UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ
INSTITUTO DE SISTEMAS ELÉTRICOS E ENERGIA
Bobina de Rogowski em Placa de Circuito Impresso (PCB)
Bruno Henrique Fagundes Costa
Itajubá, novembro de 2018
UNIFEI – ISEE Trabalho Final de Graduação
ii
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ
INSTITUTO DE SISTEMAS ELÉTRICOS E ENERGIA
Bruno Henrique Fagundes Costa
Bobina de Rogowski em Placa de Circuito Impresso (PCB)
Monografia apresentada ao Instituto de Sistemas
Elétricos e Energia, da Universidade Federal de
Itajubá, como parte dos requisitos para obtenção
do título de Engenheiro Eletricista.
Orientador: Prof. Dr. Edson da Costa Bortoni
Itajubá, novembro de 2018
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iii
Dedicatória
Dedico este trabalho a melhor mãe do mundo, Valdirene Fagundes, que sempre me apoiou, e
me deu forças para continuar buscando e alcançando meus sonhos.
UNIFEI – ISEE Trabalho Final de Graduação
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Agradecimentos
Ao decorrer dessa incrível e árdua fase de minha vida acadêmica, fizeram parte desta,
diversas pessoas que marcaram minha vida para sempre, seja por sua incrível bondade, amizade,
sabedoria, inteligência ou simplesmente por estarem ao meu lado compartilhando de alguma
forma momentos para a realização de um sonho.
Gostaria de agradecer primeiramente a Deus, que sempre me abriu “portas” que até
então pareciam impossíveis, para que eu viesse a chegar nesse momento tão especial e único da
minha vida, o término da graduação. Em segundo lugar e que teve papel fundamental nessa
caminhada gostaria de agradecer a minha mãe que através de sua sabedoria e muito esforço
sempre me deu forças para continuar, me apoiando em cada fase dessa longa jornada, tornando
mais fácil à caminhada durante todos esses anos através do seu amor incondicional.
Agradeço à minha segunda mãe Andréia Palomo, que sempre me inspirou pela sua
coragem, dedicação e amor ao próximo, me apoiando incessantemente e tornando possível meu
ingresso no ensino superior, juntamente com seu filho, um irmão que pude escolher Jônatas
Palomo, à minha avó que me proporcionou momentos incríveis e a honra de morar com ela,
minha namorada, meu pai e amigos que me deram ainda mais força nesta reta final do curso.
Agradeço também a família Tomazoli, e em especial ao meu irmão Rafael Prisco, que
em todos esses anos de graduação em Itajubá abriram a porta de sua casa para minha estadia
demonstrando um amor incrível, amor este, que foi dado sem esperar nada em troca, de alguém
que não tinha nada a oferecer, um amor ágape como Jesus ensinou, tornando possível esse
momento.
E por fim mais não menos especial gostaria de agradecer aos docentes que, com muita
dedicação, competência, paciência e disposição, me ajudaram, passaram seu conhecimento e
contribuíram tecnicamente e pessoalmente a minha formação acadêmica. À UNIFEI e a toda
sua coordenação, e em especial ao meu orientador de TFG Edson da Costa Bortoni.
Obrigado a todos que estiveram presente e me apoiaram para que este momento
chegasse.
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Resumo
Este trabalho apresenta o estudo e o desenvolvimento de uma bobina de Rogowski em
Placa de Circuito Impresso (PCB) dupla face com furo metalizado e outra em núcleo de
Policloreto de Vinila (PVC). O modelamento da tensão de saída das duas bobinas foi baseado
nas Leis de Biot-Savart, Circuital de Ampère e no princípio da Indução Magnética. O valor de
tensão no secundário da bobina é proporcional à derivada da corrente que circula pelo condutor,
que está envolto pelas suas espiras. Sendo assim foi elaborado através do software DASYLab
13.0 um circuito integrador, juntamente com um display digital, para mostrar os valores de
correntes medidas e um circuito de ganho para amplificar o sinal de tensão nos terminais da
bobina. A comunicação do software com a bobina se deu através de uma placa de aquisição de
dados da National Instruments NI USB-6008. Os dados de correntes da Bobina de Rogowski
feita em Placa de Circuito Impresso (PCB) não foram possíveis de ser analisados pelos baixos
níveis de tensão gerados em seus terminais causado pela pequena concentração de espiras
confeccionadas na placa, entretanto para comprovar a fundamentação teórica desenvolvida
fabricou-se outra Bobina feita em núcleo de PVC que obteve resultados satisfatórios em relação
a precisão, exatidão e pela linearidade da bobina em relação as correntes medidas e a tensões
geradas em seus terminais como esperado.
Palavras chave: Bobina, Rogowski, PCB, PVC.
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Abstract
This work represents the study and the development of a Rogowski Coil in Double-
Faced Printed Circuit Board (PCB) with metallized hole and another in polyvinyl chloride
(PVC) core. The modeling of the output voltage of the two coils was based on the Biot-Savart
Laws, Circuit de Ampère and the principle of Magnetic Induction. The value of the voltage in
the secondary of the coil is proportional to the derivative of the current flowing through the
conductor, which is enveloped by its turns. Therefore, an integrated circuit, together with a
digital display, was developed through DASYLab 13.0 software to show the voltage values and
a gain circuit to amplify the voltage signal at the coil terminals. Communication of the software
with a coil was sent through a National Instruments NI USB-6008 data capture card. The data
of Rogowski coil currents made on the printed circuit board (PCB) were not altered by the
voltage levels generated at their ends by a small concentration of turns made in the plate, so to
prove a theoretical base developed - another coil made in the core of PVC that presents results
in relation to a precision, accuracy and linearity of the coil in relation to its chains of
measurements and its generated in its stations as expected.
Key words: Coil, Rogowski, PCB, PVC.
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Lista de Figuras
Figura 1 - Bobina de Rogowski sem contato físico com o Circuito ......................................... 16
Figura 2 – Representação do experimento de Orsted ............................................................... 19
Figura 3 – Lei de Biot-Savart para o campo magnético ........................................................... 20
Figura 4 – Regra da mão direita ............................................................................................... 21
Figura 5 – Campo devido a um fio reto .................................................................................... 21
Figura 6 - Condutor percorrido por corrente elétrica ............................................................... 23
Figura 7 - Resistor shunt acoplado ao circuito de corrente ...................................................... 26
Figura 8 – Circuito Equivalente de um de TC .......................................................................... 27
Figura 9 - Bobina de Rogowski ................................................................................................ 28
Figura 10 - Modelo de circuito acoplado magneticamente ...................................................... 29
Figura 11 - Tubo de fluxo magnético ao redor de um condutor ............................................... 31
Figura 12 - Geometria para aplicação da Lei de Biot-Savart ................................................... 33
Figura 13 - Circuito equivalente da Bobina de Rogowski........................................................ 36
Figura 14 - Representação fasorial da Bobina de Rogowski. ................................................... 36
Figura 15 - Circuito equivalente da Bobina de Rogowski....................................................... 36
Figura 16 - Circuito acoplado magneticamente. ....................................................................... 37
Figura 17 - Desenho Esquemático das Grandezas ............................................................... 37
Figura 18 – Resistência Interna ................................................................................................ 38
Figura 19 - Camada da placa de circuito impresso ................................................................... 40
Figura 20 – Características Técnicas da placa de circuito impresso ........................................ 41
Figura 21 – Bobina de Rogowski em Placa de Circuito Impresso ........................................... 41
Figura 22 – Suporte para a placa .............................................................................................. 42
Figura 23 – Bobina de Rogowski com núcleo de PVC ............................................................ 46
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Figura 24 – Sistema de Abertura da Bobina ............................................................................. 47
Figura 25 – Placa NI USB-6008 ............................................................................................... 49
Figura 26 – Programação DASYLab 13.0 ............................................................................... 50
Figura 27 – Integração do Sinal de Saída da Bobina ................................................................ 50
Figura 28 – Circuito interno do INA 121 P .............................................................................. 51
Figura 29 – INA 121 P ............................................................................................................. 52
Figura 30 – Conexões do INA 121 P ........................................................................................ 53
Figura 31 – Montagem prática do INA 121 P .......................................................................... 54
Figura 32 – Linearidade da Bobina de Rogowski .................................................................... 57
Figura 33 – Montagem do experimento ................................................................................... 57
Figura 34 – Sinal de Tensão da saída do INA 121 P ................................................................ 57
Figura 35 – Resultado obtido de uma medição pelo programa DASYLab .............................. 58
Figura 36 – Exatidão das medições da Bobina de Rogowski ................................................... 59
Figura 37 – Linearidade entre as correntes medidas ................................................................ 62
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Lista de Tabelas
Tabela 1 – Dimensões da Bobina de Rogowski em placa de Circuito Impresso...................... 41
Tabela 2 – Corrente Circulante nos Enrolamentos da Bobina em PCB....................................52
Tabela 3 – Resultados Obtidos..................................................................................................54
Tabela 4 – Característica de Precisão........................................................................................58
Tabela 5 – Erro Absoluto.......................................................................................................... 60
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Lista de Abreviaturas e Siglas
DASYLab 13.0 Software de aquisição, análise e controle em tempo real da empresa
Measuramente Computing
EAGLE Software parra desenho de PCB da empresa AUTODESK
FEM Força Eletromotriz
IEEE Institute of Electrical and Electronics Engineers
ISEE Instituto de Sistemas Elétricos e Energia
PCB Printed Circuit Board (Placa de Circuito Impresso)
TFG Trabalho Final de Graduação
UNIFEI Universidade Federal de Itajubá
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Lista de Símbolos
Ar Área da Secção Transversal do Tubo de Fluxo (𝑚2)
A𝑠 Área da Secção Transversal do fio da Resistência Interna (𝑚2)
B Campo Magnético (T)
CS Capacitância Parasita (H)
e Força Eletromotriz (V)
𝑒1 Força Eletromotriz no primário
𝑒2 Força Eletromotriz no secundário
E𝑅𝑀𝑆 Tensão o nos terminais da Bobina Máxima (V)
𝑓 Frequência (Hz)
ℎ Espessura
i Corrente Elétrica (A)
𝐼𝑚 Corrente de Pico (A)
l Comprimento (m)
L Indutância (H)
L1 Indutor do Primário (H)
L2 Indutor do Secundário (H)
LS Indutância Própria (H)
M Indutância Mútua (H)
N Número de Espiras
N1 Número de Espiras do Primário
N2 Número de espiras do Secundário
r𝑡 Raio do Tubo de Fluxo (m)
Rb Impedância de Carga (Ω)
RS Resistência Interna Equivalente da Bobina de Rogowski (Ω)
t Tempo (s)
𝑉𝐿 Tensão nos terminais de um indutor (V)
ε0 Permissividade magnética do vácuo (10−9/36π F/m)
µ0 Permeabilidade Magnética (4 π 10−7N 𝐴−2)
𝜋 Constante Matemática com valor aproximado de 3,1415
Φ Fluxo Magnético (Wb)
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ϕ12 Fluxo magnético gerado pela bobina 1 que atravessa as espiras da bobina 2 (Wb)
