Uydu Yörüngelerine Giriş
Dr. Ethem Derman
Dr. Ethem Derman, Ankara Üniversitesi Slayt No: 24 Mayıs 2004
Niçin Uydular Dolanıyor?
Merkezkaç kuvvet çekim kuvvetine eşit olursa dairesel yörünge.
Eğer hız biraz fazla veya az ise o zaman yörünge eliptik olur.
Dr. Ethem Derman, Ankara Üniversitesi Slayt No: 34 Mayıs 2004
Ateşlendiği Andaki Hızı
Dr. Ethem Derman, Ankara Üniversitesi Slayt No: 44 Mayıs 2004
Yörünge Türleri
Dr. Ethem Derman, Ankara Üniversitesi Slayt No: 54 Mayıs 2004
Yörünge Türleri
Dr. Ethem Derman, Ankara Üniversitesi Slayt No: 64 Mayıs 2004
Yörünge Türleri
Dr. Ethem Derman, Ankara Üniversitesi Slayt No: 74 Mayıs 2004
Dairesel Yörünge Örneği
MerkeziKuvvet 2
2
r
mGm
r
mv e ÇekimselKuvvet
-23 14 s m10 3.986005eGm
32
2 4r
GmT
e
Dönem v
rT
2 NOAA uydularının
yörüngeleri yeryüzünden yaklaşık 850 km yukarıdadır (r = 7228 km) ve bu nedenle dönemleri 102 dakikadır.
Dr. Ethem Derman, Ankara Üniversitesi Slayt No: 84 Mayıs 2004
Kepler Yasaları1. Tüm gezegenler odaklarının birinde Güneş
bulunan bir elips yörünge üzerinde hareket ederler.
2. Güneş ile gezegeni birleştiren yarıçap vektörü eşit zamanlarda eşit alanlar süpürür.
3. Dolanma döneminin karesinin yarı büyük eksen uzunluğunun küpüne oranı güneş etrafında dolanan her gezegen için aynıdır.
4. Gezegen yerine uyduyu ve güneş yerine dünyayı koyarsak yasa geçerlidir fakat sadece orantı katsayısı farklıdır.
Dr. Ethem Derman, Ankara Üniversitesi Slayt No: 94 Mayıs 2004
Elips Geometrisi
a = Yarıbüyük eksen = Dışmerkezlik (0-1) = Gerçek anomalir = Yarıçap
cos1
)1( 2
a
r Elips denklemi
Dr. Ethem Derman, Ankara Üniversitesi Slayt No: 104 Mayıs 2004
1. Kepler Yasası
Dr. Ethem Derman, Ankara Üniversitesi Slayt No: 114 Mayıs 2004
1. Kepler Yasası
Dr. Ethem Derman, Ankara Üniversitesi Slayt No: 124 Mayıs 2004
2. Kepler Yasası
Dr. Ethem Derman, Ankara Üniversitesi Slayt No: 134 Mayıs 2004
2. Kepler Yasası
Dr. Ethem Derman, Ankara Üniversitesi Slayt No: 144 Mayıs 2004
Newton‘un ikinci yasasının matematik ifadesini anımsayalım.
Burada F kuvvet, m kütle, a ivme, v hız ve t zamandır.
dt
dvmmaF
Newtonun İkinci Yasası
Dr. Ethem Derman, Ankara Üniversitesi Slayt No: 154 Mayıs 2004
Newton’un Evrensel Çekim Yasası
Aralarındaki uzaklık r olan iki noktasal kütlenin ( m1 ve m2) birbirlerine uyguladıkları kuvvet,
Burada G evrensel çekim sabiti olup sabittir ve değeri (6.67259 x 10-11 N m2 kg-2) dır.
221
r
mGmF
Uydu üzerine uygulanan merkezkaç kuvvet ise
Dr. Ethem Derman, Ankara Üniversitesi Slayt No: 164 Mayıs 2004
Her iki kuvvet birbirine eşit olması gerekir uydunun düşmemesi için
Yol, hız ile zamanın çarpımına eşit olduğundan
olduğundan
Newton’un Evrensel Çekim Yasası
Dr. Ethem Derman, Ankara Üniversitesi Slayt No: 174 Mayıs 2004
Uyduların Dönemi
Hızın bu karşılığını birinci denklemde yerine koyalım
Bizi üçüncü Kepler yasasına götürür. Bu denklem yardımıyla biz her uydunun yere olan yüksekliğini bilirsek dünyayı ne kadar zamanda dolanacağını bulabiliriz.
