Камчатский государственный технический университет А. Исаков

Физика

Решение задач ЕГЭ − 2014 Часть 1

Петропавловск-Камчатский 2013

2

УДК 50(075.8) ББК 20я73 И85

Рецензент доктор физико-математических наук,

профессор Дальневосточного Федерального университета Стоценко Л.Г.

Исаков Александр Яковлевич И85 Физика. Решение задач ЕГЭ − 2014. Часть 1: КамчатГТУ, 2013. − 172 с.

Приведены решения задач из сборника вариантов заданий Грибова А.Г., планируемых, по мнению автора для включения в экзаменационные материалы по физике в 2014 г Большинство задач снабжены подробными решениями с анализом приме-няемых законов и определений, для стандартных задач самого начального уровня приведены только схемы решений Сборник предназначен, прежде всего, для школьников старших классов, намеревающихся овладеть методиками решения задач, в частности, части «С» в рамках современного ЕГЭ. Приведенные материалы могут быть так же полезными студентам первых курсов, изучающих общую физику в университетском объёме по техническим программам подготовки, особенно студентам заочной формы образования, ко-гда программа осваивается самостоятельно.

3

Оглавление Вариант 1 ................................................................................................. 4 Вариант 2 ............................................................................................... 18 Вариант 3 ............................................................................................... 34 Вариант 4 ............................................................................................... 47 Вариант 6 ............................................................................................... 64 Вариант 7 ............................................................................................... 83 Вариант 8 ............................................................................................. 107 Вариант 9 ............................................................................................. 130 Вариант 10 ........................................................................................... 154

4

Вариант 1

Часть 1 А1. Четыре тела двигались по оси Ох. В таблице представлена зависи-мость их координат от времени:

У какого из тел скорость могла быть постоянной и отличной от нуля?

Решение 1. Наглядно смысл решения модно представить, воспользовавшись графи-ками движения, т.е. зависимостями координат тел от времени:

из которых видно, что только в первом случае величина средней скорости дви-жения в проекции на заданную ось остаётся постоянной во всё время движения

;consttxv 1x =ΔΔ

>=<

2. У второго тела скорость во всё время движения остаётся равной нулю, что не удовлетворяет поставленному в задаче условию

;0v 2x = 3. Третье тело движется ускоренно, так что

,ktv 23x =

5

где k − некоторый постоянный коэффициент, т.е. модуль проекции скорости на ось Ох зависит от времени. 4. Четвёртое тело при t2 = 2 с и t4 = 4 c останавливается ( 0v 4x = ) и меняет направление движения. А2. Шарик движется по окружности радиусом r со скоростью v. Как изме-нится его нормальное (центростремительное ускорение), если радиус окруж-ности увеличить в 3 раза, оставив модуль скорости шарика прежним?

Решение 1. Всякое тело, движущееся по криволинейной траектории (к каковой отно-сится и окружность) всегда имеет ускорение отличное от нуля, потому что:

,dtvdar

r=

следует обратить внимание, что производная по времени берётся от вектора скорости, которая как и всякий вектор характеризуется модулем (величиной) и направлением. При криволинейном движении даже при постоянстве модуля скорости, направление меняется − следовательно такое движение по определе-нию является ускоренным. 2. При рассмотрении криволинейного движения с кинематических позиций принято ускорение представлять в виде двух составляющих − тангенциального (касательного) τar и нормального (центростремительного) ускорения na

r:

;aaa;aaa 2n

2n +=+= ττ

rrrr

;3v

a;dtdva

2

n

rrr

==τ

3. Таким образом, на основании записанных уравнений видно, что вектор тангенциального ускорения остаётся постоянным по модулю и направленным по касательной в данной точке траектории. Моль нормального ускорения, об-ратно пропорциональный радиусу окружности, уменьшится в три раза при уве-личении этого радиуса в три раза. А3. У поверхности Луны на космонавта действует сила тяготения F1 = 120 H. Какая сила тяготения действует со стороны Луны на того же космонавта в космическом корабле, движущемся по круговой орбите вокруг Луны на рас-стоянии трёх лунных радиусов от её центра?

Решение 1. Между космонавтом и Луной происходит гравитационное взаимодейст-вие в соответствие с законом Ньютона:

( ) ⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

=

;R3

MmGF

;RMmGF

22

21

где G − гравитационная постоянная, установленная Кавендишем, M и m − мас-са Луны и космонавта, R − радиус Луны.

6

2. Поделив уравнения друг на друга получим:

;H3,139FF;

RR9

FF 1

22

2

2

1 ≈=⇒=

А4. Шары движутся со скоростями, показанными на рисунке, и сталкивают-ся. Как будет направлен суммарный импульс шаров после столкновения, если удар абсолютно упругий?

Решение

1. При абсолютно упругом столкновении тел сохраняется как импульс, так и кинетиче-ская энергия, сумма импульсов тел до столк-новения равна сумме импульсов тел после столкновения, что позволяет записать для ко-нечного импульса тел следующее уравнение:

( ) ( ) ;0p;pcos;p;pcospp2ppp;ppp 21212122

212,1212,1 =++=+=

rrrrrrrr

;ppp 22

212,1 +=

r

А5. Мальчик столкнул санки с вершины горки. Сразу после точка санки имели скорость v1 = 5 м/с, а у подножия горки она равнялась v2 = 15 м/с. Тре-ние санок о снег пренебрежимо мало. Какова высота горки?

Решение

1. Движение санок вниз по склону без учёта сил трения происходит под действи-ем силы тяжести, которая относится к консервативным силам, т.е. справедлив закон сохранения энергии:

;ПКПК;EE 221121 +=+= 2. В точке старта 1 санки обладают кинетической и потенциальной энерги-ей. Если уровень подножия горы принять за нулевой уровень потенциальной энергии, то потенциальная энергия в конце спуска будет равна нулю. В этом случае закон сохранения энергии примет вид:

;м1020

25225g2vvh;vgh2v;

2mvmgh

2mv 2

1222

221

22

21 ≈

−≈

−=⇒=+=+

А6. Мужской голос баритон занимает частотный интервал от ν1 = 100 Гц до ν2 = 400 Гц. Чему равно отношение длин волн соответствующих границам это-го интервала?

Решение 1. Скорость звука с в средах, без учёта дисперсии (зависимость скорости упругих волн от частоты) равна произведению частоты ν на длину волны λ:

;4;c 12212211 =νν=λλ⇒νλ=νλ=

7

А7. В результате охлаждения идеального газа средняя кинетическая энер-гия теплового движения его молекул уменьшилась в три раза. Во сколько раз изменилась при этом абсолютная температура этого идеального газа?

Решение 1. Молекула идеального газа обладает тремя поступательными степенями свободы i = 3, поэтому кинетическая энергия поступательного движения, в со-ответствии с основным уравнением молекулярно-кинетической теории опреде-ляется уравнением:

,Tk23Tk

2i

BB =>=ε<

где kB − постоянная Людвига Больцмана, Т − абсолютная температура. 2. Кинетическая энергия молекул идеального газа в двух заданных состоя-ниях:

;3TT;

31

TT

;Tk23

3

;Tk23

13

2

1

2B1

1B1

==⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=>ε<

>=ε<

А8. Один моль разреженного газа сначала изотермически сжали, а затем изохорно нагрели. На каком из рисунков изображён график этих процессов?

Решение 1. Для ответа на поставленный вопрос необходимо изобразить изопроцессы в различном сочетании параметров состояния:

2. Сравнение графиков с учётом последовательности процессов (сначала при постоянной температуре газ сжали, т.е. увеличили его давление, а затем, при постоянном давлении нагрели) заданному ходу процессов соответствует график 2.

8

А9. Вода может испаряться: 1. Только при кипении; 2. Только при нагревании; 3. При любой температуре, если пар над поверхностью воды является ненасыщенным; 4. При любой температуре, если пар в воздухе над поверхностью воды является насыщенным?

Решение 1. В жидком состоянии молекулы веществ, в основном совершают колеба-тельные движения, но некоторая часть молекул в результате взаимодействия между соседками получает поступательную составляющую движения, именно эти молекулы, будучи расположенными в приповерхностном слое жидкости способны преодолеть силы поверхностного натяжения и покинуть жидкость, превратившись в её пар. 2. В принципе процесс испарения протекает при любой температуре, если пар над поверхностью ненасыщенный, при наступлении состояния насыщения, количество молекул покидающих единицу поверхности жидкости в единицу времени, становится равным количеству жидкостей возвращающихся в жид-кость в процессе конденсации, в этом случае говорят о состоянии динамиче-ского равновесия между жидким и парообразным состоянием. 3. Таким образом, количество вещества в жидком состоянии будет умень-шаться за счёт испарения во всех случаях, пока давление паров не достигнет значения насыщения. А10. Газ совершил работу А = 10 Дж и получил количество тепла Q = 6 Дж. Внутренняя энергия газа ΔU: 1. Увеличилась на 16 Дж; 2. Уменьшилась на 16 Дж? 3. Увеличилась на 4 Дж; 4. Уменьшилась на 4 Дж?

Решение 1. В соответствии с первым началом термодинамики:

;Дж4106U;UAQ −=−=Δ⇒Δ+δ=δ Внутренняя энергия газа уменьшилась на 4 Дж. А11. Два неподвижных точечных электрических заряда действуют модуль сил друг на друга силами, равными по модулю 9 мкН. Каким станет модуль сил взаимодействия между зарядами, если, не меняя расстояние между ними, увеличить модуль каждого из них в 3 раза?

Решение 1. Взаимодействие точечных электрических зарядов подчиняется закону Кулона:

9

;мкН81F9F;91

F

F

;rq3

41F

;rq

41F

122

1

2

2

02

2

2

01

===⇒

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

πεε=

πεε=

rrr

r

r

r

А12. Два резистора включены в электрическую цепь параллельно, при этом I1 = 0,8 А, I2 = 0,2 А. Для сопротивлений резисторов справедливо соотношение:

1. ;R2R.4;R21R.3;R4R.2;R

41R 24212121 ====

Решение

1. Резисторы включены параллельно, поэтому падение напряжения на них бу-дет одинаковым, что делает возможным применения следствий закона Ома для участка цепи:

;R41R;

RR

II;RIRIU 21

1

2

2

12211 ==⇒==

A13. Основным законом электромагнитной индукции Майкла Фарадея

tB

i ΔΔΦ

−=ε

можно объяснить: 1. Взаимодействие двух параллельных проводов, по которым течёт ток; 2. Отклонение магнитной стрелки, расположенной вблизи проводника с током параллельно ему; 3. Возникновение электрического тока в замкнутой катушке при увели-чении силы тока в другой катушке, находящейся рядом; 4. Возникновение силы, действующей на проводник с током в магнитном поле;

Решение 1. Проявлению закона электромагнитной индукции соответствует третий случай. Экс-периментальным подтверждением которого может служить трансформатор, включенный с цепь переменного тока, где в цепи первой катушки сила тока изменяется по синусои-дальному закону, т.е. по синусоидальному закону меняется поток магнитной индукции

( ) ;tsint (max)BB ωΦ=Φ А14. Напряжение на обкладках конденсатора в колебательном контуре ме-няется во времени в соответствии с приведенным графиком. Какое преобразо-вание энергии происходит в контуре в промежутке времени от t1 = 2⋅10 − 6 с до t2 = 3⋅10 −6 с? 1. Энергия магнитного поля катушки уменьшается от максимального значе-ния до нуля;

10

2. Энергия магнитного поля катушки преобразуется в энергию электриче-ского поля конденсатора; 3. Энергия электрического поля конденсатора увеличивается от нуля до максимального значения; 4. Энергия электрического поля конденсатора преобразуется в энергию магнитного поля конденсатора;

Решение

1. Энергия заряженного конденса-тора определяется уравнением:

( )2

)t(CutW2

C = ,

т.е. в указанном промежутке времени энергия конденсатора изменяется от некоторого амплитудного значения до нуля. 2. В соответствии с законом со-

хранения электромагнитной энергии, уменьшение энергии электрического поля конденсатора должно сопровождаться увеличением магнитного поля катушки, т.е. в заданном интервале времени протекает процесс преобразование электри-ческой энергии в магнитную энергию. А15. На рисунке показан ход светового луча сквозь стеклянную призму, на-ходящуюся в воздухе. Если точка О является центром окружности, то показа-тель преломления стекла n равен отношению длин отрезков:

;OBOD.4;

ODOB.3;

CDAB.2;

ABCD.1

Решение

1. Закон преломления света для рас-сматриваемого случая запишется сле-дующим образом:

;OCOA;

OCCDOAAB

sinsin

n1

==βα

=

;ABCDn =

А16. В инерциальной системе отсчёта свет от неподвижного источника распространяется в ва-кууме со скоростью с. Если источник и зеркало движутся навстречу друг к другу со скоростями, равными по модулю v, то скорость отражённого луча света в инерциальной системе отсчёта, свя-занной с источником, равна:

2

2

cv1c.4;v2c.3;c.2;v2c.1 −+− ;

11

Решение 1. Хендрик Лоренц анализируя уравнения электродинамики Джеймса Клер-ка Максвелла попытался совместить их с уравнениями относительности Гали-лео Галилея, сформулировал преобразования, получившие в последствии его имя. В соответствие с этими преобразованиями им было записано, для элек-тромагнитных волн уравнение сложения их скоростей в инерциальных систе-мах отсчёта

;

cvv1

vvv2

21

21

+

+=

2. Применительно к заданному случаю, уравнение релятивистского сложе-ния скоростей запишется следующим образом:

;c2c2

ccc1

ccv2

==+

+=

А17. Атом бора B8

5 одержит: 1. 8 протонов, 5 нейтронов и 13 электронов; 2. 8 протонов, 5 нейтронов и 8 электронов; 3. 5 протонов, 3 нейтрона и 5 электронов; 4. 5 протонов, 8 нейтронов и 13 электронов.

Решение 1 Химические элементы принято обозначать XA

Z , где Z − зарядовое число, численно равное суммарному количеству протонов, содержащихся в ядре, A − массовое число, равное сумме масс протонов и нейтронов в ядре. Поскольку у нейтрального атома положительный заряд ядра должен быть равен по модулю суммарному отрицательному заряду электронов:

;5NN;3N;5N;8A;5Z

penp ====⇒⎭⎬⎫

==

18. Задан график изменения числа рас-павшихся ядер в пробирке с радиоактив-ным изотопом с течением времени. Опре-делить период полураспада этого изотопа.

Решение

1. Периодом полураспада радиоактивно-го вещества равен времени в течение кото-рого распадается половина начального ко-личества активных ядер, при N = 6⋅1018 по-ловина ядер будет составлять N1/2 = 3⋅108, поэтому период полураспада составит:

.мес1Т 2/1 =

12

19. Радиоактивный полоний Po21684 , испытав один α-распад и два электрон-

ных β-распада, превратился в изотоп: ;TlТаллия.4;BiВисмута.3;PoПолония.2;PbСвинца.1 208

81212

8321284

21282

Решение

1. α-распад испытывают, как правило, ядра с относительно большим массо-вым числом A > 200, поскольку испускаются дважды ионизированные атомы гелия, то массовое число уменьшается на 4 единицы, зарядовое же число уменьшается на 2 единицы

;XPo 42

4216284

21684 α+→ −

− 2. Электронный β-распад сопровождается испусканием электрона, который возникает в результате превращения нейтрона в протон, при этом зарядовое число ядра увеличивается на 1 единицу, массовое число ввиду малости массы электрона − сохраняется:

;PoY;e2YX 21284

21284

01

21284

21282 ≡⇒+→ −

Радиоактивный полоний в результате одного α-распада и двух электронных β-распадов превращается в изотоп полония с А = 212 и Z = 84.

20. На рисунке показана часть шкалы ком-натного термометра. Определить абсолютную температуру воздуха в комнате.

Решение 1. Шкала комнатного термометра градуи-рована в градусах Цельсия, а абсолютная

(термодинамическая) температура измеряется в градусах Кельвина, поэтому: ;K295273tT;C22t 0 =+≅≅

21. При проведении эксперимента исследовалась зависимость модуля силы упругости пружины от длины пружины, которая выражается формулой

( ) 0kF lll −= , где 0l − длина недеформированной пружины. Какое (-ие) из утверждений соот-ветствует (-ют) результатам опыта? А. Длина недеформированной пружины равна 7 см. Б. Жёсткость пружины k = 200 Н/м.

1. Только А; 2. Только Б; 3. И А, и Б; 4. Ни А, ни Б.

Решение 1. Судя по данным графика, длина неде-формированной пружины составляет 0l ≈ 3 см. 2. Коэффициент упругости пружины:

( ) ;мН200

10366Fk 2 ≈−

≈ΔΔ

= −l

13

Часть 2 В1. В сосуде под поршнем находится фиксированное количество идеаль-ного газа. Если при нагревании газа его давление остаётся постоянным, то как изменятся величины: объём газа, его плотность и внутренняя энергия? 1. Увеличится; 2. Уменьшится; 3. Не изменится;

Решение 1. Объём газа:

,pRTV;RTpV ν

=ν=

другими словами, при фиксированном значении количества вещества ν и дав-ления р при увеличении температуры объем газа увеличится (1). 2. Плотность газа:

,RTp,RTRT

Vmp;RTmpV μ

=ρ⇒μ

ρ=μ

=μ

=

при постоянстве давления и молярной массы μ увеличение абсолютной темпе-ратуры приведёт к уменьшению плотности (2). 3. Внутренняя энергия газа:

;TRm2iU Δμ

=Δ

При постоянстве числа степеней свободы молекулы газа i, массы газа m, молярной массы μ внутренняя энергия ΔU при увеличении температуры тоже увеличивается (1).

Объём газа V Плотность газа ρ Внутренняя энергия U 1 2 1

В2. Световой пучок выходит из стекла в воздух. Что происходит при этом с частотой электромагнитных ко-лебаний в световой волне, скоростью их распростране-ния, длиной волны? Для каждой величины определить характер изменения: 1. Увеличивается; 2. Уменьшается; 3. Не изменяется;

Решение 1. Частота колебаний в электромагнитной волне при переходе из стекла в воздух меняться не будет т.к. она зависит только от физических свойств излу-чателя, (3). 2. Изменение скорости распространения можно определить из закона пре-ломления:

,sinsin

vcn

γα

==

14

как известно, для стекла n > 1, поэтому при переходе электромагнитной волны из стекла в воздух её скорость увеличится, (1). 3. Длина волны связана со скоростью распространения уравнением:

,v;vν

=λ⇒νλ=

из которого следует, что при постоянстве частоты и увеличении скорости, дли-на волны так же будет увеличиваться, (1).

Частота ν Скорость v Длина волны λ 3 1 1

В3. Конденсатор колебательного контура подклю-чён к источнику постоянного напряжения. Графики А и Б представляют изменения физических величин, ха-рактеризующих колебания в контуре после переведе-ния ключа К в положение 2 в момент времени t = 0. Ус-тановить соответствие между графиками и физически-ми величинами, зависимости которых от времени эти графики могут представлять. К каждой позиции первого столбца подобрать соответствующую позицию второго и записать в таблицу выбранные цифры под соответ-ствующими буквами.

Решение

1. При переводе ключа в положение 2 конденсатор С будет замкнут на ка-тушку индуктивности L, энергия электрического поля конденсатора начнёт трансформироваться в энергию магнитного поля катушки. Без учёта потерь:

,2

)t(Li2

)t(Cu;WW22

BE ⇔⇔

поскольку сила тока и напряжение колеблются в противофазе, то график А бу-дет соответствовать изменению силы тока в катушке, (3). 2. График Б представляет собой гармоническую функцию от времени с пе-риодом в два раза меньшим, чем период изменения силы тока и напряжения. Этот график представляет собой изменение энергии магнитного поля в катуш-ке, (4).

15

А Б 3 4

В4. Шарик брошен вертикально вверх с начальной скоро-стью v0. Установить соответствие между графиками и физиче-скими величинами, зависимости которых от времени эти гра-фики могут представлять (t0 − время полёта). К каждой пози-ции первого столбца подобрать соответствующую позицию второго и записать в таблицу выбранные цифры под соответ-ствующими буквами.

Решение

1. Система уравнений, описывающих вертикальный бросок тела в поле си-лы тяжести (без учёта сил сопротивления):

⎪⎭

⎪⎬

⎫

−=

−=

;2

gttv)t(y

;gtv)t(v2

0

0y

2. В верхней точке траектории при t = t0/2 проекция скорости тела на верти-кальную ось станет равной нулю, перед тем как начать падение вниз, тело ос-танавливается и меняет направление скорости, график А соответствует изме-нению проекции скорости тела на заданную вертикальную ось, (2). 3. Во время как подъема тела так и его спуска ускорение постоянно по мо-дулю и направлено в противоположную сторону вертикальной оси, (3).

А Б 2 3

16

Часть 3

А22. Автомобиль, двигаясь по горизонтальной дороге, совершает поворот по дуге окружности. Каков минимальный радиус этой окружности при коэффи-циенте рения шин автомобиля о дорогу μ = 0,4 при скорости автомобиля v = 10 м/с.

Решение 1. Приняв автомобиль за материальную точку, можно утверждать, что она находится под действием сил: силы трения, которая является ньютоновской силой и силой инерции (центробежной силой) которая часто называется фик-тивной или не ньютоновской. В проекции на горизонтальную ось уравнение второго закона Ньютона представится в виде:

;м25104,0

100g

vR;R

mvmg22

≅⋅

≅μ

=⇒=μ

A23. В кубическом метре воздуха в помещении при температуре t = 20 0С находится mp = 1,12⋅10 − 2 кг водяных паров. Пользуясь таблицей плотности на-сыщенных паров воды, определить относительную влажность воздуха.

Решение 1. Плотность пара ρ характеризует массу водяного пара в 1 кубическом метре воздуха, поэтому:

≈==ρ

ρ=ϕ

73,112,1

mm

np

p

np

p 0,647 (≈65%);

А24. Две частицы, имеющие отношение зарядов q2/q1 =2 и отношение масс m2/m1 = 4, движутся в однородном магнитном поле. Начальная скорость у обе-их частиц равна нулю. Определить отношение кинетических энергий этих час-тиц W2/W1 в один и тот же момент времени после начала движения.

Решение 1. Частицы в электрическом поле из состояния покоя будут двигаться уско-ренно:

;1qmqm

vmvm

WW

;tm

Eqv

;tm

Eqv

;tav;tav

221

212

222

211

1

2

2

22

1

11

22

11 ===

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

=

⎭⎬⎫

==

А25. В опытах по фотоэффекту взяли пластинку из металла с работой вы-хода А = 3,5 эВ и стали освещать её светом частоты ν1 = 3⋅105 Гц. Затем час-тоту падающей световой волны уменьшили в 4 раза, увеличив в 2 раза интен-

17

сивность светового пучка. В результате этого число фотоэлектронов, поки-дающих пластину за 1 с: 1. Осталось приблизительно таким же; 2. Уменьшилось в 2 раза; 3. Оказалась равной нулю; 4. Уменьшилась в 4 раза.

Решение 1. Уравнение внешнего фотоэффекта:

,A2vmh

2e +=ν

где h ≈ 6,6⋅10 − 34 Дж⋅с − постоянная Планка, ν − частота электромагнитной волны, падающей на поверхность металла с работой выхода А, me ≈ 9,1⋅10 − 31 кг, v − скорость выхода электрона с поверхности металла. 2. Определим энергию падающего на поверхность кванта в первоначальном варианте эксперимента:

;эВ5,12106,1

102Дж102103106,6h 19

18181534

11f ≈⋅⋅

≈⋅≈⋅⋅⋅≈ν=ε −

−−−

3. При заданных условиях фотоэффект будет иметь место, потому что энер-гия фотона превышает величину работы выхода:

;A1f >ε 4. Определим энергию фотона при уменьшении частоты падающей волны в 4 раза:

,эВ125,34

5,124

h 12f ≈≈

ν≈ε

т.е. A2f <ε , другими словами, фотоэффект протекать не будет при любой ин-тенсивности падающего на поверхность электромагнитного излучения. Элек-троны поверхность металла покидать не будут, (3).

18

Вариант 2

Часть 1

А1. тело начинает двигаться из состояния покоя с постоянным ускорением а = 4 м/с. Чему будет равна скорость тела через t = 2 с?

Решение ;см8atv ==

А2. На рисунке в заданном масштабе показаны векторы сил, действующих на материальную точку. Определить модуль и направление равнодействую-щих этих сил.

Решение 1. Модуль равнодействующей силы:

( ) ;H222444FFFR 23

2

21 =⋅=+=+−=rrrr

2. Поскольку модули слагаемых сил одинаковы и составляют прямой угол, то равнодействующая будет составлять угол α = 450 с направлениями сил. А3. При исследовании зависимости силы трения скольжения FТр бруска от силы нормального давления N опоры на брусок (нормальной реакции связи) получена зависимость, представленная на рисунке. Определить приближён-ное значение коэффициента трения скольжения μ.

Решение

1. Сила трения скольжения по определе-нию равна:

;N

F;NF Тр

Тр =μ⇒μ=

2. На заданном графике выбираем на прямой точку с позиции удобства считыва-

ния и последующих расчетов:

;4,052≈≈μ

19

А4. Лифт движется вверх равнозамедленно с ускорением, равным по мо-дулю а. С какой силой действует на пол тело массой m?

);ag(mN.4;mgN.3;maN.2);ag(mN.1 4321 −===+=

Решение 1. Сила тяжести, как обычно направлена вертикально вниз, противоположно выбранному направлению оси y, уско-рение лифта а в данном случае совпадает с направлением ус-корения свободного падения g, а фиктивная сила инерции на-правлена в соответствии с принципом Даламбера в противо-положную сторону, поэтому:

);ag(mmamgN −=−=r

А5. При работе гидроаккумулирующих электростанций ночью за счёт из-бытка электроэнергии вода закачивается насосами в водоём на возвышенно-сти, а днём вода течёт из водоёма по шлюзу вниз и насосы выполняют роль гидротурбин. На какую высоту h необходимо закачать m = 2,6⋅106 т воды, что-бы её было достаточно для выработки W = 2,5⋅1012 Дж энергии? Потерями энергии пренебречь.

Решение 1. В данном случае используется потенци-альная энергия воды, поднятой над нулевым уровнем:

м9881,9106,2

105,2mgWh;mghWП 9

12

≈⋅⋅

⋅==== ;

А6. Сигнал гидролокатора подводной лодки, отразившись от цели, отстоя-щей от неё на расстоянии l = 3 км, зарегистрирован через время τ = 4 с после излучения зондирующего импульса. Частота колебаний излучателя гидролока-тора f = 10 кГц. Определить длину звуковой волны λ.

Решение 1. Скорость распространения звука в воде:

;см1500

41062с

3

=⋅

=τ

=l

2. Длина звуковой волны:

;м15,010

1500с;с 4 ==ν

=λ⇒νλ=

А7. В опытах Штерна по экспериментальному определению распределения скоростей атомов паров серебра была получена зависимость числа молекул N модуль скорости которых попадают в определённые интервалы vΔ от 0 до 1000 м/с.Какая из приведенных гистограмм качественно соответствует резуль-татов опытам Штерна?

20

Решение

1. В 1920 г. немецкий учёный Отто Штерн (1888 − 1969) поставил экспери-мент в результате которого удалось измерить абсолютные значения скоростей. 2. В экспериментах Штерна исследовалось распределение по скоростям молекул паров серебра и платины ( Pt,Ag ), которые испарялись с поверхностей, нагреваемой электрическим током проволоки. Проволока 1, помещались внутрь двух коаксиальных цилиндров 2,3. Внутренний цилиндр имел узкую вертикальную щель 4, служившую в качестве диафрагмы для формирования узкого молекулярного пучка. Через щель молекулы попадали на поверхность внешнего холодного цилиндра. Пространство между цилиндрами вакуумиро-валось, с целью предотвращения столкновения молекул серебра или платины с молекулами воздуха. Если цилиндры неподвижны, то на полированной по-верхности остаётся радикально выраженная, с чёткими границами, тёмная по-лоса распыляемого металла толщиной 0,4 мм. 3. Совместное вращение цилиндров вокруг общей оси с одинаковой угло-вой скоростью ω приводило к тому, что за время полёта молекул между цилин-драми, последние провернуться на некоторый угол. Молекулы с разными ско-ростями будут попадать в разные места, потому что время движения молекул определяется их скоростями. На внутренней поверхности холодного цилиндра образуется полоса с размытыми краями, исследуя толщину слоя, можно соста-вить представление о распределении молекул по скоростям. Если R и r радиу-сы большого и малого цилиндров, то время полёта молекул определится как

vrRt −

=Δ .

4. За это время цилиндры повернуться на угол tΔ⋅ω=ϕΔ , или на длину ду-ги

tRR Δ⋅⋅ω=⋅ϕΔ=l . Подставляя в последнее уравнение значение tΔ , получим уравнение для определения скорости.

( ) ( )l

lrRRv,

vrRR −ω

=⇒−

ω= .

21

5. Таким образом, впервые удалось измерить скорость одноатомных моле-кул серебра, и подтвердить справедливость теоретических результатов Мак-свелла. Полученные экспериментальные данные удивительным образом совпа-ли с теорией Максвелла касаемо средней скорости молекул, хотя о распределе-нии скоростей можно было судить только на качественном уровне. 6. Как показали опыты Штерна средняя скорость молекул пропорциональна корню квадратному из абсолютной температуры

Tv ≈>< , что полностью совпадало с теоретическими предпосылками, полученными на основе анализа основного уравнения молекулярно-кинетической теории

μ=

μ>=<

RT3TNk3v AB .

А8. Первоначальное давление газа в сосуде равнялось р0. Увеличив объём сосуда, концентрацию молекул газа уменьшили в 3 раза и одновременно в 2 раза увеличили среднюю энергию хаотического движения молекул. В резуль-тате этого давление р газа в сосуде стало равным:

;р31.4;р

32.3;р2.2;р

34.1 0000

Решение 1. Средняя величина кинетической энергии молекул газа:

;Tk23

2vm

B

20

0 =><

>=ε<

2. Средняя арифметическая скорость молекул газа:

R3vT;RT3v;RT3v

22 μ><

=μ

=><⇒μ

>=< ;

2. Давление газа: ;Tnkp B=

3. Соотношение давлений:

;p32p

;T23

np

;Tknp01

00

1

0B00

=⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

=

=

А9. Какой вид теплопередачи сопровождается переносом вещества? 1. Только теплопроводность; 2. Теплопроводность, конвекция и излучения;

22

3. Только излучение; 4. Только конвекция.

Решение 1. Рассмотрим однородное тело в виде прямоугольного параллелепипеда на торцах которого поддерживаются температуры Т1 и Т2. Если температуры не-

одинаковы, например, T1 > T2, то будет протекать передача теплоты от участков с более высокой температурой к участкам с более низкой темпера-турой. Выделяют три различных механизма пере-дачи теплоты:

• теплопроводность; • конвекцию; • радиационный теплообмен.

2. Процесс теплопроводности представляет собой непосредственную передачу кинетической энергии движения от одних молекул к другим. 3. Будем считать, что теплоёмкость рассматриваемого вещества настолько велика, что за малый промежуток времени Δt температура Т1 и Т2 не изменяют-ся. Количество теплоты, передаваемое через плоскую площадку s перпендику-лярную оси х за время Δt определил экспериментально Жан Батист Фурье (1768 − 1830)

xTTtksQ 12 −Δ=δ ,

где k − коэффициент теплопроводности материала параллелепипеда. Коэффи-циент теплопроводности является одним из основных термофизических свойств вещества, в зависимости от значения k вещества имеют то или иное промышленное применение. 4. Теплопередача за счёт теплопроводности и радиационного теплообмена происходит без перемещения масс вещества, только теплопередача при кон-вективном механизме теплообмена сопровождается переносом вещества, как например, при обогревании помещений батареями отопления. А10. Газу передали изохорно количество теплоты Q = 300 Дж. Как измени-лась его внутренняя энергии в этом процессе? 1. Увеличилась на 300 Дж; 2. Увеличилась на 600 Дж; 3. Уменьшилась на 600 Дж; 4. Уменьшилась на 300 Дж.

Решение 1. Уравнение первого начала термодинамики:

;UAQ Δ+δ=δ 2. При изохорном изменении состояния газа:

;Дж300UQ;0VpA;0V;constV =Δ=δ=Δ=δ⇒=Δ= Внутренняя энергия в заданном процессе увеличивается на 300 Дж.

23

А11. Положительный заряд перемещается в однородном электростатическом поле из точки 1 в точку 2 по разным траекториям. Работа сил электростатического поля: 1. Максимальна в случае перемещения по траектории I. 2. Не совершается в случае перемещения по траектории II. 3. Минимальна в случае перемещения по траектории III. 4. Одинакова при перемещении по всем трём траекториям.

Решение 1. Рассмотрим неподвижный точечный заряд Q, расположенный в воздухе и создающий в окре-стном пространстве электрическое поле напря-жённостью

rrQ

41E 3

0

rr

πε= .

2. В поле перемещается пробный заряд q из начального положения 1 в конечное положение 2 вдоль произвольной криво-линейной траектории, например I. Модуль силы Кулона, возникающей при взаимодействии зарядов, запишется ьтак:

20

K rqQ

41EqFπε

== .

3. Найдём далее работу, совершаемую силой Кулона на элементарном пе-ремещении заряда rd

r rdFA Krr

=δ . 4. Как видно из уравнения элементарная работа при перемещении точечно-го заряда в электрическом поле представляется скалярным произведением двух векторных величин, т.е. величина и знак работы зависит от взаимного направ-ления KF

r и rd

r . Работа на конечном перемещении определится в виде интеграла

∫ ∫πε=

πε=→

2

1

2

1

r

r

r

r2

03

021 r

dr4qQrd

rrqQ

41A

rr

.

5. Интеграл работы в общем случае зависит от положения начальной и ко-нечной точек, а так же от формы траектории, по которой перемещается заряд q. Однако для электрических полей неподвижных зарядов работа не зависит от формы траектории. В этом легко убедится, если из конечной точки 2 вернуть заряд в точку 1 по траектории, отличной от первоначальной. При перемещении заряда по любой замкнутой траектории, когда 21 rr

rr= итоговая работа будет рав-

на нулю, т.е. алгебраическая сумма работ, совершённых электрическими сила-ми на замкнутом пути будет равна нулю

12211221 AAAA →→→→ −=+ . Уравнение даёт основание выражение для работы в виде:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

πε=→

21021 r

1r1

4qQA .

24

6. Электрическое поле неподвижных зарядов, таким образом, как и гравитационное поле, обладает свойством потенциальности, т.е. работа, производимая такими полями, не зависит от вида траектории, а определя-ется только положениями начальной и конечной точек перемещения. 7. Свойство потенциальности обусловлено тем обстоятельством, что в элек-тростатических полях проявляются консервативные силы, дающие возмож-ность каждую точку поля охарактеризовать с энергетических позиций. Дейст-вительно, совершаемая работа должна соответствовать определённому измене-нию энергии перемещаемого заряда. Подобное наблюдается в механике и оп-ределяется теоремой об изменении кинетической энергии

12

21

22

21 KK2

mv2

mvA −=−=→ .

Работа, совершаемая в электростатическом поле, совершается за счёт уменьшения потенциальной энергии движущегося заряда

Π−=δΠ−Π=→ dA,A 1221 . 8. Как и в механике, абсолютное значение потенциальной энергии не обла-дает значимым физическим смыслом, более актуальным является изменение энергии, в связи, с чем необходимо представлять, что при бесконечном удале-нии зарядов друг от друга потенциальная энергия их взаимодействия будет стремиться к нулю, чем можно воспользоваться, подставив значение r2 → ∞ в уравнение работы

110

21

10

21121 r4

qqr11

4qqA Π=

πε−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∞πε=Π−Π=∞→ .

А12. Вольтметр подключён к клеммам источника тока с ЭДС ε = 3 В и внутренним сопротивлением r = 3 Ом. Через источник течёт ток силой I = 2 А. Вольт-метр показывает U = 5 В. Какое количество теплоты ΔQ выделяется внутри источника тока за промежуток времени τ = 1 с?

;Дж3Q.4;Дж4Q.3;Дж1Q.2;Дж5Q.1 4321 ====

Решение 1. В соответствии с законом Джоуля − Ленца и законом Ома для участка цепи:

;Дж4114rIQ;IrU;IUQ 2 =⋅⋅=τ=Δ⇒=τ=Δ

А13. Электрическая цепь, состоящая из прямолинейных горизонтальных проводников и источника постоянного тока, находится в одно-родном магнитном поле, куда при этом будет направлена сила Ампера, действующая на про-водник 1 − 2? 1. Вертикально вниз, от наблюдателя; 2. Горизонтально вправо; 3. Горизонтально влево; 4. Вертикально вверх, к наблюдателю.

25

Решение 1. Для определения направления силы Ампера необходимо знать направле-ние силы тока и направление вектора магнитной индукции. Далее, используя правило левой руки: «Если расположить левую руку так, чтобы магнитные си-ловые линии входили в ладонь, а вытянутые четыре пальца совпадали с на-правлением тока, то отогнутый большой палец укажет направление силы Ам-пера.

А14. Выбрать среди приведённых примеров электромагнитное излучение с минимальной длиной волны:

1. Рентгеновское; 2. Ультрафиолетовое;

3. Инфракрасное; 4. Видимое.

Решение 1. Длины волн и частоты электромагнитных волн:

Длина Наименование Частота

100 км и более Низкочастотные электрические колеба-ния 0 − 3 кГц

100 км − 1 мм Радиоволны: 3 кГц − 3ТГц 100 −10 км мириаметровые (очень низкие частоты) 3 − 30 кГц 10 − 1км километровые (низкие частоты) 30 − 300 кГц 1 км − 100 м гектометровые (средние частоты) 300 кГц − 3МГц 100 − 10 м декаметровые (высокие частоты) 3 − 30 МГц 10 − 1 м метровые (очень высокие частоты) 30 − 300 МГц 1 м − 10 см дециметровые (ультравысокие частоты) 300 − 3ГГц 10 − 1 см сантиметровые (сверхвысокие частоты) 3 − 30 ГГц 1 − 1 мм миллиметровые 30 − 300ГГц

1 − 0,1 мм децимиллиметровые (гипервысокие час-тоты) 300 − 3ТГц

2 мм − 760 нм Инфракрасное излучение 150 ГГц − 400ТГц

760 − 380 нм Видимое излучение 400 ТГц − 800 ТГц

380 − 3 нм Ультрафиолетовое излучение 800 ТГц − 100 ПГц

10 нм − 1 пм Рентгеновское излучение 300ПГц −300ЭГц

до 10 пм Гамма-излучение до 30 ЭГц

26

А15. Фокусное расстояние тонкой собирающей линзы равно F. Предмет малых размеров расположен на её главной оптической оси на расстоянии 2,5F от плоскости линзы. Изображение предмета находится от линзы на расстоя-нии:

;F32.4;F

31.3;F

35.2;F

34.1

Решение

;F35F67,1

6,0Ff;

F6,0

f1

;5,2

11F1

f1;

f1

F5,21

F1;

f1

d1

F1

≈≈==

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=+=+=

А16. Лазерный луч красного цвета падает перпендикулярно на дифракци-онную решётку, образуя дифракционную картину на экране. При повороте ре-шётки на угол α = 300 вокруг оси ОВ против часовой стрелки картинка на экра-не: 1. Повернётся на экране на 300 в противоположную сторону; 2. Не повернётся 3. Повернётся на 600 в противоположную сторону; 4. Повернётся на 300 в ту же сторону.

