UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE YUCATÁN
FACULTAD DE MATEMÁTICAS
Elaborado por: Luis Manuel Cabrera Chim
Asesor: M.C. Eddie de Jesús Aparicio Landa
Examen profesional para obtener el título de:
Licenciado en Enseñanza de las Matemáticas
Modalidad: Tesis individual
Mérida, Yucatán, México Diciembre 2006
AGRADECIMIENTOS
Agradezco al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT) por la beca que me
otorgaron durante el desarrollo de este trabajo, a través del financiamiento de proyecto de
investigación titulado “Un estudio sobre factores que obstaculizan la permanencia, logro
educativo y eficiencia terminal en las áreas de matemáticas del nivel superior: el caso de la
Facultad de Matemáticas de la Universidad Autónoma de Yucatán”.
Agradezco a mi asesor, el M.C. Eddie de Jesús Aparicio Landa por su comprensión, apoyo
sincero, constante motivación y valoración de mis ideas, así como por las valiosas
sugerencias y consejos realizados.
Agradezco también a la M.C. María del Pilar Rosado Ocaña y a la L.E. Laura C. Sánchez
Leal por su apoyo y motivación durante los primeros días de la realización de este trabajo.
Quiero extender este agradecimiento a todos mis profesores por la formación recibida, así
como por el compañerismo y amistad que siempre nos mostraron. En especial a: Eddie,
Landy, Lupita, Martha, Pilar y Rocío.
Agradezco a mis amigos de la facultad: Lucero, Isabel, David, Andrés Gregorio, Manuel,
Heyler, Sarai, Eunice, Nery, Rocío, Andrés, Víctor, Alonso, Miguel, Geisler, Luis,
Palomino, Glendy y Cristy por su amistad y palabras de aliento. En especial a Lucero,
Isabel y David que siempre me impulsaron a seguir adelante. También agradezco a todos
mis compañeros de otras generaciones.
DEDICATORIAS
Dedico este trabajo a mis padres: Elvia María Chim
Ciau y José Luis Cabrera Uc. Quienes siempre me han
proporcionado un cariño y apoyo inmenso, así como
una educación llena de valores, y cuyos sacrificios por
sacarnos adelanta a mí y a mis hermanos siempre
agradeceré y valoraré.
Del mismo modo dedico este trabajo a mis
hermanos Wilberth, Lucelly y Angel, por todos
los grandes momentos de felicidad y cariño
que hemos compartido.
A toda mi familia por su apoyo en todo
momento: a mis abuelos, tíos y primos.
A mis amigos: Blanca, Sheila, Luis, Edwin y Jorge.
Así como también a: Lucero, Isabel, David, Andrés,
Manuel y Heyler por su gran amistad.
ÍNDICE
INTRODUCCIÓN I
Capitulo 1. Descripción del problema y objetivo
1.1 La enseñanza del cálculo………………………….........................................
1.2 Acciones de la Facultad de Matemáticas hacia la atención estudiantil …….
1.3 Planteamiento del problema…………………………………………………
1
2
4
12
Capítulo 2. Antecedentes
2.1 Formación de profesores de matemáticas: formación disciplinar y
formación pedagógica………………………………………………………
2.2 Acciones para la formación de los profesores de matemáticas en el nivel
superior………………………………………………………………………
2.3 La didáctica de las matemáticas. Implicaciones en la formación de los
profesores……………………………………………………………………
2.3.1 Diversos enfoques en la enseñanza del cálculo……………………...
21
22
26
32
39
Capítulo 3. Marcos de referencia
3.1 La práctica docente………………………………………………………….
3.1.1 Principios y problemas de la formación didáctica………………...
3.2 Situaciones didácticas……………………………………………………….
46
47
50
55
3.2.1 Las situaciones didácticas…………………………………………
3.2.2 Las situaciones a-didácticas……………………………………….
3.3 Ingeniería didáctica………………………………………………………….
61
62
64
Capítulo 4. Aspectos metodológicos y diseño del Curso-Taller
4.1 Metodología…………………………………………………………………
4.2 Estructura del Curso-Taller………………………………………………….
4.2.1 Dualidad de los conceptos matemáticos…………………………...
4.2.2 La visualización……………………………………………………
4.2.3 Pensamiento y lenguaje variacional……………………………….
4.2.4 La noción de transferencia………………………………………...
4.3 Desarrollo de la secuencia didáctica………………………………………...
4.3.1 Problemas en el aprendizaje de las funciones……………………..
4.3.2 Desarrollo histórico del concepto función………………………...
4.3.3 Tratamiento en los libros de texto…………………………………
4.3.4 Diseño de la secuencia…………………………………………….
4.3.5 Análisis a priori……………………………………………………
70
70
73
77
81
86
96
100
102
105
111
121
123
Capítulo 5. Resultados y discusión
5.1 Registro de la información…………………………………………………..
5.2 Las creencias de los profesores……………………………………………...
5.3 El profesor ante un cambio en su práctica…………………………………..
125
125
126
129
5.4 Posturas de los profesores ante la Teoría de las Situaciones Didácticas……
5.5 Comentarios de los profesores respecto al curso-taller……………………...
142
146
Capítulo 6. Conclusiones
150
Referencias bibliográficas
158
Anexo A
167
Anexo B
168
Introducción
INTRODUCCIÓN
El cálculo, y en general toda la matemática, se presenta como una disciplina que posee muy
poca relación con el mundo en el que se desenvuelve el estudiante, si acaso se presentan
algunos problemas de aplicación pero que distan de las situaciones conocidas por él. A esto
debemos agregar que se presenta alejada de la tecnología y de las formas de producción de
dichos conocimientos, dependiendo la formación de los estudiantes de la calidad de la
enseñanza.
Un adecuado proceso de enseñanza exige al profesor poseer una adecuada representación
de lo que es la actividad matemática, en especial dentro del salón de clase, de una buena
epistemología y de concepciones didácticas apropiadas. Sin embargo, en el nivel
universitario, por lo general, únicamente se exige una formación disciplinar sólida. Esto
hace que los profesores basen su proceder dentro del salón de clases de acuerdo con
esquemas de referencia producto de su experiencia en la escuela y su experiencia
profesional. Esquemas que van de acuerdo con las ideas que se ha formado respecto el
papel que tanto él como el alumno deben desarrollar dentro del salón. Dicha ideas y
creencias conforman la epistemología del profesor y, en muchos casos, constituyen una
barrera a vencer para lograr un cambio en las prácticas de los profesores. Es así que
entramos a un círculo vicioso, el cual difícilmente se puede superar sino se proporciona a
los profesores una capacitación adecuada.
I
Introducción
Las investigaciones en didáctica de las matemáticas nos proporcionan elementos a través de
los cuales mejorar los métodos de enseñanza, así como también incidir sobre los contenidos
que se enseñan, permitiéndonos incidir de manera benéfica en el desarrollo de condiciones
que favorezcan el adecuado funcionamiento de los sistemas didácticos. Esto nos hace
vislumbrar a la formación didáctica como un medio pertinente para lograr romper con el
círculo anterior.
No obstante los aporte de la didáctica de las matemáticas a los profesores, ellos presenta
cierto recelo hacia una formación de este tipo. Consideran que la didáctica sólo viene a
complicar y entorpecer su labor, al introducir una terminología desconocida por él y
concebir que ella sólo busca el beneficio del alumno, en perjuicio, muchas veces, de la
formación que se le proporciona. Por otra parte, las experiencias no tan positivas de los
profesores en otros cursos de capacitación constituyen otro punto en contra de esta
formación, por lo general, ellos tienen la idea que en dichos cursos se les proporcionarán
conocimientos prácticos de aplicación inmediata en sus clases, expectativa que no lograr
cubrir. A esto hay que agregar que la naturaleza de la matemática favorece en el profesor
una práctica docente centrada en la deducción y con altos niveles de abstracción, esto lleva
al profesor a aceptar sólo aquellos resultados que no contradigan esa concepción. Las ideas
y creencias anteriores constituyen obstáculos a los que se enfrenta toda propuesta de
formación didáctica.
En el presente trabajo reportamos la elaboración de una propuesta de un curso-taller de
formación didáctica para profesores de cálculo del nivel universitario. Se busca contribuir a
la capacitación de los profesor, así como propiciar que éste vislumbre la necesidad de
II
Introducción
modificar y reformular su labor docente, cambiando su énfasis en la enseñaza por un
énfasis en los procesos de aprendizajes. Por otra parte, la puesta en práctica de dicha
propuesta, a un nivel experimental, nos sirvió para observar las actitudes y las posturas que
los profesores toman respecto a cursos de este estilo, información que contribuirá a la
elaboración de un mayor número de cursos de formación didáctica enfocados a los
profesores de ciencias exactas.
Para ello utilizamos la Teoría de las Situaciones Didácticas como un modelo teórico y
práctico de formación del profesorado, para lograr que perciban sus clases como un entorno
semejante al de la comunidad matemática y adquiera elementos que le permitan
desarrollarse bajo esa nueva perspectiva. La Ingeniería Didáctica, por su parte, nos
proporcionó un modelo para la experimentación y análisis de las actividades a ser
realizadas por el profesor dentro del salón de clases, permitiéndole una reflexión de su
actuar y la revisión de aquello que funciona y aquello que debe modificarse, basándose en
los resultados de los análisis que se exigen dentro de la ingeniería.
A continuación damos un breve panorama del contenido de cada uno de los capítulos de
que consta este trabajo.
En el capítulo 1 se describen brevemente diversas problemáticas relacionadas con la
enseñanza del cálculo, así como las problemáticas que se presentan dentro de las clases de
cálculo en la Facultad de Matemáticas, de modo que se tenga una visión de la actuación que
los profesores tienen dentro del salón de clases, y la viabilidad de una formación didáctica
como medio para superar tales dificultades. En este mismo capitulo se describen los
objetivos de este trabajo.
III
Introducción
El capítulo 2 está destinado a los antecedentes. Aquí describimos algunas temáticas y
acciones que se llevan a cabo en la formación de los profesores, así como también se
presentan algunas propuestas de formación del profesorado en el nivel superior y el
impactó que estas han tenido. Para finalizar este capítulo se describe brevemente en que
consiste la didáctica de las matemáticas y las implicaciones que los resultados que se
derivan de ella tienen sobre la formación de los profesores, dedicándose un apartado a la
didáctica del cálculo.
En el capítulo 3 se hace una descripción de los elementos que nos servirán de marco de
referencia para la realización de la propuesta. Se describen algunos aspectos relacionados
con la formación didáctica, así como también con la Teoría de las Situaciones Didácticas y
la Ingeniería Didáctica.
En el capítulo 4 se aborda la metodología empleada para el diseño del curso, así como una
descripción del mismo; se describen las temáticas abordadas y las acciones realizadas para
la conformación del diseño didáctico implementado.
El capítulo 5 está destinado para el análisis y discusión de la información recabada dentro
del curso. Se busca reportar el impacto de los temas abordados en las creencias y
concepciones de los profesores, así como las posturas y actitudes que ellos tomaron ante el
curso.
En el capítulo 6 se describen brevemente algunas reflexiones relacionadas con la actitud de
los profesores ante el modelo docente presentado y el impacto que ella tuvo sobre las
IV
Introducción
creencias de los profesores, así como las posibilidades de incidencia que vislumbramos de
ella en el quehacer didáctico de los profesores.
