UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
Álgebra Linear
AulaTransformações lineares hlcs
Resumo
•Transformações lineares
•Definição
•Núcleo
•Imagem
Transformações Lineares
•Definição
•Relação entre espaços vetoriais
•Preservação de operações*
•Aplicação linear ou Mapa linear
Transformações Lineares
•Definição
•Uma transformação T de um espaço vetorial E em um espaço vetorial F será denotada por
T: E F
v T(v)
Onde u ϵ E, v ϵ E; T(u) ϵ F, T(v) ϵ F.
i) T(u + w) = T(u)+ T(w)
ii) T(.u) = λ.T(u), λ ϵ R
Transformações Lineares
•Exemplo 1
Seja M2x2 o espaço vetorial da matrizes de ordem 2 x2 a valores reais, e F o espaço vetorial euclidiano R4. Seja
a transformação : T: M2x2 R4
Verifique que ela é uma transformação linear
d
c
b
a
dc
baT )(
Transformações Lineares
•Exemplo 2
Seja M2x2 o espaço vetorial da matrizes de ordem 2 x2 a valores reais, e F o espaço euclidiano R, formado pela determinante de qualquer matriz de M2x2.
Seja a transformação : T: M2x2 F
A pertence a M2x2
Verifique que ela é não é transformação linear
)det()( AAT
Transformações Lineares
•Propriedades importantes• Considere A e B duas transformações lineares :
• Então A+B é outra transformação linear.
• λ A é outra transformação linear.
•Definição: Seja T: E E
v T(v), então T é chamado
de operador linear.
Exemplo: I: E E
v I(v)=v; I é operador identidade.
Transformações Lineares
•Exemplo: Seja n, m dois espaços euclidianos
Arbitrários.
A função T: n m é dita uma transformação linear se satisfizer as seguintes condições:
i) T(v + w) = T(v)+ T(w)
ii) T(.v) = .T(v), ϵ
Onde v=(v1,v2,..., vn); w=(w1,w2,..., wn)
e T(v)=z=(z1,z2,..., zm); T(w)=(y1,y2,.., ym)
Transformações Lineares
•Exemplos•T: 2 2 (operador dilatação |k|>0, contração 0<|k|<1)
•T(v)=k.v •T: 2 3
•T(x,y)=(3x,-2y,x-y)•T: 3 2 (projeção)
•T(x,y,z)=(x,y)
•T: 5
•T(x,y,z,w,s)=(x+y-z+w-s)
Transformações Lineares
• Mais exemplos
1. Seja TA : Rn Rm uma operação tal para todo
v ϵ Rn, T(v)= A v, onde Amxn é uma matriz. Provar que ela é uma T.L.
2. Provar que para toda T.L. entre dois espaços vetoriais, T(-u)= - T(u), T(u-v)=T(u)-T(v).
3. Defina geometricamente no plano a seguinte T.L. T: R2
R2 , T(v) = w, v = (x,y), w = (x+α.y,y). V e w são vetores de R2.
Transformações Lineares
• Mais exemplo4.- Seja Pn o e.v. dos polinômios de grau maximo n. Seja
D : Pn Pnum operador derivada. Tal que
D(f) = f’, para todo f de Pn e com as propriedades
usuais de derivação. Mostre que D e linear.
5.- Explique se T: 4 2 , T(x,y,z,w)=(x+y+1,z-w), é uma transformação linear.
6.- Seja E=C0[a,b] Ϲ , o espaço vetorial das funções contínuas f: [a,b] → . Podemos definir a funcional σ: E → , mostre que ela
é funcional linear dxxffb
a )()(
Transformações Lineares
•Continua7. Considere a matriz de rotação R(ϴ), tal que
V´ = R(ϴ) V, onde V´=(x´,y´) ϵ 2 e V=(x,y) ϵ 2
Esta matriz transforma o vetor V no vetor V´ ao realizar uma rotação do vetor V no ângulo ϴ ao redor do eixo “Z”. Sendo a matriz R
Mostre que a matriz de rotação R é uma transformação linear
)cos()sin(
)sin()cos(R
Transformações Lineares
•Observação
Em toda transformação linear T: EF, tem-se que
• T(0) = 0 (provar).
• T(-u)= -T(u)
•T(u - v)=T(u) – T(v) para todo u,v ϵ EExercício 8.- Seja L: 2 , L(x,y) = 2x + 4
é uma transformação linear?