Решение

1. Из уравнения дифракционной решет-ки:

( ) ⎭⎬⎫

λ=α+ϕλ=ϕ

;ksind;ksind

дифракционная картинка зависит от перио-да решетки d, длины волны λ и порядка k

наблюдаемого максимума, поэтому поворот по часовой стрелке решётки при-ведёт к повороту картинки в туже сторону на угол 300. 17. В таблице приведены значения для второго и четвёртого уровней ато-ма водорода. Какова энергия фотона, излучаемого атомом при переходе ато-ма с четвёртого уровня на второй уровень?

27

Номер уровня Энергия, 10 −19 Дж 2 −5,45 4 −1,36

Решение

1. Энергия излучаемого (поглощаемого) фотона равна разности энергий со-ответствующих энергетических уровней атома:

;эВ56,2Дж1009,4EEh 1942f ≈⋅=−=ν=ε −

18. На рисунке представлен фрагмент диа-граммы энергетических уровней атома. Какой из отмеченных стрелками переходов между энерге-тическими уровнями сопровождается излучени-ем фотона с максимальной энергией?

Решение 1. Энергия излучаемого (поглощаемого) фотона равна разности энергий соответствующих энер-гетических уровней атома:

;EEh 15max(max)f −=ν=ε А19. В результате столкновения ядра бора B11

5 и α-частицы образуется нейтрон и ядро нового элемента. Определить этот элемент.

Решение 1. В соответствии с правилом сохранения зарядовых и массовых чисел при протекании ядерной реакции:

;NX;141411A;725Z;nXHB 147

147

10

AZ

42

115 ≡=−+==+=+→+

20. При определении сопротивления резистора напряжение на нём оказа-лось равным U = (4,6 ± 0,2) В. Сила тока, измеренная с высокой точностью, составила при этом I = 0,5 А. По результатам измерения можно заключить что: 1. R < 8,8 Ом; 2. R = 9,2 Ом; 3. 8,8 < R < 9,6 Ом; 4. R > 9,6 Ом;

Решение 1. Минимальное и максимальное значение сопротивления резистора в соот-ветствии законом Ома для участка цепи:

;Ом8,85,0

2,06,4I

UR minmin =

−== ;Ом6,9

5,02,06,4

IUR max

max =+

==

21. При нагревании спирали накаливания лампы электрическим током ос-новная часть электрической энергии теряется на тепловое излучение. Заданы графики зависимости мощности тепловых потерь P = f(T) и сопротивления

28

лампы R = f(T) от температуры. При помощи этих графиков определить напря-жение, приложенное к спирали при температуре Т = 2500 К.

Решение

1. Мощность, потребляемая при заданной температуре Р = 5 Вт, сопротив-ление спирали при этой температуре R = 8 Ом. 2. В соответствии с уравнением потребляемой мощности:

;В3,685PRU;RUIUP

2

≈⋅==⇒==

Часть 2

В1. Груз пружинного маятника совершает гармонические колебания между точками 1 и 3. Как изменяются кинетическая энергия груза ма-ятника, потенциальная энергия и жесткость пру-жины при движении груза от точки 2 к точке 3:

1. Увеличивается; 2. Уменьшается;

3. Не изменяется?

Решение 1. Упругая сила относится к консервативным силам, работа которых не за-висит от вида траектории, а определяется только положением начальной и ко-нечной точки, т.е. для массы, соединённой с горизонтальной пружиной можно записать

∫ =L

упр 0dF lrr

.

2. Полная энергия колеблющейся массы должна оставаться постоянной, т.е. справедлив закон сохранения энергии. В процессе колебаний происходит пре-образование потенциальной энергии в кинетическую энергию. На дне потенци-альной ямы масса (положение 1, совпадающее с точкой статического равнове-сия) обладает только кинетической энергией, которая имеет здесь максималь-ной значение. В крайних положениях массы (точки 1 и 3) энергия имеет потен-циальный характер

29

2mx

2xmKE,

2kxПE

220

20

max1

20

max3,1ω

=====&

.

3. Установим закон изменения кинетической и потенциальной энергии в случае гармонического колебания:

( ) ( )02

220

2

tsin2

mx2xmtK ϕ+ω

ω==

&,

( ) ( )02

20

2

tcos2

kx2

kxtП ϕ+ω== ,

4. Заменяя 2mнаk ω , получим:

.2EE,

2mx

2kxПKE

220

20 =

ω==+=

5. Периодичность изменения энергии установим в соответствии с тригоно-метрическими правилами

( ) ( ) ( ) ,t2cos21

21KtsinKtK 0max0

2max ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ϕ+ω−=ϕ+ω=

( ) ( ) ( ) ,t2cos21

21ПtcosПtП 0max0

2max ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ϕ+ω+=ϕ+ω=

очевидно, что кинетическая и потенциаль-ная энергии изменяются с частотой ω2 , в два раза превышающей частоту колеба-ний. В моменты амплитудного значения смещения кинетическая (точки 1и 3) энергия обращается в нуль, а полная энергия колеба-ний равна наибольшему значению потенци-альной энергии

2kAПE

2

max == .

6. При прохождении системой положения равновесия при х = 0, полная энергия являет-ся кинетической

2mAKE

22

maxω

== .

7. Разумеется, что в отсутствие сопротив-ления значение максимальной кинетической энергии совпадает со значением максималь-ной потенциальной энергии колебательной системы. 8. Средние значения кинетической энер-гии >< K и потенциальной >Π< равны половине полной энергии

2EK >=Π>=<< =

4kA2

.

Кинетическая энергия Потенциальная энергия Жёсткость пружины 2 1 3

30

В2. Камертон с собственной частотой колебаний ν = 440 Гц располагается вблизи тонкостенного аквариума с водой. Как изменяются скорость звуковой волны, частота колебаний ν и длина волны λ при переходе звуковой волны из воздуха в воду:

1. Увеличивается; 2. Уменьшается; 3. Не изменяется?

Решение 1. При распространении звуковой волны следует различать два совершенно разных явления: движение частиц среды в волне и перемещение самой упругой волны по среде. Первое явление − это движение частиц как материальных то-чек; второе явление − переход возмущенного состояния среды с одних частиц на другие. 2. Так, величина смещения и скорость частицы в волне зависят от силы зву-ка, например для слышимых звуков − от их громкости. Эти величины в звуко-вой волне, как правило, очень малы, а после прохождения волны каждая части-ца практически остается в своем исходном положении. Волна же удаляется от места возникновения; скорость ее велика (сотни и тысячи метров в секунду) и не зависит от силы звука, а только от параметров среды, в частности, от модуля Юнга и плотности среды

ρ= Ec . 3. Поскольку отношение Е/ρ для воды существенно больше, чем для возду-ха, то скорость звука в оде выше, чем в воздухе сВоз ≈ 340 м/с; сВоды ≈ 1500 м/с. 4. Частота колебаний изменяться не будет, т.к. она зависит (в отсутствии дисперсии) только от физических свойств источника колебаний ν = const. 5. Длина волны частота и скорость распространения волны связаны соот-ношением:

,c;cν

=λ⇒νλ=

т.е. при переходе волны из воздуха в воду длина волны будет увеличиваться.

Скорость звуковой волны

Частота колебаний Длина волны

1 3 1

В3. На рисунке показана цепь постоянного тока. Сопротивление обоих резисторов одина-ковы и равны R. Внутренним сопротивлением источника тока можно пренебречь. Установить соответствие между физическими величинами и формулами, по которым их можно рассчи-тать. К каждой позиции первого столбца по-добрать соответствующую позицию второго и записать в таблицу выбранные цифры под со-ответствующими буквами.

31

Решение 1. Закон Ома и мощность выделяемая на резисторе R1 при замкнутом ключе

;RIP;

RI ε

=ε=ε

=

2. Закон Ома и мощность выделяемая на резисторе R1 при разомкнутом ключе

;R42I

2PP;

R2I

2

R1

ε=

ε==

ε=

А Б 2 4

В4. Медное кольцо на горизонтальном коромыс-ле поворачивается вокруг вертикальной оси ОВ под действием движущегося магнита С. Установить соот-ветствие между направлением движения магнита, вращением коромысла с кольцом и направлением индукционного тока в кольце. К каждой позиции первого столбца подобрать со-ответствующую позицию второго и записать в табли-цу выбранные цифры под соответствующими буква-ми.

Решение 1. Закон электромагнитной индукции Майкла Фарадея справедлив для замкнутых контуров, которые пронизывает переменный во времени поток маг-нитной индукции:

32

;dtdBS

dtd B

i =Φ

−=ε

2. В рассматриваемом случае при поднесении магнита площадь рассматри-ваемого контура (кольца) S неизменна, переменным является величина магнит-ной индукции, поэтому в кольце возникает ЭДС индукции и по кольцу течёт индукционный ток, направление которого можно определить по правилу бу-равчика (правило правого винта).

3. В первом случае А индукционный ток направлен по часовой стрелке, следовательно индукционный ток вызовет магнитное поле, при этом левая плоскость кольца может рассматриваться как северный полюс, т.е. кольцо бу-дет отталкиваться от магнита, поворачивая коромысло (1). 4. При изменении положения магнитных полюсов на обратное Б, поменяет-ся направление индукционного тока в кольце, индукционный ток вызовет соб-ственное магнитное поле кольца, что приведёт к повороту коромысла (2).

А Б 1 2

Часть 3

А22. По горизонтальному столу из состояния покоя движется брусок массой m1 = 0,9 кг, соеди-нённый с грузом массой m2 = 0,3 кг невесомой и нерастяжимой нитью, перекинутой через идеаль-ный блок. Коэффициент трения бруска о поверх-ность μ = 0,2. Найти натяжение вертикальной части нити.

Решение 1. Уравнения второго закона Ньютона для ускоренно движущихся связанных тел:

⎭⎬⎫

=−=+μ−

;amTgm;amTgm

22

11

2. Выразим из второго уравнения величину ускорения:

;m

Tgmga2

2 −−=

33

3. Подставим значение ускорения в первое уравнение системы:

;gmgmmmTT;

mTmgmgmT;

mTgmgmT 111

2

1

2

111

211 μ+=+−=μ−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=μ−

( ) ( ) ;H7,2T;mm1mgmT;ggm

mm1T

21

211

2

1 ≈+

μ+=μ+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

А23. При постоянном давлении гелий нагрели, в результате чего он совер-шил работу δА = 5 кДж. Масса гелия m = 0,04 кг. На какую величину увеличи-лась температура газа?

Решение 1. Уравнение Клапейрона-Менделеева для идеального газа:

;TRmAVp Δμ

=δ=Δ

2. Разрешим уравнение относительно изменения температуры ΔТ:

;K603,804,0

104105mRAT

33

≈⋅⋅⋅⋅

=μδ

=Δ−

А24. Задана зависимость силы тока от питающего напряжения лампы на-каливания. Две такие лампы соединили последовательно и подключили к ак-кумулятору с напряжением U = 12 В. Оценить суммарную мощность, потреб-ляемую двумя таким лампами, соединёнными последовательно.

Решение 1. Как видно из графика через одну лампу при напряжении 6 В протекает ток силой I1

≈ 0,875 А. При этом лампа потребляет:

;Bт25,5UIp 111 ≈= 2. При подключении двух одинаковых ламп последовательно к аккумулятору с на-пряжением 12 В на каждой лампе будет падать по 6 В, т.е. обе лампы будут по-треблять:

;Вт5,10p2p 1 ≈≈Σ 25. В двух идеальных LC-контурах возникают незатухающие электромаг-нитные колебания. Максимальное значение заряда конденсатора второго кон-тура qm2 = 6 мкКл. Амплитуда колебаний силы тока в первом контуре в 2 раза меньше, а период его колебаний в три раза меньше чем в первом контуре. Оп-ределить максимальное значение заряда конденсатора в первом контуре.

Решение

( ) ( ) ;T2qi;t

T2cos

T2q

dtdqti;t

T2sinqtq

22m2m

222m2

22m2

π=

ππ==

π=

( ) ( ) ;T6qi;tii;1

T2cos;t

T2cos

T2qti

21m1m11m

1111m1

π==⇒=

πππ=

;мкКл16

qq;qq6;31

qq

ii 2m

1m2m1m1m

m

1m

2m 2 ==⇒==

34

Вариант 3

Часть 1

А1. Задан график изменения скорости прямолинейного движения тела от времени. Определить модуль ускорения тела.

Решение 1. Мгновенное и среднее значение уско-рения прямолинейно движущегося тела

;dtvd

tvlima;

t|v||a|

0t

rrr

rr

=ΔΔ

=ΔΔ

>=<→Δ

;см10

141040a 2=

−−

>=<r

А2. Ящик затаскивают вверх по наклонной плоскости с постоянной скоро-стью. Система отсчёта, связанная с наклонной плоскостью, является инерци-альной. В этом случае сумма всех сил, действующих на ящик: 1. Равна нулю; 2. Направлена в сторону движения ящика; 3. Направлена перпендикулярно наклонной плоскости; 4. Направлена в сторону, противоположную движению ящика.

Решение

1. На ящик, который ввиду прямолинейности его движения, можно считать материальной точкой действует система четырёх плоских сил: сила тяжести

gmr

; сила трения TFr

; нормальная реакция связи Nr

и движущая сила Fr

. 2. Поскольку ящик перемещается равномерно (ускорение равно нулю), то сумма проекций всех действующих сил на направление движения (ось х) в со-ответствии со вторым законом Ньютона должна быть равна нулю:

∑=

=

=+α−αμ−=nk

1kkx ;0Fsinmgcosmg;0F

35

А3. Камень массой m = 100 г брошен под углом α = 450 к горизонту с на-чальной скоростью v0 = 10 м/с. Чему равен модуль силы тяжести в момент бро-ска камня?

Решение

1. При движении тела, брошенного под углом α к горизонту в поле земного тяготения действует, во всё время движения постоянная по модулю и направ-лению сила тяжести gm

r, поэтому:

;H1101,0mgFg ≈⋅≈= А4. На тело, движущееся прямолинейно в одном направлении в инерци-альной системе отсчёта, действует постоянная сила F = 2Н. За какое время изменение импульса тела составит Δр = 4 кг⋅(м/с)?

Решение 1. Теорема об изменении импульса силы вытекает, как следствие второго закона Ньютона:

,dtvdmamFr

rr==

масса в классической механике является величиной, не зависящей от парамет-ров движения, поэтому в последнем уравнении её можно внести под зак диф-ференциала:

( ) ;c2Fpt;

dtpd

dtvmdF =

Δ=Δ⇒==

rrr

А5. Шарик массой m = 150 г начинает, не испытывая сопротивления, па-дать с высоты h = 20 м из состояния покоя. Какова кинетическая энергия шари-ка в момент падения его на поверхность земли?

36

Решение 1. Действующая на шарик сила тяжести является консервативной, поэтому в рассматриваемом случае справедлив с закон сохранения механической энер-гии:

;Дж30201015,0;mgh; ≈⋅⋅≈Κ=ΚΚ=Π

А6. Математический маятник с периодом качаний Т отклонили на небольшой угол от положения равно-весия и отпустили с нулевой начальной скоростью. Через какое время после начала движения в едини-цах периода потенциальная энергия впервые дос-тигнет минимального значения?

Решение 1. В начальном положении груза ма-тематического маятника 2 он будет под-нят над нулевым уровнем потенциаль-ной энергии на высоту h, поэтому станет обладать максимальным значением по-тенциальной энергии

;mgh2 =Π 2. При похождении положения ста-тического равновесия (точка 1) потенци-альная энергия полностью трансформи-руется в кинетическую энергию (П1 = 0, h = 0) это произойдёт через время

;4Т

=τ

А7. Броуновское движение частиц пыльцы в воде объясняется: 1. Хаотичностью химических реакций на поверхности частиц; 2. Непрерывностью и хаотичностью теплового движения молекул воды; 3. Существованием сил притяжения и отталкивания между атомами в молекулах; 4. Наличием питательных веществ в воде?

Решение 1. Наблюдать воочию модель теплового движения молекул посчастливи-лось не физику, не химику, а ботанику, Роберту Броуну (1773 − 1858), храните-лю научной библиотеки Королевской академии. Возвратившись из очередной географической экспедиции, Броун в тиши лондонского кабинета в 1827 г. изу-чал посредствам микроскопа добытые экземпляры растений. Очередь дошла до цветочной пыльцы, представляющей собой, по сути, мелкодисперсные крупин-ки. Капнув на покровное стеклышко капельку воды, Броун внёс туда некоторое количество цветочной пыльцы. Посмотрев в микроскоп, Броун обнаружил, что в фокальной плоскости микроскопа происходит непонятное.

37

2. Частицы пыльцы постоянно перемещались хаотичным образом, не по-зволяя исследователю их рассмотреть. Первое, что пришло в голову ботанику − конвективные потоки. Разные температуры стекла Т1, воды в капле Т2 и самих частичек Т3 вполне могли вызвать конвекционные тепловые потоки, которые и увлекали объекты наблюдения. Выждав время, когда температуры должны бы-ли сравняться, Броун снова устремил свой пытливый взор в микроскоп. Ничего не изменилось. Пыльца продолжала сновать. Пришла новая идея. На этот раз под подозрение попали английские кэбы, повозки для перевозки грузов и пас-сажиров, снабжённые деревянными колёсами с железными ободьями. Как предположил Броун, катясь по брусчатке мостовой, колёса экипажей содрогали землю и здания. Было решено эксперимент перенести в загородный дом, где нет кэбов, брусчатки и вообще, там спокойнее, чем в Лондоне. Но и эта уловка не принесла желаемых результатов. Необъяснимая суета частиц продолжалась. Исчерпав свои возможности усмирить непокорные пылинки, Броун решил по-ведать о своих наблюдениях коллегам. Опубликованная Броуном статья имела типичное для того неторопливого времени название: «Краткий отчёт о микро-скопических наблюдениях, проведенных над частицами в июне и августе 1827 г., содержащимися в пыльце растений; и о существовании активных молекул в органических и неорганических телах». 3. По началу статья Броуна вызвала у специалистов недоумение, отчасти, наверное, ввиду необычности наблюдаемого явления, отчасти вследствие про-странных разглагольствований автора о «живой силе», присущей органическим веществам. Вместе с тем, спустя некоторое время, факт нестандартного пове-дения частиц заинтересовал физиков. Голландец Корнабель в 1880 г. и француз Гуи в 1888 г. повели более тщательные наблюдения, из которых стало ясно, что степень подвижности частиц определяется их массой и температурой. Перво-начально предположили, что наблюдаемые частицы движутся от ударов, полу-чаемых от молекул окружающей их жидкости. При несоизмеримо больших размерах частицы получают одновременно множество ударов со всех сторон, поэтому результирующий импульс должен быть равным или близким к нулю. В этой связи заметного движения крупных частиц не наблюдается. Если рас-сматривать частицы мелкие, как это случилось в опытах Броуна, то количество единичных импульсов, получаемых частицей с разных направлений, будет уже не одинаковым. Во-первых, число соударений станет несимметричным, во-вторых скорости с которыми будут подлетать молекулы жидкости к частице тоже будут неодинаковыми, поскольку они являются результатом обмена им-пульсами с соседними молекулами жидкости. Такая возможная двойная асим-метрия сообщает частице некий результирующий импульс, под действием ко-

38

торого она получает некоторое перемещение r, которое будет продолжаться, пока новый результирующий импульс не изменит направление её перемеще-ния. 4. Исследователи влияние внутренних течений жидкости отбросили сразу, потому что в области течения частички должны перемещаться в одном или близком направлении, на опыте такого не наблюдалось. Соседние частицы двигались совершенно независимо. 5. Ботанику, можно сказать, повезло. Броун совершенно случайно в качест-ве объектов исследования выбрал частицы, на которые в воде действовали две силы: сила тяжести и сила Архимеда, причём модули этих сил были практиче-ски одинаковы. Частицы находились в воде в состоянии безразличного равно-весия. Физики совершенно справедливо предположили, что броуновское дви-жение, так оно было названо в честь человека, впервые его наблюдавшего. Причиной такого движения являются беспорядочные столкновения частиц, в результате которых они обмениваются своими импульсами и энергиями, хао-тически меняя направления своих перемещений, так что средняя величина пе-ремещения

0r >=< . 6. Если перемещение броуновских частиц охарактеризовать величиной <r2>, то она уже не будет эквивалентна нулю и для неё можно записать сле-дующее уравнение движения

0dtdrm2

dtrd1

dtrdm

22

2

22

>=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛<−

><ζ

+>< ,

где m − масса частицы, ζ − коэффициент подвижности частицы, связывающий её скорость v с силой сопротивления Fμ

μζ== Fdtdr

v .

7. Сила сопротивления сферических частиц в жидкости радиусом R опреде-ляется законом Стокса

R61πη

=ζ ,

где η − коэффициент вязкости жидкости. Первое слагаемой в уравнении пред-ставляет собой удвоенное значение кинетической энергии частицы

><=><

= 22

2

0 vmdt

rdmK2 .

Кинетическую энергию частицы можно выразить через термодинамические параметры, абсолютную температуру Т и постоянную Больцмана kB

Tk2i

2vm

B

2

=>< ,

где i = 3 − число степеней свободы частицы. Решение уравнения с учётом по-лученных соотношений имеет вид

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−ζ>=<

mBtexp1Tk2r

dtd

B2 .

8. Величина ( )mBtexp − в нормальных условиях пренебрежимо мала, с учё-том того, что при наблюдениях за броуновскими частицами t >> 10 − 5 с. В этом случае уравнение, характеризующее квадрат среднего перемещения, перепи-шется следующим образом

39

tTk2r B2 Δζ>=<Δ .

9. Таким образом, квадрат перемещения частицы вдоль произвольной оси r пропорционален температуре среды и промежутку времени, в течение которого перемещение происходит. Вернувшись снова к наблюдениям Броуна и его по-следователей, учёные поняли, что ботаник обнаружил прекрасную физическую модель поведения молекул газа, которые, будучи предоставленные самим себе поведут подобным образом. Далее эта модель усложнялась и уточнялась, оста-ваясь основательным доказательным фактом теплового хаотического движения структурных элементов вещества. А8. Разреженный углекислый газ изобарно сжимается. Масса газа постоян-на. Как надо изменить абсолютную температуру газа, чтобы уменьшить его объём в 4 раза?

Решение 1. Составим систему уравнений Клапейрона-Менделеева применительно к заданному изобарному процессу изменения состояния идеального газа:

;4TT;4

TT

;RT4Vp

;RTpV1

22

1

21

11

==⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

ν=

ν=

А9. В сосуде с подвижным поршнем находится вода и её насыщенный пар. Объём пара изотермически уменьшили в 2 раза. Как при этом изменилась кон-центрация молекул пара?

Решение 1. Над поверхностями всех жидкостей всегда находятся молекулы этой жидкости, т.е. присутствует пар. Давление пара может возрастать до вполне определённого значения, зависящего от температуры. Величина этого давления называется давлением насыщенного пара, при этом давление пара и жидкости будут одинаковыми, в этом случае говорят о динамическом равновесии. 2. Содержащееся в 1 м3 количество пара (масса пара) называется массой на-сыщения. Массу насыщения принято измерять в единицах плотности кг/м3. 3. Насыщенные пары не подчиняются газовым законам. Уменьшение объё-ма пара не приводит к повышению давления, т.к. его величина не может быть больше давления насыщения при данной температуре. Уменьшение объёма приводит к конденсации некоторого количества пара, концентрация молекул нара при этом не изменяется. А10. Задан график циклического процесса, проведенного над одноатомным идеальным газом. Количество вещества в процессе цикла не изме-нялось. На каком участке диаграммы внутренняя энергия газа уменьшалась?

Решение 1. Изменение внутренней энергии идеального газа:

);CD(;TT;TRm23U DC ⇒>Δμ

=Δ

40

А11. Пылинка, имеющая отрицательный заряд q1 = − 2е, потеряла один электрон. Каким стал заряд пылинки?

Решение

1. При потере электрона заряд пылинки станет равным − е.

А12. Задана зависимость силы тока в проводнике от падения на нём напряже-ния. Чему равно сопротивление провод-ника?

Решение 1. В соответствии с законом Ома для участка цепи:

;Ом5420

IUR;

RUI ====

А13. Квадратная рамка расположена в однородном магнитном поле в плоскости линий магнитной индукции. Как направле-на сила, действующая на сторону рамки bc, действующая со стороны магнитного поля B

r?

Решение 1. На участок рамки bc в магнитном поле будет действовать сила Ампера:

( ) ( );;BsinIBF;BIF AA lrr

lr

lrrr

=×=

( ) ( ) ;0F;0;Bsin;0;B A =⇒==r

lrr

lrr

14. Приведены осциллограммы двух напряжений на различных элементах электрической цепи переменного тока. Колебания этих напряжений имеют: 1. Одинаковые периоды, но различные амплитуды; 2. Различные периоды, но одинаковые амплитуды; 3. Различные периоды и различные амплитуды; 4. Одинаковые периоды и одинаковые амплитуды?

Решение

41

А15. На рисунке показан результат опы-та по преломлению света. Определить по результатам опыта показатель преломле-ния вещества.

Решение 1. Закон преломления света:

;46,1643,094,0

40sin70sinn

;40;70;sinsinn

0

0

00

≈≈≈

≈γ≈αγα

=

А16. На зеркало, движущееся в вакууме относительно инерциальной системы отсчё-та (ИСО) со скоростью vr , падает луч синего света. Какова будет скорость света в этой ИСО после отражения от зеркала, если угол падения луча равен 600? Скорость света в вакууме равна с.

Решение

1. Хендрик Лоренц анализируя уравнения электродинамики Джеймса Клер-ка Максвелла пытаясь совместить их с уравнениями относительности Галилео Галилея, сформулировал преобразования, получившие в последствии его имя. В соответствие с этими преобразованиями, для электромагнитных волн урав-нение сложения их скоростей в инерциальных системах отсчёта представилось следующим образом:

;

cvv1

vvv2

21

21

+

+=

2. Применительно к заданному случаю, уравнение релятивистского сложе-ния скоростей запишется следующим образом:

;c2c2

ccc1

ccv2

==+

+=

А17. Как нужно изменить частоту световой волны, чтобы энергия фотона в световом пучке увеличилась в 1,5 раза?

Решение 1. Частоту световой волны нужно увеличить в 1,5 раза, потому что:

;hf ν=ε А18. Определить заряд ядра В11

5 (в единицах элементарного заряда)? Решение

1. Обозначение ядер химических элементов: XAZ , где Z − зарядовое число,

равное заряду ядра в единицах элементарного заряда Z = 5.

42

А19. Какая частица Х образуется при протекании ядерной реакции: ?XBaHeLi 10

542

73 +→+

Решение

1. Ядра лития бомбардируются α-частицами в результате образуется ядро бария и частица обладающая единичной массой и нулевым зарядом:

;nX;11047A;0523Z n0

10XX ≡=−+==−+=

20. Чтобы рассчитать в равновесном состоянии плотность ρ разреженного газа с известной молярной массой μ, достаточно знать значение универсаль-ной газовой постоянной и измерить: 1. Давление газа р и его объём V; 2. Массу газа m и его температуру Т; 3. Температуру газа Т и его объём V; 4. Давление газа р и его температуру Т;

Решение 1. Из уравнения состояния идеального газа:

,RTp;RTp;RT

Vmp;RTmpV μ

=ρ⇒μ

ρ=μ

=μ

=

т.е. необходимо измерить давление газа и его температуру.

21. Бусинка скользит по неподвижной горизонтальной спице. На графике приве-дена зависимость координат бусинки от времени. Ось Ох параллельна спице. На основании графика можно утверждать, что: 1. На участке 1 модуль скорости бу-синки уменьшается, а на участке 2 − уве-личивается; 2. На участке 1 модуль скорости бу-синки увеличивается, а на участке 2 − уменьшается;

3. На участке 2 проекция ускорения ах бусинки положительна; 4. На участке 1 модуль скорости бусинки уменьшается, а на участке 2 − остаётся неизменным.

Решение 1. На участке 2 скорость постоянна, потому что:

( ) ;constv;kdt

ktxdv;ktxx 21

21 ==+

=+=rr

2. На участке 1 ( отрезок параболы) модуль скорости бусинки уменьшается, потому что за равные промежутке времени бусинке последовательно проходит меньшие расстояния

;tp4

1dtdxv;pt2x 1 ===

r

43

Часть 2 В1. В ходе адиабатического процесса внутренняя энергия одного моля газа разреженного газа увеличивается. Как при этом изменяется температура ге-лия, его давление и его объём: 1. Увеличивается; 2. Уменьшается; 3. Не изменяется?

Решение 1. Адиабатический процесс предполагает отсутствие теплообмена с окру-жающей средой 0dQ = , первый закон термодинамики имеет вид:

;pdVdU;pdVdU0 −=+= 2. Характер изменения температуры вытекает из уравнения внутренней энергии:

,RdtmdUμ

=

т.е. возрастание внутренней энергии происходит при увеличении температуры. 3. Уравнение адиабатического процесса:

;67,13

23i

2i;constpV ≈+

=+

=γ=γ

т.е. давление увеличивается, а объём уменьшается.

Температура гелия Давление гелия Объём гелия 1 1 2

В2. Монохроматический свет с энергией фотона εf падает на поверхность металла, вызывая фотоэффект. При этом напряжение, при котором фототок прекращается, равно UЗап. Как изменятся: длина волны падающего света λ, модуль запирающего напряжения UЗап и длина волны λ0 красной границы, если энергия падающих фотонов увеличится?

Решение 1. Уравнения внешнего фотоэффекта:

,A2vmhc;A

2vmh

2e

2e

f +=λ

+=ν=ε

увеличение энергии падающих фотонов сопряжено с уменьшением длины вол-ны. 2. Условие прекращения фототока:

,Ahc;Ahc;0

2vm

00

2e =λ⇒=

λ=

красная граница фотоэффекта определяется тремя постоянными величинами: постоянной Планка h, скоростью света с и работой выхода А, т.е. не изменяется при изменении параметров падающего излучения.

44

3. Увеличение энергии падающих фотонов приводит к возрастанию кине-тической энергии покидающих металл электронов, чтобы их остановить, тре-буется большее задерживающее напряжение:

;eU2vm 2

e =

Длина волны λ падающего света

Модуль запирающего на-пряжения UЗап

«Красная граница» фотоэффекта λ0

2 1 3

В3. Пучок света переходит из воды в воздух. Частота световой волны − ν, длина световой волны в воде − λ, показатель преломления воды относительно воздуха − n. Установить соответствие между физическими величинами и фор-мулами.

Решение

1. Скорость света в общем случае: ;nс νλ=

Для воздуха nВоз ≈ 1, поэтому сВоз ≈ νλ, для воды nВоды ≈ 1,47

А Б 1 3

В4. На неподвижном проводящем уединённом кубике находится заряд Q. Точка О − центр кубика, точки В и С − центры его граней,

2OBOM,OCCD,ОВАВ === . Модуль напряжённости электростатического по-ля заряда Q в точке А равен ЕА. Чему равен модуль напряжённости электростатического поля заряда Q в точке D и в точке М?

45

Решение 1. Проанализируем электрическое поле в окрест-ностях металлического проводника при равновесном состоянии зарядов. Если заряды в проводнике нахо-дятся в покое, то это свидетельствует об отсутствии тока и перпендикулярности линий напряжённости поля. Если бы линии напряжённости составляли с поверхностью проводника угол отличный от прямо-го, то возникла бы составляющая вектора напряжён-ности поля, направленная вдоль поверхности, что должно было бы привести к пере-мещению зарядов, т.е. к возникновению тока. Поле внутри металлического заряжен-ного кубика будет нулевым, т.е. ЕМ = 0. 2. Напряжённость электрического поля:

;EE;AB

Q4

1CD

Q4

1E;rrq

41E AD2

02

0D3

0

rrrrr=⇒

πε=

πε=

πε=

А Б 2 1

Часть 3 А22.Автомобиль с выключенным двигателем проехал расстояние l = 50 м вниз по дороге, составляющей с горизонтом угол α = 300. Скорость в конце спуска достигла значения v1 = 30 м/с. Определить начальную скорость автомо-биля v0 в начале спуска. Сопротивлением пренебречь.

Решение

1. Высота h расположения автомо-биля относительно нижнего уровня спуска, который в данном случае уме-стно принять за нулевой уровень по-тенциальной энергии:

;sinh α= l 2. Начальная скорость автомобиля определится из закона сохранения механической энергии:

;см20sing2vv;

2mv

2mvmgh 2

10

20

21 ≈α−=⇒−= l

А23. В баллоне объёмом V = 1,66 м3 находится m = 2 кг молекулярного ки-слорода при давлении р = 105 Па. Определить температуру кислорода.

Решение

1. Из уравнения Клапейрона-Менделеева:

;K3203,82

103266,110mR

)O(pVT;RT)O(

mpV35

2

2

=⋅

⋅⋅⋅=

μ=⇒

μ=

−

46

А24. В области пространства, где находится частица с массой m = 10 − 6 г и зарядом q = 5⋅10 − 13 Кл, создано однородное горизонтальное магнитное поле напряжённостью Е = 2⋅105 В/м. За какое время частица переместится на рас-стояние х = 4,5 см по горизонтали, если её начальная скорость была равна ну-лю?

Решение 1. На основании второго закона Ньютона:

;mqEa;maFK =⇒=

2. Под действием силы Кулона FK частица движется ускорено, поэтому:

;c03,010210510105,42

qExm2

ax2;

2ax 513

922

=⋅⋅⋅⋅⋅⋅

===τ⇒τ

= −

−−

А25. В таблице приведены значения максимальной кинетической энергии Emax фотоэлектронов при облучении фотокатода монохроматическим светом с длиной волны λ.

Работа выхода фотоэлектронов А = 2Е0. Чему равно пропущенное в табли-це значение λ?

Решение 1. Составим систему уравнений, воспользовавшись законом внешнего фо-тоэффекта:

;31

;E9E2;E2hc

;E2E7hc

;E2hc

0x0

x

00

00

00x

00 λ=λ⇒

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=λλ

λ=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

+=λ

=λ

47

Вариант 4

Часть 1 А1. Приведены графики зависимости пройденного пути от времени для двух тел. Скорость второго тела v2 в n раз меньше ско-рости v1 второго тела. определить по графику значение n.

Решение

;5,1vvn;

см20

480v

;см30

4120v;

tsv

1

21

2

=><><

==>=<

=>=<ΔΔ

>=<

r

rr

А2. Подъёмный кран поднимает груз а постоянным ускорением. На груз со стороны каната действует сила, равная Т = 8⋅103 H. Какая сила действует на канат со стороны груза?

Решение

1. Рассмотрим тело, подвешенное на нити. Это тело не свободно, нить (канат) в данном случае ограничивает движение тела, т.е. является связью, которая проявляется в виде силы натяжения нити T

r, причём:

;Н108gmT 3⋅==rr

.

2. Нить в данном случае, в соответствие с аксиомой связей может быть заменена соответствующей реакцией. Если тело рассматривать при действии системы сил { }T,gm

rr, то его можно считать свободным. Замена связей их реакциями даёт

возможность несвободные тела рассматривать как свободные. Следует иметь в виду, сила тяжести gm

r приложена в точке С, т.е. в центре масс рассматривае-

мого тела, а реакция связи Tr− в точке А, в точке крепления нити к телу.

А3. Груз массой m = 4 кг подвешен к укреплённому в лифте динамометру. Лифт начинает спускаться с верхнего этажа с постоянным ускорением. Пока-зание динамометра при спуске равно F = 36 Н. Определить вектор ускорения лифта.

Решение 1. Сила тяжести, действующая на груз:

;H40mgP ≈= 2. Груз движется вниз с ускорением, модуль которого определяется уравне-

48

нием второго закона Ньютона в проекции на вертикальную ось:

;см1109g

mFa;mamgF)Oy(;amgmF 2−=−≈−==−+=

rrr

А4. Импульс частицы до столкновения равен 1p

r, а после столкновения

стал равным 2pr

, причём р1 = р, р2 = 2р, 21 pprr

⊥ . Определить модуль изменения импульса частицы при абсолютно упругом столкновении.

Решение

1. Импульс является векторной вели-чиной, поэтому в общем случае:

( )212122

21 p;pcospp2ppp rrr

++=Δ ; 2. Для заданного случая:

( ) ( );5pp4pppp

;0p;pcos;90p;p222

221

210

21

=+=+=Δ

=⇒=r

rrrr

А5. Какую мощность развивает сила тяги трактора, перемещая прицеп со скоростью 18 км/час, если она составляет F = 16,5 кН?

Решение 1. Работа, производимая в единицу времени, называется мощностью. Ма-тематически мощность определяется в виде отношения элементарной работы к бесконечно малому промежутку времени, за который она совершается:

.ВтcДж,vF

dtrdF

dtAN ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ≡==

δ=

rrrr

2. Переходя от векторов к скалярам, получим ( ).v;FcosvFN rr⋅⋅= ( ) ;Вт1025,85105,16N;1v;Fcos 43 ⋅=⋅⋅=⇒=

rr

А6. Задана зависимость амплитуды уста-новившихся вынужденных гармонических ко-лебаний математического маятника от часто-ты внешней периодической возбуждающей силы. Во сколько раз увеличилось амплитуд-ное значение скорости груза маятника при переходе от частоты ν1 = 0,5 Гц к частоте ν2 = 1,5 Гц?

Решение

1. Предположим, что груз маятника колеблется по синусоидальному закону

;2)t(;tcosdtd)t(;tsin)t( mmmmm πνξ=ωξ=ξωωξ=ξ

=ξωξ=ξ &&

;3;м102AA;2A2A

1

2221

11

22 =νν

=ζ⋅==πνπν

=ζ −

49

А7. Какие из приведенных утверждений относятся к модели идеального га-за? А. Размеры молекул пренебрежимо малы. Б. Учитывается только потенциальная энергия взаимодействия моле-кул, кинетической энергией теплового движения пренебрегают. В. Взаимодействием между молекулами пренебрегают.

Решение 1. Модель идеального газа справедлива в том случае, когда собственные размеры молекул значительно меньше среднего расстояния свободного пробега (расстояния, проходимого молекулой между соседними столкновениями). В этом случае можно считать, что молекула обладает только тремя поступатель-ными степенями свободы, а потенциальная энергия взаимодействия много меньше кинетической энергии теплового движения. 2. Для идеальных газов, к каковым относится большинство газов в состоя-ниях близких к нормальным ( )К273Т;Па10p 0

50 =≤ справедливы утверждения

А и В.

А8. Сосуд с идеальным газом сжали, увеличив концентрацию молекул газа в 5 раз. Давление газа при этом возросло в 2 раза. Следовательно, абсолют-ная температура газа: 1. Увеличилась в 2,5 раза; 2. Увеличилась в 2 раза; 3. Увеличилась в 10 раз; 4. Уменьшилась в 2,5 раза?

Решение 1. В простейшем случае идеального газа уравнение состояния устанавлива-ет однозначную взаимосвязь между макропараметрами {p, V, T}. В общем виде такая взаимосвязь записывается в виде следующего уравнения

( ) 0T,V,pf = . 2. Клапейрон экспериментально установил, что вблизи нормальных усло-вий для многих газов справедливо соотношение

bTpV = , где b индивидуальная константа, пропорциональная массе газа. Это простое, но не очень удобное для практического использования соотношение выполняется для достаточно разреженных газов, когда собственный объём молекул много меньше объёма, занимаемого газом. В этом случае молекулы при своём тепло-вом движении в основном движутся поступательно, взаимодействуя только при относительно редких столкновениях. При нормальных условиях (р0 ≅ 105 Па, Т0 ≅ 273, 15 0К) или вблизи них в соответствие с законом Авогадро 1 моль любого газа занимает одинаковый объём Vμ ≅ 22,4 л = 2,24⋅10 − 2 м3, причём в этом объ-ёме содержится определённое количество молекул NA ≅ 6⋅1023 моль − 1. Таким образом, для 1 моля любого газа постоянная b для любого газа будет иметь одинаковое значение. Обозначим, как это сделал в своё время Д.И. Менделеев, константу для одного моля как R, в этом случае уравнение состояния перепи-шется в виде:

RTpV =μ ,

50

константа R называется молярной или универсальной газовой постоянной. Раз-решим уравнение относительно R с целью определения её размерности и вели-чины

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅

=⋅⋅

⋅= μ

КмольДж

КмольммН,

TpV

R 2

3

.

