University of PerugiaUniversity of Perugia
Reti di TLC
Esercitazione 3
Ing. Mauro [email protected]
http://conan.diei.unipg.it/Corso Reti/
University of PerugiaUniversity of Perugia
Sistemi di servizio
» Il sistema viene descritto attraverso variabili aleatorie quali:» k = numero di utenti nel sistema
» l = numero di utenti nella sola fila d’attesa
» h = numero di serventi contemporaneamente occupati
» x = tempo di servizio
» s = tempo di permanenza nel sistema (tempo di coda o di ritardo)
» w = tempo di permanenza nella fila d’attesa
sorgenti di traffico
12
n
.
.
.
serviziofila d’attesa
2
m
.
.
.L
1
University of PerugiaUniversity of Perugia
Sistemi di servizio
· La variabile aleatoria k viene caratterizzata attraverso la sua probabilità limite
k= pk=probabilità che in un generico istante di
osservazione in regime permanentein regime permanente siano presenti k utenti all’interno del sistema
k= pk=probabilità che in un generico istante di
osservazione in regime permanentein regime permanente siano presenti k utenti all’interno del sistema
University of PerugiaUniversity of Perugia
Parametri prestazionali» Probabilità di sistema bloccato (m serventi)
» Probabilità di rifiuto» r.s.o. richiesta di servizio offerto
» Probabilità di servizio bloccato (m serventi)
» Probabilità di ritardo» r.s.a. richiesta di servizio attesa
mLp pm+L=kPrS
0
ppp r.s.oPr
bloccato emar.s.o/sistPrS.s.obloccato/r sistemaPr
mkPrSr
s
srrr r.s.aPr
bloccato izior.s.a/servPrS.s.abloccato/r servizioPr
University of PerugiaUniversity of Perugia
Sistemi a coda monoserverte (L=)
· La richiesta in arrivo è servita se trova il servente disponibile, altrimenti viene inserita in fila d’attesa.
· Tali sistemi hanno rilevante interesse nello studio delle reti a pacchetto.
12
n
.
.
.1
serviziosorgenti di
trafficofila d’attesa
University of PerugiaUniversity of Perugia
Sistema a coda M/M/1//· Ipotesi:
» tempi di interarrivo i.i.d. con distribuzione esponenziale negativa di parametro ingresso di Poisson;
» tempi di servizio i.i.d. con distribuzione esponenziale negativa di parametro ;
» processi di arrivo e di servizio statisticamente indipendenti.
» singolo servente;
» un numero comunque elevato di utenti possono trovare posto nella fila d’attesa.
· Il processo di coda K(t) è descrivibile mediante un processo di Markov di nascita e morte con spazio di stato {0,1,…}
· Il processo di coda K(t) è ergodico se /µ<1
University of PerugiaUniversity of Perugia
Evoluzione temporale
nascite
morti
0
1
t
2
3
k(t)
ingresso
servizio
4
University of PerugiaUniversity of Perugia
Frequenze di transizione di stato
k
k per k 0
per k 1
frequenza di nascita
frequenza di morte
0 1 2 k. . .
k+1
University of PerugiaUniversity of Perugia
1kk pp per k0
0
1k
1kk1k p...ppp
Probabilità limite di stato (1)
· Per l’equilibrio dei flussi si ha:
posto =/ per <1 si ha l’equazione di congruenza
0k 0k
0k
k 1pp 1p0 1p0
Già noto dal Teorema di LittleGià noto dal Teorema di Little
University of PerugiaUniversity of Perugia
kk 1kKPrp kk 1kKPrp
per k=0, 1, ...
