Universitas Gadjah Mada Fakultas Teknik Departemen Teknik Sipil dan Lingkungan
DISTRIBUSI PROBABILITAS VARIABEL RANDOM Statistika dan Probabilitas
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Probabilitas Variabel Random q Distribusi probabilitas variabel
random diskrit q Distribusi Hipergeometrik q Proses Bernoulli
n Distribusi Binomial n Distribusi Geometrik n Distribusi Binomial Negatif
q Proses Poisson n Distribusi Poisson n Distribusi Exponensial n Distribusi Gamma
q Distribusi Multinomial
q Distribusi probabilitas variabel random kontinu q Distribusi Normal
q Distribusi t
q Distribusi Chi-kuadrat (χ2)
q Distribusi F
18-Oct-16
2
Distribusi Probabilitas Variabel Random
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Hipergeometrik
Distribusi Probabilitas Variabel Random Diskrit
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
3
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Hipergeometrik
Distribusi Probabilitas Variabel Random
4
q Situasi q Mengambil sampel (random) berukuran n tanpa pengembalian dari suatu
populasi berukuran N q Elemen-elemen di dalam populasi tersebut terbagi kedalam dua kelompok,
masing-masing berukuran k dan (N – k)
q Contoh q Suatu populasi berupa
n hari hujan dan hari tak hujan n stasiun dengan data baik dan stasiun dengan data jelek n sukses dan gagal
18-Oct-16
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Hipergeometrik
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
5
q Persamaan/rumus q Jumlah cara/hasil dari memilih n elemen dari N objek adalah sebuah kombinasi
q Jumlah cara/hasil dari memilih/memperoleh x sukses dan (n – x) gagal dari suatu populasi yang terdiri dari k sukses dan (N – k) gagal adalah:
( ) !!!nnN
NnN
−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
( )( )
( ) ( )!!!
!!!
xnxnkNkN
xxkk
xnkN
xk
−+−−−
−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Hipergeometrik
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
6
q Jadi probabilitas mendapatkan X = x sukses dalam sampel berukuran n yang diambil dari suatu populasi berukuran N yang memiliki k elemen sukses adalah
q Distribusi kumulatif dari probabilitas mendapatkan x sukses atau kurang adalah:
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
nN
xnkN
xk
knNxfX ,,;
( ) ∑=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
x
iX n
NinkN
ik
knNxF0
,,;
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Hipergeometrik
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
7
q Nilai rerata (mean) suatu distribusi hipergeometrik adalah
q Varian
q Catatan:
( )NknXE =
( ) ( )( )( )1
Var 2 −−−
=NN
nNnNknX
kNxnNnNknxkx −≤−≤≤≤≤ ;;;;
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Hipergeometrik
Distribusi Probabilitas Variabel Random
8
q Contoh q Suatu DAS memiliki 12 stasiun penakar curah hujan dan diketahui bahwa 2
diantaranya dalam keadaan rusak. q Manajemen telah memutuskan untuk mengurangi jumlah stasiun menjadi 6 saja.
q Apabila 6 stasiun dipilih secara acak dari 12 stasiun tersebut, berapakah peluang terpilihnya stasiun rusak sejumlah 2, 1, atau tidak ada sama sekali?
18-Oct-16
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Hypergeometric Distributions
Distribusi Probabilitas Variabel Random
9
q Penyelesaian q populasi, N = 12
q jumlah stasiun rusak, k = 2
q ukuran sampel, n = 6
q peluang (probabilitas) mendapatkan stasiun rusak sejumlah x = 2, 1, 0 dalam sampel berukuran n = 6 yang diambil dari populasi berukuran N = 12 yang memiliki stasiun rusak sejumlah k = 2 adalah:
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
nN
xnkN
xk
knNxfX ,,;
18-Oct-16
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Hipergeometrik
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
10
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
nN
xnkN
xk
knNxfX ,,;
( )
( )
( ) 2273.0612
06212
02
2,6,12;0:0
5454.0612
16212
12
2,6,12;1:1
2273.0612
26212
22
2,6,12;2:2
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==
X
X
X
fx
fx
fx
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Hipergeometrik
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
11
q Ekspektasi jumlah stasiun rusak yang ada di dalam sampel adalah:
q atau
( ) 11226E =
×==
NknX
( ) 12273.025454.012273.002
01 =×+×+×==∑
=iiXi xfxM
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Hipergeometrik
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
12
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
nN
xnkN
xk
knNxfX ,,;
( ) ∑=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
x
iX n
NinkN
ik
knNxF0
,,;
=HYPGEOM.DIST(x,n,k,N,FALSE)
=HYPGEOM.DIST(x,n,k,N,TRUE)
fX(2;12,6,2)=HYPGEOM.DIST(2,6,2,12,FALSE) = 0.2273
fX(1;12,6,2)=HYPGEOM.DIST(1,6,2,12,FALSE) = 0.5454
fX(0;12,6,2)=HYPGEOM.DIST(0,6,2,12,FALSE) = 0.2273
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Binomial
Distribusi Probabilitas Variabel Random Diskrit
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
13
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Contoh Ilustrasi
Distribusi Probabilitas Variabel Random
14
q Investigasi thd suatu populasi q karakteristik populasi → variabel
q nilai variabel n nilai ujian: 0 s.d. 100
n status perkawinan: tidak kawin, kawin, cerai, duda/janda
n usia: 0 s.d. ...
