= 4
4 6
( 𝟑) + 𝟐
𝟓7 + i i 6
( 𝟑) + 𝟐
𝟓75
= 4
6 4
+ 𝟔 𝟑𝟓
5 + 4
+ 𝟔 𝟑𝟓
57
𝟐𝟓
= 𝟒𝟓
[ ( + 𝟔
𝟏𝟓) + (
+ 𝟔
𝟏𝟓)] = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒
= 𝟎 𝟏 = 𝟒𝟓
𝟏𝟓+
𝟏𝟓
= 𝟏 𝟐 = 𝟒𝟓
𝟕
𝟏𝟓+
𝟕
𝟏𝟓
= 𝟐 𝟑 = 𝟒𝟓
𝟏𝟑
𝟏𝟓+
𝟏𝟑
𝟏𝟓
= 𝟑 𝟒 = 𝟒𝟓
𝟏𝟗
𝟏𝟓+
𝟏𝟗
𝟏𝟓
= 𝟒 𝟓 = 𝟒𝟓
𝟐𝟓
𝟏𝟓+
𝟐𝟓
𝟏𝟓 = 𝟒
𝟓
𝟓
𝟑+
𝟓
𝟑
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل األول/ األعــــداد المركــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد
59
= جد الصغة القطبة للعدد المركب : 3/د2014سؤال وزاري 𝟓 − 𝟓
الحل/
= ‖ ‖ = = 𝟐 + 𝟐 = 𝟐𝟓 + 𝟐𝟓 = 𝟓𝟎 = 𝟓 𝟐
=
‖ ‖=
𝟓
𝟓 𝟐 =
𝟏
𝟐 , =
‖ ‖=
−𝟓
𝟓 𝟐 =
−𝟏
𝟐
= 𝟐 −
𝟒 =
𝟕
𝟒 الربع الرابع
= 𝟓 𝟐 𝟕
𝟒+
𝟕
𝟒
𝟐 اذا كان : 2/د2015سؤال وزاري − – 𝟐 𝟐 و أحد جذري المعادلة 𝟒 – + – 𝟔 = 𝟎 ,
, معامالتها حققة , جد قمت
بما ان المعامالت حققة فان الجذران مترافقان الحل/
= 𝟐 − 𝟒 , = 𝟐 + 𝟒
+ = 𝟐 − 𝟒 + 𝟐 + 𝟒 = 𝟒
. = 𝟐 − 𝟒 𝟐 + 𝟒 = 𝟒 + 𝟏𝟔 = 𝟐𝟎
𝟐 – 𝟒 + 𝟐𝟎 = 𝟎 .𝟐 ⇒ 𝟐 𝟐 – 𝟖 + 𝟒𝟎 = 𝟎
+ 𝟏 – 𝟐 𝟐 بالمقارنة مع + − 𝟔 = 𝟎
𝟏 + = 𝟖 = 𝟕
– 𝟔 = 𝟒𝟎 = 𝟒𝟔
: 3/د2015سؤال وزاري
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل األول/ األعــــداد المركــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد
60
𝟑 جد مجموعة حل المعادلة ف مجموعة األعداد المركبة بأستخدام مبر نة دموافر : − 𝟖 = 𝟎 الحل/
𝟑 − 𝟖 = 𝟎 𝟑 = 𝟖 𝟑 = 𝟖 * (
𝟐) + (
𝟐 بالجذر التكعيبي +(
= 𝟐. (
𝟐) + (
𝟐)/
𝟏𝟑
= 𝟐 6 4
𝟐 + 𝟐
𝟑5 + 4
𝟐 + 𝟐
𝟑57
= 𝟐 6 4
+ 𝟒 𝟐𝟑
5 + 4
+ 𝟒 𝟐𝟑
57 = 𝟐 [ ( + 𝟒
𝟔) + (
+ 𝟒
𝟔)]
= 𝟎, 𝟏, 𝟐
= 𝟎 =𝟐 * (
𝟔) + (
𝟔)+ = 𝟐 0
𝟑
𝟐+𝟏
𝟐 1 = 𝟑 +
= 𝟏 =𝟐 [ (𝟓
𝟔) + (