Por último se presentan las referencias bibliográficas y los anexos en los que se presentan
una actividad y el diseño didáctico que fueron implementados dentro del curso-taller.
V
Capítulo 1: Descripción de la problemática y objetivo
Capítulo 1
Descripción de la problemática y objetivo
La enseñanza y aprendizaje de las matemáticas ha resultado ser un problema en las
instituciones de educación. En el caso del nivel superior donde se enseñan las matemáticas
denominadas avanzadas, el cálculo representa una asignatura donde se presentan diversas
dificultades de aprendizaje, lo que se traduce en altos índices de reprobación en la misma
(Cantoral, Resendiz, 2003).
Dentro de la escuela, la enseñanza del cálculo se ha entendido como la presentación de
algoritmos a través de clases magistrales, viéndose reducido su aprendizaje a la adquisición
de competencias en lo que respecta al desarrollo de esos algoritmos y procedimientos
(Artigue, 1995c). Esta forma de llevar a cabo la enseñanza (que puede observarse en
general en toda la matemática) ha demostrado no ser eficiente. No favorece, por ejemplo, la
adquisición de aprendizajes funcionales, creando en los alumnos desinterés por aprender, al
visualizar a las matemáticas como saberes sin sentido e innecesarios. Sin embargo, aún con
los múltiples señalamientos de problemáticas derivadas de la actual enseñanza del cálculo,
ésta parece mantenerse sin cambio.
En este capítulo realizaremos la descripción de las problemáticas que motivaron el
desarrollo de este trabajo, así como los objetivos que se persiguieron.
1
Capítulo 1: Descripción de la problemática y objetivo
1.1 La enseñanza del cálculo
La enseñanza y aprendizaje del cálculo infinitesimal, ocupa un lugar privilegiado en la
educación superior dentro del ámbito de las ciencias. Sus relaciones con la matemática
elemental y con la matemática avanzada, así como las relaciones que ésta guarda con las
demás ciencias, lo convierten en un conjunto de saberes con valor teórico y empírico
considerables (Marcolini, Perales, 2005), constituyendo así una herramienta matemática
que nos permite comprender, estudiar y modelar diferentes sucesos que se presentan en el
mundo, los cuales se relacionan con procesos de cambio y variación (Cantoral, Reséndiz,
2003). De ahí, su aplicación en diversas situaciones como en la hidráulica, la mecánica, la
astronomía, la economía y hasta en la medicina, por citar algunos ejemplos.
Sin embargo, en el traslado de los conocimientos teóricos del cálculo a la escuela, son
notorias las dificultades que se presentan tanto a los profesores, para llevar a cabo un
adecuado proceso de enseñaza, como a los alumnos, en lo que se refiere al aprendizaje de
las nociones fundamentales, y es que como menciona Robinet (2001), citado en Cantoral y
Reséndiz (2003), la enseñanza de los principios del cálculo ha resultado siempre una
problemática.
Artigue (1995c) señala que existen grandes dificultades para hacer que los alumnos se
apropien de los principios del cálculo y de sus modos de pensamiento. Por lo general, ellos
aprenden los procesos mecánicos propios de la operatividad de los conceptos pero no
logran darle significado a los mismos; y es que tradicionalmente la enseñanza del cálculo se
ha entendido como la exigencia del desarrollo de habilidades en el manejo de los
2
Capítulo 1: Descripción de la problemática y objetivo
procedimientos algorítmicos y algebraicos propios de la materia, provocando que los
conocimientos sean “evaluados” en este sentido (Artigue, 1995c; Cantoral, Reséndiz,
2003). Es decir, el aprendizaje de conceptos como, por ejemplo, la derivada, los límites y la
integral son reducidos al aprendizaje de sus procesos algorítmicos, los cuales deben
realizarse de manera casi automática, perdiéndose de vista las nociones de aproximación y
variación que hay detrás de ellos, nociones que dieron origen a tales conceptos.
Bajo la postura mecanicista, la enseñanza se centra en la resolución de ejercicios o
situaciones “problemáticas”, en donde se exige aplicar los procedimientos mostrados sin
cuestionarse muchas veces el porque de su aplicación. De este modo, los alumnos sólo son
capaces de utilizar el conocimiento que están “aprendiendo” en situaciones similares, en
ocasiones idénticas, a aquellas en las que fueron presentados (Cantoral, Mirón, 2000;
citados en Zúñiga, 2002).
Reséndiz (2004), citada en García (2006b), señala que otra forma de presentar los
contenidos del cálculo, es mediante un enfoque formal y riguroso. Esto puede ser el
resultado de la creencia de que el aprendizaje del cálculo debe estar dirigido a alcanzar
aquellos aspectos formales de la disciplina, marginando de esta manera la intuición y los
aspectos heurísticos que en conjunto posibilitan la construcción de esos contenidos (Tall,
Vinner, 1981, citados en Marcolini, Perales, 2005).
A esto debemos agregar, que sea cual fuere el tipo de enseñanza que se desarrolla, hay algo
que parece coincidir en todas las clases de matemáticas; su desarrollo mediante
exposiciones magistrales donde se presentan de manera formal reglas o procedimientos
matemáticos (Fregona, 1999). Esto favorece la presentación de los saberes como objetos ya
3
Capítulo 1: Descripción de la problemática y objetivo
constituidos y terminados. De este modo, los alumnos toman el papel de sujetos pasivos
que sólo deben asimilar ideas mediante el estudio de apuntes de clase y textos escolares
(Marcolini, Perales, 2005). Este desarrollo representa para el docente, una manera
económica de llevar a cabo la enseñanza, permitiéndole presentar gran cantidad de
conocimiento en poco tiempo (Fregona, 1999).
Podemos darnos cuenta que en las formas actuales en las que se desarrolla la enseñanza,
aprendizaje del cálculo, el profesor es el actor principal. Sin embargo, dentro de éstas se
presentan diversas problemáticas que se acrecentan aún más si el profesor posee una
inadecuada preparación. Entenderemos por inadecuada preparación aquella que impide o
dificulta la toma de conciencia y de medidas para evitar los problemas que ésta causa y las
consecuencias que originan.
Lo anterior nos deja ver la necesidad de proporcionar a los profesores una capacitación y
formación continua que propicie un cambio de su punto de vista sobre la enseñanza y el
aprendizaje, cambios que permitan incidir sobre sus creencias y concepciones, buscando
con ello transformar las actuales prácticas de enseñanza en beneficio tanto del alumno
como del mismo profesor.
1.2 Acciones de la Facultad de Matemáticas hacia la atención estudiantil
La Facultad de Matemáticas (FMAT) de la Universidad Autónoma de Yucatán no escapa
de las problemáticas de rezago, reprobación y deserción estudiantil. Se reporta que
únicamente entre el 60% y el 70% de los estudiantes logran el paso del primer al segundo
año, siendo problemas relacionados con la reprobación de las materias de cálculo y álgebra,
4
Capítulo 1: Descripción de la problemática y objetivo
una de las principales causas de este hecho. Esto ha motivado la implementación de algunas
estrategias destinadas a combatir esas problemáticas (García, 2006a), entre las cuales
podemos mencionar las siguientes:
♦ Realización de cursos propedéuticos para los alumnos de nuevo ingreso.
♦ Organización de talleres de cálculo.
♦ La conformación, en febrero de 2003, de un comité de tutorías, cuyo objetivo es
elevar la calidad del proceso formativo en el ámbito de la construcción de valores,
actitudes y hábitos positivos, con el fin de abatir el rezago y el fracaso escolar.
♦ En septiembre de 2003, inicia formalmente un programa de desarrollo y de
mejoramiento docente.
♦ El 1 de marzo de 2005, se inicio el proceso de creación del Departamento de
Orientación y Consejo Educativo (DOCE), cuyo objetivo es atender en orden de
prioridad las necesidades escolares y personales de los alumnos.
♦ Taller de hábitos de estudio.
♦ Impartición de cursos o talleres a solicitud de los alumnos.
Podemos observar que muchas de las acciones implementadas tienen el objetivo de incidir
sobre el alumno; sobre sus procesos de estudio, sus conocimientos previos, es decir, sobre
la parte cognitiva. Sin embargo, estas medidas aun no han logrado incidir en las
problemáticas relacionadas con el rezago y la reprobación escolar. No parece hacerse
conciencia respecto a que las dificultades en el proceso de aprendizaje de las matemáticas
no únicamente están relacionadas con factores de orden didáctico o técnico relacionados
con la forma en que se comunican los conocimientos, sino que cobra relevancia
5
Capítulo 1: Descripción de la problemática y objetivo
fundamental la manera de seleccionar, articular y organizar el saber matemático con fines
didácticos (Marcolini, Perales, 2005). A este respecto, un punto que llama nuestra atención
es que ninguna de las acciones tomadas dentro la FMAT está orientada hacia la búsqueda e
implementación de nuevos procesos de enseñanza y aprendizaje específicos para las
matemáticas, los cuales incorporen elementos teóricos-metodológicos derivados de la
investigación científica.
Por otra parte, podemos notar que las acciones anteriores tratan de subsanar los problemas
de reprobación y rezago que se presentan, ninguna de ellas está dirigida a la búsqueda de
factores causantes de las tales problemática. Como respuesta a este hecho, se puso en
marcha en la FMAT el proyecto de investigación titulado “Un estudio sobre factores que
obstaculizan la permanencia, logro educativo y eficiencia terminal en las áreas de
matemáticas del nivel superior: el caso de la Facultad de Matemáticas de la Universidad
Autónoma de Yucatán”. La meta de su primera etapa consistió en realizar un diagnóstico
que permitiera identificar factores de tipo académico que posiblemente sean causa de
reprobación, rezago y por ende, deserción escolar en el área de cálculo.
Como parte de las acciones desarrolladas en el marco de la primera etapa del proyecto de
investigación antes mencionado, se realizaron entrevistas a los profesores que impartían
cálculo en la FMAT, ello con la finalidad de hacer un análisis de la organización, usos y
enfoques que ellos realizan de ésta asignatura, así como el análisis de los libros de texto que
se utilizan, entre otras. La información recolectada dejó entre ver que los profesores
cuentan con una amplia formación disciplinar, pero con pocos o nulos estudios de índole
didáctico o pedagógico; sus clases se caracterizan por poseer un enfoque muy teórico;
6
Capítulo 1: Descripción de la problemática y objetivo
utilización en los primeros cursos de cálculo de libros de texto que presentan un enfoque
axiomático, el cual puede resultar muy abstracto y de un elevado nivel de complejidad, más
aún si tomamos en cuenta que algunos de los alumnos cursan la materia por primera vez, ya
que en el bachillerato no llevaron las asignaturas optativas de cálculo diferencial e integral;
otro punto a resaltar es que las prácticas de enseñanza se encuentran enmarcadas dentro del
enfoque analítico-formal, menospreciándose otros recursos como los gráficos, visuales, etc.
