“Una ecuación es una proposición que indica que dos expresiones son iguales.

Las dos expresiones que forman una ecuación se denomina lados (o

miembros) y están separados por el signo =”

Ejemplo: 19X2+20X-6X2 = 3X2-7X-1

MIEMBRO IZQUIERDO MIEMBRO DERECHO

a) X+2

b) X2+3X+2=0

c)

d) W = 7 – Z

Es un símbolo que puede ser reemplazado por un número cualquiera de un

conjunto de números diferentes.

Los símbolos más comunes para variables son las últimas letras del alfabeto X,

Y, Z, W, U, T Representar incógnitas a, b, c……. representar datos.

En consecuencia se dice que la ecuación a y c tiene las variables X y Y

La ecuación d es una ecuación de variable W y Z

En la ecuación x+2= 3 los números 2 y 3 se conocen como constantes

a. Y-4= 3 e.

b. W+8= 9 f.

c. Y2+4y+2= 0 g. x= 2+y

d. X2+4x+2= 0 h. y= 3+2

ECUACIONES

OBSERVACIONES

VARIABLE

a. y+5= 2 e.

b. x+2y= 0 f.

c. Y2+2x+7= 0 g. x-12= 8

d. 3z-2= 5+w h. x+7z-3= 4

“Una ecuación lineal es una variable X es una ecuación que se puede escribir

de la forma ax+b= 0 donde a y b son constantes.

Una ecuación lineal también se conoce como ecuación de primer grado o

ecuación de grado uno, puesto que la potencia más alta de la variable que

aparece en la ecuación ax+b= 0, es la primera”

( ) ( ) Suman (-3x) a los dos miembros

Simplificando

Suman (6) a los dos miembros

Simplificando

Dividimos para dos

( ) ( )

( )

ECUACIONES

LINEALES

( ) ( )

1) X=-2

2) X=3

1. ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2. . ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

DANDO VALORES

A INCOGNITAS

MCM=2

0

MCM=2

4

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

ECUACIONES

FRACCIONARIAS

MCM=60

MCM=120

MCM=60

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

(

)-

(

)-

(

)+

(

)-

(3X+2)- (

)+

-

-

+

( ) ( ) ( )

MCM=12

X

1.

( ) ( ) ( ) ( )

2.

( )

3.

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

“Se presentan ecuaciones de esta forma donde es necesario factorar todos los

miembros de los denominadores hasta obtener un “MCM” que divide a cada

uno de los denominadores para que luego que nos sobro multiplicar por el

numerados existente.”

( ) ( )

1.

( ) ( ) ( ) ( )

( )

ECUACIONES FRACCIONARIAS

COMPUESTAS

MCM= (1+X) (1-X)

1. 1+X= (1+X)

2. 1-X= (1-X)

3. 1-X2= (1+X) (1-X)

MCM= (1+3X) (1-3X)

1. 1+3X= (1+3X)

2. 1-3X= (1-3X)

3. 1-9X2= (1+3X)

(1-3X)

MCM= 12(X+3) (X-4)

1. X2+7X+12= (X+3) (X+4)

2. 2X+6= 2(X+3)

3. 6X+24= 6(X+4)

MCM= (5X-1) (3X+2) (4X-5)

15X2+7X-2=

20X2-29X+5=

12X2-7X-10=

(5X-1) (3X+2)

(5X-1) (4X-5)

(4X-5) (3X+2)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

“Las ecuaciones en que alguna de las constantes no están especificados pero

están representadas por letras como a, b, c, d, se llaman ecuaciones lineales

y las letras se conoce como constantes arbitrarias

ECUACIONES LINEALES

EJM: x+a = 4b a x b son constantes arbitrarias

EJM:

En la ecuación del interés simple

Despeje la tasa del interés

I = cit Donde

I = interés simple

C = capital

i = tasa del interés

T = tiempo

1. ( a + c ) x + x2 = ( x + a )2

a x + c x + x2 = x2 + 2x + a2

ax+cx+x2–x2–2ax–a = 0

a x – c x – a2 = 0

a x – c x = a2

x ( a – c ) = a2

x =

2. (z-a)2 – (z-b)2 = (a+b)2

Z2-2az+a2-(z2-2bz+b2) = a2+2ab+b2

-2az+2bz-2b2-2ab = 0

-2az+2bz=0

-2az+2bz=2ab+2b2

Z (a+b) = ( )

X= ( )

( )

DEBER

i =

1. ( x+a ) ( x-b) = x ( x+b)

( )

2. ( )( ) ( )

3. ( ) ( )( )

( )

( )

4.