ρ Resistividade do material (Ωm)
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Sumário
1 INTRODUÇÃO .............................................................................................................. 15
1.1 Contextualização ..................................................................................................... 15
1.2 Motivação ................................................................................................................ 16
1.3 Objetivo ................................................................................................................... 16
1.4 Estrutura do Trabalho ........................................................................................... 17
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ...................................................................................... 18
2.1 O Experimento de Orsted ...................................................................................... 19
2.2 Lei de Biot-Savart ................................................................................................... 20
2.3 Lei Circuital de Ampère......................................................................................... 23
2.4 Lei de Faraday - Lens ............................................................................................. 24
Indução ..................................................................................................................... 24
2.5 Sensores ................................................................................................................... 25
Resistor Shunt ........................................................................................................... 25
Transformador de Corrente (TC) .............................................................................. 26
3 BOBINA DE ROGOWSKI ............................................................................................ 28
3.1 Princípio de Funcionamento .................................................................................. 29
3.2 Modelagem da Bobina de Rogowski ..................................................................... 30
Modelagem da Bobina de Rogowski pela Lei Circuital de Ampère ........................ 30
Modelagem da Bobina de Rogwski pela Lei Biot-Savart ........................................ 33
3.3 Circuito Equivalente .............................................................................................. 35
Indutância Mútua ...................................................................................................... 37
Indutância Própria..................................................................................................... 38
Resistência Interna .................................................................................................... 38
Capacitância Parasita ................................................................................................ 39
4 ASPECTOS CONSTRUTIVOS .................................................................................... 40
4.1 Diferenças para a construção da Bobina em PCB ............................................... 40
Equação da Tensão de Saída da Bobina de Rogowski em Placa de Circuito Impresso
em Função da Corrente Elétrica ........................................................................................... 42
4.2 Bobina de Rogowski feita com Núcleo de Policloreto de Vinila ......................... 45
Condutor e Número de Espiras ................................................................................. 46
Equação da Tensão de Saída da Bobina com Núcleo Plástico em Função da
Corrente Elétrica ................................................................................................................... 47
UNIFEI – ISEE Trabalho Final de Graduação
xiv
4.3 Circuito Integrador ................................................................................................ 48
4.4 Circuito de Ganho .................................................................................................. 51
Cálculo do Ganho para a saída da Bobina de Rogowski .......................................... 53
5 RESULTADOS OBTIDOS ............................................................................................ 55
5.1 Ensaio ....................................................................................................................... 55
5.2 Medições .................................................................................................................. 56
5.3 Características de Desempenho Estático .............................................................. 59
Exatidão .................................................................................................................... 59
Precisão ..................................................................................................................... 59
Linearidade ............................................................................................................... 61
6 CONCLUSÃO ................................................................................................................. 63
REFERÊNCIAS ..................................................................................................................... 64
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1 Introdução
A Bobina de Rogowsk é uma bobina com núcleo de ar, que mede correntes de impulso
alternadas e de alta velocidade, com base na lei de Ampere e Faraday. Segundo Samimi et al.
(2015) foi nomeada desta forma em homenagem a um Médico alemão chamado Walter
Rogowski que estava trabalhando com dínamos e utilizou uma longa bobina em uma haste de
plástico para medir relutância magnética. Ele ligou as duas extremidades da bobina e calibrou
o dispositivo com base na lei de Ampere. Em 1912, W. Rogowski e W. Steinhaus usaram o
Chattock’s técnica para medição de potencial magnético e desta maneira realizaram vários
testes para garantir a validade da bobina medida.
A principal limitação percebida por Rogowski segundo Samimi et al. (2015) em
relação à bobina foi sobre a saída diminutiva na medição correntes de baixa amplitude. Nos
primeiros estágios, o uso da bobina foi limitado para medir as altas correntes de amplitude, com
alta taxa de variação, devido ao fato de que, a saída da bobina é proporcional à derivada da
corrente.
Hoje em dia, as bobinas de Rogowski são capazes de medir correntes de diferentes
níveis, graças a dispositivos eletrônicos. Pela bobina não possui núcleo ferromagnético,
apresenta uma característica linear o que a permitem medir correntes de milliamperes até
megaamperes. Além disso, o baixo custo deste dispositivo, comparado a outros métodos de
medição, torna a bobina de Rogowski muito viável economicamente.
O sinal de tensão nos terminais da bobina de Rogowski foi insuficiente em métodos de
medição durante muito tempo representando o principal limite nas últimas décadas. No entanto,
hoje em dia, por desenvolvimentos de dispositivos de medição baseados em
microprocessadores, bobinas de Rogowski são mais adequados para várias aplicações.
1.1 Contextualização
A medição de corrente em sistemas elétricos de potência é, na maioria das aplicações,
realizada com transformadores de corrente (TC) convencionais que possuem núcleos
ferromagnéticos. O aumento do nível de tensão do circuito de potência acarreta o aumento do
tamanho, peso e custo desses componentes. O núcleo magnético contribui, ainda, para os erros
de medições provocados pela saturação.
As Bobinas de Rogowski, por não possuírem núcleo de material ferromagnético não
estão sujeitas a saturação, o que é uma vantagem quando se trata de proteção de curto-circuito
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16
em sistemas elétricos. Também deve-se considerar o seu tamanho reduzido e consequente
menor custo, em geral. Seu formato facilita as medições pois não é necessário contato físico
com o circuito, conforme mostrado na Figura 1, tem-se um baixo consumo de energia para a
alimentação dos componentes eletrônicos acoplado e uma baixa variação do sinal da saída em
função da temperatura.
Figura 1 - Bobina de Rogowski sem contato físico com o Circuito
Fonte: (Elaborada pelo Autor)
1.2 Motivação
O trabalho visa à implementação da Bobina de Rogowski em placa de circuito impresso,
utilizando furo metalizado para unir as trilhas de cobre presentes em duas camadas e um sistema
de abertura para que se possa ter a mobilidade necessária para medição em condutores, sem a
necessidade de desenergizá-los para se obter uma alternativa viável econômicamente e
tecnicamente para a utilização da bobina em medições de correntes em sistemas elétricos de
potência.
1.3 Objetivo
Estudar a aplicação da Bobina de Rogowski em placa de circuito impresso para medição
de correntes elétricas na frequência da rede de 60 Hz, analisando suas vantagens e desvantagens.
Definir características físicas da bobina e tensão de saída para a especificação dos circuitos de
Primário
Secundário
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17
ganho e integrador juntamente com a comprovação dos cálculos efetuados, através de
aplicações no laboratório.
1.4 Estrutura do Trabalho
No capítulo 1 como já demonstrado serão apresentados os motivos para a escolha do
assunto, bem como os objetivos a serem alcançados, e a estruturação do projeto.
A revisão bibliográfica será desenvolvida no capítulo 2, fornecendo todo o
embasamento teórico para o desenvolvimento da proposta. Serão apresentadas as pesquisas
sobre o tema de magnetismo que será essencial para o entendimento da Bobina como um todo.
A estrutura da revisão será composta por um breve histórico do magnetismo, experimento de
Orsted, Leis de Biot-Savart, Circuital de Ampère e Faraday-Lens bem como a Indução
Magnética para o entendimento da análise do fluxo magnético e por fim serão abordados alguns
dispositivos para medição de correntes.
No terceiro capítulo será apresentado a Bobina de Rogowski assim como seu modo de
funcionamento, aspectos físicos e modelagem da tensão induzida em seus terminais.
No quarto capítulo serão apresentados os aspectos construtivos da Bobina de Rogowski
feita em Placa de Circuito Impresso e a com núcleo de Policloreto de Vinila, juntamente com
as análises do circuito de ganho e integrador.
No quinto capítulo serão apresentados os resultados obtidos nos ensaios em laboratório
para diferentes valores de correntes.
No sexto e último capítulo será realizado uma análise para a validação ou não do projeto
desenvolvido apresentando as conclusões a respeito do método utilizado, comprovando ou não
hipóteses levantadas anteriormente.
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18
2 Revisão bibliográfica
O eletromagnetismo descreve a unificação de leis fundamentais da física.
Os fenômenos que antigamente eram vistos de formas distintas hoje são cobinados e
podem ser analisados de uma forma mais ampla. O maior exemplo disso foi a relação
encontrada entre os fenômenos elétricos e magnéticos que trouxeram um grande impacto
positivo na tecnologia atual.
As teorias do eletromagnetismo foram estabelecidas com grandes dificuldades. Um dos
principais problemas devia-se à abstração da teoria. Acreditava-se na união das forças naturais,
isto é, que o calor, a eletricidade, a luz e o magnetismo se relacionavam, pois até 1820 nada
tinha sido comprovado em termos de conteúdo teórico e experimental devido à dificuldade de
analisar tais fenômenos.
Citando Borgo e Gonzalez (2007):
“Os efeitos do campo magnético são conhecidos há longo tempo, quando foram
observados os efeitos da magnetita (Fe3O4), um ímã permanente que se encontra em
forma natural. A descoberta de suas propriedades de orientação (Norte-Sul) foi de
fundamental importância na navegação marítima e explorações primitivas. Porém, as
suas aplicações práticas só foram possíveis quando Oersted descobriu que uma
corrente elétrica estacionária produzia um campo magnético. Os trabalhos posteriores
de Gauss, Henry, Faraday e, finalmente, Maxwell, permitiram a descrição do campo
magnético associado ao campo elétrico. Os esforços destes homens permitiram o
desenvolvimento das máquinas elétricas, das telecomunicações e dos computadores,
fundamentais na vida moderna”.
O magnetismo será abordado neste capítulo, sobre a perspectiva do campo magnético,
que é gerado pelo deslocamento de portadores de cargas elétricas sobre um condutor, quando
este é aproximado de uma bobina para que se possa analisar o fluxo magnético e
consequentemente a tensão de saída que será induzida em seus terminais.