Otras acciones desarrolladas dentro el mismo proyecto de investigación lo constituyeron los
trabajos de tesis de licenciatura de García (2006a) y García (2006b), en las que se realizan
descripciones sobre la forma en que los profesores de la FMAT desarrollan las clases de
cálculo I y cálculo diferencial respectivamente. La primera de las asignaturas se imparte
para las licenciaturas del área de las matemáticas (licenciaturas en actuaría, enseñaza de las
matemáticas y matemáticas), mientras que la segunda se desarrolla en las licenciaturas del
área de la computación (licenciatura en computación y las ingenierías en sistemas
computacionales y en software)
Algunos puntos comunes o generales a destacar dentro los reportes realizados son los
siguientes:
♦ Los profesores bajo estudio cuentan con una amplia formación disciplinar, pero
poseen poca o ninguna formación pedagógica (y menos aún en didáctica de las
matemáticas).
♦ Los profesores llevan a cabo su práctica docente basados en sus creencias y
concepciones de la forma en que se enseña y aprende matemáticas.
7
Capítulo 1: Descripción de la problemática y objetivo
Estas concepciones en ocasiones difieren de la de los alumnos y pueden generar
algunos problemas de aprendizaje. Por ejemplo, en el trabajo de García (2006 b) se
reporta que uno de los profesores participantes en el estudio señaló que durante su
práctica profesional se ha percatado que las clases que el denominó “tradicionales”,
ocasionan que los alumnos se tornen pasivos, tengan dificultades para asimilar
adecuadamente los contenidos y estudien únicamente por la presión de un examen.
También hace mención que durante su experiencia como alumno, se dio cuenta que
ninguno de sus profesores le enseñó realmente. Al respecto reproducimos el extracto
de una entrevista que García (2006b) realizó a dicho profesor:
“…no sólo cálculo, todas las demás materias, en realidad las aprendí yo sólo, y es
por eso que te digo también me puse con este nuevo método, me propuse no dar
clases, por que la verdad ningún maestro me enseño nada, ya que lo piensas mucho
te das cuenta que nadie te enseña nada, …, por mucho que él sepa, por muy bien
que exponga ante la clase, eso no te va ayudar a ti en nada, y yo te lo digo por que
eso me pasó, yo tuve maestros que los recuerdo como maravillosos expositores,
que veías cuanto sabían de su tema, otros que eran lumbreras porque son
reconocidos por los demás matemáticos, pero que no te podían enseñar nada,
porque no sabían enseñarte nada, llegaban y se esforzaban, o escribían muy mal, o
no se les oía o no se les entendía, ni siquiera lo que decían, aunque fueran unos
genios no te podían transmitir nada de esa genealidad,…”
8
Capítulo 1: Descripción de la problemática y objetivo
“…, realmente aprender, aprender uno solo, por eso, esa fue mi idea ahora,…, no
preparo clase, no les doy clase, les digo lo que tienen que estudiar y que lo hagan,
las dudas si, las dudas son en lo que yo puedo ayudar…”
Concepciones como las anteriores hacen que el profesor conciba al aprendizaje
como un proceso del cual el alumno es el único responsable; es el propio alumno
quien debe encargarse de leer y comprender los temas.
La concepción anterior fue reflejada en la metodología seguida en las clases; los
alumnos debían leer y comprender los temas del libro de texto seleccionado y en las
clases deberían pasar a explicar la solución de los ejercicios asignados previamente,
el profesor se encargaría de evaluar dichas soluciones.
No obstante, esta forma de desarrollar las clases generó algunas problemáticas como
la sensación de que su presencia no era necesaria, pues el docente no los motiva y
centra su atención únicamente en el alumno expositor, sin considerar al resto del
grupo. El siguiente extracto es de una entrevista que García (2006b) realizó a los
alumnos:
“…, pero el maestro no … pone atención de que nosotros leamos, de que
busquemos la información, pues a nosotros solo nos interesa nuestro problema y a
la hora de clase pues todo es un relajo, porque sólo … pasa uno y ya, nada más
cuando están difíciles las cosas prestan todos atención, pero ya después ni en
cuenta el maestro,…, ya ves que al momento que pasan, el maestro se centra en la
persona, la persona pasa, lo resuelve, y el grupo ni en cuenta,…, el maestro no
9
Capítulo 1: Descripción de la problemática y objetivo
pasa lista, y si te habla y estás pasas, pero ese día ni en cuenta si estás o no, yo digo
que es eso, cuando saben que no les va a tocar, pues ni van, se ponen a hacer otras
cosas, a veces hay tarea que hacer,…”
Otro punto a señalar, es que los alumnos sienten que sus ideas no son tomadas en
cuenta, que lo que realmente contaba era lo que decía el profesor. A continuación
presentamos una secuencia de una entrevista a los alumnos:
A’1: yo una vez pasé a hacer un problema a mi manera, y no, no está mal, y me hizo
hacerlo a la suya, y termine haciendo lo mismo!…
A’2: ah es cierto, y hacer siempre las cosas a su modo, es como lo que entendiste
del libro,…
A’1: no espera a ver que termines, o sea para ver, le explico al maestro que hice
esto y esto, no, estás empezando a hacer y te dice, no hagas esto, has mejor esto, y
ya todo lo que habías planeado no lo haces.
A’2: si tu ejercicio salió bien y el maestro está de acuerdo, ya hiciste el día, pero si
de plano, en el momento en que estés empezando, así estés escribiendo, el maestro
te dice, no eso no va allí, y no mejor no, es que hay una manera más fácil, entonces
para que lo hiciste, mejor que lo pase a hacer él y se acabo!
Esto nos muestra la importancia de fundamentar sistematizar y evaluar las acciones
a desarrollar dentro del aula y no basarnos únicamente en la experiencia personal o
creencias.
10
Capítulo 1: Descripción de la problemática y objetivo
♦ Se favorece la realización de ejercicios como el medio para asimilar los
conocimientos matemáticos y lograr su aprendizaje, concepción que es compartida
por profesores y alumnos.
♦ Ya sea la clase de tipo deductiva o inductiva, la forma de presentar los contenidos,
en general, se desarrolla conforme el siguiente patrón: teoría – teoremas -
demostración (o comprobación) - ejercicios.
♦ Falta de motivación de los alumnos por aprender. El profesor no los motiva.
♦ Los alumnos presentan un papel pasivo. Se limitan a responder preguntas del
profesor o realizar los ejercicios que le son asignados.
♦ Existen diferencias en cuanto al uso que se les da a las demostraciones. Unos
profesores le dan una importancia relevante, al grado de sólo aceptar en la
resolución de problemas la utilización de aquellos conocimientos que han sido
demostrados o el alumno puede demostrar. Mientras que otros las toman como una
simple verificación que deben realizarse a una proposición o teorema para
comprobar su veracidad, no teniendo el mismo rol central que para los anteriores.
♦ Los profesores perciben a las matemáticas como un conjunto de saberes
estructurados que forman un sistema axiomático; a partir de algunos conceptos se
deducen otros. Concepción que se hace presenta en la forma de desarrollar las
clases.
♦ Los profesores se ostentan como autoridades del conocimiento, las cuales norman
los aprendizajes que se realizan y la forma en que se realizan. Esto conduce a que
los alumnos se limiten a aceptar lo que el profesor les comunica y desarrollar bajo
esas premisas sus acciones.
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Capítulo 1: Descripción de la problemática y objetivo
♦ La interacción entre el profesor y los alumnos, dentro del salón de clases, se da
como resultado de las preguntas que los profesores realizan o que los alumnos
hacen debido a alguna duda que éstos presentan respecto a los contenidos que se
desarrollan.
♦ Poco o nula contextualización de los conceptos matemáticos.
♦ Se percibe una desarticulación entre los aspectos: conceptual, operacionales,
experimentales y formales (teóricos).
En lo que se refiere a aspectos relacionados con el desenvolvimiento del profesor dentro del
salón de clases, se reporta que algunos maestros tienden a dar la espalda a los alumnos
mientras realizan la exposición de los contenidos, centran la atención en los alumnos que
pasan a la pizarra a resolver los ejercicios propuestos, utilizan únicamente la pizarra como
medio didáctico, tienden a contestar las preguntas que ellos mismos formulan, entre otros
resultados.
1.3 Planteamiento del problema
Es innegable la existencia de problemas en la enseñanza y aprendizaje del cálculo, y en
general en toda la matemática. Por ejemplo, problemas que derivan de la complejidad
inherente de los propios conceptos, los cuales han tenido que evolucionar hasta alcanzar el
rigor formal con el que actualmente se presentan y se tratan en el currículo; ocultándose en
esta evolución, ideas fundamentales que dieron origen a tales conceptos. Si a esto
agregamos las problemáticas provenientes de la forma en que se desarrolla su enseñanza,
12
Capítulo 1: Descripción de la problemática y objetivo
entonces, los problemas para el aprendizaje del cálculo se tornan aun mucho más
complejos.
El aprendizaje del cálculo (particularmente) implica que el alumno sea capaz de poner en
práctica los conocimientos que vaya adquiriendo en diversas situaciones, el manejo del
lenguaje propio de la disciplina y su utilización para adquirir mayores conocimientos. Pues,
como señala Douady (2005), saber matemáticas involucra dos aspectos: Por un lado, se
refiere a la disponibilidad funcional de algunas nociones y teoremas matemáticos para
resolver problemas e interpretar nuevas situaciones (estatus de herramienta de los
conceptos). Mientras que por el otro, también significa identificar las nociones y los
teoremas como elementos de un cuerpo reconocido social y científicamente (estatus de
objeto de los conceptos).
Sin embargo, las actuales prácticas docentes desarrolladas por los profesores de cálculo, no
favorecen el logro de las acciones anteriores. Ellos se desempeñan como autoridades
“didácticas” que guían todas las actividades que se desarrollan dentro del salón de clases;
presentan los contenidos, establecen ejemplos, solicitan al alumno la realización de
ejercicios, etc. El alumno sólo debe estar atento a lo que el profesor le comunica y cumplir
con las exigencias que le son echas. Más que buscar aprender, éste busca cumplir con esas
reglas intrínsecas que se establecen dentro de las clases. Situación que se reflejada en los
pobres aprendizajes que los alumnos adquieren y su posterior (incluso, pronto) olvido. Sin
embargo, aún cuando se han reconocido estas problemáticas, las prácticas docentes parecen
no modificarse.
13
Capítulo 1: Descripción de la problemática y objetivo
Con relación a la inmutabilidad de los métodos de enseñanza, podemos encontrar reportes
como los de Parra (2005), quién señala que los profesores basan su práctica docente en la
experiencia adquirida por su paso en la escuela y las creencias que posean respecto a la
enseñanza y aprendizaje, así como en las acciones que otros maestros han realizado con
buenos resultados. Esto favorece la creación de un círculo vicioso; el profesor desarrolla
esquemas de referencia dentro de los cuales tuvo éxito su aprendizaje, pero que por lo
general, se debe a su capacidad propia para comprender las matemáticas y no tanto a lo
adecuado de dichas esquemas para suscitar aprendizajes. Este círculo es posible observarlo
dentro de la Facultad de Matemáticas, donde muchos de los profesores que actualmente
imparten clases, ¡fueron alumnos de la misma!