КмольДж31,8

15,27311024,210R

25

⋅≅

⋅⋅⋅

=−

.

3. Чтобы изменить температуру 1 моля идеального газа на 1 0К необходимо подвести или отнять у него энергию, эквивалентную 8,31 Дж. 4. Уравнение можно записать для произвольной массы газа m, для этого умножим правую и левую часть уравнения на величину m/μ, где μ − молярная масса газа

RTmmVp

μ=

μμ .

4. Объём произвольной массы газа определиться в виде произведения мо-лярного объёма Vμ на количество вещества (количество молей)

μ= μ

mVV ,

следовательно

RTRTmpV ν=μ

= .

5. Для более наглядного восприятия произведения давления на объём уста-новим размерность левой части уравнения

ДжКмольКДжмольRTm

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⋅⋅⋅

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡μ

.

6. Таким образом, величина pV может представлять собой либо энергию, либо работу, потому что именно эти физические величины измеряются в джо-улях. В данном случае обсуждаемая величина численно равна работе, которую необходимо совершить, чтобы ν молей газа нагреть на 1 0К, действительно

TRmVp Δμ

=Δ .

Определим значение R, приходящееся на одну молекулу газа для чего ум-ножим и разделим правую часть уравнения (1.58) на число Авогадро NA

TNRNmpV

AAμ

= ,

где νNA = N − количество молекул, составляющих массу газа m, R/NA = kB − постоянная Людвига Больцмана

КДж1038,1

моль106КмольДж31,8

NRk 23

123A

B−

− ⋅≅⋅

⋅≅= .

7. Уравнение состояния с учётом введённых величин примет вид TNkpV B= .

8. Давление газа представится следующим образом

TnkTkVNp BB == .

9. Составим систему уравнений в соответствии с заданными условиями:

51

;T5,2T;T5T

21

;TnK5p2;Tnkp

212

1

2B

1B ==⇒⎭⎬⎫

==

А9. Приведен график зависимости температуры Т воды массой m от вре-мени t при осуществлении теплопередачи с постоянной величиной подводи-мой тепловой мощности. В момент времени t = 0 вода находилась в твёрдом состоянии. Какое из приведенных выше выражений определяет удельную теп-лоту парообразования по результатам опыта?

Решение 1. Многие из известных веществ, в зависимости от внешних условий, могут находиться в четырёх агрегатных состояниях твёрдом, жидком, газообразном и плазменном. В физике принято особенности строения и состояния веществ ха-рактеризовать отношением средней величины кинетической энергии поступа-тельного движения молекул к величине их потенциальной энергии. 2. Для газов такое отношение на много меньше единицы, для твёрдых тел − на много больше единицы, а для жидкостей соотношение между энергиями близко к единице

( ) ( ) ( )0Пост.0Пост.0.Пост rU,телатвёрдогодляrU,газадляrU ≈ε−<<ε−>>ε .

52

2. Частицы, составляющее вещество: ионы, молекулы или атомы в большей или меньшей степени находятся в постоянном взаимодействии друг с другом, которое, собственно и определяет состояние. При относительно низких темпе-ратурах частицы расположены в виде правильных геометрических фигур. Ве-щество находится в твёрдом состоянии, частицы совершают тепловые колеба-ния, которые не нарушают взаимного расположения структурных элементов. Если температуру повышать, то амплитуда колебаний начинает возрастать, т.е. увеличивается кинетическая энергия частиц. При некоторых значениях темпе-ратуры энергия колебаний становится равной или превосходит энергию взаи-модействия, связи при этом постоянно разрываются и снова восстанавливают-ся. К колебательным степеням свободы добавляются вращательные и даже по-ступательные. Строгая геометрическая конфигурация относительного распо-ложения частиц нарушается. Вещество из твёрдого состояния переходит в жидкое состояние. В этом случае говорят о фазовом переходе первого рода. 3. Дальнейшее повышение температуры сопровождается ещё большими амплитудами колебаний частиц, в конце концов, частицы удаляются друг от друга, превращаясь в реальный газ, а затем перестают взаимодействовать. Ве-щество становится газообразным. Структурные элементы движутся исключи-тельно поступательно «не замечая друг друга». Взаимодействие происходит только при столкновениях. При дальнейшем увеличении температуры до не-скольких сот тысяч градусов энергия, которой обмениваются частицы при столкновениях, становится настолько большой, что атомы начинают терять электроны. Ядра и электроны существуют независимо друг от друга. Это со-стояние вещества принято называть плазмой. 4. Жидкости занимают промежуточное положение между твердым и газо-образным состоянием. Жидкостям присущи как свойства твердых тел, так и веществ, находящихся в газовом состоянии. Как твёрдые тела, жидкости харак-теризуются определённым объёмом, способны образовывать поверхности раз-дела, обладают некоторой прочностью на разрыв, но вместе с тем, одновре-менно располагают свойствами типичными для газов. Жидкости не способны сохранять, подобно твёрдым телам, свою форму, принимая форму сосуда. От-личительными от других состояний является текучесть и упругость жидкостей. 5. Структурные элементы материи (молекулы и атомы) могут участвовать одновременно в нескольких типах теплового движения, поступательном, вра-щательном и колебательном. Набор движений, которые совершает молекула или атом определяется числом степеней свободы. У газообразных веществ в условиях близких к нормальным молекулы или атомы характеризуются тремя поступательными степенями свободы. Структурные элементы веществ, нахо-дящихся в твёрдом состоянии вследствие значительных сил межмолекулярного взаимодействия совершают только колебательные движения вокруг положения равновесия. 6. Полная упорядоченность структуры твёрдого состояния материи и абсо-лютный беспорядок её газообразного состояния являются крайними, посереди-не располагается вещество «в несколько упорядоченном беспорядке». Иссле-дования жидкостей путём рассеяния нейтронов позволили Дж. Берналу сфор-мулировать качественную модель поведения молекул вещества в жидком со-стоянии. 7. Приведенный в условии задачи график можно интерпретировать сле-дующим образом: 1. −. нагревание льда;

53

2. − плавление льда; 3. − нагревание воды до температуры кипения; 4. − испарение воды (парообразование); 5. − нагревание пара. 8. Удельная теплота парообразование представляет собой количество теп-лоты, необходимое для трансформации единицы массы жидкости в парообраз-ное состояние при постоянной температуре

;m

tPmQq 4Δ==

А10. Алюминиевый и железный цилиндры одинаковой массы нагрели, что привело к одинаковому изменению температуры цилиндров. Воспользовав-шись табличными данными, определить отношение количеств теплоты, по-треблённых цилиндрами.

Решение 1. Количества тепла, предаваемое цилиндрам

,TcmQ Δ= где с − удельная теплоёмкость материала, сFe ≈ 460 Дж/(кг/К), сAl ≈ 900 Дж/(кг⋅К).

956,1460900

cc

QQ

;TmcQ;TmcQ

Fe

Al

Fe

Al

AlAl

FeFe ≈==⇒⎭⎬⎫

Δ=Δ=

.

А11. Точка В находится посередине отрезка прямой АС. Неподвижные то-чечные заряды +q и − 2q расположены в точках А и С. Какой заряд надо по-местить в точку С взамен заряда − 2q, чтобы напряжённость электрического поля в точке В увеличилась в 2 раза?

Решение 1. Как только обнаружилось, что заря-женные тела могут воздействовать на другие без непосредственного контакта, сразу возник законный вопрос. Как? Каков механизм передачи силового воз-действия? Что является причиной возникновения механических сил? Ведь в своих опытах Кулон посредствам крутильных весов регистрировал именно ме-ханический момент хорошо изученных Ньютоновских сил. Одновременно воз-никли две гипотезы. 2. В соответствии с гипотезой дальнодействия, телам приписывалось свой-ство действовать на другие тела на расстоянии, причём, предполагалось, что это действие передаётся мгновенно и без посредничества каких-либо третьих сред. Согласно этой гипотезе, заряженное тело никаких изменений в окру-жающем пространстве не производит. 3. Гипотеза близкодействия предполагала наличие между телами некой суб-станции порождаемой электрическими зарядами и обеспечивающей силовые воздействия на другие тела и заряды. Рассуждения сторонников теории близ-кодействия строились на механических аналогиях. Уже достаточно полно были исследованы свойства упругих волн, для распространения которых непременно нужна была среда. Упругие волны тоже обладают энергией и могут воздейст-

54

вовать на тела, расположенные на значительном расстоянии от источника ко-лебаний. Было логично, в этой связи, предположить, что электрическое дейст-вие передаётся с конечной скоростью и на конечные расстояния. Из таких рас-суждений следовало, что всякое заряженное тело в отсутствие остальных должно изменять свойства окружающего его пространства. 4. Современная официальная наука исповедует только идею близкодейст-вия, в соответствии с которой вокруг электрических зарядов пространство за-полнено особой субстанцией, неким физическим агентом, в котором проявля-ются механические силы, вызванные взаимодействием этого агента и вноси-мых в него тел или зарядов. Такая субстанция получила название − электриче-ское поле. Появление в некой точке пространства электрического заряда со-провождается возникновением электрического поля. 5. Движущиеся заряды генерируют электромагнитное поле, т.е. комбина-цию электрической и магнитной составляющей. Как выяснилось при исследо-вании электромагнитных полей, они заключают в себе и переносят энергию подобно упругим волнам. Электромагнитные поля, таким образом, представ-ляют собой абстрактное понятие, предназначенное для объяснения электриче-ских и магнитных взаимодействий. Электромагнитные поля, являющиеся объ-ективной материальной реальностью, представляются в виде особой формы материи обладающей определённым набором физических свойств и характери-стик. 6. Количественно электрическое поле заряда q можно охарактеризовать, внося в него другой пробный заряд q0 и измеряя силу взаимодействия F в раз-ных точках пространства. Сила этого взаимодействия, следуя закону Кулона, будет пропорциональна произведению модулей зарядов и обратно пропорцио-нальна квадрату расстояния между ними

rr

qqkF 3

01 rr= .

7. Такая характеристика электрического поля не будет универсальной, по-тому, что сила Кулона в каждой точке пространства наряду с исходным заря-дом будет зависеть от величины пробного заряда q0. От такого неудобства можно избавиться, если в качестве характеристики поля рассматривать не ве-личину силы, а отношение этой силы к пробному заряду

rrq

kEqF

31

0

rrr

=≡ .

8. Векторная величина Er

называется напряжённостью электрического поля. Для изолированного точечного заряда, расположенного в вакууме или сухом воздухе, напряжённость электрического поля определяется непосредственно из уравнения закона Кулона

rrq

41E 3

0

rr

πε= .

9. Как следует из уравнения, если поле созда-но положительным зарядом (напомним, что это понятие условное, принятое по общему соглаше-нию), то вектор напряжённости электрического поля направлен от заряда во внешнее простран-ство по радиус-вектору, соединяющему заряд и

данную точку пространства. В случае отрицательного заряда вектор напряжён-

55

ности так же направлен по радиус-вектору, но из данной точки в сторону заря-да. 10. Таким образом, если известна напряжённость электрического поля в ка-кой-либо точке пространства, окружающего изолированный заряд, то можно однозначно определить величину и направление силы Кулона, которая возник-нет при помещении в эту точку заряда q⋅

EqFrr

= . 11. Введём обозначение: АВ = ВС = r, тогда в соответствии с принципом суперпозиции, для точки В можно записать:

;rqk

rqq2kEEE;EEE 22ACBCAB −=

+−=−=+=

rrrrrr

;rq2k

rqq3kE2E 22B

*

B −=+−

==rr

12. Участок цепи состоит из четырёх последовательно соединённых рези-сторов, сопротивление которых равно 10 Ом, 20 Ом, 30 Ом и 40 Ом. Каким должно быть сопротивление пятого резистора, добавленного в этот участок последовательно к первым четырём, чтобы суммарное сопротивление участка цепи увеличилось в 3 раза?

Решение 1. Общее сопротивление четырёх последовательных резисторов:

;Ом100RRRRR 43211 =+++=Σ 2. Чтобы общее сопротивление 2RΣ стало равным 300 Ом необходимо до-бавить последовательно резистор с сопротивлением R5 = 200 Ом. А13. Прямолинейный проводник длиной l = 0,2 м, по которому течёт ток силой I = 2 А, находится в однородном магнитном поле, модуль вектора индук-ции которого В

r = 4 Тл. Проводник расположен под углом α = 300 по отноше-

нию к вектору Вr

. Определить модуль силы, действующей на проводник со сто-роны магнитного поля.

Решение ( ) ;H8,02,05,042sinIBF;BIF AA =⋅⋅⋅=α=×= l

rlrrr

А14. Катушка индуктивности подключена к источнику постоянного тока. Как изменится энергия магнитного поля катушки при увеличении силы тока через катушку в 3 раза?

Решение 1. Энергия магнитного поля катушки индуктивности:

,2

LIW2

=

при увеличении силы тока в 3 раза энергия поля возрастает в 32 раза, т.е. в 9 раз. А15. Действительное изображение предмета малых размеров, находяще-гося на главной оптической оси собирающей линзы, расположено между фоку-сом и двойным фокусом. Где расположен предмет относительно линзы?

56

Решение

А16. На плоскую непрозрачную пластину с узкими параллельными щелями падает по нормали плоская монохроматическая волна из красной части види-мого спектра. За пластиной на параллельном ей экране наблюдается интер-ференционная картина, содержащая большое число полос. При переходе на монохроматический свет из синей части спектра:

1. Расстояние между интерференционными полосами уменьшатся; 2. Интерференционная картина станет невидимой для глаза; 3. Расстояние между полосами не изменятся; 4. Расстояние между полосами увеличится?

Решение

1. Расстояние между интерференционными полосами при двух когерентных источников:

я;уменьшаетс-x;;d1x СинКр Δ⇒λ>λλ=Δ

А17. Опыты Эрнста Резерфорда по рассеянию α-частиц показали, что: А. Почти вся масса сосредоточена в ядре; Б. Ядро имеет положительный заряд. Какое из утверждений является справедливым?

57

Решение 1. Судя по мемуарам учеников, прежде всего, Эрнста Резерфорда, Томсон сам был не в большом восторге от своей модели атома, она не могла объяснить вех имеющихся экспериментальных исследований. С целью более полного ис-следования свойств своей модели, Томсон поручил её экспериментальную про-верку своему ученику Эрнсту Резерфорду. 2. Резерфорд приехал в Манчестер в 1907 г. ставя перед собой цель, заняться в Англии исследованием недавно отрытой радиоактивности. Появление Ре-зерфорда в Англии инициирует возникновение но-вой исследовательской группы в составе выдаю-щихся в будущем молодых исследователей Ганса Гейгера, Генри Мозли, Джеймса Чедвика, Нильса Бора и других, руководил ими, естественно, Дж. Дж. Томсон. 3. Резерфорд занялся исследованием положи-тельно заряженных частиц, выбрасываемых радио-активными веществами, α − частицами. В начале 1908 г. Резерфорд установил, что эти частицы пред-ставляют собой атомы гелия, лишенные двух своих электронов, т.е. заряд этих частиц был равным + 2е. Резерфорд решил использовать α − частицы для вы-яснения структурных особенностей атома и соответствия их модели своего учителя. Резерфорд установил, что каждая α − частица, попадая на экран, по-крытый сернистым цинком, вызывала световую вспышку (сцинтилляцию), ко-торую можно заметить в темноте после адаптации зрения. 4. Коллиматор из свинца (контейнер толстыми стенками), был снабжён от-верстием малых размеров, что позволяло получать узкий пучок α − частиц, ко-торый направлялся на листок золотой фольги, который должен был рассеивать частицы. Окрестности фольги были окружены экраном, покрытым сернистым цинком. Наблюдения за вспышками производились с помощью микроскопа.

58

5. В качестве рассеивающего вещест-ва золото было выбрано не из-за цвета и престижности. Дело в том, что золото один из самых пластичных металлов с высокой плотностью, который можно прокатать таким образом, что в толщине фольги будет умещаться всего несколько атомных слоёв. Первоначально в уста-новке Резерфорда экран имел прямо-угольную форму и был совмещён с мик-роскопом. Источник α − частиц, золотая фольга, экран и микроскоп располагались в камере, из которой откачивали воздух.

6. Микроскоп с экраном совместно с корпусом камеры могли вращаться во-круг фольги, которая постоянно обстреливалась α − частицами. Таким образом Резерфорд мог с 360 градусным обзором наблюдать рассеяние α − частиц. 7. Если бы атом золота был таким как его представлял Томсон, то α − час-тицы должны были отклоняться на достаточно малые углы. Вращая детектор из сернистого цинка, исследователи могли измерять относительное число α − частиц, рассеянных под различными углами θ Согласно модели атома Томсо-на, α − частицы должны были свободно проходить сквозь атомы золота, и только некоторые из них должны были слегка отклоняться кулоновскими си-лами. Следовало ожидать, что поток α- частиц пройдя фольгу, слегка расплы-вется, и средние углы рассеяния будут составлять несколько градусов. 8. Такое рассеяние действительно наблюдалось, но совершенно неожи-данно, вне всяких тогдашних представлений, одна из 20 000 частиц, па-дающих на фольгу толщиной всего 4⋅10 − 7 м, возвращалась назад, в сторо-ну источника. Резерфорд по этому поводу писал: « Это было самое невероят-ное событие, с которым мне когда- либо приходилось сталкиваться. Это было так же невероятно, как если бы вы выстрелили 15 дюймовым (38 см) снарядом в лист папиросной бумаги, а снаряд бы вернулся назад и попал в вас». 9. Резерфорду потребовалось несколько лет (до 1911 г.), чтобы окончатель-но разобраться с этим явлением. Он пришёл к выводу, что атом не однороден и имеет нечто очень малое массивное и с положительным зарядом, сосредо-точенное в центре. Таким образом, была предложена ядерная модель атома. 10. Резерфорд наблюдал, что α − частицы способные проникать через тон-кие листочки металлов, при этом они отклоняются от первоначального направ-ления своего движения. Было естественно допустить, что эти отклонения вы-званы отталкиванием положительно заряженных α − частиц от положительных зарядов атома. Силы, действующие на α − частицы со стороны электронов, не могут заметно изменить направления их движения из-за слишком малой массы электронов. 11. Таким образом, на основании экспериментов Резерфорда оба утвержде-ния, приведенные в задаче, являются справедливыми. А18. Ядро скандия Sc45

21 содержит: 1. 24 протона и 21 нейтрон; 2. 21 протон и 24 нейтрона; 3. 21 протон и 45 нейтронов;

59

4. 45 протонов и 21 нейтрон? Решение

1. Для ядра скандия:

,242145ZAN;45A;21N;21Z np =−=−===⇒= следовательно, справедливым является утверждение 2. А19. При определении плотности вещества была измерена масса вещест-ва на точных электронных весах: m = 90,00 г. Объём был измерен посредствам мерного цилиндра: V = (30± 1) см3. На основании этих измерений можно ут-верждать, что плотность вещества имеет вероятное значение: 1. ρ > 3,1 г/см3; 2. ρ < 2,9 г/см3; 3. 2,9 г/см3 < ρ < 3,1 г/см3; 4. ρ = 3,0 г/см3?

Решение

;смг903,2

3190

Vm;

смг103,3

2990

Vm

3max

min3min

max ≈≈=ρ≈≈=ρ

;смг1,3;

смг9,2 33 ≤ρ≥ρ

А21. При нагревании спирали лампы накаливания протекающим электри-ческим током основная часть подводимой энергии теряется в виде теплового излучения. Приведены графики зависимости мощности тепловых потерь лам-пы от температуры спирали P = f(T) и силы тока от приложенного напряжения I = f(T). Оценить температуру спирали при силе ока I = 2 А.

Решение

1. При заданной силе тока I = 2 А на спирали лампы падает напряжение U = 100 В (правая зависимость), следовательно спираль потребляет мощность

,Вт200IUP ≈= при этом её температура, судя по левой зависимости составит Т ≈ 3600 К.

60

Часть 2 В1. С вершины наклонной плоскости из состояния покоя скользит с ускоре-нием легчайшая коробка с находящимся в ней грузом массой m. Как изменяет-ся время движения τ, ускорение а и модуль работы силы трения TА , если с той же плоскости станет скользить та же коробочка, но с грузом m/2? Для каж-дой величины определить соответствующие изменения:

1. Увеличится; 2. Уменьшится; 3. Не изменится.

Решение 1. Уравнение второго закона Ньютона в проекции на ось х:

;sinmgcosmgma x α+αμ−= ( );cossinga x αμ−α=

2. Время движения:

;a

x2;2

axx

2x =τ⇒τ

=

3. Модуль работы силы трения при спуске: ;xcosmg;xFA TT αμ=

4. При уменьшении массы вдвое: время движения и ускорение меняться не будут, а работа силы трения − уменьшится.

Время движения Ускорение Модуль работы силы трения

3 3 2

В2. При исследовании зависимости кинетической энергии фотоэлектронов от частоты падающего света фотоэлемент освещается через светофильтры. В первой серии опытов светофильтр пропускал только красный свет, а во второй − только жёлтый. В каждом опыте измерялось напряжение запирания. Как изменяются длина световой волны, напряжение запирания и макси-мальная кинетическая энергия фотоэлектронов при переходе от первой серии опытов ко второй серии:

1. Увеличивается; 2. Уменьшается; 3. Не изменяется.

Решение 1. Длина волны жёлтого света λЖ ≈ 590 − 560 нм, длина волны красного све-та λК ≈ 760 − 620 нм, т.е. λК > λЖ. 2. Уравнение внешнего фотоэффекта:

;АeUhc;eU2vm;A

2vmhc

ЗадЗад

2maxe

2maxe +=

λ=+=

λ

2. Максимальное значение кинетической энергии фотоэлектронов обратно пропорционально длине волны падающей на поверхность электромагнитной

61

волны, поэтому при жёлтом свете энергия электронов увеличится, что приведёт к необходимости увеличения задерживающего напряжения.

Длина волны Напряжение запирания Максимальная кине-тическая энергия фо-

тоэлектронов 2 1 1

В3. В первой экспериментальной установке положи-тельно заряженная частица влетает в магнитное поле так, что вектор её скорости 0vr перпендикулярен индукции маг-

нитного поля Br

(рис.1). Во втором экспериментальной ус-тановке вектор скорости такой же частицы параллелен на-пряжённости электрического поля Е

r (рис.2).

По каким траекториям движутся частицы в этих услови-ях? К каждой позиции первого столбца подобрать соответ-ствующую позицию и записать в таблицу выбранные циф-ры под соответствующими буквами.

Решение

1. В первой установке на положительно заряженную частицу со стороны магнитного поля действует сила Лоренца:

( ) ( ) ( ) ( ) ;vF;1B;vsin;2

B;v;B;vsinqvBF;BvqF LLLrrrrrrrrrrrr

⊥=π

==×=

Сила Лоренца направлена перпендикулярно вектору скорости, что приведёт к движению частицы по круговой траектории. 2. Во второй установке на частицу со стороны электрического поля дейст-вует сила Кулона, которая в случае положительного заряда частицы совпадает по направлению с вектором скорости, т.е. частица будет двигаться ускоренно по прямолинейной траектории.

А Б 2 1

В4. Нить накала лампочки расположена вблизи главной оптической оси тонкой линзы с фокусным расстоянием F перпендикулярно этой оси на рас-стоянии d > 2F. Вначале в ходе эксперимента использовалась собирающая линза, а потом рассеивающая тонкая линза. Установить соответствие между видом линзы и свойством изображения. К каждой позиции первого столбца подобрать соответствующую позицию второго столбца и записать в таблицу цифры под соответствующими буквами

62

Решение

А Б 1 2

Часть 3 А22. Искусственный спутник обращается вокруг планеты по круговой орби-те радиусом r = 4000 км с постоянной по модулю скоростью v = 3,4 км/с. Уско-рение свободного падения на планете g = 4 м/с2. Чему равен радиус планеты?

Решение 1. Масса планеты определится из условия стационарности орбиты спутни-ка:

;g

rvM;r

mMGr

mv 2

2

2

=⇒=

2. Радиус планеты определится законом гравитации Ньютона, записанным для поверхности:

км.3400м104,34104104,3

grv

grv

gGMR;

RmMGmg 6

63

2

2 ≡⋅=⋅

⋅=====

А23. В доме воздух был нагрет до температуры Т1. После открытия двери температура приняла значение наружной Т2. Как изменилась внутренняя энер-гия воздуха в доме?

Решение 1. Масса воздуха в доме при охлаждении увеличится, а среднее значение кинетической энергии молекул, наоборот, − уменьшится.

63

2. Массы воздуха в доме при заданных температурах:

;RTpVm;

RTpVm

22

11

μ=

μ=

3. Изменение внутренней энергии воздуха:

( );TmTm2iRUUU;RTm

2iU;RTm

2iU 2211212

221

11 −

μ=−=Δ

μ=

μ=

4. Подставим в уравнение ΔU значения m1 и m2:

;0U;TRTpVT

RTpV

2iRU 2

21

1

=Δ⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ μ−

μμ

=Δ

А24. Медный проводник расположен между полюсами постоянного магнита перпендикулярно линиям магнитной индукции магнитного поля. Определить площадь поперечного сечения проводника, если сила ампера, действующего на него, равна FA = 5 Н, модуль вектора магнитной индукции магнитного поля В = 10 мТл, к проводнику приложено напряжение U = 8,5 В, удельное сопротив-ление меди ρ = 1,7⋅10 − 2 Ом⋅мм2/м.

Решение 1. Уравнение силы Ампера позволяет выразить длину проводника:

;UB

RFIBF;IBF AA

A === ll

2. Подставим в уравнение длины проводника значение его сопротивления, выраженное через геометрию проводника и физические параметры вещества:

;UBSF;

SR A l

ll ρ

=⇒ρ

=

3. Разрешим последнее уравнение относительно площади поперечного се-чения проводника S:

;мм1105,8107,15

UBFS 2

2

2A =

⋅⋅⋅

=ρ

= −

−

А25. Атомарный водород в основном состоянии (Е1 = − 13,6 эВ) поглощает фотон с частотой ν = 3,7⋅1015 Гц. С какой скоростью станет двигаться вдали от ядра вырванный в результате ионизации электрон?

Решение 1. Энергия поглощённого фотона:

;hf ν=ε 2. Энергия, сообщённая электроны при ионизации

;Дж1064,2106,16,13107,3106,6EhhEE 1919153411

−−− ⋅≈⋅⋅−⋅⋅⋅≈−ν=ν+−=Δ 3. Скорость электрона без учёта механического и электростатического влияния ядра

≈⋅⋅⋅

≈Δ

=⇒Δ= −

−

31

19

e

2e

101,91064,22

mE2v;E

2vm 7,617⋅105

скм762

см≅ .

64

Вариант 6 А1. Материальная точка равномерно движется по окружности радиуса R с периодом Т. За какое время τ в единицах периода точка пройдёт по окружно-сти путь, равный RS π= ?

Решение 1. Длина окружности L = 2πR, проходится точной за время Т, следователь-но, часть окружности S = L/2 рассматриваемая точка пройдёт за время, равное половине периода τ = Т/2. А2. Плоский магнит массой m поднесли к массивной стальной плите мас-сой М. Сравнить силу действия магнита на плиту 1F

r c силой действия плиты на

магнит 2Fr

. Решение

1. Взаимодействие магнита и стальной плиты будет определяться третьим законом Ньютона (законом равенства действия и противодействия). Две мате-риальные точки действуют друг на друга с силами, равными по модулю и про-тивоположными по направлению силами, направленными вдоль прямой соеди-няющей взаимодействующие точки. 2. Третий закон Ньютона имеет важное прикладное значение. В частности именно этим законом обусловлено возникновение связей при ограничении движений точки. Математическая запись третьего закона:

;1FF

;0FF2,1

1,21,22,1 =⇒=+

rr

3. При рассмотрении этого закона Ньютона, следует иметь в виду, что силы, обусловленные взаимодействием, приложены к разным телам, поэтому не представляют собой уравновешенную систему, а значит, могут приводить объ-екты в состояние ускоренного движения. А3. При движении по горизонтальной поверхности на тело массой m = 40 кг действует сила трения скольжения FТ = 10 Н. Какой станет сила трения сколь-жения после уменьшения массы тела в 5 раз, если коэффициент трения не меняется?

Решение 1. Уравнение силы трения скольжения:

( ) ( ) mgF;180v;F;v;FcosmgNF T0

TTT μ−==μ=μ=rrrrrr

;

2. Уменьшение массы тела в 5 раз при μ = const приведёт к уменьшению модуля силы трения тоже в пять раз: .H2F*

T = А4. Два мяча перед столкновением движутся взаимно перпендикулярно. Первый имел импульс р1 = 3 кг⋅м/с, а второй обладал импульсом р2 = 4 кг⋅м/с. Чему станет равным импульс системы сразу после их абсолютно упругого столкновения, если время взаимодействия пренебрежимо мало?

65

Решение 1. Сумма импульсов определяется по правилам векторного сложения:

( ) ( ) ( ) ;0p;pcos;2

p;p;p;pcospp2ppp;ppp 2121212122

2121 =

π=++=+= ΣΣ

rrrrrrrrrr

;смкг5169ppp 2

221 =+=+=Σ

r

А5. Первая пружина имеет жёсткость k1 = 20 Н/м, вторая − k2 = 40 Н/м. Обе пружины растянуты на Δх = 1 см. Определить отношение потенциальных энер-гий пружин.

Решение 1. Потенциальная энергия пружины:

;22040

;2

xk

;2xk

;2xkП

1

22

21

21

22

==ΠΠ

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

Δ=Π

Δ=Π

⇒Δ

=

А6. Для экспериментального определения скорости звука источник распо-ложили на расстоянии х = 30 м от стены. Отражённый звук зафиксирован мик-рофоном через время τ = 0,18 с. Определить величину скорости звука.

Решение

;см3,333

18,0602xc ≈=

τ=

А7. Концентрацию молекул одноатомного идеального газа уменьшили в 5 раз, одновременно увеличив в 2 раза среднюю энергию хаотического движе-ния молекул. Как изменилось давление газа в сосуде?

Решение 1. Давление и средняя величина кинетической энергии поступательного движения молекул идеального газа:

;n32p;

k32T;Tk

23;Tnkp

BBB >ε<=

>ε<=>=ε<=

2. Отношение давлений газа после изменения концентрации и энергии мо-лекул (увеличения температуры)

;25

pp

;2n152p

;n32p

2

1

2

1

=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

>ε<=

>ε<=

А8. В воздушном насосе перекрыли выходное отверстие и быстро сжали воздух в цилиндре насоса. По какой схеме воздух изменяет своё состояние?

66

Решение 1. Считая воздух в насосе идеальным газом, изменение его состояния можно описать уравнением Клапейрона-Менделеева:

;RTmpVμ

=

2. В рассматриваемом случае макропараметры {p,V,T} изменяются, а по-скольку изменения состояния протекает быстро, то газ за время изменения (сжатие газа поршнем) не успевает отдать или получить теплоту из внешней среды. Такие процессы называют адиабатическими. 3. Процесс изменения состояния газа, при котором не происходит теплооб-мена с внешней средой, называется адиабатическим. Для определения уравне-ния адиабаты воспользуемся первым началом термодинамики, которое запи-шем в следующем виде

pdVTCmdQ V +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛μ

=δ ,

где CV − удельная теплоёмкость газа при постоянном объёме. Если теплообме-на с внешней средой нет, то δQ = 0, т.е.

dTCmpdV Vμ−= .

4. Продифференцируем последнее уравнение:

RdTmVdppdVμ

=+ .

5. Умножим на R/CV

RdTCmRpdV

CR

VV μ= ,

и сложим

RdTCmRRdTmpdV

CRVdppdV

VV μ−

μ=++ ,

или

0VdpCR1pdV

V

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ ,

где γ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

V

p

V CC

CR1 − показатель адиабаты (коэффициент Пуассона), т.е.

0VdppdV =+γ . 6. Если величины Ср и CV не зависят от температуры (что можно принять для возду-ха), такая ситуация имеет место для идеаль-ных газов, то постоянен и коэффициент Пу-ассона, следовательно

constpV =γ . 7. Уравнение называется уравнением Пу-ассона. Уравнение адиабаты можно получить, переписав уравнение Пуассона в виде

constpVV 1 =−γ .

67

8. Произведение pV, как известно, пропорционально температуре, поэтому constTV 1 =−γ ,

это и есть уравнение адиабаты. Адиабатический закон поведения газа стано-вится справедливым при достаточно быстрых изменениях при сохранении об-ратимости, как например, при распространении звуковых волн в воздухе. А9. Температура медного образца массой m = 100 г повысилась с t1 = 20 0C до t2 = 60 0С. Какое количество тепла получил образец?

Решение 1. Повседневный опыт показывает, что при соприкосновении тела со сре-дой, обладающей более высокой температурой оно нагревается, причём сте-пень нагрева, при прочих равных условиях, зависит от физических свойств те-ла. 2. Так, например, деревянной палкой можно достаточно долго ворошить горящий костёр, пока она не загорится, а вот медным прутом орудовать полу-чится недолго, прут быстро нагреется и начнёт жечь руки. Из этого примера видно, что как и следовало ожидать, особенности молекулярного строение тел определяют динамику термодинамических процессов. 3. Одной из важных термодинамических характеристик вещества является отношение подводимого количества тепла и соответствующего изменения тем-пературы. 4. Теплоёмкостью тела С называется физическая величина, определяемая в виде отношения сообщённого телу количества теплоты δQ к вызванному изме-нению температуры dT

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡δ

=TДж,

dTQC .

5. Для удобства использования понятия теплоёмкости в практических рас-чётах ввели ещё две производные величины. Молярной теплоёмкостью назы-вается теплоёмкость одного моля вещества, которая определяет на сколько градусов, например по Кельвину, нагреется один моль вещества при сообще-нии ему количества теплоты δQ = 1 Дж

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⋅ν⋅δ

=μ КмольДж,

dTQC .

6. Удельная теплоёмкость характеризует процесс нагревания или охлажде-ния единицы массы вещества, чаще всего 1 кг, но это совсем не обязательно, могут быть граммы или тонны

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⋅⋅δ

=Ккг

Дж,mdT

Qc .

7. Для меди с ≈ 380 Дж/кг⋅К, поэтому ≈⋅⋅≈Δ=Δ 400,1380TcmQ 1520 Дж;

А10. задан график изменения состояния постоянной массы газа, в процес-се которого газом отдано количество теплоты Q = 3 кДж. Определить измене-ние внутренней энергии газа.

68

Решение 1. Первое начало термодинамики:

dUAQ +δ=δ . 2. В заданном изохорном процессе работа не совершается, поэтому всё отданное количество тепла трансформируется в изменение внутренней

энергии: кДж;3QU ==Δ

А11.Плоский воздушный конденсатор имеет ёмкость С. Как изменится его электрическая ёмкость при уменьшении расстояния между пластинами в 3 раза?

Решение 1. Принимая диэлектрическую проницаемость воздуха ε = 1, электрическую ёмкость плоского конденсатора можно выразить следующим уравнением:

;3CC

;dSC

;d

S3C;

dSС

1

2

01

02

0 =

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

ε=

ε=

⇒ε=

А12. Как изменится сопротивление участка цепи АВ, если ключ К разомк-нуть, если сопротивление каждого резистора R = 4 Ом?

Решение

1. При замкнутом ключе сопротивление участка АВ:

;Ом4RR AB == 2. Сопротивление АВ при разомкнутом ключе:

;Ом6R5,12RRR*

AB ==+=

3. Изменение сопротивления участка АВ: ;Ом2RRR AB

*AB =−=Δ

А13. Задан график зависимости силы тока от времени в электрической цепи, содержащей ин-дуктивность L = 1 мГн. Определить модуль сред-него значения ЭДС самоиндукции в интервале времени Δt = 10 − 15 c.

Решение 1. Явление электромагнитной индукции на-

блюдается во всех случаях изменения магнитного потока через контур. В част-ности ЭДС индукции может генерироваться в самом контуре при изменении в нём величины тока, что приводит к появлению дополнительных токов. Это яв-

69

ление получило название самоиндукции, а дополнительно возникающие токи называются экстратоками или токами самоин-дукции. 2. Исследовать явление самоиндукции можно на установке, принципиальная схема которой приведена на рис. Катушка L с большим числом витков, через реостат r и переключатель k под-соединяются к источнику ЭДС ε. Дополнительно к катушке подключён гальванометр G. При зако-роченном переключателе в точке А ток будет ветвится, причём ток величиной i будет проте-кать через катушку, а ток i1 через гальванометр. Если затем переключатель разомкнуть, то при исчезновении в катушке магнитного потока возникнет экстраток размыкания I. По закону Ленца экстраток будет препятствовать уменьшению магнитного по-тока, т.е. будет направлен в сторону убывающего тока, а вот через гальвано-метр экстраток пройдёт в направлении противоположном первоначальному, что приведёт к броску стрелки гальванометра в обратном направлении. Если катушку снабдить железным сердечником, то величина экстратока увеличива-ется. Вместо гальванометра в этом случае можно включить лампочку накали-вания, при возникновении тока самоиндукции лампочка будет ярко вспыхи-вать. 3. Известно, что магнитный поток, сцепленный с катушкой пропорционален величине протекающего по ней тока

Li=ψ , коэффициент пропорциональности L называется индуктивностью контура. Размерность индуктивности определяется уравнением

[ ] ( )генриГнАВбL,

idL ==ψ

= .

4. Получим уравнение ЭДС самоиндукции εsi для катушки

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=−=

ψ−=ε i

dtdL

dtdiLLi

dtd

dtd

si .

5. В общем случае индуктивность, наряду с геометрией катушки в средах может зависеть от силы тока, т.е. ( )ifL = , это можно учесть при дифференци-ровании

dtdi

didL

dtdL

= .

6. ЭДС самоиндукции представится следующим уравнением:

dtdi

didLLsi ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=ε .

7. Если индуктивность не зависит от величины тока, уравнение упрощается

dtdiLsi −=ε .

8. ЭДС самоиндукции пропорциональна скорости изменения величины то-ка. В заданном случае

;0;0dtdi;consti si =ε⇒==

70

А14. Плоская электромагнитная волна с длиной λ = 8 м распространяется в направлении оси y декартовой системы координат. Чему равен модуль разно-сти фаз электромагнитных колебаний в начале координат и некой точке М с координатами: х = 2 м; у = 4 м; z = 4 м?