Leis como a Circuital de Ampère e Biot-Savart serão essenciais para o desenvolvimento
do projeto.
A partir das equações de tensão de saída da Bobina de Rogowski desenvolvidas por
meio das leis citadas anteriormente será possível encontrar a constante de integração, que será
utilizada para que o valor da corrente que circula pelo condutor possa ser encontrado, bem como
o circuito de ganho que terá que ser elaborado para conseguir elevar a tensão no secundário da
Bobina.
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19
2.1 O Experimento de Orsted
Segundo Santos (2016) antes da realização e interpretações dadas ao experimento de
Orsted, não havia um consenso entre os filósofos da natureza sobre a interação entre eletricidade
e magnetismo como dito anteriormente.
[...] Orsted acreditava na existência de dois fluidos elétricos, que entravam em
‘conflito’ ao tentarem se movimentar em sentidos opostos dentro de um fio condutor
de corrente elétrica. Este conflito dava origem a uma sucessão de interrupções e
restabelecimentos do equilíbrio, manifestando-se e difundindo-se através do espaço
de modo “ondulatório” (GARDELLI, 2014, p. 26-27).
Em 1820, Orsted observou que cargas elétricas se movimentando (corrente elétrica) em
um fio, quando aproximados da agulha imantada de uma bússola, causavam um desvio de sua
posição original.
Ele observou que quando não havia corrente elétrica passando pelo fio a agulha, que
estava alinhada com o meridiano magnético da terra se mantinha em sua posição inicial após a
movimentação de elétrons no fio a agulha ficava com seu polo norte defletido para esquerda
como mostra a Figura 2. Ou seja, Oersted provou que cargas elétricas em movimento podem
gerar um campo magnético, prova está explicado com a deflexão da agulha ao mantê-la próxima
a um condutor conduzindo corrente. Esse fato deu início ao eletromagnetismo.
Figura 2 – Representação do experimento de Orsted
Fonte: (SANTOS, 2016)
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20
2.2 Lei de Biot-Savart
Pouco tempo depois da descoberta de Orsted, Jean Baptiste Biot e Felix Savart
obtiveram uma relação matemática, que conseguia descrever a interação entre a corrente
elétrica que passava por um condutor, e a deflexão da agulha de uma bússola quando o condutor
era aproximado de tal, como foi observado no experimento de Orsted, ou seja, a relação entre
corrente elétrica e campo magnético.
Para cada elemento diferencial de corrente em um dado ponto é possível definir o
sentido das linhas de campo magnético.
Citando Gouveia (2013):
“Este elemento diferencial de corrente pode ser imaginado por uma seção diminuta de
um condutor, sendo o condutor o caso limite de um condutor cilíndrico de seção reta
circular com o raio tendendo a zero. Consiste uma corrente I fluindo em um
componente diferencial ds do filamento. Pode-se afirmar que, em qualquer ponto P, a
magnitude da intensidade do campo magnético produzido pelo elemento diferencial é
proporcional ao produto da corrente pela magnitude do comprimento diferencial e
pelo seno do ângulo entre o filamento e a linha que une o filamento ao ponto P onde
se deseja conhecer o campo magnético”.
A relação matemática encontrada por Jean Baptiste Biot e Felix Savart é dada pela
equação (1). Para exemplificar a citação acima se tem a Figura 3.
Figura 3 – Lei de Biot-Savart para o campo magnético
Fonte: (SERWAY, 2006)
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21
Para a determinação da orientação do campo magnético, com o condutor percorrido
por corrente contínua, pode-se usar a regra da mão direita onde o polegar está indicando o
sentido da corrente elétrica que está atravessando o fio, enquanto os demais dedos estão
dobrados envolvendo o condutor em uma região onde o sentido é o mesmo do vetor indução
magnética conforme ilustra a Figura 4:
Figura 4 – Regra da mão direita
Fonte: (SERWAY, 2006)
A lei de Biot-Savart em sua forma vetorial descrita anteriormente pode ser expressa pela
Equação (1):
𝑑 =µ0 𝑖 𝑑𝑠 ×
4 𝜋 𝑟2 (1)
Considerando a Figura 5 para exemplificar a análise feita sobre a corrente I fluindo em
um componente diferencial ds do fio tem-se:
Figura 5 – Campo devido a um fio reto
Fonte: (SERWAY, 2006)
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22
Todos os elementos d do fio apontam para fora da página, na direção z. Para a
definição do campo magnético é necessário calcular:
𝑑𝑠 × 𝑟 = (𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛𝜃) z (2)
Com isso a lei de Biot-Savart por ser reescrita como:
𝑑𝐵 =µ0 𝑖 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛𝜃
4 𝜋 𝑟2 (3)
Usando
𝑟2 = 𝑥2 + 𝑎2 (4)
𝑠𝑒𝑛𝜃 =𝑎
√𝑥2 + 𝑎2 (5)
Obtém-se:
𝑑𝐵 =µ0 𝑖 𝑎 𝑑𝑥
(𝑥2 + 𝑎2)32
(6)
𝐵𝑧 =µ0 𝑖 𝑎
4 𝜋∫
𝑑𝑥
(𝑥2 + 𝑎2)32
𝑏
−𝑏
(7)
𝐵𝑧 = 2µ0 𝑖 𝑎
4 𝜋∫
𝑑𝑥
(𝑥2 + 𝑎2)32
𝑏
0
(8)
Para a resolução do problema, da tabela de integrais é retirada a seguinte relação:
∫𝑑𝑥
(𝑥2 + 𝑦2)32
=𝑥
𝑦2√𝑥2 + 𝑦2 (9)
Substituindo a resolução da integral na Equação (8) tem-se:
𝐵𝑧 =µ0 𝑖 𝑎
2 𝜋[
𝑥
𝑎2√𝑥2 + 𝑎2]
0
𝑏
(10)
Com isso a equação do campo magnético é determinada pela Equação (10).
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23
2.3 Lei Circuital de Ampère
A Lei de Ampère é um caso especial da Lei de Biot-Savart, pois a partir dela é possível
calcular o campo magnético originado de uma distribuição simétrica de corrente, somando-se
as contribuições ao campo de todos os elementos infinitesimais de corrente sem a necessidade
da resolução das integrais da seção 2.2 o que torna a análise mais simplificada (BORGO;
GONZALEZ, 2007).
Esta lei descreve que a integral de um campo magnético ao longo de qualquer caminho
fechado deve ser igual à corrente envolvida por este caminho conforme Equação 11.
∮B ds = µ0 i (11)
Para um condutor retilíneo longo conforme a Figura 6 pode-se fazer a seguinte análise:
Figura 6 - Condutor percorrido por corrente elétrica
Fonte: Elaborada pelo Autor
Para a equação (11) considera-se:
𝑑𝑠 = 𝑟 𝑑𝜃 (12)
∫ 𝐵 𝑟 𝑑𝜃2𝜋
0
= 𝑟 𝑑𝜃 (13)
𝐵 2 π r = µ0𝑖 (14)
𝐵 =µ0 𝑖
2 𝜋 𝑟 (15)
Com a Equação (15) será possível encontrar expressão da tensão de saída nos terminais
da bobina no capítulo 3.
ds
B
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24
2.4 Lei de Faraday - Lens
Depois que Oersted demonstrou, em 1820, que a corrente elétrica afetava uma agulha
magnética, Faraday provou depois de muita insistência e trabalho que um campo magnético era
capaz de produzir uma corrente elétrica.
Citando Goveia (2013):
“Faraday trabalhou neste problema intermitentemente ao longo de um período de 10
anos, até que, finalmente, obteve sucesso em 1831 enrolando dois fios separados em
torno de um toróide de ferro e colocou um galvanômetro em um circuito e uma bateria
no outro. Ao fechar o circuito da bateria, notou uma deflexão momentânea no
galvanômetro; uma deflexão semelhante na direção oposta ocorreu quando a bateria
foi desconectada. Com isto foi possível observar que, no instante em que a chave era
ligada e desligada, ocorria um transitório na corrente, fazendo com que esta
aumentasse ou diminuísse seu valor exponencialmente”.
A expressão matemática que demonstra a lei de Faraday-Lens é dada por:
𝜀 = −𝑑𝜙
𝑑𝑡 (16)
O sinal negativo foi explicado por Lenz, o qual diz que a força eletromotriz induzida se
opõe à variação de fluxo que a produziu, pois se não fosse assim o sistema geraria energia o
que fere a lei da conservação.
Se no caminho pelo qual o fluxo irá percorrer tiver N espiras pode-se reescrever a
equação (16) como:
𝜀 = −𝑁𝑑𝜙
𝑑𝑡 (17)
Para a Bobina de Rogowski deste projeto será considerado um fluxo passando através
de qualquer um dos N caminhos coincidentes.
Indução
Em 1831, Faraday descobriu o parâmetro indução que pode ser caracterizada como a
forma pela qual a energia é armazenada na presença de uma variação de fluxo magnético ou
corrente elétrica (BORGO; GONZALEZ, 2007).
UNIFEI – ISEE Trabalho Final de Graduação
25
Para o cálculo da tensão dos terminais de um indutor o qual armazena a energia citada
é dada por:
𝑉𝐿 = 𝐿 𝑑𝑖
𝑑𝑡 (18)
Em uma bobina toroidal, em que o fluxo atravesse todas as suas N espiras, o parâmetro
indutância será dado pela Equação 19
L = N ϕ
I (19)
Citando Borgo e Gonzalez (2007):
[...] a indutância é o número de enlaces de fluxo por unidade de corrente. Bobinas com
geometrias diferentes, mesmo tendo o mesmo número de espiras, possuem enlace de
fluxo diferente. Para bobinas feitas com núcleo que não seja ferromagnético, o valor
da corrente não influi neste enlace, pois a corrente e fluxo variam linearmente.
2.5 Sensores
Nesta seção serão apresentados alguns tipos de sensores para medição de corrente
elétrica analisando suas vantagens e desvantagens em relação a Bobina de Rogowski.
Resistor Shunt
Segundo Chaves (2008) os resistores shunts são elementos sensores de baixa resistência
que são inseridos diretamente no circuito da corrente conforme a Figura 7 operando pelo
princípio estabelecido pela Lei de Ohm e podem ser utilizados para medir correntes contínuas
e alternadas até dezenas de MHz.
No entando o resistor dissipa energia sob a forma de calor e como a perda de potência é
proporcional ao quadrado da corrente, para altas correntes, ocorre uma alta dissipação de
energia e também pelo fato de geralmente não serem empregados em alta tensão à bobina de
rogowski leva imensa vantagem sobre o resistor shunt.