Probabilità limite di stato (2)
· Quindi la probabilità di avere k utenti nel sistema è
University of PerugiaUniversity of Perugia
Probabilità limite di stato (3)
· Il numero medio di utenti nel sistema è
· Il tempo di permanenza medio è (Teorema di Little)
11
1)1(
)1(k)1(k)1(
k)1()1(kpkk]K[E
0k
k
1k
1k
0k
1k
0k
k
0k
k
0kk
1
)1(
/1
)1(
kT
University of PerugiaUniversity of Perugia
Probabilità limite di stato (3)
k
0.12P
rob
abil
ità
lim
ite
di
stat
o p
k
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0 1 2 3 4 5 6 7 8
=0.9
La distribuzione è di tipo geometrico con parametro La distribuzione è di tipo geometrico con parametro
University of PerugiaUniversity of Perugia
· In condizioni di equilibrio statistico l’intensità media di traffico smaltito As coincide con l’intensità di traffico offerto Ao
· La probabilità di servizio bloccato Sr coincide con la probabilità di ritardo r
Parametri prestazionali
orr AS
0os p1AA
= prob. che il servente sia occupato = la percentuale temporale di occupazione del servente = la prob. che una
richiesta in arrivo sia costretta ad attendere in coda
= prob. che il servente sia occupato = la percentuale temporale di occupazione del servente = la prob. che una
richiesta in arrivo sia costretta ad attendere in coda
University of PerugiaUniversity of Perugia
· l= lunghezza della fila d’attesa=numero di utenti nella fila d’attesa
· h=numero di serventi impegnati
· il numero medio di utenti all’interno del sistema è quindi
1j 1
0j 1)1()1(jlPr
1j
2
1j
0j1jhPr
1
l2
1
l2
h h
1
hlk
1
hlk
Distribuzioni in equilibrio statistico
University of PerugiaUniversity of Perugia
· Si assume la disciplina di coda di tipo FIFO, la distribuzione del tempo di attesa e’:
· Detto inoltre wr l’ r-percentile del tempo di attesa (cioè quel valore che non è superato per una percentuale di tempo uguale a r)
t1w e1twPrtF
100
rwwPr r
r100
100ln
Wwr
r100
100ln
Wwr
1
1W
1
1W
Tempi di attesa
University of PerugiaUniversity of Perugia
Tempi di coda (1)
· La distribuzione del tempo di coda è
· detto inoltresr il percentile r% del tempo di coda
t1s e1tsPrtF
100
rssPr r
1
100/r1lnTsr
1
100/r1lnTsr
1
w1
1
1T
1w
1
1
1T
University of PerugiaUniversity of Perugia
Tempi di coda (2)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Tempo
Dis
trib
uzi
on
e d
el t
emp
o d
i co
da
=0.5 =0.6
University of PerugiaUniversity of Perugia
Tempi di coda (3)
Al crescere dell’intensità di traffico il tempo di coda tende all’infinitoAl crescere dell’intensità di traffico il tempo di coda tende all’infinito
0
10
20
30
40
50
60
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Intensità media di traffico (Erl)
Tem
po
med
io d
i co
da
=0.2
1/
University of PerugiaUniversity of Perugia
Modellizzazione di un multiplatore a pacchetto · Ipotesi:
» I flussi di pacchetti prodotti dalle sorgenti sono rappresentabili mediante processi di Poisson
» I flussi di pacchetti emessi dalle sorgenti sono indipendenti tra loro;
» Le lunghezze dei pacchetti hanno distribuzione esponenziale negativa e sono indipendentiindipendenti tra loro;
» Il processo di ingresso complessivo è indipendente Il processo di ingresso complessivo è indipendente dal processo di serviziodal processo di servizio
Canale di uscita
1
2
k
University of PerugiaUniversity of Perugia
Sistemi a coda multiservente
· La richiesta in arrivo è servita subito se trova almeno una risorsa (servente) disponibile, altrimenti è rifiutata.
· Tali sistemi hanno rilevante interesse nello studio delle reti telefoniche.
12
n
.
.
.
1
2
S
.
.
.sorgenti di
traffico
University of PerugiaUniversity of Perugia
sorgenti di traffico telefonico
risorse del sistema di commutazione
Modelli per sistemi di commutazione telefonici
· Le sorgenti di traffico telefonico presentano richieste di connessione (tentativi di chiamata).