Решение

1. В заданном направлении волна распространилась на расстояние:

;м42

y =λ

=

2. Дина волны является расстоянием между частицами среды, колеблющи-мися с одинаковой фазой, другими словами, дина волны, это расстояние на ко-торое распространяются колебания в течении одного периода колебаний. В уг-ловых координатах длина волны соответствует 2π радиан. 3. При распространении на расстояние λ/2 разность фаз составит π радиан. А15. При освещении дифракционной решётки монохроматическим светом на экране, установленном за ней, возникает интерференционная картина, со-стоящая из чередующихся тёмных и светлых вертикальных полос. В первом опыте расстояние между светлыми полосами оказалось больше, чем во втором, а во втором больше, чем в третьем. В каком из ответов правильно указана последовательность цветов моно-хроматического света, которым освещалась решётка? 1. 1 − Красный; 2. 1. − Красный; 3. 1 − Зелёный; 4. 1 − Синий; 2. − Зелёный; 2. − Синий; 2. − Синий; 2. − Зелёный; 3. − Синий; 3. − Зелёный; 3. − Красный; 3. − Красный;

Решение 1. Условие интерференционных максимумов в случае дифракционной ре-шётки:

,msind λ=ϕ где d − постоянная решётки d = a + b, λ − длина падающей волны, ϕ − угол ди-фракции. Расстояние между соседними полосами пропорционально длине вол-ны. При красном свете ширина полос будет максимальной при фиолетовом − минимальной.

2. Верной является последовательность №1. А16. Для описания любых физических процессов: А. Все неинерциальные системы отсчёта равноправны; Б. Все инерциальные системы равноправны. Какое из этих утверждений справедливо согласно специальной теории от-носительности?

1. Только А; 2. Только Б; 3. И А и Б; 4. Ни А ни Б;

71

Решение 1. Всякая система отсчёта, движущаяся относительно инерциальной систе-мы отсчёта (ИСО) равномерно, прямолинейно и без элементов вращения, так-же является ИСО. Согласно принципу относительности, все ИСО равноправны, и все законы физики инвариантны относительно перехода из одной ИСО в дру-гую. Это значит, что проявления законов физики в них выглядят одинаково, и записи этих законов имеют одинаковую форму в разных ИСО. Следовательно, верным является утверждение Б. 2. Для согласования сил и ускорений в неинерциальной системе отсчёта, перечень действующих на тела сил можно дополнить (в соответствии с прин-ципом Даламбера) силами инерции. Всякая система отсчета, движущаяся с ус-корением или поворачивающаяся относительно инерциальной, является не-инерциальной. А17. Один лазер излучает монохроматический свет с длиной волны λ1 = 300 нм, другой − с диной волны λ2 = 700 нм. Чему равно отношение импульсов этих фотонов?

Решение 1. Импульс фотона равен:

;hhp;c;c

hp ff λ=

νλν

=⇒νλ=ν

=

2. Отношение импульсов лазерных фотонов:

;333,237

pp

1

2

2f

1f ≈=λλ

=

А18. В результате реакции синтеза ядра дейтерия с неким ядром XA

Z обра-зуется ядро бора и нейтрон в соответствии с ядерной реакцией:

nBXH 10

105

AZ

21 +→+ ;

Определить значение массового и зарядового числа вступившего в реак-цию ядра.

Решение 1. В соответствии с законом сохранения массовых чисел и электрических зарядов:

;415Z;92110A =−==−+= 2. Неизвестное ядро X9

4 состоит из четырёх протонов и пяти нейтронов, т.е. является ядром изотопа бериллия Be9

4 . А19. В образце, содержащем изотоп нептуния Np237

93 , происходит реакция превращения его в уран:

;UPaNp 23392

23391

23793 →→

При этом регистрируются следующие виды радиоактивного излучения: 1. Только α-частицы; 2. Только β-частицы; 3. И α-частицы и β-частицы одновременно; 4. Только γ-частицы.

72

Решение 1. Заряд и массовое число испускаемой частицы после первого распада изо-топа нептуния:

( );частицаHeX;4233237A;29193Z 42

AZ11

11

−α≡⇒=−==−= 2. Частица, испускаемая при распаде ядра палладия:

( );частицаeX;0A;19291Z 01

AZ22

22

−β≡⇒=−=−= − А20. Чтобы точно определить массу одного гвоздя их сразу взвешивают по N = 50 штук, придя, в конечном счете, к результату М = (300± 5) г. Чему равна усреднённая масса одного гвоздя?

Решение 1. Усреднённая масса одного гвоздя по результатам измерений:

( ) ;г1,06505

50300

NMm1 ±≈⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ±==

А21. Проводники изготовлены из одного и того же материала. Какую пару проводников нужно выбрать, чтобы экспериментально об-наружить зависимость сопротивления прово-локи от её диаметра?

Решение

1. Сопротивление цилиндрического проводника:

,S

R lρ=

чтобы установить заданную зависимость надо использовать проводники оди-наковой длины и разного диаметра, т.е. вариант № 3.

Часть 2 В1. В цилиндре под поршнем находится сода и насыщенный пар. Поршень медленно изотермически вдвигается в цилиндр. Как изменяются при этом дав-ление водяного пара, его масса и масса воды в цилиндре?

1. Увеличивается; 2. Уменьшается; 3. Не изменяется;

Решение 1. Поскольку пар под поршнем насыщенный, то при уменьшении объёма давление должно увеличиваться, то давление насыщенных паров для данной жидкости зависит только от температуры, которая не изменяется, значит, про-цесс сопровождается фазовыми превращениями первого рода. Другими слова-ми, пар будет конденсироваться, превращаясь в жидкость, при этом масса пара будет уменьшаться, а масса воды увеличиваться.

73

Давление водяного пара в цилиндре

Масса водяного пара в цилиндре

Масса воды в цилиндре

3 2 1

В2. Атом переходит из возбуждённого состояния в основное, излучая, как водится, фотон. Как изменится энергия этого фотона, его частота и длина вол-ны, если во втором случае атом переходит в основное состояние из возбуж-дённого состояния с более высоким уровнем энергии, чем в первом случае?

1. Увеличивается; 2. Уменьшается; 3. Не изменяется; Решение

1. Энергия излучаемого (поглощаемого) фотона:

mnf EEhch −=λ

=ν=ε ,

при увеличении значение разности энергий состояния атома, энергия фотона увеличивается, т.е. частота фотона растёт, длина волны уменьшается.

Энергия излучаемого фотона

Частота излучаемого фотона

Длина волны излу-чаемого фотона

1 1 2

В3. Какими основными закономерностями описываются отражение и пре-ломления света. Установить соответствие между физическими явлениями и основными за-кономерностями, которые их описывают.

Решение

1. Закон отражения света с позиций геометрической оптики: угол падения света на плоскую поверхность α равен углу отражения β (α = β); 2. Закон преломления света в геометрической оптике:

ϕ 121

2 nnn

sinsin

→==βα ;

А Б 3 1

В4. Маленький массивный шарик, соединённый с невесомой нерастяжимой нитью, прикрепленной к потолку, совершает колебания в вертикальной плос-кости. Максимальное отклонение от вертикали составляет ϕ = 600. Как направлены векторы ускорения шарика, его скорости в момент прохож-дения положения статического равновесия?

74

Решение

1. Шарик не является свободным, на него на-ложена связь в виде нити, что принуждает его двигаться из положения 1 по круговой траектории радиусом L, равным длине нити. 2. В соответствии с законом сохранения энер-гии:

( ) ;maL

mvcos-1mgL n

2

==ϕ

вектор нормального (центростремительного) ускорения направлен всегда по нити к оси вращения, которая проходит через точку о перпендикулярно плос-кости чертежа. Вектор скорости исходя из своего геометрического смыла все-гда направлен по касательной к данной точке траектории:

А Б 1 3

Часть 3 А22. Груз массой m1, лежащий на гладкой поверхности, связан невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через идеальный блок, с телом массой m2 = 0,25 кг, которое поднимается вверх с ускорением а = 2 м/с2 под действием си-лы F = 9 H, которая приложена параллельно опорной плоскости к первому те-лу. Определить, массу первого тела m1.

Решение 1. Система уравнений второго закона Ньютона в проекции на оси координат для заданной системы тел, которые ввиду невесомости и нератяжимости нитей движутся с одинаковым по модулю ускорением

( )( )

( ) ;кг3a

gamFm

;gamT;gamFam

;gmTam;TFam

21

2

11

22

1

=+−

=

⎭⎬⎫

+=+−=

⇒⎭⎬⎫

−=−=

75

А23. Какую работу совершает газ при пере-ходе из состояния 1 в состояние 3?

Решение 1. Работа совершается при переходе газа из состояния 1 в состояние 2 (изобарное расшире-ние, при переходе газа из состояния 2 в состоя-ние 3 (изохорное увеличение давления) работа не совершается, изменяется внутренняя энергия газа, поэтому:

( ) ;кДж101,010VVpAA 51212131 =⋅=−== →→

А24. В электрическую цепь включена медная проволока длиной L = 20 см. При напряжённости электрического поля Е = 50 В/м сила тока в про-воднике составляет I = 2 А. Определить напря-жение приложенное к концам проволоки.

Решение 1. Напряжённость электрического поля в проводнике связана с разностью потенциалов следующей зависимостью:

;B10ELU;LU

LE ==⇒≡

ϕΔ=

А25. Работа выхода электрона из некоторого металла А = 3⋅10 − 19 Дж. Оп-ределить максимальную длину волны λ излучения, которым могут с поверхно-сти вышибаться фотоэлектроны.

Решение 1. В задании необходимо определить красную границу фотоэффекта:

;нм660103

103106,6Ahc;Ahc

19

834

minmin

=⋅

⋅⋅⋅==λ⇒=

λ −

−

С1. Широкую стеклянную трубку длиной око-ло полуметра, запаянную с одного конца, цели-ком заполнили водой и погрузили открытым кон-цом на несколько сантиметров в сосуд с водой. При комнатной температуре трубка остаётся полностью заполненной водой. Воду в тазике медленно нагревают. Где установится уровень воды в трубке, когда вода в сосуде начнёт заки-пать?

Решение 1. В начальном состоянии гидростатическое давление столба жидкости вы-сотой h ≅ 0,5 м, находящейся в вертикальной трубке будет меньше внешнего атмосферного давления:

,Па101p;pПа1055,01010gh 500

33 ⋅≈<⋅≈⋅⋅≈ρ т.е. труба будет полностью заполнена водой.

76

2. Многие из известных веществ, в зависимости от внешних условий, могут находиться в четырёх агрегатных состояниях твёрдом, жидком, газообразном и плазменном. В физике принято особенности строения и состояния веществ ха-рактеризовать отношением средней величины кинетической энергии поступа-тельного движения молекул к величине их потенциальной энергии. Для газов такое отношение на много меньше единицы, для твёрдых тел − на много боль-ше единицы, а для жидкостей соотношение между энергиями близко к единице

( ) ( ) ( )0Пост.0Пост.0.Пост rU,телатвёрдогодляrU,газадляrU ≈ε−<<ε−>>ε .

3. Частицы, составляющее вещество: ионы, молекулы или атомы в большей или меньшей степени находятся в постоянном взаимодействии друг с другом, которое, собственно и определяет состояние. При относительно низких темпе-ратурах частицы расположены в виде правильных геометрических фигур. Ве-щество находится в твёрдом состоянии, частицы совершают тепловые колеба-ния, которые не нарушают взаимного расположения структурных элементов. 4. Если температуру повышать, то амплитуда колебаний начинает возрас-тать, т.е. увеличивается кинетическая энергия частиц. При некоторых значени-ях температуры энергия колебаний становится равной или превосходит энер-гию взаимодействия, связи при этом постоянно разрываются и снова восста-навливаются. К колебательным степеням свободы добавляются вращательные и даже поступательные. Строгая геометрическая конфигурация относительного расположения частиц нарушается. Вещество из твёрдого состояния переходит в жидкое состояние. В этом случае говорят о фазовом переходе первого рода. 5. Дальнейшее повышение температуры сопровождается ещё большими амплитудами колебаний частиц, в конце концов, частицы удаляются друг от друга и перестают взаимодействовать. Вещество становится газообразным. Структурные элементы движутся исключительно поступательно «не замечая друг друга». Взаимодействие происходит только при столкновениях. При дальнейшем увеличении температуры до нескольких сот тысяч градусов энер-гия, которой обмениваются частицы при столкновениях, становится настолько большой, что атомы начинают терять электроны. Ядра и электроны существу-ют независимо друг от друга. Это состояние вещества принято называть плаз-мой. 6. Жидкости занимают промежуточное положение между твердым и газо-образным состоянием. Жидкостям присущи как свойства твердых тел, так и веществ, находящихся в газовом состоянии. Как твёрдые тела, жидкости харак-теризуются определённым объёмом, способны образовывать поверхности раз-

Фазовые состояния вещества

77

дела, обладают некоторой прочностью на разрыв, но вместе с тем, одновре-менно располагают свойствами типичными для газов. Жидкости не способны сохранять, подобно газам, свою форму, принимая форму сосуда. Отличитель-ными от других состояний является текучесть и упругость жидкостей. 7. Структурные элементы материи (молекулы и атомы) могут участвовать одновременно в нескольких типах теплового движения, поступательном, вра-щательном и колебательном. Набор движений, которые совершает молекула или атом определяется числом степеней свободы. У газообразных веществ в условиях близких к нормальным молекулы или атомы характеризуются тремя поступательными степенями свободы. Структурные элементы веществ, нахо-дящихся в твёрдом состоянии вследствие значительных сил межмолекулярного взаимодействия совершают только колебательные движения вокруг положения равновесия. 8. Полная упорядоченность структуры твёрдого состояния материи и абсо-лютный беспорядок её газообразного состояния являются крайними, посереди-не располагается вещество «в несколько упорядоченном беспорядке». Иссле-дования жидкостей путём рассеяния нейтронов позволили Дж. Берналу сфор-мулировать качественную модель поведения молекул вещества в жидком со-стоянии. 9. Вот суть этой модели. В объёме жидкости можно выделить ансамбли мо-лекул, которые колеблются вокруг центров, образующих определённую гео-метрическую конфигурацию. Упорядоченные области расположены в объёме случайным образом, причём влияние отдельных упорядоченностей, друг на друга незначительно. В результате тепловых колебаний некоторые молекулы в результате разрыва связей с данным сообществом приобретают поступатель-ные степени свободы и примыкают к другому сообществу, как бы меняя парт-нёров взаимодействия. Происходит внутренняя диффузия. В результате посту-пательного перемещения молекулы образуется нарушение геометрической упорядоченности в виде вакансии, которую часто называют «дыркой». Таким образом, в жидкости постоянно возникают и замещаются вакансии. 10. Жидкость как термодинамическая система может быть гомогенной или гетерогенной. К гомогенному состоянию относятся такие термодинамические системы, когда во всём исследуемом объеме имеет место постоянство химиче-ского состава и физических свойств или их монотонное (без скачков) измене-ние. Гетерогенной система становится тогда, когда наряду, например, с жидкой основной фазой одновременно присутствуют другие фазы, конкурентные ос-новной. 11. Образование конкурентной фазы, например газообразной или парооб-разной может происходить не одновременно во всей жидкости, а в некоторых её локальных объёмах. В этом случае говорят о наличии гомогенных областей в гетерогенной системе или наоборот. Каждая фаза отделяется от конкурентной поверхностью раздела, при пересечении которой практически мгновенно изме-няются химические и физические характеристики вещества. Так, например, при образовании в воде конкурентной фазы в виде паровых или газовых полос-тей, плотность фаз отличается существенно (практически на три порядка), то же можно сказать и о других физических свойствах. Достаточно часто на прак-тике наблюдаются ситуации, когда две конкурирующие фазы существуют од-новременно, т.е. находятся в состоянии динамического равновесия. Примером такой распространённой ситуации может служить поверхность жидкости, кон-тактирующая со «своим» насыщенным паром.

78

12. Фазовый переход жидкости в пар количественно характеризуется урав-нением

( )pL

s

Tr

dTdp

υ−υ= ,

где ps − давление насыщенных паров, r − теплота парообразования, pL ,υυ − удельный объём жидкой и паровой фазы. Из этого уравнения следует, что об-разование конкурентной паровой фазы в жидкости возможно в тех ло-кальных объёмах, где давление становится равным давлению насыщен-ных паров данной жидкости. Таких условий можно достичь двумя спосо-бами, увеличивая температуру до температуры кипения или понижая давление до давления насыщенных паров. 13. В рассматриваемом случае образование конкурентной фазы происходит вследствие увеличения температуры. При достижении жидкостью температуры кипения при данном значении внешнего давления (нормальное значение атмо-сферного давления p0 ≅ 105 Па) давление пара, образовавшегося под запаянным концом трубки, станет равным атмосферному давлению

0s pp ≈ ; 14. Как видно из приведенных выше соотношений нарушение равновесия может происходить по термодинамическим и механическим причинам, т.е. при изменении либо температуры, либо давления. Тепловое равновесие предпола-гает одинаковость температуры конкурентных фаз, механическое равновесие подразумевает равенство давлений по обе стороны границы раздела. 15. Давление насыщенных паров, как функцию температуры можно полу-чить, интегрируя дифференциальное уравнение п.12

CRT

rpln,TdT

Rr

pdp,p

RTr

Tr

dTdp

s2s

ss2

s +μ

−=⇒μ

=⇒μ

=υ

= .

16. Постоянную интегрирования С можно определить, зная значение дав-ления насыщенных паров для какой-либо температуры. Зависимость давления насыщенных паров воды (H2O) ps от её температуры показана в таблице 1: Таблица 1.

t,0 C ps,× 103Па t,0 C ps,× 103Па -5 0.4 16 1,81 0 0,61 17 1,93 1 0,65 18 2,07 2 0,71 19 2,2 3 0,76 20 2,33 4 0.81 21 2,49 5 0,88 22 2,64 6 0,93 23 2,81 7 1,0 24 2.99 8 1,06 25 3,17 9 1,14 26 3,36

10 1,23 27 3,56 11 1,33 28 3,79 12 1,4 29 4,0 13 1,49 30 4.24 14 1,6 100 101,29 15 1,71 200 1549,78

17. Таким образом, если известно давление насыщенных паров жидкости ps(i) при некоторой температуре Ti, то, исключая постоянную интегрирования С, для ps, можно написать следующее уравнение

79

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

μ=

T1

T1

Rrexppp

i)i(ss .

18. Как видно из приведенных данных, условие образования в жидкости конкурентной фазы не может быть однозначно охарактеризовано только урав-нением состояния, которое связывает давление, объём и температуру f(p,V,T) = 0. Уравнения показывают, что при рассмотрении фазовых переходов первого рода необходимо рассматривать энергетические параметры процессов, други-ми словами, необходимо выразить энергию исследуемого элементарного объё-ма жидкости, состоящего из множества молекул, как функцию объёма и темпе-ратуры. Второе начало термодинамики, кстати, позволяет энергетическое уравнение представить как функцию не двух переменных, а только одной. 19. Следует отметить, что при исследовании условий образования конку-рентной фазы при понижении местного давления или увеличении локальной температуры достаточно проблематично применение записанного выше урав-нения, потому что в качестве значения Тi принимается некая величина, которая является результатом инструментального измерения, т.е. температура некото-рого объёма жидкости в который помещён датчик. Его показания могут суще-ственно отличаться от истинной температуры, имеющей место в области воз-никновения конкурентной фазы. 20. Экспериментальные данные, приведенные в таб. 1 показывают, что при плавном и медленном увеличении температуры воды давление насыщенных паров станет увеличиваться, практически, по экспоненциальному закону, что приведёт к понижению уровня воды в трубке и соответствующего повышения уровня воды в сосуде. 21. При температуре, соответствующей температуре кипения давление пара в трубке станет равным внешнему атмосферному давлению

,pp 0s ≅ уровень воды в трубке и сосуде станет одинаковым. С2. Небольшая шайба после удара скользит по наклонной плоскости из точки А. В точке В на-клонная плоскость без излома переходит в на-ружную поверхность горизонтальной трубы ра-диусом R. Если в точке А скорость шайбы в точке А превосходит v0 = 4 м/с, то в точке В шайба от-рывается от опоры. Длина наклонной плоскости l = АВ = 1 м, угол наклона плоскости к горизонту α = 300, коэффициент трения между шайбой и плоскостью μ = 0,2. Определить радиус трубы R.

Решение 1. Условие отрыва шайбы в точке В:

gvR;mg

Rmv 2

B2B =⇒= ;

2. Скорость в конце подъёма шайбы определится законом сохранения меха-нической энергии. Механическая энергия шайбы в точке А должна быть равна энергии шайбы в точке В. Выбирая уровень опорной плоскости за нулевой уро-вень потенциальной энергии, можно записать:

( ),FAKK ТрBBA +Π+=

80

где КА − кинетическая энергия шайбы в точке А сразу после начала движения по наклонной плоскости, КВ − кинетическая энергия шайбы в момент её отрыва от опорной поверхности, ПВ − потенциальная энергия шайбы в точке В, A(FТр) − работа силы трения на перемещении l . 3. Уравнение закона сохранения энергии:

,cosmgsinmg2

mv2

mv 2B

20 αμ+α+= ll

( )αμ+α+=αμ+α+= cossing2vcosg2sing2vv 2B

2B

20 lll ;

( ) ( );cossin2gvR;cossing2vv

202

02B αμ+α−=⇒αμ+α−= ll

( ) ;м254,0866,02,05,021016R ≈⋅+−≈

С3. В калориметре находится m1 = 1 кг льда. Чему равна первоначальная температура льда t1, если после добавления в калориметр m2 = 15 г воды, имеющей температуру t2 = 20 0С, в калориметре устанавливается тепловое равновесие при температуре θ = − 2 0С. Теплообмен с внешней средой отсут-ствует, теплоёмкость калориметра ничтожно мала.

Решение 1. Поскольку установившаяся температура θ = − 2 0С, то добавленная в ка-лориметр вода вся превратится в лёд. Уравнение теплового баланса для рас-сматриваемого случая представится следующим образом:

( ) ( ) ,mtmctmc 2222111 λ+θ−=−θ где с1 ≈ 2100 Дж/кг⋅К − удельная теплоёмкость льда, с2 ≈ 4200 Дж/кг⋅К − удельная теплоёмкость воды, λ ≈ 3,3⋅105 Дж/кг − удельная теплота фазового перехода воды в лёд. 2. Разрешая уравнение теплового баланса относительно температуры t1, по-лучим:

;mvctmctmcmc 22222211111 λ+θ−=−θ

( ) ;mc

mtmcmct

11

22

11

221

λ−θ+=

( ) ;C8,42100

103,3015,02202100

015,04200t 05

1 −≈⋅⋅

−−⋅

≈

С4. Пылинка массой m = 10 − 18 г, несущая на себе отрицательный заряд |q| = 1,8⋅10 −14 Кл, влетает в электрическое поле конденсатора в точке, находящейся посередине между пласти-нами. Чему должна быть равна минимальная скорость, с которой пылинка должна влететь в конденсатор, чтобы пролететь его насквозь? Длина пластин конденсатора l = 10 см, рас-

стояние между пластинами d = 1 см, разность потенциалов между пластинами U = 5000 В. Силой трения пренебречь. Система находится в вакууме.

81

Решение 1. Пусть частица массой m, несущая отри-цательный заряд q, двигаясь с постоянной скоростью v0, попадает в пространство между пластинами воздушного конденсатора с на-пряжённостью Е. В данном случае уравнение движение частицы примет следующий вид

Eqdtvdm

rr

= .

2. Если оси координат выбрать так, как показано на рис., то проекции вектора напря-жённости будут равны: Ех = Еz = 0, Еу = Е, следовательно Сила Кулона, дейст-вующая на положительно заряженную частицу будет направлена вертикально вверх:

dUqqEFK ==

r;

3. Ускорение заряженной пылинки:

;см900

10105000108,1

dU

mqa;ma

dUq 2211

14

≈⋅⋅⋅

≈=⇒= −−

−

4. Минимальная скорость v0 будет соответствовать пролёту пылинки у верхней кромки положительно заряженной пластины конденсатора. Это даёт основание записать следующие кинематические уравнения движения пылинки:

⎪⎭

⎪⎬⎫

τ−=

τ=

;2

a2d0

;v2

0l

5. Время путешествия пылинки к верхней кромки пластины определим из второго уравнения системы:

;с1033,390010

ad 3

2−

−

⋅≈==τ

6. Минимальная скорость определится из первого уравнения системы:

;см30

10333,31,0v 30 ≈⋅

=τ

= −

l

С5. Плоская горизонтальная фигура площадью s = 0,1 м2, ограниченная проводящим контуром с сопротивлением R = 5 Ом, находится в однородном магнитном поле. Проекция вектора магнитной индукции на вертикальную ось Oz равномерно и медленно возрастает B1z = - 0,15 Тл до некоторого конечного значения B2z, при этом по контуру протекает заряд ΔQ = 0,008 Кл. Найти вели-чину B2z.

Решение 1. Уравнение закона электромагнитной индукции Майкла Фарадея:

( )1z2zi

2x1zBi BR

sQB;R

tQ;

tBBs

t−

Δ=

ΔΔ

=ε⇒Δ+

=ΔΔΦ

−=ε ;

;Тл25,015,01,0

5008,0B 2z =−⋅

=

82

С6. Препарат, активность которого равна ζ = 1,7⋅1012 с-1, помещён в кало-риметр, заполненный водой при температуре Т0 = 293 К. Сколько времени по-требуется, чтобы m = 10 г воды довести до кипения, если известно, что препа-рат испускает α-частицы с энергией εα = 5,3 МэВ. Вся энергия α-частиц полно-стью трансформируется во внутреннюю энергию. Теплоёмкостью препарата и калориметра, а так же теплообменом с окружающей средой пренебречь.

Решение 1. Уравнение, описывающее процесс нагревания воды за счёт поглощения энергии α-частиц:

,Tcm;Tcmα

α ζεΔ

=τ⇒τζε=Δ

где с ≈ 4200 Дж/кг⋅К −удельная теплоёмкость воды, ΔТ = ТКип − Т0 = 80 К, энергия α-частиц εα ≈ 5,3⋅106⋅1,6⋅10 − 19 ≈ 8,48⋅10 − 13 Дж. 2. Необходимое время:

;мин8,38с23301048,8107,180104200

1312

2

≡≈⋅⋅⋅⋅⋅

≈τ −

−

83

Билет 7

Часть 1 А1. Тело движется по оси Ох. Задан график зависимости проекции скорости тела на направление движения. Какой путь прой-дёт тело за τ = 4 с?

Решение 1. В течении времени t1 тело движется равноускоренно с ускорением:

;м22tax;

см1

tva

21x

121

xx ==⇒=

ΔΔ

=

2. В течении времени t2 движение равномерное: ;м4tvx 22x2 ==

3. Расстояние, пройденное за время τ = 4 с: ;м6xxx 21 =+=Σ

А2. На тело, расположенное в горизон-тальной плоскости, действуют три горизон-тальные силы. Каков модуль равнодействую-щей сил, если F1 = 1 H?

Решение 1. К телу приложена система трёх плоских сходящихся сил:

;H1FFF 133,1 =−=r

;H16,310FFR 22

23,1 ≈=+=

r

А3. Под действием силы F1 = 3 Н пружина удлинилась на Δх1 = 4 см. Чему равен модуль силы, под действием которой удлинение пружины составит Δх2 = 6 см?

Решение 1. Коэффициент упругости пружины:

;мН75

1043

xFk 2

1

1 =⋅

=Δ

= −

2. Искомый модуль силы: ;H5,4xkF 2x =Δ=

84

А4. Тело движется по прямой в одном направлении. Под действием посто-янной силы за время τ = 3 с импульс тела изменился на Δр = 6 кг⋅м/с. Каков модуль действующей силы?

Решение 1. В соответствии с теоремой об изменении импульса силы:

( ) ;H2pF;dtFvmd;Fdtvdm =

τΔ

=⇒==rr

А5. Период колебаний пружинного маятника Т1 = 1 с. Каким станет период колебаний, если массу груза маятника увеличить в 2 раза, а жёсткость пружи-ны уменьшить в два раза?

Решение

;c24TT;

km42T

;km2T

12

2

1

==⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

π=

π=

А6. Однородный куб опирается одним ребром на пол, другим − на вертикальную стенку. Плечо силы упругости N

r относительно оси, проходящей

через точку О3 перпендикулярно плоскости рисун-ка и равно:

1. h1 = 0; 2. h2 = O2O3; 3. h3 = O2B; 4. h4 = O3B?

Решение 1. Практика показывает, что одна и та же сила, будучи приложенной в разных точках механиче-ской системы или тела, вызывает различные типы движений. Если линия действия силы проходит че-рез центр масс системы, то следует ожидать воз-никновения поступательного движения. В случае смещения линии действия силы на некоторое рас-стояние d, движение системы будет иметь враща-тельную составляющую относительно оси, прохо-дящей через центр, перпендикулярно плоскости чертежа. 2. Действие силы на механическую систему или

твёрдое тело, таким образом, исчерпывающе характеризуется тремя величина-ми: модулем, направлением и линией действия. 3. Все три величины можно объединить в одну, введя понятие момента силы. Необходимо отметить, что моменты сил можно определять относитель-но центра (некой характерной точки) и оси, причём эти понятия связаны друг с другом, но не являются эквивалентными. Их следует различать. Момент силы относительно центра является величиной векторной, момент той же силы отно-сительно оси представляется скалярной величиной, потому, что, по сути, пред-ставляется проекцией вектора момента силы на эту ось.

85

4. Пусть в точке А характеризуемой ради-ус-вектором r

r, приложена сила F

r. Момент

этой силы относительно центра О определит-ся в виде векторного произведения

( ) ( )FrFMO ×=rrr

,

( ) ( )F;rsinFrFMО

rrrrr= .

5. Момент силы ( )FMo

r не изменится, если точку приложения силы F

r пере-

нести в любую точку, лежащую на линии её действия. Если точку приложения силы переместить в A*, которая охарактеризуется радиус-вектором *r

r, то об-

разуются два параллелограмма с одинаковыми площадями т.к. они имеют об-щее основание и одинаковые высоты. Это обстоятельство даёт возможность переносить силу по линии её действия, при этом момент силы не изменяется. 6. Вектор ( )FMO

rr направлен перпендикулярно плоскости, в которой распо-

лагаются векторы Fr

и rr

, направление вектора момента силы определяется по правилу правого винта. Направление момента силы относительно точки можно определять по правилу Н.Е. Жуковского: вектор момента силы относительно неподвижного центра направлен перпендикулярно к плоскости, в которой ле-жат сила и центр О, таким образом, что с его конца можно видеть стремление силы вращать тело против движения часовой стрелки. 7. Момент силы относительно оси определяется в виде произведения модуля действующей силы на пле-чо, т.е. на кратчайшее расстояние между линией дей-ствия силы и осью, относительно которой определяет-ся момент. Если сила F

r приложена в точке А и требу-

ется определить момент этой силы относительно оси z, то необходимо провести линию действия силы (голу-бая пунктирная линия) и найти кратчайшее расстояние между линией действия силы и осью, т.е. расстояние d, которое называется плечом силы F

r: α= sinrd

r . 8. Момент силы считается положительным, если он стремится вращать тело или систему материальных точек против часовой стрелки. Отрицательным счи-тается момент силы, стремящийся поворачивать тело в направлении, совпа-дающем с ходом часовой стрелки

( ) FdsinrFFMz ±=α=rrr

.

9. Момент силы не имеет специальной размерности, он измеряется в Н⋅м. Момент силы может быть равен нулю только в том случае, если длина плеча силы равна нулю. 10. В случае действия на тело плоской системы сходящихся сил, справед-лива теорема Вариньона: момент равнодействующей плоской сходящейся сис-темы сил относительно некоторой точки, лежащей в плоскости действия сил, равен алгебраической сумме моментов слагаемых сил относительно той же точки.

( ) ( )∑=

=

=nk

1kkОO FMRMrr

.

11. В заданном случае плечом силы Nr

является отрезок О3В.

86

А7. Какова температура кипения воды при нормальном атмосферном дав-лении по абсолютной шкале температур?

Решение 1. Появление в жидкости конкурентной паровой или газовой фазы возмож-но при понижении местного давления ниже некоторого критического значения, или при локальном увеличении температуры выше значения температуры ки-пения в данных условиях. В первом случае фазовый переход первого рода на-зывается кавитацией, а во втором − кипением. 2. Энциклопедическое определение кавитации (от лат. cavitas — пустота), сложившееся в научной и технической литературе подразумевает образование конкурентной парогазовой фазы в локальных объёмах жидкости, подвергнутой воздействию отрицательных давлений (или положительных растяжений). 3. Кипение представляет собой преобразование жидкости в пар, характери-зующийся образованием и ростом в жидкой фазе пузырьков насыщенного пара и газа, внутрь которых происходит испарение жидкости. При нагревании жид-кости, растворенный в ней газ выделяется на дне и стенках сосуда, переходит в свободное состояние в виде паровоздушных полостей. 4. У этих двух явлений есть несколько общих свойств, прежде всего, в этой связи следует отметить существенное отличие пороговых значений давлений и температур, предсказываемых теорией от величин, наблюдаемых на практике. Так, например, специально необработанная вода при нормальных условиях (p0 ≅ 105 Па) вскипает при температуре Tk ≅ 373 К. Причём эта температура на-столько постоянна, что некоторое время полагали её некоторой фундаменталь-ной константой, и даже была введена в практику температурная шкала Цель-сия, в которой величина Tk является одной из реперных точек. 5. Заблуждение рассеялось, после того как нагреванию подвергли очищен-ную и обработанную высоким внешним давлением воду, температура кипения которой была выше декларируемой в качестве константы. Стало ясно, что жид-кости не являются, строго говоря, сплошными средами, в них присутствуют неоднородности или ядра (зародыши) конкурентной фазы. Именно эти «дефек-ты структуры» являлись причиной несоответствия теоретических и экспери-ментальных значений объёмной прочности жидкостей.

А8. На рисунке показаны графики изопроцес-сов, проводимых с постоянным количеством газа. Какой из процессов соответствует графику 1?

Решение 1. Прямая 1, параллельная оси давления пока-зывает, что процесс изменения состояния газа протекает при постоянном объёме, т.е. процесс изохорный:

2

1

2

1

22

11

TT

pp

;RTVp;RTVp

=⇒⎭⎬⎫

ν=ν=

;

87

А9. На рисунке приведена зависимость температуры твёрдого тела от поучаемого им количества теплоты. Масса тела m = 2 кг. Ка-кова величина удельной теплоёмкости веще-ства этого тела?

Решение 1. Повседневный опыт показывает, что при соприкосновении тела со средой, обладающей более высокой температурой оно нагревается, причём степень нагрева, при прочих равных условиях, зависит от физических свойств тела. Так, например, деревянной палкой можно достаточно долго ворошить горящий костёр, пока она не загорится, а вот алюминиевым прутом орудовать получится недолго, прут быстро нагреется и начнёт жечь руки. Из этого примера видно, что как и следовало ожидать, особенности молекулярного строение тел определяют ди-намику термодинамических процессов. Одной из важных термодинамических характеристик вещества является отношение подводимого количества тепла и соответствующего изменения температуры. 1. Теплоёмкостью тела С называется физическая величина, определяемая в виде отношения сообщённого телу количества теплоты δQ к вызванному из-менению температуры dT

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡δ

=TДж,

dTQC .

2. Для удобства использования понятия теплоёмкости в практических рас-чётах ввели ещё две производные величины. Молярной теплоёмкостью назы-вается теплоёмкость одного моля вещества, которая определяет на сколько градусов, например по Кельвину, нагреется один моль вещества при сообще-нии ему количества теплоты δQ = 1 Дж

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⋅ν⋅δ

=μ КмольДж,

dTQC .

3. Удельная теплоёмкость характеризует процесс нагревания или охлажде-ния единицы массы вещества, чаще всего 1 кг, но это совсем не обязательно, могут быть граммы или тонны

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⋅⋅δ

=Ккг

Дж,mdT

Qc . ;Ккг

Дж102100

102TmQс;dQ

m1cd 3

5Q

Q

T

T

2

1

2

1⋅

=⋅

⋅≈

ΔΔ

=⇒=Τ ∫∫

А10. Задан график изменения давления газа в функции его объёма при переходе из состоя-ния 1 в состояние 2 и при переходе газа из со-стояния 2 в состояние 3. Каково отношение ра-бот А1→2/А2→3 на дух отрезках pV-диаграммы?

Решение 1. В pV− координатах работа газа численно равна площади фигуры, ограниченной графиком процесса и осью объёма. 2. Принимая разметку графика за соответст-вующие условные единицы давления и объёма, можно видеть, что:

88

;414

AA

3,2

2,1 ==

А11. Как направлена кулоновская сила F

r, дейст-

вующая на положительный точечный заряд 2q, поме-щённый в центр квадрата, в вершинах которого нахо-дится система точечных зарядов: {+q, +q, −q, −q}.

Решение

1. В соответствии с об-щепринятым правилом од-ноименные заряды отталки-ваются, а разноимённые за-ряды притягиваются. Если половину длины диагонали квадрата обозначить через r, то:

;FFFFF 0,40,30,21,0

rrrrr====

20 r

q2q4

1Fπεε

=r

;

2. Складывая векторы сил по правилу параллело-грамма (в данном случае, прямоугольника) получим: ;8FF4F4R 22 =+=

r

А12. Чему будут равны показания вольтметра v2, если его подключить парал-лельно резистору 2 Ом? При подключении вольтметра к сопротивлению 1 Ом вольт-метр показывает v1 = 0,6 В.

Решение

1. Сила тока в цепи на основании закона Ома для участка цепи:

;A6,01

0,8I ==

2. Падение напряжения на резисторе сопротивлением 2 Ом: ;B2,126,0v2 =⋅=

А13. По цилиндрическому проводнику, расположенному верти-кально протекает ток постоянной силы. Определить направление вектора магнитной индукции полч проводника в заданной точке С.

Решение 1. Качественная картина магнитного поля в окрестностях прямо-линейного проводника приведена на правом фрагменте рис., сделаем

89

количественные оценки магнитного поля. Выберем в окрестностях проводника произвольную точку А в которой будем определять посредствам закона Био − Савара − Лапласа напря-жённость dB от элемента dl

20

rdsinI

4dB lα

πμ

= .

2. Если всю длину проводника разбить на бесконечное множество элемен-тарных участков, то обнаружится, что направление векторов элементарных ин-дукций будет совпадать с направлением касательных к окружностям, прове-денным в соответствующих точках пространства, в плоскостях, ортогональных проводнику. Это даёт основание для получения суммарного значения индук-ции проинтегрировать уравнение dB

∫∞

∞−

απ

μ= 2

0

rdsin

4IB l .

3. Выразим значение r и sinα через переменную величину l 22Rr l+= ,

22RRsin

l+=α .

4. Подставим полученные значения r и sinα в подынтегральное выражение уравнения

( )∫

∞

∞− +πμ

=322

0

R

d4IRB

l

l ,

R2I

RR4IRB 0

2220

πμ

=+π

μ=

∞=

−∞=

l

ll

l .

5. Существенно отметить, что полученное уравнение сходно с уравнением напряжённости электрического поля заряженного проводника

R2E

0πετ

= .

6. Кроме того, вектор напряжённости электрического поля направлен ради-ально, т.е он перпендикулярен вектору индукции в одноимённой точке. 6. Линии магнитного поля прямолинейного проводника образуют кон-центрические окружности. При расположении двух и трёх витков рядом, по-ля каждого из витков накладываются друг на друга, при этом можно считать, что каждый виток как будто присоединён к самостоятельному источнику тока. 7. В ходе экспериментов было обнаружено, что неподвижный электриче-ский заряд не взаимодействует с магнитным полем. Между ними не проявля-ются силы притяжения и отталкивания, однако, если заряд или магнит привес-ти в движение, то между ними тот час же появится сила взаимодействия, стре-мящаяся вращать их друг относительно друга. 8. Сила взаимодействия зависит от относительной скорости перемещения и взаимного направления движения. Вокруг движущихся зарядов возникают замкнутые силовые линии, по отношению к которым векторы возникающих

Прямолинейный проводник

90

магнитных сил будут направлены по касательной. Концентрические силовые линии будут охватывать всю траекторию движущихся зарядов, о чём свиде-тельствует картина расположения стальных опилок вокруг прямолинейного проводника с током. Картина силовых линий показывает, что линии действия магнитных сил лежат в плоскости перпендикулярной направлению течения то-ка. Направление магнитного поля принято определять по правилу буравчика (правило винта или векторного произведения).