Exercício 9.- F(u) = |u|2 é uma transformação linear?,
u é um vetor de Rn
Transformações Lineares
Transformações do plano no planoVamos apresentar uma visão geométrica das transformações lineares, dando alguns exemplos de transformações do plano no plano.•Expansão ou contração uniforme:
T : R2 R2, R tal que T(u) = .u(x,y) (x,y)
• Reflexão em torno do eixo x:T: R2 R2
(x,y) (x, -y)• Reflexão na origem:
T: R2 R2
(x,y) (-x, -y)•Rotação de um ângulo t no sentido anti horário:
R: R2 R2 , R(x,y) (x cos t – y sen t, y cos t + x sen t)
Transformações Lineares
Continua...• Reflexão em relação ao eixo y = x:
T : R2 R2, (x,y) (y,x) (verificar que é uma reflexão)
• Dilatação na direção x:T: R2 R2
(x,y) (α x, y) , 1< α, α é número real.• O cisalhamento do exercício 3
T: R2 R2
(x,y) (x + α y, y)Rotação no espaço euclidiano R3
•Rotação de um ângulo ϴ no sentido anti horário ao redor do eixo +z:R(ϴ): R3 R3 , R(x, y, z) (x cos ϴ – y sen ϴ, y cos ϴ + x sen ϴ,z)
Transformações Lineares
•Teorema
•Se T:EF é uma transformação linear, {e1,e2,...,en} é base de E e 1, 2,..., n são números reais, então:
T(1 e1+ 2 e2+... n en)=
1 T(e1)+ 2 T(e2)+…+ nT(en);
Provar que:
{T(e1),T(e2),...,T(em)} é L.I. em F
Transformações Lineares
•Exemplo
1. Seja T: 3 2 uma transformação linear e B={v1,v2,v3} uma base do 3 , onde v1=(0,1,0), v2=(1,0,1) e v3=(1,1,0); determine T(V) sabendo que
V=(5,3,-2), T(v1)=(1,-2),T(v2)=(3,1) e T(v3)=(0,2).
Transformações Lineares
•Exemplo
2. Encontre, caso exista, T: 2 3 tal que T(1,1)=(3,-2,1) e T(0,-2)=(0,1,0).
Rpta: T(x,y)=(3x, -(3x+y)/2 , x)
Transformações Lineares
•Núcleo
Transformações Lineares
•Núcleo: Definição• Seja T:EF, o núcleo de uma transformação linear esta formado pelos vetores de E tal que T(V)=0.
• N(T)=Ker(T)={v E; T(v)=0}
• O núcleo de T também e chamado de Kernel de T.
Importante:
• N(T) é um subespaço vetorial de E (provar)
•Exemplo: calcule o núcleo de T: R2 R2
T(x,y) = (x+y, 2x-y)
Transformações Lineares
•Imagem
Transformações Lineares
•Imagem
•Seja T:EF
Imagem de uma transformação linear: conjunto de vetores w F que são imagens de pelo menos um vetor v E.
•Im(T)= {w F; T(v)=w, para algum v E}
•Provar que Im(T) é subespaço de F.
Transformações Lineares
•Teorema
•Sejam E e F espaços vetoriais de dimensão finita e T:EF uma transformação linear, tem-se:
dim(E) = dim(N(T)) + dim(Im(T)),
Dim(N(T)) = nulidade da transformação linear.
Dim(Im(T))= Posto da transformação linear
Transformações Lineares
•Exemplos1.- Seja T: 3 3 , uma transformação linear
(x,y,z) T(x,y,z)=(x,y,0)
2.- Seja T: 2 , uma transformação linear(x,y) T(x,y)=x+y,
3. Seja a transformação linear T: 3 3 , onde T(x,y,z)=(x-y+2z , 2x+y-z , 3x+z).a) Determine o núcleo e a imagem de T em cada casso.
b) Determine a dimensão do núcleo e da imagem em cada casso.
Transformações Lineares
•Exemplo: Seja a transformação linear T:
M2x2()M2x2(), definida por: T(x)=A x – x A. Encontre o núcleo e a Imagem de T. A matriz A é dada por :
•Observe que x é uma matriz de M2x2()
10
21A
Transformações Lineares
•Solução:
Núcleo={x / T(x)=0}, ou seja A x – x A = 0
A x = x A
Considerando
dc
bax
10
21
10
21
dc
ba
dc
ba
dcc
baa
dc
dbca
2
222
Transformações Lineares
•continuação:
•Núcleo de T é o subespaço de M2x2() gerado pela base:
ad
badb
c
aca 22
0
2
00
10
10
01
0ba
a
bax
00
10,
10
01
Transformações Lineares
•continuação:
Imagem: Im(T)={ y / Y=T(x)}, y=A x – x A. para algum x.
10
21
10
21
43
21
dc
ba
dc
ba
yy
yy
dcc
baa
dc
dbca
yy
yy
2
222
43
21
c
adc
yy
yy
20
222
43
21
00
20
20
02
00
20
43
21dca
yy
yy
Transformações Lineares
•Segue...
Como existem apenas dois vetores LI, a base da Imagem é:
O conjunto imagem esta formado pelo espaço gerado por estes 2 “vetores”
10
01
00
10
b
abba
010
01
00
10.I
Transformações Lineares
• Dim(E= M2x2())= 4
Dim(N(T))=2,
Dim(Im(T))=2, logo se verifica que
Dim(E)= 4= Dim((N(T))+ Dim(Im(T))
Transformações Lineares
•Exercícios importanteSeja T uma transformação linear de R3 em R3
tal que T: v T3x3 v (multiplicação matricial da matriz de T pelo vetor coluna v ). v’= T v
Ou seja
a) Determine a núcleo e a imagem de Tb) Determine a dimensão do cada um deles.Resposta: Dim(N(T)) = 1, Dim(Im(T)) = 2
z
y
x
z
y
x
602
031
110
'
'
'
Transformações Lineares
•Exercícios Anton
•Pag. 262
•3-10, 12-14, 16
•Pag. 266
•1-8, 11
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