Si bien, se ha mencionado hasta el cansancio que no basta con dominar una disciplina para
llevar a cabo una adecuada enseñanza de ella (la misma entrevista de García (a) constata
este hecho), esto parece repercutir únicamente en los niveles básicos de educación. En
dichos niveles, la formación en el ámbito psicopedagógico y didáctico es aceptada como
necesaria. Mientras tanto en el nivel superior, la idea de la suficiencia del conocimiento
disciplinar es considerado como único requerimiento en la formación de los profesores
(Meneguzzi, 2004). Se alega que los alumnos se encuentran en un nivel de madurez tal, que
aún sin profesores ellos mismos están en condiciones de lograr aprendizajes (Campanario,
2003). Este alegato, si bien posee argumentos a su favor, que provienen de la formación
que se espera dar a los alumnos universitarios, no es posible aceptarlo como verdad
universal y mucho menos valerse de él para justificar todo acto de enseñanza en este nivel.
14
Capítulo 1: Descripción de la problemática y objetivo
La capacitación única en el ámbito disciplinar que muchos profesores poseen, les impide
tomar conciencia de numerosos factores que inciden sobre los procesos de enseñanza,
aprendizaje. Por ejemplo, en la matemática, como en todas las demás disciplinas, debemos
hacer una distinción entre la matemática como ciencia científica y la matemática como
materia que se enseña dentro del aula de clases, pues aún cuando abordan en esencia los
mismos saberes, éstos presentan grandes diferencias que hacen de sus procesos de
construcción y los significados que se les asignan, no ser los mismos. Esta distinción es
difícil de vislumbrar por aquellos profesores que no posean una adecuada capacitación,
llevando a exigirle al alumno el desarrollo de los procesos formales y estrictos que se
manejan dentro de la matemática científica, constituyendo esto una fuente de problemas,
dado que no todos los alumnos están capacitados para tal exigencia. Por otra parte, al ser la
matemática una disciplina que se caracteriza por presentarse con cierta distancia con
respecto a los alumnos y su mundo, e incluso en cierto sentido alejada de la tecnología, la
formación de los estudiantes depende de la calidad de la enseñanza (Brousseau, 1990b).
Para un profesor, enseñar debe significar la creación de las condiciones que permitirán la
apropiación de conocimientos por parte de los estudiantes. Para un estudiante, aprender
debe significar involucrarse en una actividad intelectual cuya consecuencia final es la
disponibilidad de un conocimiento en su doble estatus de herramienta y objeto. Para que
halla enseñanza y aprendizaje, es esencial que haya aprendizaje y enseñanza, es necesario
que el conocimiento sea un objeto importante, casi esencial, de la interacción entre el
profesor y sus alumnos (Douady, 1995).
15
Capítulo 1: Descripción de la problemática y objetivo
Pero la formulación anterior no puede ser impuesta al profesor por medio de una exigencia
o un simple planteamiento en los currículos, para que ella se vea reflejada dentro del salón
de clases, se hace necesario que sean los mismos profesores quienes tomen conciencia de lo
pertinente de esa forma de concebir su trabajo, necesidad que aumenta conforme mayor sea
el tiempo que éstos tengan en ejercicio. Son los profesores los principales agentes de
cambio de las prácticas educativas, pues son los responsables de poner en práctica cualquier
cambio e innovación en el currículo, así como también de la implementación de nuevos
métodos de enseñanza. Sin embargo, debido a que son sus creencias y concepciones las que
se reflejan en las prácticas docentes que desarrollan, el éxito de cualquier cambio en dicha
práctica está determinado en gran parte por la implementación de un cambio en esas
concepciones, pues muchas de ellas se vuelven verdaderos obstáculos para lograr un
cambio en su método de enseñanza (Campanario, 2003).
En la actualidad, existen diversos esfuerzos por proporcionar al profesor universitario una
adecuada preparación para actualizar y mejorar su desempeño profesional. Se reconoce la
necesidad de que el profesorado posea una adecuada y profunda competencia pedagógica y
didáctica, es decir, además de conocer su disciplina, el profesor universitario debe aprender
la profesión docente, la cual Díaz (2000), citado en Vivas, et al, (2003) define como:
“Las capacidades para enseñar una disciplina y atender el desarrollo de la
personalidad del estudiante, así como también la pericia para conducir a todo
el estudiantado hacia el logro de los diversos objetivos de aprendizaje”
Las actividades de los profesores no pueden ser intuitivas, espontáneas, aisladas,
tradicionales o centradas en el aula. Se requiere entonces proporcionarles una adecuada
16
Capítulo 1: Descripción de la problemática y objetivo
formación que los ayude a enfrentar las problemáticas que se le presentan. Su saber
profesional debe abarcar conocimientos actualizados de la disciplina que enseña, de la
didáctica universitaria y de la didáctica especial correspondiente (Vivas, et al, 2003). Esto
nos indica que los cursos de formación del profesorado universitario deben considerar el
ámbito en que éstos se desarrollan, de modo que, por ejemplo, un curso de formación
didáctica destinado a un ingeniero no puede ser el mismo que el que se destina a un
matemático, dichas cursos deberán atender diferentes necesidades. En el caso de las
matemáticas, esto tiene gran relevancia, pues ella constituye una disciplina que se exige así
misma grandes niveles de formalidad, situación que el profesor ha experimentado y bajo la
cual trata de desarrollar sus clases. No obstante, esta diferenciación no se ve reflejada en la
mayoría de los cursos de formación de los profesores, los cuales abordan técnicas
didácticas generales.
Tomando en cuenta lo anterior, así como las dificultades propias que se presentan en la
enseñanza, pero sobre todo en el aprendizaje del cálculo, y atendiendo a los reportes
provenientes de los trabajos de García (2006a) y García (2006b) respecto a las
características bajo las cuales se desarrollan las clases de cálculo en la FMAT,
consideramos que es necesario proporcionar al profesor de dicha asignatura, una formación
que le provea, entre otras cosas, de una adecuada representación de lo que es la actividad
matemática, en especial, dentro del salón de clase, de una “buena” epistemología y de
concepciones didácticas “adecuadas”.
Actualmente, la didáctica de las matemáticas ha cobrado un papel importante dentro de la
formación de los profesores, donde actúa como un elemento que aporta conocimientos que
17
Capítulo 1: Descripción de la problemática y objetivo
permiten corregir aspectos considerados negativos en el sistema de enseñanza (Fregona,
1999).
Las investigaciones en el ámbito de la didáctica de las matemáticas proporcionan
conocimientos respecto a los procesos de enseñanza y aprendizaje, tales como sus aciertos,
puntos débiles, problemáticas, así como también proporcionan elementos para realizar el
diseño de situaciones que favorezcan el aprendizaje de los alumnos. Esta información nos
permite fundamentar nuevas perspectivas para proporcionar cambios, innovaciones y
renovaciones en el quehacer didáctico de los profesores (Moreno, 2005). En este sentido, la
formación de los profesores de cálculo en didáctica de las matemáticas, y más
específicamente en la didáctica del cálculo, se perfila como un medio óptimo para favorecer
en ellos la incorporación de nuevas perspectivas referentes a los procesos de enseñanza y
aprendizaje del cálculo, así como para proporcionarles elementos teóricos y metodológicos
que permitan incidir en sus actuales prácticas docentes, es decir, lograr la transformación y
adaptación de la educación matemática a las nuevas realidades. Fundamentando todo lo
anterior en conocimientos provenientes de una disciplina científica.
De este modo, consideramos que la formación de los profesores en didáctica de las
matemáticas, contribuiría a subsanar algunas de las problemáticas presentes en las clases de
cálculo, logrando incidir sobre los problemas de reprobación, rezago y deserción escolar
que se presentan.
Sin embargo, los resultados de la investigación en didáctica son aceptados, si al caso, con
muchas reservas y dudas por los profesores del nivel universitario. Campanario (2003),
reporta que una actitud negativa, de los profesores hacia dichos resultados, se deriva del
18
Capítulo 1: Descripción de la problemática y objetivo
hecho de considerar que la didáctica constituye una disciplina que busca beneficiar
únicamente al alumno, disminuyendo el nivel de la formación que se le exige; otra causa de
esa actitud lo constituye las expectativas de los profesores, ellos esperan un conocimiento
con aplicación inmediata al desarrollo de sus clases, expectativa que la didáctica no parece
cubrir; otra causa puede ser el hecho de considerar que un buen docente nace, no se hace;
por último, podemos mencionar que los profesores consideran que muchos de los
resultados que se le presentan, ¡son obvios! y producto del sentido común, no requiriéndose
por tanto, una formación para ese ámbito. Estas ideas obstaculizan la incidencia de las
propuestas de formación didáctica en el desempeño docente de los profesores.
La idea de proporcionar al profesor universitario una formación didáctica, centrada en la
matemática, si bien constituye una propuesta adecuada para incidir sobre las problemáticas
de aprendizaje que se presentan, ésta deberá luchar contra los prejuicios que se tiene de la
didáctica. Entonces, se vuelve necesario conocer cómo reacciona el profesor ante los cursos
de formación didáctica, pues esta información nos permitirá tomar las medidas pertinentes
para disminuir esa lucha y favorecer mejores condiciones para el desarrollo de los mismos.
En este sentido, nos proponemos un doble objetivo:
1. El desarrollo de una propuesta de un curso – taller de formación en didáctica de las
matemáticas, enfocándonos de manera especial en el área de cálculo, para
profesores del nivel universitario.
2. Con la implementación del curso-taller, manejada en una fase de experimentación,
obtener información referente al grado de aceptación y el tipo de actitud de los
profesores hacia este tipo de cursos.
19
Capítulo 1: Descripción de la problemática y objetivo
Se pretende acercar a los profesores, los resultados provenientes de la didáctica de la
matemática, a fin de proporcionarles estrategias didácticas y metodológicas pertinentes que
nos permitan incidir de modo benéfico sobre sus actuales prácticas docentes, permitiendo
favorecer de un modo más eficiente el aprendizaje de los alumnos. Buscamos proporcionar
al profesor, algunos aspectos que puedan serles útiles durante la planificación, desarrollo y
evaluación de las clases. Por otra parte, la información derivada del segundo objetivo
creemos, será una adecuada base para la conformación y estructuración de cursos de
formación didáctica dirigidos a un mayor número de profesores universitarios en el área de
ciencias exactas.
20
Capítulo 2: Antecedentes
Capítulo 2
Antecedentes
Frente a los problemas relacionados con la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, las
instituciones educativas realizan diversas acciones tales como: cursos propedéuticos de
nivelación a los estudiantes, revisión y modificación de los contenidos de los planes y
programas de estudio o cursos de formación docente y de actualización a sus profesores
(Mingüer, 2001). En el nivel universitario, son cada vez más frecuentes los debates en torno
a la preparación que los profesores deben poseer, preparación que no sólo abarca su
formación disciplinar, sino también su formación didáctica. Esto ha generado el
surgimiento de numerosas propuestas de formación en los más diversos temas, según el tipo
de necesidades que se quiera cubrir. Uno de tales temas es la didáctica particular de la
disciplina que se enseña, en nuestro caso, la didáctica de las matemáticas.
En este capítulo describiremos brevemente algunos resultados derivados de los estudios
referentes a la formación de los profesores, así como también, se presentarán algunas
acciones que se han tomado a este respecto. Por último, describiremos el papel de la
didáctica de las matemáticas en dicha formación.
