Vibrações e ondas2015/2016
Célia Henriques
Bibliografia
Movimento harmónico simples (MHS)
Cacterísticas gerais:
• Periodicidade• Posição de equilíbrio• Força restauradora• Ponto de viragem• Trocas entre energia potencial e cinética
Boa aproximação/modelo para muitos sistemas reais….as simplificações tornam os problemas tratáveis …
… podem depois introduzir-se correcções/melhoramentos …
Descrição matemática geral sem complicações de maior
VO 2015/2016
VO 2015/2016
Sistema mola-massaAproximações:• mola sem massa• atrito desprezável• pequenas distensões
Gráfico da posição em função do tempoquando se começou a contar o tempo?
• Amplitude …• Período … frequência (Hz=s-1)…
• Fase …
⌫ =1
T
�
Posição de equilíbriomola não distendida
distensão da mola
VO 2015/2016
Sistema mola-massaAproximações:• mola sem massa• atrito desprezável• pequenas distensões
d2x
dt2= �!
2x
força por unidade de deslocamento e de massa
Força restauradora
VO 2015/2016
d2x
dt2= �!
2x
Equação diferencial linear de 2ª ordemde qualquer oscilador harmónico simples
solução geral … d2 + !2 = 0 ) d = i! _ d = �i!
x(t) = A (cos!t cos�� sen!t sen�)
A =pa
2 + b
2, cos� =
a
A
, sen� =�b
A
x(t) = a cos!t+ b sen!t
x(t) = (a+ b) cos!t+ i(a� b) sen!t
x(t) = a e
i!t + b e
�i!t
x(t) = Acos (!t + �)
VO 2015/2016
x(t) = Acos (!t + �)
x=-A x=A
x(0) = x(T ) = A
cos(0) = cos(! T )
! T = 2⇡ , ! =2⇡
T
x(t) = Acos(!t)
x(t) = Acos(!t)
Posição num MHS
frequência angular (rad.s-1)
VO 2015/2016
Fase na origemcaracterísticas do movimento no início da contagem dos tempos
Quando t = 0 em x = A:x(t) = Acos(!t)
a contagem do tempo começa atrasada de :�t
�t =�
!
x(t) = A cos [!t + !�t] = A cos [!t + �]
x(t) = A cos [!t + !�t]
x(t) = A cos [!(t + �t)]
VO 2015/2016
Posição, velocidade e aceleração num MHS
t
t
t
pontos de viragem
desfazamentos de T/4 (em tempo) ou /2 em ângulo⇡
x(t) = Acos(!t + �)
v(t) =dx
dt= �A! sen(!t + �)
a(t) =dv
dt= �A!
2cos(!t + �)
VO 2015/2016
… o que se expressa por um cos também se expressa por um sen …
x(t) = Acos(!t + �) x(t) = Asen(!t + �
0)
�0 = � +⇡
2
VO 2015/2016
~v
~v
x(t) = Acos(!t + �) v(t) = �A! sen(!t + �)
sen� < 0cos� < 0
sen� > 0cos� < 0
� ângulo de 3º quadrante
� ângulo de 2º quadrante
VO 2015/2016
! =
rk
m
x(t) = Acos(!t + �)
determinadas pelas condições iniciais
determinado pelas propriedades do osciladorfrequência natural de oscilaçãod2x
dt2= �!
2x
! =
rmg rCM
I
! =
r1
LC
CM
~rCM
✓
Id2✓
dt2⇡ � rCM mg ✓
Ld2q
dt2= � 1
Cq
q(t)
VO 2015/2016
Energia* de um oscilador harmónico simples
*ferramenta poderosa
Energia potencialEnergia cinética
K =1
2mv2 U =
Zx
0k x
0 dx0 =1
2k x
2
Lei de Newton m
dv
dt= �k x ) mv dv = �k x dx ,
, d
✓1
2mv
2
◆= � d
✓1
2k x
2
◆)
dW = k x
0 dx0x
0 �! x
0 + dx0
Conservação de energia
1
2mv
2 +1
2k x
2 = E
VO 2015/2016
!2 A2 sen2(!t + �)
A2cos
2(!t + �)
E =1
2mv
2 +1
2k x
2
E = K + U =1
2k A2
U(t) =k
2
A2cos
2(!t + �)
U(x) Poço de potencial parabólico
~F ~F
~F = �gradU
equilíbrio
K(t) =k
2A2 sen2(!t + �)
) E =1
2k A2
VO 2015/2016
Em quase todas as situações físicas … suficientemente próximo do equilíbrio a forma dos poços de potencial é parabólica
Pêndulo
Molécula de H2
VO 2015/2016
Matematicamente …
Expansão em série de Taylor em torno da posição de equilíbrio
origem da energia potencial (arbitrária)
Para pequenos x :
constante elástica da mola no sistema mola-massa
Energia de qq OHSE =
1
2↵ v
2 +1
2� x
2
VO 2015/2016
“Assinaturas” de um OHS (equações “padrão”)
E =1
2↵ v
2 +1
2� x
2d2x
dt2= �!