9. Если поступательное направление винта совпадает с направлением тока в проводнике, то направление вращения головки винта или штопора будет соответствовать направлению линий магнитного поля. Можно воспользо-ваться и другим правилом. Если смотреть по направлению тока, то магнитные линии будут направлены в сторону движения часовой стрелки. 10. Следует особо отметить отличие движе-ний исследуемых в рамках электродинамики от механических перемещений. Механическое движение характеризует изменение взаимного положения тел относительно друг друга или

относительно выбранной системы отсчёта. Электрический ток сопряжён с пе-ремещением носителей заряда, однако явление возникновения тока не может быть сведено к одним только перемещениям носителей. 11. Дело в том, что заряженные частицы перемещаются вместе с собствен-ным электрическим полем, а движение электрического поля, в свою очередь инициирует возникновения поля магнитного. В этой связи по своей сущности электрический ток сопряжён с магнитным полем. Напряжённость этого поля в любой точке пространства пропорциональна силе тока. 12. Устоялось мнение, что магнитное поле не может быть получено отдель-но и независимо от электрического тока. Магнитные поля намагниченных тел, например, природные магниты, тоже имеет таковые свойства вследствие осо-бенностей их внутриатомных токов. Возникновение магнитных полей не свя-зано с физическими характеристиками проводника, а определяется исключи-тельно силой текущего по ним тока. 13. С позиций магнетизма, термин «сила тока» не совсем адекватен обстоя-тельствам. Величина тока (это более конкретное определение) на самом деле можно рассматривать как быстроту переноса количества заряда, так и как ма-тематически определён ток. С другой стороны величина тока однозначно опре-деляет магнитное поле тока, т.е. синтезирует в себе сложную картину действи-тельных перемещений заряженных частиц. А14. В наборе радиодеталей для изготовления простого LC − колебатель-ного контура имеются две катушки L1 = 1 мкГн и L 2 = 2 мкГн, а так же два кон-денсатора ёмкостью С1 = 30 пФ и С2 = 40 пФ. При каком выборе двух элемен-тов из этого набора частота собственных колебаний контура ν будет наиболь-шей?

Решение 1. В соответствии с уравнением Томсона:

Направление магнитного поля

91

11 C;L;LC2

1T1;LC2T ⇒

π==νπ=

15. Точечный источник света S рас-положен на главной оптической оси тон-кой собирающей линзы на двойном фо-кусном расстоянии 2F от плоскости лин-зы. Определить точку пересечения лу-чей.

Решение

16. При изображении хода нормально падающих лу-чей на одну из граней стеклянной призмы треугольного сечения была допущена ошибка. На какой границе раз-дела ход лучей изображён не в соответствии с законом преломления?

Решение

1. Из закона преломления следует:

α>γ⇒>γ=α=γα sinsin;nn;sinnsinn;

nn

sinsin

21211

2 ;

2. В оптически более плотной среде луч света отклоняется от нормали на меньший угол, чем в оптически менее плотной среде. В более плотной среде луч, как бы «прижимается» к нормали.

3. Ошибка допущена при построении выходящего из призмы луча (случай е).

Соотношение оптических плотностей

92

1. Из построений хода заданного луча видно:

γ=∠=∠=∠ NKEBCDAKM ; 2. Обозначив ∠NKF = α, ∠EKF = γ, можно видеть, что

γ−α=δ ; 3. Запишем закон преломления для гра-ни призмы CD

n1

sinsin

=αγ ;

4. Вследствие малости углов α и γ закон преломления можно переписать в виде:

n;n1

γ=α⇒=αγ ;

17. Приведены фрагменты спектра поглощения неизвестного газа (средний фрагмент) и эталонные спектры водорода и гелия. Какие атомы входят в со-став неизвестного газа?

Решение

1. Неизвестный газ состоит исключительно из атомов гелия, ввиду иден-тичности с эталонным спектром. 18. Период полураспада радиоактивного кальция Ca45

20 составляет 164 су-

ток. Если изначально в образце было N0 ≅ 4⋅1024 атомов изотопа кальция Ca4520 ,

то сколько не распавшихся ядер останется через время τ = 328 суток?

Решение 1. Существует несколько семейств радиоактивных элементов, общим для них является, то, что расположены они в самом конце таблицы Менделеева за свинцом 207

82Pb . Ядро свинца является самым тяжёлым из устойчивых ядер. 2. Процесс естественного распада ядер протекает самопроизвольно и не подвержен внешним влияниям. Поскольку в распаде одновременно участвуют множество ядер одновременно, то явление имеет статистический смысл. Ско-рость распада радиоактивных элементов принято характеризовать промежут-ком времени, за который распадается половина всех ядер, это время Т называ-ется периодом полураспада. 3. Так, например, период полураспада полония 210

84Po составляет Т = 140 су-ток, это значит, что от 1 кг полония в результате распада останется 500 г, а ещё через 140 дней – 250 г и так далее.

Угол отклонения

93

4. Таким образом, вероятность распада ядер полония, впрочем, как и всех других неустойчивых ядер, остаётся неизменной. Не распавшиеся за опреде-лённое время ядра имеют те же свойства, что и исходные ядра, т.е. процесс не является результатом эволюции ядер. Ядра не подвержены «старению». 5. Количественная оценка радиоактивного распада делается в предположе-нии, что число распавшихся ядер за достаточно малый промежуток времени, всегда пропорционально исходному числу не распавшихся ядер. 6. Если в некоторый момент времени t число ядер данного типа было N(t), то уменьшение общего числа ядер – dN за время dt определится следующим образом:

( )dttNdN λ=− , где NdN−=λ − постоянная распада при dt = 1. Другими словами, постоянная радиоактивного распада равна вероятности распада одного ядра за единицу времени. Разделим в дифференциальном уравнении переменные:

( ) ( ) ∫∫ λ−=⇒λ−=t

0

N

N

dttN

dN,dttN

dN

0

,

откуда

tNNln

0

λ−= ⇒ t0eNN λ−= ,

где N0 – число ядер в момент времени t = 0. Из уравнения видно, что число ядер ра-диоактивного исходного элемента убывает во време-ни по экспоненциальному закону (рис. 29). Число рас-падов в единицу времени определится как:

NdtdNА λ=−= ,

величина а называется ак-тивностью данного радиоак-тивного препарата. В каче-стве единицы активности используется кюри: 1 кюри

= 3,7⋅107 событий /с. 7. Эта величина соответствует примерно активности 1 г радия, активность которого соответствует 0,994 кюри. Уравнение N(t) позволяет установить взаи-мосвязь между постоянной распада и периодом полураспада:

( ) 0T

0 N21eNTN == λ− ,

откуда следует, что

λ≅

λ=

λ−=⇒=λ− 693,02ln

21ln1T,

21e T .

8. Периоды полураспада радиоактивных различных элементов отличаются, друг от друга в весьма широких пределах – от миллионных долей секунды до нескольких миллиардов лет. В табл. приведены периоды полураспада некото-рых активных изотопов.

Кривая полураспада

94

Z Изотоп А Т1/2

1 Водород 3 12,3 г 6 Углерод 14 5730 г 7 Азот 13 10 мин 8 Кислород 15 124с 11 Натрий 22 2,6 г 24 15 ч 15 Фосфор 32 14,3 сут16 Сера 35 87 сут17 Хлор 36 3-105 г 38 38 мин19 Калий 42 12,4 ч20 Кальций 45 164 сут23 Ванадий 48 16,1 сут26 Железо 59 45 сут27 Кобальт 60 5,26 г29 Медь 64 12,8 ч30 Цинк 65 246 сут33 Мышьяк 76 26,8 сут35 Бром 77 38,8 сут36 Криптон 85 10,6 г38 Стронций 89 54 сут51 Сурьма 124 60 сут55 Цезий 137 30 г74 Вольфрам 185 74 сут79 Золото 198 2,7 сут84 Полоний 210 138,4 сyт 88 Радий 226 1601 г 92 Уран 234 2,5⋅l05г

9. Конечным продуктом любой последовательности распадов является изо-топ с устойчивым ядром, который образуется постепенно по мере распада ма-теринских ядер. Например, активный уран 238

92U − превращается в свинец 20682Pb

примерно за 710 млн. лет. 10. Измерение уровня естественной радиоактивности горных пород поло-жено в основу оценки возраста археологических находок. Как отмечено выше, цепочка последовательных превращений включает в себя ряд элементов которые, отличаются от обычных только массой ядер, они назы-ваются изотопами. А19. Какая частица Х участвует в реакции:

?OHeXF 168

42

199 +→+

Решение 1. В соответствии с законом сохранения массовых и зарядовых чисел при ядерных реакциях:

;pX;119164A;1928Z 11

11XX ≡⇒=−+==−+=

20. Результаты измерения каких величин дают возможность рассчитать период колебаний математического маятника? 1. Массы груза маятника и табличного значения ускорения свободного падения g;

95

2. Длины маятника l и табличного значения ускорения свободного па-дения; 3. Амплитуды колебаний маятника А и его массы; 4. Амплитуды колебаний маятника А и табличного значения ускорения свободного падения.

Решение 1. Рассмотрим математический маятник, представляющий собой точечную массу m, за-креплённую на невесомом, нерастяжимом стержне длиной l, второй конец стержня закреп-лён шарнирно. При отклонении стержня от вер-тикали на угол ϕ возникает восстанавливающая компонента силы тяжести, определяемая как

ϕ−= sinmgFg . 2. При движении в сторону положения стати-ческого равновесия масса приобретает ускорение ϕ&&l , под действием силы инерции

ϕ−= &&lmFi . 3. Приравняем далее действующие на массу силы

0sinmgm =ϕ+ϕ&&l , или

0sing=ϕ+ϕ

l&& .

4. Введём обозначение 2g

ω=l

,

что даёт основание исходное уравнение переписать следующим образом 0sin2 =ϕω+ϕ&& .

5. Таким образом, мы пришли к нелинейному дифференциальному уравне-нию, которое в принципе можно превратить в линейное уравнение, если рас-сматривать малые по амплитуде колебания. Действительно

ϕ≈−ϕ

+ϕ

−ϕ=ϕ L!5!3

sin53

.

6. Для малых колебаний становится справедливым линейное дифференци-альное уравнение

02 =ϕω+ϕ&& , причём:

;g

2T;g l

lπ=⇒=ω

21. Шарик уронили в воду. Дан график изменения координаты шарика с те-чением времени. Согласно графику: 1. Шарик двигался с постоянным ускорением; 2. Ускорение шарика увеличивалось во всё время движения; 3. Первые три секунды шарик двигался с постоянной скоростью; 4. После 3 с шарик двигался с постоянной скоростью;

Математический маятник

96

Решение 1. Сила сопротивления со стороны во-ды зависит от скорости шарика

kR vF ≈ ,

где k = F(v) − переменный коэффициент, возрастающий с увеличением скорости. 2. По мере замедленного движения шарика наступает равновесие между суммой силы сопротивления и силы Ар-

химеда с силой тяжести, после чего шарик начинает движение с постоянной скоростью. Судя по графику, равномерное движение наступает при t = 3 с.

Часть 2 В1. Если увеличить в два раза массу груза пружинного маятника, то как из-менятся: период, частота и период изменения его потенциальной энергии?

1. Увеличится; 2. Уменьшится; 3. Не изменится;

Решение

1. Получим уравнение движения массы, скреплённой с горизонтальной пружиной на основе анализа дейст-вующей системы сил. Горизонтальная пружина удобна тем, что позволяет не учитывать действие силы тяжести. Будучи смещённой из положения ста-тического равновесия О в положение В, масса оказывается под действием системы сил

{ },kxFF;N;gm упрвозвр −=≡rrr

причём сила тяжести и нормальная реакция связи, могут не учитываться при дальнейшем рассмотрении, их работа на перемещении вдоль оси ох равна ну-лю, т.к. обе эти силы перпендикулярны направлению перемещения,

( ) .0gm;icosdxmgA =⋅⋅=δrr

2. На направление движения будет иметь проекцию отличную, от нуля, только возвращающая сила, обусловленная, в данном случае, упругостью пру-жины. Уравнение второго закона Ньютона в проекции на горизонтальную ось, таким образом, запишется так

xmkx;xmF;xmFni

1iBkx &&&&&& =−=−=∑

=

=

,

где k − коэффициент жёсткости пружины. Преобразуем последнее уравнение к виду:

Горизонтальные колебания

97

.0xmkx;0kxxm =+⇒=+ &&&&

3. Для придания уравнению вида одного из известных типов дифференци-альных уравнений, введём обозначение

mk;

mk 2 =ωω= , ;

km2T π= ;

Т1

=ν

и перепишем в виде

0xdt

xd,0xx 22

22 =ω+=ω+&& .

4. Полученное линейное дифференциальное уравнение второго порядка без свободного члена имеет известное из высшей математики общее решение

tsinCtcosCx 21 ω+ω= , где С1, C2 − постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий. Предположим, что в начальный момент времени при t = 0 задано начальное по-ложение массы x = x(0) и начальная скорость )0(x& . Определим проекцию ско-рости на направление движения

tcosCtsinCdtdxxv 21x ωω+ωω−=≡≡ & .

5. Образует из уравнений систему:

⎭⎬⎫

ω+ωω−=ω+ω=

.tcosCtsinCx;tsinCtcosCx

21

21

&

6. Подставим в уравнения системы начальные условия

.)0(xC,0cosC0sinC)0(x

);0(xC,0sinC0cosC)0(x

221

121

ω=⇒⋅ωω+⋅ωω=

=⇒⋅ω+⋅ω=&

&

7. С учётом значений постоянных интегрирования решение перепишется следующим образом:

tsin)0(xtcos)0(xx ωω

+ω=&

.

8. Уравнение представляет собой закон движения массы, соединённой с го-ризонтальной пружиной без учёта сопротивления среды и силы трения. Если движение будет начинаться без начальной скорости, т.е. 0)0(x =& , то закон дви-жения примет вид

tcosxx 0 ω= . При наличии начальной фазы колебаний уравнение можно переписать сле-дующим образом:

( ) ( )00 tcosxtx ϕ+ω= . 9. Уравнение x(t) справедливо для всех систем, совершающих свободные собственные не затухающие колебания. Различные системы будут иметь раз-ные выражения для ω2. Квадрат циклической частоты в рассматриваемых слу-чаях является возвращающей силой, приходящейся на единицу массы и едини-цу смещения. 10. Существует несколько равноправных форм записи уравнений, с исполь-зованием разных обозначений кинематических параметров

98

( ) ( )

( );t2sinAx;tT2sinxx

;tsinxtsinAx

00max

000

ϕ+πν=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ϕ+

π=

ϕ+ω≡ϕ+ω=

11. Так, например, уравнение движения массы, совершающей колебания на вертикальной пружине не отличаются от полученного уравнения, необходимо только учесть статическое удлинение пружины под действием силы тяжести

;mgkxmgxk CTCT =Δ⇒=Δ⋅

При вертикальных колебаниях сместится только центр колебаний. 12. Получим дифференциальное уравне-ние колебаний маятника на основе анализа движения с энергетических позиций. Это удобно сделать на примере частицы извест-ной массы, находящейся в потенциальной яме. Прекрасной моделью такой системы мо-жет служить металлический шарик внутри криволинейной поверхности. При смещении массы из состояния равновесия из положения 1 в положение 2 система приобретает запас потенциальной энергии. Если шарик считать материальной точкой, а положение статиче-ского равновесия 1 совместить с минималь-

ным значением потенциальной энергии, то mgh2 =Π .

13. Если далее шарик отпустить без начальной скорости, то он начнёт дви-гаться в сторону минимизации потенциальной энергии, причём по мере опус-кания шарика относительно нулевого уровня потенциальной энергии, будет происходить её трансформация в кинетическую энергию. В точке 1 потенци-альная энергия станет равной нулю, шарик будет обладать только кинетиче-ской энергией, которая затем снова начнёт преобразовываться в потенциаль-ную энергию. В точке 3 энергия шарика снова станет только потенциальной. Если пренебречь потерями на сопротивление и трение, то шарик будет беско-нечно долго перемещаться внутри потенциальной ямы, совершая гармониче-ские собственные незатухающие колебания. 14. Применительно к массе, скреплённой с горизонтальной пружиной, из-менение потенциальной энергии определится уравнением:

2kxП

2

= ,

величина х в конкретном случае зависит от положения массы, которая будет совершать движение в пределах потенциальной ямы. Потенциальную яму лю-бой формы можно представить в виде функции смещения, аппроксимируя её степенным рядом

( ) ,cxbxaxxП 32 K+++= 15. При малых отклонениях х2 >>х3 >>х4, с учётом этого ( ) 2axxП ≅ . В рассматриваемом случае, при растяжении и сжатии пружины, её потенци-альная энергия будет равна

( )2

kxxП2

= , или 2ka,

2kxax

22 =⇒= .

Потенциальная энергия

99

16. Проекция действующей силы для консервативных механических систем связана с потенциальной энергией известным соотношением

( ) kxax2xxПFx −=−=

∂∂

−= ;

17. Уравнение ( 0kxFx =+ ) совпадает с ранее введённым значением воз-вращающей силы. Перепишем его следующим образом:

,0mxxm,0kxxm,kxF 2x =ω+=+−= &&&&

или окончательно 0xx 2 =ω+&& ,

что аналогично уравнению, полученному на основе анализа сил. 18. Отметим, что упругая сила относится к консервативным силам, работа которых не зависит от вида траектории, а определяется только положением на-чальной и конечной точки, т.е. для массы, соединённой с горизонтальной пру-жиной можно записать:

∫ =L

упр 0dF lrr

.

19. Полная энергия колеблющейся массы должна оставаться постоянной, т.е. справедлив закон сохранения энергии. В процессе колебаний происходит преобразование потенциальной энергии в кинетическую энергию. На дне по-тенциальной ямы масса обладает только кинетической энергией, которая имеет максимальной значение. В крайних положениях массы энергия имеет потенци-альный характер

2mx

2xmKE,

2kxПE

220

20

max1

20

max3,2ω

=====&

.

20. Установим закон изменения кинетической и потенциальной энергии в случае гармонического колебания, для этого перепишем уравнения кинетиче-ской и потенциальной энергии:

( ) ( )02

220

2

tsin2

mx2xmtK ϕ+ω

ω==

& ,

( ) ( )02

20

2

tcos2

kx2

kxtП ϕ+ω== ,

21. Заменяя во втором уравнении 2mнаk ω , и складывая уравнения систе-мы получим:

.2EE,

2mx

2kxПKE

220

20 =

ω==+=

22. Периодичность изменения энергии установим, переписав уравнения энергии в соответствии с тригонометрическими правилами:

( ) ( ) ( ) ,t2cos21

21KtsinKtK 0max0

2max ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ϕ+ω−=ϕ+ω=

( ) ( ) ( ) ,t2cos21

21ПtcosПtП 0max0

2max ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ϕ+ω+=ϕ+ω=

очевидно, что кинетическая и потенциальная энергии изменяются с частотой ω2 , в два раза превышающей частоту колебаний. В моменты амплитудного

значения смещения кинетическая энергия обращается в нуль, а полная энергия колебаний равна наибольшему значению потенциальной энергии

100

2kAПE

2

max == .

23. При прохождении системой положения рав-новесия при х = 0, полная энергия является кинети-ческой

2mAKE

22

maxω

== .

24. Разумеется, что в отсутствие сопротивления значение максимальной кинетической энергии сов-падает со значением максимальной потенциальной энергии колебательной системы. 25. Средние значения кинетической энергии

>< K и потенциальной >Π< равны половине полной энергии

2EK >=Π>=<< =

4kA2

.

Период колебаний

Т Частота колебаний

ν Период изменения потенциальной

энергии 1 2 1

В2. Плоский воздушный конденсатор подключён к источнику тока. После того как конденсатор зарядился, расстояние между пластинами d уменьшили в два раза, не отключая конденсатор от источника тока. Что произошло в ре-зультате этого с электрической ёмкостью C, энергией WE и напряжённостью поля между его обкладками E?

1. Увеличилась; 2. Уменьшилась; 3. Не изменилась;

Решение

1. Электрическая ёмкость плоского воздушного конденсатора:

;C2C;

dS2C

;dSC

120

2

01

=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

ε=

ε=

2. Энергия электрического поля между пластинами:

;W2W;

2UC2W

;2UCW

1E2E21

2E

21

E1

=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

=

3. Напряжённость электрического поля между пластинами:

;E2E;dUE 12 =⇒=

Ёмкость конденсатора Энергия конденсатора Напряжённость поля 1 1 1

Зависимость смещения и энергии от времени

101

В3. Указать, какой процесс, проводимый над идеальным газом, отвечает приведённым условиям. Установить соответствие между условиями проведе-ния процессов и их названиями.

Решение

1. Изохорный процесс V = const:

;constTp

Tp;

TT

pp

RTVp;RTVp

2

2

1

1

2

1

2

1

22

11 ===⇒⎭⎬⎫

ν=ν=

2. Изобарный процесс p = const:

;constTV

TV;

TT

VV

;RTpV;RTpV

2

2

1

1

2

1

2

1

22

11 ===⇒⎭⎬⎫

ν=ν=

А Б 2 1

В4. Фотон с энергией εf движется вакууме. Чему равны частота ν и импульс фотона pf? Установить соответствие между физическими величинами и фор-мулами, по которым их можно рассчитать.

Решение

1. Частота фотона ν:

;h;hch f

fε

=ν⇒λ

=ν=ε

2. Импульс фотона pf:

;cc

mcp;mc f2

f2

fε

===ε

А Б 4 3

102

Часть 3

А22. Одинаковые бруски, массой m каждый, связанные невесомой нерастяжимой нитью, движутся по гладкой горизонтальной поверхно-сти под действием силы F. Как изменится сила натяжения нити Т, если груз 3 с первого тела переложить на второе?

Решение

1. К рассматриваемому телу 2 приложена система трёх плоских сходящихся сил: силы тяжести mg; нормальная реакция связи N и сила натяжения Т. Пер-вые две силы из рассмотрения ввиду отсутствия трения не рассматриваются, т.к. линии их действия перпендикулярны направлению движения, их работа на заданном перемещении эквивалентна нулю. 2. Составим систему уравнений второго закона Ньютона для случаев задан-ных в условии:

;2TT

;Tma2;Tma

1

2

2

1 =⇒⎭⎬⎫

==

А23. Заданы графики двух изотермических процессов, проводимых с одной и той же мас-сой газа. Судя по графикам:

1. Оба процесса протекают при оди-наковой температуре;

2. В процессе 1 газ начал расширять-ся позже, чем в процессе 2;

3. Процесс 1 идёт при более высокой температуре;

4. Процесс 2 идёт при более высокой температуре?

Решение 1. Уравнения, описывающие изменения состояния газа в двух заданных процессах:

;33,33002

10002VpVp

TT

;RTVp;RTVp

22

11

2

1

222

111 ≈⋅⋅

==⇒⎭⎬⎫

ν=ν=

2. Температура первого процесса в 3,33 раза выше температуры второго процесса. А24. В цепи постоянного тока необходимо изменить сопротивление второго резистора R2 с таким расчетом, чтобы мощность, выделяющаяся на нём, уменьшилась вдвое. Мощность на первом резисторе R1 должна при этом ос-таться неизменной. Как этого можно добиться, изменяя сопротивление рези-сторов R2 и R3. Начальные значения сопротивлений резисторов: R1 = 1 Ом; R2 = 3 Ом; R3 = 6 Ом.

103

Решение 1. Цепь состоит из трёх последовательно включённых резисторов, т.е. через них течёт ток одинаковой силы. Для выполнения усло-вия неизменности мощности, выделяемой на первом резисторе, сила тока в це-пи при изменении резисторов R2 и R3 должна сохраниться I = const. 2. Мощность, выделяемая на резисторе:

,RURIIUP 2

2

===

3. Для того чтобы мощность, выделяющаяся на R2 уменьшилась вдвое, не-обходимо в условиях последовательной цепи величину сопротивления увели-чить ровно в 2 раза, т.е. сделать равным R2 = 6 Ом, в этом случае сила тока в цепи не изменится при R3 = 3 Ом, т.е. полное сопротивление цепи не изменится RΣ = 10 Ом. А25. Поток фотонов с энергией εf = 15 эВ выбивает из металла фотоэлек-троны, максимальная кинетическая энергия которых в два раза больше работы выхода. Какова максимальная кинетическая энергия образовавшихся фото-электронов?

Решение 1. Определим работу выхода фотоэлектронов из металла:

;эВ53

A;AA2 ff =

ε=⇒+=ε

2. Максимальное значение кинетической энергии фотоэлектронов в задан-ных условиях:

;эВ10AK;AK fmaxmaxf =−ε=⇒+=ε С1. Цветок в горшке стоит на подоконнике. Цветок полили и накрыли стек-лянной банкой. Когда показалось солнце, на внутренней стороне банки появи-лась роса. Почему?

Решение 1. Поверхность влажной почвы стеклянная банка и воздушный замкнутый объём имеют условия нагревания и теплообмена отличные от окружающего воздушного пространства. При воздействии солнечного излучения температура воздуха в ограниченном отъеме за счёт отсутствия макроскопических конвек-ционных потоков будет выше, чем у окружающего воздуха, таким образом соз-даётся перепад температур между внутренней поверхностью банки и находя-щимся внутри воздухом.

2. Плотность (давление) насыщенного пара зависит от температуры. Для данной степени нагрева воздуха внутри банки водяной пар яв-ляется насыщенным, а у более холодных внут-ренних поверхностей банки. При восстановле-нии состояния насыщения происходит переход пара из газообразного состояния в жидкое, т.е. пар конденсируется на более холодных поверх-ностях, как это имеет место по утрам на по-

верхности растений, которые холоднее окружающего воздуха.

104

С2. На гладкой горизонтальной плоско-сти находится длинная доска массой М = 2 кг. По доске скользит шайба массой m = 0,5 кг. Коэффициент трения между шайбой и доской μ = 0,2. В начальный момент време-ни шайбе сообщается скорость v0 = 2 м/с, а

доска покоится. Сколько времени потребуется для того, чтобы шайба переста-ла скользить по доске?

Решение 1. Скорость доски при движении по ней шайбы определится законом сохра-нения импульса:

( ) ;см4,0

Mmmvu;uMmmv 0

0 =+

=⇒+=

2. Закон сохранения энергии для системы «доска − шайба» позволяет найти перемещение шайбы L до остановки:

( ) ;м8,02

uMm2

mvmg1L;;mgL

2u)mM(

2mv 22

022

0 ≈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−

μ=⇒μ=

+−

3. Время движения τ определяется кинематическими соотношениями:

;с8,0L2

v;2v

2vvL;va;0)(v

2attv)t(x

;atvv(t)000002

0

0

≈=ττ

=τ

−τ

=τ

==τ⎪⎭

⎪⎬⎫

−=

−=

С3. Один моль идеального одноатомного газа переходит из состояния 1 в состояние 3 при Т0 = 100 К. На участке 2 → 3 к газу подводится теплота Q = 2,5 кДж. Найти отношение работы газа А1→2→3 ко всему количеству подведённой теплоты Q1→2→3

Решение

1. На участке 1 → 2, процесс протекает при по-стоянном объёме, работа не совершается, изменяет-

ся внутренняя энергия газа

;кДж5,22003,8123TR

2iU ≈⋅⋅⋅=Δν=Δ

2. Участок 2 → 3 характеризуется тем, что протекает он при постоянной температуре, газ совершает работу за счёт полученного на этом участке тепла. 3. Общее количество полученной газом теплоты

;кДж5QUQ 321 =+Δ=→→ 4. Отношение произведённой работы к полученной теплоте

;5,0Q

QQA

321321

32 ≈==ζ→→→→

→

105

С4. Напряжённость электростатического поля в плоском конденсаторе E = 24 кВ/м. Внутреннее сопротивление источника r = 10 Ом, ЭДС ε = 30 В, сопротивление резисторов R1 = 20 Ом, R2 = 40 Ом. Найти расстояние между пластинами конден-сатора.

Решение 1. Сила тока на замкнутом участке цепи:

;rR

I2 +ε

=

2. Т.к. постоянный ток через конденсатор не протекает, то падение напря-жения на сопротивлении R2 будет равно разности потенциалов U между об-кладками конденсатора

;rR

RIRUU2

22RC 2 +

ε===

3. Расстояние между пластинами плоского воздушного конденсатора:

( ) ;м101501024

4030rRE

RE

Ud 33

2

2C −⋅=⋅⋅

⋅=

+ε

==

С5. На непроводящей горизонтальной по-верхности лежит проводящая жёсткая рамка из однородной тонкой проволоки, согнутой в виде равностороннего треугольника ΔADC со сторо-ной, равной а. Рамка, по которой течёт ток по-стоянной силы I, находится в однородном маг-нитном поле с вектором магнитной индукции В

r,

который перпендикулярен стороне треугольника CD. Каким должен быть модуль вектора магнит-ной индукции, чтобы рамка начала поворачи-ваться вокруг стороны CD, если масса рамки m?

Решение 1. Чтобы рамка рама начала пово-рачиваться вокруг стороны CD (ось х), должен возникнуть результирую-щий момент сил относительно этой оси. 2. На рамку, как механическую систему действуют в заданных усло-виях три силы: сила тяжести gm

r,

приложенная в центре масс системы, расположенном в точке пересечения высот (медиан) правильного (равно-стороннего) треугольника ADC и две силы Ампера { }21 F;F

rr, приложенные к

середине проводников CА и AD

106

;30sinIBasinIBaFF 021 =β==rr

3. Сумма моментов сил Ампера относительно выбранной оси стремится вращать рамку по направлению хода часовой стрелки, а момент силы тяжести − по ходу часовой стрелки. 4. Момент силы тяжести характеризуется плечом h1 равным радиусу впи-санной окружности:

;6

3ah1 =

5. Момент сил Ампера относительно той же оси характеризуется плечом h2 определится из теоремы Пифагора:

;4

3a16a

4ah

22

2 =−=

6. Уравнение моментов относительно заданной оси, таким образом, пред-ставится так:

;6

3amg4

3a30sinIBa4

3a30sinIBa 00 >⋅+⋅

Ia3mg2B;

63amg

43aIBa >⇒> ;

С6. В двух опытах по фотоэффекту металлическая пластина облучалась светом с длинами волн λ1 = 350 нм и λ2 = 540 нм. В этих опытах максимальные скорости фотоэлектронов отличались в ζ = v1/v2 = 2 раза. Какова работа выхо-да электронов с поверхности данного металла?

Решение 1. Система уравнений, описывающих внешний фотоэффект при заданных условиях с учётом того, что максимальная кинетическая энергия Km вылетаю-щих фотоэлектронов отличается в 4 раза:

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

−λ

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

λ=

λ⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

+=λ

+=λ

;AhcK

;Ahc4hc

;AKhc

;AK4hc

2m

21

m2

m1

;Дж109,1104,51

105,31103106,6

3411hc

34A 19

77834

21

−−−

− ⋅≈⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅

−⋅

⋅⋅⋅≈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λ

−λ

=

107

Вариант 8

Часть 1 А1. Тело движется по оси х. По графику зависимости проекции скорости от времени

)t(fvx = установить, какой путь прошло тело за время первых четырёх секунд своего дви-жения.

Решение 1. В заданный промежуток времени тело движется замедленно с ускорением:

;см5,2

410

tva 2

x ==ΔΔ

=r

2. Путь, пройденный телом в заданный промежуток времени:

;м202

165,2410x;c4;2

av)t(x2

0x =⋅

−⋅==ττ

−τ= τ

А2. На тело в инерциальной системе отсчёта действуют две силы. Опре-делить направление ускорение, приобретаемое неким телом при одновремен-ном действии этих сил.

Решение

1. Если к инерциально движущемуся телу приложить силу, то оно поменяет своё механической состояние, приобретя ускорение. На основании многочис-ленных опытов было установлено, что одна и та же по величине сила различ-ным телам способна сообщать различные ускорения. Другими словами, инерт-ность выражает свойство материальной точки под действием силы изменять свою скорость по модулю и направлению непрерывно во времени. 2. Величина, определяющая меру инертности точки, называется её массой. Масса в классической механике является величиной постоянной, скалярной и положительной величиной, отличающей одну материальную точку от другой.

108

3. Второй закон Ньютона количественно связывает величины действующих на точку сил, её массу и приобретаемое ускорение

( ) ;Rm1F

m1FFFF

m1a

nk

1kkn331

rrrL

rrrr==++++= ∑

=

=

4. Ускорение, приобретаемое точкой прямо пропорционально равнодейст-вующей приложенной системы сил и обратно пропорционально массе. 5. Очевидно, что вектор ускорения направлен по одной линии с вектором силы, масса выступает в роли коэффициента пропорциональности между мо-дулями силы и ускорения. А3. На сколько растянется пружина жёсткостью k = 104 Н/м при действии силы F = 1000 Н?

Решение 1. Линейное удлинение пружины определяется законом Гука:

;м1,0k

Fx;xkF y

y ==Δ⇒Δ=

rr

А4. Два тела движутся по взаимно перпендикуляр-ным направлениям с импульсами р1 = 4 кг⋅м/с и р2 = 3 кг кг⋅м/с. Чему равен модуль импульса этой системы тел после абсолютно неупругого столкновения?

Решение 1. Суммарный импульс системы определяется век-

торной суммой импульсов сталкивающихся тел: ( ) ( ) ;0p;pcos;p;pcosph2ppp;ppp 212121

22

2121 =++=+= ΣΣ

rrrrrrrr

;смкг5ppp 2

221

⋅=+=Σ

r

А5. Ящик тянут по земле га верёвку по горизонтальной окружности диамет-ром D = 20 м с постоянной по модулю скоростью. Работа силы тяги за один оборот по окружности А = 3 кДж. Чему равен модуль силы трения, действую-щий на ящик со стороны земли?

Решение 1. Поскольку модуль скорости ящика постоянен, то геометрическая сумма действующих на него сил равна нулю, т.е. модуль силы тяги равен модулю си-лы трения:

≈⋅

⋅=

π=⇒π==

2014,3103

DAF;DFFSA

3

48 Н;

А6. Звуковой сигнал, отразившись от препятствия, вернулся обратно к ис-точнику через τ = 5 с после излучения. Каково расстояние от источника до пре-пятствия, если скорость звука в воздухе сз ≈ 340 м/с?

109

Решение

=τ

=⇒=τ2

cS;S2с зз 850 м;

А7. В комнате в одном сосуде находится водород, а в другом − азот. Сред-ние значения кинетической энергии поступательного движения молекулы во-дорода и молекулы азота одинаковы в том случае, если у этих газов одинако-вы значения: 1. Температуры; 2. Объёма; 3. Массы; 4. Концентрации частиц?

Решение 1. Авторами теплоёмкости газов, которую часто называют классической теорией теплоёмкости являются Людвиг Больцман и Джеймс Клерк Максвелл. Основная идея этой теории заключается в предположении, что энергия моле-кул равномерно распределена между степенями её свободы. 2. Напомним, что с позиций классической механики именно число степеней точки или системы точек определяет количество уравнений, описывающих движение. 3. Материальная точка, на которую не наложены связи, обладает тремя сте-пенями свободы, т.е. она может двигаться поступательно вдоль трёх коорди-натных осей. Положение такой точки однозначно определяется набором трёх чисел − её координат. Для описания движения достаточно трёх уравнений. Свободное твёрдое тело имеет шесть степеней свободы т.к. может двигаться поступательно в трёх взаимно перпендикулярных направлениях, и одновре-менно вращаться вокруг трёх взаимно перпендикулярных осей. 4. Число степеней молекулы зависит, прежде всего, от количества атомов входящих в её состав. Одноатомные молекулы имеют три степени свободы, по-тому что мы полагаем молекулы в образе материальной точки, обладающей массой, но лишённой геометрических размеров, т.е. − объёма, точка не может вращаться, только движется поступательно.

5. Двухатомные молекулы, имеющие вид гантели, например, Н2, N2 и т.п. в принципе имеют все шесть степеней свободы, но при дальнейшем энергетиче-ском рассмотрении одну вращательную степень свободы не имеет смысла учи-тывать. И вот почему. Как известно из механики, если в движении тела присут-

Степени свободы молекул

110

ствует вращательная составляющая, то кинетическая энергия этого тела скла-дывается из двух величин: энергии поступательного движения и энергии вра-щения

2С

2

J21

2mvK ω+= ,

где m − масса, v − скорость, JC − момент инерции, ω − угловая скорость. Двух-атомная молекула при вращении вокруг оси оz имеет практически нулевую энергию, потому, что

0r.к.т,0mrJ 2C →→= .

6. В этой связи, для двухатомных молекул число степеней свободы прини-мается равным пяти. Молекулы, имеющие в своём составе, три и более атома имеют, как и твёрдое тело шесть степеней свободы, три поступательных и три вращательных. Классическая теория теплоёмкости предполагает, что суммар-ная энергия молекулы равномерно распределяется между степенями свободы. 7. Кинетическая энергия молекул заданных газов описывается уравнением:

Tk25Tk

2i

2mv

BB

2

0 ==>=ε< ,

т.е. зависит только от температуры, при которой находятся газы.

А8. Задан график процесса, проведенного над 1 молем идеального газа. Найти отношение температур Т2/Т1.

Решение 1. В простейшем случае идеального газа уравнение состояния устанавливает однознач-ную взаимосвязь между макропараметрами {p, V, T}. В общем виде такая взаимосвязь записы-

вается в виде следующего уравнения ( ) 0T,V,pf = .

2. Клапейрон экспериментально установил, что вблизи нормальных усло-вий для многих газов справедливо соотношение

bTpV = , где b индивидуальная константа, пропорциональная массе газа. Это простое, но не очень удобное для практического использования соотношение выполняется для достаточно разреженных газов, когда собственный объём молекул много меньше объёма, занимаемого газом. В этом случае молекулы при своём тепло-вом движении в основном движутся поступательно, взаимодействуя только при относительно редких столкновениях. 3. При нормальных условиях (р0 ≅ 105 Па, Т0 ≅ 273, 15 0К) или вблизи них в соответствие с законом Авогадро 1 моль любого газа занимает одинаковый объём Vμ ≅ 22,4 л = 2,24⋅10 − 2 м3, причём в этом объёме содержится определён-ное количество молекул NA ≅ 6⋅1023 моль − 1. 4. Таким образом, для 1 моля любого газа постоянная b для любого газа бу-дет иметь одинаковое значение. Обозначим, как это сделал в своё время Д.И. Менделеев, константу для одного моля как R, в этом случае уравнение состоя-ния перепишется в виде:

RTpV =μ ,

111

константа R называется молярной или универсальной газовой постоянной. Раз-решим уравнение относительно R с целью определения её размерности и вели-чины

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅

=⋅⋅

⋅= μ

КмольДж

КмольммН,

TpV

R 2

3

.

КмольДж31,8

15,27311024,210R

25

⋅≅

⋅⋅⋅

=−

.

5. Чтобы изменить температуру 1 моля идеального газа на 1 0К необходимо подвести или отнять у него энергию, эквивалентную 8,31 Дж. 6. Уравнение состояния можно записать для произвольной массы газа m, для этого умножим правую и левую часть уравнения на величину m/μ, где μ − молярная масса газа

RTmmVp

μ=

μμ .

Объём произвольной массы газа будет связан с объёма определиться в виде произведения молярного объёма Vμ на количество вещества (количество мо-лей)

μ= μ

mVV ,

следовательно

RTRTmpV ν=μ

= .