21
Capítulo 2: Antecedentes
2.1 Formación de profesores de matemáticas: formación disciplinar y
formación didáctica
El aumento de la población estudiantil en los niveles medio superior y superior, que se ha
venido registrando desde mediados de los años sesenta, ha demandado el incremento del
número de profesores para estos niveles. Para responder a esta demanda, las instituciones
de educación superior tuvieron que hacer uso de sus propios pasantes o recién egresados de
sus aulas para improvisarlos como profesores. En el caso del área de las matemáticas, esto
dio pie a la contratación de profesionistas que tuvieran dentro de su perfil, un dominio
matemático; es así como llegan a las aulas ingenieros, arquitectos, etc., sobre todo en
bachillerato. Ellos poseían conocimiento matemático, sin embargo, carecían de preparación
para desempeñarse como docentes, lo cual en muchas ocasiones se vio reflejado en
problemas de aprendizaje. Esto dio pie al surgimiento de diversos cursos y talleres
destinados a cubrir tal necesidad.
Fregona (1999) señala, que tradicionalmente, la formación de los profesores consiste en
comunicarles una serie de contenidos y saberes tanto teóricos como prácticos, los cuales les
proporcionen los conocimientos necesarios tanto del dominio disciplinar como del dominio
pedagógico; estos últimos son necesarios para la instrucción y el desarrollo de los sujetos.
A los dominios anteriores se agrega un tercero, el relativo a las prácticas de enseñanza; se
busca que el profesor se desempeñe adecuadamente dentro del salón de clases, así como
también, que sea hábil para propiciar las condiciones que favorezcan el aprendizaje del
alumno. Estos tres conforman constituyen el eje central sobre el cual se basa la formación
22
Capítulo 2: Antecedentes
de los profesores, a los cuales se agregan otras temáticas y dominios, dependiendo del nivel
en el que se desempeñarán.
Respecto a la formación de los profesores de matemáticas, D’Amore y Martini (2000)
señalan que podemos distinguir entre:
♦ Preparación profesional (entrenamiento, tutorías, prácticas).
♦ Preparación teórica.
Al primer punto corresponde el desarrollo de habilidades tales como, por ejemplo, aquellas
relacionadas con el adecuado desenvolvimiento dentro del salón de clases, como pueden
ser: la habilidad de comunicación personal y grupal, la forma de dirigirse al grupo, etc. Es
decir, corresponde a la preparación práctica. Con respecto al segundo punto, se hace otra
distinción:
♦ Preparación teórica específica o disciplinar (la preparación en matemáticas).
♦ Preparación no disciplinar.
Aquí hay que hacer una aclaración respecto a lo que significa la preparación teórica
disciplinar, pues ésta abarca otros conocimientos que por lo general no se abordan dentro
de las clases de matemáticas, como pueden ser, su historia y su epistemología,
conocimientos que todos los expertos y responsables del sector parecen, al menos en
principio, aceptar como necesaria para enseñar matemáticas (D’Amore, Martini, 2000). Sin
embargo, estas temáticas no son abordadas dentro de los cursos de formación docente.
23
Capítulo 2: Antecedentes
Dentro de la preparación no disciplinar, son grandes las discusiones que se han dado
respecto a los temas que se deben abordar, e incluso sobre la necesidad de ésta preparación.
Existen personas no interesadas por la didáctica, que consideran inútil una preparación
psicopedagógica, declarando que para ser buenos maestros es necesario y suficiente el
conocimiento disciplinar, pero existen otras que consideran que es necesaria alguna
competencia en el ámbito psicopedagógico; aquí hay varias posturas que van desde quien
considera que no es dañina, quien considera que es útil, hasta quien considera como
necesaria tal preparación. Como ejemplo de la preparación no disciplinar podemos
mencionar a la comunicación y el uso del lenguaje, en especial si se considera a la
matemática como un lenguaje y si tenemos en cuenta que en el acto de la enseñanza la
comunicación es un elemento importante.
D’Amore (2000), señala que la escolarización de los saberes no sólo causa un cambio en
los saberes científicos, sino también en la actitud del estudiante. De este modo, el
aprendizaje de los alumnos se lleva a cabo por exigencias institucionales, es decir, debido a
las relaciones que los alumnos y profesores contraen en el ámbito de la institución en la que
interactúan; su aprendizaje no es para la vida, sino que es un aprendizaje situado, y más
aún, situado en la institución escolar. Entonces, para superar este obstáculo, el profesor
debe ser competente en el “arte de la seducción”, de la comunicación, del modelo
humano…para lograr que alumno se interese por el aprendizaje en sí mismo y no para
cumplir con una relación o compromiso establecido. Esto establece otro ejemplo de la
necesidad de la formación no disciplinar del profesor.
24
Capítulo 2: Antecedentes
Por otra parte, siguiendo con la discusión de la formación que los profesores de
matemáticas deben poseer, podemos mencionar el estudio realizado por Parra (2004), sobre
aquellos contenidos escolares de los que hacen uso los profesores y de la forma en que ellos
hacen uso de éstos. En dicho estudio se reporta que son cuatro los elementos que deben
proporcionarse a los docentes de matemáticas en los procesos de formación: los contenidos
matemáticos, elementos históricos, elementos epistemológicos y los saberes matemáticos
no formales. Esto último se refiere a aquellos conocimientos que no son considerados
relevantes a nivel de la comunidad académica, pero que son utilizados por la gente en
situaciones cotidianas. Se menciona el siguiente ejemplo para clarificar esta última
afirmación: los comerciantes para calcular el cambio que deben dar a sus compradores, por
lo general, no restan a la cantidad de dinero proporcionada por éstos últimos el importe de
la compra, operación aritmética que se exigiría en la escuela como medio para obtener la
respuesta, sino que al valor de la compra van sumando cantidades hasta llegar al monto de
dinero proporcionado por el comprador, siendo la cantidad que permite esta acción el
dinero que se debe devolver al comprador.
Todo lo anterior nos muestra que la formación de los profesores es un tema delicado que
posee muchas vertientes en cuanto a las temáticas que debe incluir dicha formación. No
obstante, nos permiten observar un hecho que ha sido señalado en reiteradas ocasiones: es
insuficiente el conocimiento matemático para el logro de efectivas prácticas de enseñanza.
D’Amore y Martini (2000) señalan que las investigaciones en didáctica, muestran que el
rechazo a la matemática o el no tener éxito en ella, incluso el abandono de la escuela a
causa de las matemáticas, hallan sus raíces en explicaciones erróneas que producen
25
Capítulo 2: Antecedentes
conflictos insuperables, concepciones incorrectas que nunca llegaron a corregirse, con
frecuencia resultado de falacias didácticas que tienen origen en falta de competencia.
Sin embargo, en los niveles universitarios, durante la selección de los profesores de
matemáticas, se sigue privilegiando la exigencia casi única de una formación disciplinar
sólida, mientras que en los niveles inferiores, se favorece una mayor preparación
psicopedagógica, incluso en ocasiones, esta formación merma sobre la disciplinar. Esta
situación genera grandes problemas tanto en un nivel como en el otro (D’Amore, Martini,
2000). Si bien es fundamental el dominio de la matemática, también es fundamental una
adecuada preparación sobre la cual fundamentar las actividades de enseñanza, misma que
debe procurar que el profesor reflexione sobre las acciones que desarrolla para, en caso
necesario, realizar las modificaciones pertinentes. Los profesores no pueden basar sus
acciones de enseñanza en creencias y suposiciones, pues a la larga podrían obtener más
problemas que beneficios.
2.2 Acciones para la formación de los profesores de matemáticas en el
nivel superior
En la actualidad la formación de los profesores en el nivel universitario es un tema que ha
cobrado gran relevancia. Esto se deriva de la mayor atención que en los últimos años se ha
comenzado a prestar a la influencia que el pensamiento del profesor tiene sobre sus
estrategias docentes y su desempeño en clase (Campanario, 2003). A continuación
presentamos tres propuestas distintas destinadas a la formación de los profesores en el nivel
superior.
26
Capítulo 2: Antecedentes
En el Instituto Tecnológico de Oaxaca se han realizado diversos esfuerzos para
proporcionarles a sus catedráticos, una adecuada preparación docente y profesional. Dichos
esfuerzos han estado enmarcados en la propuesta de la didáctica tradicional (enfoque
clásico de la didáctica) la cual ha resultado insuficiente para abordar con éxito las
numerosas problemáticas que se presentan (Mingüer, 2002).
Es por ello que tomando como base la experiencia de un primer encuentro con la propuesta
de formación docente que hace el Departamento de Matemática Educativa del Cinvestav a
través del diplomado “Introducción a la Matemática Educativa”, el cual fue ofrecido a
profesores de nivel superior de Oaxaca, Mingüer desarrolló un Curso-Taller al que
denominó “Introducción a la Matemática Educativa”, con el cual buscaba hacer extensiva
la experiencia de trabajar con las situaciones didácticas a un mayor número de profesores
de los niveles medio superior y superior. Ella se propuso el desarrollo de un curso de
formación que ofreciera fundamentos teóricos y metodologías para la enseñanza, así como
además permitiera a los profesores la actualización de sus conocimientos disciplinares por
medio de su interacción con situaciones de aprendizaje que le permitan construir
conocimientos. También se buscaba propiciar un cambio en el enfoque didáctico con el que
se aborda la matemática; de una didáctica con enfoque clásico, que no ha permitido
solventar las dificultades que se presentan en la enseñanza y aprendizaje de las
matemáticas, a una didáctica centrada en la matemática.
Las actividades implementadas dentro del curso-taller consistieron en la realización de
lecturas introductorias a la matemática educativa, las cuales estaban relacionadas con la
problemática de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, así como la puesta en
27
Capítulo 2: Antecedentes
escena de tres situaciones didácticas. Estas acciones fueron consideradas valiosos recursos
para la formación docente, contribuyendo al desarrollo de una cultura matemática en los
profesores. Se buscó que éstos en un primer instante conocieran y más tarde llegaran a
utilizar las situaciones didácticas para favorecer que el alumno construya su conocimiento.
Para el desarrollo del curso se recurrió al trabajo grupal e individual, considerando los
intercambios de ideas y la discusión grupal acciones importantes para la construcción del
conocimiento entre los participantes.
Como resultado y experiencias de este taller, se reporta que los profesores lograron
experimentar los aportes de las situaciones didácticas, identificándolas, tanto como
herramienta para su propia formación, como elementos didácticos para ser utilizados con
sus alumnos. Nos parece conveniente citar la opinión de uno de los participantes del curso:
“En general, yo reduciría todo en muy pocas palabras: después de esta
experiencia ya no seguimos siendo los mismos y por lo tanto, nuestro trabajo en
lo sucesivo no podrá seguir siendo igual porque ya conocemos otro tipo de
trabajo, bajo otra óptica.” pp. 35. (Mingüer, 2001)
Esto nos permite vislumbrar que la incorporación de la teoría de las situaciones didácticas a
la formación docente constituye una alternativa adecuada, conformando una cultura
matemática en profesores y alumnos, de forma que poco a poco se logre una sensibilización
al cambio.