As vantagens de um resistor shunt são o baixo custo, excelente precisão e podem ser
utilizados para medir correntes contínuas e alternadas.
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26
Figura 7 - Resistor shunt acoplado ao circuito de corrente
Fonte: Elaborada pelo Autor
Transformador de Corrente (TC)
A principal função de um transformador de corrente é produzir um nível gerenciável de
corrente, proporcional à corrente que flui através de seu enrolamento primário, para a operação
de dispositivos de medição ou proteção.
Citando Chaves (2008)
“O transformador é um dispositivo que compreende dois ou mais circuitos elétricos
acoplados magneticamente. Consiste de dois ou mais enrolamentos interligados por
um campo magnético mútuo. Se em um dos enrolamentos, o primário, for conectada
uma fonte de tensão alternada, um fluxo alternado será produzido e a amplitude
dependerá da tensão do primário e do número de espiras. O fluxo mútuo que une o
outro enrolamento, o secundário, induzirá uma tensão cujo valor dependerá do número
de espiras da bobina do secundário. Pela proporção do número de espiras do primário
e do secundário, chega-se a uma relação desejada da tensão, através da relação de
transformação”.
O transformador não é um dispositivo capaz de converter energia, mas um dispositivo
capaz de transferir energia elétrica de um circuito para outro.
O transformador esquematizado na Figura 8 consiste de um núcleo magnético com dois
enrolamentos independentes, concatenados com um fluxo magnético mútuo.
Segundo Goveia (2013) as vantagens de uma bobina de Rogowski para a medir corrente,
em relação aos transformadores de corrente convencionais, são a linearidade devido ao núcleo
Carga
Shunt
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27
não ser de material ferromagnético e, portanto, não se produzem fenômenos de saturação ou
histerese, capacidade de medição de grandes correntes, não há dissipação por Efeito Joule no
enrolamento secundário, não há perdas no núcleo (eddy currents), o circuito de medida está
isolado do circuito de potência, isto constitui uma grande vantagem quando se quer medir em
sistemas de alta tensão, facilidade de uso, uma vez que não requerem uma montagem especial,
pequenas dimensões e peso, baixo custo e fácil instalação entre outras.
Figura 8 – Circuito Equivalente de um de TC
Fonte: CHAVES 2008
Porém as desvantagens são a necessidade de um condicionador (integrador) para o
sinal obtido nos terminais da bobina, limites operacionais, pois em altas frequências e altas
correntes, pode haver disrupção de tensão nos terminais de saída e quanto menor a
indutância mútua, maiores serão os limites de corrente e frequência, já para baixas correntes
e baixas frequências, a tensão de saída torna-se muito baixa, e a utilização do transdutor é
limitada por efeitos de ruído.
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28
3 Bobina de Rogowski
A bobina de Rogowski se baseia no surgimento de um campo magnético quando um
condutor é submetido a uma corrente elétrica.
Ao contrário dos transformadores de corrente indutivos convencionais, a bobina
fornece, em seus terminais, um valor de tensão proporcional à derivada da corrente que circula
pelo condutor que está envolto pelas suas espiras. A bobina esta acoplada magneticamente ao
condutor e, por isso, se induz nela uma tensão proporcional à variação no tempo da corrente no
condutor (CHAVES, 2008). Esta tensão segundo Ramboz (1996) é proporcional à corrente a
ser medida. Para se obter o valor de corrente, a tensão deve ser integrada e multiplicada pelo
inverso do valor da indutância mútua. A obtenção deste valor pode ser feita de duas maneiras:
com um amplificador operacional eletrônico que será o foco deste trabalho, ou com a integração
numérica de algum software.
Na Bobina de Rogowski, o enrolamento primário é o próprio condutor onde circula a
corrente que se quer medir e o secundário é como o de um Transformador de Corrente (TC),
porém seu secundário é mantido em aberto ou conectado a uma alta impedância, além de não
possuir material ferromagnético em seu núcleo (GOVEIA 2013).
A Figura 9 ilustra o primário (condutor), secundário e o núcleo da bobina:
Figura 9 - Bobina de Rogowski
Fonte CHAVES, 2008
A bobina é basicamente um toróide constituído de um enrolamento uniformemente
distribuído em um núcleo de material não magnético
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29
A confecção da bobina de Rogowski a ser analisada neste projeto será a que utilizará
trilhas de cobre (ao invés do condutor) sobre uma placa de circuito impresso (ao invés de um
núcleo não magnético) que possa ser aberta para ser instalada ao redor do condutor. Como dito
anteriormente a bobina pode ser feita também enrolando um condutor sobre um núcleo de um
material não magnético sendo este um toróide rígido ou flexível. As bobinas enroladas sobre
um núcleo rígido oferecem melhor precisão. Por outro lado, aquelas que podem ser abertas
oferecem melhor flexibilidade, mas são mais propensas a variar suas características devido ao
desalinhamento das espiras no ponto de conexão.
3.1 Princípio de Funcionamento
O funcionamento da Bobina de Rogowski é baseado segundo a Lei de Biot-Savart ou
Circuital de Ampère, ambas se firmam no princípio de que se formará um campo magnético
quando um condutor for submetido a uma corrente elétrica e na indução magnética prevista
pela Lei de Faraday-Lenz a FEM induzida devido à corrente elétrica que passa pelo condutor a
qual se deseja medir interage com o enrolamento da bobina conforme a Figura 10.
Figura 10 - Modelo de circuito acoplado magneticamente
Fonte CHAVES, 2008
O sistema de equações lineares para o circuito da Figura 10 composto pelas equações
(20) e (21) respectivamente
𝑒1(𝑡) = 𝐿1
𝑑𝑖
𝑑𝑡+ 𝑀
𝑑𝑖
𝑑𝑡 (20)
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30
𝑒2(𝑡) = 𝐿2
𝑑𝑖
𝑑𝑡+ 𝑀
𝑑𝑖
𝑑𝑡 (21)
Como o enrolamento secundário encontra-se sob circuito aberto, portanto i2(t)=0, a
partir da equação obtém-se a equação (22).
𝑒2(𝑡) = 𝑀 𝑑𝑖
𝑑𝑡 (22)
Na equação (22) tem-se que a fem induzida no enrolamento da bobina é proporcional a
indutância mútua entre o enrolamento e o condutor, M, em Henry (H), e a taxa de variação no
tempo da corrente elétrica no condutor, em A s−1
3.2 Modelagem da Bobina de Rogowski
Homrich, Ruppert Filho e Freitas (2002), afirmam que a bobina de Rogowski pode ser
modelada pela Lei de Ampère, ou pela Lei de Biot-Savart. Através da modelagem do campo
proporcionado pelas duas leis se chegara à equação do fluxo magnético em função do tempo.
Apenas uma das modelagens será escolhida para encontrar o valor da tensão induzida o
que será mostrado na próxima seção.
Modelagem da Bobina de Rogowski pela Lei Circuital de Ampère
Como mostrado na seção 2.1.3 para a análise de campo magnético originado de uma
distribuição simétrica de corrente por um fio retilíneo foi definido a equação (11).
Sendo assim por um fio retilíneo percorrido por uma corrente elétrica o campo
magnético como demonstrado pela lei Circuital de Ampère é dado pel equação (15).
Com a definição do campo é possível determinar o fluxo magnético em um condutor
conforme a Figura 11.
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31
Figura 11 - Tubo de fluxo magnético ao redor de um condutor
Fonte: HOMRICHI, 2002
Então para um condutor de comprimento l, o fluxo em um tubo de área 𝐴𝑟, a uma
distancia r do condutor será:
ϕ = 𝐵 𝐴𝑟 (23)
Sendo rt o raio da área 𝐴𝑟, temos que o fluxo magnético será:
ϕ(t) =µ0 𝑖(𝑡)
2 𝜋 𝑟 𝐴𝑟 (24)
ϕ(t) =µ0 𝑖(𝑡)
2 𝜋 𝑟 π r𝑡
2 (25)
ϕ(t) =µ0 r𝑡
2
2 𝑟𝑖(𝑡) (26)
Considerando-se N espiras O longo do tubo de fluxo, a fem e induzida pelo fluxo ϕ (t)
produzido pela corrente i(t) será dada pela equação:
𝑒(𝑡) = 𝑁 𝑑𝜙
𝑑𝑡 (27)
Área Ar
Tubo de Fluxo
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32
𝑒(𝑡) =𝑁 µ0 𝑟𝑡
2
2 𝑟
𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡 (28)
Considerando-se uma corrente senoidal, com frequência f, da forma:
i(t) = Im senωt (29)
A tensão de saída em função do tempo será dada por:
e(t) =𝑁 µ0 rt
2
2 rImωcosωt (30)
Sendo:
ω = 2 π f (31)
Pode-se reescrever a equação (30) como:
e(t) =N µ0 rt
22 π f
2 rImcosωt (32)
e(t) =N µ0 rt
2π f
rIm cosωt (33)
Considerando uma corrente eficaz 𝐼 = 𝐼𝑚
√2, tem-se que o valor eficaz E𝑅𝑀𝑆 da fem
induzida será:
E𝑅𝑀𝑆 =µ0 N rt
2I𝑚 π f
r√2 (34)
Entretanto, o valor dado pela Equação (34) será diferente do valor prático se
considerarmos um condutor com um tamanho próximo ao raio interno da bobina, pois na
formulação da Lei Circuital de Ampère o condutor é considerado infinito (HOMRICHI;
RUPPERT FILHO; FREITAS, 2002).
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33
Modelagem da Bobina de Rogowski pela Lei Biot-Savart
Como deduzido na Seção 2.2 o campo magnético gerado em um fio reto percorrido por
uma corrente elétrica pode ser dado pela Equação (10).