7. Для более наглядного восприятия произведения давления на объём уста-новим размерность левой части уравнения:

ДжКмольКДжмольRTm

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⋅⋅⋅

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡μ

.

8. Таким образом, величина pV может представлять собой либо энергию, либо работу, потому что именно эти физические величины измеряются в джо-улях. В данном случае обсуждаемая величина численно равна работе, которую необходимо совершить, чтобы ν молей газа нагреть на 1 0К, действительно

TRmVp Δμ

=Δ .

9. Определим значение R, приходящееся на одну молекулу газа для чего умножим и разделим правую часть уравнения на число Авогадро NA

TNRNmpV

AAμ

= ,

где νNA = N − количество молекул, составляющих массу газа m, R/NA = kB − постоянная Людвига Больцмана

КДж1038,1

моль106КмольДж31,8

NRk 23

123A

B−

− ⋅≅⋅

⋅≅= .

10. Уравнение состояния с учётом введённых величин примет вид TNkpV B= .

11. Давление газа представится следующим образом

TnkTkVNp BB == .

112

12. Таким образом, уравнение состояния идеального газа можно записать в трёх основных модификациях

RTmpVμ

= , TNkpV B= , Tnkp B=

13. Применительно к заданным условиям уравнения Клапейрона-Менделеева возможно представить следующим образом:

;6TT

;RTVp;RTV3p2

1

2

100

200 =⇒⎭⎬⎫

ν=ν=

А9. Относительная влажность воздуха в цилиндре под поршнем ϕ = 0,6. Воздух изотермически сжали, уменьшив его объём в 2 раза. Какой стала отно-сительная влажность?

Решение 1. Уменьшение объёма при постоянной температуре приведёт к увеличению плотности водяного пара, который станет насыщенным ϕ = 1 а излишки моле-кул перейдут в жидкое состояние, пар конденсируется.

А10. Четыре металлических бруска поло-жили вплотную друг к другу, как показано на рисунке. Стрелками отмечено направление теплопередачи от бруска к бруску. Темпера-туры брусков в данный момент 100 0С, 80 0С, 60 0С, 40 0С. Какой из брусков имеет темпера-туру 60 0С?

Решение 1. Из повседневного опыта известно, что

если чашку кофе или чая оставить на столе, то через не-которое время она остынет до температуры окружающе-го воздуха. Закономерность этого процесса впервые бы-ла установлена Ньютоном. Рассмотрим процесс охлаж-дения нагретого до температуры Т1 тела, помещённого в среду с более низкой температурой Т2. 2. Определим, следуя Ньютону, взаимосвязь между

температурой тела Т, которую оно будет иметь по прошествии времени t. Есте-ственно, что процесс выравнивания температуры будет определяться, прежде всего, физическими характеристиками самого охлаждающегося тела. Введём в рассмотрение коэффициент теплоотдачи h, являющийся сложной функцией геометрических, физических и химических характеристик тела и среды, в част-ности, плотности, вязкости, теплоёмкости и температуропроводности. 3. Количество тепла отданного нагретым телом за промежуток времени dt определится как

( )dtTThsQ 2−=δ . 4. Величину δQ можно выразить через массу тела m, удельную теплоём-кость c и уменьшение температуры − dT

cmdTQ −=δ . Объединим уравнения:

( ) cmdTdtTThs 2 −=− .

113

Разделим переменные и проинтегрируем уравнение

( ) 21

2T

T 22 TTTTln

hscm

TTdT

hscmt,

TTdT

hscmdt

1−−

−=−

−=−

−=∗

∫∗

.

5. Полученное уравнение является законом охлаждения Ньютона, который устанавливает промежуток времени в течение которого температура тела пони-зится от Т1 до Т* при сохранении неизменной температуры окружающей среды. Разрешим закон охлаждения Ньютона относительно температуры Т*

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−+=∗ t

shcmexpTTTT 212 .

6. Из последнего уравнения следует, что температура горячего тела сравня-ется с температурой окружающей среды при ∞→t , естественно, такой резуль-тат несколько обескураживает, потому что процесс выравнивания температур произойдёт за конечное время. Дело в том, что во времена Ньютона мало что было известно о процессе испускания нагретыми телами электромагнитных волн в инфракрасном диапазоне. С учётом излучения процесс охлаждения бу-дет протекать интенсивнее.

7. Как следует из записанных выше уравнений, максимальную температуру 100 0С будет иметь тело D, а минимальную 40 0С − тело А. Направление теплообмена меж-ду телами C и В показано стрелкой, поэто-му:

BC TT > , следовательно, температуру 60 0С будет иметь тело В,

А11. Расстояние между двумя точечными электрическими зарядами увели-чили в 3 раза, а один из зарядов уменьшили в 3 раза. Модуль сил электроста-тического взаимодействия между ними: 1. Не изменится; 2. Уменьшится в 3 раза; 3. Увеличится в 3 раза; 4. Уменьшится в 27 раз;

Решение 1. Закон Кулона позволяет составить следующую систему уравнений:

( )

;27FF

;r27qq

41

r33qq

41F

;r

qq4

1F

2

1

221

02

21

02

221

01

=⇒

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⋅πεε

=⋅

πεε=

⋅πεε

=

А12. При подключении к батарее гальванических элементов нагрузки R1 = 16 Ом сила тока в цепи была I1 = 1 А, а при подключении R2 = 8 Ом сила тока стала I2 = 1,8 А. Найти ЭДС и внутреннее сопротивление батареи.

114

Решение

;В18;Ом2II

RIRIr;

rRrIRII

;rIRI

;rR

I

;rR

I

12

2211

2

1112

111

22

11

=ε=−−

=⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

++

=

+=ε⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

+ε

=

+ε

=

А13. Прямолинейный проводник длиной L с током I помещён в однородное магнитное поле с индукцией B

r перпендикулярно силовым линиям. Как изме-

нится сила Ампера, действующая на проводник, если силу тока уменьшить в 2 раза, а индукцию магнитного поля увеличить в 4 раза?

Решение 1. Ампер и его многочисленные последователи опытным путём установили, что на проводники с током действуют механические силы, вызванные наличием магнитного поля. Это действие можно описать количественно. Если поперечное сечение провод-ника S, а его длина в направлении тока l, то электрический заряд, сосредоточенный в элементарном объёме dV = Sdl, будет определяться количеством сосредоточенных в нём носителей заряда, в частности − электронов

lnSdndVdN == , суммарный электрический заряд которых определится как

lqnSdqdNdQ == , где q − заряд носителя, n − концентрация носителей. Силу, действующую остов кри-сталлической решётки в рассматриваемом элементе проводника, можно определить из условий равновесия электрических и магнитных сил

BuE,qEquB =⇒= . 2. Выразим дрейфовую скорость носителей заряда через плотность тока, текущего по проводнику

qnju = ,

qnBjE = .

3. Искомую элементарную силу, таким образом можно представить следующим образом

ll IBdqnSdjqnBEdQdFA =⋅== .

4. В векторной форме сила, действующая на элементарную длину проводника lr

d , по которому течёт ток величиной I, определится век-торным соотношением

( )BdIFd A

rl

r×= .

5. В случае прямолинейного проводника магнитная индукция во всех точках пространства вдоль всей его длины l магнитная индукция будет постоянной, т.е.

( )BIFA

rlrr×= ,

или, в соответствие с определением векторного произ-ведения

( )BsinBI|F| A

rlr

lr

×= . 6. Очевидно, что вектор действующей силы будет перпендикулярен плоскости, в которой располагаются

векторы lr

и Br

. Уравнение является математическим выражением закона Ампера.

Действие магнитного поля на проводник с током

115

Применительно к заданным условиям ( ) 090;B =lrr

закон Ампера запишется следую-щим образом:

;21

FF

;B42IF

;IBF

2A

1A

2A

1A

=⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

=

=

l

l

А4. В наборе радиодеталей для изготовления LC-контура имеются две ка-тушки L1 = 1 мкГн и L2 = 2 мкГн, а так же два конденсатора С1 = 30 пФ и С2 = 40 пФ. При каком выборе двух элементов из этого набора период собственных колебаний контура Т будет наименьшим?

Решение 1. В соответствии с уравнением Томсона:

≈π=⇒π= 11min CL2T;LC2T 3,439⋅10 − 8с. А15. Какая из точек является изображением точечного источника света S, в тонкой собирающей линзе с фокусным расстоянием F?

Решение

А16. Два точечных источника света S1 и S2 находятся на близком расстоя-нии друг от друга и создают на удалённом экране Э устойчивую интерферен-ционную картину. Это становится возможным, если S1 и S2 малые отверстия в непрозрачном экране, освещённые: 1. Каждое своим солнечным зайчиком от зеркал в руках человека; 2. Одно лампочкой накаливания, а второе − горящей свечой; 3. Одно синим светом, а другое − красным светом; 4. Светом от одного итого же точечного источника?

Решение 1. Рассмотрим две одинаково направ-ленные электромагнитные волны, возбу-ждаемые источниками ξ1 и ξ2 с цикличе-скими частотами ω1, ω2, начальными фа-зами α1, α2. В произвольной точке про-странства М, расположенной на расстоя-ниях r1 и r2 от источников будут возбуж-даться колебания, удовлетворяющие уравнениям

Интерференция двух волн

116

( )

( )⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

α+−ω=ξ

α+−ω=ξ

,rktsinrA

;rktsinrA

22222

22

11111

11

или с учётом обозначения фаз

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

Φ=ξ

Φ=ξ

.sinrA

;sinrA

22

22

11

11

2. В соответствии с принципом суперпозиции суммарная волна в точке М определится как

Φ=ξ+ξ=ξ sinA21 . 3. Величины А и Ф возможно определить методом векторных диаграмм, путём построения параллелограмма на векторах А1 и А2

( )122

2

1

1

2

2

2

2

1

12 cosr

Ar

A2rA

rAA Φ−Φ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ,

22

21

1

1

22

21

1

1

cosr

Acosr

A

sinr

Asinr

A

arctgΦ+Φ

Φ+Φ=Φ .

4. Как видно из уравнений возможны при суммировании два принципиаль-но разных случая. Если разность фаз источников волн (Ф2 − Ф1) ≠ f(t) в точке М не изменяется во времени, то такие источники называются когерентными. В противном случае, при изменении разности фаз во времени (Ф2 − Ф1) = f(t), ис-точники считаются некогерентными. 5. Запишем уравнение разности фаз исходных волн, через скорости их рас-пространения. Поскольку k = ω/v, то

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

α+ω−ω=Φ

α+ω−ω=Φ

.vrt

;vrt

22

2222

11

1111

( ) ( )121

11

2

221212 v

rvrt α−α+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω−ω−ω−ω=Φ−Φ .

6. Поскольку второй и третий члены правой части уравнения не зависят от времени ни при каких обстоятельствах, то условие когерентности источников определяются первым членом. Очевидно, что если ω1 = ω2, то Ф2 − Ф1 = 0, т.е. источники когерентны. Таким образом, две волны когерентны, если их час-тоты одинаковы и некогерентные, если частоты разные. Следовательно, что в точке М суммарная амплитуда некогерентных волн будет изменяться во времени в пределах

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

−=

+=

,r

ArAA

;r

ArAA

2

2

1

1min

2

2

1

1max

117

причём циклическая частота изменения суммарной амплитуды будет происхо-дить с частотой изменения результирующей фазы (Ф2 − Ф1), другими словами, с циклической частотой, равной 12 ω−ω . 7. Величина r2 − r1 называется геометрической разностью хода волн от ис-точников ξ1 и ξ2 до рассматриваемой точки пространства. 8. В пространстве, окружающем источники когерентных волн будет наблю-даться взаимное усиление и ослабление колебаний в зависимости от соотноше-ния фаз. Это явление называется интерференцией волн. В результате интер-ференции может происходить взаимное усиление и ослабление когерентных волн. На рис. показан схематически случай усиления и ослабления двух коге-рентных вол, правая часть схемы соответствует полному взаимному гашению волн.

9. В пространстве интерферирующие волны образуют картину распределе-ния максимумов и минимумов амплитуды результирующих колебаний или суммарной энергии волн. На рис. приведена схема интерференции двух круго-вых волн на поверхности жидкости от коге-рентных источников ξ1 и ξ2. Как видно, мак-симумы энергетического проявления волн имеют определённую геометрически пра-вильную структуру. Максимальным значе-ниям амплитуд (энергий) соответствуют красные гиперболические области. 10. Таким образом, интерференция от двух отверстий возможна, если они освеща-ются одни и тем же точечным источником световых волн. А17. Задано несколько нижних энергетических уров-ней атома водорода. Может ли атом, находящийся в со-стоянии Е1, поглотить фотон с энергией εf = 3,4 эВ? 1. Да, при этом переходит в состояние Е2; 2. Да, при этом переходит в состояние Е3; 3. Да, при этом ионизируется, распадаясь на про-тон и электрон; 4. Нет, энергии протона недостаточно для перево-да атома в возбуждённое состояние?

Взаимное усиление и ослабление двух волн

Интерференция волн

118

Решение 1. Для перевода атома в возбуждённое состояние с Е2 необходимо, чтобы фотон обладал энергией;

эВ2,10EE 21(min)f ≈−≈ε , т.е. энергии заданного по условию фотона явно недостаточно. А18. Ядро атома содержит 16 нейтронов и 15 протонов, электронные обо-лочки содержат 15 электронов. Эта система частиц представляет собой: 1. Ион фосфора Р31

15 ;

2. Ион серы S3116 ;

3. Атом серы S3116 ;

4. Атом фосфора P3115 ?

Решение 1. Массовое и зарядовое число ядра элемента:

;15Z;311516A ==+= 2. Поскольку число протонов должно быть равно числу электронов на ор-битах в случае нейтрального атома, то элемент не является ионом, а судя по значению массового числа система частиц представляет собой атом фосфора. А19. Из какого ядра после одного α-распада и одного β-распада образуется ядро Bi211

83 ? Решение

1. Правила смещения при α-распаде и β-распаде:

( ) ;HeYX 42

4A2Z

AZ +→α −

− ( ) ;eYX 0

1A

1ZAZ −− +→β

2. Массовое и зарядовое число исходного ядра: ;PoX;841283Z;2154211A 215

8421584 ≡⇒=−+==+=

А20. Грузы маятников − медные шарики. Какую пару маятников надо выбрать, чтобы экспериментально установить зависимость периода ма-лых колебаний математического ма-ятника од длины нити подвеса?

Решение 1. Период колебаний математического маятника:

g2T lπ= ,

т.е. необходимо использовать маятники различной длины, например А и В, но

119

можно, впрочем, и Б с Г, период от массы, как видно из уравнения не зависит, что было установлено ещё Галилео Галилеем (принцип изохронности колеба-ний). А21. Имеется воздушный конденсатор с плоскими пластинами площадью s =100 см2 и зазором между ни-ми d = 2,5 см. Пространство между пластинами ионизи-руется рентгеновскими лучами, так что в секунду обра-зуется N = 1010 пар ионов. На пластины конденсатора подаётся постоянное напряжение U0 = 2 кВ. В измери-тельную схему включены сопротивления R1 = R2 = 1010

Ом. Ток, какой силы потечёт через измерительный при-бор, включенный в цепь источника питания?

Решение

1. Возникновение носителей заряда вследствие ио-низации электрически нейтральных молекул воздуха вызовет электрический ток, сила которого будет пропорциональна величине заряда носителя, их коли-честву и объёму конденсатора

CC NeVi = , где е ≅ 1,6⋅10 − 19 Кл − заряд одного иона, N − число пар ионов образующихся в одну секунду в единице объёма конденсатора. 2. Выразим напряжение источника U0 в виде суммы падений напряжений на сопротивлениях

2R1RRR0 RIRIUUU2121

+=+= . 3. Сила тока через сопротивление R1 должна быть равна сумме сил токов через сопротивление R2 и конденсатор, т.е.

CRR iII21+= .

4. Образуем систему уравнений

⎪⎭

⎪⎬⎫

+=

+=

CRR

2R1R0

iII

,RIRIU

21

21 .

Сила тока через микроамперметр будет равна силе тока через сопротивле-ние R1, поэтому выразим из первого уравнения системы (4) силу тока IR2 и под-ставим во второе уравнение

,iR

RIUI,

RRIU

I C2

1R0R

2

1R0R

1

1

1

2+

−=⇒

−=

2C1R02R RiRIURI11

+−= , ( ) C012R NeVURRI

1+=+ ,

A101102

105,2106,110102RR

NeVUII 710

419103

21

C0AR1

−−−

μ ⋅≅⋅

⋅⋅⋅⋅+⋅≅

++

== .

120

Часть 2

В1. В результате корректировки орбиты нормальное (центростремитель-ное) ускорение спутника Земли уменьшилось. Как изменятся в результате это-го перехода: радиус орбиты спутника, скорость его движения по орбите и пе-риод обращения вокруг Земли: 1. Увеличилась; 2. Уменьшилась; 3. Не изменилась?

Решение 1. Изменение радиуса круговой орбиты:

( )( ) ;

hRGMhR;

hRGMv;v

hRGM;

hRmv

hRmMG 2

2

2 +=+ω

+==

++=

+

;GMr;rhR =ω=+ ,rrr

rva 2

222

n ω=ω

==

спутник поднялся на более высокую орбиту. 2. Если радиус орбиты увеличился, а нормальное ускорение уменьшилось, значит, линейная орбитальная скорость должна уменьшиться т.к.

;rv ω= 3. Период обращения спутника увеличится:

ωπ

=⇒π

=ω2T;

T2 ;

Радиус орбиты Линейная скорость Период обращения 1 2 1

В2. При настройке контура радиопередатчика его индуктивность увеличи-ли. Как при этом изменились: период колебаний тока в контуре; частота излу-чаемых волн; длина излучаемых волн?

Решение 1. Период колебаний силы тока в контуре в соответствии с формулой Том-сона увеличится, потому что:

LC2T π= ; 2. Частота излучаемых волн:

;LC2

1T1;2T

π==ν⇒πν=

3. Длина излучаемой электромагнитной волны:

;cν

=λ

Период колебаний Частота изл. волн Длина изл. волн

1 2 1

121

В3. Установить соответствие между физическими явлениями и приборами для ах изучения. Каждой позиции первого столбца подобрать соответствую-щую позицию второго столбца.

Решение А Б 2 1

В4. Установить соответствие между процессами в идеальном газе и фор-мулами, которые их описывают. К каждой позиции первого столбца подобрать соответствующую позицию второго столбца под соответствующими буквами.

Решение

1. Изобарный процесс:

;Nmm 0

μ=

μ=ν

;constTV

TV

TV

;RTVp

;RTVp

;RTpV;RTрV

2

2

1

1

2

2

1

1

22

11 ===

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

ν=

ν=⇒

⎭⎬⎫

ν=ν=

2. Изотермический процесс:

;constpVVpVp;RTVp;RTVp

221122

11 ===⇒⎭⎬⎫

ν=ν=

А Б 2 3

122

Часть 3

А22. Массивный брусок движется поступательно по горизонтальной плоскости под действием силы, на-правленной под углом α = 300 к горизонту. Модуль этой силы F = 12 Н. Коэффициент трения между бруском и плоскостью μ = 0,2. Модуль силы трения, действующей на брусок FТр = 2,8 Н. Чему равна масса бруска?

Решение 1. Уравнение силы трения:

( );FmgNF yТр −μ=μ= ;sinFmgFТр αμ−μ= ;mgsinFFТр μ=αμ+

;g

sinFFm Тр

μαμ+

=

;кг2102,0

5,0122,08,2m ≈⋅

⋅⋅+≈

А23. У теплового двигателя, работающего по циклу Карно, температура на-гревателя ТН = 300 К, а температура холодильника ТХ = 300 К. Рабочее тело за один цикл поглощает Q = 40 кДж теплоты. Какую работу совершает за цикл рабочее тело двигателя?

Решение

1/ Рассмотрим идеальный газ, находящийся в цилиндрическом со-суде под массивным поршнем. Если дно цилиндра привести на некоторое время в соприкосновение с телом, обладающим большей, чем окру-жающая среда температурой (нагре-вателем), то газ начнёт расширяться, совершая работу, связанную с уве-личением потенциальной энергии

поршня. 2. В стадии нагревания изменение состояния газа (рабочего тела) можно охарактеризовать на pV − диаграмме кривой 1а2. Первое начало термодинами-ки позволяет записать следующее уравнение подобающее рассматриваемой си-туации

1121 AUUQ +−= . 3. Если в верхней точке своей прямолинейной траектории поршень сопри-коснётся с телом, температура которого ниже температуры газа (холодильни-

Круговой процесс

123

ком), произойдёт охлаждение газа, что приведёт к уменьшению его объёма. Газ из состояния 2 по кривой 2b1 вернётся в исходное состояние 1, при этом

2212 AUUQ −−=− . 4. Совмещая уравнения, получим:

2121 AAQQ −=− . Уравнение демонстрирует, что рассматриваемое устройство совершило круговой процесс, при котором, нагреватель отдал рабочему телу тепло Q1, а холодильник приобрёл тепло в количестве Q2. Экономический коэффициент полезного действия тепловой машины можно представить традиционным обра-зом

1

2

1

21

1 QQ1

QQQ

QA

−=−

==η .

5. Вот тут бы энтузиастам Perpetuum mobile второго рода да и призадумать-ся, уяснив, что бесхитростное и беспристрастное уравнение никаких шансов на создание машины с η ≅ 1 не оставляет. 6. Во времена французской революции в 1824 г. французский исследователь Сади Карно опубликовал работу «Размышления о движущей силе огня и о ма-шинах, способных развивать эту силу» в которой рассмотрел в общем виде проблему «получения движения из тепла». Рассматривая идеальный круговой процесс (цикл Карно), впервые показал, что полезную работу можно совер-шить лишь при переходе тепла от нагретого тела к более холодному. Выдвинул положение, что величина работы определяется только разностью температур нагревателя и холодильника и не зависит от природы рабочего тела (теорема Карно). Пришел к понятию механического эквивалента теплоты и сформули-ровал в общем виде закон сохранения энергии. 7. Второе начало термодинамики устанавливает направление течения и ха-рактер процессов, протекающих в окружающем нас мире. Существует не-сколько эквивалентных формулировок второго начала термодинамики. 8. Клаузиус второе начало сформулировал в виде постулата: «Процесс, при котором не происходит других изменений, кроме передачи теплоты от горячего тела к холодному, является необратимым, т.е. теплота не может перейти от хо-лодного тела к горячему без каких-либо других изменений в системе». Други-ми словами, чтобы от холодного тела передать тепло горячему телу необходи-мо совершить работу за счёт энергии внешнего источника. 9. Лорд Кельвин второе начало сформулировал следующим образом: «Про-цесс, при котором работа переходит в теплоту без каких-либо других измене-ний в системе, является необратимым, т.е. невозможно преобразовать в работу всю теплоту, взятую от источника с однородной температурой, не производя других изменений в системе». 10. Физический смысл второго начала термодина-мики наиболее образно просматривается в формули-ровке Макса Планка: «Невозможен такой периодиче-ский процесс, единственным результатом которого было бы превращение теплоты в работу». 11. Отметим, что в соответствии со вторым на-чалом термодинамики, процесс, схема которого при-ведена на рис. невозможен. Нельзя из резервуара из-влекать некоторое количество тепла Q1 и передавать его рабочему телу, которое бы совершило работу А и,

Нереальная схема теплового процесса

124

осуществив полную трансформацию, вернулось бы в исходное состояние. Это противоречит, прежде всего, определению Планка, как впрочем, и всем остальным формулировкам. Реальным в свете второго начала термодинамики является только такой процесс, при котором не всё тепло, полученное от резервуара, пре-образуется в работу, а только его часть в соответствии с уравнением η. 12. Часть тепла Q1 не трансформированная в рабо-ту для осуществления кругового цикла должна быть передана теплоприёмнику (холодильнику). Величина Q2 представляет собой неиспользованную в цикле те-пловую энергию. При осуществлении второй части

цикла (обратного хода процесса) Q2 используется для сжатия рабочего тела и передачи теплоприёмнику. Таким образом, тепло Q2 не используется в машине, а рассеивается в окружающем пространстве. 13. Убедиться в справедливости приведенных рассуждений можно, загля-нув под капот любого автомобиля, где обнаружится достаточно сложная сис-тема охлаждения, единственным назначением которой является компенсация тепловых потерь неминуемо возникающих при осуществлении замкнутого кру-гового процесса, при котором извлекается механическая работа, движущая ав-то. 14. Таким образом, в соответствии со вторым началом термодинамики для превращения теплоты в работу необходимы два тела с различными температу-рами Т1 и Т2. Если Т1 > Т2, то первое тело называется нагревателем, а второе − холодильником. 15. Из всего многообразия круговых термодинамических процессов выде-ляют, так называемый, цикл Карно, который позволяет получить максимально возможный коэффициент полезного действия. Всё фундаментальное и практи-ческое значение второго начала термодинамики, пожалуй, впервые осознал Са-ди Карно, который занимался проектированием и строительством водяных двигателей. В это время во Франции уже начали появляться тепловые машины, построенные гениальными самоучками по наитию, но теоретически никак не-обоснованные. Научный фундамент был ещё не создан. 20. Карно постулировал, что величина работы, получаемой в круговом цик-ле, определяется только разностью температур нагревателя и холодильника, при этом физические и иные свойства рабочего тела никакого влияния на ко-эффициент полезного действия цикла не оказывают. 21. Далее, используя этот принцип, Карно придумал идеальный цикл тепло-вой машины, который обладает максимально возможным коэффициентом по-

лезного действия. Цикл Карно состоит из двух изотерм и двух адиабат. Процесс перехода из состояния А в состояние В представляет собой изотермическое расширение рабочего тела, при котором газ находится в тепловом контакте с нагревателем, обладающим температурой Т1. Переход из состояния В в состояние С, сопро-вождается дальнейшим адиабатическим увели-чением объёма при изоляции от окружающей среды. Переход из точки С в точку D представ-

Реальная схема

теплового процесса

Цикл Карно

125

ляется изотермическим сжатием газа, и, наконец, возвращение системы в ис-ходную точку А протекает в виде адиабатического сжатия. 22. При изотермическом сжатии, как известно, внутренняя энергия рабоче-го тела не меняется (температура неизменна), поэтому поглощаемое от нагре-вателя тепло в соответствии с первым началом термодинамики, преобразуется в работу

∫ μ===Δ

B

A

V

V11 V

dVRTmpdVLQ ,

где m, μ − масса и молярная масса газа. Поскольку в уравнении для изотерми-ческого процесса переменными являются объём и давление, то давление выра-жено через объём из уравнения Клапейрона − Менделеева

VRTmр,RTmpV 1

1 μ=⇒

μ= .

23. Интегрируя уравнение, получим

A

B11 V

VlnRTmQμ

=Δ .

Аналогичные уравнения запишем для перехода С → D

C

D2

V

V221 V

VlnRTmV

dVRTmpdVQD

Cμ

=μ

==Δ ∫ .

24. В рассматриваемых процессах VB > VA и VD < VC, из чего следует, что ΔQ1 > 0, ΔQ2 < 0. Переходы B → C и D → A подчиняются уравнению адиабаты

1A1

1C2

1C2

1BB VTVT,VTVT −γ−γ−γ−γ == .

24. Решая совместно уравнения, получим

0TQ

TQ

2

2

1

1 =Δ

+Δ .

25. Из уравнения следует, что

1

2

1

2

TT

QQ

−=ΔΔ ,

следовательно, подставив последнее соотношение в уравнение для коэффици-ента полезного действия , получим величину максимально возможную величи-ну коэффициента полезного действия тепловой машины, работающей по циклу Карно

1

2

TT1−=η .

26. Уравнению можно придать другой вид:

н

хн

ТТT −

=η ,

т.е. коэффициент полезного действия тепловой машины определяется только разностью температур нагревателя и холодильника, такова правда жизни. Для увеличения эффективности теплового агрегата необходимо увеличить разность температур нагревателя и холодильника. Этот суровый приговор похоронил все паровозы, потому что температура пара не может увеличиваться беспре-дельно, а вот в двигателях внутреннего сгорания температура при воспламене-нии выше, следовательно, они более эффективны, хотя, уравнение не позволяет увеличить коэффициент полезного действия более η ≤ 40%. 27. КПД заданного цикла Карно определится как:

126

,4,0ТТ1

Н

Х =−=η

тогда совершаемая за цикл работа определится как: ;кДж16QA =η=

А24. Задан график зависимости силы то-ка от времени в LC колебательном контуре. Индуктивность катушки L = 0,2 Гн. Опреде-лить максимальное значение энергии маг-нитного поля в катушке.

Решение 1. Амплитудное значение силы тока определяется по заданному графику im ≈ 5 мА ≈ 5⋅10 − 3 А, тогда максимальная энергия магнитного поля в катушке:

( ) Дж105,22

10252,021052,0

2LiW 6

6232m

max−

−−

⋅=⋅⋅

=⋅⋅

== ;

А25. В таблице представлены результаты измерений максимальной кине-тической энергии фотоэлектронов при двух разных значениях длины волны падающего монохроматического света:

Длина волны падающего света λ 0,5λКр 0,25λКр

Максимальная энергия фотоэлектронов εmax - ε0

Чему равно пропущенное в таблице значение εmax?

Решение 1. Красная граница внешнего фотоэффекта:

;Аhc

Кр

=λ

2. Система уравнений внешнего фотоэффекта применительно к заданным условиям:

( )

( );

3;12hc

;14hc

;hc5,0hc

;hc25,0hc

0Х

ХКр

0Кр

КрХ

Кр

Кр0

Кр ε=ε

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

ε=−λ

ε=−λ

⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

λ+ε=

λ

λ+ε=

λ

С1. Рамку, по которой течёт ток постоян-ной силы, удерживают вблизи полосового магнита. Как будет двигаться рамка ели она может только вращаться вокруг оси МО?

Решение 1. Поскольку по рамке, которая, судя по условию задачи, имеет одну вращательную

степень свободы, течёт ток, то элементы рамки будут испытывать действие си-лы Ампера.

127

2. Направление сил, определяемое по правилу левой руки, указывает на возник-новение момента относительно оси враще-ния, при этом:

( )B;sinIB|F| A

rlr

lr

= , т.е. рамка повернётся на 900 и остановится. С2. Шайба массой m начинает сколь-жение по жёлобу АВ из точки А с нулевой начальной скоростью. Точка А располо-жена выше точки В на расстоянии Н = 6 м. В процессе движения по жёлобу меха-ническая энергия за счёт силы трения уменьшается на ΔЕ = 2 Дж. В точке В шайба вылетает из жёлоба под углом α = 150 к горизонту и падает на землю в точке D, находящейся на одной горизонтали с точкой В, BD = 4 м. Определить массу шайбы.

Решение

1. Скорость в точке В определится кинематическим соотношением:

;2singxv;

g2sinvxBD m2

B

2B

m α=

α==

2. Закон сохранения энергии для шайбы, движущейся из точки А в точку В:

2B

2B

2B

vgh2E2m;

mE2vgh2;

2mvEmgh

−Δ

=Δ

=−+Δ= ;

;кг1,0

5б0104120

4

2singxgh2

E2mm

≈⋅

−≈

α−

Δ=

С3. В горизонтальном цилиндрическом сосуде, закрытом поршнем, нахо-дится одноатомный идеальный газ. Первоначальное давление газа р1 = 4⋅105 Па. Расстояние от дна сосуда до поршня равно L. Площадь поперечного сече-ния поршня S = 25 см2. В результате медленного нагревания газ получил коли-чество теплоты Q = 1,65 кДж, а поршень сдвинулся на расстояние х = 10 см. При движении поршня со стороны стенок на него действовала сила трения Fτ = 3⋅103 Н. Найти расстояние L, считая сосуд находящимся в вакууме.

128

Решение

1. Поскольку нагревание протекает медленно и постоянно вводится тепло-та, которая компенсирует уменьшение температуры вследствие расширения газа, то изменение состояние можно считать изотермическим:

;VpVp 2211 = 2. Оценим размерность произведения давления на объём:

[ ] ,ДжмНммН 3

2 ≡⋅=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

т.е. произведение давления на объём может представлять собой либо энергию, либо работу. 3. В рассматриваемом случае произведение 22Vp может рассматриваться как работа, затраченная поршнем против силы трения (справа от поршня по условию задачи вакуум, р = 0):

( ) ;хFFAVp ТрТр22 ⋅==r

4. Исходя из особенностей изотермического процесса ( )constpV = :

( ) ;хFLSp;FAVp Тр1Тр11 =⇒=r

;м3,0105,21041,0103

SpxF

L 35

3

1

Тр =⋅⋅⋅

⋅⋅== −

С4. По гладкой горизонтальной спице дли-ной l2 скользит бусинка с положительным за-рядом Q > 0 и массой m. На концах спицы за-креплены положительные заряды q > 0. Бусин-

ка совершает малые колебания относительно положения равновесия, период колебаний равен Т. Чему будет равен период колебаний бусинки, если её за-ряд увеличить в 2 раза?

Решение 1. Колебания в любой системе, как механической, так и в электрической системе становятся возможными при возникновении возвращающей силы при смещении системы из положения равновесия. 2. В рассматриваемом случае возвращающая сила обусловлена возникнове-нием дополнительной силы Кулона при смещении бусинки на расстояние х из положения равновесия, причём величина возвращающей силы будет прямо

129

пропорциональна величине смещения, коэффициентом пропорциональности служит величина k*, аналогичная коэффициенту упругости в механике. 3. Представим возвращающую силу следующим образом:

;4

1C;x

CqQxFk;xkF

02** πεε

====l

4. Уравнение второго закона Ньютона, описывающее движение бусинки:

;0xmk-xx;kxm *

* == &&&&

если ввести обозначение

;0xx;mk 22* =ω−ω= &&

т.е. получилось дифференциальное уравнение второго порядка решением, ко-торого является уравнение свободных гармонических незатухающих колеба-ний

;tT2sinxtsinxx(t) mmπ

=ω=

5. Циклическая частота собственных колебаний бусинки:

;

xmCqQ2

km22T;

mk

2*

*

l

π=π=

ωπ

=⇒=ω

6. Для условий задачи уравнения периодов представятся следующим обра-зом:

;2

TT;2TT

;

xmQ2Cq

2T

;

xmCqQ2T

12

2

1

2

2

2

1

==⇒

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

π=

π=

l

l

С5. Горизонтальный проводящий стержень прямоугольного сечения движется поступатель-но с ускорением а = 1,9 м/с2 вверх по гладкой наклонной плоскости, наклонённой под углом α = 300 к горизонту. По стержню течёт ток силой I. Плоскость расположена в вертикальном одно-родном магнитном поле с индукцией В = 0,2 Тл. Отношение массы стержня к его длине m/L = 0,1 кг/м. Чему равна сила тока в стержне?

Решение 1. Поскольку стержень с током дви-жется вверх с ускорением, то возникающая в магнитном поле сила Ампера должна совпадать с направлением ускорения, что указывает на направление тока. 2. Ускоренное движение стержня, та-

130

ким образом, протекает при действии двух сил, силы тяжести и силы Ампера. Второй закон Ньютона в проекции на ось х, параллельную плоскости, запишет-ся следующим образом:

;mLIBgsinama;IBLmgsin- =α+⇒=+α

;A45,3102,059,1

mLB

30singaI0

≈⋅+

≈+

=

С6. Фотон с длиной волны, соответствующей красной границе фотоэффек-та, выбивает электрон из фотокатода, помещённого в сосуд, из которого отка-чан воздух. Электрон разгоняется электрическим полем напряжённостью Е = 5⋅104 В/м. До какой скорости разгонится электрон, пролетев расстояние S = 5⋅10 − 4 м? Релятивистские эффекты и силу тяжести не учитывать.

Решение 1. Фотон с длиной волны, соответствующей красной границе имеет энер-гию, равную работе выхода электрона из данного металла, другими словами, электрон будет стартовать в электрическом поле с нулевой начальной скоро-стью. 2. Кинетическая энергия электрона, разгоняемого полем, будет равна рабо-те, произведённой полем на заданном расстоянии S

;см103

1011,9105105106,12

meES2v;

2vmeES 6

31

4419

e

2e ⋅≈

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

≈=⇒= −

−−

131

Вариант 9

Часть 1 А1. Приведен график зависимости проекции скорости vx от времени. Уста-новить, какой из графиков проекции ускорения этого тела ахв интервале вре-мени от 10 до 15 с соответствует заданным условиям.

Решение

1. Модуль проекции ускорения:

( )3график;см5

525

5)10(15

tvv

tva 2

x1x2xx ==

−−=

Δ−

=ΔΔ

=

А2. Земля притягивает к себе подброшенный мяч с силой F = 5 Н. С какой силой мяч притягивает к себе Землю?

Решение 1. В соответствии с третьим законом Ньютона силы между двумя взаимо-действующими телами равны по модулю и противоположны по направлению, векторы сил взаимодействия проходят через центр масс взаимодействующих тел:

;FF;0FF 1,22,11,21,2

rrrr==+

2. Сила взаимодействия мяча с землёй определяется законом гравитации Ньютона:

( )hкм6400R;R

mMGFF З2З

мЗ,Зм, >>≈≈=r

;

А3. Деревянный брусок массой m, площадь граней которого связаны отно-шением S1:S2:S2 = 1:2:3, скользит равномерно и прямолинейно по шероховатой поверхности, соприкасаясь с ней гранью S1, под действием горизонтальной силы. Какова величина этой силы, если коэффициент рения равен μ?

132

Решение 1. Первый закон Ньютона (закон инерции Галилео Галилея) гласит:

∑=

= ⎭⎬⎫

==

=nk

1kk const;v

0;vто,0Fесли

r

2. Применительно к рассматриваемому случаю: ;mgF;0mgF;0NF μ==μ−=μ−

А4. Тело движется прямолинейно. Под действием постоянной силы вели-чиной F 2 Н тело за τ = 3 с увеличивает импульс на Δр = 15 кг/м⋅с. Чему равен первоначальный импульс тела?

Решение 1. В соответствии с теоремой об изменении импульса силы:

( ) ∫ ∫==⇒==2

1

2

1

t

t

v

v

;vdmdtF;vmddtF;dt

)vm(ddtvdmF rrrrrrr

2. Импульс силы:

;смкг9Fpp;

смкг6F 0

⋅=τ−Δ=

⋅=τ

А5. Камень массой m = 1 кг брошен вертикально вверх. В начальный мо-мент его энергия была равна 200 Дж. На какую максимальную высоту подни-мется камень? Сопротивление движению отсутствует.

Решение 1. Движение камня происходит под действием гравитационной силы (силы тяжести) которая относится к классу консервативных сил, для которых спра-ведлив закон сохранения механической энергии:

;м20mgKh;Дж200K;

2mvmgh;0КП m

2

==⇒===+

А6. Колебательное движение тела задано уравнением:

,2

btasinx(t) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+=

где а =5 см, b = 3 с − 1. Чему равна амплитуда колебаний?

Решение 1. Общий вид уравнения гармонических свободных незатухающих колеба-ний:

( ) ;2

;срад3;см5A;tAsinx(t) 00

π=ϕ=ω≡ϕ+ω=

А7. Какое утверждение справедливо для кристаллических тел? 1. Во время плавления температура плавления кристалла изменяется; 2. В расположении атомов кристалла отсутствует порядок; 3. Атомы кристалла расположены упорядоченно;

133

4. Атомы свободно перемещаются в пределах кристалла?