n cuaca: cerah, berawan, hujan
18-Oct-16
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Contoh Ilustrasi
Distribusi Probabilitas Variabel Random
15
q Contoh lain q Jawaban pertanyaan:
n ya / tidak
n benar / salah
n menang / kalah
n lulus / tak-lulus
n sukses / gagal
SUKSES vs
GAGAL
18-Oct-16
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Binomial
Distribusi Probabilitas Variabel Random
16
q Jika q variabel hanya memiliki 2 kemungkinan hasil q probabilitas (peluang) kedua hasil tersebut tidak berubah (tetap) apapun hasil
eksperimen sebelumnya
q Probabilitas hasil suatu distribusi binomial q prob(sukses) = p q prob(gagal) = q = 1 – p
Distribusi Binomial
18-Oct-16
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Binomial
Distribusi Probabilitas Variabel Random
17
q Ilustrasi q Peluang sukses (S) dalam suatu eksperimen adalah p → prob(S) = p q Peluang gagal (G) adalah q = 1 – p → prob(G) = q q 1x eksperimen:
n peluang sukses p n peluang gagal q
q 2x eksperimen: n peluang sukses kmd sukses (S,S): pp n peluang sukses kmd gagal (S,G): pq n peluang gagal kmd sukses (G,S): qp n peluang gagal kmd gagal (G,G): qq
18-Oct-16
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Sukses-Gagal dalam 2x Eksperimen
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
18
Jumlah sukses Cara sukses Jumlah cara sukses Probabilitas sukses
2 SS 1 pp 1 p2q0
1 SG atau GS 2 pq+qp 2 p1q1
0 GG 1 qq 1 p0q2
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Sukses-Gagal dalam 3x Eksperimen
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
19
Jumlah sukses Cara sukses
Jumlah cara sukses Probabilitas sukses
3 SSS 1 ppp 1 p3q0
2 SSG, SGS, GSS 3 ppq+pqp+qpp 3 p2q1
1 SGG, GSG, GGS 3 pqq+qpq+qqp 3 p1q2
0 GGG 1 qqq 1 p0q3
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Sukses-Gagal dalam 3x atau 5x Eksperimen
Distribusi Probabilitas Variabel Random
20
3232 1025
qpqp =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
q 3x eksperimen: q peluang sukses pada eksperimen ke-3: qqp
q peluang sukses di salah satu eksperimen: pqq + qpq + qqp
q 5x eksperimen: q peluang sukses 2x: ppqqq + pqpqq + ... + qqqpp
18-Oct-16
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Binomial
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
21
q Jika q peluang sukses p dan peluang gagal q = 1 – p
q probabilitas sukses p tidak berubah apapun hasil eksperimen yang lain
q Maka q peluang mendapatkan x kali sukses dalam n kali eksperimen adalah:
( ) ( ) nxppxn
pnxf xnxX ...,,2,1,0,1,; =−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= −
koefisien binomial =COMBIN(n,x)
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Binomial
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
22
q Distribusi binomial dan distribusi binomial kumulatif
( ) ( )
( ) ( )∑=
−
−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
=−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
x
i
iniX
xnxX
ppin
pnxF
nxppxn
pnxf
0
1,;
...,,2,1,0,1,; =BINOM.DIST(x,n,p,FALSE)
=BINOM.DIST(x,n,p,TRUE)
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Binomial
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
23
q Nilai rerata dan varian
q Koefisien skewness
( )( ) qpnX
pnX=
=
VARE
qpnpqcs
−=
p = q à simetris q > p à negative skew q < p à positive skew
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Binomial
Distribusi Probabilitas Variabel Random
24
q Contoh #1 q Setiap tahun dalam 5 tahun dilakukan pemilihan acak untuk menetapkan alokasi
dana kepada 1 dari 4 kegiatan (A,B,C,D). q Setiap kali dilakukan pemilihan, masing-masing kegiatan memiliki peluang yang
sama untuk terpilih (mendapatkan dana).
q Berapa persen peluang kegiatan A mendapatkan dana 3x?
q Berapa persen peluang kegiatan A mendapatkan dana 5x, 4x, 3x, 2x, 1x, 0x?