𝐵 =µ0 𝑖 𝑎
2 𝜋[
𝑥
𝑎2√𝑥2 + 𝑎2]0
𝑏
Para a análise feita para a Figura 5 por comparação aos parâmetros da equação (10)
retirados da Figura 12 obtém-se que b é igual a 𝑙
2 e que 𝑎 é igual a 𝑦 = 𝑟
Figura 12 - Geometria para aplicação da Lei de Biot-Savart
Fonte: HOMRICHI, 2002
Sendo assim:
𝐵 =µ0 𝑖 𝑎
2 𝜋
𝑏
𝑎2√𝑥2 + 𝑏2 (35)
ds
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34
𝐵 =µ0 𝑖
2 𝜋
𝑏
𝑎√𝑥2 + 𝑏2 (36)
𝐵 =µ0 𝑖
2 𝜋
𝑙2
𝑟√𝑙2
2
+ 𝑟2
(37)
𝐵 =
µ0 𝑖
4 𝜋 𝑟
𝑙
√𝑙2
2
+ 𝑟2
(38)
Então para um condutor de comprimento l como mostrado na Figura 12, o fluxo em um
tubo de área Ar e distante de um raio r do condutor será obtido substituindo a equação (38) na
equação (23):
ϕ(t) =
µ0 𝑖
4 𝜋 𝑟
𝑙
√𝑙2
2
+ 𝑟2
𝐴𝑟 (39)
ϕ(t) =
µ0 𝑖
4 𝜋 𝑟
𝑙
√𝑙2
2
+ 𝑟2
πr𝑡2
(40)
ϕ(t) =
µ0 r𝑡2𝑖
4 𝑟
𝑙
√𝑙2
2
+ 𝑟2
(41)
Considerando-se N espiras O longo do tubo de fluxo, a fem e induzida pelo fluxo ϕ (t)
produzido pela corrente i(t) será dada pela Equação (27):
𝑒(𝑡) = 𝑁 𝑑𝜙
𝑑𝑡
𝑒(𝑡) =µ0 𝑁 𝑟𝑡
2
4 𝑟
[
l
√(l2)
2
+ r2] 𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡 (42)
Considerando-se uma corrente senoidal da pela Equação (29) a tensão de saída em
função do tempo será dada pela Equação 43:
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35
e(t) =µ0 N rt
2
4 r
[
l
√(l2)
2
+ r2]
ω Im cosωt (43)
Substituindo a Equação 31 na da Equação 43 tem-se a Equação 43:
e(t) =µ0 N rt
2
4 r
[
l
√(l2)
2
+ r2]
Im 2 π f cosωt (44)
e(t) =µ0 N rt
2π f
2 r
[
l
√(l2)
2
+ r2]
Im cosωt (45)
Considerando uma corrente eficaz 𝐼 = 𝐼𝑚
√2, tem-se então o valor eficaz E𝑅𝑀𝑆 da fem
induzida dado pela Equação 46
E𝑅𝑀𝑆 =µ0 N rt
2I𝑚 π f
2r√2[
l
√(l2)
2
+ r2]
(46)
3.3 Circuito Equivalente
As principais características físicas da bobina de Rogowski são a indutância própria, a
indutância mútua, a resistência interna e a capacitância parasita. O conhecimento destes
parâmetros é de suma importância para o dimensionamento da bobina, pois com estes dados é
possível estudar todas as limitações das bobinas, como faixa de operação, pulso de tensão na
saída, energia máxima transferida, entre outras.
O circuito equivalente da bobina de Rogowski está apresentado na Figura 13 onde pode-
se dizer que a impedância de carga para elementos eletrônicos possui valores elevados e os
demais parâmetros físicos como serão abordados nas seções seguintes.
A tensão de saída definida como Em na seção 3.2 nada mais é do que a tensão Vs de pico
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36
Figura 13 - Circuito equivalente da Bobina de Rogowski
Fonte: IEEE C37.235-2007
A capacitância parasita em frequências de rede, ou seja, 60 Hz que será a frequência
analisada no projeto pode ser desconsidera (IEEE C37.235-2007), devido ao seu baixo valor,
mesmo assim será demonstrado a forma pela qual deve ser calculada caso a medição de corrente
pela bobina seja medida em altas frequências.
A Figura 14 mostra uma representação fasorial da Bobina de Rogowski considerando
nula a capacitância.
Figura 14 - Representação fasorial da Bobina de Rogowski.
Fonte (IEEE C37.235-2007)
A impedância da bobina pode ser dada fazendo o equivalente do circuito abaixo
conforme a figura 15:
Figura 15 - Circuito equivalente da Bobina de Rogowski.
Fonte: Elaborada pelo Autor
Rb
Rs Ls
Cs
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37
Indutância Mútua
A bobina de Rogowski, pela sua característica, apresenta um baixo valor de indutância
mútua, devido à ausência de um núcleo com material ferromagnético (BORGO; GONZALEZ,
2007). Devido a isso o valor de tensão no secundário da bobina será pequeno. Esta observação
é facilmente percebida analisando a equação (22), onde a tensão de saída da bobina é
diretamente proporcional à indutância mútua.
Segundo Wolski (2005) a indutância é o número de enlaces de fluxo por unidade de
corrente.
Sendo assim utilizando os parâmetros da Figura 16 é possível definir a indutância mútua
como o número de vezes que o fluxo gerado pela bobina 1 atravessa as espiras da bobina 2 por
unidade de corrente conforme a Equação 47. (BORGO; GONZALEZ, 2007).
Figura 16 - Circuito acoplado magneticamente.
Fonte: (WOLSKI, 2005)
M = 𝑁2
𝜙12
𝐼1 (47)
Segundo Borgo e Gonzalez (2007) se a bobina for montada em um núcleo
(ferromagnético ou não) de forma toroidal com seção retangular h, raio interno e externo
respectivamente a e b e N número de espiras como mostra a figura 17, sua indutância mútua
será dada conforme Equação 48.
Figura 17 - Desenho Esquemático das Grandezas
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38
Fonte: CHAVES, 2008
M = N µ
2 πh ln (
b
a) (48)
Indutância Própria
A indutância própria LS pode ser determinada por:
Ls = 𝑁𝑀 (49)
Sendo assim
𝐿𝑠 = N2µ
2πhln (
b
a) (50)
Resistência Interna
A resistência interna de cada bobina depende da resistividade, ρ, do fio condutor
utilizado para o seu enrolamento, do comprimento e da espessura do mesmo, podendo ser
representada pela Figura 18, sendo assim (CHAVES 2008):
Rs = ρ l
A𝑠 (51)
Figura 18 – Resistência Interna
Fonte: Elaborada pelo Autor
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39
Capacitância Parasita
Para altas frequências não é possível menosprezar a capacitância parasita, neste projeto,
no entanto, como a frequência é a de rede então foi desconsiderado tal parâmetro que é dado
por:
𝐶𝑠 =𝜋2𝜀0 (𝑏 + 𝑎)
𝑙𝑛 (𝑏 + 𝑎𝑏 − 𝑎
) (52)
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40
4 Aspectos Construtivos
Duas bobinas de Rogowski serão apresentadas neste capítulo. A bobina em placa de
circuito impresso e a de núcleo feito com uma mangueira de Policloreto de Vinila (PVC).
Serão abordados os seus aspectos construtivos, equação da tensão de saída em função
da corrente elétrica e por fim o circuito de ganho juntamente com modo de como será realizada
a integração do sinal de tensão de saída da Bobina.
4.1 Diferenças para a construção da Bobina em PCB
As bobinas convencionais rígidas ou flexíveis são fabricadas enrolando uniformemente
um condutor de cobre em torno de um núcleo não magnético.
Nas bobinas em placa de circuito impresso o condutor de cobre é substituído por trilhas
e o núcleo não magnético pela própria placa.
Cada trilha consiste de listras de cobre que permanecem na placa de circuito após o
material condutor circundante ter sido removido através de um produto corrosivo.
Neste projeto essas trilhas foram dispostas em dupla camada, ou seja, nos dois lados da
placa, unidas por furos metalizados. Onde a trilha superior está presente na primeira camada,
representando a vista frontal da bobina, a trilha inferior presente na segunda camada
representando a vista inferior e as circunferências a cada união das trilhas representa os furos
metalizados, que tornam possíveis a união entre as camadas conforme mostrado na Figura 19.
Figura 19 - Camada da placa de circuito impresso
Fonte: Elaborada pelo Autor
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41
O programa escolhido para realizar o desenho da placa foi o EAGLE (Easily
Applicable Graphical Layout Editor) da empresa Autodesk.
O EAGLE é um aplicativo com capacidade de script, captura esquemática, desenho de
placas de circuito impresso, roteador automático e recursos de fabricação assistida pelo
computador.
As características técnicas da Bobina apresentadas na Figura 20 foram enviadas para a
empresa CIRVALE localizada em Santa Rita do Sapucaí, Minas Gerais, juntamente com o
arquivo .bdr do desenho feito no EAGLE para que a confecção fosse realizada.
Figura 20 – Características Técnicas da placa de circuito impresso
Fonte: Elaborada pelo Autor
O resultado da Confecção da placa está apresentada na Figura 21.
Figura 21 – Bobina de Rogowski em Placa de Circuito Impresso
Fonte: Elaborada pelo Autor
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42
Pelo fato da necessidade de se ter um sistema de abertura para que não seja necessário
desernegizar um circuito ou outro tipo de equipamento a confecção foi realizada através de duas
placas que foram unidas por um condutor de cobre e colocada sobre um suporte criado para
mantê-la unida conforme a Figura 22.
Figura 22 – Suporte para a placa
Fonte: Elaborada pelo Autor
Equação da Tensão de Saída da Bobina de Rogowski em Placa de Circuito
Impresso em Função da Corrente Elétrica
Para a bobina de Rogowski em placa de circuito impresso deste projeto definiu-se o
número de espiras e dimensões da Bobina em consenso com o professor orientador.
As dimensões da Bobina são apresentadas na Tabela 1 conforme o esquema da Figura
17.
Tabela 1 – Dimensões da Bobina de Rogowski em placa de Circuito Impresso
a [mm] b [mm] h [mm]
25 60 1,6
Fonte: Elaborada pelo Autor
Depois de definido as dimensões da bobina calcularam-se as equações da tensão de saída
através da dedução feita pela Lei Circuital de Ampère e pela Lei de Biot-Savart.
