ملزمة الرياضيات السادس العلمي2017 - القطوع المخروطية

07703458937المرسل للخدمات الطباعية / 49 07704516937 / الشمرياالستاذ أحمد

2016 / 2017

الرياضيات ملزمة تطبيقي - السادس العلمي


المخروطيالقطع (القطوع المخروطية) الثانيالفصل [ 1 – 2 ]


: (القطوع المخروطية)الثانيالفصل

قطع المخروط الدائري القائم بـ: اذا :تمهيد

مستٍو عمودي على محور المخروط الدائري القائم ويوازي القاعدة وال يحوي رأس المخروط الدائري القائم فان .(Circle)هندسيا يسمى دائرة المقطع يمثل شكلا

ا يسمى القطع المكافئ )مستٍو مواٍز الحد مول (.Parabolaداته فأن المقطع يمثل شكلا هندسيا ا يسمى القطع الناقص مواٍز لقاعدته وال يوازي احد مولمستٍو غير داته فأن المقطع يمثل شكلا هندسيا

(Ellipse.) مستٍو يوازي محور المخروط الدائري القائم ويقطع مولدين من مولدات المخروط الدائري القائم فأن المقطع

ا يسمى القطع الزائد ) (.Hyperbolaيمثل شكلا هندسيا

الحظ االشكال التالية:

مستقيما ثابتا ax + by + c = 0في المستوي , ولتكن ثابتة نقطة )y1x,1(لتكن القطع المخروطي: ]2 – 1[

الى بعدها عن المستقيم )y1x,1(في نفس المستوي , عندئٍذ مجموعة كل النقاط التي نسبة بعد كل منها عن النقطة ا يسمى القطع المخروطي. (e)تساوي عددا ثابتا ax + by + c = 0الثابت تكّون شكلا هندسيا

ان لكل قطع مخروطي ثلثة مفاهيم اساسية هي:تسمى بؤرة القطع )y1x,1(النقطة الثابتة -1

. Focus المخروطييسمى دليل ax + by + c = 0المستقيم الثابت -2

.Directrixالقطع المخروطي تسمى االختلف المركزي (e)النسبة -3

Eccentricity.

هي بؤرة القطع )y1x,1(ولتكن نقطة تقع على القطع المخروطي )x,y(لتكن المعادلة العامة للقطع المخروطي: المخروطي.

S: √(xهي )y1x,1(و ),y x(المسافة بين − x1)2 + (y − y1)2 = S

:Dهي ]c + y b + x a = 0[و الدليل )oy , ox(المسافة بين |a.xo + b.y0 + c |

√a2 + b2 = D

تساوي: eمن تعريف القطع المخروطي فان النسبة

e = √(x−x1)2+(y−y1)2

|ax + by + c |

√a2 + b2

⟹ √(x − x1)2 + (y − y1)2 = e. |ax + by + c |

√a2 + b2

بتربيع الطرفين نحصل على:

(x − x1)2 + (y − y1)2 = e2.(ax + by + c)2

a2 + b2

وهذه تمثل معادلة القطع المخروطي وهي معادلة من الدرجة الثانية.

ملحظة/ e = 1 ⟸ ((Parabola))في القطع المكافئ

e < 1 ⟸ ((Ellipse))في القطع الناقص

e > 1 ⟸ ((Parabola))في القطع الزائد

المكافئ القطع (القطوع المخروطية) الثانيالفصل [ 2 – 2 ]


: )Parabola( المكافئ القطع ]2 – 2 [والتي يكون بعد كل منها عن نقطة ثابتة تسمى البؤرة M(x,y)هو مجموعة من نقط المستوي تعريف:

F(P,0) حيثP > 0 مساويا دائما لبعدها عن مستقيم معلوم يسمى الدليل D⃡ .ال يحوي البؤرة

)رأس القطع Oتسمى النقطة في الرسم التالي:المار بالبؤرة والعمود X ويسمى المستقيم (المكافئ

( , حيث:المكافئ على الدليل )محور القطع

MF = MQ ⟹ MF

MQ= e = 1

من راس القطع الى OPملحظة مهمة / وتسمى المسافة

للقطع المكافئ وهي نفس البعد البؤريالبؤرة بـ :

المسافة من رأس القطع الى الدليل

والرأس في نقطة االصل ) axis –x(الذي بؤرته تنتمي لمحور السينات المكافئ معادلة القطع , والنقطة المكافئ هي بؤرة القطع F(p,0)لتكن النقطة

Q(-p,y) تقع على الدليلD⃡ والنقطة ,M(x,y) تقع علىالذي رأسه في نقطة االصل المكافئ منحني القطع

O(0,0) :كما مبين

: المكافئ من تعريف القطع

MF = MQ ⟹ √(x − p)2 + (y − 0)2 = √(x + p)2 + (y − y)2

بتربيع الطرفين:

(x − p)2 + y2 = (x + p)2 ⟹ x2 – 2xp + p2 + y2 = x2 + 2xp + p2

y2 = x2 + 2xp + p2 - x2 + 2xp - p2 ⟹ ∴ y2 = 4px ∀ 𝐩 > 𝟎

x = -pومعادلة الدليل F(p,0)رأسه نقطة االصل وبؤرته الذيالمكافئ المعادلة القياسية للقطع القطع الى جهة اليمين()فتحة

جهة اليسار )على محور الىالمكافئ كانت فتحة القطع إذااما مبين: كماالسالب( السينات

تكون:فأن معادلته

y2 = -4px ∀ 𝐩 > 𝟎 رأسه نقطة االصل الذيالمكافئ المعادلة القياسية للقطع

فتحة القطع ) x = p) الدليلومعادلة F(-p,0)وبؤرته الى جهة اليسار

Y

X

F(p,0)

M(x,y) Q(-p,y)

O

�⃡�

Y

X F(p,0)

M(x,y) Q(-p,y)

O

�⃡�

Y

X F(-p,0)

M(x,y) Q(p,y)

O

�⃡�



من = p ,0 > x :√𝐩𝐱 ±2y < 0في ضوء مفهوم الدالة : لتكن 4px 2y = مالحظة/ لندرس المعادلة

𝐱 ∀الواضح ان > ليست دالة. yلذلك فان yتوجد قيمتين مختلفتين للمتغير 𝟎

.8x 2y = المكافئ جد البؤرة ومعادلة الدليل للقطع /1مثال معادلته معلومة نتبع الخطوات التالية: مكافئبؤرة او دليل قطع إليجاد الحل/

.كتابة المعادلة بالصيغة القياسية -1 مقارنة المعادلة المعلومة مع معادلة الصيغة القياسية: -2

y2 = 8x y2 = 4px

∴ 4p = 8 ⟹ p = 2 x = -p ⟹ x = -2 معادلة الدليل F(p,0) = F(2,0) إحداثيات البؤرة

-علم: إذارأسه في نقطة االصل المكافئ الذيجد معادلة القطع /2مثال ثم ارسمه x = -1ومعادلة دليله F(1,0)بؤرته (1 والرأس نقطة االصل. F(3,0)بؤرته (2 ورأسه نقطة االصل. 2x-6=0دليل المعادلة (3

الحل/ -:ثم ارسمه x = -1ومعادلة دليله F(1,0)بؤرته (1

اي ان فتحته الى جهة اليمين. x = -1ومعادلة دليله 1مالحظة/ بما ان االحداثي السيني لبؤرته

F(1,0) ⟹ p = 1 y2 = 4px المعادلة القياسية y2 = 4 x معادلة القطع المكافئ

توجد له صورتان x > 0لكل -من خلل الجدول نجد:ملحظة/ , اي ان النقطة 2-و 2توجد له صورتان هما 1فمثل العدد

.(2-,1)ونظيرها (1,2)تنتمي (x,-y)يوجد المكافئ تنتمي للقطع (x,y)لكل -وبصورة عامة :

متناظرا حول محور المكافئ وهذا يعني ان القطع المكافئ للقطع السينات.

-: والرأس نقطة االصل F(3,0)بؤرته (2اي ان فتحته الى جهة 3مالحظة/ بما ان الرأس في نقطة االصل واالحداثي السيني لبؤرته

اليمين.

F(p,0) = (3,0) ⟹ p = 3 ⟹ y2 = 4px المعادلة القياسية y2 = 4 (3) x ⟹ y2 = 12x معادلة القطع المكافئ

-:ورأسه نقطة االصل 2x - 6 = 0معادلة دليله (32x - 6 = 0 معادلة الدليل 2x = 6 ⟹ x = 3 معادلة الدليل

الدليل على محور السينات الموجبرأس القطع في نقطة االصل و ∵

محور السينات السالب اي ان فتحة القطع الى اليسار. المكافئ علىالقطع ∴y2 = -4px ⟹ y2 = -4(3)x ⟹ y2 = -12x معادلة القطع المكافئ

16 4 1 x

8± 4± 2± y

بالمقارنة

Y

X

F(1,0)

(1,2)

(1,-2)

O

�⃡�

(-1,0)

x = -1



ثم ارسمه. , 4x-= 2y المكافئجد بؤرة ودليل القطع /3مثال نجد ان فتحته الى جهة اليسار المكافئمن معادلة القطع الحل/

y2 = -4x y2 = -4px

∴ -4p = -4 ⟹ p = 1 x = p ⟹ x = 1 معادلة الدليل F(-p,0) = F(-1,0) إحداثيات البؤرة

رأسه نقطة االصل ثم مكافئنرسم قطع فإنناكانت البؤرة على السينات السالب إذامالحظة/ .yقيمتن لـ إليجادبنفس اشارة احداثي البؤرة ونعوض في المعادلة xنأخذ جدول يتضمن قيم

والرأس في نقطة االصل. (3,0√)الذي بؤرته المكافئ باستخدام التعريف جد معادلة القطع /4مثال الحل/

.المكافئ من نقط منحني القطع M(x,y)لتكن النقطة

F(√3,0) المكافئ بؤرة القطع.

Q(−√3,0) نقطة تقاطع العمود المرسوم منM مع الدليلD⃡ .


MF = MQ ⟹ ∴ √(x − √3)2

+ y2 = √(x + √3)2


(x − √3)2

+ y2 = (x + √3)2 ⟹ x2 – 2√3x + 3 + y2 = x2 + 2√3x + 3

y2 = x2 + 2√3x + 3 - x2 + 2√3x - 3 ⟹ y2 = 2√3x + 2√3x

y2 = 4√3x معادلة القطع المكافئ

والرأس في نقطة االصل ) axis –y(بؤرته تنتمي لمحور الصادات الذي المكافئ معادلة القطع , المكافئ هي بؤرة القطع F(0,p)لتكن النقطة

M(x,y), والنقطة D⃡تقع على الدليل Q(x,-p)والنقطة الذي رأسه في نقطة المكافئ تقع على منحني القطع

كما مبين: O(0,0)االصل


MF = MQ ⟹ √(x − 0)2 + (y − p)2 = √(x − x)2 + (y + p)2


x2 + (y − p)2 = (y + p)2 ⟹ x2 + y2 – 2yp + p2 = y2 + 2yp + p2

x2 = y2 + 2yp + p2 - y2 + 2yp - p2 ⟹ ∴ x2 = 4py ∀ 𝐩 > 𝟎

-4 -1 x

4± 2± y

بالمقارنةY

X

F(-1,0)

(-1,2)

(-1,-2)

O

�⃡�

(1,0)

x = 1

Y

X F(√3,0)

M(x,y) Q(-√3,y)

O

�⃡�

Y

X

F(0,p) M(x,y)

Q(x,-p)

O �⃡�



y = -pومعادلة الدليل F(0,p)رأسه نقطة االصل وبؤرته الذيالمكافئ المعادلة القياسية للقطع

(فتحة القطع الى االعلى)الموجب البؤرة على محور الصادات

يمكن ان تكتب المعادلة بالصيغةy = 1

4px2

من الواضح ان لكلx ∈ R توجد قيمة واحدة لـy لذلك فانy تمثل دالة للمتغيرx.

)على محور االسفلالى المكافئ اما اذا كانت فتحة القطع كما مبين: السالب( الصادات

فأن معادلته تكون :

x2 = -4py ∀ 𝐩 > 𝟎 رأسه نقطة االصل وبؤرته المكافئ الذيالمعادلة القياسية للقطع

F(0,-p) ومعادلة الدليلy = p

, ثم ارسمه. y = -2ومعادلة دليله F (0,2)رأسه في نقطة االصل وبؤرته المكافئ الذيجد معادلة القطع /5مثال الحل/

F(0,2) = F(0,p) ⟹ p = 2

x2 = 4py فتحة القطع الى االعلى

x2 = 8y معادلة القطع المكافئ

x y

±4 2

اشارته yمالحظة/ لرسم قطع مكافيء بؤرته على محور الصادات ورأسه نقطة االصل نأخذ قيمة لـ .xتشبه اشارة احداثي البؤرة ونعوض في المعادلة اليجاد قيمتين لـ

, اي ان مختلفتان باالشارة xتوجد قيمتان للمتغير y > 0مالحظة/ من مالحظة الجدول نجد ان لكل . (4,2-)ونظيرتها (4,2)النقطة

ايضا, وهذا يعني ان المكافئ تنتمي للقطع (x,y-), توجد المكافئ تنتمي للقطع (x,y)وبصورة عامة : لكل الذي بؤرته على محور الصادات يكون متناظرا حول محور الصادات. المكافئ منحني القطع

.24y = 0 – 23x المكافئ جد البؤرة ومعادلة الدليل للقطع /6مثال

نكتب معادلة القطع بالصيغة القياسية الحل/

3x2 – 24y = 0 ⟹ 3x2 = 24y ⟹ x2 = 24

3 y

x2 = 8y معادلة القطع المكافئ

x2 = 8y x2 = 4py

∴ 4p = 8 ⟹ p = 2 y = -p ⟹ y = -2 معادلة الدليل F(0,p) = F(0,2) إحداثيات البؤرة

Y

X

F(0,2) (-4,2) (4,2)

O

�⃡�

بالمقارنة

Y

X

F(0,-p)

M(x,y)

Q(x,p)

O

�⃡�



علم ان: المكافئ إذاجد معادلة القطع /7مثال والرأس في نقطة االصل. (0,5)بؤرته -1 ورأسه في نقطة االصل. y = 7معادلة الدليل -2

الحل/ البؤرة على محور الصادات الموجب (1

F(0,5) = F(0,p) ⟹ p = 5

x2 = 4py فتحة القطع الى االعلى

x2 = 4(5) y ⟹ x2 = 20y معادلة القطع المكافئ

ورأسه في نقطة االصل. y = 7معادلة الدليل (2 الدليل على محور الصادات الموجب وراس القطع في نقطة االصل ∵

فتحة القطع الى االسفل. ∴y = 7 معادلة الدليل ∴ p = 7

x2 = -4py فتحة القطع الى االسفل

x2 = -4(7)y ⟹ x2 = -28y معادلة القطع المكافئ

(3√,0)الذي رأسه نقطة االصل , وبؤرته المكافئ باستخدام التعريف , جد معادلة القطع /8مثال المكافئ.من نقط منحني القطع M(x,y)لتكن النقطة الحل/

F(0, .المكافئ بؤرة القطع (3√

Q(x, . D⃡مع الدليل Mنقطة تقاطع العمود المرسوم من (3√−

المكافئ:من تعريف القطع

MF = MQ ⟹ √(x − 0)2 + (y − √3)2

= √(x − x)2 + (y + √3)2


x2 + (y − √3)2

= (y + √3)2 ⟹ x2 + y2 – 2√3y + 3 = y2 + 2√3y + 3

x2 = y2 + 2√3y + 3 - y2 + 2√3y - 3 ⟹ x2 = 4√3y معادلة القطع المكافئ

-ان: علم المكافئ إذاجد معادلة القطع /9مثال (2,4) ،(4-,2)سه نقطة االصل ويمر بالنقطتين أر (1 (2,4) ،(4 ,2-)سه نقطة االصل ويمر بالنقطتين أر (2

الحل/ (2,4) ،(4-,2)سه نقطة االصل ويمر بالنقطتين أر (1

متناظرتان حول محور السينات اي (2,4),(4- ,2)النقطتين مالحظة/ ان البؤرة تنتمي الى محور السينات.

y2 = 4px ⟹ 42 = 4 . p . 2 ⟹ 16 = 8 . p ⟹ p = 2

y2 = 4px = 4 . 2 . x ⟹ ∴ y2 = 8x معادلة القطع المكافئ

(2,4) ،(4 ,2-)راسه نقطة االصل ويمر بالنقطتين (2متناظرتان حول محور الصادات اي ان البؤرة تنتمي الى محور (2,4),(4 ,2-)النقطتين مالحظة/ الصادات.

