Willner
Kontinuums- und Kontaktmechanik
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH
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K. Willner
Kontinuums-und Kontaktmechanik Synthetische und analytische Darstellung
Mit 80 Abbildungen und 26 Tabellen
Springer
Dr. Kai Willner
Institut A für Mechanik der Universität Stuttgart Pfaffenwaldring 9 70550 Stuttgart
E-mail: [email protected]
ISBN 978-3-642-62825-2 ISBN 978-3-642-55814-6 (eBook) DOI 10.1007/978-3-642-55814-6
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Text: Datenerstellung durch Autoren
7/3020hu -543 2 1 0-
Vorwort
Ziel dieser Arbeit ist die Beschreibung von thermoelastischen Kontaktproblemen mit den Mitteln der Kontinuumsmechanik. Dabei soll erstens eine durchgangige Darstellung der Konzepte der Kontinuumsmechanik und der Kontaktmechanik erfolgen, zweitens eine geschlossene Darstellung sowohl der synthetischen als auch der analytischen Beschreibung geboten werden und drittens sollen alle wesentlichen mathematischen Hilfsmittel in das Gesamtkonzept integriert werden.
Da dies eine sehr ehrgeizige Aufgabe darstellt, die kaum erschopfend in einem Werk geleistet werden kann, ist eine Beschrankung des Stoffes notig. Diese wird hier durch eine Fokussierung der Kontinuumsmechanik auf isotrope, elastische Probleme erreicht. Das heiBt, es werden nur isotrope, hyperelastische Materialgesetze behandelt und es werden ausschlieBlich echte Kontinua betrachtet, ohne spezielle strukturmechanische Annahmen zu machen. Dies reduziert zum einen die benotigten Konzepte fUr die Materialtheorie und zum anderen vereinfacht es die Behandlung der Kinematik und Kinetik. Die Kontaktmechanik wird mit den Konzepten der Kontinuumsmechanik behandelt, insbesonders wird die allgemeine Form konstitutiver Kontaktgesetze aus thermodynamischen Restriktionen abgeleitet, wobei die Kontaktflache als eine singulare Flache des Kontinuums aufgefaBt wird. In Analogie zur Kontinuumsmechanik erfolgt hier ebenfalls eine Beschrankung auf den rein elastischen Kontakt. Spezielle Formulierungen, die sich zum Beispiel aus tribologischen Uberlegungen ableiten, werden nicht diskutiert. 1m Rahmen dieser Grenzen wird aber eine moglichst umfassende Behandlung angestrebt, die alle relevanten Konzepte anspricht und auch weiterfUhrende Literatur nennt.
Die ungewohnliche Behandlung sowohl der synthetischen als auch der analytischen Darstellung inklusive der beiden wesentlichen mathematischen Hilfsmittel, namlich der Tensorrechnung und der Variationsrechnung, soll dem Leser eine einheitliche Darstellung des gesamten Stoffes bieten und ihm das gleichzeitige Arbeiten mit verschiedenen Texten ersparen. Der damit oft verbundene Wechsel der Notation erschwert insbesonders Anfangern das Verstandnis der eigentlich gleichartigen Konzepte und Methoden. Da natiirlich selbst bei den gemachten Beschrankungen nicht alle Details befriedigend dargestellt werden konnen, ist am Anfang jedes Abschnittes eine ausfUhrliche Auswahl der relevanten Standardwerke und Lehrbticher angege-
'II \Torvvort
ben, die es ermoglicht, sich einen Uberblick tiber das Thema zu verschaffen und erganzende Literatur zu finden. Die reichlichen Zitate im Text konnen als Referenz dienen und vveisen den Weg zu vveiterftihrender Literatur. Damit bietet sich dieses Buch durch die ganzheitliche Darstellung und die umfangreichen Literaturzitate sovvohl als Einstieg in die Thematik als auch als Referenz an.