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43
Pela Lei Biot-Savart considerando-se uma área quadrada para o tubo de fluuxo da
bobina de rogowski em Placs de Circuito Impresso tem-se a partir da Equação 41 a seguinte
relação apresentada pela Equação 53:
ϕ(t) =
µ0 ℎ (𝑏 − 𝑎)
4 𝜋 𝑟
𝑙
√𝑙2
2
+ 𝑟2
𝑖 (53)
Para N espiras ao longo de um tubo de fluxo, a fem induzida pelo fluxo ϕ (t) produzido
pela corrente i(t) será dada pela Equação 54 ao substituir a Equação 53 na equação 27:
𝑒(𝑡) = 𝑁µ0 ℎ (𝑏 − 𝑎)
4 𝜋 𝑟
[
l
√(l2)
2
+ r2] 𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡 (54)
Considerando-se uma corrente senoidal dada pela Equação (29) tem-se:
e(t) = Nµ0 ℎ (𝑏 − 𝑎)
4 𝜋 r
[
l
√(l2)
2
+ r2]
ω Imcosωt (55)
Pode-se reescrever a equação 43 através da Equação 31 para se obter a Equação 57:
e(t) = Nµ0 ℎ (𝑏 − 𝑎)
4 𝜋 r
[
l
√(l2)
2
+ r2]
2 π f Imcosωt (57)
e(t) = Nµ0 ℎ (𝑏 − 𝑎)𝑓
2 r
[
l
√(l2)
2
+ r2]
Im cosωt (58)
Considerando uma corrente eficaz 𝐼 = 𝐼𝑚
√2, tem-se então o valor eficaz E𝑅𝑀𝑆 da fem
induzida dado pela Equação (59).
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44
E𝑅𝑀𝑆 = Nµ0 ℎ (𝑏 − 𝑎)𝑓I𝑚
2r√2[
l
√(l2)
2
+ r2]
(59)
E𝑅𝑀𝑆 = 30 4 π 10−71,6 10−3 (60 10−3 − 25 10−3)60 I𝑚
2 25 10−3√2[
1
√(12)
2
+ (25 10−3)2]
E𝑅𝑀𝑆 = 3,58 10−6 I𝑚
Pela formulação do fluxo definido pela Equação 24 através da Lei Circuital de Ampère
chegou-se a Equação 60 considerando a área do fluxo com retangular.
ϕ(t) =µ0 𝑖(𝑡) ℎ (𝑏 − 𝑎)
2 𝜋 𝑟 (60)
Para N espiras ao longo do tubo de fluxo, a fem e induzida pelo fluxo ϕ (t) produzido
pela corrente i(t) será dada pela Equação (61) ao substituir a Equação 60 na equação 27:
𝑒(𝑡) =𝑁 µ0 ℎ (𝑏 − 𝑎)
2 𝜋 𝑟
𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡 (61)
Considerando-se uma corrente senoidal dada pela Equação 29 tem-se atensão de saída
em função do tempo como mostrado na Equação 62.
e(t) =𝑁 µ0 ℎ (𝑏 − 𝑎)
2 𝜋 rω Imcosωt (62)
Pode-se reescrever a equação (62) substituindo ω pela Equação 31 como:
e(t) = N µ0 ℎ (𝑏 − 𝑎) 2 π f
2 π rImcosωt (63)
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45
e(t) = N µ0 ℎ (𝑏 − 𝑎) f
rIm cosωt (64)
Considerando uma corrente eficaz 𝐼 = 𝐼𝑚
√2, o valor eficaz E𝑅𝑀𝑆 da fem induzida será:
E𝑅𝑀𝑆 = N µ0 ℎ (𝑏 − 𝑎) f I𝑚
r√2 (65)
E𝑅𝑀𝑆 = 30 4 π 10−71,6 10−3 (60 10−3 − 25 10−3) 60 I𝑚
25 10−3√2
E𝑅𝑀𝑆 = 3,58 10−6 I𝑚
Para a elaboração da Bobina de Rogowski em Placa de Circuito Impresso na primeira
etapa do projeto houve um erro ao se calcular a relação da tensão no secundário da bobina com
a corrente que passa pelo condutor por considerar a área do tubo de fluxo circular. Com isso ao
se projetar a bobina com apenas 30 espiras não foi possível obter a aquisição dos dados de
tensão com a variação da corrente devido à baixa tensão que foi induzida em seus terminais na
ordem de microvolts para cada Ampère (10−6 𝑉/𝐴), juntamente com grande nível de ruído
apresentado pela baixa concentração de espiras.
Porém para analisar a comprovação da fundamentação teórica desenvolvida no capítulo
3 foi confeccionada uma Bobina de Rogowski convencional que será apresentada na próxima
seção.
4.2 Bobina de Rogowski feita com Núcleo de Policloreto de Vinila
Para que o sinal de tensão nos terminais da bobina possua uma faixa possível de ser
medida, e por razões construtivas, para que a bobina não seja muito grande, no protótipo
confeccionado utilizou-se uma mangueira de Policloreto de Vinila (PVC) com dimensões
previamente calculadas baseando- se, nas equações de tensão no secundário da bobina,
desenvolvidas pelas Leis Circuital de Ampère e de Biot-Savart, fazendo suposições sobre a
corrente a ser medida e faixa de tensão esperada, variando-se o número de espiras. Após a
distribuição do condutor de cobre sobre a mangueira de PVC as dimensões finais dos diâmetros
interno e externo da bobina foram respectivamente de 55 mm e 79 mm.
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46
Condutor e Número de Espiras
Para a construção das espiras foi usado fio de cobre esmaltado 21 AWG com diâmetro
de 0,7230 mm, seção de 0,41 mm2, e peso de 3,64 kg/m. A escolha pelo condutor se deve por
sua pequena seção transversal o que proporcionou uma maior quantidade de espiras na bobina,
e por consequência, uma maior tensão induzida. Outro fator importante é a maleabilidade do
condutor, proporcionando uma facilidade na construção.
Com as dimensões da bobina definidas na seção anterior para se obter uma faixa de
tensão na casa dos milivolts foi calculado o número de espiras fazendo algumas análises
conforme dito anteriormente em relação as equações de tensão nos terminais da bobina. Com
isso obteve-se um número de 460 espiras.
Após todos esses parâmetros definidos a bobina foi confeccionada enrolando o condutor
sobre todo o comprimento da mangueira tentando manter dentro do possível uma distribuição
uniforme conforme é apresentada pela Figura 23.
Figura 23 – Bobina de Rogowski com núcleo de PVC
Fonte: Elaborada pelo Autor
A mesma necessidade de um sistema de abertura apresentada na seção 4.1 é válida para
a nova bobina confeccionada e é mostrado na Figura 24.
UNIFEI – ISEE Trabalho Final de Graduação
47
Figura 24 – Sistema de Abertura da Bobina
Fonte: Elaborada pelo Autor
Equação da Tensão de Saída da Bobina com Núcleo Plástico em Função da
Corrente Elétrica
Depois de definido as dimensões da bobina calcularam-se as equações da tensão de saída
através da dedução feita pela Lei Circuital de Ampère e pela Lei de Biot-Savart.
Pela Lei Circuital de Ampère tem-se:
E𝑅𝑀𝑆 =N µ0 rt
2I𝑚 π f
r √2
E𝑅𝑀𝑆 =460 4 π 10−7 (0,60 10−2)2 π 60 I𝑚
2,75 10−2√2
E𝑅𝑀𝑆 = 1,0080 10−4 I𝑚 (56)
Pela Lei de Biot-Savart tem-se:
E𝑅𝑀𝑆 =N µ0 rt
2I𝑚 π f
2 √2 r[
l
√(l2)
2
+ r2]
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48
E𝑅𝑀𝑆 =460 4 π 10−7 (0,6 10−2)2 π 60 I𝑚
2 √2 2,75 10−2
[
1
√(12)
2
+ (2,75 10−2)2]
E𝑅𝑀𝑆 = 1,0070 10−4 I𝑚 (57)
Percebe-se que para o número de espiras calculado e para as dimensões estabelecidas
para a nova Bobina tem-se uma tensão de saída possível de ser medida pela placa de aquisição
devido a ordem de grandeza V/A ser consideravelmente maior que a da bobina em placa de
circuito impresso. Estas equações serão abordadas na seção 4.4, ao se projetar o circuito
responsável pelo ganho de tensão.
4.3 Circuito Integrador
A Bobina de Rogowski fornece, em seus terminais um valor de tensão que é
proporcional a derivada da corrente a ser medida, portanto para ser obter o sinal de corrente no
do secundário da bobina é necessário integrar o sinal de tensão.
Existem diferentes tipos de integradores. Segundo Chaves (2008)
“Os integradores passivos constituídos basicamente por um circuito resistor/capacitor
são utilizados em aplicações onde se deseja medir pulsos rápidos de grande amplitude
de corrente, pois precisam de altas tensões da bobina para ter uma precisão aceitável.
Têm sido aplicados em equipamentos de teste de para raios, por exemplo.
Os integradores ativos que utilizam amplificadores operacionais são geralmente muito
mais versáteis que os passivos. Eles podem ser utilizados para baixas correntes
(menores que 1A) e baixas frequências (menores que 0,1Hz) como também para
correntes de mais de 1.000.000A e frequências de até 1MHz. O comportamento dos
transdutores em baixas frequências é determinado pelo projeto do integrador”.
Porém para este projeto o integrador a ser utilizado será de forma digital através do
programa DASYLab 13.0.
Na seção 4.4 será realizado o cálculo para a constante de integração que será utilizada
para se obter juntamente com o sinal integrado da tensão nos terminais de saída da bobina o
valor da corrente conduzida pelo condutor.
UNIFEI – ISEE Trabalho Final de Graduação
49
A integração do sinal proveniente da bobina de rogowski será possível de ser realizada
de forma digital pela utilização da placa da National Instruments NI USB-6008 para a aquisição
dos dados do sinal de tensão proveniente da saída do amplificador.
A placa NI USB-6008 como mostrado na Figura 25 oferece entradas e saídas analógicas
e digitais, funções básicas de aquisição de dados para aplicações simples de data logging,
medições portáteis e experimentos de laboratórios acadêmicos. Sua alimentação é dada pelo
cabo USB conectado ao computador e suas conexões de sensores e sinais são realizadas através
dos terminais onde se encontram os parafusos.
Para realizar os ajustes na placa para a medição foi necessária a instalação do drive e
utilitário de configuração DAQmx e após isso realizar a instalação do software DASYLab 13.0
selecionando e habilitando a biblioteca de entradas e saídas NI-DAQmx para a comunicação
entre a placa e o software.
Figura 25 – Placa NI USB-6008
Fonte: Elaborada pelo Autor
A programação para a obtenção do valor RMS da corrente, bem como a visualização
de sua forma de onda, é mostrado na Figura 26.
UNIFEI – ISEE Trabalho Final de Graduação
50
Figura 26 – Programação DASYLab 13.0
Fonte: Elaborada pelo Autor
A programação foi realizada através de diagramas de blocos pré-definidos com certos
ajustes.