Tenemos pues, que la didáctica de las matemáticas ha de ser un elemento importante en la
formación de los profesores, pues ella puede proporcionar nuevas perspectivas teóricas y
metodológicas sobre las cuales fundamentar los cambios y adaptaciones pertinentes a las
28
Capítulo 2: Antecedentes
estrategias de enseñanza de los profesores. Encontrando dentro de ella, resultados que los
profesores encuentran pertinentes para incorporar a su práctica docente.
Por otra parte, en el Instituto Politécnico Nacional se han realizado, durante los últimos 20
años, investigaciones relacionadas con las problemáticas de los procesos de enseñanza y
aprendizaje de las matemáticas que se desarrollan en las carreras de ingeniería, las cuales
han permitido establecer una teoría cimentada en la función específica que tiene la
matemática en el nivel superior en carreras que no tienen por objetivo formar matemáticos;
esto ha dado lugar a una matemática en contexto (Camarena, 2004).
Basándose en la participación de tres elementos centrales en las clases: profesor, alumno y
saber, Camarena (2004) señala que se han abierto cinco fases a ésta teoría: curricular,
didáctica, epistemológica, formación de profesores y cognitiva.
Dentro de la fase didáctica se presenta lo que se denomina la matemática en contexto,
donde se vincula la matemática con otras asignaturas. Se plantean problemas que
pertenecen a diferentes asignaturas, trabajándose allí, los contenidos matemáticos, para
luego presentar dichos contenidos descontextualizados y poder aplicarlos a diversas
situaciones. En lo que respecta a la formación de profesores, se ha propuesto un curso para
este propósito: “curso de especialidad en docencia en ingeniería matemática en
electrónica”. En él, las materias de matemáticas se presentan vinculadas con materias de
electrónica y afines. Por ejemplo, se incluían materias como: introducción al análisis
matemático de una variable real y electrónica básica, y cálculo vectorial y
electromagnetismo. También se incluían materias como: procesos de aprendizaje, historia y
fundamentos de la matemática, y evaluación del aprendizaje.
29
Capítulo 2: Antecedentes
Las acciones anteriores permiten incidir sobre la problemática que señala Moreno (1999),
citado en D’Amore (2000), referente a la contextualización del conocimiento: la cognición
es de naturaleza contextual, pero las matemáticas son abstractas, dado que sus enunciados
no se refieren a nada real. Entonces, el profesor debe promover aprendizaje dentro de un
contexto dado y luego ayudar al alumno a descontextualizar los conocimientos aprendidos
en esa situación, para llevarlos a otros contextos donde pueda servir como instrumentos de
conocimiento. Lo anterior constituye la labor que el docente de matemáticas debe realizar
durante el proceso de enseñanza.
Este trabajo nos permite vislumbrar que los cursos destinados a la formación de los
profesores de matemáticas en el nivel universitario, deben adecuarse al ámbito en el cual se
desarrolla el profesor. En cada ámbito las necesidades y problemáticas que los profesores
experimentan son distintas y específicas, por lo que de entrada, profesores de distintos
ámbitos exigen de éstos cursos conocimientos metodológicas y técnicas distintas.
Por último, mencionaremos el trabajo de Castillo, et al (2005). Consistente en un proyecto
de actualización de profesores de matemáticas del nivel superior en torno al uso didáctico
de la tecnología en el salón de clase, en específico, un sistema de cómputo simbólico que
ellos están desarrollando.
El proyecto asume la actualización de los profesores no como el resultado de un curso más
o menos breve de capacitación, sino como un proceso de reflexión y discusión,
conocimiento de la tecnología, diseño de materiales y mejoramiento gradual de sus
prácticas docentes. Se intenta conjuntar la investigación educativa y la docencia. Para ello
se dispuso el desarrollo del proceso de actualización por medio de etapas asequibles y
30
Capítulo 2: Antecedentes
congruentes con la evolución de las concepciones teóricas de los profesores. Ellos han
desarrollado por muchos años, un modelo de docencia clásico, caracterizado por un método
expositivo, donde el profesor ocupa el papel protagónico, y resulta difícil adaptarlos a un
modelo dinámico y participativo centrado en el alumno.
Dentro de los resultados de la primera etapa del curso, se reporta evidencia interesante
relativa a la modificación de las concepciones y creencias de los profesores en los
siguientes aspectos:
♦ Se delega en el profesor el saber y la responsabilidad de su reproducción y
comunicación, mientras que el alumno es responsable de seguir al profesor para la
resolución de ejercicios y “problemas”.
♦ El papel que pueden jugar los recursos tecnológicos es incierto, pero se les concibe
como facilitadores de ciertas elaboraciones del profesor.
♦ El profesor se concibe como un ejecutador de directrices curriculares y no como un
agente con participación activa en la innovación curricular.
♦ La distinción entre la matemática como asignatura y de la matemática como ciencia
es muy tenue. Se le atribuye a la primera un carácter pragmático orientado hacia su
aplicación a “problemas”.
En los trabajos realizados por los profesores dentro del curso se observan posturas que van
desde las muy cercanas al enfoque clásico expositivo, centrado en el profesor y al cual se
somete el uso de los recursos didácticos, hasta propuestas innovadoras que pretendían
31
Capítulo 2: Antecedentes
centrar la actividad en el alumno y poner a su disposición recursos didácticos para
favorecer su aprendizaje. No obstante, también se reportan posturas intermedias.
Este reporte nos muestra que es posible relacionar la investigación y la práctica docente,
siempre y cuando se les proporcione a los profesores un tiempo razonable para ir adaptando
y modificando sus creencias a los saberes que se le presentan.
2.3 La didáctica de las matemáticas. Implicaciones en la formación de los
profesores
Una concepción ampliamente difundida en lo que respecta a la enseñanza y el aprendizaje
de las matemáticas, es la suposición de una relación causal del primero hacia el segundo, es
decir, se supone una transferencia simple de la enseñanza hacia el aprendizaje. Sin
embargo, tal concepción ha demostrado ser inexacta, pues los alumnos llegan a construir
conocimientos que no se encuentran explícitos en el discurso escolar y que pueden resultar
incorrectos desde el punto de vista matemático (Cantoral, et al, 2003). Tenemos entonces
que es falso suponer que un desarrollo impecable del proceso de enseñanza traerá como
resultado directo un adecuado aprendizaje de los objetos que se comunican. No obstante,
ésta es la concepción que parece prevalecer en muchos profesores quienes sólo se
preocupan por comunicar el conocimiento matemático de la mejor manera posible y no por
el aprendizaje que se desarrolla en el alumno. Esto nos lleva a reflexionar sobre lo siguiente
¿Qué resultados podremos esperar, en lo que respecta al aprendizaje de los alumnos, si
dicho proceso de enseñanza contiene deficiencias? ¿Qué acciones debe llevar a cabo el
docente para favorecer el aprendizaje de las matemáticas? En lo que respecta a esta última
32
Capítulo 2: Antecedentes
pregunta podemos mencionar que son las investigaciones las que nos pueden ayudar a
caracterizar las condiciones requeridas para favorecer los aprendizajes de las nociones
matemáticas en situación escolar (Cantoral, et al, 2003).
La didáctica es concebida como un conjunto de técnicas destinadas a dirigir la enseñanza
mediante principios y procedimientos aplicables a todas las disciplinas, para que el
aprendizaje de las mismas se lleve a cabo con mayor eficiencia (Nérici, 1989). Así como
para desarrollar y adecuar las clases a las capacidades propias del alumno. De este modo, la
didáctica es importante para mejorar la enseñanza. No obstante, aún cuando esta afirmación
es ampliamente aceptada, no así lo es la idea de una capacitación didáctica, pues ésta ha
sido vista desde dos perspectivas distintas: como un arte y como una ciencia. En un primer
momento, la didáctica fue concebida como un arte; la palabra didáctica proviene del
vocablo griego didaktiké que quiere decir “arte de enseñar”. Aquellos que perciben a la
didáctica como un arte consideran que ésta depende de la habilidad del maestro para
enseñar, de su intuición y es sólo la experiencia la que les podrá dar la maestría necesaria,
es decir, no hay mucho que se pueda enseñar. Por otra parte, aquellos que ven a la didáctica
como una ciencia, vislumbran la necesidad de la investigación como medio para encontrar
elementos que favorezcan la enseñanza. Podemos notar que sea cual fuere la perspectiva
desde la cual se aborde la didáctica, ésta persigue los mismos fines.
No obstante, la didáctica tiene la característica de no considerar las necesidades propias de
las disciplinas, es decir, aplica métodos de enseñanza de naturaleza general que no permiten
abordar aspectos específicos ligados a los propios saberes; en nuestro caso los matemáticos
(Fregona, 1999). Esta didáctica no trabaja sobre los conocimientos matemáticos mismos, no
33
Capítulo 2: Antecedentes
evalúa lo pertinente o lo adecuado de la forma de presentarlos, así como tampoco analiza
las problemáticas que se derivan de dicha presentación. Es decir, la didáctica se interesa
más por cómo se va a enseñar y no tanto por lo que se va a enseñar (Nérici, 1989). Sin
embargo, esta corriente ha predominado y ha incidido en la mayoría de los esfuerzos y
propuestas para la formación de los docentes de matemáticas en el nivel superior (Mingüer,
2002), así como también en las estrategias y las metodologías que se desarrollan en las
clases de matemáticas.
Surge entonces la necesidad de una disciplina que se preocupe por la enseñanza y
aprendizaje de la matemática misma, que no únicamente se centre en el estudio de aquellos
aspectos que puedan mejorar la comunicación de los conceptos, sino que además, estudie al
concepto mismo, su historia, su epistemología, lo cual permita seleccionar aquellos
aspectos relevantes que contribuyan a una adecuada enseñanza y el logro de aprendizajes.
Dicha disciplina es la didáctica de las matemáticas. Ella se encarga no sólo de mejorar los
métodos de enseñanza, sino también de mejorar los contenidos que se enseñan y de
desarrollar las condiciones adecuadas para el funcionamiento de los sistemas didácticos,
procurando consolidar en los alumnos, aprendizajes vivos que evolucionen y sean
conferidos de funcionalidad para aplicar a diversas situaciones problemáticas (Cantoral,
Farfán, 2004). Esta didáctica busca reorganizar los saberes matemáticos con la finalidad de
favorecer una enseñanza que produzca aprendizajes significativos (Brousseau, 2000).
El término didáctica abarca la actividad de enseñanza de las matemáticas, el
arte y los conocimientos necesarios para hacerlo, el arte de preparar y de
producir los recursos para esta actividad, el estudio de esta enseñanza y de
34
Capítulo 2: Antecedentes
todo aquello que se manifiesta en ella, tanto proyecto social, hecho socio-
histórico o como fenómeno. Pp. 29 (Brousseau, 2000)
Brousseau (1995), citado en Fregona (1999), define a la didáctica de las matemáticas como
“el estudio de las condiciones de creación, difusión y adquisición provocada de saberes y
conocimientos matemáticos”. Cantoral y Farfán (2004) por su parte, mencionan que la
didáctica de las matemáticas se interesa por el estudio de los procesos mediante los cuales
los alumnos adquieren un conocimiento matemático en situación escolar. Siendo el estudio
de las actividades relacionadas con la comunicación de los conocimientos, las
transformaciones de los participantes en la comunicación, las interacciones entre los
participantes, así como las transformaciones que sufren los conocimientos durante este
proceso para ser internalizados, un objetivo de análisis.
