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Equivalenciafinanciera
En esta Unidad aprenderás a:
1. Reconocer la equivalencia de capitales en distintas operaciones financieras a interés simple.
2. Calcular a interés simple los vencimientos común y medio de diferentes capitales.
3. Aplicar en casos reales los conceptos relacionados con la equivalencia financiera a interés simple.
04
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El valor de un capital depende del momento en que sevalore; si lo estimamos en el momento actual, recibe elnombre de valor actual, si lo consideramos al final dela operación, se le denomina valor final.
Un mismo capital C0 valorado en el momento 0 tiene dife-rente valor que en el momento 1, y así sucesivamente.
Los capitales, que tienen diferente valor numérico, sinembargo son el mismo en distintos momentos deltiempo. Esta equivalencia recibe el nombre de equiva-lencia financiera, es decir, desde el punto de vistafinanciero estamos hablando del mismo capital.
La aplicación de una regla de cálculo, en este caso elinterés simple, permite conocer los distintos valores dedicho capital en los diferentes momentos de tiempo.Aplicando el mismo criterio, si en el gráfico anterior sesupone un capital de 1 000 € a un 10 % anual y repre-sentando el tiempo en años:
Cn 5 C0 (1 1 n ? i)C1 5 1 000 (1 1 1 ? 0,1) 5 1 100C2 5 1 000 (1 1 2 ? 0,1) 5 1 200C3 5 1 000 (1 1 3 ? 0,1) 5 1 300C4 5 1 000 (1 1 4 ? 0,1) 5 1 400C5 5 1 000 (1 1 5 ? 0,1) 5 1 500
A veces se sustituye un capital por otro u otros equiva-lentes financieros, y viceversa, es decir, varios capitalesse sustituyen por uno o varios.
A partir de lo expuesto anteriormente, se puede decirque cuando los valores actuales de uno o varios capi-tales son iguales a los valores actuales de otro uotros capitales, son entonces equivalentes financie-ramente. También se podría definir, en consecuencia,como la igualdad de valor de distintos capitales, referi-dos a un mismo momento de tiempo.
En el ejemplo preliminar, un capital de 1 400 € dentrode cuatro años es equivalente a uno de 1 000 en elmomento actual, siendo el valor actual del primero de1 000 €.
En la práctica comercial, la equivalencia de capita-les se utiliza frecuentemente, pero no se sigue la reglaque marca el interés simple, sino que la base de cálculode la equivalencia financiera se hace a partir del des-cuento comercial, por lo que lo anterior quedaría de lasiguiente manera (véase el Apartado 3.2 de la Unidad 3,referente al descuento comercial):
Cn 5
C1 5 5 1 111,11
C2 5 5 1 250
C3 5 5 1 428,57
C4 5 5 1 666,67
C5 5 5 2 000,11
Tal y como se puede apreciar, la equivalencia financieracalculada de esta segunda manera da una diferenciasustancial con respecto a la primera, pero ha de tenerseen cuenta que las costumbres comerciales operan así enla realidad. Por otro lado, si el tiempo llegara hasta diezaños, en el denominador tendríamos un valor 0, y si eltiempo fuera once o más años, la cantidad resultantesería negativa.
El hecho de que lo planteado no llegue a darse es poruna sencilla razón, el descuento comercial a interéssimple se aplica habitualmente a operaciones conduración inferior a un año.