Y

X

F(0, √3) M(x,y)

Q(x,- √3)

O �⃡�

(2,-4)

(2,4)

O

(2,-4)



x2 = 4py ⟹ 22 = 4 . p . 4 ⟹ 4 = 16 . p ⟹ p = 1

4

x2 = 4( 14 ) y ⟹ ∴ x2 = y معادلة القطع المكافئ

.(5-,3)رأسه نقطة االصل ويمر دليله بالنقطة المكافئ الذيجد معادلة القطع /10مثال -هما: يوجد احتمالين للمعادلة القياسية كونه لم يحدد موقع البؤرة الحل/ البؤرة تنتمي الى محور الصادات:اوال/

y = -5 معادلة الدليل فتحة القطع نحو االعلى. ∴

∴ p = 5

x2 = 4py ⟹ ∴ x2 = 20y معادلة القطع المكافئ

البؤرة تنتمي الى محور السينات: ثانيا/x = 3 الدليلمعادلة

فتحة القطع نحو اليسار. ∴

∴ p = 3

y2 = -4px ⟹ ∴ y2 = -12x معادلة القطع المكافئ

بؤرته تقع على االصل،رأسه نقطة مكافئقطع /11مثالتنتمي اليه بحيث ان مجموع (y,2)النقطة السينات،محور

جد معادلة وحدة، 18بعديها عن البؤرة والدليل يساوي .yثم جد قيمة القطع،

الحل/

MF+MQ = 18 MF = MQ من التعريف ∴ MF = 9 , MQ = 9

MF = √(p − 2)2 + (y − 0)2 = 9

كما مبين: MQولكن االسهل ان نأخذ 4px 2y =ويمكن حلها بالتعويض عن y , pهذه المعادلة بمجهولين

MQ = √(2 + p)2 + (y − y)2 = 9 ⟹ √4 + 4p + p2 = 9 ⟹ 4 + 4p + p2= 81

p2 + 4p – 77 = 0 ⟹ (p + 11)(p - 7) = 0

p + 11 = 0 ⟹ p = -11 تهمل الن البؤرة على محور السينات الموجب

p – 7 = 0 ⟹ p = 7

y2 = 4px ⟹ y2 = 28x المعادلة القياسية

من معادلة القطع: Qعند النقطة yنحسب قيمة

y2 = 28x ⟹ y2 = 28(2) = 56 ⟹ ∴ y = ± √56

Y

X

F(-p,0)

(3,-5)

O

�⃡�

Y

X

F(0,p)

(3,-5)

O

D⃡

Y

X F(p,0)

M(2,y) Q(-p,y)

O

�⃡�

(-2,4)

O

(2, 4)

المكافئ لقطع انسحاب المحاور ل (القطوع المخروطية) الثانيالفصل [ 3 – 2 ]


الذي محوره يوازي أحد المحورين المكافئ المعادلة القياسية للقطع :المكافئ نسحاب المحاور للقطع إ ]2 – 3 [

.(h,k)االحداثيين ورأسه النقطة

بؤرته تنتمي لمحور السينات ورأسه في نقطة مكافئتمثل معادلة قطع 4px 2y =ان المعادلة القياسية اوالا/

. O(0,0)االصل

,O̅(hفاذا كان الرأس في اية نقطة k) فان المعادلة 2 = 4p(x – h)(y – k) -تصبح: القياسية

, O̅(h الرأس انسحاب k)

F̅(p البؤرة انسحاب + h , k) x = -p + h الدليل انسحابy محور التناظر انسحاب = k

p ويساوي المسافة بين المكافئ للقطع البعد البؤريهو

ويساوي المسافة بين الرأس ومعادلة F̅والبؤرة O̅الرأس الدليل

السالب المكافئ باالتجاهويمكن ان تكون فتحة القطع لمحور السينات:

عين الرأس والبؤرة ومعادلة المحور ومعادلة الدليل. x 2(y+1))4 =-(2 المكافئ من معادلة القطع /12مثال

الحل/

(y + 1)2 = 4(x - 2)

(y – k)2 = 4p(x – h)

⟹ h = 2 , k = -1

O̅(h , k) = (2, -1) الرأس

4p = 4 ⟹ p = 1

F̅(p+h,k) = F̅(1+2 ,-1) = F̅(3 ,-1) البؤرة

y = k ⟹ y = -1 معادلة المحور x = -p + h ⟹ x = -1 + 2 x = 1 معادلة الدليل

Y

F̅(−p + h, k)

�⃡�

X̅

Y̅

�̅�(h, k)

X

(y – k)2 = -4p(x – h)

F̅(−p البؤرة + h , k) x = p + h معادلة الدليل

y = kمعادلة المحور

بالمقارنة مع المعادلة القياسية للقطع المكافئ

B ابحاالنس بعد

Y

X

F̅(p + h, k)

𝑂

�⃡�

x = -p + h

معادلة الدليل

�̅�

�̅�

�̅�(h, k)



ا/ بؤرته تنتمي لمحور الصادات ورأسه في نقطة مكافئتمثل معادلة قطع 4py 2x =ان المعادلة القياسية ثانيا

. O(0,0)االصل

فان المعادلة O̅(h,k)فاذا كان الرأس في اية نقطة

k) –p(y 4= 2h) –(x -القياسية تصبح :

ومحوره O̅(h,k)الذي رأسه المكافئ المعادلة القياسية للقطع يوازي محور الصادات وفتحة القطع نحو االعلى.

, O̅(h الرأس انسحاب k)

,F̅(h البؤرة انسحاب p + k) y = k - p الدليل انسحابx محور التناظر انسحاب = h

p البعد البؤري

االسفل المكافئ الىويمكن ان تكون فتحة القطع

)االتجاه السالب لمحور الصادات(:

x4+ 2= x yالمكافئ ناقش القطع /13مثال

مربع نصف بإضافةعلى شكل مربع حدانية )مربع كامل( وذلك 2xيجب ان يكون الطرف الذي يحوي الحل/ :4الى الطرفين وهو العدد xمعامل

y + 4 = x2 + 4x + 4

y + 4 = (x + 2)2

(x + 2)2 = y + 4

(x – h)2 = 4p(y – k)

∴ h = -2 , k = -4

4p = 1 ⟹ p = 1

4 القطع مفتوح الى االعلى

O̅(h , k) = (-2 , -4) الرأس

F̅(h, p+k) ⟹ F̅ (-2 , 1

4 – 4) ⟹ F̅ (-2 , – 3

3 4

البؤرة (

y = k – p ⟹ y = -4 - 1

4 ⟹ y = -4

1 4 معادلة الدليل

(x – h)2 = -4p(y – k)

F̅(h , k - p)البؤرة y = p + k معادلة الدليل

x = hمعادلة محور التناظر

y = k+p معادلة الدليل

Y

X

F̅(h, k − p)

𝑂

�⃡�

�̅�

�̅�

�̅�(h, k)

بالمقارنة مع المعادلة القياسية للقطع المكافئ

Y

X

F̅(h, p + k)

𝑂

�⃡�

�̅�

�̅�

�̅�(h, k)

B ابحاالنس بعد



.(3-,3)وبؤرته النقطة (5-,3)رأسه النقطة المكافئ الذيجد معادلة القطع /14مثال x = 3بما ان البؤرة اعلى من الرأس اي ان فتحة القطع الى االعلى ومحور التناظر هو الحل/

∴ (x – h)2 = 4p(y – k) المعادلة القياسية من خلل احداثيات الرأس فان :

F̅(3,-3) = (h , p+k) ⟹ h = 3 , k = -5 p + k = -3 ⟹ p – 5 = -3 ⟹ p = 2

(x – 3)2 = 4(2)(y + 5)

∴ (x – 3)2 = 8(y + 5) معادلة القطع المكافئ

2 - 1حلول التمارين

كل مما يأتي ثم ارسم المنحني البياني لها: المكافئ فيجد المعادلة للقطع (1

والرأس نقطة االصل. (5,0)البؤرة .أ الحل/

F(5,0) ⟹ p = 5 البؤرة على محور السينات الموجب

y2 = 4px ⟹ y2 = 20x معادلة القطع

x = -p ⟹ x = -5 معادلة الدليل

والرأس نقطة االصل. (4-,0)البؤرة .ب F(0,-4) البؤرة على محور الصادات السالب وفتحة القطع الى االسفل الحل/

∴ p = 4

x2 = -4py ⟹ x2 = -16y معادلة القطع

y = p ⟹ y = 4 معادلة الدليل

±4 0 x

-1 0 y

والرأس نقطة االصل. (2√,0)البؤرة .ج

F(0, √2)البؤرة على محور الصادات الموجب وفتحة القطع الى األعلى الحل/

∴ p = √2

x2 = 4py ⟹ x2 = 2√4معادلة القطعy

y = -p ⟹ y = -√2 معادلة الدليل

1 0 x

±2 √5 0 y

Y

X

F(0,-4)

y = 4

O

D⃡

Y

X

F(5,0) O

D⃡

x = -5 معادلة الدليل

Y

X

F(3,-3)

𝑂

�⃡�

�̅�

�̅�

�̅�(3 , −5)



والرأس نقطة االصل.( 4y – 3 = 0)المكافئ معادلة دليل القطع .د الحل/

4y – 3 = 0 ⟹ y = 3

4 الدليل

F(0 , −3

4) ⟹ p =

3

4

نحو االسفلالبؤرة على محور الصادات السالب فتحة القطع

x2 = -4py ⟹ x2 = -3y معادلة القطع

±√3 0 x

-1 0 y

ورأسه في نقطة االصل. (1,2)بؤرته تقع على محور السينات ويمر بالنقطة تمرين اضافي/

البؤرة على محور السينات الموجب وفتحته الى اليمين. الحل/

y2 = 4px معادلة القطع

22 = 4p(1) p نعوض النقطة (1,2) لنجد

∴ p = 1 F(p,0) = (1 , 0) البؤرة x = -p ⟹ x = -1 معادلة الدليل

y2 = 4x معادلة القطع

1 0 x

±2 0 y

:المكافئ في كل مما يأتي جد البؤرة والرأس ومعادلتي المحور والدليل للقطع (2

a) x2 = 4y

الحل/

x2 = 4y

x2 = 4py

4p = 4 ⟹ p = 1 ⟹ ∴ F(0,p) = (0,1) البؤرة y = -p ⟹ y = -1 معادلة الدليل رأس القطع (0 , 0)x = 0 )معادلة المحور )محور الصادات

±√8 0 x

√2 0 y

Y

X

F(1,0) O

D⃡


بالمقارنة

Y

X

F(0,- 3

4)

y = 3

4

O

D⃡



b) 2x + 16y2 = 0

الحل/

2x + 16y2 = 0 ⇒ 16y2 = -2x ⟹ y2 = −2

16 x

y2 = −1

8 x

y2 = -4px

-4p = −1

8 ⟹ 4p =

1

8 ⟹ p =

1

32

c) y2 = -4(x - 2)

الحل/

y2 = -4(x - 2)

(y – 0)2 = -4(x - 2)

(y – k)2 = -4p(x - h)

h = 2 , k = 0 -4 = -4p ⟹ p = 1

d) (x - 1)2 = 8(y – 1)

الحل/

(x - 1)2 = 8(y – 1)

(x – h)2 = 4p(y - k)

h = 1 , k = 1 4p = 8 ⟹ p = 2

e) y2 + 4y + 2x = -6 2012-1

الحل/

y2 + 4y = -2x – 6

الى طرفي المعادلة: yمربع نصف معامل بإضافةيتم ترتيب المعادلة

y2 + 4y + 4 = -2x – 6 + 4

(y + 2)2 = -2x – 2

(y + 2)2 = -2(x + 1)

(y – k)2 = -4p(x - h)

h = -1 , k = -2

-4p = -2 ⟹ p = −2

−4 =

1

2

بالمقارنة

بالمقارنة

بالمقارنة

بالمقارنة

F(−1

32 البؤرة (0 ,

x = 1

32 معادلة الدليل

رأس القطع (0 , 0)y = 0 )معادلة المحور )محور السينات

O̅(h,k) = (2,0) رأس القطع F̅(-p+h k) = (-1+2 , 0) = (1,0) البؤرة

x = p + h = 1+2 = 3 ⟹ x = 3 معادلة الدليل

y = k ⟹ y = 0 معادلة المحور

O̅(h,k) = (1,1) رأس القطع F̅(h ,p+k) = (1 , 2+1) = (1, 3) البؤرة y = -p + k = -2+1= -1 ⟹ y = -1 معادلة الدليل

x = h ⟹ x = 1 معادلة المحور

O̅(h,k) = (-1,-2) رأس القطع

F̅(-p+h , k) =(−12 -1, -2) =(−

32 البؤرة (2-,

x = p + h = 1

2 – 1= −

12 ⟹ x = −


y = k ⟹ y = -2 معادلة المحور



f) x2 + 6x-y = 0

الى طرفي المعادلة: xاضافة مربع نصف معامل 6x = y2 x + ترتيب المعادلة الحل/

x2 + 6x + 9 = y + 9

(x + 3)2 = (y + 9)