( )( ) ( )

“Una ecuación con radicales es aquella incógnita que aparece en un radicando.

Para resolver la ecuación con radical se eleva ambos lados a la misma

potencia para eliminar el radical.”

√

(√ )2 ( )2

√ √

(√ )2 (√ ) 2

MCM= (bx+a)(bx-a)

bx+a=bx+a

bx+a=bx-a

b2x2-a2=(bx+a)(bx-a)

ECUACIONES CON

RADICALES

(√ )22 √

√

√

√

√

√

(√ )

(√ ) ( )

( )

(√( ) )

)

1. √

√

√

(√

)

(

)

2. √ √

(√ ) (√ )

3. √ √

√

√

√

(√ ) (

)

4. √

( √ ) ( )

( )

5. ( )

(√( )) ( )

Igualación

Sustitución

Suma y Resta o Reducción

Grafica

SISTEMA DE ECUACIONES

METODOS A UTILIZARSE

METODO DE IGUALACION

1

2

EN ECUACION 1

3

EN ECUACION 2

4

EN 3 Y 4

( ) ( )

REMPLAZO EN 1

( )

1

2

EN 1

3

EN 2

4

3 Y 4

( ) (

RESOLVER

REMPLAZO EN 1

( )

1 sustituye 3 en 2

2 (

)

En 1

3

4

Sustituyendo en 3

(

)

METODO DE

SUSTITUCION

1. ECUACIONES

1 sustituye 3 en 2

2

En 1 (

)

3

4

Sustituyendo en 3 COMPROBACION

( )

( ) ( )

2. ECUACION

1

2

EN 1 3 EN 2

(

)

3

Sustituyendo y en 3 COMPROBACION

(

)

(

) (

)

“Se elimina una de las incógnitas y se procede a resolver la ecuación resultante con

respecto a la otra incógnita; esta eliminación de una de las incógnitas puede lograrse

METODO DE ECUACION O ADICION

sumando o restando las ecuaciones dadas, después de haber multiplicado, en caso

necesario por números convenientes o exactos.”

EJEMPLO

Resolver

1

( )

En 2 x

( )

X

COMPROBACION

( ) ( )

2. ECUACION

1

2 (2)

En 2 y en 1

7x-15(-1)=1

7x+15=1

7x=-14

x= -2

Y

COMPROBACION

( ) ( )

3. ECUACION

1(-8)

2

En 1(-8) y en 2

3x-11(

)=-14

3x-(

)=-14

213x-1342=-994

Y 213x=-348

DEBER

4. ECUACIONES

1

2(5)

y en 2

2x+5( )=-4

2x-( )=- 4

x=3

Y=-2 Y

1. ECUACION

1(6)

2(-4)

2

/ =58

X

X en 1

MCM: 13

(

)

-87-52y=533

-52y=533+87

-52y=620

Y=

Y

COMPROBACION

(

) (

)

2. ECUACIONES

1 (11)

2 (5)

2

/ =144

X

X en 1 COMPROBACION

(

)

(

) (

)

3. ECUACION

1

2 (-5)

/

Y

X en 1 COMPROBACION

( )

( ) ( )

“Sabemos que la función grafica es una ecuación con variables X y Yy es una

línea recta en esta recta están todos los puntos cuyas coordenadas satisfacen

a la ecuación y solamente a ellas”

{

En 1

En 2 5x-4y=12

( )

FUNCION GRAFICA

Conclusión

La intersección de los puntos (4,2) es la solución

1. ECUACION

1

2

En 1 En 2

( )