1 000
(1 2 5 ? 0,1)
1 000
(1 2 4 ? 0,1)
1 000
(1 2 3 ? 0,1)
1 000
(1 2 2 ? 0,1)
1 000
(1 2 1 ? 0,1)
C0
(1 2 n ? i)
4. Equivalencia financiera4.1 Capitales equivalentes
Capitales equivalentes4.1
Capital C0 C01 C02 C03 C04 C05
Tiempo 0 1 2 3 4 5
Capital 1 000 1 100 1 200 1 300 1 400 1 500
Tiempo 0 1 2 3 4 5
Vamos a suponer ahora que tenemos varios capitalescon vencimiento futuro, por ejemplo, 1 000, 3 000 y2 000 € con vencimiento a los 30, 60 y 90 días, y quelos queremos sustituir por uno único que venza dentrode 45 días y al que se le aplique un tipo del 7 % anual.Si llamamos C01, C02 y C03 al valor de dichos capitales enel momento actual y C0 al valor actual del capital Cn quequeremos calcular, entonces ha de ocurrir que:
C0 5 C01 1 C02 1 C03
Por otro lado, recordamos que para el cálculo del valoractual en función del descuento comercial se aplicabala fórmula:
C0 5 Cn (1 2 n ? i)
Si añadimos los valores que corresponden según la pri-mera expresión, resulta que:
Cn (1 2 n ? i) 5 C1 (1 2 n1 ? i) 1 C2 (1 2 n2 ? i) 11 C3 (1 2 n3 ? i)
De donde:
C1 5 1 000 €C2 5 3 000 €C3 5 2 000 €n1 5 30 díasn2 5 60 díasn3 5 90 díasn1 5 45 días
Si vamos agrupando la expresión para poder resolver elproblema anterior, tenemos:
Cn (1 2 n ? i) 5 C1 2 C1 ? n1 ? i 1 C2 2 C2 ? n2 ? i 1
1 C3 2 C3 ? n3 ? i
Y con los datos numéricos:
Cn 11 2 45 ? 25 1 000 2 1 000 ? 30 ? 1
1 3 000 2 3 000 ? 60 ? 1 2 000 2
2 2 000 ? 90 ?0,07
365
0,07
365
0,07
365
0,07
365
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4. Equivalencia financiera4.1 Capitales equivalentes
Caso práctico
Halla el capital equivalente financieramente en el momen-to actual a otro de 45 000€ que vence dentro de 120 días.Tipo aplicado: 9 % anual.
Solución
Cn 5 45000 €n 5 120 díasi 5 0,09 anualC0 5 ?
Si sustituimos en:
C0 5 Cn (1 2 n ? i)
C0 5 45000 11 2 120 ? 2 5 43668,493
C0 5 43668,49€.
0,09
365
1
Caso práctico
Un deudor nos propone que adelantemos el cobro de 3450 €que teníamos pendientes con él por otro financieramenteequivalente. Al no haber inconveniente alguno, accedemosaceptando su oferta de aplicar un tipo del 8 % anual. Hazlos cálculos oportunos sabiendo que el vencimiento delefecto sería dentro de dos meses.
Solución
Cn 5 3 450 €n 5 2 mesesi 5 0,08 anual
Si sustituimos en:
C0 5 Cn (1 2 n ? i)
C0 5 3450 11 2 2 ? 2 5 3404
C0 5 3404€.
0,08
12
2
59
Como la expresión resulta excesivamente larga y engo-rrosa, es posible ir agrupando hasta encontrar una fór-mula o un método de resolución más sencillo.
Agrupando las expresiones según su signo y, a continua-ción, sacando factor común:
Cn (1 2 n ? i) 5 C1 1 C2 1 C3 2 C1 ? n1 ? i 2 C2 ? n2 ? i 2
2 C3 ? n3 ? i 5 C1 1 C2 1 C3 2 i (C1 ? n1 1 C2 ? n2 1 C3 ? n3)
Si despejamos Cn, entonces:
Cn 5
En el numerador aparecen:
La suma de capitales con signo positivo, C1 1 C2 1
1 C3, que colocamos en la columna Cj.
La suma de los números comerciales, C1 ? n1 1 C2 ? n2 1
1 C3 ? n3, que ponemos en la columna Cj ? nj, multipli-cada por el tipo de interés, con signo negativo.
Para resolver, por tanto, resultará más convenientehacer:
Cj nj Cj ? nj
1 000 30 30 0003 000 60 180 0002 000 90 180 0006 000 390 000
Y si sustituimos:
Cn 5 5 5976,79
Cn 5 5 976,79 €.
0,07
3656000 2 ? 390000
0,07
3651 2 45 ?