Utilizou-se o bloco Analog Input da NI-DAQmx para aquisição do sinal de tensão,
Digital Meter como display, Differenciator/Integration para a integração do sinal de tensão da
bobina, Statistical Values e Arithmetic para ajustar a amplitude e o deslocamento de nível do
sinal integrado e Scaling para realizar a multiplicação do sinal de corrente pela constante que
será calculada na seção 4.4.
O resultado da integração da forma de onda da tensão encontrado em uma das medições
realizadas é mostrado pela figura 27.
Figura 27 – Integração do Sinal de Saída da Bobina
Fonte: Elaborada pelo Autor
Pode-se notar pela Figura 27 que enquanto a forma de onda da corrente mostrada pelo
Canal 0 passa pelo eixo das abcissas, a forma de onda da tensão mostrada pelo Canal 1 atinge
UNIFEI – ISEE Trabalho Final de Graduação
51
seu valor máximo o que mostra a existência de uma defasagem de 90° entre as ondas
comprovando a integração do sinal de tensão, pois a integral de uma onda senoidal é a mesma
senoide deslocada de 90º.
4.4 Circuito de Ganho
Os amplificadores de instrumentação são circuitos que amplificam o sinal de tensão,
mantendo elevada impedância de entrada e ganho diferencial ajustável.
O amplificador diferencial pode amplificar uma pequena diferença de tensão entre sinais
colocados em suas entradas. Os pinos 2 e 3 do amplificador mostrado na Figura 28 amplificam
o sinal de tensão e a saída do sinal amplificado é adquirido através do pino 6 e do pino 5 que é
ligado ao terra para se obter a referência do sinal.
O esquema do amplificador de instrumentação consiste basicamente, como mostrado na
Figura 28, de um arranjo de ampops e resistores podendo ser de diferentes valores que permitem
facilmente variar o ganho do circuito mediante a necessidade encontrada.
Figura 28 – Circuito interno do INA 121 P
Fonte: Texas Instruments
Para realizar a amplificação do sinal de tensão da saída da Bobina de Rogowski foi
utilizado o amplificador de instrumentação da Texas Instruments INA 121 P mostrado na Figura
29.
UNIFEI – ISEE Trabalho Final de Graduação
52
Figura 29 – INA 121 P
Fonte: Elaborada pelo Autor
O INA121 P é um circuito eletrônico que basicamente elimina a necessidade do
casamento de impedância com a resistência de entrada, cuja a diferença de valores gera valores
variados de ganho. Possui uma instrumentação de baixa potência oferecendo excelente
precisão.
O ganho pode ser ajustado de 1V a 10.000V / V com um único resistor externo. A
proteção de entrada interna pode suportar até ± 40V sem danos.
Suas especificações de trabalho variam de –40 ° C até + 85 ° C faixa de temperatura
industrial.
As principais características de um amplificador de instrumentação segundo
MARCINICHEN e MARIN (2014) são:
• Elevada impedância de entrada.
• Controle do ganho através de uma única resistência.
• Elevado ganho.
• Elevada Rejeição de Modo Comum. (CMRR)
• Perfeita simetria entre as entradas inversora e não inversora.
As Configurações dos Pinos do INA 121 P estão apresentados na Figura 30.
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53
Figura 30 – Conexões do INA 121 P
Fonte: Texas Instruments
Cálculo do Ganho para a saída da Bobina de Rogowski
Como analisado na seção 4.1.1, através da Equação de Tensão em Função da Corrente
Elétrica, da Bobina de Rogowski em Placa de Circuito Impresso, não será possível medir os
níveis de tensão com exatidão, devido a ordem da tensão estar em 10−6 𝑉
𝐴, sendo assim o
circuito de Ganho será calculado apenas para a Bobina de Rogowski com Núcleo em Policloreto
de Vinila (PVC).
Para análises onde l >> r o valor da tensão de saída da Bobina calculado através da lei
de Biot-Savart apresenta quase o mesmo valor do calculado pela lei circuital de Ampère como
visto anteriomente. Sendo assim utilizando a Equação da saída da Bobina de Rogowski em
Núcleo de PVC, desconsiderando o comprimento do condutor devido muitas medições a serem
feitas possuem o o comprimento do condutor maior do que o raio do tubo de fluxo da bobina e
partindo de um ganho no valor de1kV/V tem-se:
E𝑅𝑀𝑆 = 1,008 10−4 I𝑚 103
E𝑅𝑀𝑆 = 1,008 10−1 I𝑚
I𝑚 ≅ 9,93 E𝑅𝑀𝑆
Com isso é possível definir a constante de Integração, sendo C=9,93 [A/V].
UNIFEI – ISEE Trabalho Final de Graduação
54
A Equação 58 retirada do Datasheet do INA 121 representa o ganho do amplificador.
𝐺 = 1 +50𝑘𝛺
𝑅𝐺 (58)
Portanto para ser ter o Ganho de 1kV/V será necessário a utilização de um resistor de
50 𝛺.
Porém o resistor utilizado para o experimento foi 42 𝛺 devido a disponibilidade de
componentes no laboratório. Com isso o ganho de 1kV/V passou a ser 1,19kV/V.
A montagem prática pode ser observada pela Figura 31.
Figura 31 – Montagem prática do INA 121 P
Fonte: Elaborada pelo Autor
Com a alteração do valor do ganho foi necessário corrigir a constante de integração
calculada. Sendo assim a nova constante será de:
𝐶 ≅9,93
1,19= 8,4
Tal constante será utilizada para se obter o valor de corrente no software DASYLab 13.0
através do bloco Scalin, para que depois da integração do sinal de tensão proveniente da saída
do amplificador, o display responsável pela indicação do valor da corrente percorrida pelo
condutor seja efetuado.
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55
5 Resultados Obtidos
Para a Bobina de Rogowski feita na placa de circuito impresso, não foi possível realizar
medições em laboratório em relação ao valor de tensão induzido em seus terminais ter uma
ordem de grandeza de 10-6 V/A como já dito anteriormente, porém foi possível medir as
correntes circulante nos enrolamentos da bobina, que no caso são as trilhas unidas pelos furos
metalizados, ao se variar a intensidade de corrente passando pelo condutor apresentado na
Tabela 2.
Tabela 2 – Corrente Circulante nos Enrolamentos da Bobina em PCB
Icondutor [A] IEnrolamento [mA]
0,00 0,00
21,90 0,07
51,00 0,15
82,00 0,23
107,00 0,30
Fonte: Elaborada pelo Autor
Assim como a tensão induzida é muito baixa nos terminais da Bobina a corrente que
circula nos enrolamentos também é. Apesar de não conseguir realizar os testes na Bobina em
PCB foi possível analisar seu funcionamento pela variação da corrente em seus enrolamentos.
Os resultados a serem apresentados na próxima seção se remete apenas a bobina de
Rogowski com Núcleo de Policloreto de Vinila.
5.1 Ensaio
Os ensaios realizados para se obter os valores de corrente medidos pela Bobina de
Rogowski ocorreram no laboratório 2 no prédio K da Universidade Federal de Itajubá.
O procedimento inicialmente ocorreu energizando o Transformador de Corrente (TC)
da HITACHI-LINE Indústria Elétrica S.A. em uma condição livre de carga elétrica no
secundário, ou seja, em condições de operação à vazio.
A energização do TC se deu através do Varivolt da JBV, modelo JNG TDGC2-3
Monofásico, onde foi possível obter diferentes níveis de tensão alternada. Mediante a variação
de tensão provocada pelo Varivolt obter valores variáveis de corrente, medidas pelo Alicate
Amperimétrico da SEW modelo AC/DC CLAMP METER 3800 CL.
UNIFEI – ISEE Trabalho Final de Graduação
56
Com o condutor já posicionado dentro da bobina e está com seus terminais ligadas nos
pinos diferenciais do Amplificador de Instrumentação INA 121 P da Texas Instruments, foram
posicionados os multímetros da FLUKE modelo 15B+ para a medição de tensão nos terminas
de saída da Bobina e do amplificador. O amplificador foi alimentado com uma fonte de tensão
feita pelos técnicos da UNIFEI com valores ± 15 [V]. Após isso a saída do INA 121 P foi
conectada ao osciloscópio da Agilent, modelo DSO1002A Série 1000, 60 MHz e placa de
aquisição NI USB-6008 da National Instruments.
E por fim a placa NI USB-6008 foi conectada ao notebook presente na bancada conforme
a Figura 34.
5.2 Medições
Devido a imprecisão do varivolt utilizado para elevar o nível de corrente gerado pelo
TC, foi efetuado uma média dos valores obtidos de tensão e corrente ao longo dos dias em que
foram efetuadas as medições no Laboratório.
Devido a interferência magnética causada por altas frequências pode-se observar que
para uma corrente de 0 A há uma tensão induzida na bobina o que ocasiona um certo erro nas
medidas, contudo ao se elevar o nível de corrente passando pelo condutor este erro apresenta
uma menor representatividade conforme visto na Tabela 3.
Tabela 3 – Resultados Obtidos
IALICATE [A] IBOBINA[A] V BOBINA [mV] V AMPLIFICADOR [V]
0,00 0,25 0,60 0,03
10,50 11,68 1,00 1,39
20,10 20,75 1,92 2,47
34,00 34,02 3,39 4,05
41,20 40,07 4,01 4,77
50,40 49,14 4,91 5,85
61,50 60,06 6,07 7,15
72,00 70,31 7,08 8,37
82,30 79,99 8,00 9,52 Fonte: Elaborada pelo Autor
Com os resultados apresentados na Tabela 3, é possível observar a relação entre a
Tensão no secundário pela Corrente medida, pela bobina mostrado pela Figura 32.
UNIFEI – ISEE Trabalho Final de Graduação
57
Figura 32 – Linearidade da Bobina de Rogowski
Fonte: Elaborada pelo Autor
A tensão nos terminais de saída da bobina são proporcionais a corrente medida como
dito anteriormente e como pode ser apresentado na Figura 32. A grande vantagem da Bobina
de Rogowski é a linearidade para valores de corrente elevadas pela não saturação provocada
pelo núcleo ferromagnético.
As Figuras 34, 35, e 36 demonstram uma das medições realizadas no laboratório,
comparando os valores encontrados pelo multímetro da saída do amplificador com o display 1,
dos valores de pico a pico das ondas apresentada pelo osciloscópio e pelo Display Y/t Chart00
e do Display 2 com o Alicate Amperimétrico.