En Francia (Artigue, 1995a), la didáctica en matemáticas se ha desarrollado como un área
de investigación al:
♦ Poner en primer plano la especificidad de las relaciones entre la enseñanza y el
aprendizaje ligadas a la especificidad del contenido a enseñar: las matemáticas.
♦ Imponerse la ambición de comprender el funcionamiento de estas relaciones entre la
enseñanza y el aprendizaje y de poner en evidencia las leyes que las gobiernan,
haciendo explícita, al mismo tiempo, la necesidad de distanciar la voluntad de
acción inmediata sobre el sistema educativo.
Entonces, la didáctica de las matemáticas no se preocupa por la prescripción de métodos o
estrategias que guíen las clases y logren que los alumnos aprendan, mucho menos acciones
35
Capítulo 2: Antecedentes
bajo los cuales se deba someter el profesor. En contraparte, se puede esperar de ella un
estudio disciplinar que proporcione al profesor e investigador información relevante bajo la
cual fundamentar o modificar sus prácticas docentes, permitiéndole interpretar y analizar
situaciones inesperadas que se le pudieran presentar y de este modo, realizar los ajustes
necesarios a dichas prácticas. También se puede esperar conocimientos relativos a su
trabajo:
♦ Acerca de las condiciones que deben crearse para situaciones de enseñanza o de
aprendizaje.
♦ Acerca de las condiciones que deben mantenerse en la gestión o la conducción de la
enseñanza.
♦ Acerca de los alumnos, de sus comportamientos, de sus aprendizajes, de sus
resultados en las condiciones específicas de la enseñanza.
♦ Acerca de los fenómenos de didáctica en los que alumnos y profesores se ven
confrontados con todos los participantes de la comunicación de los saberes.
Podemos observar que entre otras cosas, a la didáctica le interesa el análisis de las
situaciones que son propuestas a los alumnos, los roles que tanto el profesor como el
alumno adoptan en éstas, la segmentación de las nociones que se busca sean aprendidas y
su organización en procesos de aprendizaje (Brousseau, 2000).
Como ya hemos señalado, la didáctica busca saber lo que se produce en el salón de clases y
en este sentido, el profesor juega un papel importante. Él posee concepciones y creencias
sobre el conocimiento matemático y su construcción, conformando esto su epistemología
36
Capítulo 2: Antecedentes
(Cantoral, et al, 2003). Esta epistemología se la hace saber alumno al momento de
establecer la forma en que ellos deben construir sus respuestas, cómo deben expresarlas,
cómo utilizar sus conocimientos previos, cómo aprender, etc., es además, bajo esta
epistemología que los profesores reorganizan los saberes que enseñan, cambian el orden de
presentación y le asignan la importancia relativa a los temas.
El profesor debe tener presente que no puede absorber toda la responsabilidad de la
enseñanza y aprendizaje de los alumnos, así como tampoco puede desatender su papel de
actor dentro de dicho proceso y conferirle toda la responsabilidad al alumno, pues en
cualquiera de los dos casos, se rompe la relación tripartita que forma el triángulo didáctico:
profesor-saber-alumno. Se requiere que la labor del profesor sea:
“…la de guiar el aprendizaje, de proponer actividades que los enfrente (a los
alumnos) a las dificultades inherentes al nuevo concepto y de proporcionarles
las herramientas para superarlas, es decir, incentivar el proceso de
pensamiento en el alumno de tal manera que le permita enfrentarse a
situaciones nuevas y proponer soluciones. Esto es, darle al alumno un papel
más activo en su propio proceso de apropiación de un concepto, confiriéndole
una mayor responsabilidad” (Cantoral, et al, 2003).
No es suficiente que el profesor llegue al salón de clases y enuncie de forma directa los
saberes mediante clases magistrales para lograr que los alumnos aprendan. Se requiere que
los alumnos construyan sus conocimientos, pero para ello se requiere situarlos en un medio
que les permita experimentar la necesidad de un saber, de proponerles una situación donde
puedan dotar al saber de un significado determinado que les ayude a comprenderlo y
37
Capítulo 2: Antecedentes
encontrarle sentido, saber que luego tendrá que ser generalizado. Es necesario, como señala
Fregona (1999), un cambio en el punto de vista del profesor respecto a la matemática: creer
que ésta disciplina es una actividad humana y que el significado se construye como
resultado de tal actividad.
Labor del profesor debe ser actuar en un sentido inverso al del matemático que desarrolla
los conocimientos: en vez de partir de un problema y llegar a un conocimiento matemático,
el profesor parte de un conocimiento matemático ya establecido, y durante el proceso de
enseñanza busca relacionarlo con problemas que le den sentido (recontextualización); en
vez de despersonalizar el conocimiento, es decir, quitarle todo lo anecdótico, su historia y
circunstancias particulares, para dotarlo de una utilidad general, el profesor busca que el
alumno se interese por el problema. Para ello, con frecuencia busca contextos y casos
particulares que puedan motivar al alumno (repersonalización) (Fregona, 1999).
El profesor debe pues, buscar o crear situaciones que le permitan al alumno dar sentido a
los conocimientos que se enseñan. No obstante, estos conocimientos se verán restringidos
por las limitaciones que le confieren haber sido adquiridos en situaciones específicas, es
decir, solo tendrán significado para el alumno en contextos similares a aquellos en los que
se le presentaron. Se requiere que los alumnos, con ayuda del profesor, favorezcan la
redescontextualización y la redespersonalización de sus conocimientos, de manera que
puedan relacionarlos con el saber propio de la comunidad científica.
Los resultados provenientes de la didáctica de las matemáticas, entre los que podemos
mencionar aquellos relacionados con los comportamientos cognitivos de los alumnos, los
tipos de situaciones puestas en acción para enseñarles y los fenómenos a los que da lugar la
38
Capítulo 2: Antecedentes
comunicación del saber, han incidido sobre la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas y
han permitido el desarrollo de teorías diversas como: la teoría de las situaciones didácticas,
la teoría de la transposición didáctica y la teoría de los campos conceptuales. La primera
de ellas, trata de explicar y clasificar las interacciones de los estudiantes con su medio a la
hora de adquirir conocimientos, de modo que estos datos sirvan para establecer condiciones
para reproducir situaciones que favorezcan el aprendizaje de los alumnos. La segunda trata
sobre las modificaciones que sufren los saberes al ser llevadas al ambiente escolar para su
enseñanza. La tercera, explica la forma en que los alumnos pueden adquirir un concepto
matemático, para lo cual se basa en un estudio de las capacidades cognitivas que implica tal
aprendizaje.
2.3.1 Diversos enfoques en la enseñanza del cálculo
En la universidad, el cálculo tiene un papel destacado dentro de la enseñanza de las
ciencias, esta disciplina es una de las más tradicionales que ha preservado su estructura
original. Hoy que nos encontramos con una gran influencia de la tecnología, con la llegada
de las calculadoras, las computadoras, etc., la espina dorsal sobre la cual se cimienta la
enseñanza y su aprendizaje del cálculo es la misma que a finales del siglo XVII (Rodrigues,
Bozola, 1995). Sin duda el reconocimiento casi inmediato de las aplicaciones del cálculo, y
el hecho de que ha desempeñado un papel dominante como lenguaje cuantitativo de la
ciencia en la era moderna, son factores preponderantes de esta realidad tan “conservadora”
(Rodrigues, Bozola, 1995).
El cálculo se puede miara como la ciencia que estudia fenómenos de variación y cambio;
trata de modelar y predecir su comportamiento. Sin embargo, actualmente la enseñanza de
39
Capítulo 2: Antecedentes
esta asignatura se realiza a través del desarrollo de algoritmos y procedimientos algebraicos
o mediante el estudio formal de sus contenidos. Estas formas de llevar a cabo la enseñanza
no permiten visualizar las nociones que existen detrás de él, ni darle significado a los
conocimientos (Marcolini, Perales, 2005; Wenzelburger, 1993), problema presente en la
gran mayoría de los estudiantes de esta asignatura. El estudio del cálculo basado en una
serie de definiciones y teoremas presentados en forma lógica con gran precisión matemática
y sistematización, puede ser una de las razones por la cuales los alumnos presentan una
falta de comprensión de las ideas del cálculo, pudiendo aplicar métodos, definiciones y
reglas de memoria más que de forma significativa. Además, provocan que el estudiante se
quede con la impresión de que el cálculo siempre ha existido como un conjunto de
definiciones y teoremas (Wenzelburger, 1993).
La problemática fundamental de la enseñanza de las matemáticas se encuentra en la
confrontación que existe entre la obra matemática y la matemática escolar: ambas son de
naturaleza y funciones distintas (Cordero, 2001). Esto vuelve compleja la problemática,
pues a priori los profesores no reconocen los mecanismos de construcción de los
conocimientos dentro del aula.
Con el objetivo de superar las dificultades detectadas en el aprendizaje del cálculo se han
propuesto diversas reformas. Estas reformas comparten algunos criterios como son:
cambios en los currículos vigentes, cambios en el desarrollo profesional de la universidad,
en la utilización sistemática de la tecnología y de otros materiales, a la formación didáctica
y científica de los docentes, etc. (Moreno, 2005).
40
Capítulo 2: Antecedentes
Se precisan entonces nuevas estrategias didácticas que permitan abordar los contenidos del
cálculo, en un primer instante, desde una perspectiva menos formal y rígida para favorecer
la comprensión de los conceptos, los cuales posteriormente pueden ser formalizados. En
otras palabras, las nuevas posturas relacionadas con la enseñanza del cálculo no demeritan
la importancia y necesidad de la formalidad de los conceptos matemáticos, lo cual siempre
constituye un punto de ataque de los profesores a dichas posturas, si no que retardan la
aparición de tal formalidad a favor de lograr la comprensión de las nociones y conceptos de
forma significativa y profunda. Comprensión que a la larga permitirá un mejor
entendimiento y significado de las definiciones formales de los conceptos. Marcolini y
Perales (2005), proponen el estudio de la predicción1 como un elemento para favorecer una
enseñanza a partir de las intuiciones que dieron origen a diversos conceptos de cálculo. Por
su parte Wenzelburger (1993), señala que si el alumno tuviera la posibilidad de
experimentar la necesidad de la precisión del cálculo mediante problemas prácticos, podría
comprender a éste, es decir, la introducción debe ser intuitiva, razonable, haciendo
referencia a aplicaciones (no necesariamente con el rigor formal), la necesidad de
formalización debe seguirse como requerimiento para facilitar la solución de más
problemas. Las propuestas significativas para mejorar la enseñanza del cálculo deben ser
centradas en el énfasis, el enfoque y las estrategias (Rodrigues, Bozola, 1995).
En este sentido se debe considerar que el alumno es un ser humano haciendo matemáticas,
en lugar de considerar al alumno como alguien que debe estudiar la producción matemática
hecha por el humano (Cordero, 2001). La primera perspectiva busca que el alumno sea
1 Se refiere al estudio de la cuantificación de las formas variables de la naturaleza. Se indaga el comportamiento del estado vecino sobre la base de datos que aporta el estado de hecho.
41
Capítulo 2: Antecedentes
quien vaya construyendo el saber matemático, de forma similar a como lo hacen las
personas pertenecientes a la comunidad científica.