(x – h)2 = 4p(y - k)

h = -3 , k = -9

4p = 1 ⟹ p = 1

4

والرأس نقطة االصل. (2,5),(5-,2)يمر بالنقطتين المكافئ الذيجد معادلة القطع (3

البؤرة على محور السينات اذاا والرأس نقطة االصلمتناظرتان حول محور السينات (2,5),(5-,2)النقطتان الحل/ (اليمينالموجب )فتحة القطع الى

∴ y2 = 4px معادلة القطع

: pنعوض اي من النقطتين لنجد قيمة

52 = 4p(2) ⟹ 25 = 8p ⟹ p = 25

8

y2 = 4( 25

8)x في المعادلة القياسية p نعوض

y2 = 25

2 x معادلة القطع المكافئ

والرأس نقطة االصل. (5-,2-) ،(5-,2)يمر بالنقطتين الذيالمكافئ جد معادلة القطع تمرين اضافي/اذاا البؤرة على محور والرأس نقطة االصلمتناظرتان حول محور الصادات (5-,2-),(5-,2)النقطتان الحل/

الصادات السالب )فتحة القطع الى االسفل(

∴ x2 = -4py معادلة القطع

: pنعوض اي من النقطتين لنجد قيمة

22 = -4p(-5) ⟹ 4 = 20p ⟹ p = 1

5

x2 = -4( 1

5) y في المعادلة القياسية p نعوض

x2 = − 4 5

y معادلة القطع المكافئ

جد معادلته علما ان بؤرته تنتمي االصل،والرأس في نقطة (3,4-)بالنقطة المكافئ يمراذا كان دليل القطع (4 الحد المحورين.

-يوجد احتمالين: ∴ المحورين،وبؤرته تنتمي الحد (3,4-)بالنقطة المكافئ يمردليل القطع ∵ الحل/ اوال/ البؤرة على محور السينات:

x = -3 الدليل p = 3 البؤرة على محور السينات الموجب

y2 = 4px المعادلة القياسية

y2 = 12x معادلة القطع المكافئ

بالمقارنة

Y

X

F(3,0) O

D⃡


O̅(h,k) = (-3,-9) رأس القطع

F̅(h ,p+k) = (-3, 1

4 -9) = (-3,-

35

4 البؤرة (

y = -p + k = −14 - 9 ⟹ y = −

374


x = h ⟹ x = -3 معادلة المحور



ثانيا/ البؤرة على محور الصادات:y = 4 الدليل p = 4 البؤرة على محور الصادات السالب

x2 = -4py المعادلة القياسية

x2 = -16y معادلة القطع المكافئ

ثم جد بؤرته ودليله وارسم القطع. A, جد قيمة )1,2(يمر بالنقطة 8y = 0 2Ax +معادلته مكافئقطع (5

1-2011 اي تحقق معادلته: (1,2)القطع يمر بالنقطة الحل/

A(1)2 + 8(2) = 0

A + 16 = 0 ⟹ A = -16

-16x2 + 8y = 0 ⟹ 16x2 = 8y

x2 = 1

2 y

x2 = 4py

4p = 1

2 ⟹ p =

1

8

F(0 , 1

8 البؤرة (

y = - 1


المكافئ:جد معادلة القطع التعريف،باستخدام (6

والرأس نقطة االصل. (7,0)البؤرة .أ الحل/

F(7 , 0) البؤرة x = -7 معادلة الدليل M(x,y) , Q(-p,y) = (-7,y)

من التعريف:

MF = MQ ⟹ √(x − 7)2 + y2 = √(x + 7)2 + 0

(x − 7)2 + y2 = (x + بتربيع الطرفين 2(7

x2 – 14x + 49 + y2 = x2 + 14x + 49 ⟹ ∴ y2 = 28x معادلة القطع المكافئ

±1 0 x

2 0 y

Y

X

F(0,-4)

y = 4

O

D⃡

Y بالمقارنة

X

F(0, 1

8)

𝑂(0,0)

D⃡ y = -p


(1,2) (-1,2)



والرأس نقطة االصل. y = √3معادلة الدليل .ب

y = √3 معادلة الدليل

F(0,- √3) البؤرة

M(x,y) , Q(x,p) = (x, √3) MF = MQ من التعريف

√x2 + (y + √3)2

= √0 + (y − √3)2

x2 + (y + √3)2

= (y − √3)2

x2 + y2 + 2√3y + 3 = y2 - 2√3y + 3

∴ x2 = -4√3y معادلة القطع المكافئ

Y

X

F(0,- √3)

M(x,y)

Q(x, √3)

O

D⃡ y = √3

(Ellipse)الناقصالقطع (القطوع المخروطية) الثانيالفصل [ 4 – 2 ]


(:Ellipse) القطع الناقص ]2 – 4 [القطع الناقص مجموعة من النقط في المستوي التي يكون مجموع بعديها عن نقطتين ثابتتين -تعريف:

2a)البؤرتان( عدد ثابت = , Centerتسمى النقطة التي تقع في منتصف القطعة المستقيمة الواصلة بين البؤرتين بـ )مركز القطع الناقص(

ويقطع القطع الناقص بنقطتين يسميان رأسا Focal axis( المحور البؤريويسمى المستقيم المار بالبؤرتين بـ )

القطع الناقص.

:معادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه على محور السينات ومركزه نقطة االصل :نقطة تنتمي للقطع الناقص P(x,y)لتكن

PF1 + PF2 = 2a من التعريف

√(x − c)2 + (y + 0)2 + √(x + c)2 + (y + 0)2 = 2a

على:نحصل ومن تبسيط هذه المعادلة

𝐱𝟐

𝐚𝟐+

𝐲𝟐

𝐛𝟐= 𝟏

-فيه:هذه المعادلة تمثل معادلة قطع ناقص .(xيكون مقام a) على محور السينات c,0)-(2(c,0) , F1F البؤرتان -1

.a-(2,0) , Va(1V(0, الرأسان -2 .b)-(0,2Mb) , ,0)1M( هما : القطبيناحداثيات نقطتي تقاطعه مع محور الصادات ) -3 .2aوطولها (Major axis) المحور الكبيرقطعة المستقيم الواصلة بين الرأسين تسمى -4 .2bوطولها (Minor axis) المحور الصغيرقطعة المستقيم الواصلة بين القطبين تسمى -5

F1F2المسافة بين البؤرتين -6̅̅ ̅̅ .للقطع الناقص البعد البوريوتدعى 2cتساوي ̅̅

. c 2= b 2a +2 تحقق المعادلة ثلثة اعداد حقيقية موجبة ,c b, a االعداد ان -7

ا a > bو a > c ان -8 .الناقص وال تطبق في القطع الزائد( )فقط في القطع دائما

= eاالختلف المركزي -9 𝐜

𝐚 في القطع الناقص. e < 1اي ان 1ويكون اصغر من

األصل:معادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه على محور الصادات ومركزه نقطة

𝐱𝟐

𝐛𝟐 +𝐲𝟐

𝐚𝟐 = 𝟏

-هذه المعادلة تمثل معادلة قطع ناقص فيه: على محور الصادات c)-0,(2c) , F0,(1Fلبؤرتان ا -1 a-,0(2) , V,a0(1V(الرأسان -2 0b-( 2M) , ,0b)1M,(القطبين -3 .2aوطولها (Major axis)المحور الكبير -4 .2bوطولها (Minor axis)المحور الصغير -5

F1F2المسافة -6̅̅ ̅̅ .البعد البوريوتدعى 2cتساوي ̅̅

c 2= b 2a +2هي a , b , cالعلقة بين -7

8- a > c وa > b دائما.

= eاالختلف المركزي -9 𝐜

𝐚 e < 1اي ان 1ويكون اصغر من

F2

F1

(0,-c)

(0,c)

بؤرة

بؤرة

V2(0, -a)

M1(b,0) قطب

M2 قطب

رأس

V1(0,a) رأس P(x,y)

(-b,0)

F2 F1

(-c,0) (c,0) بؤرة

بؤرةV2

(-a,0)

M1(0,b)

قطب

M2(0,-b) قطب

رأس رأس

V1

(a,0)

P(x,y)

y

x



-مالحظات:

Area (A): 𝝅A = a bمساحة منطقة القطع الناقص -1

P( Perimeter : √𝐚𝟐+𝐛𝟐(محيط القطع الناقص -2

𝟐 𝟐𝝅= P

منحني القطع الناقص يكون متناظراا حول محور السينات وحول محور الصادات وحول نقطة االصل. -3 :يما يأتمن معادلة قطع ناقص يجب ان يتوفر a , bاليجاد -4

a. 1 يساوييجب ان يكون الطرف االيمن للمعادلة.

b. 2يجب ان يكون معاملx 1 يساويفي البسط.

c. 2يجب ان يكون معاملy 1 يساويفي البسط.

فالبؤرتان على محور السينات. 2yاكبر من مقام 2xاذا كان مقام -5

فالبؤرتان على محور الصادات. 2yاقل من مقام 2xاذا كان مقام -6احداثياتها يساوي صفر( فهي أحدالناقص )يمر( عندما تنتمي الحد المحورين االحداثيين )نقطة مرور القطع -7

.bأو aاي ان االحداثي االخر اما قطب،اما نقطة رأس او نقطة

المركزي.في كل مما يأتي جد طول كل من المحورين واحداثيي كل من البؤرتين والرأسين واالختلف /15مثال

1) x2

25+

y2

16= 1

المعادلة القياسية نقارن معفالبؤرتان على محور السينات لذلك 2yاكبر من مقام 2xاذا كان مقام الحل/x2

25+

y2

16= 1

x2

a2 +y2

b2 = 1

a2 = 25 ⇒ a = 5 ⇒ 2a = 10 المحور الكبير b2 = 16 ⇒ b = 4 ⇒ 2b = 8 المحور الصغير

a2 = b2 + c2 ⇒ 25 = 16 + c2 ⇒ c2 = 9 ⇒ c = 3

e = c

a =

3

5 الختلف المركزي

F1(3,0) , F2(-3,0) البؤرتان

V1(5,0) , V2(-5,0) الرأسان

2) 4x2 + 3y2 = 4

3

من خلل قسمة الطرفين على نقوم بترتيب المعادلة الحل/ 4

3

3x2 + 9

4y2 = 1 ⇒

x2 1

3

+ y2 4

9

= 1

x2 1

3

+ y2 4

9

= 1

x2

b2 + y2

a2 = 1

a2 = 4

9 ⇒ a =

2

3 ⇒ 2a =

4

3 المحور الكبير

b2 = 1

3 ⇒ b =

1

√3 ⇒ 2b =

2

√3 المحور الصغير

بالمقارنة

بالمقارنة



c2 = a2 - b2 ⇒ c2 = 4

9 −

1

3 ⇒ c2 =

1

9 ⇒ c =

1

3

F(0,± 1

3 البؤرتان (

V(0,± 2

3 الرأسان (

e = c

a =

1

3

2

3 =

1

2 االختلف المركزي 1 >

3) 4x2 + y2 = 4

4من خلل قسمة الطرفين على نقوم بترتيب المعادلة الحل/

x2 + 1

4 y2 = 1 ⇒

x2

1 +

y2

4 = 1

البؤرتان على محور الصادات:

x2

1 +

y2

4 = 1

x2

b2 +y2

a2 = 1

a2 = 4 ⇒ a = 2 ⇒ 2a = 4 المحور الكبير b2 = 1 ⇒ b = 1 ⇒ 2b = 2 المحور الصغير

c2 = a2 – b2 ⇒ c2 = 4 – 1 ⇒ c2 = 3 ⇒ c = √3

F(0,± √3) البؤرتان

V(0,± 2) الرأسان

e = c

a =

√3


ويقطع جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة االصل وينطبق محوراه على المحورين االحداثيين , /16مثالوحدة , ثم جد المسافة بين بؤرتيه 12وحدات ومن محور الصادات جزءاا طوله 8من محور السينات جزءاا طوله

ومساحة منطقته ومحيطه. من محور السينات أكبرالقطع الناقص يقطع من محور الصادات الحل/

البؤرتان على محور الصادات ∴2a = 12 ⇒ a = 6

2b = 8 ⇒ b = 4 x2

b2 +y2

a2 = 1 ⇒ x2

16+

y2

36= المعادلة 1

c2 = a2 - b2 ⇒ c2 = 36 – 16 = 20 ⇒ c = √20 = 2√5

2c = 4√5 المسافة بين البؤرتين

A = a.b.𝜋 = 6(4) 𝜋 = 24𝜋 unit2 المساحة

P = 2𝜋√a2+b2

2 = 2𝜋√

36+16

2 = 2𝜋 √

52

2 = 2𝜋 √26 unit المحيط

بالمقارنة



ومجموع بعدي اية F3(1F , (2,0)-03,(جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة االصل وبؤرتاه /17مثال وحدات. 10نقطة تنتمي اليه عن البؤرتين يساوي

البؤرتان على محور السينات الحل/F1(3,0) , F2(-3,0) ⇒ c = 3

2a = 10 ⇒ a = 5

a2 = b2 + c2 ⇒ 25 = b2 + 9 ⇒ b2 = 16 ⇒ b = 4 x2

a2 +y2

b2 = 1 ⇒ x2

25+

y2


على محور السينات , والمسافة بين البؤرتين جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة االصل وبؤرتاه /18مثال وحدة. 2وحدات والفرق بين طولي المحورين 6

الحل/2c = 6 ⇒ c = 3

2a – 2b = 2 ⇒ a – b = 1 ⇒ a = b + 1 ……….

a2 = b2 + c2 ……….. :في نعوض

(b+1)2 = b2 + 9 ⇒ b2 + 2b + 1 = b2 + 9 ⇒ 2b + 1 = 9 ⇒ 2b = 8 ⇒ b = 4 a = b + 1 ⇒ a = 4 + 1 = 5 x2

25+

y2


جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة االصل ومحوره الكبير على محور الصادات ويمر بالنقطتين /19مثال

والنسبة بين طولي محوريه (4,0-) , (4,0) 2

5.