18-Oct-16
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Binomial
Distribusi Probabilitas Variabel Random
25
q Setiap kali pemilihan n prob(As) = probabilitas kegiatan A terpilih
prob(As) = ¼ = 0.25 = p
n prob(Ag) = probabilitas kegiatan A tak terpilih prob(Ag) = 1 – p = 0.75 = q
q Dalam 5x pemilihan, maka probabilitas kegiatan A mendapatkan dana 3x adalah:
( ) ( ) ( ) 0879.025.0125.035
25.0,5;3,; 353 =−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛== −
XX fpnxf
=BINOM.DIST(3,5,0.25,FALSE)
18-Oct-16
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Binomial
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
26
Jumlah sukses Jumlah cara sukses Probabilitas
0 1 0.237
1 5 0.396
2 10 0.264
3 10 0.088
4 5 0.015
5 1 0.001
Jumlah = 1.000
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Poisson
Distribusi Probabilitas Variabel Random Diskrit
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
27
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Poisson
Distribusi Probabilitas Variabel Random
28
q Situasi q Proses Bernoulli dalam suatu selang waktu à p adalah probabilitas terjadinya
suatu event dalam selang waktu tersebut. q Jika selang waktu t sangat pendek, sedemikian hingga probabilitas p menjadi
kecil dan jumlah pengamatan (eksperimen) n bertambah, sedemikian hingga np konstan, maka n ekspektasi jumlah kejadian dalam selang waktu total à tetap
18-Oct-16
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Poisson
Distribusi Probabilitas Variabel Random
29
q Sifat q Proses Poisson adalah suatu proses diskrit pada skala waktu kontinu.
n Oleh karena itu, distribusi probabilitas jumlah event dalam suatu waktu T adalah sebuah distribusi diskrit,
n akan tetapi distribusi probabilitas waktu antar events serta waktu sampai ke event ke-n adalah distribusi kontinu.
18-Oct-16
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Poisson
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
30
q Probabilitas distribusi Poisson
q Distribusi Poisson kumulatif
( ) 0dan...,2,1,0,; >=λ=!
λ=λ
λ−
pnxxexf
x
X
( ) ∑=
λ−
!λ
=λx
i
i
X iexF
0
;
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Poisson
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
31
q Nilai rerata dan varian
q Skewness coefficient
( ) ( ) λ=λ= XX VARE
21−λ=sc
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Poisson
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
32
q Contoh q Suatu printer membuat kesalahan secara random pada kertas cetak rerata 2
kesalahan per halaman. q Hitunglah probabilitas terjadi satu salah cetak dalam satu halaman.
q Penyelesaian
( ) ( ) 2707.021
22;1; 2
21
==!
==λ−
eefxf XX
λ = 2, x = 1
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Normal
Distribusi Probabilitas Variabel Random Kontinu
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
33
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Flash-back Distribusi Binomial
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
34
q Ilustrasi contoh pemilihan kegiatan q Setiap tahun dalam 5 tahun dilakukan pemilihan secara acak untuk menetapkan
alokasi dana kepada 1 dari 4 kegiatan (A,B,C,D). q Setiap kali dilakukan pemilihan, masing-masing kegiatan memiliki peluang yang
sama untuk terpilih (mendapatkan dana).
q Berapakah probabilitas kegiatan A mendapatkan dana 5×, 4×, 3×, 2×, 1×, 0×?
