DinmicaVibraes Foradas sob Excitao Harmnica
Prof. Clodoaldo
Vibrao forada aquela que ocorre quando o sistema sofre a ao de forasexternas durante o movimento:
As foras harmnicas so as que representam a maioria dos fenmenosresponsveis por vibraes em sistemas fsicos. A excitao harmnica representada por uma funo senoidal:
)cos()( 0 = tFtF Fo a amplitude da fora, a frequncia com que a fora aplicada e o ngulo de fase.
Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaIntroduo
Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaIntroduo
Este tipo de fora produzir uma resposta harmnica que tambm ter a forma funcional senoidal.
Quando a frequncia com que a fora aplicada coincide com a frequncia natural do sistema ocorre o fenmeno da ressonncia. Este fenmeno amplamente conhecido e pode produzir graves consequncias a integridade estrutural do sistema.
Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaEquao do Movimento
A figura abaixo mostra o modelo de um sistema de um grau de liberdade, amortecido, e seu respectivo diagrama de corpo livre:
Aplicando a 2 lei de Newton, aequao diferencial domovimento obtida como:
( )mx cx kx F t+ + =&& &
Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaEquao do Movimento
Esta equao diferencial possui soluo geral constituda de uma soluohomognea associada a uma soluo particular:
A soluo homognea obtida fazendo F(t)=0, resultando na vibrao livre que foiestudada anteriormente. A soluo particular representa a vibrao de regimepermanente do sistema, persistindo enquanto a fora externa atuar.
A prxima figura ilustra a composio da soluo da equao diferencial. A parcelado movimento que diminui com o tempo, devido ao amortecimento chamadatransiente e a rapidez com que ocorre esta diminuio depende dos parmetros dosistema, m, c e k.
( ) ( ) ( )h px t x t x t= +
Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaEquao do Movimento
Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaSistema No Amortecido Sob Fora Harmnica
Por simplicidade, vamos inicialmente estudar o sistema sem amortecimento (c=0) eF(t)=Focos(t). A equao do movimento assume a forma:
A soluo homognea desta equao, como j estudado, tem a forma:
A soluo particular por sua vez :
Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaSistema No Amortecido Sob Fora Harmnica
Substituindo na equao do movimento, pode-se encontrar a amplitude X do movimento:
Onde:
a deflexo esttica, que ocorre quando a fora constante.
Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaSistema No Amortecido Sob Fora Harmnica
A soluo geral ento fica:
E as constantes so encontradas por:
Assim:
Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaSistema No Amortecido Sob Fora Harmnica
A amplitude mxima X pode ser escrita como :
A quantidade X/st chamado de fator de amplificao e definindo r como a relao de frequncias:
A variao do fator de amplificao em funo da relao de frequncias mostrada na prxima figura:
Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaSistema No Amortecido Sob Fora Harmnica
A anlise da figura, sugere trs casos para a resposta do sistema:
Ressonncia:
Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaSistema No Amortecido Sob Fora Harmnica
Caso 1:
Denominador positivo. A resposta de regime permanentedo sistema dada pela equao:
A resposta harmnica xp(t) est em coincidncia de fase com a fora externa,conforme mostra a figura:
Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaSistema No Amortecido Sob Fora Harmnica
Caso 2:
Denominador negativo. A resposta de regime permanentedo sistema dada pela equao:
A amplitude do movimento X redefinida para ser uma quantidade positiva:
Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaSistema No Amortecido Sob Fora Harmnica
A resposta harmnica xp(t) est em oposio de fase (defasada em 180 graus)com a fora externa, conforme mostra a figura:
Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaSistema No Amortecido Sob Fora Harmnica
Denominador nulo. A amplitude infinita, neste caso,temos a condio de ressonncia
Como o ltimo termo da equao possui uma forma indefinida, aplica-se a regrade L'Hospital para avaliar o limite deste termo:
Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaSistema No Amortecido Sob Fora Harmnica
Assim, a resposta do sistema na ressonncia se torna:
ltimo
Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaSistema No Amortecido Sob Fora Harmnica
Exemplo: Um motor de 200 kg est montado sobre 4 molas, cada uma com k =500 kN/m. Durante a operao o motor est sujeito a uma fora harmnica F(t) =700cos(50t) N.a) Determine a rotao do motor na qual ocorrer a ressonncia.b) Qual a amplitude do movimento ? O movimento est em fase com a foraexterna ?
Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaResposta de um sistema amortecido sob Excitao Harmnica
Sob a atuao de uma fora harmnica a equao do movimento amortecido se torna:
A soluo particular tambm da forma harmnica, onde o ngulo de fase:
Substituindo:
Utilizando as relaes trigonomtricas:
Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaResposta de um sistema amortecido sob Excitao Harmnica
Igualando os coeficientes do seno e cosseno de ambos os lados da equao:
Resolvendo a equao acima para a soluo no trivial ( X =0):
Dividindo por k o numerador e denominador da equao de X, mostrada acima e lembrando que:
Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaResposta de um sistema amortecido sob Excitao Harmnica
Obtemos
Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaResposta de um sistema amortecido sob Excitao Harmnica
Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaResposta de um sistema amortecido sob Excitao Harmnica
Representao
Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaResposta de um sistema amortecido sob Excitao Harmnica
Do grfico, algumas observaes podem ser levantadas:
Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaResposta Total
A resposta total a soluo geral da equao:
onde xh(t) a soluo do caso de vibrao livre subamortecida. Assim:
X0 e 0 so obtidos a partir das condies iniciais:
Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaResposta Total
Exemplo: Determine a resposta total de um sistema de um grau de liberdade commassa equivalente igual a 10 kg, coeficiente de amortecimento e rigidezequivalentes iguais a 20 N.s/m e 4 kN/m, respectivamente e deslocamento inicialigual a 0,01 m. A velocidade inicial nula e a fora externa que age sobre osistema Ft) = 100cos(10t).
Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaResposta Total