.نقطبيالعلى محور السينات اي ان النقطتين هما (4,0-) , (4,0)البؤرتان على محور الصادات والنقطتين الحل/

∴ b = 4 ⇒ ∴ x2

b2 +y2

a2 = 1

2b

2a=

2

5 ⇒

8

2a=

2

5 ⇒ 4a = 40 ⇒ ∴ a = 10 من النسبة بين طولي محوريه

x2

16+

y2


جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة االصل ومحوره الكبير على محور السينات وتبعد احدى /20مثال على الترتيب. 3 , 7بؤرتيه عن الرأسين بالعددين

الحل/2a = 3 + 7 = 10 ⇒ a = 5

c = 5 – 3 = 2

a2 = b2 + c2 ⇒ 25 = b2 + 4 ⇒ b2 = 21

x2

25+

y2


F1

V2

(-a,0)

V1

(a,0)

3 7

c a



.k, جد قيمة )3,0(معادلة قطع ناقص , مركزه نقطة االصل , احدى بؤرتيه 4y 2kx +2 36 =لتكن /21مثال

36نكتب المعادلة بالصيغة القياسية وذلك بقسمة المعادلة على الحل/

kx2 + 4y2 = 36 ⇒ x2

36

k

+y2

9= 1

a2 = 36

k , b2 = 9 , c2 = 9 البؤرتان على محور السينات

a2 = b2 + c2 ⇒ 36

k = 9 + 9 = 18 ⇒ k =

36

18 = 2

6والعدد الثابت = F2(1F , (2,0)-02,(ادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه باستخدام التعريف , جد مع /22مثال وحدات.

نقطة تنتمي للقطع الناقص P(x,y)لتكن الحل/PF1 + PF2 = 2a من التعريف

√(x − 2)2 + (y + 0)2 + √(x + 2)2 + (y − 0)2 = 6

√(x − 2)2 + y2 = 6 - √(x + 2)2 + y2

(x − 2)2 + y2 = 36 - 12√(x + 2)2 + y2+ (x + 2)2 + y2 تربيع الطرفين

x2 –4x +4 +y2 = 36 - 12√(x + 2)2 + y2 + x2 +4x +4 +y2

–4x = 36 - 12√(x + 2)2 + y2 + 4x ⇒ 12√(x + 2)2 + y2 = 36 + 8x

3√(x + 2)2 + y2 = 9 + 2x 4بالقسمة على

9((x + 2)2 + y2) = 81 + 36x + 4x2 ⇒ 9(x2 + 4x + 4 + y2) = 81 + 36x + 4x2

9x2 + 36x + 36 + 9y2 = 81 + 36x + 4x2 ⇒ 9x2 + 36 + 9y2 = 81 + 4x2

5x2 + 9y2 = 81 – 36 ⇒ 5x2 + 9y2 = 45 45 بقسمة الطرفين على

x2

9+

y2


المكافئ بؤرتيه بؤرة القطع وإحدى االصل،جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة /23مثال

12x = 0 – 2y وحدات. 10وطول محوره الصغير البؤرة: المكافئ إليجادنستخدم معادلة القطع الحل/

y2 – 12x = 0 y2 = 12x y2 = 4px 4p = 12 ⇒ p = 3

وهي احدى بؤرتي القطع الناقص. F(3,0)المكافئ بؤرة القطع ∴ 3,0(1F(, 2F)-3,0(بؤرتي القطع الناقص

∴ c = 3 2b = 10 ⇒ b = 5

a2 = b2 + c2 ⇒ a2 = 25 + 9 = 34

x2

34+

y2


بالمقارنة

الناقصلقطع انسحاب المحاور ل (القطوع المخروطية) الثانيالفصل [ 5 – 2 ]


الناقص هو نقطة تقاطع محوري التناظر , فاذا ان مركز القطع انسحاب المحاور للقطع الناقص: ]2 – 5 [

نحصل على قطع ناقص في فإنناوالمحوران يوازيان المحورين االحداثيين (h , k)كان المركز عن النقطة االحداثيات الجديدة وكما يأتي:

)h,k(المعادلة القياسية للقطع الناقص الذي محوره االكبر يوازي المحور السيني ومركزه النقطة من الوحدات وعلى hعلى محور السينات بمقدار O(0,0)عند انسحاب القطع الناقص الذي مركزه نقطة االصل

-من الوحدات تصبح المعادلة القياسية للقطع الناقص: k محور الصادات بمقدار

(𝐱 − 𝐡)𝟐

𝐚𝟐+

(𝐲 − 𝐤)𝟐

𝐛𝟐= 𝟏

انسحاب المركز: �̅�(𝐡 , 𝐤)

انسحاب البؤرتين:

(c + h , k) , �̅�𝟐 (h - c , k) �̅�𝟏

انسحاب الرأسين:

(a + h , k) , �̅�𝟐 (h - a , k) �̅�𝟏

انسحاب القطبين:

(h , k + b) , �̅�𝟐(h , k - b) �̅�𝟏

2 طوله المحور الكبيرa الوحدات،من y = kومعادلته

2المحور الصغير طولهb الوحدات،من x = hومعادلته

)h,k(المعادلة القياسية للقطع الناقص الذي محوره االكبر يوازي المحور الصادي ومركزه النقطة

من الوحدات وعلى hعلى محور السينات بمقدار O(0,0)عند انسحاب القطع الناقص الذي مركزه نقطة االصل -من الوحدات تصبح المعادلة القياسية للقطع الناقص: kمحور الصادات بمقدار

(𝐱 − 𝐡)𝟐

𝐛𝟐+

(𝐲 − 𝐤)𝟐

𝐚𝟐= 𝟏

انسحاب المركز�̅�(𝐡 , 𝐤)

انسحاب البؤرتين:

)k + c- h ,(2�̅�) , k + ch , ( �̅�𝟏

انسحاب الرأسين:

)k + a- h ,(2�̅�) , k + ah , ( �̅�𝟏

انسحاب القطبين:

)k, b- h(2�̅�) , k ,b + h( �̅�𝟏

الصاداتالمحور الكبير يوازي محور x = hومعادلته الوحدات،من 2aوطوله

السينات المحور الصغير يوازي محور y = kومعادلته الوحدات،من 2bوطوله

F̅2

F̅1

(h ,k-a)

(h ,c+k)

M̅1

(b+h ,k)

V̅1 (h ,a+k)

𝑋

𝑌

�̅�

�̅�

ℎ

𝑘

V̅2

M̅2

(h-b ,k)

(h,k-c)

F̅2 F̅1

(h-c ,k) (c+h ,k)

M̅1(h ,k-b)

V̅1

(a+h ,k)

𝑋

𝑌

�̅�

�̅�

ℎ

𝑘

V̅2

(h-a ,k)

M̅2(h ,k+b)



جد البؤرتين والرأسين وطول ومعادلة كل من المحورين للقطع الناقص الذي معادلته : /24مثال(x−2)2

9+

(y−1)2

25= .e, ثم جد قيمة 1

بالمقارنة مع المعادلة القياسية , المحور الكبير يوازي محور الصادات الحل/(x−2)2

9+

(y−1)2

25= 1

(x−h)2

b2 +(y−k)2

a2 = 1

b2 = 9 ⇒ b = 3

a2 = 25 ⇒ a = 5 h = 2 , k = 1

a2 = b2 + c2 ⇒ 25 = 9 + c2

c2 = 25 – 9 = 16 ⇒ c = 4

�̅�(h , k) = (2,1) : المركز 2a = 10 unit :طول المحور الكبير x = 2 :معادلة المحور الكبير 2b = 6 unit :طول المحور الصغير y = 1 :معادلة المحور الصغير

F̅1(h , c+k) = (2, 4+1) = (2,5)

F̅2(h , k-c) = (2, -4+1) = (2,-3)

V̅1(h , a+k) = (2,5+1) = (2,6)

V̅2(h , k-a) = (2,-5+1) = (2,-4)

e = c

a =

4


2 - 2حلول التمارين عين كل من البؤرتين والرأسين والقطبين والمركز ثم جد طول ومعادلة كل من المحورين واالختلف المركزي (1

معادالتها في كل مما يأتي:للقطوع الناقصة المبينة

a. x2 + 2y2 = 1 يتم ترتيب المعادلة : الحل/

x2 + 2y2 = 1

x2

1+

y2

1

2

= 1

x2

a2+

y2

b2 = 1

𝑂(h , k) = (0,0) المركز

a2 = 1 ⟹ a = 1

b2 = 1

2 ⟹ b =

1

√2

a2 = b2 + c2 ⟹ 1 = 1

2 + c2

c2 = 1

2 ⟹ c =

1

√2

بالمقارنة

F(±1

√2 البؤرتان (0 ,

V(±1, 0) الرأسان

M(0, ±1

√2 القطبان (

2a = 2(1) = 2unit طول المحور الكبير y = 0 معادلة المحور الكبير

2b = 2(1

√2) = √2 unit طول المحور الصغير

x = 0 معادلة المحور الصغير

e = c

a =

1

√2

1 =

1

√2 االختلف المركزي 1 >

F̅2

F̅1

(2 ,-4)

(2 ,5)

M̅1

(5 ,1)

V̅1 (2 ,6)

𝑋

𝑌

�̅�

�̅�

2

1

V̅2

M̅2

(-1 ,1)

(2,-3)

البؤرتان

الرأسان

بالمقارنة



b. 9x2 + 13y2 = 117

المعادلة:يتم ترتيب الحل/

9x2 + 13y2 = 117 ⟹ 9x2

117+

13y2

117= 1

x2

13+

y2

9= 1

a2 = 13 ⟹ a = √13

b2 = 9 ⟹ b = 3

c2 = a2 - b2 ⟹ c2 =13 -9 = 4 ⟹ c = 2

𝑂(h , k) = (0,0) المركز

F(±2, 0) البؤرتان V(±√13, 0) الرأسان M(0, ±3) القطبان 2a = 2(√13) = 2√13 unit طول المحور الكبير y = 0 معادلة المحور الكبير 2b = 2(3) = 6 unit طول المحور الصغير x = 0 معادلة المحور الصغير

e = c

a =

2

√13 االختلف المركزي 1 >

c. (x−4)2

81+

(y+1)2

25= 1 2013-2

الحل/(x−4)2

81+

(y+1)2

25= 1

(x−h)2

a2 +(y−k)2

b2 = 1

بالمقارنة:a2 = 81 ⟹ a = 9

b2 = 25 ⟹ b =5

c2 = a2 - b2 = 81 – 25 = 56 ⟹ c = √56

2a = 2(9) = 18unit طول المحور الكبير y = k ⟹ y = -1 معادلة المحور الكبير 2b = 2(5) = 10 unit طول المحور الصغير x = h ⟹ x = 4 معادلة المحور الصغير

e = c

a =

√56


h = 4 , k = -1

المحور الكبير يوازي المحور

�̅�(𝟒,−𝟏)السيني , المركز

2yاكبر من مقام 2xالبؤرتان على محور السينات ألن مقام

:البؤرتان

F̅1(c+h, k) = (√56+4, -1) F̅2 (-c+h, k) = (-√56+4, -1)

:الرأسانV̅1(a+h, k) = (13, -1) V̅2 (-a+h, k) = (-5, -1)

:القطبانM̅1(h, b+k) = (4, 4) M̅2 (h, -b+k) = (4, -6)



d. (x+3)2

9+

(y+2)2

25= ت-2015 2013-1 1

الحل/(x+3)2

9+

(y+2)2

25= 1

(x−h)2

b2 +

(y−k)2

a2 = 1

a2 = 25 ⟹ a = 5

b2 = 9 ⟹ b =3

c2 = a2 - b2 ⟹ c2 = 25 – 9 = 16

c = 4 2a = 2(5) = 10unit طول المحور الكبير x = h ⟹ x = -3 معادلة المحور الكبير 2b = 2(3) = 6 unit طول المحور الصغير y = k ⟹ y = -2 معادلة المحور الصغير

e = c

a =

4


e. 9x2 + 16y2 – 72x – 96y + 144 = 0 نقوم بترتيب المعادلة: الحل/

9x2 + 16y2 – 72x – 96y + 144 = 0 ⟹ 9x2 – 72x + 16y2 – 96y = -144 مرتين لطرفي المعادلة: 144نضيف

9x2 – 72x + 144 + 16y2 – 96y +144 = -144 + 144 + 144

9)x2 – 8x + 16) + 16(y2 – 6y + 9) = 144 ⟹ 9)x - 4)2 + 16(y – 3)2 = 144 ÷144

(x−4)2

16+

(y−3)2

9= 1

(x−h)2

a2 +(y−k)2

b2 = 1

:بالمقارنةa2 = 16 ⟹ a = 4

b2 = 9 ⟹ b = 3

c2 = a2 - b2 ⟹ c2 = 16 – 9 = 7

c = √7

f. x2 + 25y2 + 4x – 150y + 204 = 0 نقوم بترتيب المعادلة: الحل/

x2 + 25y2 + 4x – 150y + 204 = 0

x2 + 4x + 25y2 – 150y = -204

: 225و 4نضيف لطرفي المعادلة

x2 + 4x + 4 + 25y2 – 150y + 225 = -204 + 4 + 225

)x2 + 4x + 4) + 25(y2 – 6y + 9) = 25 ⟹ )x + 2)2 + 25(y – 3)2 = 25 ÷25

بالمقارنة

h = 4 , k = 3

المحور الكبير يوازي المحور السيني ,

�̅�(4, 3)المركز

h = -3 , k = -2

المحور الكبير يوازي , الصاديالمحور

�̅�(-3, -2)المركز

:البؤرتان

F̅1(h, c+k) = (-3, 2) F̅2 (h, -c+k) = (-3, -6)

:الرأسانV̅1(h, a+k) = (-3, 3) V̅2 (h, -a+k) = (-3, -7)

:القطبانM̅1(b+h, k) = (0, -2) M̅2 (-b+h, k) = (-6, -2)

F̅1 (√7+4, +3),F̅2 (-√7+4, +3) البؤرتان V̅1 (8, 3) , V̅2 (0, 3) الرأسان M̅1 (4, 6) , M̅2 (4, 0) القطبان

2a = 2(4) = 8unit طول المحور الكبير y = k ⟹ y = 3 الكبيرمعادلة المحور 2b = 2(3) = 6 unit طول المحور الصغير x = h ⟹ x = 4 معادلة المحور الصغير

e = c

a =

√7




(x+2)2

25+

(y−3)2

1= 1

(x−h)2

a2 +(y−k)2

b2 = 1

:بالمقارنةa2 = 25 ⟹ a = 5 b2 = 1 ⟹ b =1

c2 = a2 - b2 ⟹ c2 = 25 – 1 = 24

c = √24 = 2√6

F̅1 (2√6-2, 3) , F̅2 (-2√6-2, 3) البؤرتان V̅1 (3, 3) , V̅2 (-7, 3) الرأسان M̅1 (-2, 4) , M̅2 (-2, 2) القطبان