C1 1 C2 1 C3 2 i (C1 ? n1 1 C2 ? n2 1 C3 ? n3)
1 2 n ? i
4. Equivalencia financiera4.1 Capitales equivalentes
Caso práctico
¿A cuánto ascenderá el capital que ha de vencerdentro de cuatro meses y que sustituye a otro de3 000 € que vence dentro de seis meses? Tipo apli-cado: 6 % anual.
Solución
C1 5 3 000 €n1 5 6 mesesn2 5 4 mesesi 5 0,06 anualC2 5 ?C0 5 Cn (1 2 n ? i)
Para este caso, C01 y C02 representan el valor actual dedichos capitales C01 5 C02, y por tanto:
C1 (1 2 n ? i) 5 C2 (1 2 n ? i)
Si sustituimos por sus valores:
3 000 11 2 6 ? 2 5 C2 11 2 4 ? 2
C2 5 5 2969,387
C2 5 2969,39€.
0,06
123000 1 2 6 ?1
0,06
121 2 4 ?
2
0,06
12
0,06
12
3
60
4. Equivalencia financiera4.2 Vencimiento común
Si en la operación financiera lo que se ha de calcular es elmomento (n) en que ha de producirse la equivalenciafinanciera, dados los capitales a reemplazar, sus respecti-vos vencimientos, el capital que los sustituye, así como eltipo aplicado, entonces se habla de vencimiento común.
Para el cálculo lo único que hay que hacer es despejar nen la expresión:
Cn (1 2 n ? i) 5 C1 (1 2 n1 ? i) 1 C2 (1 2 n2 ? i) 11 C3 (1 2 n3 ? i)
Si recordamos el desarrollo hecho anteriormente:
Cn (1 2 n ? i) 5 C1 1 C2 1 C3 2 i (C1 ? n1 1 C2 ? n2 1
1 C3 ? n3)
O también:
Cn 2 Cn ? n ? i 5 C1 1 C2 1 C3 2 i (C1 ? n1 1 C2 ? n2 1
1 C3 ? n3)
Y, finalmente, despejando la n:
n 5 Cn 2 (C1 1 C2 1 C3) 1 i (C1 ? n1 1 C2 ? n2 1 C3 ? n3)
i ? Cn
4.2 Vencimiento común
Caso práctico
¿Cuál fue el tipo que permitió sustituir el pagode un efecto de nominal 5000€ y que vence dentro decuatro meses por otro de 4 900 € en el momentoactual?
Solución
Cn 5 5000€; C0 5 4900€; n 5 4 meses; i 5 ?
Si sustituimos en:
C0 5 Cn (1 2 n ? i)
4 900 5 5000 11 2 4 ? 2Y, finalmente, despejamos:
5 1 2 4 ? ; i 5 11 2 2 5 0,06
Tipo 5 6% anual.
Dos capitales de 1200 y 1000€ con vencimientos losdías 31 de octubre y 30 de noviembre, respectiva-mente, quieren ser sustituidos por uno único con ven-cimiento el día 31 de diciembre. ¿Cuál será el importe
del capital que los sustituye si el tipo es del 10% y laoperación se acuerda el día 30 de septiembre?
Solución
C1 5 1200€C2 5 1000€ n1 5 30 de septiembre a 31 de octubre 5 31 díasn2 5 30 de septiembre a 30 de noviembre 5 61 díasn 5 30 de septiembre a 31 de diciembre 5 92 díasi 5 0,1 por uno anualCn 5 ?
Si aplicamos:
Cn 5
Y sustituimos:
Cn 5 5
5 2229,29€
Cn 5 2229,29€.
C1 1 C2 2 i(C1 ? n1 1 C2 ? n2)
1 2 n ? i
5
12
4
4900
5000
i
12
4900
5000
i
12
4
0,1
3651200 1 1000 2 ? (1200 ? 31 1 1000 ? 61)
0,1
3651 2 92 ?
4. Equivalencia financiera4.2 Vencimiento común
Caso práctico
Calcula ahora el vencimiento común de dos capita-les de 15 000 y 35 000 € con vencimientos los días15 de marzo y 17 de abril, respectivamente, sa-biendo que se quieren sustituir por uno único de49 700 € y que el tipo aplicado a la operación esde un 6% anual. La operación de sustitución se rea-liza el 15 de enero.