Dr. Ethem Derman, Ankara Üniversitesi Slayt No: 184 Mayıs 2004
Uyduların Dönemi
h (km) R (km) P V(km/s) v(km/s)
0 6 378 1h 24m 7.91 3.27
100 6 478 1h 26m 7.85 3.24
500 6 878 1h 34m 7.62 3.15
1 000 7 378 1h 45m 7.36 3.07
2 000 8 378 2h 07m 6.91 2.86
10 000 16 378 5h 48m 4.94 2.04
35 790 42 168 23h 56m 3.07 1.27
378 000
384 400
27d .322
1.02 0.43
Dr. Ethem Derman, Ankara Üniversitesi Slayt No: 194 Mayıs 2004
Yüzey Çekim İvmesi
Yüzeydeki noktasal kütlenin değeri 1 olursa elde edilen çekim kuvvetine alanın şiddeti denir.
Değeri 9.8 m/s2 dir.
Aşağıdaki üç denkleme dikkat edelim, bunlar uydunun kütlesine bağlı değildir.
Dr. Ethem Derman, Ankara Üniversitesi Slayt No: 204 Mayıs 2004
g’nin farklı h’lar için değeriKonum Yer merkezinden
uzaklıkg’nin değeri (m/s2)
Yer yüzeyi 6.38 x 106 m 9.8
1000 km yükseklikte 7.38 x 106 m 7.33
2000 km yükseklikte 8.38 x 106 m 5.68
3000 km yükseklikte 9.38 x 106 m 4.53
4000 km yükseklikte 1.04 x 107 m 3.70
5000 km yükseklikte 1.14 x 107 m 3.08
6000 km yükseklikte 1.24 x 107 m 2.60
7000 km yükseklikte 1.34 x 107 m 2.23
8000 km yükseklikte 1.44 x 107 m 1.93
9000 km yükseklikte 1.54 x 107 m 1.69
10000 km yükseklikte 1.64 x 107 m 1.49
50000 km yükseklikte 5.64 x 107 m 0.13
Dr. Ethem Derman, Ankara Üniversitesi Slayt No: 214 Mayıs 2004
Kepler Denklemi
3
2
sin)(
a
Gm
Tn
eettnM
e
p
M = Ortalama anomalin = Ortalama hareket sabititp = Enberiden geçiş zamanıe = Eksentrik anomali = Dışmerkezlik
M, e ve θ açıları enberi noktasında sıfırdır.
cos1
coscos
cos1
coscos
e
e
e
NOT: Tüm açılar radyan birimindedir.
Dr. Ethem Derman, Ankara Üniversitesi Slayt No: 224 Mayıs 2004
Sağaçıklık & Dikaçıklık
= dikaçıklık = Sağaçıklık
Uzayda yörünge düzlemini tanımlamak
için koordinat sistemine
gereksinmemiz vardır
Dr. Ethem Derman, Ankara Üniversitesi Slayt No: 234 Mayıs 2004
Açıların Tanımı
i = Eğim açısı = Enberinin boylamı = Çıkış düğümünün sağaçıklığı
i < 90° doğru yöndei > 90° ters yönde
Dr. Ethem Derman, Ankara Üniversitesi Slayt No: 244 Mayıs 2004
Yörünge Elemanları
Yörünge Elemanları Sembol
Yarıbüyük eksen a
Dışmerkezlik
Eğim i
Enberinin boylamı o
Çıkış düğümünün sağaçıklığı o
Ortalama anomali Mo
Başlangıç zamanı to
Dr. Ethem Derman, Ankara Üniversitesi Slayt No: 254 Mayıs 2004
Uydu Nerede?Adım adım hesaplama rehberi
1. İlgilendiğin uydunun yörünge elemanlarını bul.
2. Zamanla değişen yörünge elemanlarını (M, , & ) ilgilendiğin (t ) zamanına güncelle:
M = Mo + (t – to)(dM/dt), örnek.
3. Kepler denklemini kullanarak gerçek anomaliyi () hesap et.
4. r’yi (uydunun dünya merkezinden uzaklığı) bulmak için elips denklemini kullan.