Entsprechend dem Gesamtkonzept gliedert sich die Arbeit in vier Teile, die sovvohl untereinander als auch innerhalb eines Teils nach didaktischen Gesichtspunkten gegliedert sind. Dabei folgt die Kontaktmechanik der Kontinuumsmechanik und die analytische Darstellung folgt jevveils auf die synthetische:
• Synthetische Kontinuumsmechanik Nach einer Einftihrung in die grundlegenden Konzepte der Kontinuumsmechanik vvird zuerst die Tensorrechnung als das vvichtigste mathematische Hilfsmittel rekapituliert. Der restliche Aufbau folgt dann dem tiblichen Kanon der synthetischen Kontinuumsmechanik: Kinematik, Kinetik, Bilanzgleichungen und Materialgleichungen. Ziel ist hier zum einen die Einftihrung von typischen Konzepten vvie Verzerrungs- und SpannungsgroBen und die Formulierung der kontinuumsmechanischen Bilanzgleichungen in diesen GroBen; zum anderen steht der Formalismus zur Gevvinnung thermodynamisch konsistenter Materialgleichungen im Sinne der rationalen Thermodynamik im Vordergrund, der ausftihrlich anhand des elastischen, des thermischen und des thermoelastischen Materialverhaltens demonstriert vvird.
• Analytische Kontinuumsmechanik Nach einem Vergleich der analytischen mit der synthetischen Formulierung der Kontinuumsmechanik vvird auch hier zuerst das vvichtigste mathematische Hilfsmittel, namlich die Variationsrechnung, behandelt. Die Diskussion von Naherungsverfahren auf der Basis analytischer Prinzipe schlagt die Brticke zu modernen numerischen Methoden und motiviert die ausfiihrliche Beschaftigung mit der analytischen Mechanik, die haufig nicht Bestandteil einer Ingenieurausbildung ist. Die Konzepte der analytischen Mechanik vverden daher zunachst an einfachen Systemen der Punktmechanik eingefiihrt und dann auf die klassischen Arbeitsprinzipe der linearen Elastostatik ervveitert. AbschlieBend folgt dann eine Ubertragung auf nichtlineare und dynamische Probleme.
• Kontaktmechanik Nach einer Einfiihrung in die Kontaktmechanik, die sovvohl einen kleinen historischen Uberblick als auch eine Diskussion der neueren Forschung enthalt, folgt der Aufbau der Darstellung der Kontinuumsmechanik. Das heifit, es vvird zunachst eine synthetische Formulierung im Rahmen der Theorie singularer Flachen entvvickelt und danach vverden die entsprechenden analytischen Darstellungen prasentiert. Ein Schvverpunkt liegt dabei vvieder auf der Formulierung thermodynamisch konsistenter Konstitutiv-
Vorwort VII
beziehungen mit den Mitteln der rationalen Thermodynamik. Die analytischen Formulierungen werden dabei bereits im Hinblick auf eine numerische Behandlung der entstehenden Variationsungleichungen diskutiert .
• Numerische Umsetzung und Beispiele Der letzte Teil behandelt die Losung des thermoelastischen Kontaktproblems durch Diskretisierungsverfahren, insbesonders durch die Methode der finiten Elemente. Die Losung der im allgemeinen nichtlinearen und zeitabhangigen Probleme macht eine Linearisierung und Inkrementierung notig. Da diese auf der Ebene der kontinuumsmechanischen Formulierung durchgefuhrt werden kann, wird sie hier ausfUhrlich behandelt. Die Behandlung der eigentlichen numerischen Umsetzung gehort jedoch nicht mehr in den Bereich der Kontinuumsmechanik und wurde auch den Rahmen sprengen. Es werden daher nur die wesentlichen Schritte einer Behandlung mit der Methode der fin it en Elemente diskutiert, ohne auf Details einzugehen. Ausfuhrliche Literaturhinweise ermoglichen aber auch hier dem interessierten Leser einen leichten Einstieg. Eine Reihe von abschlieBenden Beispielen zeigt zum einen die Moglichkeiten der numerischen Umsetzung und demonstriert zum anderen die wesentlichen Effekte, die sich aus der thermomechanischen Kopplung sowohl fur rein kontinuumsmechanische Probleme als auch fur Kontaktprobleme ergeben. In den meisten Fallen sind ebenfalls analytische VergleichslOsungen oder zumindest Abschatzungen angegeben, die eine Uberprufung der numerisch ermittelten Losungen ermoglichen.