Solución
C1 5 15 000 €C2 5 35 000 €C3 5 49 700 €n1 5 59 días (del 15 de enero al 15 de marzo)n2 5 92 días (del 15 de enero al 17 de abril)i 5 0,06 anualn 5 ?
n 5
Cj nj Cj ? nj
15 000 59 885 00035 000 92 3 220 00050 000 4 105 000
n 5 5 45 días
Contando a partir del 15 de enero, tendremos que lafecha buscada es el día 1 de marzo.
n 5 1 de marzo
Gráficamente:
0,06
36549 700 2 50 000 1 ? 4 105 000
0,06
365? 49 700
Cn 2 (C1 1 C2) 1 i (C1 ? n1 1 C2 ? n2)
i ? Cn
6
49 700 15 000 35 000
15 de enero 1 de marzo 15 de marzo 17 de abril
Caso práctico
Una nueva máquina que vale 10 000 € al contadoquiere distribuirse en diez pagos mensuales iguales.¿Cuánto habrá de pagarse al final de cada mes si seaplica un tipo del 10 % y el primer pago empiezajustamente dentro de un mes?
Solución
Cn 5 10 000 €n1 5 1; n2 5 2; n3 5 3; n4 5 4; n5 5 5; n6 5 6; n7 5 7;n8 5 8; n9 5 9; n10 5 10 mesesn 5 0i 5 0,01 anual
C1 5 C2 5 … 5 C10 5 C
Si aplicamos:
Cn 1 2Y, finalmente, sustituimos:
10 000 5 10 ? C 2 ?
? C (11213141516171819110)
C 5 5 1 048,034
Pago a realizar 5 1 048,03 €.
10000
0,1
0,1
1210 2 ? 55
0,1
12
C1 1 C2 1 C3 2 i (C1 ? n1 1 C2 ? n2 1 C3 ? n3)
1 2 n ? i
7
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Cuando la suma del nominal de los capitales que sedeben sustituir es igual al nominal del capital que lossustituye, entonces tenemos un caso de vencimientomedio. La ventaja de este caso procede de la simplifi-cación que se obtiene en los cálculos, pues:
n 5 5
5 5
Con lo que:
n 5
Tal y como se ve, el tipo no aparece en la fórmula, porlo que no es necesario para el cálculo del vencimientomedio. También se puede comprobar que, independien-temente de la fecha elegida, el resultado será siempreel mismo.
Caso particular en el que loscapitales dados que van a sustituir a uno son iguales entre sí
Si, además, C1 5 C2 5 C3 5 C y como C1 1 C2 1 C3 5
5 Cn, entonces:
n 5 5
n 5n1 1 n2 1 n3
3
C (n1 1 n2 1 n3)
3 ? C
C1 ? n1 1 C2 ? n2 1 C3 ? n3
Cn
C1 ? n1 1 C2 ? n2 1 C3 ? n3
Cn
i (C1 ? n1 1 C2 ? n2 1 C3 ? n3)
i ? Cn
Cn 2 (C1 1 C2 1 C3) 1 i (C1 ? n1 1 C2 ? n2 1 C3 ? n3)
i ? Cn
62
4. Equivalencia financiera4.3 Vencimiento medio
4.3 Vencimiento medio
Caso práctico
Tres capitales de 30 000 € con venci-miento a los 30, 40 y 60 días quierensustituirse por uno único de 90 000 €.¿Cuál será la fecha de vencimiento delmismo?
Solución
n1 5 30 días, n2 5 40 días, n3 5 60 díasC1 5 C2 5 C3 5 30 000 €Cn 5 90 000 €n 5 ?
n 5
Cj nj Cj ? nj
30 000 30 900 00030 000 40 1 200 00030 000 60 1 800 00090 000 3 900 000
Si sustituimos en:
n 5 5 43 días; n 5 43 días.3 900 000
90 000
C1 ? n1 1 C2 ? n2 1 C3 ? n3
Cn
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4. Equivalencia financieraConceptos básicos
Conceptos básicos
Capitales equivalentes. Son los capitales, uno o varios, cuyosvalores actuales son iguales a los de otro u otros capitales.