RESOLVER

2. ECUACION

1

2

En 1 En 2

x = 0 2(0)-4y=5

( ) ( )

2x=5

X=2.5

3. ECUACION

1

2

En 1

En 2

( )

x=0 0-5y=25

( ) ( )

4(3x)=40-0

12x=40

1

2

En 1 En 1

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Y=-3.33

( ) ( ) ( )

3(x-2)-2(0-3)=4 ( ) ( )

( ) ( )

1. El doble de un numero + el triple de otro es 300 hallar los números

X=·N

2. Dividir 85 en dos partes que el triple de la parte menor equivalga al doble

de la mayor

X= parte menor 3x

85-x= parte mayor

( )

APLICACIONES

3. Encontrar la solución

Pedro es padre de María, María es la sobrina de Eugenia, Eugenia es hija de Jaime

, Jaime es abuelo de Laura y Laura es hija de Pedro ¿Cuál de las siguientes

relaciones es la correcta ?

a. Eugenia es tía de Laura

b. Jaime es hijo de `Pedro

c. Laura y María son primos

d. María es sobrina de Jaime

4. A tiene 54 y B tiene 32, ambos ganaran lo mismo cantidad de dinero y la

suma de lo que tienen ambos excede a los $ 66 dólares al cuádruplo que gana

cada uno ¿Cuánto gana cada uno?

A=64

B=32

B=32

X= cada uno

)

5. Juan tiene un numero de pelotas y Andrés tiene 30¿Cuántas

pelotas tiene cada uno?

Juan= x 10

Andrés 2x 20

6. José tiene un numero de pelotas y Juan tiene el doble cuádruple

de ambos tienen 60

José x

Juan 4x

7. Una clase tiene 28 alumnos a razón de chicos y chicas es de 4 a

3¿cuántos chicos hay en cada clase?

X=28

8. Manuel tiene el triple de edad de Sara ¿Cuántos años pasaron para que la

edad de Manuel sea el doble de la de Sara?

Manuel 3(12) 36

Años x 12

Sara 12

( )

X=12

9. Dentro de las competencias de las empresas en el mercado I

dólares tienen un duplo y mas el triple de lo que tiene travel

cambiarían con las ganancias respectivas el cuádruplo a tiene I el

quíntuplo de lo que tiene TC todo es igual a 10 ¿Cuánto de dinero

tiene cada uno?

J= (2x+3y)

TC=5(y)

1(-2)

2

/

Y

Y en 1

(

)

(

)

Conclusiones

La compañía JR tiene 3.64 y Travel conver tiene 0.91de dólares

A

Para resolver ecuaciones completas de segundo grado se emplea

comúnmente, tres métodos

Por descomposición de factores

Método de completar el trinomio cuadrado perfecto

Aplicación de la formula general

Pasos

RESOLUCION DE ECUACIONES

COMPLETAS

Método de

descomposición

MCM=11

a. Factoramos el trinomio

b. Igualamos a cero cada uno de los factores encontrados

c. Resolver la ecuación de primer grado que ha quedado en cada uno de

los factores

d. Las raíces encontradas son las raíces de cada ecuación propuesta

Ejercicios:

1. Resolver la ecuación

( )( )

Raíces de la ecuación que cumple son: x-8 y 3

2. Resolver la ecuación

2x 3=3

1x -4=-8

( )( )

Las raíces de la ecuación que se cumplen son

y

3. Resolver

( )( )

Las raíces que se cumplen son 6 ^ -5

4.

(y+4) (y-2)

Las raíces que se cumplen son -4 ^ 2

6. Resolver

( )( )

^ 2

^

^

^

Raíces de las ecuaciones que cumplen son

METODOS POR LA FORMULA

GENERAL

√

Aplicaciones:

a b c

a=3

b=-7

c =2

√

( )

√( ) ( )( )

( )

√

√

3.

√

( )

√( ) ( )( )

( )

√

√

y

4. ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

√

( )

√( ) ( )( )

( )

√

√

y

5.

a=

b=

c=

x= √

√(

) (

)(

)

(

)

√

( )

√

√

√

√

^

^

^