Der Tatsache entsprechend, daB es sich beim vorliegenden Text urn eine Habilitationsschrift handelt, geht diese Arbeit allerdings uber den Inhalt eines reinen Lehrbuchs hinaus, und prasentiert daher neb en den Grundlagen auch die Ergebnisse der aktuellen Forschung und auch einige neue Resultate. Dazu gehOrt vor allem die Behandlung des Kontakts als singulare Flache und die Anwendung der Kontinuumsthermodynamik zur Gewinnung konstitutiver Kontaktgesetze.
Die Entstehung einer derartigen Arbeit ist naturlich nicht ohne ein entsprechendes Umfeld moglich. Ich mochte mich daher an dieser Stelle bei allen Kolleginnen und Kollegen am Institut A fur Mechanik der Universitat Stuttgart fur die fruchtbare und entspannte Atmosphare bedanken, in der diese Arbeit entstanden ist. Mein besonderer Dank gilt dabei Herrn Professor Gaul, der als Direktor des Instituts wesentlich zu diesem Klima beigetragen hat und mir stets die notigen Freiraume zur Verwirklichung dieses Projekts gegeben hat. Herrn Professor Miehe, Institut fur Mechanik (Bauwesen), danke ich fUr die wertvollen Hinweise und die wohlwollende Ubernahme des Korreferats im Habilitationsverfahren. Ein ganz spezieller Dank geht an Herrn Professor Selvadurai, McGill University, Montreal, der mir wahrend seiner Zeit als Humboldt-Forschungspreistrager am Institut A fur Mechanik nicht nur viele nutzliche Anregungen gab, sondern auch zu einem Freund wurde. Der dreimonatigen Forschungsaufenthalt an der McGill University, den er mir groBzugig
VIII Vorwort
ermoglichte, wird mir dank des Engagements auch seiner Familie stets als ein sehr personliches Erlebnis in Erinnerung bleiben.
Zuletzt, aber dafur umso inniger, mochte ich meiner Frau Martina fur die Liebe und das Verstandnis danken, die sie mir wahrend der Fertigstellung dieser Arbeit entgegengebracht hat.
Stuttgart, im Fruhjahr 2003 Kai Willner
Inhaltsverzeichnis
Synthetische Kontinuumsmechanik
1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Tensorrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1 Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10 2.2 Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15 2.3 Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20 2.4 Tensoralgebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 25 2.5 Tensoranalysis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 36 2.6 Doppeltensoren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43
3 Kinematische Gro6en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 55 3.1 Konfiguration und Deformation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 55 3.2 Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . .. 58 3.3 Deformation und Deformationsgradient .................. 60 3.4 Verschiebung und Verschiebungsgradient . . . . . . . . . . . . . . . .. 63 3.5 Verzerrung und VerzerrungsmaBe.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 64 3.6 Kompatibilitatsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 70 3.7 Geschwindigkeitsgradient und Verzerrungsgeschwindigkeit .. 72 3.8 Starrkorperkinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 76 3.9 Geometrische Linearisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 77 3.10 Allgemeine Darstellung von Verzerrungstensoren . . . . . . . . .. 80
4 Kinetische Gro6en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 83 4.1 AuBere Lasten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 83 4.2 Cauchy-Spannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 84 4.3 Piola-Kirchhoff-Spannungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 86
5 Bilanzgleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 89 5.1 ZustandsgroBen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 89 5.2 Transporttheoreme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 92 5.3 Allgemeine Bilanzgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 95 5.4 Massenbilanz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 96 5.5 Impulsbilanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 97
X Inhaltsverzeichnis
5.6 Drehimpulsbilanz ..................................... 100 5.7 Energiebilanz ......................................... 106 5.8 Entropiebilanz ........................................ 109 5.9 Bilanzen des thermomechanischen Problems .............. 111 5.10 Konjugierte und duale Variable ......................... 113