𝟓
𝟔)] = 𝟐 0
− 𝟑
𝟐+𝟏
𝟐 1 =− 𝟑 +
= 𝟏 =𝟐 [ (𝟗
𝟔) + (
𝟗
𝟔)] = 𝟐[𝟎 − ] =−𝟐
{ 𝟑 + , −𝟐 , − 𝟑 + مجموعة الحل للمعادلة هي {
. 𝟖بأستخدام مبر نة دموافر , جد الجذور التكعبة للعدد : 1/د2016سؤال وزاري الحل/
= 𝟖 = = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = 𝟖 𝟐 = 𝟖
=
=
‖ ‖=𝟎
𝟖= 𝟎 , =
=𝟖
𝟖= 𝟏 =
𝟐 الربع االول
𝟑
= 𝟖𝟑
= 𝟖 (𝟏𝟑)=
(𝟏𝟑) +
(𝟏𝟑)= 𝟖
(𝟏𝟑)(
𝟐+
𝟐)(𝟏𝟑)
𝟑
= 𝟖𝟑
4 4
𝟐 + 𝟐
𝟑5 + 4
𝟐 + 𝟐
𝟑55 = 𝟎, 𝟏, 𝟐
= 𝟎 = 2[ (
6) + (
6)] = 𝟐 0
𝟑
𝟐+
𝟏
𝟐1 = 𝟑 +
= 𝟏 = 2[ (5
6) + (
5
6)] = 𝟐 * ( −
6) + ( −
6)+
= 𝟐 *− (
6) + (
6)+ = 𝟐 0
− 𝟑
𝟐+𝟏
𝟐 1 = − 𝟑 +
= 𝟐 = 2[ (9
6) + (
9
6)] = 𝟐 [ (
3
2) + (
3
2)] = 𝟎 + 𝟐 − = −𝟐
𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎الفصل األول/ األعــــداد المركــــــــــــــــبة أعداد/ األستاذ عل حمد
61
األعداد المركبةأسئلة حول
– إذا كان/ 1س , ( حث bi +3أحد الجذرن التربعن للعدد ) أعداد حققة, جد السعة للعدد المركب
= 𝟐 − 𝟑 − 𝟐 − 𝟏𝟗
جد ناته ما ل : / 2س
𝟏 + 𝟑 𝟓− 𝟏 + 𝟑
𝟓
𝟐 𝟏 − 𝟑 𝟒 𝟏
𝟏 − 𝟔
𝟒 𝟏 + 𝟖 𝟑
𝟓 للعدد أوجد الجدور التربعة /3س + 𝟏𝟐
= أذا كان /4س + . , جد قمة 𝟐 عدد مركب مقاسه 𝟑
+ إذا كان /5س =𝟐+
𝟏− 𝟑 ]𝟐فأثبت أن + 𝟑] = 𝟕
𝟏 أذا كان / 6س + + التربعة للعدد المعادلة و أحد الجذور , فجد قمت 𝟒
𝟏 / العدد المركب 7س − 𝟐 و أحذ جذور المعادلة 𝟐 − 𝟐 − + − 𝟕 = , فجد قم 𝟎
𝟐 بأستخدام مبر نة دموافر , حل المعادلة /8س + 𝟐𝟕 = ℂ حث 𝟎
ℂ بطرقتن مختلفتن ف المجموعة التالة حل المعادالت /9س
𝟑 − 𝟖 = 𝟎
𝟐 𝟑 − 𝟖 = 𝟎
𝟏
𝟑 − 𝟔𝟒 = 𝟎
𝟒 𝟑 + 𝟔𝟒 = 𝟎
𝟑
أحسب بأستخدام مبر نة دموافر كالا مما أت : /10س
𝟑 − 𝟕 −𝟏 + 𝟕 𝟏 + 𝟓