جد المعادلة القياسية للقطع الناقص الذي مركزه في نقطة االصل في كل مما يأتي: (2a. 1-2015 وحدة. 12وطول محوره الكبير يساوي (5,0),(5,0-)البؤرتان هما النقطتان

البؤرتان على محور السينات الحل/

F1(5, 0) , F2(-5, 0) ⟹ c = 5

2a = 12 ⟹ a = 6 ⟹ a2 = 36 a2 = b2 + c2 a,c نعوض عن

36 = b2 + 25 ⟹ b2 = 11 ⟹ x2

36+

y2

11= المعادلة القياسية 1

b. ويتقاطع مع محور السينات (2±,0)البؤرتان هماx = ±4. البؤرتان على محور الصادات الحل/

F1 (0, 2) , F2 (0, -2) ⟹ c = 2

(4,0-) , (4,0)البؤرتان على محور الصادات , والقطع الناقص يتقاطع مع محور السينات عند نقطتي التقطاع ∵ تمثلن القطبين: (4.0-) , (4,0)النقطتان ∴

b = 4 a2 = b2 + c2 a,c نعوض عن

a2 = 16 + 4 ⟹ a2 = 20 ⟹ x2

16+

y2


c. وحدة على الترتيب. 1 , 5احدى بؤرتيه تبعد عن نهايتي محوره الكبير بالعددين نأخذ االحتمالين كما مبين: فإننابما انه لم يحدد موقع البؤرتين على اي محور الحل/

البؤرتان على محور السينات: (12a = 5 + 1 = 6 ⟹ a = 3

c = 3 – 1 = 2 a2 = b2 + c2 a,c نعوض عن 9 = b2 + 4 ⟹ b2 = 5

x2

9+

y2


h = -2 , k = 3

المحور الكبير يوازي المحور السيني ,

�̅�(-2, 3)المركز

F1

V2

(-a,0)

V1

(a,0)

1 5

c a

2a = 2(5) = 10unit طول المحور الكبير y = k ⟹ y = 3 معادلة المحور الكبير 2b = 2(1) = 2 unit طول المحور الصغير x = h ⟹ x = -2 معادلة المحور الصغير

e = c

a =

2√6

5الختلف المركزيا 1 >



البؤرتان على محور الصادات: (2

x2

5+

y2


d. = االختلف المركزي 1

2 وحدة طولية. 12وطول محوره الصغير

نأخذ االحتمالين كما مبين: فإننابما انه لم يحدد موقع البؤرتين على اي محور الحل/ البؤرتان على محور السينات: (1

2b = 12 ⟹ b = 6

e = c

a ⟹ a =

c

e =

c 1

2

⟹ a = 2c

a2 = 4c2 ……………❶ a2 = b2 + c2 ………❷

:❷في المعادلة ❶من معادلة 2aوقيمة b= 6نعوض قيمة 4c2 = 36 + c2

3c2 = 36 ⟹ c2 = 12

a2 = 4c2 = 4 . 12 = 48 ❶ في المعادلة c2 نعوض قيمة x2

48+

y2


الصادات:البؤرتان على محور (2

x2

36+

y2


e. وحدة. 3وحدات , ونصف محوره الصغير يساوي 8المسافة بين بؤرتيه تساوي الحل/

كانت البؤرتان على المحور السيني: إذا (12c = 8 ⟹ c = 4 , b = 3 a2 = b2 + c2 ⟹ a2 = 9 + 16 ⟹ a2 =25 ⟹ a = 5

x2

25+

y2


:الصاديكانت البؤرتان على المحور إذا (2

x2

9+

y2


:السابقةاضافية من السنوات فروعf. وحدة. 16ومجموع طولي محوريه (0.6),(6-.0)رأساه

الحل/V1 (0, -6) , V2 (0, 6) ⟹ a = 6 البؤرتان على محور الصادات 2a + 2b = 16 ÷2

a + b = 8 ⟹ 6 + b = 8 ⟹ b = 2 ⟹ x2

4+

y2


g. اضلع المستطيلa,b,c,d مماسات له حيثa(4,3) , b(-4,3) , c(-4,-3) , d(4,-3) . الحل/

2a = 8 ⇒ a = 4 2b = 6 ⇒ b = 3 البؤرتان على محور السينات

x2

16+

y2


3

3

4 4



h. 2يمر بنقطتي تقاطع المستقيمx + y = 8 .مع المحورين االحداثيين الحل/

2x + y = 8 في نقطة التقاطع مع محور الصادات: y لنحدد قيمة x = 0نأخذ

x = 0 ⇒ y = 8 ⇒ (0,8) في نقطة التقاطع مع محور السينات: x قيمة لنحدد y = 0نأخذ

y = 0 ⇒ 2x = 8 ⇒ x = 4 ⇒ (4,0) (4,0) , (0,8)اذا القطع الناقص يمر بالنقطتين a = 8 , b = 4البؤرتان على محور الصادات :

x2

16+

y2


i. (3,0) , (3,0-)وحدات ويمر بالنقطتيــــن 6المسافة بين بؤرتيه. الحل/

2c = 6 ⟹ c = 3 (3,0) , (3,0-)يمر بالنقطتيــــن

اذا كانت نقطة تنتمي )تمر( للقطع الناقص , وتقع على احد المحورين )اي ان احد احداثييها صفر( فان االحداثي .bاو aاالخر اما

a > cالن a = 3 ال يمكن ان يكونb = 3

اي ان البؤرتين على محور الصادات: هما قطبي القطع الناقص (3,0) , (3,0-)النقطتين ∴a2 = b2 + c2 ⟹ a2 = 9 + 9 ⟹ a2 =18

x2

9+

y2


j. (3-,2)ويمر بالنقطة (2,0) , (2,0-)البؤرتان. الحل/

F1 (2, 0) , F2 (-2, 0) ⟹ c = 2 البؤرتان على محور السينات

تحقق المعادلة: (3-,2)النقطة x2

a2 +y2

b2 = 1

4

a2 +9

b2 = 1 . a2.b2

4b2 + 9a2 = a2.b2 ……..…..❶ a2 = b2 + c2 = b2 + 4

:2b 4 +بـ 2aعن ❶نعوض في

4b2 + 9(b2 + 4) = (b2 + 4).b2 ⟹ 4b2 + 9b2 + 36 = b4 + 4b2 9b2 + 36 = b4 ⟹ b4 - 9b2 – 36 = 0 ⟹ (b2-12)(b2+3) = 0

b2 - 12 = 0 ⇒ b2 = 12 , b2+3≠0 تهمل a2 = b2 + 4 = 12 + 4 = 16

x2

16+

y2




F1 (2, 0) , F2 (-2, 0) , P(2,-3) ⟹ c = 2 /طريقة ثانية للحل PF1 + PF2 = 2a التعريف

√(2 − 2)2 + (−3)2 + √(2 + 2)2 + (−3)2 = 2a

√9 + √16 + 9 = 2a ⟹ √9 + √25 = 2a ⟹ 3 + 5 = 2a ⇒ 2a = 8 ⇒ a = 4

a2 = b2 + c2 ⇒ 16 = b2 + 4 ⇒ b2 = 12

x2

16+

y2


باستخدام التعريف جد معادلة القطع الناقص اذا علم: (3a. ومركزه نقطة االصل (3±,0)وراساه النقطتان (2±,0)بؤرتاه النقطتان.

البؤرتان تنتميان للمحور الصادي الحل/MF1 + MF2 = 2a = 6 التعريف

√(x − 0)2 + (y − 2)2 + √(x − 0)2 + (y + 2)2 = 6

√x2 + (y − 2)2 = 6 - √x2 + (y + 2)2

x2 + (y − 2)2 = 36 - 12√x2 + (y + 2)2 + x2 + (y + 2)2

x2 + y2 − 4y + 4 = 36 - 12√x2 + (y + 2)2 + x2 + y2 + 4y + 4

−4y = 36 - 12√x2 + (y + 2)2 + 4y

12√x2 + (y + 2)2 = 36 + 8y ÷ 4

3√x2 + (y + 2)2 = 9 + 2y تربيع الطرفين

9(x2 + (y + 2)2) = 81 + 36y + 4y2

9x2 + 9y2 + 36y + 36 = 81 + 36y + 4y2

9x2 + 5y2= 81- 36 = 45 ÷ 45

x2

5+

y2


b. ومركزه نقطة االصل.والبؤرتان تقعان على محور السينات 10وحدة والعدد الثابت 6المسافة بين البؤرتين 6المسافة بين البؤرتين الحل/

2c = 6 ⇒ c = 3 2a = 10 ⟹ a = 5 = البعد الثابتMF1 + MF2 = 2a

√(x + 3)2 + (y − 0)2 + √(x − 3)2 + (y − 0)2 = 2a = 10

√(x + 3)2 + y2 = 10 - √(x − 3)2 + y2 تربيع الطرفين

(x + 3)2 + y2 = 100 - 20√(x − 3)2 + y2 + (x − 3)2 + y2

x2 + 6x + 9 = 100 - 20√(x − 3)2 + y2 + x2 − 6x + 9

6x = 100 - 20√(x − 3)2 + y2 −6x

20√(x − 3)2 + y2 = 100 − 12x ÷ 4

5√(x − 3)2 + y2 = 25 − 3x تربيع الطرفين

25((x − 3)2 + y2) = 625 − 150x + 9x2

25(x2 − 6x + 9 + y2) = 625 − 150x + 9x2

25x2 − 150x + 225 + 25y2 = 625 − 150x + 9x2

16x2 + 25y2 = 400 ÷ 400

x2

25+

y2


F2 (0,-2)

F1 (0,2)

V2(0, -3)

V1(0,3)

M(x,y)

F2

F1

M(x,y)

3

3



معادلته المكافئ الذيبؤرتيه هي بؤرة القطع وإحدىة القطع الناقص الذي مركزه نقطة االصل جد معادل (4

+ 8x = 0 2y 2-2014 .)32√ ,3√(علما بان القطع الناقص يمر بالنقطة

البؤرة وهي احدى بؤرتي القطع الناقص: المكافئ نجدمن معادلة القطع الحل/

y2 + 8x = 0

y2 = -8x

y2 = -4px

المكافئبؤرة القطع (2,0-) بؤرتي القطع الناقص (2,0-) , (2,0)c = 2

a2 = b2 + c2 ⟹ a2 = b2 + 4 ……❶

x2

a2+

y2

b2= 1 البؤرتان على محور السينات والمعادلة القياسية

للقطع ∋ (3√ , 3√2)12

a2+

3

b2= 1 a2.b2 نضرب بـ

12b2 + 3a2 = a2b2 …….. ❷

:❷في معادلة ❶من معادلة 2aنعوض قيمة

12b2 + 3(b2 + 4) = (b2 + 4)b2 ⟹ 12b2 + 3b2 + 12 = b4 + 4b2

b4 - 11 b2 - 12 = 0 ⟹ (b2 - 12)( b2 + 1) = 0

b2 + 1 = 0 تهمل ⟹ ∴ b2 – 12 = 0 ⟹ b2 = 12

a2 = 12 + 4 = 16 ⟹ x2

16+

y2


, (6,2)جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة االصل وبؤرتاه على محور السينات ويمر بالنقطتين (5(3,4).

البؤرتان على محور السينات , المعادلة هي: الحل/ x2

a2 + y2

b2 = 1

⇒ للقطع ∋ (3,4)9

a2 +16

b2 = 1 …..… ❶

⇒ للقطع ∋ (2,6)36

a2 +4

b2 = 1 …..… ❷

:❷ونطرحها من معادلة 4بـ ❶نضرب المعادلة36

a2 +64

b2 = 4 36

a2 +4

b2 = 1

بالطرح

0 + 60

b2 = 3

b2 = 60

3 = 20

:2aفي المعادلة لنحصل على 2bنعوض قيمة 9

a2 +16

20= 1 ⇒

9

a2 +4

5= 1 ⟹

9

a2 =1

5 ⇒ a2 = 45

x2

45+

y2


4p = 8 p = 2

⟹ بالمقارنة



جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة االصل وبؤرتاه نقطتا تقاطع المنحني (6

3x = 16 – 2+ y 2x 12 = المكافئ ويمس دليل القطع مع محور الصاداتx 2y.