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Flash-back Distribusi Binomial
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
35
Distribusi Binomial
memilih 1 di antara 4 kegiatan untuk diberi dana
Histogram distribusi probabilitas kegiatan A mendapatkan dana
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Flash-back Distribusi Binomial
Distribusi Probabilitas Variabel Random
36
q Setiap kali pemilihan q prob(As) = probabilitas kegiatan A terpilih
prob(As) = ¼ = 0.25 = p q prob(Ag) = probabilitas kegiatan A tak terpilih
prob(Ag) = 1 – p = 0.75 = q
q Dalam 5x pemilihan, maka probabilitas kegiatan A mendapatkan dana 3x adalah:
( ) ( ) ( ) 0879.025.0125.035
25.0,5;3,; 353 =−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛== −
XX fpnxf =BINOM.DIST(3,5,0.25,FALSE)
18-Oct-16
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Flash-back Distribusi Binomial
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
37
Jumlah sukses Jumlah cara sukses Probabilitas
0 1 0.2373
1 5 0.3955
2 10 0.2637
3 10 0.0879
4 5 0.0146
5 1 0.0010
Jumlah = 1.0000
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Flash-back Distribusi Binomial
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
38
0.2373
0.3955
0.2637
0.0879
0.0146 0.0010 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0 1 2 3 4 5
Prob
abili
tas
Frekuensi perolehan dana
Distribusi probabilitas kegiatan A mendapatkan dana
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Flash-back Distribusi Binomial
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
39
q Apabila pemilihan dilakukan untuk waktu yang lebih panjang q 10 tahun
q 20 tahun
q n tahun n diperoleh n + 1 kemungkinan hasil
n Kegiatan A dapat memperoleh dana sejumlah n kali, n – 1 kali, ... 0 kali
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Flash-back Distribusi Binomial
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Prob
abili
tas
Frekuensi perolehan dana
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Prob
abili
tas
Frekuensi perolehan dana
18-Oct-16
40
Distribusi Probabilitas Variabel Random
n = 10 n = 20
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Binomial vs Kurva Normal
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
41
q Apabila pemilihan (eksperimen) dilakukan sejumlah n kali dan n » q histogram distribusi probabilitas sukses (Kegiatan A memperoleh dana) memiliki
selang (interval) kecil q garis yang melewati puncak-puncak histogram → kurva mulus berbentuk seperti
lonceng
Kurva Normal
http://istiarto.staff.ugm.ac.id 18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random 42
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Peob
abili
tas
Frekuensi perolehan dana
Distribusi probabilitas kegiatan A mendapatkan dana
n = 20
http://istiarto.staff.ugm.ac.id 18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random 43
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50
Peob
abili
tas
Frekuensi perolehan dana
Distribusi probabilitas kegiatan A mendapatkan dana
n = 50
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Kurva Normal dan Distribusi Normal
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
44
q Kurva Normal q berbentuk seperti lonceng dengan karakteristika tertentu q tidak setiap kurva berbentuk seperti lonceng adalah kurva normal
q Kurva Normal menggambarkan suatu distribusi yang disebut Distribusi Normal q Permasalahan distribusi binomial dapat diselesaikan dengan pendekatan
distribusi normal q Distribusi normal lebih mudah dilakukan daripada distribusi binomial karena
karakteristika distribusi normal telah diketahui (didefinisikan) q tabel distribusi normal q perintah/fungsi dalam MSExcel
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Normal
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
45
q Karakteristika distribusi normal q simetris terhadap nilai rerata (mean)
q score mengumpul di sekitar nilai rerata
q kisaran score tak terbatas, namun sangat sedikit yang berada di luar kisaran tiga kali simpangan baku dari nilai rerata
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Normal
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
46
μ−3σ −∞ X
luas = 1
μ−2σ μ−σ μ+σ μ+2σ μ+3σ μ +∞
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Normal
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
47
X
luas = 0.9973 luas
= 0
.001
35
luas
= 0
.001
35
μ−3σ −∞ μ−2σ μ−σ μ+σ μ+2σ μ+3σ μ +∞
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
μ−3σ −∞ μ−2σ μ−σ μ+σ μ+2σ μ+3σ μ +∞
pdf Distribusi Normal
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
48
X
pX(x)
N(μ,σ2) ( ) ( ) ( ) 2σµ−−−2πσ= xX exp 2
121
2
pdf (probability density function)
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
pdf Distribusi Normal
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
49
X
pX(x)
N(μ1,σ12)
N(μ2,σ22)
N(μ3,σ32)
μ1=μ2=μ3
σ1 > σ2> σ3
−∞ μ1=μ2=μ3 +∞
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
pdf Distribusi Normal