Figura 33 – Montagem do experimento
Fonte: Elaborada pelo Autor
Figura 34 – Sinal de Tensão da saída do INA 121 P
y = 0,0978x + 0,1272R² = 0,9937
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
7,00
8,00
9,00
0,00 10,00 20,00 30,00 40,00 50,00 60,00 70,00 80,00 90,00
Ten
são
[m
V]
Corrente Bobina de Rogowski [A]
UNIFEI – ISEE Trabalho Final de Graduação
58
Fonte: Elaborada pelo Autor
Os valores apresentados nos displays do DASYLab 13.0 estão todos em RMS e o
osciloscópio da bancada do laboratório apresenta tanto o valor RMS quanto o valor de Pico a
Pico como mostrado na Figura 35. O display Y/t Chart00 apresenta o valor de pico, porém com
dois cursores do Y/t Chart00 posicionou-se entre os valores de pico positivo e negativo com os
valores de 13, 5 [V] e -13,5 [V], com isso o valor de pico a pico do DASYLab é de 27 [V], se
aproximando do valor mostrado pelo osciloscópio de 27, 4[V].
Figura 35 – Resultado obtido de uma medição pelo programa DASYLab
Fonte: Elaborada pelo Autor
Percebe-se que a combinação entre o experimento físico com resultados analógicos
como resposta e do software com a análise do sinal e apresentação dos resultados de forma
digital é bem eficiente e reduz a chance de possíveis erros na montagem de um circuito
integrador ligado a um microprocessador e este a um display de LED ou 7 segmentos.
UNIFEI – ISEE Trabalho Final de Graduação
59
A programação no DASYLab é intuitiva e de fácil aprendizado e na maioria dos
microprocessadores a linguagem de programação é em C, C++ entre outras e por mais que
sejam linguagens conhecidas e difundidas ainda assim pode apresentar suas complicações.
5.3 Características de Desempenho Estático
As características estáticas de um equipamento, são aquelas que dizem respeito a
resposta do equipamento a entradas contínuas.
Exatidão
Refere-se ao grau de concordância entre o resultado de uma medição e um valor
verdadeiro do mensurando, ou seja, é a aptidão do instrumento para dar indicações próximas do
verdadeiro valor da grandeza medidas quanto mais baixa for a exatidão maior serão os desvios
ou tendências errôneas nos resultados obtidos pela repetitividade
Figura 36 – Exatidão das medições da Bobina de Rogowski
Fonte: Elaborada pelo Autor
Percebe-se que para os valores de correntes medidas quase todas estão dentro de uma
margem de 3% de erro.
Precisão
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
7,00
8,00
9,00
10,00
11,00
12,00
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
ERR
O [
%]
Corrente [A]
UNIFEI – ISEE Trabalho Final de Graduação
60
O conceito de precisão refere-se ao grau de concordância de uma medição realizada
diversas vezes em condições de repetibilidade que se refere ao grau de concordância entre os
resultados de medições sucessivas de um mesmo mensurando, efetuadas sob as mesmas
condições de medição, chamadas de condições de repetitividade, ou reprodutibilidade referente
ao grau de concordância entre os resultados de medições de um mesmo mensurando, efetuadas
sob condições variadas de medição (INMETRO 2006)
A precisão é uma medida de dispersão e geralmente é expressa como um desvio padrão
conforme mostrado na Equação (59), por meio da média mostrada pela Equação (60).
𝜎 = √∑ (𝑥𝑖 − 𝜇)2𝑁
𝑖=1
𝑁 (59)
𝜇 =∑ 𝑥𝑖
𝑁𝑖=1
𝑁 (60)
Tabela 4 – Característica de Precisão
Corrente Média
Bobina de Rogowski
[A]
Desvio Padrão [A]
Medição 1 [A]
Medição 2 [A]
Medição 3 [A]
Medição 4 [A]
Medição 5 [A]
0,25 0,06
0,18 0,35 0,23 0,19 0,2
11,68 0,58
10,98 12,4 11,78 12,5 11,42
20,75 0,08
20,67 20,8 20,6 20,79 20,67
34,02 0,19 34,4 33,95 34,04 33,87 33,97
40,07 0,39
40,83 39,74 39,89 39,89 40,1
49,14 0,36
48,94 49,4 48,67 49,68 49
60,06 0,46
60,67 60,73 59,9 59,6 59,85
70,31 0,25
70,7 70,14 70,4 70,02 70,1
79,99 0,25
80,13 80,46 79,87 79,9 79,77
Fonte: Elaborada pelo Autor
Observou-se que os desvios padrão de todos os níveis de corrente foram similares como
apresentado na Tabela 4, a não ser pelo nível de corrente de 0,25 [A] que como dito
UNIFEI – ISEE Trabalho Final de Graduação
61
anteriormente na seção 5.2 é devido a interferências eletromagnéticas que induzema um nível
baixo de tensão nos terminais da bobina o que acarreta uma medição de corrente de forma
errônea.
Linearidade
A linearidade é uma característica típica de equipamentos ou sensores, cuja relação entre
entrada e saída pode ser considerada linear.
Segundo BRAGA (2008) A linearidade pode ser especificada de várias formas e uma
das maneiras mais simples é especifica-la através da reta de calibração de um sensor, traçada a
partir da estimativa da melhor reta, pelo método dos mínimos quadrados, proveniente dos dados
de entrada da corrente medida pelo alicate e saída da corrente medida pela Bobina de Rogowski
para toda a faixa de medição conforme mostrado na Figura 36.
Outra maneira é especifica-lá em termos do percentual de não linearidade, relativa a
medida atual, e ao fundo de escala conforme a Equação (59).
𝑁𝐿% =𝐸𝑅𝑅𝑂𝑀Á𝑋𝑋 𝐼𝑁𝐶
𝐹𝐸𝑋100 (60)
Sendo 𝐸𝑅𝑅𝑂𝑀Á𝑋 o erro máximo calculado em relação ao valor de corrente medida pela
bobina e a referência dada pelo alicate amperimétrico, INC a inclinação da reta de tendência
como mostrada através da equação presente na Figura 37 e o fundo de escala defindo para as
medições deste experimento de 86 [A].
Pela Figura 37 é possível definir a inclinação de valor igual a 1,0408 e pela Tabela 3 o
maior erro das medições realizadas pela Bobina equivalente a 2,31 [A]. Com isso tem-se:
𝑁𝐿% =2,31𝑋 1,0408
86𝑥100 = 2,80%
𝑁𝐿% = 2,80%
A não linearidade porcentual (NL%) se remete ao quão linear um sensor deixa de ser,
onde quanto mais próximo o valor se aproxima de zero mais linear o sensor tende a ser.
Tabela 5 –Erro Absoluto
UNIFEI – ISEE Trabalho Final de Graduação
62
IALICATE [A] IBOBINA[A] Erro [A]
0,00 0,25 0,25
10,50 11,68 1,18
20,10 20,75 0,65
34,00 34,02 0,02
41,20 40,07 1,13
50,40 49,14 1,26
61,50 60,06 1,44
72,00 70,31 1,69
82,30 79,99 2,31 Fonte: Elaborada pelo Autor
Figura 37 – Linearidade entre as correntes medidas
Fonte: Elaborada pelo Autor
y = 1,0408x - 1,0233R² = 0,9997
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Co
rren
te A
licat
e A
mp
erim
étri
co[A
]
Corrente Bobina de Rogowski [A]
UNIFEI – ISEE Trabalho Final de Graduação
63
6 Conclusão
O desenvolvimento dos protótipos foi de grande valia do ponto de vista da formação
acadêmica, haja vista que na revisão bibliográfica foram revisados vários assuntos de diversas
disciplinas que são abordadas durante o curso, dando ênfase a eletromagnetismo, analógica
digital e medidas elétricas, além da experiência prática adquirida na montagem dos protótipos
e ensaios realizados, agregada durante o desenvolvimento desse trabalho.
Quanto às dificuldades encontradas no decorrer das pesquisas e implementações,
destaca-se a pouca referência encontrada sobre a Bobina de Rogowski em Placa de Circuito
Impresso bem como o projeto desenvolvido no programa Eagle da Autodesk levando em conta
o ângulo a ser encontrado para que o número de espiras na placa fosse exato. Em relação a
Bobina com núcleo de PVC, foi a confecção do enrolamento do condutor ao entorno do
comprimento da mangueira utilizada, onde por diversas vezes foi necessário recomeçar pela
falta de uma distribuição do cobre de uma maneira uniforme.
Como visto no capítulo 5, os resultados obtidos para a Bobina de Rogowski com Núcleo
de PVC foram satisfatórios, com relação à exatidão e linearidade das medidas obtidas
comprovando a fundamentação teórica realizada, porém a bobina confeccionada na placa de
circuito impresso com apenas 30 espiras não se tornou viável pela baixa indução de tensão
gerada em seus terminais após a corrente alternada passar pelo condutor.
Fica como sugestão para trabalhos futuros em relação a bobina feita na placa de circuito
impresso confeccionar outra bobina com um número mínimo de espiras em torno de 450,
considerando as dimensões físicas e a faixa de tensão a querer ser medida baseando-se no
cálculo da tensão de saída seja pela Lei Circuital de Ampère ou Biot-Savart. Ou ponto relevante
seria quantificar o nível de interferência de campos magnéticos de baixa frequência e alta
externos ao circuito magnético da bobina, determinando, portanto, a distância mínima de fontes
de ruídos ou algum tipo de blindagem eletromagnética.
UNIFEI – ISEE Trabalho Final de Graduação
64
Referências
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a Força entre Elementos de Corrente de Ampère. 2016. 40 f. TCC (Graduação) - Curso de
Física, Universidade Estadual de Maringá., Maringá, 2016..
Serway, Raymond A. e Jewett Jr, John W., Princípios de Física Volume 3 Eletromagnetismo,
Ed. Thomson São Paulo, 2006.
CHAVES, Claudionor Fernandes. Transformador de Corrente Eletrônico Utilizando
Bobina de Rogowski e Interface Óptica com POF para Aplicação em Sistemas de
Potência. 2008. 110 f. Dissertação (Mestrado) - Curso de Engenharia Elétrica, Universidade
Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2008.
GOVEIA, SÍlvio CÉsar Manfrim. TRANSDUTOR DE CORRENTE DO TIPO BOBINA
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Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, 2013.
HOMRICH, Roberto Petry; RUPPERT FILHO, Ernesto; FREITAS, Rafael Cassiolato.
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BORGO, Hamilton; GONZALEZ, Luiz Henrique Espinola. Estudo e Desenvolvimento de um
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aos TCs de Medição Convencionais. 2007. 101 f. TCC (Graduação) - Curso de Engenharia
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