: x = 0من معادلة المنحني نستخرج نقط التقاطع مع محور الصادات عندما الحل/

02 + y2 – 3(0) = 16 ⇒ y2 = 16

y = ± 4 بؤرتي القطع الناقص (4-,0) , (0,4)

= 4cالبؤرتان على محور الصادات نجد الدليل: المكافئ من معادلة القطع

y2 = 12x

y2 = 4px

4p = 12 ⇒ p = 3 ⇒ x = -3 المكافئ معادلة دليل القطع (3,0-)يمس منحني القطع الناقص عند x = -3 المكافئ دليل القطع

قطبي القطع الناقص (3,0-) , (3,0)

a2 = b2 + c2 ⇒ a2 = 9 + 16 = 25

x2

9+

y2


جد معادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه تنتميان الى محور السينات ومركزه في نقطة االصل وطول محوره (7

عند النقطة التي احداثيها السيني 8x = 0 2y + المكافئالكبير ضعف طول محوره الصغير ويقطع القطع

.(2-)يساوي yقيمتي المكافئ إليجادفي معادلة القطع x = -2نعوض عن الحل/

نقطتي التقاطع:ل

y2 + 8x = 0 ⇒ y2 + 8(-2) = 0

y2 = 16 ⇒ y = ±4

تنتميان للقطع الناقص الذي بؤرتاه على محور السينات ومعادلته: (4± ,2-)نقطتي التقاطع

x2

a2 + y2

b2 = 1 ⇒ (−2)2

a2 + (4)2

b2 = 1 ⇒ 4

a2 +16

b2 = 1………… ❶

2a = 2(2b) ⇒ a = 2b ……….. ❷ : ❶في معادلة ❷من معادلة aنعوض قيمة

4

(2b)2 +16

b2 = 1 ⇒ 4

4b2 +16

b2 = 1 ⇒ 1

b2 +16

b2 = 1

17

b2 = 1 ⇒ b2 = 17 ⇒ b = √17

: 2aلنجد ❶في معادلة 2bنعوض قيمة

a = 2b ⇒ a = 2√17 ⇒ a2 = 68

x2

68+

y2


( , 60ومركزه نقطة االصل ومجموع مربعي طولي محوريه يساوي ) ky 2hx +2 36 =قطع ناقص معادلته (8

؟R ∈ h , k, ما قيمة كل من x√3= 4 2yالذي معادلته المكافئ واحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع

: 36نعيد ترتيب معادلة القطع الناقص بقسمتها على الحل/

بالمقارنة

(-2,4)

(-2,4)

-2



hx2 + ky2 = 36 ⇒ x2

36

h

+ y2

36

k

= 1

(2a)2 + (2b) 2 = 60 ⇒ 4a2 + 4b2 = 60 ⟹ a2 + b2 = 15 ……. ❶ 4 بالقسمة على

نجد بؤرته: المكافئ من معادلة القطع

y2 = 4√3x

y2 = 4px

المكافئبؤرة القطع (0 , 3√(

القطع الناقص بؤرتي (0 , 3√−( , (0 , 3√(

c = √3

a2 = b2 + c2 ⟹ a2 = b2 + 3

a2 - b2 = 3 ..….. ❷

a2 + b2 = 15 ……. ❶

بالجمع

2a2 + 0 = 18 ⇒ 2a2 = 18 ⇒ a2 = 9 : 2bلنجد ❶في معادلة 2aنعوض قيمة

9 + b2 = 15 ⇒ b2 = 6

( :على محور السينات تانالبؤر) k و hنعود الى معادلة القطع الناقص لنجد قيمة

a2 = 36

h ⇒ 9 =

36

h ⇒ h =

36

9 = 4

b2 = 36

k ⇒ 6 =

36

k ⇒ k =

36

6 = 6

24y 2x = المكافئ جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة االصل واحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع (9

2-2012 وحدة. 36ومجموع طولي محوريه :نجد بؤرة القطع الحل/

x2 = 24y

x2 = 4py

F(0,6) المكافئبؤرة القطع F1(0,6) , F2(0.-6) بؤرتي القطع الناقص

c = 6 ⟹ a2 = b2 + c2 ⇒ a2 = b2 + 36 ………... ❶

2a + 2b = 36 ⇒ a + b = 18 ⟹ a = 18 - b ………. ❷

:❶ في معادلة aنعوض قيمة

a2 = b2 + 36 ⇒ (18 - b)2 = b2 + 36 ⟹ 324 – 36b + b2 = b2 + 36

36b = 324 – 36 = 288 ⟹ b = 288

36 = 8

:aلنجد قيمة bنعوض قيمة ❶من معادلة a = 18 – b ⇒ a = 18 – 8 = 10

البؤرتان على محور الصادات:

x2

64+

y2


بالمقارنة

بالمقارنة4p = 24

p = 6

⇒

⇒ 4p = 4√3 ⇒ p = √3



تنتمي للقطع الناقص بحيث Pوالنقطة F)0, 4-(2F) , 0, 4(1 جد معادلة القطع الناقص الذي بؤرتيه (10

1-2014 وحدة. 24يساوي 2F1FPان محيط المثلث

الحل/ محيط المثلث = مجموع اطوال اضلعه الثلث

PF1 + PF2 + F1F2 = 24 PF1+PF2 = 2a , F1F2 =2c من التعريف

2a + 2c = 24 ⇒ a + c = 12 ..…. ❶

F1(4 , 0) , F2(-4 , 0) البؤرتان c = 4

:aلنحصل على ❶في المعادلة cنعوض قيمة

a + 4 = 12 ⇒ a = 8

a2 = b2 + c2 ⇒ 64 = b2 + 16 ⇒ b2 = 64 - 16 = 48

x2

64+

y2


جد بؤرة كل منها ومعادلة الدليل , ثم معادلتي قطعين مكافئين , 12x=02y ,x=012–2y+لتكن تمرين اضافي/

وحدات. 10جد معادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه هما بؤرتي القطعين المكافئين وطول محوره الصغير الحل/

y2 + 12x = 0 نعيد ترتيب المعادلة

y2 = -12x

y2 = -4px

F1(-3,0) بؤرة المكافئ , x = 3 معادلة الدليل

y2 - 12x = 0 نعيد ترتيب المعادلة

y2 = 12x

y2 = 4px

F2(3,0) بؤرة المكافئ , x = -3 معادلة الدليل F1(-3,0) , F2(3,0) بؤرتي القطع الناقص c = 3 2b = 10 ⇒ b = 5

a2 = b2 + c2 ⇒ a2 = 25 + 9 = 34

البؤرتان على محور السينات: x2

34+

y2


F1

P(x,y)

(-4,0) F2

(4,0)


p = 3

⇒


p = 3

⇒

(Hyperbola)القطع الزائد (القطوع المخروطية) الثانيالفصل [ 6 – 2 ]


:)Hyperbola(القطع الزائد ]2 – 6 [القطع الزائد هو مجموعة النقط في المستوي التي تكون القيمة المطلقة لفرق بعدي اي منها عن نقطتين تعريف :

( من الوحدات.2aثابتتين )البؤرتان( يساوي عددا ثابتا ) :معادلة القطع الزائد الذي بؤرتاه على محور السينات ومركزه نقطة االصل -1

نقطة من نقاط منحني القطع الزائد P(x,y)النقطة


|PF1 – PF2| = 2a

√(x − c)2 + y2 − √(x + c)2 + y2 = 2a

ومن تبسيط المعادلة :

تمثل معادلة قطع زائد فيه:𝐱𝟐

𝐚𝟐 −𝐲𝟐

𝐛𝟐 = 𝟏

االصل وهي منتصف المسافة بين البؤرتين.مركزه نقطة -1 على محور السينات c,0)-(2(c,0) , F1F البؤرتان -2

0a,-(2) , V0(a,1V( الرأسان -3

4- 1PF ,2PF يسميان طولي نصفي القطرين البؤريين المرسومين من نقطةP.

V1V2المسافة بين الرأسين -5̅̅ ̅̅ من الوحدات. 2aوطوله يساوي المحور الحقيقيتسمى ̅̅

وله يساوي ــــــــ)التخيلي( وط المحور المرافقي على المحور الحقيقي والمار بمركز القطع يسمى العمودالمحور -62b .من الوحدات

F1F2المسافة بين البؤرتين -7̅̅ ̅̅ . 2cتساوي و البعد البؤريتسمى ̅̅

8- a,b,c 2هي , العلقة بينهم ثلثة اعداد حقيقية موجبةb+ 2a= 2c

.(مثلما نفعل في القطع الناقص a > bهنا ال يوجد شرط مهم جداً: )b و aدائما اكبر من cقيمة المقدار -9

معادلة القطع الزائد الذي بؤرتاه على محور الصادات ومركزه نقطة االصل: -2 نقطة من نقاط منحني القطع الزائد P(x,y)النقطة


|PF1 – PF2| = 2a

√(x − 0)2 + (y − c)2 − √(x − 0)2 + (y + c)2 = 2a ومن تبسيط المعادلة :

تمثل معادلة قطع زائد فيه:𝐲𝟐

𝐚𝟐 −𝐱𝟐

𝐛𝟐 = 𝟏

مركزه نقطة االصل وهي منتصف المسافة بين البؤرتين. -1 محور السينات على c)-0,(2c) , F0,(1Fالبؤرتان -2

a)-,0(2a) , V,0(1Vالرأسان -3

4- 1PF ,2PF يسميان طولي نصفي القطرين البؤريين المرسومين من نقطةP.

V1V2المسافة بين الرأسين -5̅̅ ̅̅ من الوحدات. 2aتسمى المحور الحقيقي وطوله يساوي ̅̅

على المحور الحقيقي والمار بمركز القطع يسمى المحور المرافق )التخيلي( وطوله يساوي المحور العمودجي -62b .من الوحدات

F1F2المسافة بين البؤرتين -7̅̅ ̅̅ . 2cتساوي و البعد البؤريتسمى ̅̅

ثلثة اعداد حقيقية a,b,c دائما كما ان a> cو b> cحيث 2b+ 2a= 2cهي a , b , cالعلقة بين -8

موجبة.

(b,0) (-b,0)

F2(o,-c)

P(x,y)

V1(0,a)

V2(0,-a)

F1(0,c)

x

y

(0,b)

(0,-b)

F2(-c,0)

F1(c,0)

P(x,y)

V2(-a,0) V1(a,0)

x

y



مالحظات:

= e 1 < , اي ان 1االختالف المركزي للقطع الزائد اكبر من -1𝐜

𝐚

a < b أو a = b أو a > bفي القطع الزائد يمكن ان يكون -2 منحني القطع الزائد يكون متناظراً حول محور السينات وحول محور الصادات وحول نقطة االصل. -3 من معادلة قطع زائد يجب ان: a , bاليجاد -4

1 يساوي الطرف االيمن للمعادلة.

2معاملx 1يساوي في البسط.

2معاملy 1يساوي في البسط . نقطة مرور القطع الزائد عندما تنتمي الحد المحورين )احد احداثييها صفر( فهي نقطة رأس , اي ان -5

.aاالحداثي االخر هو فان مثل هذا النوع من القطوع الزائدة aيساوي طول المحور المرافق bاذا كان طول المحور الحقيقي -6

الن النقط االربعة )الرأسين والقطبين( تشكل رؤوس )المتساوي االضالع( او )القطع الزائد القائم( يدعى

مقدار ثابت. e = √𝟐مربع ويكون

طريقة رسم القطع الزائد:

لتكن 𝐱𝟐

𝐚𝟐 − 𝐲𝟐

𝐛𝟐 = معادلة قطع زائد بؤرتاه تنتميان لمحور السينات ولرسم هذا القطع: 𝟏

.(a,0-) , (a,0)بالنقطتين نعين رأسي القطع -1 .(0,-b) , (b,0)نعين النقطتين -2 نرسم مستطيالً من هذه النقط بحيث تكون اضالعه توازي المحورين. -3 ستقيمين المحاذيين لمنحني القطع الزائد.نرسم قطري المستطيل ونمد كل منهما على استقامته وهما يمثالن الم -4

ثم نرسم ذراعي القطع الزائد. c,0)-(2(c,0) , F1Fنعين البؤرتين -5

-عين البؤرتين والرأسين وطول كل من المحورين الحقيقي والمرافق للقطع الزائد , ثم ارسمه: /25مثال

x2

64−

y2

36 = 1

نقارن بين معادلة القطع والمعادلة القياسية للقطع الزائد الذي بؤرتاه على محور السينات: الحل/

x2

64−

y2

36 = 1

x2

a2 −y2

b2 = 1

c2 = a2 + b2 ⇒ c2 = 64 + 36 = 100

c = 10

F1(10,0) , F2(-10,0) البؤرتان

V1(8,0) , V2(-8,0) الرأسان

القطبان (6-,0) , (0,6)

و والبؤرتان 2وحدات واالختلف المركزي يساوي 6جد معادلة القطع الزائد الذي طول محوره الحقيقي /26مثال على المحور السيني.

من المحور الحقيقي : aنجد قيمة الحل/

2a = 6 ⇒ a = 3 : cمع معادلة االختلف المركزي لنجد قيمة aنعوض قيمة

a2 = 64 ⇒ a = 8

2a = 16 المحور الحقيقي

b2 = 36 ⇒ b = 6

2b = 12 المحور المرافق

(0,6)

(0,-6)

F2(-10,0)

F1(10,0)

V2(-8,0) V1(8,0)

x

y



e = c

a ⇒ 2 =

c 3

⇒ c = 6

من العلقة : bنجد قيمة

c2 = a2 + b2 ⇒ 36 = 9 + b2 ⇒ b2 = 36 - 9 = 27

البؤرتان على محور السينات:

x2

9−

y2

27 المعادلة القياسية 1 =

وحدات وبؤرتاه النقطتان 4جد معادلة القطع الزائد الذي طول محوره المرافق /27مثال

) √8-,(02F) , √8,(01F.

الحل/

F1(0,√8) , F2(0,- √8) ⇒ c = √8

2b = 4 ⇒ b = 2 من المحور المرافق b نجد قيمة

c2 = a2 + b2 ⇒ 8 = a2 + 4 ⇒ a2 = 8 - 4 = 4 من العلقة a نجد قيمة

:الصاداتالبؤرتان على محور

y2

4−

x2


الخلصة:

البؤرتان على محور السينات المعادلة

= 1 x2

a2 − y2

b2

(0,0)نقطة االصل المركز

الرأسان القطبان

البؤرتان

a,0)-(2V(a,0) , 1V

(0,b) , (0,-b)

c,0)-(2(c,0) , F1F

y = 0محور السينات محور التناظر

الصاداتالبؤرتان على محور المعادلة

= 1 y2

a2 − x2

b2

(0,0)نقطة االصل المركز

الرأسان القطبان

البؤرتان

a)-0,(2V) , a,0(1V

(b,0) , (-b,0)

c)-0,(2) , Fc,0(1F

x = 0محور الصادات محور التناظر

انسحاب محاور القطع الزائد (القطوع المخروطية) الثانيالفصل [ 7 – 2 ]


انسحاب محاور القطع الزائد: ]2 – 7 [

ومحوراه يوازيان المحورين المتعامدين )h,k(معادلة القطع الزائد الذي مركزه النقطة

من )h(عند انسحاب مركز القطع الزائد بمقدار اوالً/

من الوحدات (k)الوحدات على محور السينات وبمقدار المحور الحقيقي يوازي محور ومن محور الصادات

السينات:

تصبح المعادلة: (𝐱−𝐡)𝟐

𝐚𝟐 − (𝐲−𝐤)𝟐

𝐛𝟐 = 𝟏

البؤرتان:

F̅2(ℎ − c , k) ,F̅1(h + c , k)

الرأسان:

V̅2(h − a , k) V̅1(a + h , k)

القطبان:

(h , b+k) , (h ,k-b)

تبقى العلقة بينa , b , c 2هي+ b 2= a 2c حيثc > b وc > a ا .دائما

من الوحدات )k(من الوحدات على محور السينات وبمقدار )h(عند انسحاب مركز القطع الزائد بمقدار ثانياً/

من محور الصادات والمحور الحقيقي يوازي محور الصادات

تصبح المعادلة : (𝐲−𝐤)𝟐

𝐚𝟐 − (𝐱−𝐡)𝟐

𝐛𝟐 = 𝟏

البؤرتان:

F̅2(h , k − c) F̅1(h , c + k) ,

الرأسان:

V̅1(h , a + k) , V̅2(h , k − a)

القطبان:

(h + b , k) , (h - b , k)