6 Materialgleichungen ...................................... 121 6.1 Allgemeine Form ...................................... 122 6.2 Objektive Tensoren .................................... 124 6.3 Isotrope Funktionen ................................... 133 6.4 Materialklassen ....................................... 134 6.5 Hyperelastisches Material ....... , ...................... 136 6.6 Lineare Elastizitat ..................................... 142 6.7 Finite Elastizitat ...................................... 145 6.8 Warmeleitung ........................................ 150 6.9 Thermoelastisches Material ............................. 155 6.10 Lineare Thermoelastizitat .............................. 158 6.11 Finite Thermoelastizitat ............................... 159
7 Grundgleichungen der linearen Thermoelastizitat ......... 163
Analytische Kontinuumsmechanik
8 Analytische und synthetische Kontinuumsmechanik ....... 171
9 Grundlagen der Variationsrechnung ...................... 177 9.1 Funktionalanalysis ..................................... 178 9.2 Notwendige Bedingungen fur ein relatives Minimum ....... 183 9.3 Euler-Lagrangesche Gleichung .......................... 188 9.4 Naturliche Randbedingungen ........................... 193 9.5 Der Lagrangesche c5-ProzeB ............................. 195 9.6 Aufgaben mit mehreren unbekannten Funktionen .......... 199 9.7 Aufgaben mit mehreren unabhangigen Variablen .......... 201 9.8 Aufgaben mit hOheren Ableitungen ...................... 204 9.9 Aufgaben mit Nebenbedingungen ........................ 207
10 Das inverse Problem der Variationsrechnung ............. 215 10.1 Potential eines Vektorfeldes ............................. 215 10.2 Funktional einer Differentialgleichung .................... 216 10.3 Lineare Differentialgleichungen .......................... 220
Inhaltsverzeichnis XI
11 NaherungslOsungen auf der Basis von Prinzipen .......... 223 11.1 Das Ritzsche Verfahren ................................ 223 11.2 Das Galerkinsche Verfahren ............................ 225 11.3 Die Methode der gewichteten Residuen ................... 226
12 Die Prinzipe der Punktmechanik ......................... 231 12.1 Das Prinzip von d'Alembert in der Lagrangeschen Fassung . 231 12.2 Das Prinzip von Hamilton .............................. 233 12.3 Probleme bei der Lagrangeschen Variation ................ 235 12.4 Probleme mit nichtholonomen Nebenbedingungen ......... 237
13 Variationelle Prinzipe der Kontinuumsmechanik .......... 243 13.1 Das Prinzip der virtuellen Arbeit ........................ 245 13.2 Das Prinzip der virtuellen Temperatur ................... 248 13.3 Ein thermomechanisches Prinzip ........................ 250
14 Variationsprinzipe der linearen Elastostatik ............... 253 14.1 Formiinderungsenergie und die Siitze von Clapeyron, Betti
und Maxwell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 14.2 Prinzip der virtuellen Verschiebungen .................... 258 14.3 Prinzip vom Minimum der potentiellen Energie ........... 259 14.4 Erweitertes Prinzip vom Stationiirwert der potentiellen
Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 14.5 Prinzip von Hu-Washizu ............................... 264 14.6 Prinzipe von de Veubeke und Hellinger-Reissner ........... 266 14.7 Prinzip vom Minimum der komplementiiren Energie ....... 270 14.8 Prinzip der virtuellen Kriifte ............................ 273 14.9 Ein Prinzip mit unabhiingigen Randfeldern ............... 273 14.10 Die Siitze von Castigliano und Menabrea ................. 275
15 Variationsprinzipe der finiten Elastostatik ................ 279 15.1 Prinzip vom Stationiirwert der potentiellen Energie ........ 279 15.2 Stabilitiit der Gleichgewichtslage ........................ 281 15.3 Abgeleitete Variationsprinzipe .......................... 282
16 Variationsprinzipe der Dynamik .......................... 285 16.1 Verallgemeinertes Prinzip von Kirchhoff-Hamilton ......... 285 16.2 Prinzip von Kirchhoff-Hamilton fur konservative Systeme ... 287 16.3 Ein Variationsprinzip fur die Wiirmeleitung ............... 289 16.4 Ein Prinzip fUr den thermoelastischen K6rper ............. 291
Kontaktmechanik
17 Einfiihrung in die Kontaktmechanik ........... . . . . . . . . . . . 295
XII Inhaltsverzeichnis
18 Singulare Flachen . ........................................ 301 18.1 Kinematik ............................................ 301 18.2 Allgemeine Bilanzgleichung ............................. 303 18.3 Bilanzgleichungen fur das Volumen ...................... 307 18.4 Bilanzgleichungen fur die singuUire Flache ................ 309
19 Synthetische Kontaktmechanik ........................... 313 19.1 Kontaktkinematik ..................................... 313 19.2 Kontaktkinetik ........................................ 318 19.3 Formulierung der Kontaktbedingungen ................... 319 19.4 Kontaktbilanzen ...................................... 321