· Il servente del sistema di commutazione (indicato con il termine generico di giunzionegiunzione) esplica le funzioni necessarie a supportare la chiamata.
· Si indica con il termine congestione la condizione in cui si trova il sistema di commutazione quando, al presentarsi di un tentativo di chiamata, non è in grado di effettuare la connessione.
University of PerugiaUniversity of Perugia
Sistema a coda M/M/m/0/· Ipotesi:
» tempi di interarrivo i.i.d. con distribuzione esponenziale negativa ();
» tempi di servizio i.i.d. con distribuzione esponenziale negativa ();
» processi di arrivo e di servizio statisticamente indipendenti.
» m serventi, statisticamente identici ed indipendenti;
» capacità nulla della fila d’attesa.
· Il processo di coda K(t) è descrivibile mediante un processo di Markov di nascita e morte con spazio di stato {0,…, m}.
· Il processo di coda K(t) è ergodico per ogni valore positivo di per ogni valore positivo di e µe µ (coda a perdita)
University of PerugiaUniversity of Perugia
nascitemorti
01
t
2
3
123
K(t)
ingresso
servizio
Evoluzione temporale
· Il numero di utenti nel sistema coincide con il numero di serventi contemporaneamente occupati
University of PerugiaUniversity of Perugia
Frequenze di transizione di stato
· k per 0k m-1 frequenza di nascita
· kk per 1 k m frequenza di morte
0 1 2 m-1. . .
m
m
(m-1)
University of PerugiaUniversity of Perugia
Probabilità limite di stato· Per l’ equilibrio dei flussi si ha (come nel caso M/M/1):
» per 1 k m
» inoltre da cui
» posto A0= traffico offerto al sistema, risulta
kk1k1k pp
1k
0j0
1k
k2k
1k
2k
k
1k1k
k
1kk p...ppp
1pm
0jj
1p
!j
1ppp
m
1j0
j
0
m
1jj0
0j
!j
1A
1
!j
1
1p
mj0 !j
1Ap
!j
1pp
pm
0j
jo
m
0j
j0
jo0
j
0j
k
m
0j
jo
ko
k
!j
1A
!k
1A
p
m
0j
jo
ko
k
!j
1A
!k
1A
p
University of PerugiaUniversity of Perugia
Probabilità di congestione di chiamata
· Nel caso di processo di ingresso di Poisson, dato che la probabilità di r.s.o. é indipendente dallo stato, si ha:
· Nel caso di sistema a coda M/M/m/
po
mpp SS
m
0j
jo
mo
pp
!j
1A
!m
1A
S FORMULA BDI ERLANG
University of PerugiaUniversity of Perugia
Formula B di Erlang
· L’espressione della probabilità di sistema bloccato e di rifiuto per un sistema a coda M/M/m a perdita in senso stretto é denominata anche funzione di Erlang del 1° tipo di ordine m e di argomento Ao
· Gode inoltre della proprietà di calcolo di tipo ricorsivo, infatti:
» con il primo elemento pari a:
o1m,1o
o1m,1om
0j
jo
mo
om,1 AEAm
AEA
!j
1A
!m
1A
AE
o
oo1,1 A1
AAE
University of PerugiaUniversity of Perugia
Formula B di Erlang
· La grande importanza della formula B di Erlang risiede anche nel fatto che essa risulta valida qualsiasi sia la distribuzione dei tempi di servizio (ferma restando l’ipotesi di i.i.d).