Cn (1 2 n ? i) 5 C1 (1 2 n1 ? i) 1 C2 (1 2 n2 ? i) 11 C3 (1 2 n3 ? i)
Y si queremos conocer el valor de Cn:
Cn 5
Vencimiento común. Es la fecha en la que el capital Cn susti-tuye a los otros capitales (C1, C2, C3) teniendo en cuenta sus
vencimientos. Bastará con despejar la n de la fórmula anterior.
n 5
Vencimiento medio. Es un caso particular del vencimientocomún en el que la suma de los capitales a sustituir es igual alcapital que los sustituye (Cn).
n 5C1 ? n1 1 C2 ? n2 1 C3 ? n3
Cn
Cn 2 (C1 1 C2 1 C3) 1 i ? (C1 ? n1 1 C2 ? n2 1 C3 ? n3)
i ? Cn
C1 1 C2 1 C3 2 i ? (C1 ? n1 1 C2 ? n2 1 C3 ? n3)
1 2 n ? i
EQUIVALENCIA FINANCIERA CAPITALES EQUIVALENTES
Si se quiere calcular la fechaen que vence el capital quesustituye a los otros
A partir de descuento comercial
se habla de
Caso particular
Se denomina
VENCIMIENTO COMÚN
Cuando la suma de los ca-pitales a sustituir es igualal capital que los sustituye
VENCIMIENTO MEDIO
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4. Equivalencia financieraActividades
Actividades
Un capital de 1 230 € de nominal, cuyo venci-miento es dentro de 98 días, quiere ser sustituidopor otro financieramente equivalente en el mo-mento actual.
Calcula el importe del mismo sabiendo que se aplicaun 8% anual a la operación.
R: 1203,58 €.
Al disponer de un efectivo de 4 460 € queremossaber si se puede adelantar el pago de un efectode 4 520€ que vence el día 7 de abril. Se sabe quela operación se realiza el 4 de enero y que seaplica un tipo del 6 % anual.
R: Sí, pues C0 5 4450,90 € , 4 460€.
Un cliente nos ofrece adelantar un pago de unefecto y nos entrega 4 327 €. ¿Cuál fue el nominalsi se sabe que el efecto vence dentro de seis mesesy que el tipo aplicado es un 7% anual?
R: 4483,94 €.
¿Cuál fue el tipo que permitió sustituir el pago deun efecto de nominal de 5000€ y que vence dentrode cuatro meses por otro de 4 900 € dentro de unmes?
R: 7,94% anual.
Nuestro cliente nos comunica que le interesaría cam-biar el pago de 2500 y 1750€ con vencimiento den-tro de 60 y 90 días, respectivamente, por otros dospagos, uno de ellos de 2 000 € dentro de 40 días, yotro del que hemos de calcular el importe y que hade tener vencimiento dentro de 100 días. Calculadicho importe si se sabe que a la operación se leaplica un tipo del 5% anual.
R: 2249,65 €.
Calcula el vencimiento común de dos capitales de1 500 y 750 € con vencimiento dentro de 43 y55 días, respectivamente, sabiendo que se quierensustituir por uno único de 2230€ y que el tipo apli-cado a la operación es de un 10% anual.
R: 14 días.
La empresa RUFA, S. A., cliente nuestro, quiere quelas letras que vencen los finales de los próximostres meses (abril, mayo y junio) y todas ellasde 1 000 €, sean sustituidas por un único pago de2 987,89 €. Si el tipo de la operación es un 4 %anual y la fecha de sustitución es el 15 de marzo,¿en qué fecha se hará el único pago?
R: El 24 de abril.
Cuatro capitales de 5 000, 4 500, 4 000 y 3 500 €quieren ser sustituidos por uno único de 17 100 €.Si los vencimientos de los primeros capitales son 2,3, 4 y 5 meses, respectivamente, ¿cuál será la fechade vencimiento de ese único capital que los susti-tuye? Tipo: 9% anual. Da las fechas en días.