2x
d
dt�! d
dx
dx
dt
d
dt�! d
dv
dv
dt
↵ v
dv
dt+ � x
dx
dt= 0 , d2x
dt2= ��
↵
x ! =
r�
↵
“Força restauradora por unidade deslocamento”armazenamento de energia potencial
“Inércia do sistema”armazenamento de energia cinética
O sistema pode ser descrito em termos energéticos ou pelas eq. do movimento. Parte-se do que for mais simples
conservação de energia dE
dt= 0 , d
dt
✓1
2↵ v
2
◆+
d
dt
✓1
2� x
2
◆= 0
VO 2015/2016
Sistema descrito pelas equação padrão => OHS (mesmo que estejam envolvidas quantidades físicas que não a força, a massa de inércia e o deslocamento linear)podem ser usados os resultados gerais para um OHS
ATENÇÃO: ✓ 6= !
E =1
2I ✓2 + mg y
Pêndulo
x = l sen✓ ⇡ l ✓
y
2 + x
2 = 2 l y ) y ⇡ x
2
2l✓ �! 0y2 �! 0
“Inércia do sistema”momento de inércia
“Torque restaurador por unidade de deslocamento angular”
↵ �
✓(t) = ✓0 cos(!t + �)! =
r�
↵=
rg
l,
E =1
2ml2 ✓2 +
1
2mg l ✓2
VO 2015/2016
Circuito RL {condensador, bobine} (oscilações elétricas)
d2q
dt2= � 1
LCq
Ld2q
dt2= � 1
Cq
↵
�
! =
r1
LC q(t) = q0 cos(!t + �)
E =1
2↵ q2 +
1
2� q2 E =
1
2L q2 +
1
2
1
Cq2
E =1
2LI2 +
1
2C V 2
VO 2015/2016
Sistemas que podem ser descritos com base em MHS:
diapasão
cordas de uma guitarra
vibrações moleculares
cristais piezoeléctricos (microfones, relógios de quartzo,etc)
A energia de um OH quântico só pode tomar determinados valores, i.e., está quantizada
E =(n+ 1)
2~!
VO 2015/2016
Oscilador harmónico amortecido
Forçasdissipavas
A oscilação éamortecida
A amplitude da oscilaçãoé reduzida
Perdas de energia
A frequência não se altera significativamenteo “grau” de amortecimento é pequeno
mede o grau de amortecimento
Muitas vezes num oscilador mecânico as forças dissipavas são ≈
pequenasv
fluido viscoso
• forma do corpo• viscosidade do fluido
VO 2015/2016
Na aproximação
,
frequência natural de oscilação!02 =
k
m� =
b
m
• ligeiro• forte• crítico
involve oscilação
o sistema não oscila voltando “lentamente” à situação de equilíbrio
o sistema volta rapidamente à situação de equilíbrio (não oscila)
fluidoviscoso
As soluções dependem do grau de amortecimento
… relação entre e !02�2
4termo de amortecimento
VO 2015/2016
fluido poucoviscosoAmortecimento ligeiro
8<
:
� = �2
!2 = !02 � �2
4
oscilantereal!
�2
4< !0
2 se �2
4<< !0
2, ! ⇡ !0 (diapasão)
8<
:
2�! � �! = 0
�2 � !2 � �� + !02 = 0
VO 2015/2016
Amortecimento ligeiro �2
4< !0
2
!2 = !02 � �2
4
� =b
m
envolvente
decréscimo logarítmico
VO 2015/2016
Amortecimento ligeiro�2
4< !0
2
decréscimo logarítmico
Oscilador harmónico amortecido
VO 2015/2016
Perda de energia num oscilador harmónico amortecido
Amortecimento muito ligeiro
se �2
4<< !0
2, ! ⇡ !0 (diapasão)
Tempo de decaimento/ constante de tempo…
…
VO 2015/2016
0, 37⇥ E0
Taxa de dissipação de energia Taxa a que o oscilador realiza trabalho contrariando a força dissipativa
VO 2015/2016
Factor de qualidade • adimensional• tanto maior quanto menor o grau de amortecimento
Q =!0
�T⌧
… comparação entre e T … ⌧ 2⇡⌧
T
VO 2015/2016
Variação na frequência do oscilador relativamente à situação de ausência de amortecimento é aproximadamente
E(t+ T ) = E0 exp [�� (t+ T )) = E(t) exp(�� T )
Fração de energia perdida por ciclo de um oscilador com amortecimento muito ligeiro, E(t) = E0 exp(�� t)
E(t+ T )� E(t)
E(t)= exp(�� T ) � 1 ⇡ �
2⇡
!0=
2⇡
Q
e
x ⇡ 1 + x
! � !0
!0=
1
8Q2
!2 = !02 � �2
4
(1� x)1/2 ⇡ 1� x
2 Q =!0
�
VO 2015/2016
Amortecimento fortefluido com grande
viscosidade
amortecimentoligeiro
�2
4> !0
2
… comportamento não oscilante
↵2 > 0↵2 < 0↵2 =
�2
4� !0
2
Sistema de suspensão de um carro
VO 2015/2016
Amortecimento crítico
↵2 = 0
VO 2015/2016
�2
4> !0
2
�2
4< !0
2Amortecimento ligeiro
Amortecimento crítico Amortecimento forte
VO 2015/2016
Oscilações eléctricas amortecidas
Amortecimento ligeiro:
=> Q = 200Valores típicos: L = 10 mH, C = 2,5 nF e R = 10 ⌦
1
VO 2015/2016Oscilações forçadas