العلقة بينa , b , c 2هيb+ 2a= 2c

.دائما c > a و c > bحيث

ت-2014 جد احداثيات المركز والبؤرتين والرأسين واالختلف المركزي للقطع الزائد الذي معادلته: /28مثال

(x+2)2

9−

(y−1)2

4 = 1

بالمقارنة بالمعادلة القياسية: الحل/

(x+2)2

9−

(y−1)2

4 = 1

a2 = 9 ⇒ a = 3 ⇒ 2a = 6 unit طول المحور الحقيقي

b2 = 4 ⇒ b = 2 ⇒ 2b = 4 unit طول المحور المرافق

(h,b+k)

(h,-b+k)

(h-c,k) F̅2

F̅1(h+c,k)

V̅2(h-a,k)

V̅1(h+a,k)

x

y y̅

x̅

x

y y̅

x̅ (h+b,k) (h-b,k)

V̅2(h,-a+k)

V̅1(h,a+k)

F̅1 (h,c+k)

F̅2 (h,-c+k)

ℎ

𝑘



h = -2 , k = 1 ⇒ (h,k) =(-2,1) المركز

c2 = a2 + b2 ⇒ c2 = 9 + 4 = 13 ⇒ c = √13

يوازي محور السينات:المحور الحقيقي

F̅1(c+h , k) = (√13 -2 , 1)

F̅2(h-c , k) = (−√13 -2 , 1)

V̅1(a+h,k) =(3-2 , 1) =(1,1)

V̅2(h-a,k) =(-3-2 , 1) =(-5,1)

e = c

a =

√13

3 االختلف المركزي 1 <

2 – 3حلول التمارين جد طول كل من المحورين واالختلف المركزي للقطوع الزائدة االتية: عين كل من الرأسين والبؤرتين ثم (1

a) 12x2 – 4y2 = 48

نقوم بترتيب المعادلة: الحل/

12x2 – 4y2 = 48 ÷ 48

x2

4−

y2

12 = 1

x2

a2 −y2

b2 = 1

c2 = a2 + b2 من العلقة

c2 = 4 + 12 = 16 ⟹ c = 4

b) 16x2 – 9y2 = 144

نقوم بترتيب المعادلة: الحل/

16x2 – 9y2 = 144 ÷ 144

x2

9−

y2

16 = 1

x2

a2 −y2

b2 = 1

c2 = a2 + b2 من العلقة

c2 = 9 + 16 = 25 ⟹ c = 5

c) 2(y+1)2 – 4(x-1)2 = 8 2011-2

:8نعيد ترتيب المعادلة بقسمة الطرفين على الحل/

(y+1)2

4−

(x−1)2

2 = 1

(y−k)2

a2 − (x−h)2

b2 = 1

a2 = 4 ⇒ a = 2 , b2 = 2 ⇒ b = √2

c2 = a2 + b2 ⇒ c2 = 4 + 2 = 6 ⇒ c = √6

البؤرتان

الرأسان

البؤرتان على محور السينات بالمقارنة :

a2 = 4 ⇒ a = 2

b2 = 12 ⇒ b = 2√3

البؤرتان على محور السينات بالمقارنة:

a2 = 9 ⇒ a = 3

b2 = 16 ⇒ b = 4

المحور الحقيقي يوازي محور

داتالصا بالمقارنة :

2a = 4 unit طول المحور الحقيقي

2b = 4√3 unit طول المحور المرافق

F1(4,0) , F2(-4,0) البؤرتان

V1(2,0) , V2(-2,0) الرأسان

e = c

a =

4

2 االختلف المركزي 1 < 2 =

2a = 6 unit طول المحور الحقيقي 2b = 8 unit طول المحور المرافق

F1(5,0) , F2(-5,0) البؤرتان

V1(3,0) , V2(-3,0) الرأسان

e = c

a =

5




h = 1 , k = -1

�̅�(h,k) =(-1,1) المركز 2a = 4 unit طول المحور الحقيقي x = h ⇒ x = 1 معادلة المحور الحقيقي

2b = 2√2 unit طول المحور المرافق y = k ⇒ y = -1 معادلة المحور المرافق

d) 16x2 + 160x – 9y2 + 18y = 185

نعيد ترتيب المعادلة بجعل الطرف االيسر عبارة عن مربعي حدانية: الحل/

16(x2 + 10x + 25) – 9(y2 - 2y +1) = 185 + 400 - 9

عامل مشترك انعكسن اشارات الحدود في القوس الثاني. 9-ملحظة/ بعد ان اخرجنا 16(x + 5)2 – 9(y - 1)2 = 576 ÷ 576

(x+5)2

36−

(y−1)2

64 = 1

(x−h)2

a2 − (y−k)2

b2 = 1

a2 = 36 ⇒ a = 6

b2 = 64 ⇒ b = 8

c2 = a2 + b2 ⇒ c2 = 36 + 64 = 100

c = 10

h = -5 , k = 1

�̅�(h,k) = (-5,1) المركز 2a = 12 unit طول المحور الحقيقي y = k ⇒ y = 1 معادلة المحور الحقيقي 2b = 16 unit طول المحور المرافق x = h ⇒ x = -5 معادلة المحور المرافق

ثم ارسم القطع:, اكتب معادلة القطع الزائد في الحاالت االتية (2a) ويتقاطع مع محور السينات عند (5,0±)البؤرتان هما النقطتان(x = (±3 .ومركزه نقطة االصل

البؤرتان على محور السينات: الحل/F(±5,0) ⇒ c = 5 x = ±3 ⇒ y = 0

وهما رأسي القطع الزائد V(±3,0)نقطتي التقاطع مع المحور السيني ∴∴ a = 3

c2 = a2 + b2 ⇒ 25 = 9 + b2 ⇒ b2 = 16

x2

9−

y2

16 = 1

المحور الحقيقي يوازي محور

داتالصا بالمقارنة :

(0,4)

(0,-4)

F2(-5,0)

F1(5,0)

V2(-3,0) V1(3,0)

x

y

F̅1(h , c+k) = (1 , √6 − البؤرتان: (1

F̅2(h , -c+k) = (1 , −√6 -1)

V̅1(h, a+k) =(1 , 2-1) =(1,1) :الرأسان

V̅2(h, -a+k) =(1 , -2-1) =(1,-3)

e = c

a =

√6

2 االختالف المركزي 1 <

F̅) 1, 5) = (k ,c+h (1:البؤرتان

F̅2(-c+h , k) = (−15 , 1)

V̅) 1,1= () k,a+h(1الرأسان:

V̅2(-a+h,k) = (-11,1)

e = c

a =

10

6 =

5




b) وحدات وينطبق محوراه على المحورين (10)وحدة وطول محوره المرافق (12)طول محوره الحقيقي االحداثيين ومركزه نقطة االصل.

الحل/2a = 12 ⇒ a = 6 , 2b = 10 ⇒ b = 5

c2 = a2 + b2 ⇒ c2 = 36 + 25 = 61

c = √61 اذا كانت البؤرتان على محور السينات: /االولاالحتمال

x2

36−

y2

25 = 1

كانت البؤرتان على محور الصادات: اذا /الثانياالحتمال

y2

36−

x2

25 = 1

c) وحدة واختلفه المركزي 2√2مركزه نقطة االصل وبؤرتاه على محور الصادات وطول محوره المرافق . (3)يساوي

الحل/

2b = 2√2 ⇒ b = √2 ⇒ b2 = 2

e = 3 ⇒ e = c

a ⇒

c

a = 3 ⇒ c = 3a

c2 = a2 + b2 ⇒ 9a2 = a2+ 2

8a2 = 2 ⇒ a2 = 2

8 =

1

4 ⇒ a =

1

2

y2

1

4

−x2

2 البؤرتان على محور الصادات 1 =

c = 3a = 3

2 نحدد البؤرة لغرض الرسم فقط

(0,5)

(0,-5)

F2(-√61,0)

F1(√61,0)

V2(-6,0) V1(6,0)

x

y

(5,0) (-5,0)

F2(o,- √61)

V1(0,6)

V2(0,-6)

F1(0, √61)

x

y

(√2,0) (-√2,0)

V1(0, 1

2)

V2(0,- 1

2)

F1(0, 3 2

)

x

y

F2(0,- 3 2

)



تمارين اضافية من السنوات السابقة:

d) (5,4)وحدات ويمر بالنقطة (5√2)محوره الحقيقي افقي وطوله مركزه نقطة االصل و . مركزه نقطة االصل ومحوره الحقيقي افقي اي ان البؤرتين على محور السينات: الحل/

2a = 2√5 ⇒ a = √5 ⇒ a2 = 5

انها تحقق معادلة القطع الزائد: (5,4)يمر بالنقطة

x = 5 , y = 4 , a2 = 5

x2

a2−

y2

b2 = 1 ⇒

52

5−

42

b2 = 1

25

5−

16

b2 = 1 ⇒ 5 - 16

b2 = 1

16

b2 = 5 – 1 = 4 ⇒ b2 = 16

4= 4

b = 2

x2

5−

y2


c2 = a2 + b2 ⇒ c2 = 5 + 4 = 9 ⇒ c = 3

e) (4,6) , (3-,1)مركزه نقطة االصل , ومحوره الحقيقي يقع على محور الصادات ويمر بالنقطتين.

مركزه نقطة االصل ومحوره الحقيقي على محور الصادات: الحل/

y2

a2 −x2

b2 = 1 المعادلة القياسية

: (4,6), (3-,1) تين بالنقطيمر

(1,-3) ∈ ⇒ 9

a2 −1

b2 = 1 ……. ❶

(4,6) ∈ ⇒ 36

a2 −16

b2 = 1 ……. ❷ : ❷ونطرحها من المعادلة 4بـ ❶نضرب المعادلة

36

a2 −4

b2 = 4

36

a2 −16

b2 = 1

:aلنجد قيمة ❷في معادلة 2bنعوض قيمة 36

a2 −16

4 = 1 ⇒

36

a2 - 4 = 1 ⇒ 36

a2 = 5

a2 = 36

5

5y2

36−

x2


نحدد البؤرة لغرض الرسم فقط:

c2 = 36

5 + 4 ⇒ c2 =

36+20

5 =

56

5

c = √56

√5

⇒ بالطرح12

b2 = 3 ⇒ b2 = 4

(2,0) (-2,0)

V1(0, 6

√5)

V2(0,- 6

√5)

F1(0, √56√5

)

x

y

F2(0,- √56√5

)

(0,2)

(0,-2)

F2(-3,0)

F1(3,0)

V2(-3,0) V1(3,0)

x

y



وينطبق (2,0√2-) , (2,0√2)ه ـمعادلة القطع الزائد الذي مركزه نقطة االصل وبؤرتيجد باستخدام تعريف (3 وحدات. (4)محوراه على المحورين االحداثيين والقيمة المطلقة بين بعدي اية نقطة عن بؤرتيه يساوي

على محور السينات: (2,0√2-) , (2,0√2)البؤرتان الحل/

c = 2√2

|PF1 – PF2| = 2a من تعريف القطع الزائد

|√(x − 2√2)2

+ y2 − √(x + 2√2)2

+ y2| = 4

√(x − 2√2)2

+ y2 − √(x + 2√2)2

+ y2 = ±4 ⇒ √(x − 2√2)2

+ y2 = ±4 + √(x + 2√2)2

+ y2


(x − 2√2)2

+ y2 = 16 ± 8√(x + 2√2)2

+ y2 + (x + 2√2)2

+ y2

x2 - 4√2x + 8 + y2 = 16 ± 8√(x + 2√2)2

+ y2 + x2 + 4√2x + 8 + y2

± 8√(x + 2√2)2

+ y2 = 16 + 4√2x + 4√2x

± 8√(x + 2√2)2

+ y2 = 16 + 8√2x ÷ 8

± √(x + 2√2)2

+ y2 = 2 + √2x تربيع الطرفين

(x + 2√2)2

+ y2 = 4 + 4√2x + 2x2 ⇒ x2 + 4√2x + 8 + y2 = 4 + 4√2x + 2x2

x2 - 2x2 + + y2 = 4 - 8 -x2 + y2 = -4 ÷ (−4)

x2

4−

y2


رأسه نقطة االصل المكافئ الذيوحدات واحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع (6)قطع زائد طول محوره الحقيقي (4

والقطع )الذي مركزه نقطة االصل( المكافئ , جد معادلتي القطع (5√2-,1) , (5√1,2)ويمر بالنقطتين

(5√2±,1)1-2014 3-2013 .الزائد )الذي مركزه نقطة االصل( -المكافئ: اوالا معادلة القطع نجد /الحل

(5√1,2), (5√2-,1)بالنقطتين المكافئ يمرالقطع

px4= 2y البؤرة على محور السينات وصيغتها القياسية هي أي انالنقطتان متناظرتان حول محور السينات

-: pقيمة إليجاداي من النقطتين تحقق المعادلة

(2√5)2 = 4p(1) ⇒ 20 = 4p ⇒ p = 5

F(5,0) المكافئ بؤرة القطع

y2 = 4(5)x ⇒ y2 = 20x معادلة القطع المكافئ

-القطع الزائد: نجد معادلة c = 5 ⇒ F1(5,0) , F2(-5,0) بؤرتي القطع الزائد

2a = 6 ⇒ a = 3 c2 = a2 + b2 ⇒ 25 = 9 + b2 ⇒ b2 = 16

:السيناتالبؤرتان على محور

x2

9−

y2




وحدة وبؤرتاه 26√وطول محوره الحقيقي 2ky – 2hx 90 =قطع زائد مركزه نقطة االصل ومعادلته (5

التي تنتمي الى h , k, جد قيمة كل من 16y 29x +2 576 =تنطبقان على بؤرتي القطع الناقص الذي معادلته

2-2015 2-2012 مجموعة االعداد الحقيقية. نقوم بترتيب معادلة القطع الزائد: الحل/

hx2 – ky2 = 90 ÷ 90

x2

90

h

− y2

90

k

= 1

نقوم بترتيب معادلة القطع الناقص:

9x2 + 16y2 = 576 ÷ 576

x2

64+

y2

36 = 1

نقارنها مع المعادلة القياسية للقطع الناقص لنجد بؤرتي القطع الناقص: x2

64 +

y2

36 = 1

x2

a2 +y2

b2 = 1

F1(√28,0)

F2(-√28,0)

c = √28 ⇒ c2 = 28 للقطع الزائد

: 2√6طول المحور الحقيقي للقطع الزائد

2a = 6√2 ⇒ a = 3√2 ⇒ a2 = 18 c2 = a2 + b2 ⇒ 28 = 18 + b2 ⇒ b2 = 10 من العلقة b نجد قيمة

-الزائد:نعود الى معادلة القطع

x2

90

h

− y2

90

k

= 1

a2 = 90

h = 18 ⇒ h = 5

b2 = 90

k = 10 ⇒ k = 9

9 , 1رأسيه يبعد عن البؤرتين بالعددين حدأعلمت ان إذااكتب معادلة القطع الزائد الذي مركزه نقطة االصل (6 ت-2015 2-2012 وحدات على الترتيب وينطبق محوراه على المحورين االحداثيين.