R: 4 meses y tres días.
Los días 15 de los meses de febrero, abril y junio seha de hacer frente a unos pagos de 2 450, 3 210 y3159€, respectivamente. El día 31 de diciembre sedecide que sería conveniente hacer un único pago,para lo que se entra en contacto con los deudores.Éstos acceden y fijan un tipo del 8 % anual para larealización de la operación, ¿cuál será la fecha desustitución si el capital propuesto asciende a 8800€?
R: 10 de abril.
¿Cuál fue el vencimiento medio de tres capitalesde 100000€ con vencimiento a 30, 60 y 90 días, sise aplica un tipo del 9% anual?
R: 60 días.
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
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4. Equivalencia financieraActividades
Actividades
¿Cuál fue el vencimiento medio de tres capitalesde 100000 € con vencimiento a 30, 60 y 90 días, sise aplica un tipo del 1% anual?R: 60 días.
Los próximos días 20 de octubre y 7 de noviembrevencen dos capitales de 2300 y 2700€, respectiva-mente. ¿Cuál será su vencimiento medio si hoy es30 de septiembre?R: 29 de octubre.
Los próximos días 20 de octubre y 7 de noviembrevencen dos capitales de 2300 y 2700€, respectiva-mente. ¿Cuál será su vencimiento medio?R: 29 de octubre.
Tres capitales iguales han sido sustituidos por unoúnico de 9 000 €. ¿A cuánto asciende cada uno deellos si estamos en un caso de vencimiento medio?R: 3000€.
Por la venta de un electrodoméstico que vale1 000 €, nos proponen realizar un pago inicial de100 € y el resto en 5 pagos mensuales iguales.¿Cuánto deberemos pagar cada mes si el tipo dedescuento aplicado es de un 10 % anual y el des-cuento es el comercial?R: 184,62 €.
En un anuncio nos informan que para la compra deun ordenador que vale 2 000 € nos permiten pagaruna cantidad inicial de 300 € y posteriormente dospagos mensuales de 858,59 €. ¿A cuánto asciendeel tipo de descuento aplicado?R: 8% anual.
Por comprar en efectivo un artículo que vale 300 €nos hacen una rebaja del 1 %; sin embargo, si loqueremos pagar en tres plazos mensuales iguales,no nos hacen descuento alguno. ¿Cuál será el tipode descuento realmente aplicado?R: 6% anual.
Cuatro capitales iguales de 2 500 € que vencen enlos próximos 30, 60, 90 y 120 días son sustituidospor uno igual a la suma de los cuatro. Calcula elvencimiento que corresponda sabiendo que el tipode descuento aplicado es de un 700,184% anual.R: 2 meses y medio.
Dos efectos de 1500 y 3150€, con vencimiento enlos próximos 15 y 23 días, respectivamente, se sus-tituyen por uno con vencimiento dentro de dosmeses. Calcula al 10 % anual el nominal de dichoefecto.R: 4701,27 €.
Calcula el vencimiento común de dos letras de1 500 y 3 150 €, que vencen respectivamente den-tro de 15 y 23 días, si son sustituidas por una denominal de 5 000 € y se aplica un tanto del 10 %anual.R: 274 días.
El día 10 de febrero se decide sustituir tres letrasde 3000, 4 000 y 6 000€ con vencimientos respec-tivamente los días 12 de febrero, 1 de marzo y 2 deabril, por una única, cuyo nominal es la suma de lastres. Calcula la fecha de vencimiento.R: 11 de marzo.
El día 1 de enero se decide que tres efectos denominal 20 000 € y con vencimientos los días 14de mayo, 14 de abril y 14 de junio respectiva-mente, por uno solo de 60 000. Determina la fechadel nuevo vencimiento.R: 14 de mayo.
Cuatro capitales de 25 000, 30 000, 35 000 y40 000 € que vencen el último día de los meses demarzo, abril, mayo y junio, quieren ser sustituidospor uno único igual a la suma de los cuatro. Si lasustitución se decide hacer el 28 de febrero, ¿cuálserá su vencimiento?R: 21 de mayo.
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