Решение 1. В обычном состоянии структур-ные элементы кристалла имеют чёткое геометрической расположение. Эле-менты связаны относительно прочными связями и могут совершать только ко-лебательные движения около положе-ния статического равновесия. 2. В процессе нагревания амплитуда колебаний возрастает, а энергия колебаний превосходит энергию связей, кото-рые разрываются и структурные элементы (атомы или ионы) приобретают по-ступательные и вращательные степени свободы, твёрдое тело превращается в жидкость, в этой связи наиболее близким к реальности является утверждение 3, хотя частично, смотря о какой стадии плавления говорить. А8. Задан график циклического процесса, осуществ-ляемого с идеальным газом. Какой из участков графика соответствует изобарному нагреванию?

Решение 1. Цикл состоит из двух изотерм и двух изобар АВ и CD и двух изотерм DA и BC, причёт процессу нагревания соответствует изобара АВ.

А9. При каком процессе остаётся неизменной внутренняя энергия 1 моля идеального газа при: 1. Изобарном расширении; 2. Изохорном нагревании; 3. Адиабатном сжатии; 4. Изотермическом сжатии?

Решение 1. Изменение внутренней энергии идеального газа при изотермическом процессе:

;0U;0T;constT;TR23U =Δ⇒=Δ=Δν=Δ

134

А10. В процессе эксперимента газ отдал окружающей среде количество теплоты Q1 = 3 кДж. При этом внутренняя энергия газа уменьшилась на ΔU = 13 кДж. Какую работу совершил при этом газ?

Решение 1. В соответствии с первым началом термодинамики:

;кДж10QUA;AUQ 11 =−Δ=+Δ−= А11. Расстояние между двумя точечными электрическими зарядами увели-чили в 2 раза, а один из зарядов уменьшили в 4 раза. Как изменилась сила взаимодействия между зарядами?

Решение

( )

;16FF

;r24qqkF

;rqqkF

2

1

221

2

221

1

=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

=

А12. На изображении, отдалённо напоми-нающем фотографию (?!), якобы приведена электрическая цепь. Какое напряжение пока-жет идеальный вольтметр, параллельный резистору сопротивлением 3 Ом, если ам-перметр градуирован в амперах.

Решение

1. В соответствии с законом Ома для участка цепи: ;B4,2IRUR ==

А13. Прямолинейный проводник длиной L с током силой I помещён в одно-родное магнитное поле перпендикулярно линиям индукции В

r. Как изменится

сила Ампера, действующая на проводник, если его длину увеличить в 2 раза, а силу тока в проводнике уменьшить в 4 раза?

Решение

;2FF

;2B4IF

;IBF

2

1

2

1

=⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

=

=

l

l

А14. Согласно теории Максвелла, Герца, Хевисайда заряженная частица излучает электромагнитные волны в вакууме:

1. Только при равномерном движении по прямой в инерциальной сис-теме отсчёта (ИСО); 2. Только при гармонических колебаниях в ИСО; 3. Только при равномерном движении по окружности в ИСО; 4. При любом движении с ускорением в ИСО?

135

Решение 1. Все факты проявления электрических и магнитных полей можно обоб-щить в виде нескольких утверждений. 2. Утверждение 1. Статическое электрическое поле создаётся электриче-скими зарядами, причём силовые линии электрического поля начинаются и за-канчиваются на электрических зарядах. Этому утверждению соответствует теорема Остроградского − Гаусса

∫ ∫ρε==Φ

S V0E dV1SdE

rr,

где Sdr

− трансформированная в вектор элементарная площадь, путём нё умно-жения скалярно на единичный вектор внешней нормали, т.е. ndSSd

rr⋅= , ρ −

объёмная плотность зарядов. Левая часть уравнения представляет собой поток вектора напряжённости электрического поля ФЕ через произвольную замкну-тую поверхность S, ограничивающая объём V. 3. Утверждение 2. В природе до настоящего времени не обнаружены изо-лированные магнитные заряды (монополи). Математическим содержанием это-го утверждения так же является теорема Остроградского − Гаусса, правая часть которой равна нулю

∫ ==ΦS

B 0SdBrr

.

4. Утверждение 3. Электростатическое поле потенциально, т.е. в нём нет замкнутых силовых линий, а работа поля по замкнутому перемещению всегда равна нулю. Не замкнутость силовых линий математически можно выразить нулевой циркуляцией поля по произвольному контуру

∫ =l

lrr

0dE .

5. Утверждение 4. Вихревое магнитное поле создаётся электрическими то-ками. Это утверждение математически выражается теоремой о циркуляции век-тора индукции магнитного поля

∫ ∫μ=l

rrl

r

S0 SdjdB ,

где jr

− вектор плотности тока. Нетрудно видеть, что четвёртое утверждение, ко всему прочему, основано на законе Био − Савара − Лапласа. 6. Дополним эти утверждения выражением для комплексной силы Лоренца, которая действует на движущиеся заряды со стороны электрических и магнит-ных полей:

( )BvqEqFL

rrrr×+= .

7. Все четыре условия, по сути, были сформулированы без учёта особенно-стей, возникающих при явлении электромагнитной индукции. А суть вот в чём. 8. Ели проводящий контур, например круговой, поместить в изменяющийся магнитный поток, то в нём возникает ЭДС индукции, что означает перемеще-ние в нём электрических зарядов. Всякая ЭДС приводит к появлению сил, пе-ремещающих по проводнику заряды. С другой стороны, перемещение зарядов свидетельствует о наличии электрического поля, причём циркуляция этого по-ля по периметру витка по определению и равна ЭДС индукции, т.е.

∫ ε=l

lrr

idE .

136

9. Как известно из математики, если циркуляция некого векторного поля не равна нулю, то это поле не является потенциальным, а обладает вихревыми свойствами, подобно магнитному полю. 10. Интересно выяснить в этой связи роль проводящего контура. Контур в данном случае является своеобразным индикатором возникшего индукционно-го тока. Чтобы учесть изложенные выше новые обстоятельства, необходимо сформулированные ранее утверждения дополнить законом электромагнитной индукции Майкла Фарадея

∫ ∫ ∂∂

−=∂∂

−=Φ

−=εS S

mi Sd

tBSdB

tdtd r

rrr

.

Подставим далее значение ЭДС индукции из уравнения в утверждение №3

∫ ∫ ∂∂

−=l

rr

lrr

S

SdtBdE .

11. Последнее уравнение, содержащее закон электромагнитной индукции, даёт основание уточнить третье утверждение следующим образом. 12. Утверждение 3*. Изменение магнитного поля приводит к возникнове-нию вихревого электрического поля.

13. Ещё одним примером необычного проявления свойства электрического поля является колебательный контур. Поставив переключатель в положение 1, зарядим кон-денсатор, а затем переключатель К перебро-сим в положение 2. Конденсатор начнёт раз-ряжаться через сопротивление R и индук-тивность L. 14. В образованном замкнутом контуре возникнет индукционный ток, причём кон-денсатор станет неоднократно перезаря-жаться. В этом случае электрическая энер-гия, запасаемая в конденсаторе, будет неод-нократно преобразовываться в энергию маг-

нитного поля катушки

2LI

2CU 22

⇔ ;

15. Этот колебательный процесс, по большому счёту противоречит нашему четвёртому утверждению. Конденсатор, в простейшем варианте, представляю-щий собой две проводящие пластины, разделённые диэлектриком не предрас-положен проводить электрический ток, тем не менее, ток всё же протекает, обеспечивая его перезарядку. 16. Впервые подобным процессом заинтересовался Максвелл, который за-дался целью модифицировать уравнение четвёртого утверждения примени-тельно к рассматриваемым случаям. 17. Было экспериментально установлено и теоретически обосновано, что всякое переменное магнитное поле вызывает вихревое электрическое поле. Анализируя эти факты, Максвелл пришёл к выводу, что возможен и обратный процесс, т.е. всякое изменение электрического поля должно вызывать по-явление вихревого магнитного поля. 18. Это было сильное утверждение, потому что оно при дальнейшем экст-раполировании приводило к довольно необычным выводам. Магнитное поле,

Колебательный контур

137

как известно, является основным признаком всякого тока, из этого следовало, что переменное электрическое поле должно приводить к возникновению неко-го тока. 19. Максвелл отождествил переменное электрическое поле с понятием «ток смещения», который не является следствием движения носителей зарядов. Термин во многом с исторической подоплёкой, потому что в некоторых средах, например в вакууме, вообще никаких зарядов нет, смещаться нечему, а вот в диэлектрических средах эффект смещения зарядов имеет место. 20. Разберёмся с этим необычным током на примере зарядки обычного конденсатора. Включим в цепь конденсатора и источника внешней ЭДС микроамперметр с центральным начальным поло-жением стрелки для регистрации возникающего тока. 21. Контур, по большому счету разомкнут, по-тому что содержит конденсатор, постоянный ток, как известно, не пропускающий. При длительном подключении батареи к конденсатору микроам-перметр тока не фиксирует, а в первые моменты включения конденсатор заряжается, в металличе-ских проводниках возникает зарядный ток. 22. Если полюса батареи поменять местами, то конденсатор перезарядится и в процессе перезарядки снова возникнет ток, но уже обратного направления. Если конденсатор подключить к сети переменного тока с частотой f = 50 с − 1, а микроамперметр заменить лапой накаливания, то она станет вспыхивать с час-тотой, равной ν = 100 с − 1, что человеческий глаз различить не сможет, и будет казаться, что лампочка просто горит. 23. Эти и подобные им эксперименты показывают, что переменный элек-трический ток, т.е. переменное электрическое поле, может прекрасно сущест-вовать и в незамкнутых контурах. Как совершенно гениально предположил Максвелл, токи проводимости в проводящем разомкнутом контуре замыкаются токами смещения в диэлектрике, при этом электрическое поле в конденсаторе в произвольный момент времени создаёт магнитное поле, такое же, как если бы пространство между обкладками было проводящим. Возникающее магнитное поле такое же, как и в проводнике, т.е. такое же, как и в замкнутом контуре. 24. Уравнения Максвелла записываются обычно в двух формах: инте-гральной и дифференциальной форме. 25. Интегральные уравнения выражают соотношения для проведенных мысленно в магнитном поле неподвижных контуров и поверхностей. 26. Дифференциальная форма уравнений устанавливает взаимосвязь ме-жду характеристиками поля и плотностями электрических зарядов и токов в каждой точке пространства занятого полем. 27. Уравнения в интегральной форме были, по сути, сформулированы вы-ше, путём констатации экспериментально и теоретически очевидных фактов:

Зарядка конденсатора

138

( )

( )

( )

( )⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

ε+μ=

∂∂

−=

=

ρε

=

∫ ∫

∫ ∫

∫

∫ ∫

l

l

rr

rlrr

rr

lrr

rr

rr

S00

S

S

S V0

.SdtEjdBIV

;SdtBdEIII

;0SdBII

;dV1SdEI

28. Первое уравнение системы не является абсолютно новым, в его основу положена теорема Остроградского – Гаусса для электрических полей в средах. Электрическое поле в диэлектрической среде, создаётся зарядами двух типов: свободными и связанными. 29. Связанными называются заряды, входящие в состав структурных эле-ментов вещества диэлектрика, т.е. молекул, атомов и ионов. Свободными счи-таются заряды, способные перемещаться под действием электрического поля на макроскопические расстояния, а так же избыточные заряды, сообщённые диэлектрику извне. 30. Электрическое поле в диэлектрике, таким образом, представляет собой суперпозицию двух полей, генерируемых связанными и свободными зарядами. Теорема Остроградского – Гаусса в этом случае записывается следующим об-разом

( )∫ +ε

=S

связсвоб

0

QQ1sdErr

.

31. Уместно напомнить, в этой связи, что уравнение теоремы учитывает только заряды, содержащиеся внутри мысленно проведенного контура, так ска-зать, только охваченные заряды. Поле связанных зарядов зависит от степени поляризации диэлектрика, т.е. от суммарного дипольного момента всех моле-кул, заключённых в рассматриваемом объёме VΔ , ограниченном поверхно-стью S

∑=

=

=Ni

1iimm p

V1P

rr.

32. Напряжённость поля, создаваемого связанными зарядами, определится как

∫ε−=

Sm

0

связ Sdp1Errr

.

33. Знак минус характеризует факт уменьшения потенциальной энергии ди-поля при его повороте в электрическом поле. Уравнение позволяет выразить величину связанного заряда следующим образом

∫−=S

mсвяз SdpQ

rr .

34. Перепишем теорему Остроградского – Гаусса следующим образом

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ε= ∫∫

Sm

своб

S

SdpQ1sdErrrr

,

или ∫ ∫+ε=S S

m0своб SdpsdEQ

rrrr.

139

35. Поскольку интегралы берутся по одной и той же замкнутой поверхно-сти, то их можно преобразовать к виду

( ) SdpEQS

m0своб

rrr∫ +ε= .

36. Уравнение можно привести к обычной форме записи теоремы Остро-градского – Гаусса, если ввести обозначение

( ) DpE m0

rrr=+ε ,

тогда

∫ =S

свобQsdD rr.

37. Таким образом, мы снова пришли к понятию вектора электрического смещения или, как его иногда называют, вектором электрической индукции. Уравнение определяет поток вектора смещения, пронизывающий поверхность S, т.е.

∫ ==ΦS

свобD QsdD rr

.

38. Если поверхность S неподвижна и недеформируемая, то изменение по-тока будет сопряжено с зависимостью вектора электрического смещения от времени. Продифференцируем по времени уравнение

sdDdtd

dtd

dtdQ

S

Dсвоб rr

∫=Φ

= ,

или

SdtD

dtdQ

S

своб rr

∫ ⋅∂∂

= .

38. Размерность левой части последнего уравнения [Кл/с], т.е. соответству-ет размерности силы тока. Естественно в этой связи предположить, что вели-чина [ ]tD ∂∂

r должна иметь размерность [А/м2], т.е. плотности тока j . Другими

словами, можно обоснованно ввести понятие плотности тока смещения. 39. Плотность тока смещения, таким образом, равна скорости изменения вектора смещения. Отметим, что подынтегральное выражение содержит в об-щем случае две переменных величины t и S, но в данном конкретном случае, площадь исследуемого контура полагается неизменной, что позволяет ток смещения представить в виде:

SdtDSdji

SSCC

rr

rr∫∫ ∂∂

== .

40. Для чего же потребовалась Максвеллу гипотеза о токе смещения? В сво-ей работе «Динамическая теория электромагнитного поля» он написал: «… В диэлектрике, находящемся под действием электродвижущей силы, мы можем представлять, что электричество в каждой молекуле так смещено, что одна сторона молекулы делается положительно наэлектризованной, а другая – от-рицательно наэлектризованной, однако электричество остаётся полностью связанным с молекулами и не переходит от одной молекулы к другой. Эффект этого воздействия на всю массу диэлектрика выражается в общем смещении электричества в определённом направлении. Это смещение не вполне равно-ценно току, потому что когда оно достигает определённой степени, то ос-таётся неизменным, но оно есть начало тока и его изменения образуют токи в положительном или отрицательном направлениях, сообразно тому, умень-шается или увеличивается смещение …».

140

41. Введя понятие тока смещения, Максвелл совершенно не тривиально по-дошёл к понятию замкнутости электрических цепей. Как отмечалось ранее, возникновение постоянного электрического тока возможно только в замкнутой цепи, потому, что там понятие тока связывается с переносом зарядов. Иное де-ло в цепях переменного тока, по Максвеллу замкнутость цепи совсем не обяза-тельна. 42. Так, например, при зарядке и разрядке конденсатора через сопротивле-ние электрический ток силой i протекает по соединительным проводам, при этом вокруг них создаётся магнитное поле с индукцией B

r, причём оно не за-

канчивается на обкладках конденсатора, образуя своеобразную оболочку. 43. В то время, как электрическое поле распадается, провода окружены кольцевыми линиями магнитной индукции. Соединительная цепь будет иметь магнитную «шубу», доходящую до пластин. Пространство между пластинами заполнено всегда диэлектрическим веществом, которое, как известно ток не проводит в виду малого количества свободных зарядов, способных к переме-щению под действием электрического поля. 44. Джеймс Клерк Максвелл взял на себя смелость утверждать, что «маг-нитная оболочка» не имеет концов, а образует полое кольцо из кольцевых ли-ний магнитной индукции. 45. Ток смещения представляет собой, по сути, изменяющееся во времени электрическое поле в любой среде, вплоть до пустого пространства. В максвел-ловском представлении в природе существуют только замкнутые токи, причём это могут быть как токи проводимости, так и токи смещения. Электрические токи, исходя, из представлений Максвелла, не могут иметь начала и конца. Там где заканчивается ток проводимости, неминуемо должен начинаться ток смещения. 46. Второе уравнение. Максвелл записал это уравнение как факт отсутст-вия в природе уединённых магнитных зарядов. Магнитный поток через замкнутую неподвижную поверхность, мысленно проведенную в электро-магнитном поле равен нулю. 47. Третье уравнение. Максвелл этим уравнением обобщил закон электро-магнитной индукции Майкла Фарадея применительно к замкнутому непод-вижному проводящему контуру, находящемуся в переменном магнитном поле. Проанализировав известное уравнение

sdtB

tdE

SL

B rr

lrr

∫∫ ∂∂

−=∂Φ∂

−= ,

48. Максвелл обратил внимание на то, что в него не входят параметры ма-териала проводника. Он решил распространить это уравнение на любой кон-тур, мысленно проведенный в переменном магнитном поле. Одной из особен-ностей третьего уравнения является то, что электрическое поле, в отличие от кулоновского полагается не потенциальным. Циркуляция вектора E

r зависит от

способа проведения контура в поле. 49. Главный же физический смысл третьего уравнения заключается в том, что оно устанавливает взаимосвязь переменного магнитного поля с индуциро-ванным электрическим полем, причём наличие проводников совершенно не обязательно. Применительно к первому уравнению обычно приводят следую-щую смысловую формулировку: «Циркуляция вектора напряжённости электрического поля по произвольному контуру, мысленно проведенному в электромагнитном поле, равна, взятой с обратным знаком скорости из-

141

менения магнитного потока через поверхность, натянутую на этот кон-тур». 50. Четвёртое уравнение. С учётом тока смещения Максвелл записал за-кон полного тока следующим образом:

CмакроL L0

iidHdB+==

μμ∫ ∫ lrr

lr

s

,

где макроi − макро ток, вызванный перемещением свободных носителей заряда под действием электрического поля, iC− ток смещения, некоторые свойства ко-торого оговорены выше. Это уравнение показывает, что циркуляция вектора напряжённости магнитного поля H

rпо произвольному неподвижному контуру

L , мысленно проведенному в электрическом поле, равна алгебраической сум-ме макро тока и тока смещения сквозь поверхность, причём

∫=S

макро Sdjirr

,

где j − плотность тока проводимости. 51. Дифференциальная форма уравнений представляет собой систему четы-рёх дифференциальных уравнений в частных производных

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

=

ρ=∂∂

+=

∂∂

−=

.0Bdiv

;Ddiv

;tDjHrot

;tBErot

r

r

rrr

rr

52. Уравнения Максвелла сыграли огромную роль не только в электроди-намике, но и во всей современной физике. К окончанию ХIХ века уже было ус-тановлена непрерывность пространства, было ясно, что в каждой точке любая физическая величина имеет вполне определённое значение, причём переход от точки к точке носит непрерывный и плавный характер. Понятие эфира посте-пенно вытеснялся прагматичным понятием поля. 53. Образом поля в различных отделах физики, в принципе, начали пользо-ваться со второй половины ХIХ века. Например, при объяснении явлений элек-трического и магнитного свойства. Настоятельная необходимость введения по-нятия поля появилась после того, как датский физик Ханс Кристиан Эрстед (1777 – 1851 гг.), можно сказать, случайно в 1820 г., поместил магнитную стрелку около проводника с током и обнаружил, к своему великому удивле-нию, что стрелка перестала реагировать на магнитное поле Земли, а «переклю-чилась» на проводник. 54. В этом же году Ампер разработал теорию связи электричества и магне-тизма, используя понятие поля. В 1840 г. Майкл Фарадей в своих лекциях го-ворит о попытках «открыть прямую связь между светом и электричеством». 55. Такую связь Фарадей установил, наблюдая на опыте вращение плоско-сти поляризации в магнитном поле. Фарадей (1791 − 1867 гг.) на основе экспе-риментальных исследований сформулировал идеи поля как новой формы мате-рии, введя понятие силовых линий. 56. Эстафету формирования законов электромагнитного поля продолжил Джеймс Клерк Максвелл, записав идеи Фарадея в виде записанных выше урав-нений, которые были доведены до современной формы записи Герцем на осно-ве векторного анализа Хевисайда.

142

57. Революционное значение уравнений Максвелла состояло в том, что они предсказывали существование электромагнитных волн, которые были об-наружены опытным путём в 1888 г. Генрихом Герцем. Анализируя уравнения, Максвелл обнаружил, что взаимосвязанные изменения электрических и маг-нитных полей, в конечном счете, должны были приводить к появлению волны в абсолютно пустом пространстве. 58. Эта идея была настолько нетрадиционна, что противников у неё было гораздо больше, нежели сторонников, как среди учёных академического толка, так и среди инженеров. Дело в том, что понятие волн в то время обязательно связывалось с наличием среды, в которой волны распространяются. 59. Житейские наблюдения говорили о том же: волны на поверхности жид-кости, волны на полях, засеянных злаками, упругие волны в газах, жидкостях и твёрдых телах и т.д. 60. Когда же со средой возникали трудности и недоразумения её, как отме-чено выше, заполняли разного рода эфирами, обладающими свойствами, необ-ходимыми для существования данной теории. А волна в пустом пространстве, помимо всех прочих странностей, ещё и не должна затухать, тут явно попахи-вало нарушением законов сохранения в механическом их толковании. 61. Работая над своими уравнениями Максвелл не подозревал, что в Коро-левском научном обществе хранится с 1832 г. запечатанный конверт, который велено открыть и сделать достоянием общества через 106 лет (!?). 62. Текст послания, составленного загадочным Майклом Фарадеем и зачи-танным только в 1938 г. потряс до возможного предела сдержанных англий-ских учёных и их зарубежных коллег. 63. Фарадей завещал: « Я пришёл к заключению, что на распространение магнитного воздействия требуется время, которое, очевидно, окажется весьма незначительным. Я полагаю, что электромагнитная индукция распро-страняется точно таким же образом. Я полагаю, что распространение маг-нитных сил от магнитного полюса похоже на колебания взволнованной водной поверхности. По аналогии я считаю возможным применить теорию колеба-ний к распространению электромагнитной индукции. В настоящее время, на-сколько это мне известно, никто из учёных не имеет подобных взглядов». 64. Конверт был запечатан Майклом Фарадеем, когда Максвеллу был всего год от роду. Сейчас трудно представить себе причины, по которым Фарадей не опубликовал столь гениальную догадку. 65. Толи боязнь быть не понятым, а возможно осознание преждевременно-сти своей идеи. Ясно одно, со сроками созревания научной мысли Фарадей яв-но просчитался. Потребовалось существенно менее 100 лет, чтобы удалось уви-деть в электричестве и магнетизме объединяющее начало, и, как следствие это-го, появление особого рода волн. 66. Несмотря на то, что постоянно упоминается Максвелл, приведенная нами форма записи уравнений принадлежит не ему. Практически все учебники повторяют уравнения, записанные Генрихом Герцем. Максвелл все свои теоре-тические взгляды на электромагнитные явления обобщил в виде системы из двадцати уравнений, а Герц, в процессе их осмысления, воспользовавшись неопубликованными работами Оливера Хевисайда, нашёл способ свести теорию всего к четырём уравнениям. 67. С позиций профессионалов, формально, полученная система уравнений достаточно проста, однако в процессе её применения открывался всё больший и больший их внутренний смысл.

143

68. Генрих Герц, которому выпала историческая роль доказательства спра-ведливости уравнений в одной из своих публикаций записал: «Нельзя изучать эту удивительную теорию, не испытывая по временам такого чувства, будто математические формулы живут собственной жизнью, обладают собствен-ным разумом – кажется, что эти формулы умнее нас, умнее даже самого ав-тора, как будто они дают нам больше, чем в своё время в них было заложено». 68. Работая в команде Гельмгольца, Герц имел все возможности проявить себя. К великому сожалению, судьба определила Герцу светлую голову и ни-кудышнее здоровье. Он родился, как в прочем и многие гении (Ньютон, Кеп-лер, Декарт и др.) очень слабым. Врачи без оптимизма оценивали его дальней-шие перспективы пребывания на этом Свете. Болезни буквально преследовали Герца от самого рождения и до безвременной кончины в возрасте всего 37 лет. 68. Чтобы окончательно убедить себя в невозможности распространяться какой бы то ни было субстанции в пустоте, Гельмгольц поручает Генриху Гер-цу спланировать и провести серию экспериментов. Начинающему двадцати-летнему учёному с ещё не окрепшими научными взглядами и представлениями была поручена миссия экспериментального опровержения юного выскочки. 69. Авторитет Гельмгольца был настолько велик, что у Герца по началу и в мыслях даже не было объективно во всём разобраться. Однако, чем больше Герц ставил эксперименты, тем радикальнее опровергалась теория дальнодей-ствия и находила подтверждение там, где совпадала с представлениями англи-чанина. 70. А признавать универсальность максвелловской теории ой как не хоте-лось. Во-первых, потому что теория родом из Англии, которая, как известно для немцев совсем даже не указ. Во-вторых, если признать правоту Максвелла, то нужно было, мягко говоря, переоценить значимость великих немецких элек-тродинамиков, таких как Нейман, Вебер, сам Геймгольц и др. 71. Высказывание Герца о «самостоятельной жизни уравнений» начали под-тверждаться сразу после первых попыток их применения. О самостоятельности уравнений говорили немногие учёные, в основном их поминали совсем недоб-рыми словами, ввиду непонимания многих, связанных с ними нюансов. Один из основных нюансов, который был особо неудобоварим авторитетами, был связан с наличием в уравнениях неких «загадочных констант» с неясным физи-ческим смыслом. 72. Беспокойство классиков было оправданным. Дело в том, что появление в уравнениях физики новых постоянных величин, как правило, носило револю-ционно-фундаментальный характер. Так произошло и на этот раз, константа оказалась более чем фундаментальной. 73. Выяснилось, что в уравнениях «зашифрована» скорость света, кото-рая к моменту появления уравнений была уже измерена экспериментально. Де-ло в том, что комбинация достаточно хорошо известных постоянных величин, входящих в систему уравнений

см1099874109,2

1056,1210911 8

71200

⋅≅⋅⋅⋅

≅με −− ,

совпала с высокой степенью точности с измеренным значением скорости света. Совпадение было настолько разительным, что его трудно было отнести к слу-чайному, если даже очень сильно захотеть. 74. До этого даже мысли ни у кого из учёных не возникало, что световые волны имеют какое-то отношение к электродинамике. Оптика, хоть и волновая,

144

никак не связывалась с электромагнитными забавами Максвелла Герца и Хеви-сайда. 75. Проведя анализ уравнений с позиций закона сохранения энергии, Мак-свелл пришёл к совершенно фантастическому по тем временам выводу. Урав-нения не удовлетворяли закону сохранения энергии. 76. Процесс преобразования переменного электрического поля в магнитное поле должен сопровождаться образованием волн, которые и уносят часть энер-гии, первоначально запасённой в рассматриваемом контуре. 77. Мало того, по Максвеллу, для распространения этих волновых процес-сов совершенно не требовалась среда, они могли путешествовать в пустоте. 78. Сейчас можно только представить, как эта идея подействовала на учё-ный мир, полагавший, кстати, не без оснований, что распространения волны обязательно должно быть связано с теми или иными деформациями среды. В этом плане уравнения Максвелла были просто опасны для всего, что было на-писано по электродинамике до того, так как они не оставляли камня на камне в электродинамических замках, построенных многими поколениями талантли-вых учёных. 79. Но очевидно именно в этом и состоит суть прогресса, когда на смену, казалось бы, безупречным причёсанным временем теориям, приходят, кажу-щиеся по началу несуразными, новые воззрения и напористо занимают своё место под Солнцем. Так случилось и с системой уравнений Максвелла. 80. Максвелл, по остроумному выражению Роберта Милликена: «…Облек плебейски обнажённые представления Фарадея в аристократические одежды математики». 81. Два человека, следуя идеям и принципам Максвелла, после его смерти пытались разработать такую же всеобъемлющую теорию гравитационного по-ля. Этими людьми были Хевисайд (1850 − 1920 гг.) и Эйнштейн (1979 − 1955 гг.), они пытались объединить электромагнетизм и гравитацию в виде единой теории поля. 82. Как известно, Эйнштейну это не удалось. По отношению к загадочному и малоизвестному широким массам Хевисайду такого, с полной уверенностью, сказать нельзя. 83. После его смерти в 1925 г. рукописи, посвящённые этой задаче, были таинственным образом похищены и не обнаружены до настоящего времени. 84. Но, в оставшихся неопубликованных рукописях, была найдена зна-менитая формула E = mc2, которая была записана за 15 лет до Эйнштей-на!? Значит, размышлял-таки Хевисайд о возможности непосредственного пре-образования массы в энергию, о взаимосвязи инертных и электромагнитных свойств Мира в материальном и полевом состоянии. Очень странная история, однако! 85. Из уравнений Максвелла − Герца − Хевисайда, в частности следовало, что всякая частица, движущаяся с ускорением должна излучать электромаг-нитные волны. Это обстоятельство, в частности, доставило много хлопот при создании первых моделей атомов. Дело в том, что планетарная модель атома Резерфорда представляла электроны, вращающиеся вокруг ядра по круговым орбитам. Любое вращательное движение является ускоренным, поэтому элек-троны должны были излучать электромагнитные волны, теряя при этом энер-гию, что в конце концов, должно было привести к падению электрона на ядро.

145

А15. Где находится изображение светящейся точки S, создаваемое тонкой собирающей линзой с фокусным расстоянием F?

Решение

А16. Пройдя некоторую оптическую систему, параллельный пучок света поворачивается ровно на 900. Оптическая система представляет собой: 1. Собирающую линзу; 2. Рассеивающую линзу; 3. Плоское зеркало; 4. Матовую пластинку?

Решение А17. Определить число протонов и нейтронов в самом распространённом изотопе бора В11

5 . Решение

1. Число протонов ядра рано его зарядовому числу Z:

;5ZNp == 2. Число нейтронов определяется в виде разности массового и зарядового чисел:

;6511ZANn =−=−= А18. β-излучение представляет собой поток:

1. Ядер гелия; 2. Протонов; 3. Фотонов; 4. Электронов?

146

Решение 1. Ядерная реакция β-распада:

;eYX 01

A1Z

AZ −+ +→

А19. Ядро изотопа тория Th224

90 претерпевает три последовательных α-распада. В результате получится ядро:

1. Полония ;Ро21284

2. Кюрия Cm;24686

3. Платины ;Pt19678

4. Урана ?U23692

Решение 1. Ядерная реакция α-распада:

;HeYX 42

4A2Z

AZ +→ −

− следовательно, за три акта распада дочернее ядро будет иметь:

( ) ( ) Po;Y;21234224A;843290Z 21284

21284YY ≡⇒=⋅−==⋅−=

А20. Необходимо экспериментально обнаружить зависимость периода ко-лебаний пружинного маятника от жёсткости пружины. Какую пару маятников нужно использовать для этой цели?

Решение 1. Период колебаний пружинного маятника:

,km2T π=

т.е. необходимо использовать маятники с одинаковой массой грузов и пружи-нами различной жёсткости, для этих целей подходит пара маятников В.

А21. Приведены результаты измерения давления постоянной массы разреженного газа при изменении температуры, которая из-меряется с погрешностью 10KT ±=Δ , давле-ние измеряется с точностью Па10p 4±=Δ . Газ занимает объём 5 л. Определить количество вещества.

Решение

;моль4,06003,8

105104RTpVRT;pV

35

≈⋅⋅⋅⋅

≈=νν=−

147

Часть 2 В1. Брусок скользит по наклонной плоскости вниз без трения. Что происхо-дит при этом с его скоростью, потенциальной энергией, силой реакции наклон-ной плоскости:

1. Увеличивается; 2. Уменьшается; 3. Не изменяется?

Решение 1. Скорость при спуске увеличивается т.к. происходит преобразование по-тенциальной энергии в кинетическую энергию:

gh2v;2

mvmgh2

=⇒= ;

2. Потенциальная энергия убывает т.к. уменьшается по мере спуска высота подъёма тела над горизонтом:

mgh;П = 3. Нормальная реакция связи при угле наклона плоскости α:

,mgsinN α= т.е. сила реакции наклонной плоскости в процессе спуска не изменяется.

Скорость бруска Потенциальная энергия Реакция плоскости 1 2 3

В2. Одноатомный идеальный газ неизвестной массы в изотермическом процессе совершает работу A > 0. Как изменяются при этом объём, давление и внутренняя энергия:

4. Увеличивается; 5. Уменьшается; 6. Не изменяется?

Решение 1. Уравнения работы, совершаемой при изотермическом процессе, позво-ляют установить характер изменения давления и объёма газа:

;pplnRTA;

VVlnRTAconst;pV

2

1)constT(

1

2const)(T ν=ν== ==

если A > 0, то V2 > V1, p1 > p2. 2. Изменение внутренней энергии:

;0U;0T;TR2iU =Δ⇒=ΔΔν=Δ

Объём газа Давление газа Внутренняя энергия

1 2 3

148

В3. Как меняются массовое и зарядовое число ядра при β − распаде. Установить соответствие между физическими величинами и характером из изменения.

Решение

1. Процесс β - распада описывается уравнением:

;eYX 01

A1Z

AZ −+ +→

А Б 4 3

В4. Резистор сопротивление R подключён к источнику тока с внутренним сопротивлением r. Сила тока в цепи I. Чему равны ЭДС источника и напряже-ние на его клеммах? Установить соответствие между физическими величинами и формулами, по которым их можно рассчитать.

Решение

1. Закон Ома для замкнутой цепи:

( ) ;IrU;UUrRI;rR

I rrR =+=ε=+=ε⇒+ε

=

А Б 3 2

А22. К грузу, скреплённому с двумя пружинами, приложена постоянная горизонтальная сила F

r.

Трение отсутствует. Система покоится. Жёсткости пружин: k1 = 300 Н/м, k2 = 600 Н/м. Удлинение пер-вой пружины Δ 1l = 3 см. Найти модуль действую-

щей силы.

149

Решение 1. В данном случае при растяжении или сжатии пружин на разные величи-ны х1 и х2, сила приложенная к концам пружин будет одинаковой, т.е. общая жёсткость пружин определится следующим образом

21 xxx += , 2

21

12211 kFx,

kFx,kF,kF ==Δ=Δ= ll ,

;H9kkF 211 =Δ=Δ= ll А23. Из стеклянного сосуда стали выпускать сжатый воздух, одновременно охлаждая сосуд. При этом температура воздуха упала вдвое, а его давление уменьшилось в 3 раза. Во сколько раз ζ уменьшилась масса воздуха в сосуде?

Решение 1. На основании уравнений состояния газа в сосуде:

;5,123

mm

;2TRmV

3p

;RTmpV

1

2

2

1

===ζ⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

μ=

μ=

А24. Задан график зависимости силы тока в LC-контуре от времени, индуктивность контура L = 0,2 Гн. Найти максимальное значение энер-гии электрического поля конденсатора.

Решение

1. Закон сохранения энергии идеального неизлучающего LC-контура:

( ) ;Дж105,22

1052,0W

;мА5i;2

Li2

CU;WW

623

L

m

2m

2m

BE

−−

⋅≈⋅⋅

=

≈==

А25. Приведены значения максимальной энергии фотоэлектронов при об-лучении фотокатода монохроматическим светом с длиной волны λ

λ λ0 0,5λ0 Kmax K0 4K0

Чему равна работа выхода фотоэлектронов с поверхности металла?

Решение 1. Уравнения внешнего фотоэффекта:

;K2A;AK4hc2

;AKhc

0

00

00 =⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

+=λ

+=λ

150

С1. Лёгкий электрически нейтральный ци-линдр из алюминиевой фольги подвешен к штативу на тонкой диэлектрической нити. Что произойдёт с цилиндром, когда вблизи него окажется отрицательно заряженный шар. Дли-на нити не позволяет коснуться цилиндру по-верхности шара.

Решение 1. При расположении вблизи заряженного

шара произойдёт электризация через влияние за счёт индуцирования (наведе-ния) электрического заряда полем. 2. Если к нейтральному проводнику, (в данном случае, к алюминиевому ци-линдру) поднести заряженное тело (без прямого контакта) то свободные носи-тели заряда нейтрального проводника придут под действием поля в движение и в одном конце тела появится избыток электронов, а в другом их недостаток. 3. Носителями заряда в данном случае являются свободные электроны, спо-собные перемещаться внутри цилиндра. В правой половине цилиндра будет иметь место избыток электронов, а слева их концентрация уменьшится, правая сторона цилиндра приобретёт положительный заряд. 4. Далее, в соответствии с законом Кулона цилиндр станет притягиваться к шару, нить отклонится от вертикали на некоторый угол. Со временем этот угол будет уменьшаться, за счёт потели заряда шаром и цилиндром вследствие кон-такта поверхности заряженных тел с мельчайшими капельками воды, всегда присутствующими в воздухе.

С2. Два шарика, массы которых отличаются в 3 раза, висят, соприкасаясь, на вертикальных нитях. Лёгкий шарик отклоняют на угол 900 и отпускают из состояния покоя. Каким будет отношение кинетиче-ских энергий тяжёлого и лёгкого шариков сразу после их абсолютно упругого удара?

Решение 1. Шарик массой m в начальном положении обла-дает исключительно потенциальной энергией, кото-

рая к моменту соударения полностью преобразуется в кинетическую энергию. Пусть в этот момент времени скорость малого шара будет v. 2. Закон сохранения импульса позволяет определить скорость шаров сразу после упругого взаимодействия:

( ) ;4v

m4mvu;um3mmv ==+=

3. Кинетическая энергия шаров сразу после упругого столкновения:

;3KK;

2mu3K;

2muK

1

22

2

2

1 =⇒==

С3. Одноатомный идеальный газ совершает циклический процесс, задан-ный графически в p − V координатах. За один цикл от нагревателя газ получа-ет количество теплоты QH = 8 кДж. Чему равна работа газа за цикл, ели масса газа в ходе процесса не изменяется?

151

Решение 1. Выразим температуры Т1 и Т2, используя уравне-ния состояния:

;RVp2T;RTVp2 00

1100 ν=⇒ν=

;RVp6T;RTV3p2 00

2200 ν=⇒ν=

2. Изменение внутренней энергии газа на участке 3-1:

( ) ( ) ;Vh6Vp2Vp623TTR

23U 00000012 =−=−ν=Δ

3. Работа, совершаемая газом при расширении численно равна площади треугольника 1-2-3:

;Vp2V2pA 00

00* ==

4. Работа, затраченная на сжатие газа на участке 2-3 численно рана площади соответствующей трапеции V0-3-2-3V0:

;Vp3Vp2VpA 00000032 =+=− 5. КПД цикла:

;1,0Vp10

Vp00

00 ≈=η

5. Работа газа за цикл: ;Дж800QA* ≈η=

С4. Электрическая цепь состоит из источника тока и реостата. ЭДС источ-ника ε = 6 В, внутреннее сопротивление r = 2 Ом. Сопротивление реостата можно изменять в пределах от 1 Ом до 5 Ом. Чему равна максимальная мощ-ность тока, выделяемая на реостате?

Решение 1. Рассмотрим источник тока с заданной величиной ЭДС ε и внутренним сопротивлением r нагруженный на внешнее сопротивление R. На сопротивле-нии будет выделяться активная электрическая мощность Nа

( )222

a rRRRIUIN+

ε=== .