• Uma força externa periódica (força motriz)é imposta ao sistema
• Após o transiente inicial o sistema oscila com a frequência da força
• A frequência da força motriz tem uma enorme influência na amplitude de oscilação … frequência de ressonância …
• … na presença de forças dissipavas a resposta do sistema depende do factor de qualidade Q
VO 2015/2016
O ponto de suspensão é posto em movimento harmónico
colocando o pêndulo em oscilação
Frequências muito baixas movimentos com a mesma amplitude e em fase
Com o aumento da frequência• a amplitude da oscilação do pêndulo aumenta dramaticamente …
muito maior do que a do ponto de suspensão• quando o valor é próximo do da frequência natural… ressonância …• para valores ainda maiores a amplitude decresce (inércia) … o
pêndulo move-se na direcção oposta ao do ponto de suspensão
equilíbrio
equilíbrio
Oscilações forçadas sem amortecimento
Força motriz
! = 0Se x =F0
k
VO 2015/2016
A extremidade superior da mola oscila harmonicamente na vertical
comprimento de equilíbrio
VO 2015/2016
Ângulo de fase!Amplitude
F0
entre a força motriz e o deslocamento resultante
Variação de : comportamento semelhante ao do pêndulo simples forçado!
!
� �! ⇡� �! 0 muito baixas frequências
muito altas frequências
VO 2015/2016
� = 0 _ � = ⇡
Não se verificahá sempre amortecimento
para para
Amplitude
VO 2015/2016
para
para
Amplitude
Amplitude algébrica
VO 2015/2016
Oscilações forçadas com amortecimento
depende da frequência
… desfazamento deslocamento-força
Força e velocidade em fase!
VO 2015/2016
Máximo de A( ) !
VO 2015/2016Valor finito para o máximo da amplitude
Q = !0�
VO 2015/2016
A
� = 0
!
�1
�2
!0
F0k
VO 2015/2016
Durante um violento tremor de terra a superfície terrestre oscila com um período de cerca de 20 minutos e com uma amplitude tal que o máximo da aceleração é de cerca de 10-9 ms-2. Qual o menor valor de A (amplitude de y(t)) que tem de ser mensurável para se conseguir detectar este fenómeno? (Considerar )
k
⌘
(French 4.6 adaptado) Um sismógrafo simples é constituído por uma massa M presa por uma mola a uma estrutura rígida ligada à terra (ver figura).
Considere que y é o deslocamento de M em relação à Terra e que é o deslocamento da superfície terrestre (relativamente a um referencial fixo). O sismógrafo tem um período de cerca de 30 s e Q≈2.
…
d2ydt2 + � dy
dt + !02 y = �d2⌘
dt2
VO 2015/2016
Estado estacionário / regime transitório do oscilador forçado• O sistema perturbado pela força motriz “tenta” oscilar com a sua frequência natural• O sistema tende a oscilar com a frequência imposta mais ou menos rapidamente
dependendo do grau de amortecimento
VO 2015/2016
Potência absorvida pelo oscilador forçado
• Em regime estagionário a força motriz repõe a energia perdida devido ao amortecimento
• A potência absorvida pelo oscillator é exactamente igual à taxa a que a energia é dissipada
e da potência. Máximo da velocidade …
VO 2015/2016
VO 2015/2016
Q = frequencia de ressonancia
largura a meia altura da curva de potencia
VO 2015/2016O circuito RLC com alimentação alterna
… selecção e amplificação de um sinal de rádio
VO 2015/2016
RMN - ressonância magnética nuclear
• Os núcleos são como que magnetes atómicos• Na presença de um campo magnético só orientações
discretas (estados) são possíveis
VO 2015/2016
• Radiação com a frequência correcta pode causar transição entre estes estados • A transição pode causar tensões induzidas detectáveis numa bobine• Na prática são usadas frequências constantes e varia-se o campo magnético
Contraste entre diferentes tecidos
Ritmos diferentes de regresso ao estado de equilíbrio
Radiofrequência
VO 2015/2016
informação de fase informação
de amplitude
Notação “complexa”
As quantidades físicas (desloca/, velocidade, aceleração, …) são representadas pela parte real de um número complexo z
OHS
…