· In condizioni di equilibrio statistico la distribuzione del numero di utenti nel sistema è funzione del solo tempo medio di servizio 1/m e non della distribuzione del tempo di servizio stesso
University of PerugiaUniversity of Perugia
Parametri prestazionali
· Intensità media di traffico smaltito As, che rappresenta il
numero medio di serventi contemporaneamente occupati,
dipende da Ao e dal numero di serventi m:
· Intensità media di traffico rifiutato:
· Coefficiente di utilizzazione del servente:
om,1o
m
1kks AE1AkpA
om,1o
m
1kks AE1AkpA
om,1osop AEAAAA
om,1os AE1
m
A
m
A om,1
os AE1m
A
m
A
University of PerugiaUniversity of Perugia
Probabilità di rifiuto in funzione di m
· La probabilità di rifiuto, a parità di A0, decresce al crescere del numero di serventi m
0 5 10 15 20 25 300
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Ao=1Ao=10 Ao=20
Ao=30
Ao=40
Ao=50
Numero di serventi m
Pro
babi
lità
di r
ifiut
o
University of PerugiaUniversity of Perugia
Dimensionamento di m in funzione di p
· La probabilità di rifiuto è, a parità di m, una funzione monotona crescente di A0
Intensità media di traffico offerto A0 (Erl)
Num
ero
di s
erve
nti m
0 5 10 15 20 25 300
5
10
15
20
25
30
p=0.01
p=0. 1
University of PerugiaUniversity of Perugia
0 2 4 6 8 10 12 14 160
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
m=1
m=2
m=3
m=4
m=5
m=6m=7
m=8m=9
Numero serventi
Pro
babi
lità
di r
ifiut
o
Intensità media di traffico offerto A0 (Erl)
Probabilità di rifiuto in funzione di A0
University of PerugiaUniversity of Perugia
in funzione di A0 (1)
Probabilità di rifiuto p= 0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
0 5 10 15 20 25 30
Intensità media di traffico offerto Ao (Erl)
Co
effi
cien
te d
i u
tili
zzaz
ion
e
0.1
1
10
100
Nu
mer
o d
i se
rven
ti
(sca
la l
og
arit
mic
a)
University of PerugiaUniversity of Perugia
in funzione di A0 (2)
» A parità di congestione di chiamata, sistemi con elevato numero di serventi presentano, in condizioni di equilibrio statisticoin condizioni di equilibrio statistico, un rendimento MIGLIOREMIGLIORE rispetto a sistemi con pochi serventi.
Probabilità di rifiuto p=0.01
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0 5 10 15 20 25Intensità media di traffico offerto Ao (Erl)
Co
effi
cien
te d
i u
tili
zzaz
ion
e
1
10
100
Nu
mer
o s
erve
nti
(sca
la l
og
arit
mic
a)
16
25
University of PerugiaUniversity of Perugia
Esempio numerico 1» Traffico offerto ad una linea telefonica Ao=100 Erl
» Tale traffico viene offerto ad un unico fascio di circuiti in modo tale che la probabilità di rifiuto rimanga sotto l’1%
» Si supponga ora di ripartire tale traffico uniformemente su n fasci con n=2, 4, 10 ,25, 50, 100
» Si può notare come all’aumentare di n aumenta il numero di fasci necessari e diminuisce il di ogni singolo fascio
n Aoi=(Ao/n) mi m=mi*n p
effettivo
1 100 117 117 0.0098 0.84632 50 64 128 0.0084 0.77474 25 36 144 0.0080 0.6889
10 10 18 180 0.0071 0.551625 4 10 250 0.0053 0.397950 2 7 350 0.0034 0.2847
100 1 5 500 0.0031 0.1994
01.0AE 0m,1 m=117
University of PerugiaUniversity of Perugia
· Dimensionamento del sistema: stimato il traffico offerto A0 e fissato il valore massimo per la probabilità di congestione di chiamata max, determinare m:
» trovare il più piccolo valore di m tale per cui
» tale valore può essere facilmente determinato per tentativi a partire da m=1
» il valore effettivo della congestione di chiamata potrà risultare inferiore a max
maxom,1 AE
B di Erlang: dimensionamento del sistema
University of PerugiaUniversity of Perugia
· Valutazione delle prestazioni: dato il numero dei serventi ed il traffico offerto, determinare la probabilità di di congestione di chiamata:
» Va notato che solitamente è noto il traffico smaltito As* e il
numero di serventi m da cui si può stimare A0 attraverso la relazione seguente
» Una volta calcolato A0 si calcola la probabilità di congestione di chiamata
*som,1o AAE1A
om,1p AE
B di Erlang: valutazione delle prestazioni
University of PerugiaUniversity of Perugia
Esempio numerico 2 (1)» Si consideri un centralino telefonico automatico (PABX) di una grande
azienda. Il centralino è collegato alla rete telefonica nazionale (RTN) tramite un certo numero di linee bidirezionali.