2. Для выяснения величины максимально возможной активной мощности Na(max) будем изменять величину внешнего сопро-тивления до величины Rm. Математически это оз-начает определение экстремума функции Na =f(R) путём её дифференцирования по сопротивлению и приравнивания производной к нулю, стандартная процедура нахождения экстремума функции

( )0

RrRr

dRdN

4m

2m

22a =

+−

ε= .

3. Так как R и r всегда положительные величины, то условие выполняется при r = Rm, в условиях данной задачи R = 2 Ом

.Переменная нагрузка

152

4. Мощность, выделяемая во внешней цепи, достигает возможно большего значения при равенстве внутреннего сопротивления источника тока и внешне-го сопротивления. Сила тока в этом режиме составит:

r2I ε= .

5. Максимально возможная сила тока в цепи будет иметь место при R = 0, т.е. в режиме короткого замыкания клемм источника тока:

rImax

ε= .

6. Наибольшее значение мощности при этом составит:

( ) r4N

2

maxaε

= .

7. Как видно из полученных выше уравнений часть мощности источника рассеивается на его внутреннем сопротивлении. Естественно, что при r = 0 (идеальный источник тока) такой ситуации не возникает. Для реальных же ис-точников целесообразно ввести, исходя из «не производственных» потерь, по-нятие коэффициента полезного действия. Если мощность, рассеиваемую на са-мом источнике определить как:

2i rIN = ,

то полная мощность будет равна IrIRIN 22 ε=+= .

8. Коэффициент полезного действия источника тока при такой постановке вопроса определится традиционно

ε==η

UN

NA .

9. Очевидно, что при 0r ≠ КПД источника будет всегда меньше единицы. Коэффициент полезного действия источника тока зависит от величины внут-реннего и внешнего сопротивлений, его величину можно записать следующим образом

( ) rRR

IrRRI

+=

+=η .

10.Более строгий вывод уравнения делается на основе анализа энергетиче-ских соотношений. Рассмотрим условия работы источника тока, замкнутого на внешнее сопротивление. Ток в цепи определяется законом Ома,

RrI

+ε

= ,

умножим обе части этого уравнения на ε

rRI

2

+ε

=ε .

11. Мощность, выделяющаяся на нагрузке, считается полезной

( )Вт5,4

16236

rRRRIN 2

22

A ≈⋅

=+ε

== .

С5. Медное кольцо, внешним диаметром D = 20 см представляющим собой проводник диаметром d = 2 мм, расположено в однородном магнитном поле, причём плоскость кольца перпендикулярна направлению вектора индукции. В кольце возникает индукционный ток слой ii = 10 А. Удельное сопротивление

153

меди ρCu = 1,72⋅10 − 8 Ом⋅м. Определить модуль скорости изменения магнитной индукции.

Решение 1. Закон электромагнитной индукции Майкла Фарадея:

;d

D4s

R;SRi

SdtdB;S

dtdB

dtd

2CuCuiiB

i ππρ

=ρ

==ε

=⇒=Φ

=εl

;сТл1,1

1042,014,31072,11016

Ddi16

Dd4D4i

dtdB

6

8

2Cui

22Cui ≈

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=π

ρ=

π⋅ρ

= −

−

С6. Уровни энергии электрона в атоме водорода задаются формулой:

,.....3,2,1nгде,эВn

6,13E 2n =−=

При переходе атома из состояния Е2 в состояние Е1 атом испускает фотон. Попав на поверхность фотокатода, фотон выбивает фотоэлектрон. Длина вол-ны света, соответствующая красной границе фотоэффекта для материала по-верхности фотокатода λКр =300 нм. Чему равна максимальная возможная ско-рость фотоэлектрона?

Решение 1. Энергия излучённого атомом фотона:

;Дж10632,1эВ2,102

6,131

6,13 1822f

−⋅≈=−=ε

2. Работа выхода электрона из материала фотокатода:

)эВ5(Дж106,6А;Аhc 19

Кр

≈⋅≈=λ

− ;

3. Максимальное значение кинетической энергии фотоэлектрона: ;Дж1072,9AK;AK 19

fmaxmaxf−⋅=−ε=+=ε

4. Максимально возможная скорость фотоэлектрона:

;см1046,1

1011,91072,92

mK2v;

2vmK 6

31

19

e

maxmax

2maxe

max ⋅≈⋅⋅⋅

≈== −

−

154

Вариант 10

Часть 1

А1. Представлен график зависимости скоро-сти автомобиля v от времени t. Определить путь, пройденный автомобилем в интервале времени от 0 до 30 с.

Решение

1. Путь, пройденный в течение первых τ1 = 20 с при равномерном движении автомобиля:

м2002010vx 11 =⋅=τ= ; 2. В течение последующих τ2 = 10 с тело движется с замедлением, при этом модуль ускорения равен:

;м50210011010

2avx;

см1

tva

2

2122 =⋅

−⋅=τ

−τ==ΔΔ

=r

3. Суммарный пройденный автомобилем путь: ;м250xxS 21 =+=

А2. Мяч, неподвижно лежащий на полу движущегося относительно Земли вагона поезда, покатился назад против направления движения. Это произошло в результате того, что скорость поезда относительно Земли: 1. Увеличилась; 2. Уменьшилась; 3.Не изменилась; 4. Изменилась по направлению?

Решение 1. Мяч покатился, потому что система отсчёта перестала быть инерциаль-ной, она приобрела ускорение, при этом возникла фиктивная сила инерции, на-правленная в сторону, противоположную ускорению поезда. Другими словами, поезд начал увеличивать скорость.

А3. При исследовании зависимости мо-дуля силы трения скольжения FТр стального бруска по горизонтальной поверхности стола от его массы m получена зависимость FТр =f(m). Определить величину коэффициента трения.

Решение 1. Ввиду прямолинейности зависимости, для определения коэффициента трения μ по-

155

дойдёт любая точка графика, из удобства вычислений выберем m = 0,5 кг

;1,0105,05,0

mgF

;mgNF ТрТр ≈

⋅≈=μ⇒μ=μ=

А4. Два маленьких шарика находятся на большом расстоянии l друг от друга. На каком расстоянии находятся шарики друг от друга с вдвое большими массами, если величина сил их гравитационного взаимодействия такая же как и в первом случае?

Решение 1. В соответствии с законом гравитационного взаимодействия Ньютона:

;24;mm4GF

;mmGF

121x

2x

21 lll

l

l==⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⋅=

⋅=

А5. Легковой автомобиль и грузовик движутся по мосту, причём масса лег-кового автомобиля m1 = 1000 кг. Какова масса грузовика m2, если отношение потенциальной энергии грузовика и легкового автомобиля относительно уров-ня воды П2/П1 = 2,5?

Решение

;кг2500m;5,2mm

;ghm;ghmП

21

2

22

11 ==⇒⎭⎬⎫

=Π=

А6. Частота колебаний струны ν = 500 Гц. Скорость звука в воздухе с ≈ 340 м/с. Чему равна длина излучаемой струной звуковой волны?

Решение

;м68,0c;c ≈ν

=λ⇒νλ=

А7. При понижении температуры газа в запаянном сосуде давление газа уменьшается. Это уменьшение давления объясняется тем, что: 1. Уменьшается объём сосуда за счёт остывания его стенок; 2. Уменьшается энергия теплового движения молекул газа; 3. Уменьшаются размеры молекул газа при его охлаждении; 4. Уменьшается энергия взаимодействия молекул друг с другом?

Решение 1. Газ, запертый в сосуд, оказывает давление на его стенки. Это известно всем и давно. А почему это происходит и каков механизм возникновения этого явления не вполне очевидно. Много путаницы в понимание вносят наши ощу-щения. Первое, что вызывает противоречивые впечатления, это ощущения ат-мосферного давления, вернее отсутствие его ощущений. Действительно на по-верхности моря давление атмосферного столба воздуха составляет примерно р0 ≅ 105 Па, это значит, что на каждый квадратный метр поверхности вне зависи-мости от её ориентации действует сила F ≅ 105 Н, а на площадку s = 1 см2, со-

156

ответственно F ≅ 10 Н. Это много или мало? Достаточно, чтобы массе в 1 кг сообщить ускорение а ≅ 10 м/с2. Почему же в таком случае мы не чувствуем этого давления? Это не совсем объективное ощущение. Наш организм начина-ет болезненно ощущать атмосферное давление при взлёте и посадке самолёта, например, особенно у людей с насморком. Это происходит оттого, что давле-ние по обе стороны барабанной перепонки неодинаково, вследствие чего она деформируется, провоцируя дискомфортные ощущения. В рабочем режиме но-соглотки давление снаружи и внутри уха одинаково. 2. Как известно человек, в основном, информацию об окружающем мире получает по трём независимым каналам. Мы видим, слышим и обоняем. По-следние два канала напрямую связаны с предметом настоящего рассмотрения, с молекулярной физикой. Наш слух устроен так, что волнообразные движения воздуха приводят в колебательное движение барабанную перепонку, которая подобно мембране микрофона является приёмником волн акустического диа-пазона 20 Гц − 20 кГц (в случае идеального слуха). Чувствительность барабан-ной перепонки такова, что наши органы слуха не воспринимают отдельных ударов молекул, которые путешествуют прямолинейно со скоростями, соизме-римыми со скоростями пуль из современного огнестрельного оружия. С пуля-ми молекулы можно сравнивать только по скорости, то что касается массы, то тут они не совпадают примерно на 23 порядка, если принять массу пули равной 10 − 3 кг, а массу молекулы − 10 − 26 кг. Импульс, передаваемый молекулой, бу-дет на 23 порядка меньше, чем у пули, отсюда и столь разные эффекты. Это как при встрече комара с лобовым стеклом мчащейся автомашины. Эти два объек-та получают равные импульсы, но с сильно разными последствиями для дуг друга. Если бы наш слух, не к ночи будет сказано, стал бы «слышать» удары молекул воздуха о барабанную перепонку, то мы бы ощутили такой же звук как из телевизора, когда на него не поступает сигнала. Мы бы услышали, так называемый белый шум, состоящий из множества гармонических колебаний различных частот и амплитуд. Мы бы начали «слышать» атмосферное давле-ние. 3. Что же такое давление газа? Почему оно возникает? Какие параметры микросостояния определяют его величину? На все это вопросы на количест-венной основе отвечает основное уравнение кинетической теории. 4. Уравнение называется основным, потому что с его помощью можно по-лучить все газовые законы, установленные вначале экспериментально, и найти теоретически обоснованную количественную зависимость кинетической энер-гии молекул от температуры. Наконец Разобраться с физическим смыслом дав-ления, одного из основных макропарамет-ров, который, как и все прочие, определяет-ся состоянием вещества на микроуровне. 5. Рассмотрим сферический объём иде-ального газа некоторого радиуса R, содер-жащий N* молекул идеального газа. Со-стояние газа сопровождается соударениями молекул друг с другом и со стенками. Выде-лим мысленно из всего ансамбля хаотично движущихся молекул одну и предположит, что за рассматриваемый промежуток време-ни «меченная» молекула перемещается по траектории АВС, причём в точке В молеку-

Взаимодействие молекулы со стенкой

157

ла взаимодействует со стенкой. После отскока молекула перемещается по хор-де ВС, при этом уравнение второго закона Ньютона при абсолютно упругом ударе запишется как:

ϕ=τ= cosvm2FP 0kk , 6. Таким образом от момента удара молекулы о стенку в точке В до сле-дующего аналогичного события в точке С она проходит прямолинейный путь

ϕ= cosR2s . 7. Рассматриваемая ситуация может наблюдаться только в достаточно раз-реженном газе при относительно малой величине N*. Определим далее частоту столкновений молекулы со стенками, которая будет пропорциональна скорости и обратно пропорциональна проходимому расстоянию

ϕ=ν

cosR2v .

8. В единицу времени рассматриваемая молекула будет передавать стенке в течении ν столкновений импульс

Rvm

cosR2vcosvm2cosvm2P

20

00k =ϕ

ϕ=ν⋅ϕ= .

Всеми N* молекулами, находящимися в выделенном объёме сообщаемый в единицу времени импульс определится в виде суммы

∑ ∑=

=

=

=

==*Nk

1k

*Nk

1k

20k vm

R1PP .

Давление газа определится как сила, делённая на площадь

∑=

=τ==

*Nk

1k

2mvRs1

sFp ,

для единичного промежутка времени, где m − масса всего газа

2

*Nk

1k

2

R4

mv

R1p

π=

∑=

= .

9. Выделим в последнем уравнении величину сферического объёма, для че-го поделим числитель и знаменатель на 3

V

mv

31

R34

mv31

p

*Nk

1k

2

3

*Nk

1k

2 ∑∑=

=

=

= =π

= .

10. Умножим обе части уравнения на объём V

∑=

=

=*Nk

1k

2mv31pV .

11. Чтобы в правой части уравнения получить уравнение кинетической энергии, умножим и поделим на 2

∑∑=

=

=

=

ε==*Nk

1kk

*Nk

1k

2

32

2mv

32pV ,

где εk − кинетическая энергия «меченой» молекулы. Если все N* молекул газа имеют одинаковые массы, то в уравнении суммирование будет производиться только по скоростям. Умножим и поделим правую часть на N*с целью образо-вания средней квадратичной скорости с

158

2*

*Nk

1kk

mс*N31

N

v*mN

31pV ==

∑=

= ,

где с − средняя квадратичная скорость ансамбля N* молекул, определяемая уравнением

*N

vc

*Nk

1k

2k∑

=

== ,

12. Предпоследнее уравнение называется основным уравнением кинетиче-ской теории газов: произведение давления идеального газа на его объём равно одной третьей произведения числа молекул на массу молекулы и среднюю квадратичную скорость. 13. Основному уравнению кинетической теории газов можно придать более энергетический вид. Вводя обозначение:

**Nk

1kk Ε=ε∑

=

=

,

получим окончательно

*E32pV = . ⇒ >ε<>=ε<= n

32

V*N

32p ,

таким образом, уменьшение давления при понижении температуры объясняет-ся уменьшением значения средней кинетической энергии поступательного дви-жения молекул. А8. В цилиндрическом сосуде, объём которого можно изменять при помощи поршня, находится идеальный газ при давлении р1 = 5⋅105 Па с температурой Т = 300 К. Как надо изменить объём газа, не изменяя его температуры, чтобы давление уменьшилось до р2 = 2,5⋅105 Па?

Решение 1. Процесс изменения состояния газа протекает по изотермической схеме, т.е.

;2pp

VV;VpVp

2

1

1

22211 ==⇒=

А9. В каком случае внутренняя энергия воды не изменяется: 1. При переходе из жидкого состояния в твёрдое; 2. При увеличении скорости сосуда; 3. При увеличении количества воды в сосуде; 4. При сжатии воды в сосуде?

Решение 1. Внутренняя энергия складывается в основном из кинетической энергии движения частиц (атомов, молекул, ионов, электронов) и энергии взаимодейст-вия между ними (внутри- и межмолекулярной). 2. На величину внутренней энергии влияет изменение внутреннего состоя-ния системы под действием внешнего поля; во внутреннюю энергию. входит, в

159

частности, энергия, связанная с поляризацией диэлектрика во внеш. электриче-ских полях и намагничивания парамагнетика во внешнем магнитном поле. 3. Кинетическая энергия системы как целого и потенциальная энергия, обу-словленная пространственным расположением системы, во внутреннюю энер-гию не включаются, поэтому верным является утверждение 2. А10. Газ в тепловом двигателе получил количество теплоты QH = 300 Дж и совершил работу А = 36 Дж. Как изменилась внутренняя энергия газа?

Решение 1. В каждый момент времени состояние тела определяется всем многообра-зием его свойств, причём, изменение одного из них, как правило, приводит к изменению других. Построение дальнейшей термодинамической модели пове-дения вещества осуществим на примере всё того же идеального газа, для кото-рого всё многообразие параметров состояния можно свести к трём, т.е.

( ) 0T,V,pf = , все остальные свойства, включая электрические, магнитные, оптические и др. будут далее полагаться неизменными. 2. Геометрически уравнение состоя-ния представляет собой некоторую по-верхность, отнесённую к трём взаимно перпендикулярным осям координат {p,V,T}. Каждое состояние вещества на этой термодинамической поверхно-сти отображается некоторой точкой, например a, которая называется фигу-ративной точкой. При изменения со-стояния точка перемещается по термо-динамической поверхности, например в положение b, описывая кривую ab. Про-екции этой кривой на плоскости позво-ляют получить соответствующие изохоры (p,T), (V,T) − изобары и (p,V) − изо-термы. 3. Рассмотрим pV − диаграмму не-которого термодинамического процесса вследствие которого объект переводит-ся из начального состояния 1 в конеч-ное состояние 2. состояние 1 в соответ-ствие с уравнением (4.8) характеризу-ется набором из трёх параметров: дав-ления р, объёма V и температуры Т. Кроме того, рассматриваемая масса газа в этом состоянии будет обладать внут-ренней энергией U1. 4. Предположим далее, что газ по-лучил возможность расширяться, совершая при этом работу. Почему при рас-ширении газа будет совершаться механическая работа? Это можно показать, воспользовавшись традиционными представлениями о работе, заимствованны-ми из классической механики. Рассмотрим цилиндр с термоизолированными

. Термодинамическая поверхность

pV − диаграмма газа

160

стенками (адиабатная оболочка), заполненный идеальным газом и закрытый невесомым поршнем. Предположим, что первоначально давление в ограничен-ном объёме выше окружающего и равно р. Если поршень отпустить и допус-тить его перемещения без трения, то газ начнёт расширяться, причём на по-верхность поршня будет действовать сила

pdsF = . Элементарная работа этой силы на перемещении поршня dx будет равна

dVpdxdspFdxA ===δ . 5. Вычислим далее работу при переводе исследуемого объёма газа из на-чального положения 1 в конечное положение 2, для чего кривую p = f(V) разо-бьём на большое число отрезков и на каждом из них примерим уравнение эле-ментарной работы. При суммировании элементарных работ, мы придём к сле-дующему выражению

∫∑∑ ==δ==

=∞→

=

=→

2

1

V

V

nk

1kkk

nk

1kk21 pdVpdVlimAA .

6. При увеличении объёма газа от V1 до V2 совершается работа А1→2. По-скольку закон сохранения энергии никто не отменял и для энного случая, то совершение работы должно сопровождаться уменьшением внутренней энергии газа, больше энергии взяться неоткуда. На этом основании работу можно со-поставить с изменением внутренней энергии

( ) UUUUUA 211221 Δ=−=−−=→ . 7. Следует оговориться, что в принципе работа может совершаться не толь-ко за счет уменьшения внутренней энергии газа. Если оболочку, ограничиваю-щую рассматриваемый объём лишить теплоизоляционных свойств и нагревать, то работа расширения будет совершаться частично или полностью за счёт энергии внешнего источника.

8. Ещё один вариант. Закрепим поршень и подогреем газ от внеш-него источника тепла. Объём в этом случае меняться не будет, следова-тельно работа не совершается. В этом случае вся энергия внешнего источника станет трансформиро-ваться во внутреннюю энергию га-за. 9. На основании проведенных

рассуждений закон сохранения энергии в его термодинамическом варианте можно математически выразить следующим уравнением

AkdUQ mδ+=δ , которое в системе СИ, где количество тепла Q, работа A, внутренняя энергия U измеряются в джоулях, уравнение первого начала термодинамики принимает вид

;AdUQ δ+=δ . 10. При сообщении газу количества тепла δQ и совершении над ним внеш-ними силами работы δА*, возможно и такое, уравнение первого начала пере-писывается следующим образом

dU*AQ =δ+δ .

Работа газа при расширении

161

Приведенные выше уравнения представляют собой дифференциальную форму записи второго начала термодинамики. Интегральная форма первого начала термодинамики позволяет определить увеличение внутренней энергии газа:

;Дж264AQU;pdVUUQ2

1

V

V12 +=−=Δ⇒+−= ∫

А11. Дано изображение трёх пар одинаковых шариков, заряды которых равны по модулю. Ша-рики подвешены на тонких нитях. В каких случа-ях заряд другого шарика положителен?

Решение

1. В 1785 г. Кулон сформулировал закон взаимодействия точечных зарядов: Сила взаимодействия F двух точечных зарядов в вакууме или сухом воздухе направлена вдоль прямой, соединяющей эти заряды, пропорциональна произ-ведению модулей этих зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между взаимодействующими зарядами

22,1

21

rqqkF = ,

где k − численный размерный коэффи-циент, величина которого зависит от системы выбранных единиц, так, напри-мер в системе СИ

2

29

0 КлмН109

41k ⋅

⋅≅πεε

= ,

здесь, ε − диэлектрическая проницаемость среды, характеризующая ослабления электрического поля вследствие рассеяние энергии в структурных элементах среды, ε0 ≅ 8,85⋅10 − 12 Кл2/Н⋅м2 − электрическая постоянная, которая не имеет физического смысла и предназначена для совмещения электрических единиц с основными единицами интернациональной системы. 2. Таким образом, закон Кулона для вакуума или сухого воздуха в системе СИ представится в векторной форме следующим образом

2,132,1

21

0

rr

qq4

1F r

πεε= .

3. Было установлено, что разноимённые заряды притягиваются, а одно-имённые − отталкиваются, т.о. положительным может быть только заряд в слу-чае Б. А12. По проводнику течёт постоянный электриче-ский ток. Величина заряда протекающего по провод-нику линейно зависит от времени. Определить силу тока в проводнике.

Взаимодействие точечных зарядов

162

Решение 1. Проводники являются таковыми по причине наличия в них большого числа носителей заряда, способных относительно легко перемещаться в преде-лах рассматриваемого образца. Металлы, как правило, являются хорошими проводниками тепла и электрического тока именно благодаря свободным элек-тронам.

2. Если металлический проводник по-местить в однородное электрическое поле напряжённостью E

r, то на каждый свобод-

ный электрон (e ≅ 1,6⋅10 − 19 Кл, me ≅ 1⋅10 − 30 кг), в классическом представлении, будет действовать элементарная сила Кулона. Как и всякий материальный объект, электрон начнёт двигаться в направлении, противо-положном направлению вектора напряжён-

ности поля (элементарный заряд электрона принято считать отрицательным). 3. Если бы в распоряжении исследователей был маленький человечек, то он бы обнаружил, что через сечение проводника S, за которым он приставлен на-блюдать, в одном направлении движутся электроны, что собственно и означает возникновение электрического тока.

4. Направлением тока условились считать направление движения положительных зарядов. Таким образом, электрический ток есть направ-ленное движение носителей зарядов. В металлах направление тока принимается противополож-ным движению электронов проводимости. Ли-нии, вдоль которых перемещаются носители за-

ряда, по аналогии с гидромеханикой называются линиями тока. Совокупность линий тока образует трубку тока, которая позволяет качественно и количест-венно охарактеризовать направленное движение носителей заряда. Движущие-ся в электрическом поле носители не пересекают поверхность трубки тока. По-верхность проводника, расположенного в диэлектрической среде представляет собой трубку тока.

5. Выделим в проводнике физически ма-лый объём, внутри которого направленно движутся со средней скоростью ur носители заряда. В металлах электроны, будучи сво-бодными частицами, в соответствие с зако-нами термодинамики находятся в состоянии непрерывного хаотического теплового дви-жения, причём средняя скорость >< v тепло-вого движения определяется как

e

B

mTk3v >=< ,

где kB ≅ 1,4⋅10 − 23 Дж/К − постоянная Больцмана, Т − абсолютная температура, me − масса электрона. В отличие от спонтанно направленной скорости теплово-го движения скорость под действием силы Кулона ur будет направленной, её

Направленное движение носителей

электрического заряда

Трубка тока

Элементарный объём проводника

163

называют средней дрейфовой скоростью. Пусть в рассматриваемом металличе-ском проводнике в единице его объёма содержится n электронов. Выделим да-лее элементарную площадку dS, перпендикулярную вектору дрейфовой скоро-сти, являющуюся основанием цилиндра с высотой udt. Все носители заряда, содержащиеся внутри этого цилиндра, через площадку dS за время dt перене-сут заряд

dtdSuendq ⋅⋅⋅⋅= . 6. Пронормируем уравнение относительно площади и времени

neujdSdtdq

== ,

где j − плотность тока, т.е. сила тока i = dq/dt, отнесённая к площади. Плот-ность тока величина векторная, что определяется направленными свойствами дрейфовой скорости

unej rr= .

7. Модуль плотности тока определяет величину заряда, переносимого элек-трическим полем в единицу времени через единицу площади. Направление вектора j

r совпадает с направлением дрейфовой скорости носителей заряда.

Если в процессе участвуют несколько типов носителей заряда, например поло-жительные и отрицательные ионы, то вектор плотности тока определяется в виде суммы

∑=

=

=ni

1iiii uenj rr.

8. Используя понятие плотности тока, заряд, переносимый через площадку dS можно определить следующим образом

dtdSjdq = , а «мгновенную» силу тока, как

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ == АсКл,

dtdqi ,

9. Применительно к данной задаче последнее уравнение ввиду линейной зависимости заряда от времени, можно переписать так6

∫ ∫ ≈≈ΔΔ

=⇒=2

1

2

1

t

t

q

q

;A428

tqI;dqidt

А13. По двум тонким прямым проводникам, параллель-ным друг другу, текут одинаковые тока силой I в одном на-правлении. Как будет направлен вектор магнитной индукции в точке D?

Решение

164

14. Колебательный контур состоит из катушки индуктивности и конденсато-ра. Контур генерирует гармонические колебания с периодом Т = 5 мкс. В на-чальный момент времени заряд конденсатора максимален qm = 4⋅10 − 6 Кл. Ка-ким станет заряд через время τ = 2,5 мкс?

Решение 1. Изменение заряда, судя по начально-му значению, протекает по закону косину-са:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

= tT2cosq)t(q m ;

2. В заданный момент времени τ = Т/2

;qq;qcosq2T

T2cosq)(q mmmm =−=π=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π

=τ τ

А15. Луч света падает на плоское зеркало. Угол падения α = 200. Чему ра-вен угол между падающим и отражённым лучом?

Решение 1. В соответствии с законом отражения света, угол падения равен углу отражения, поэтому, если на зеркало упал луч света под углом α = 200, то он отразится от по-верхности зеркала под таким же углом, в этом случае угол между падающим и от-ражённым лучом будет составлять двой-ной угол падения т.е. 2α = 400..

А16. Параллельный пучок монохроматического света падает на препятст-вие с узкой щелью. На экране за щелью кроме центральной светлой полосы наблюдается чередование светлых и тёмных полос. Данное явление связано с: 1. Поляризацией света; 2. Дифракцией света 3. Дисперсией света; 4. Преломлением света?

Решение

Дифракция света на щели

165

А17. Как нужно изменить длину световой волны, чтобы энергия фотона в световом пучке увеличилась в 4 раза?

Решение

;4;hc4

;hc

x

xf

f λ=λ⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

λ=ε

λ=ε

А18. Между источником радиоактивного излучения и детектором помещён свой картона толщиной d = 2 мм. Какое излучение α, β или γ может пройти че-рез картон?

Решение 1. β − излучение представляет собой по-ток электронов, ввиду малости массы элек-трона me ≅ 1⋅10 − 30 кг их проникающая спо-собность самая маленькая, задерживаются листом писчей бумаги. 2. α − излучение является потоком α − частиц, представляющих собой ядра гелия их масса много больше массы электронов, по-этому и проникающая способность выше. 3. γ − излучение представляет собой элек-тромагнитные волны с сверхмалыми длина-ми, порядка λ < 5·10 − 11 м, γ − излучение, являющееся потоком высокоэнерге-тичных фотонов, обладает огромной проникающей способностью. А19. Дан график зависимости числа не рас-павшихся ядер полония Po213

84 от времени. Ка-ков период полураспада этого изотопа?

Решение 1. Закон радиоактивного распада описыва-ется дифференциальным уравнением:

,NdtdN

λ−=

где N − число ядер, λ − постоянная распада данного изотопа. 2. Решение дифференциального уравнения:

,eN)t(N t0

λ−= где N0 − исходное число ядер изотопа. Таким образом, с течение времени число не распав-шихся ядер уменьшается с течением времени по экспоненциальному закону. 3. Время в течение которого распадается половина ядер изотопа полония Nx ≈ 2,5⋅1020

называется периодом полураспада, который в данном случае Т = 4 мкс.

Проникающая способность

166

А20. На фотографии приведены два термо-метра, используемые для определения относи-тельной влажности воздуха с помощью психо-метрической таблицы, влажность в которой ука-зана в процентах. Каковы будут показания правого термометра при влажности 68%?

Решение

tx ≈ 18 0C.

А21. Некто, не обременённый глубо-кими представлениями о физической сущности пространства, предположил, масса всех сплошных тел зависит исклю-чительно от объёма. Для проверки сво-его озарения были взяты бруски разного размера, выполненные из различных ма-териалов. Результаты были обобщены на координатной плоскости {V,m}. По-грешность измерения объёма и массы соответственно 1 см3, 1 г. Какой вывод

можно сделать по результатам измерений: 1. С учётом погрешности измерений результаты подтвердили предпо-ложение; 2. Условия эксперимента не соответствуют гипотезе; 3. Погрешности измерений не позволяют установить истинность; 4. Эксперимент не подтвердил гипотезу?

Решение 1. Гипотеза является абсурдной, потому что:

,Vm ρ= где ρ − плотность вещества, т.е. масса единицы объёма данного вещества. Из-мерения необходимо было проводить с брусками различного объёма, но вы-полненными из одного и того же вещества, например из дерева. В этом случае по зависимости m =f(V) можно было установить плотность вещества.

167

Часть 2 В1. В первой серии опытов исследовались малые колебания груза на нити некоторой длины. Затем тот же груз подвесили на нити большей длины. Мак-симальные углы отклонения от вертикали в опытах одинаковы. Как при переходе от первой серии опытов ко второй изменились: период колебаний, их частота и максимальная кинетическая энергия груза: 1. Увеличилась; 2. Уменьшилась; 3. Не изменилась?

Решение 1. Считая маятник математическим, для периода и частоты качания можно записать уравнения:

,g21

T1;

g2T

l

l

π==νπ=

из которых следует, что при увеличении длины нити подвеса период качаний математического маятника увеличивается, а частота − уменьшается. 2. Максимальное значение кинетической энергии груза маятника в момент прохождения им положения равновесия:

( ) ( );cos1g2v;2

mvcos1mg;2

mvmgh max

2max

max

2max α−==α−= ll

Период колебаний Частота колебаний Максимальная кинетическая энергия груза

1 2 1

В2. Как изменяются при α-распаде следующие характеристики атомного ядра: массовое число, заряд ядра, число протонов в ядре: 1. Увеличилась; 2. Уменьшилась; 3. Не изменилась?

Решение 1. При α-распаде материнского ядра происходит испускание дважды иони-зированного ядра гелия:

;HeYX 42

4A2Z

AZ +→ −

−

Массовое число Заряд ядра Число протонов в ядре 2 2 2

В3. Исследуется электрическая цепь. Определить формулы, которые мож-но использовать для расчетов показаний идеального амперметра и идеально-го вольтметра. Каждой позиции первого столбца необходимо подобрать соответствующую позицию второго столбца.

168

Решение

1. Показания амперметра (сила тока в параллельной замкнутой цепи):

;rRR

IPЛ

A ++ε

=

2. Показание вольтметра (падение напряжения на лампе накаливания):

;rRR

RRIUUPЛ

ЛЛAЛV ++

ε==≡

А Б 4 1

В4. Исследовались возможные способы наблюдения полного внутреннего отражения. В первом случае узкий пучок света шёл из воздуха в стекло (рис.1), во втором случае − из стекла в воздух (рис. 2). Показатель преломления в обоих случаях равен n. При каких углах падения можно наблюдать это явление? Каждой позиции первого столбца необходимо подобрать соответствующую позицию второго столбца.

Решение

1. В геометрической оптике явление полного внутреннего отражения объ-ясняется законом Снелла. Учитывая, что угол преломления не может превы-шать 90°, очевидно, что при угле падения, синус которого больше отношения меньшего показателя преломления к большему показателю, световой луч дол-жен полностью отражаться в первую среду. 2. Полное внутреннее отражение наблюдается при переходе света из среды оптически более плотной в оптически менее плотную среду.

169

А Б 1 2

А22. Камень массой m1 = 4 кг попадает под углом α = 600 к горизонту со скоростью v = 10 м/с в тележку с песком, покоящуюся на горизонтальных рельсах. Опре-делить импульс тележки с песком с застрявшим в ней камнем.

Решение 1. В соответствии с законом сохранения импульса:

( ) ;pummcosvm 211 Σ=+=α

;смкг205,010460cosvmp 0

1⋅

=⋅⋅==Σ

А23. В сосуде находится идеальный газ. Количе-ство вещества газа постоянно. Как изменится объём газа при его переходе из состояния 1 в состояние 2?

Решение

;5,1TT;4

pp;

TT

VpVp

;RTVp;RTVp

2

1

2

1

2

1

22

11

222

111 ===⇒⎭⎬⎫

ν=ν=

;V67,2V38V

5,14V;V5,1V4;5,1

VV4 111221

2

1 ≈====

А24. Две одинаковые частицы с одинаковыми зарядами и отношением масс m1/m2 = 4 влетели в однородные магнитные поля, векторы магнитной ин-дукции которых перпендикулярны их скоростям: первая в поле с индукцией 1В

r,

вторя − в поле с индукцией 2Вr

. Найти отношение радиусов траекторий частиц R2/R1, если скорости их одинаковы, а отношение модулей индукций полей В2/В1 = 4.

Решение 1. Условия нахождения частиц на стационарных круговых орбитах опреде-ляется равенством модулей сил Лоренца и сил инерции:

;1RR

;R

vmqvB

;R

vmqvB

1

2

1

21

1

2

22

2

=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

=

170

А25. Один из способов измерения постоянной Планка основан на опреде-лении максимальной кинетической энергии фотоэлектронов посредствам из-мерения задерживающего напряжения. В таблице приведены результаты из-мерения задерживающего напряжения

Определить значение постоянной Планка по результатам этих измерений.

Решение 1. Уравнения внешнего фотоэффекта с учётом результатов измерения за-держивающего напряжения:

( ) ( ) ( );UUeh;UUeh;eUAh;eUAh

12

121212

22

11

ν−ν−

=−=ν−ν⇒⎭⎬⎫

+=ν+=ν

( )( ) ;сДж1071,7

105,59,64,09,0106,1h 34

4

19

⋅⋅≈⋅−−⋅

≈ −−

С1. В цилиндре, закрытом подвижным поршнем, находится идеальный газ. Приведена диаграмма, ил-люстрирующая изменение внутренней энергии газа U в функции передаваемой газу теплоты Q. Описать изменение объёма газа при его переходе из состоя-ния 1 в состояние 2, а затем в состояние 3.

Решение 1. На переходе 1 → 2 газ получает тепло при постоянной температуре, по-тому, что:

;constT;0U;TR2iU =⇒=ΔΔν=Δ

2. Уравнение изотермического процесса ,constpV =

ввиду подвижности поршня давление можно приближённо считать неизмен-ным, следовательно, объём газа должен увеличиваться. 3. На переходе 2 → 3 внутренняя энергия уменьшается, тепло к газу не под-водится, уравнения состояния представятся следующим образом:

,VTTV;TT;

TT

VV

;RTpV;RTpV

23

2332

2

3

2

3

22

33 =>=⇒⎭⎬⎫

ν=ν=

т.е. объём на этом переходе продолжает увеличиваться, теперь уже за счёт внутренней энергии газа. С2. В безветренную погоду самолёт затрачивает на перелёт между горо-дами время τ1 = 6 часов. Если во время перелёта дует боковой ветер, то само-лёт затрачивает на перелёт на Δt = 9 минут больше. Определить скорость вет-ра, если скорость самолёта в безветренную погоду составляет v = 328 км/ч.

171

Решение 1. Кинематическая система уравнений, описывающая движение самолёта в заданных условиях при скорости самолёта v и перпендикулярного ветра, дую-щего со скоростью u:

( );

tvvu;uv

tv

;tuvs

;vs 22

22

22⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Δ+ττ

−=−=Δ+ττ

⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

Δ+τ−=

τ=

;см20

чкм72

15,066328107584u

2

≈≈⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

⋅−≈

C3. В цилиндр объёмом V = 0,5 м3 насосом зака-чивают воздух со скоростью ζ = 0,002 кг/с. В верхнем торце цилиндра есть отверстие, закрытое предохра-нительным клапаном. Клапан удерживается в за-крытом состоянии стержнем, который может сво-бодно поворачиваться вокруг оси в точку А. К сво-бодному концу стержня подвешен груз массой m = 2 кг. При нормальном атмосферном давлении клапан открывается через время τ = 580 с работы насоса. Площадь отверстия клапана s = 5⋅10 − 4 м2, расстояние АВ = 0,1.м. Температура воздуха снаружи и в цилиндре Т = 300 К. Определить длину стержня, считая его невесомым.

Решение 1. Масса воздуха, закачанного в цилиндр за время τ:

;m ζτ= 2. Давление воздуха в цилиндре:

;VRT

VmRTp;RTmpV

μζτ

=μ

=⇒μ

=

3. Сила, приложенная к к точке В со стороны капана:

;V

RTspsFμ

ζτ==

4. Уравнение моментов сил относительно оси, проходящей через точку А:

;Vmg

RTsABmg

ABF;mgABF xx μζτ

=⋅

=⇒=⋅ ll

;м48,01025,0103

1,01053003,85801022

43

x ≈⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≈ −

−−

l

С4. В электрической цепи R1 = 20 Ом, R2 = 150 Ом, сопротивление вольт-метра Rv = 10 Ком, сопротивление амперметра RA = 0,4 Ом. ЭДС источника ε = 36 В, его внутреннее сопротивление r = 1 Ом. На рисунке приведены шкалы приборов с показаниями. Определить, какой из приборов даёт неверные показания.

Решение 1. Сила тока в цепи:

172

;A205,04,0150

102010201

36

RRRR

RRrI

4

4

A2v1

v1≈

+++⋅

+≈

+++

+

ε=

2. Падение напряжения на резисторе с сопротивление R1

,В1,420205,0IRU 1R1≈⋅≈=

т.е. вольтметр маленько завышает показания на + ΔU = 0,2 B. С5. В идеальном LC-контуре амплитуда колебаний силы тока в катушке im = 5 мА, амплитуда колебаний напряжения на конденсаторе um = 2 В. В момент времени t напряжение на конденсаторе ut = 1,2 В. Найти силу тока в катушке в этот момент времени.

Решение 1. Закон изменения напряжения на конденсаторе:

;рад926,06,0arccost;6,0uutcos;tcosu)t(u

m

tm ≈=ω==ωω=

2. Закон изменения силы тока через индуктивность: ;мА4799,05926,0sinitsini)t(i mm ≈⋅≈=ω=

С6. Приведены энергетические уровни электрон-ной оболочки атома и указаны частоты поглощаемых и испускаемых фотонов при переходах между уров-нями. Какова длина волны фотонов, поглощаемых при переходе с уровня Е1 на уровень Е4, если ν13 = 6⋅1014 Гц, ν24 = 4⋅1014 Гц, ν32 = 3⋅1014 Гц?

Решение

1. Энергия испускаемого (поглощаемого) фотона равна разности энергий соответствующих энергетических уровней атома, в этой связи для заданного атома можно записать:

( ) ( );hhhh; 3224131432241314 ν−ν+ν=ν⇒ε−ε+ε=ε ( ) ;Гц107 14

32241314 ⋅≈ν−ν+ν=ν 2. Длина волны поглощаемых фотонов:

.нм428м1028,4с 7

1414 ≡⋅≈

ν=λ −