20 Konstitutive Kontaktgesetze .............................. 325 20.1 Formulierung des Tangentialkontakts .................... 325 20.2 Allgemeine Form ...................................... 330 20.3 Objektivitat der KontaktgraBen ......................... 331 20.4 Reibungsfreier Kontakt ................................ 332 20.5 Reibungsbehafteter Kontakt ............................ 336 20.6 Warmeleitung ........................................ 339 20.7 Thermomechanischer Kontakt .......................... 343
21 Analytische Kontaktmechanik ............................ 347 21.1 Variation der kinematischen GraBen ..................... 347 21.2 Variationsungleichungen ................................ 350 21.3 Active-Set-Strategie ................................... 356 21.4 Lagrangesche Multiplikatoren ........................... 360 21.5 Penalty-Methode ...................................... 364 21.6 Perturbed-Lagrange-Methode ........................... 367 21.7 Augmented-Lagrange-Verfahren ......................... 369 21.8 Formulierung fur das thermomechanische Kontaktproblem .. 372
Diskretisierungsverfahren und numerische Beispiele
22 Diskretisierungsverfahren ................................. 377
23 Die Methode der finiten Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383 23.1 Diskretisierung des mechanischen Problems ............... 385 23.2 Diskretisierung des thermischen Problems ................ 390 23.3 Diskretisierung des thermomechanischen Problems ......... 393 23.4 Behandlung nichtlinearer Probleme ...................... 398 23.5 Behandlung zeitabhangiger Probleme .................... 403 23.6 Lasung des linearen Gleichungssystems ................... 411 23.7 Fehleranalyse und adaptive Verfahren .................... 413
Inhaltsverzeichnis XIII
24 Inkrementierung des thermomechanischen Problems ...... 417 24.1 Inkrementierung des dynamischen Problems .............. 417 24.2 Inkrementierung des instationaren Problems .............. 421 24.3 Inkrementierung des stationaren Problems ................ 423
25 Linearisierung des thermomechanischen Problems ........ 425 25.1 Linearisierung des mechanischen Problems ................ 426 25.2 Linearisierung des thermischen Problems ................. 428 25.3 Linearisierung des gekoppelten Problems ................. 429 25.4 Linearisierung der Spannungen .......................... 433 25.5 Linearisierung konfigurationsabhangiger Lasten ........... 439
26 Behandlung des Kontaktproblems ........................ 441 26.1 Linearisierung des mechanischen Kontakts ................ 442 26.2 Linearisierung des Normalkontaktgesetzes ................ 446 26.3 Linearisierung des Tangentialkontaktgesetzes ............. 446 26.4 Linearisierung des thermischen Kontakts ................. 450 26.5 Numerische Aspekte ................................... 452
27 Numerische Beispiele ..................................... 455 27.1 Gough-Joule-Effekt .................................... 456 27.2 Thermoelastische Dampfung ............................ 462 27.3 GroBe Deformationen infolge Warmedehnung ............. 467 27.4 WarmefluB bei groBen Verzerrungen ..................... 470 27.5 Hyperelastisches Materialverhalten ...................... 473 27.6 Statischer Kontakt bei kleinen Deformationen ............. 476 27.7 Statischer Kontakt bei groBen Deformationen ............. 483 27.8 Dynamischer Kontakt bei groBen Deformationen .......... 488 27.9 Thermische Kontaktinstabilitat ......................... 490 27.10 Warmeentwicklung durch Reibung ....................... 497
Anhang
A Grundideen der konvexen Analysis ....................... 507 A.l Mengen .............................................. 507 A.2 Funktionen ........................................... 509 A.3 Generalisierte Ableitung ............................... 510 A.4 Indikatorfunktion ..................................... 511
B Ein axialsymmetrisches Membranelement ................. 515 B.l Kinematik ............................................ 515 B.2 Materialgesetz ........................................ 519 B.3 Schwache Form ....................................... 521 B.4 Linearisierung ........................................ 522
XIV Inhaltsverzeichnis
B.5 Algebraisierung ....................................... 523
Literaturverzeichnis .......................................... 527
Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553