» Si consideri inoltre che:» nell’ora di punta gli utenti attestati al centralino formulano mediamente 140 chiamate dirette verso la RTN;» nell’ora di punta il numero di chiamate provenienti dalla RTN e dirette verso gli utenti del PABX è
mediamente 180;» il flusso delle chiamate sia entranti che uscenti è Poissoniano;» la distribuzione di probabilità delle durate delle conversazioni è di tipo esponenziale negativo con valor
medio pari a 3 minuti;» la modularità delle linee è pari a 4, ovvero si possono inserire linee solo a gruppi di 4;» il PABX è del tipo a perdita pura.
» Si determini il numero di linee necessario a garantire un servizio con congestione di chiamata non superiore all’1%.
» Calcolare inoltre la frequenza massima delle chiamate consentita nell’ora di punta.
University of PerugiaUniversity of Perugia
Esempio numerico 2 (2)
· Il PABX può essere modellato con un sistema a coda del tipo M/M/m in cui m è il numero di linee tra PABX e RTN
· Si calcola il traffico globale offerto. Questo è pari alla somma del traffico uscente
· e del traffico entrante
· quindi
Erl7360
140Au
Erl9360
180Ae
Erl16AAA euo
University of PerugiaUniversity of Perugia
Esempio numerico 2 (3)
· Per calcolare il numero di linee necessario a garantire una probabilità di congestione di chiamata minore dello 0.01 va calcolato il più piccolo m tale per cui
· Si ottiene in tal caso m=25
· A causa del vincolo sulla modularità il numero di linee da inserire sarà pari quindi a m=28
· Dato tale numero di linee la congestione di chiamata sarà notevolmente inferiore a quella richiesta infatti
01.0AE om,1
0019.016E 28,1effettivo,p
University of PerugiaUniversity of Perugia
Esempio numerico 2 (4)
· Per determinare la frequenza massima delle chiamate consentita nell’ora di punta si calcola prima il valore di A0,max tale per cui
· da cui si ricava A0,max = 18.64
· per cui
01.0AE maxo28,1
ora/chiamate3733
60A maxomax
University of PerugiaUniversity of Perugia
Esempio numerico 3 (1)
· Si consideri il PABX dell’esempio 1 dimensionato con 28 linee bidirezionali che lo connettono alla Rete Telefonica Nazionale.
· A distanza di tempo dalla sua installazione si vuole valutare la qualità di servizio offerta sapendo che a seguito di una campagna di misure si è riscontrato, nell’ora di punta, un valore di intensità media di traffico smaltito pari a circa 20.42 Erl.
University of PerugiaUniversity of Perugia
Esempio numerico 3 (2)· Dato il traffico smaltito misurato si può ricavare il traffico offerto al
sistema risolvendo l’equazione
» da cui si ha
· Per quanto riguarda il valore di congestione di chiamata, si ha
· Il PABX non è più in grado di rispettare il vincolo sul grado di servizio. Le prestazioni sono variate, ad esempio, per un leggero incremento dell’utenza. Bisognerà quindi ridimensionare il numero di linee per riportare la probabilità di rifiuto sotto la soglia dello 0.01
42.20AE1A o28,1o
Erl21Ao
0277.021E 28,1