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
50
X
pX(x)
N(μ1,σ12)
N(μ2,σ22)
N(μ3,σ32)
μ1 < μ2 < μ3
σ1 = σ2= σ3
−∞ μ2 +∞ μ3 μ1
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Normal
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
51
q Jika X berdistribusi normal, N(µ,σ2), maka prob(X ≤ x) dapat dicari dengan:
+∞ −∞ x
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∞−
σµ−−−2
∞−
2
πσ===≤x
tx
XX tettpxPxX d2dprob 212
1
luas di bawah kurva pdf (dari −∞ s.d. x) à cdf
cdf (cumulative distribution function)
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
pdf - cdf
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
52
µ–∞ 0
1
+∞
cdf pX(x)
PX(x)
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Normal
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
53
q Luas di bawah kurva pdf q menunjukkan probabilitas suatu event
q menunjukkan percentile rank
q prob(X ≤ x) = prob(-∞ ≤ X ≤ x) = luas di bawah kurva antara -∞ s.d. x
q prob(-∞ ≤ X ≤ +∞) = 1 = luas di bawah kurva antara -∞ s.d. +∞
q prob(X ≥ x) = prob(x ≤ X ≤ +∞) = luas di bawah kurva antara x s.d. +∞ = 1 – prob(X ≤ x)
+∞-∞ x
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Normal
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
54
q Probabilitas q prob(X ≤ µ) = prob(X ≥ µ) = 0.50
q prob(µ-x ≤ X ≤ µ) = prob(µ ≤ X ≤ µ+x)
µ +∞ −∞
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Normal
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
55
q Probabilitas q prob(X = x) = luas di bawah kurva antara x s.d. x
= 0 q prob(X ≤ x) = prob(X < x)
q prob(X ≥ x) = prob(X > x)
q prob(xa ≤ X ≤ xb) = prob(xa < X < xb)
xa +∞-∞ xb
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Normal Standar
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
56
q Distribusi normal biasa disajikan dalam bentuk distribusi normal standar q dinyatakan dalam variabel Z
q Zx berdistribusi normal dengan μ = 0 dan σ = 1, N(0,1) à disebut dengan nama distribusi normal standar
σµ−
=XZx
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Normal Standar
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
57
μ μ+σ μ+2σ μ+3σ μ−3σ μ−2σ μ−σ −∞ +∞ X
luas = 1
0 −1 −2 −3 1 2 3 −∞ +∞ Z
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Tabel Distribusi Normal Standar
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
58
q Tabel z vs ordinat kurva normal standar q z vs ordinat pdf (probability density function) à file1
q Tabel z vs luas di bawah kurva q z vs cdf (cumulative distribution function)
q luas kurva dari 0 s.d. zx à file2
q luas kurva dari −∞ s.d. zx à file3
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Tabel Distribusi Normal Standar
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
59
q Contoh q Suatu variabel random X berdistribusi normal, serta memiliki nilai rerata 12,
dan simpangan baku 3
q prob(X < 15)= prob(Z < 1)= … (lihat tabel)
q prob(X < 9)= prob(Z < −1)= … (lihat tabel)
q prob(9 < X < 15)= prob(−1 < Z < 1)= … (lihat tabel)
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Perintah (Fungsi) MS Excel
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
60
q Distribusi Normal q NORM.DIST(x,mean,standard_dev,cumulative)
n x = nilai yang diinginkan untuk dicari distribusi normalnya n mean = nilai rerata (aritmetik) n standard_dev = nilai simpangan baku n cumulative = TRUE atau FALSE; TRUE jika ingin menghitung cdf, FALSE jika ingin
menghitung pdf
q NORM.INV(probability,mean,standard_dev) n probability = probabilitas suatu distribusi normal n mean = nilai rerata (aritmetik) n standar_dev = nilai simpangan baku
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Perintah (Fungsi) MS Excel
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
61
q Distribusi Normal Standar q NORM.S.DIST(z,TRUE)
n menghitung nilai cdf distribusi normal standar q NORM.S.DIST(z,FALSE)
n menghitung nilai pdf distribusi normal standar q NORM.S.INV(probability)
n kebalikan dari NORM.S.DIST(z) n mencari nilai z apabila probabilitasnya diketahui
q Ingat q Distribusi Normal Standar
n mean = 0 n simpangan baku = 1
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Perintah (Fungsi) MS Excel
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
62
q Contoh 1 q NORM.DIST(15,12,3,TRUE)
n rerata = 12
n simpangan baku = 3
n prob(X < 15) = NORM.DIST(15,12,3,TRUE) = 0.8413
q NORM.INV(0.8,12,3) n prob(X < x) = 0.8
n x = NORM.INV(0.8,12,3) = 14.5249
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Perintah (Fungsi) MS Excel
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
63
q Contoh 2 q NORM.S.DIST(3,TRUE)
n rerata = 0 n simpangan baku = 1 n prob(Z < 3) = NORM.S.DIST(3,TRUE) = 0.9987 n prob(0 < Z < 3) = NORM.S.DIST(3,TRUE) – 0.5 = 0.4987 n prob(1 < Z < 3) = NORM.S.DIST(3,TRUE) – NORM.S.DIST(1,TRUE) n prob(Z > 1.5) = 1 – NORM.S.DIST(1.5,TRUE)
q NORM.S.INV(0.65) n prob(Z < z) = 0.65 n z = NORM.S.INV(0.65) = 0.3843
http://istiarto.staff.ugm.ac.id 18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random 64