الحل/

VF1 + VF2 = 1 + 9 = 10 ⇒ 2c = 10 ⇒ c = 5

a = 5 – 1 = 4 c2 = a2 + b2 ⇒ 25 = 16 + b2 ⇒ b2 = 9

y2

16−

x2

9 البؤرتان على محور الصادات 1 =

x2

16−

y2

9 البؤرتان على محور السينات 1 =

بالمقارنة ⇒

بؤرتي القطع الناقص والزائد

F2 F1 V1 x

y

9 1

a2 = 64 ⇒ b2 = 36

c2 = a2 - b2 ⇒ c2 = 64 – 36 ⇒ c2 = 28

c = √28 للقطع الناقص



والنسبة بين 23y – 2x 12 =جد معادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه هما بؤرتا القطع الزائد الذي معادلته (7

طولي محوريه = 5

3 3-2013 ومركزه نقطة االصل.

نقوم بترتيب معادلة القطع الزائد:الحل/

x2 – 3y2 = 12 ÷ 12

x2

12−

y2

4 = 1

a2 = 12 , b2 = 4 c2 = a2 + b2 = 12 + 4 c2 = 16 ⇒ c = 4

F1(4,0)

F2(-4,0)

النسبة بين طولي محوريه 5

3 :

2a

2b =

5

3 ⇒

a

b =

5

3 2a > 2b الحظ ان

a = 5

3 b ⇒ a2 =

25

9 b2

a2 = b2 + c2 للقطع الناقص 25

9 b2 = b2 + 16 9 نضرب بـ

25b2 = 9b2 + 144 ⇒ 16b2 = 144 ⇒ b2 = 9 ⇒ b = 3

a = 5

3 b =

5

3 . 3 = 5

x2

25 +

y2

9 البؤرتان على محور السينات ومعادلة القطع الناقص 1 =

جد كلا من : 23y – 2x 12 =تنتمي الى القطع الزائد الذي مركزه نقطة االصل ومعادلته P(6,L)النقطة (8

a) قيمةL الحل/

P(6,L) ∈ x2 – 3y2 = 12

36 - 3L2 = 12 ⇒ 3L2 = 24

L2 = 8 ⇒ L = ±√8 = ±2√2

b) طول نصف القطر البؤري للقطع المرسوم في الجهة اليمنى من النقطةP. : cقيمة إليجادنقوم بترتيب معادلة القطع الزائد الحل/

x2 – 3y2 = 12 ÷ 12

x2

12−

y2

4 = 1

a2 = 12 , b2 = 4

c2 = a2 + b2 ⇒ c2 = 12 + 4 ⇒ c2 = 16 ⇒ c = 4 , F1(4,0) , F2(-4,0)

PF1 = √(6 − 4)2 + 8 = √4 + 8 = √12 = 2√3 unit نصف القطر البؤري

PF2 =√(6 + 4)2 + 8 =√100 + 8 =√108= 6√3 unit نصف القطر البؤري

بؤرتي القطع الناقص والزائد

c = 4 للقطع الناقص



جد معادلة القطع الزائد الذي بؤرتاه هما بؤرتي القطع الناقص (9 x2

9+

y2

25= المكافئ ويمس دليل القطع 1

+ 12y = 0 2x. 2011-1 4201-2 5201-1

من معادلة القطع الناقص نجد البؤرتين: الحل/ x2

9+

y2

25= الصادات البؤرتان على محور 1

b2 = 9 , a2 = 25 c2 = a2 - b2 ⇒ c2 = 25 - 9 ⇒ c2 = 16 c = 4 للقطع الناقص

F1(0,4) بؤرتي القطع الناقص و الزائد

F2(0,-4)

c = 4 للقطع الزائد :معادلة الدليل المكافئ نجدمن معادلة القطع

x2 + 12y = 0

x2 = -12y

x2 = -4py ⇒ 4p = 12 ⇒ p = 3

المكافئبؤرة (3-,0) , y = 3 معادلة الدليل

(0,3)عند النقطة y = 3القطع الزائد يمس الدليل V(0,3) تعتبر رأس القطع الزائد ⇒ a = 3 c2 = a2 + b2 للقطع الزائد 16 = 9 + b2 ⇒ b2 = 7

معادلة القطع الزائد وبؤرتاه على محور الصادات:

y2

9−

x2

7= 1

تمارين اضافية من السنوات السابقة:

جد معادلة القطع الزائد الذي بؤرتاه هما رأسي القطع الناقص (10 x2

100+

y2

64= ويمر ببؤرتي القطع 1

. الناقص نفسه :والرأسينمن معادلة القطع الناقص نجد البؤرتين الحل/

x2

100+

y2

64= 1

a2 = 100 ⇒ a = 10 رأسي القطع الناقص وهما نفس بؤرتي القطع الزائد (10,0-) , (10,0)

a2 = b2 + c2 للقطع الناقص 100 = 64 + c2 ⇒ c2 = 36 ⇒ c = 6 بؤرتي القطع الناقص (6,0-) , (6,0) رأسي القطع الزائد (6,0-) , (6,0)

a = 6 ⇒ c2 = a2 + b2 للقطع الزائد 100 = 36 + b2 ⇒ b2 = 64

معادلة القطع الزائد وبؤرتاه على محور السينات: x2

36−

y2

64= 1

(√7,0) (-√7,0)

F2(0,-4)

V1(0,3) F1(0,4)

x

y

y=3

V1(0,3) وهي بؤرة المكافئ

D⃡ معادلة الدليل

المكافئ القطع



القطع الناقصيمر ببؤرتي جد معادلة القطع الزائد الذي (11 x2

49+

y2

24= والنسبة بين البعد بين بؤرتيه 1

وطول محوره المرافق 5

4.

من معادلة القطع الناقص نجد البؤرتين: الحل/ x2

49+

y2

24= 1

a2 = 49 , b2 = 24 c2 = a2 - b2 ⇒ c2 = 49 - 24 ⇒ c2 = 25 c = 5 للقطع الناقص

F1(5,0) , F2(-5,0) بؤرتي القطع الناقص

(5,0-), (5,0)القطع الزائد يمر بالنقطتين

V1(5,0) , V2(-5,0) رأسي القطع الزائد

a = 5 للزائد 2c

2b =

5

4 ⇒

c

b =

5

4 ⇒ c =

5

4b

c2 = a2 + b2 للقطع الزائد 25

16b2 = 25 + b2 . 16

25b2 = 400 + 16b2 ⇒ 9b2 = 400 ⇒ b2 = 400

9

x2

25−

9y2

400= البؤرتان على محور السينات و معادلة القطع الزائد 1

1-2013 , جد معادلته. 2واختلفه المركزي = F1F , (4,0)2)-4,0(قطع مخروطي بؤرتاه (12

e = c

a= 2 > = a ⇒ قطع زائد 0

c

2

F1(4,0) , F2(-4,0) بؤرتيه على محور السينات ومحوريه ينطبقان على المحورين االحداثيين

F1(4,0) ⇒ c = 4 ⇒ a = 4

2= 2

c2 = a2 + b2 ⇒ 42 = 22 + b2 ⇒ b2 = 16 - 4 = 12

x2

4−

y2

12= 1

تمارين عامة وإثرائية (القطوع المخروطية) الثانيالفصل


تمارين عامةقطع ناقص مركزه نقطة االصل , وقطع زائد نقطة تقاطع محوريه نقطة االصل , احدهما يمر ببؤرة االخر , (1

فجد: 25y 29x +2 225 =فاذا كانت معادلة القطع الناقص هي

a. .مساحة منطقة القطع الناقص b. .محيط القطع الناقص c. .معادلة القطع الزائد , ثم ارسمه d. .االختلف المركزي لكل منهما

(7𝜋)جد معادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه تنتميان لمحور السينات , ومركزه نقطة االصل ومساحة منطقته (2 3-2015 2-2011 .وحدة (10𝜋)وحدة مربعة ومحيطه

إثرائيةتمارين

جد معادلة القطع الزائد الذي مركزه نقطة االصل , وبؤرتاه تقعان على محور الصادات وطوال نصفي القطرين (1

وحدة طول. 9 , 21هما (5,9√4)البؤريين للقطع المرسومين من النقطة

, فما قيمة 2x√5 - 4y 0 = المكافئ قطع زائد احدى بؤرتيه هي بؤرة القطع معادلة h 24x – 25y =لتكن (2

h. 2015-2

3) = k 23x + 2hy 2 =3√ قطع ناقص يمر بنقطة تقاطع المستقيمx + y مع محور الصادات , علما ان

.h,kوحدة مربعة , جد قيمة (3𝜋√2)مساحة منطقته تساوي جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة االصل وبؤرتاه هما بؤرتي القطع الزائد (4

= 32 2x – 28y 16 +0 معادلته المكافئ الذيويمس دليل القطعx = 2y.

24y 2x =المكافئ بؤرتيه هي بؤرة القطع وإحدى االصل،جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة (5

2-2015 وحدات. 4والفرق بين طولي محوريه

وحدات. 6والتي تبعد عن البؤرة بمقدار 16x = 0 2y +المكافئ جد نقطة تنتمي للقطع (6

.2√برهن ان اختلفه المركزي يساوي )متساوي االضلع( قطع زائد قائم (7

ويمر ببؤرة القطع 1F)5,0(واحدى بؤرتيه النقطة االصل،جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة (8

.8x – 8y – 2y 24 + = 0 المكافئ

جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة االصل وبؤرتاه هما بؤرتي القطع الزائد (9

= 32 2x – 28y 4 = + (25المكافئ ويمس دليل القطع(x 21) + y).

ويمر بنقطة االصل ومحوره 2y + 8 = 02x+ المكافئ جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه رأس القطع (10

الكبير يوازي محور السينات واختلفه المركزي يساوي 3

5.

ورأسه في نقطة االصل , جد قيمة x + 0 = 2, معادلة دليله مكافئمعادلة قطع x 2y(M+3) =لتكن (11

M ∈ R. جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة االصل , ومحوراه ينطبقان على المحورين االحداثيين ويمر ببؤرة (12

وحدة )𝜋20(, اذا علمت ان مساحة منطقة القطع الناقص تساوي 16x 2y =الذي معادلته المكافئ القطع

مربعة. .(4-,0) , (0,4)جد معادلة القطع الزائد القائم )متساوي االضلع( الذي مركزه نقطة االصل وبؤرتاه (13 16جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة االصل وبؤرتاه على محور السينات ومجموع طولي محوريه (14

622y-2x. 2012-1=الذي معادالته وحدة طول وبؤرتاه تنطبقان على بؤرتي القطع الزائد جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة االصل وينطبق محوراه على المحورين االحداثيين، ويقطع من (15

24𝜋. 2012-2وحدات ومساحة منطقته 8محور السينات جزءاا طوله

ت-216y - 29x 2013 144 = عين البؤرتين والرأسين وطول المحورين للقطع الزائد (16الناقص الذي مركزه نقطة االصل، ومحوراه ينطبقان على المحورين االحداثيين والمسافة جد معادلة القطع (17

ت-2013 وحدات. 3ونصف طول محوره الصغير يساوي وحدات، 8 تساوي بين بؤرتيه



جد معادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه تنتميان الى محور السينات ومركزه في نقطة االصل وطول محوره (18

عند النقطة التي احداثيها السيني 8x = 0 2y + محوره الصغير ويقطع القطع المكافئالكبير ضعف طول

81صفحة x = -2نفس السؤال محلول ولكن خ1-2013. (2)يساوي

9y2جد معادلة القطع الزائد الذي رأساه هما بؤرتي القطع الناقص (19 + 5x2 = والمسافة بين البؤرتين 45

خ1-2013تساوي ضعف طول المحور الحقيقي. وطول محوره المرافق 3-على محور الصادات واالختلف المركزي قطع زائد مركزه نقطة االصل وبؤرتاه (20

2-2013 وحدة , جد معادلته. 2√2 12x = 0 –2 yالمكافئ جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة االصل، وأحدى بؤرتيه بؤرة القطع (21

10ت نفس السؤال محلول ولكم طول محوره الصغير -2014 وحدات. 8وطول محوره الصغير 3-2014 مع الرسم 2x28y+7 = x+ جد بؤرة ودليل القطع المكافئ, معادلة المحور ورأس القطع المكافئ (22

وحدة مساحة والنسبة بين 32𝜋مساحته جد معادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه تنتميان لمحور الصادات , (23

طولي محوريه = 1

2 . 2015-2

وطول محوره 20x-= 2y , = 20x 2yجد معادلة القطع الزائد الذي بؤرتاه هما بؤرتي القطعين المكافئين (24 3-2015 وحدات. 8المرافق

ا لبعد بؤرة القطع المكافئ عن دليله (25 جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة األصل وبعده البؤري مساويا

+24x = 02y 2اذا علمت ان مساحة القطع الناقصcm 𝜋80. 6201-1

جد معادلة القطع الزائد والناقص اذا كان كل منهما يمر ببؤرتي االخر وكلهما تقعان على محور السينات (26

1-2016 وحدة طول. 6وحدة طول وطول المحور الحقيقي يساوي 2√6وطول لمحور الكبير يساوي : جد بؤرتي ورأسي وطول كل من المحورين واالختلف المركزي للقطع الزائد الذي معادلته (27

+18y=18529y-+160x216x 2016-2

ويمس دليل 2x – 28y 32 =جد معادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه هما بؤرتا القطع الزائد الذي معادلته (28

16x = 0 2y .6201-2 +القطع المكافئ

, 25y – 23x 120 =جد معادلة القطع الزائد الذي بؤرتاه تنطبقان على بؤرتي القطع الناقص الذي معادلته (29

والنسبة بين طول محوره الحقيقي الى البعد بين بؤرتيه كنسبة 1

2. 2016-3

مركزه نقطة االصل واحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ معادلة قطع ناقص 4y 2kx +2 36 =لتكن (30

y2 الذي معادلته = 4√2 x جد قيمةk. 2016-3 31)



Education

ملزمة الرياضيات السادس العلمي2017 - القطوع المخروطية