En Moreno (2005), se reportan tres ejemplos de trabajos de investigación didáctica
relacionados con la enseñanza y aprendizaje del cálculo a nivel universitario (tomados del
trabajo de Harel y Trgalová (1996)), los cuales son ejemplos de los cambios que se realizan
en este sentido:
1. “Proyecto de Cálculo en Contexto”. La idea principal de este proyecto es que el
cálculo es un lenguaje y un conjunto de técnicas útiles. El objetivo del proyecto es
la construcción de los conceptos de cálculo a través de sus aplicaciones y la
comprensión de las relaciones entre todos los elementos que lo configuran. La
enseñanza se organiza de modo que los principios generales emergen de los
problemas y de las situaciones reales tratadas (0’Shel, Senechal, 1992)
2. “Proyecto de debate científico”. El objetivo principal es lograr que los alumnos
trabajen como si fueran matemáticos, esto mediante la introducción de conceptos de
cálculo en el contexto de problemas científicos. Bajo esta idea, los estudiantes
deben formular sus ideas, hacer conjeturas y validarlas, discutir y argumentar los
puntos de vista de sus compañeros. Se busca crear una mini comunidad científica en
el salón de clases. (Legrand, 1992).
3. La ingeniería didáctica. Esta ingeniería es un modelo teórico y de enseñanza el cual
consta de cuatro fases: análisis preliminar, análisis a priori y desarrollo de una
secuencia didáctica, experimentación, y análisis a posteriori y evaluación. (Artigue,
1995b). El proceso de enseñanza se lleva a cabo alrededor de situaciones
42
Capítulo 2: Antecedentes
consideradas claves por los investigadores. Investigaciones muestra la viabilidad de
este modelo, así como el interés que puede generar en los estudiantes a pesar del
aumento de dificultad.
4. Otras investigaciones didácticas son la que se centran en el uso de la computadora
para la enseñanza efectiva de los conceptos de cálculo. Podemos mencionar como
ejemplo los trabajos de Tall; ellos se encuentran en la línea de potenciar la
visualización y las diferentes representaciones de un mismo concepto como
aspectos facilitadores del aprendizaje.
Estos trabajos nos muestran la importancia de un cambio en la forma de mirar la
construcción de los conocimientos de cálculo y de las matemáticas en general, que permitan
la inclusión de enfoques, para la presentación de los saberes, que potencien el aprendizaje.
De este modo es importante la capacitación constante y permanente de los profesores que
imparte cálculo, a fin de auxiliarlos a construir estos enfoques.
El problema de la renovación e innovación no sólo resulta problemático para los
estudiantes, sino que a menudo hasta para los mismos profesores quienes dudan y no se
sienten seguros en las nuevas metodologías de enseñanza. Sin embargo, cada vez son más
profesores los que intentan mostrar el cálculo y las matemáticas en general como un mundo
de exploración y de resolución de problemas (Moreno, 2005). No obstante, asumir estos
cambios en la forma de abordar el cálculo conlleva a una nueva definición del trabajo del
profesor y su papel en el aula.
Podemos notar que se requiere vislumbrar a los salones de clases como pequeñas
comunidades científicas, en las cuales la evidencia y la lógica sean fuentes de verificación
43
Capítulo 2: Antecedentes
de los resultados (y no lo sea exclusivamente el profesor), donde tenga lugar el
razonamiento matemático y se potencien los procesos de conexión entre ideas del cálculo
(y en general de ideas matemáticas), no viéndose éstas como un cuerpo aislado de
conocimientos. Así mismo, se debe promover el carácter experimental de dicha disciplina,
donde la conjetura y la resolución de problemas juegan un papel importante.
En otras palabras, concebimos a la educación matemática en cálculo como un proceso de
articulación entre cinco marcos elementales a saber: sensorial, experimental, operacional
(“computacional”), conceptual y formal (“teoría”). De este modo, vislumbramos el
aprendizaje y enseñanza como el resultado de un proceso relacional entre ellos; ver figura
1:
Marco operacional “computacional”
Marco sensorial
Marco experimental
Marco formal “teoría”
Marco conceptual
Figura 1
44
Capítulo 2: Antecedentes
Por su parte, nosotros vislumbramos la formación de los profesores en didáctica en
matemáticas como un proceso continuo de análisis, de discusión y consensos que sobre la
enseñanza y el aprendizaje realizan en conjuntos, profesores y formadores. Todo sobre una
base de conocimientos empíricos y metodologías específicas.
45
Capítulo 3: Marcos de referencia
Capítulo 3
Marcos de referencia
Los profesores desarrollan sus clases siguiendo, por lo general, una secuencia de pasos que
se repiten de forma más o menos parecida: definición, teoremas, ejemplos y ejercicios. Esta
“secuencia” se desarrolla empleando, en la mayoría de los casos, el método expositivo, esto
nos hace suponer que se concibe a la comunicación de los saberes matemáticos como una
condición suficiente para que los alumnos los asimilen y comprendan de forma correcta.
Otra razón de tal desarrollo, lo representa la economía que dicha secuencia proporciona, al
permitir abordar varios conceptos en un tiempo reducido. Bajo esta forma de desarrollo de
las clases, no se privilegian espacios destinados al análisis comparativo entre lo que se
espera lograr con el proceso de instrucción y lo que en realidad se produce en la mente del
alumno, siendo esto último lo que constituye el verdadero aprendizaje adquirido. Tampoco
se contempla el estudio y evaluación de las características y necesidades de aquellos a los
que se dirige la comunicación de los saberes.
En este capítulo se describen brevemente algunos elementos y teorías que nos servirán de
marcos de referencia para el diseño y constitución de la propuesta de formación didáctica.
Es así que, en primera instancia hacemos una pequeña discusión sobre la práctica docente y
algunos principios y problemáticas relacionadas con la formación didáctica inicial.
Posteriormente hacemos alusión a la teoría de las situaciones didácticas como un modelo
46
Capítulo 3: Marcos de referencia
propuesto para la actividad del alumno y el profesor al interior del aula; un modelo
semejante al trabajo de la comunidad científica. Enseguida hacemos mención de la
ingeniería didáctica como un modelo de experimentación y análisis de las producciones
didácticas del profesor. Se busca que el profesor reflexione continuamente sobre su
quehacer didáctico.
3.1 Modificación de la práctica docente
Los programas de actualización docente son entendidos como programas que proveen de
herramientas y saberes teóricos para mejorar día con día la actuación del profesor dentro
del salón de clases. Así, los profesores esperan que dentro de dichos programas se les
capacite en el empleo de los avances tecnológicos, metodológicos y teóricos que al ponerse
en práctica logren, casi de manera inmediata, que sus alumnos aprendan correctamente los
contenidos que se enseñan. Esta expectativa genera en más de un profesor sentimientos de
frustración al término de estos cursos, al no lograr satisfacer dichas expectativas.
Por otra parte, tal como lo muestran las investigaciones científicas, sobre los programas de
actualización docente, no resulta fácil ni inmediato lograr una modificación real de las
prácticas tradicionales de los profesores, se requiere de un largo proceso (Castillo et. al,
2005). Ellos se han conducido por muchos años bajo un modelo donde el método
expositivo esta fuertemente arraigado y donde ocupan un papel protagónico, resulta difícil
lograr que el profesor acepte desarrollarse bajo un nuevo modelo dinámico y participativo
centrado en el alumno. Más aún, esta situación se complica si los profesores no han sentido
o bien la necesidad de realizar dicho cambio o bien la motivación intrínseca. Las nuevas
47
Capítulo 3: Marcos de referencia
prácticas requieren por parte del profesor un papel más activo como diseñador de las
condiciones y actividades que favorezcan el aprendizaje de los alumnos, actividades que
exigen de él un mayor tiempo y esfuerzo, pero que no garantizan de forma expresa alcanzar
los “resultados” deseados por los profesores en un tiempo similar al que ellos están
“acostumbrados”, sin embargo ellas constituyen mejores formas de favorecer la actividad
mental del alumno y el desarrollo del pensamiento matemático, que tanto contribuye a su
formación matemática.
En lo que respecta al ámbito del nivel universitario, la formación de los profesores y la
didáctica de las matemáticas son temas que actualmente han comenzado a cobrar una
mayor fuerza. Cada vez son más numerosas las investigaciones que tienen su centro de
interés en este nivel, así como también sobre el papel de la didáctica en la enseñanza de las
matemáticas universitarias (Moreno, 2005). Sin embargo, la investigación en didáctica en
dicho nivel no es novedosa, ésta lleva realizándose más de 20 años (Artigue, 2003; citada
en Moreno, 2005). Durante este tiempo, a parte de intentar mejorar la comprensión sobre
las dificultades de los estudiantes y las deficiencias del sistema educativo, también se han
intentado encontrar vías para superar estos problemas. Cobra mayor relevancia el profesor
como centro de interés de los estudios, a fin de compartir al menos, profesor y alumno, el
mismo papel protagónico.
En lo que respecta a la actuación de los profesores dentro del salón de clase, es
indispensable que éstos involucren a los alumnos en una actividad que los haga sentir la
necesidad del desarrollo de nuevas formas de acción y búsqueda de soluciones, de forma
que el conocimiento que se adquiera se forje bajo una motivación intrínseca y no por la
48
Capítulo 3: Marcos de referencia
exigencia, en muchas de las ocasiones sin sentido para el alumno y que son realizadas por
el profesor. Al momento de las clases, el profesor, debería considerar a los conocimientos
que desea sean aprendidos como conocimientos nuevos y útiles, funcionales para la
actividad humana, incluyendo la actividad matemática; entendida como el planteamiento de
buenas “preguntas” y “buenas” respuestas.
Los profesores, en sus acciones cotidianas destinadas a la enseñanza, constantemente están
reorganizando su pensamiento, deben elegir lo que va a ser útil, lo que provocará que el
alumno se interese por aprender, etc., por lo cual se vuelve preciso que tenga una base
didáctica-disciplinar adecuada para desarrollar tal actividad. Pero también se requiere
capacitar al profesor para la búsqueda y desarrollo de actividades que permitan al alumno
involucrase con el saber matemático que se desea sea aprendido, así como en la
reorganización y elección de los saberes que contribuyan a dicho propósito. Estos puntos
constituyen una de las razones fundamentales de la necesidad de la inclusión de la didáctica
de las matemáticas en la formación de los profesores.
Entonces, de acuerdo con todo lo anterior, debemos buscar que nuestras acciones de
formación contribuyan, como señala Castillo (2005), a la actualización didáctica
metodológica de los profesores y particularmente al cambio de paradigma teórico para
explicar y comprender el aprendizaje: de una argumentación empirista basada en la
enseñanza como transmisión de conocimientos, a una explicación teórica basada en la
participación activa, aunque guiada, del estudiante. Para lograr este objetivo consideramos
que la teoría de las situaciones didácticas constituye un modelo teórico adecuado.
49
Capítulo 3: Marcos de referencia
3.1.1 Principios y problemas de la formación didáctica
Antes de discutir un poco sobre la teoría de las situaciones didácticas, consideramos
adecuado comentar algunos principios y problemas de la formación de los profesores en
didáctica. Ello nos permitirá conformar de una mejor manera nuestra propuesta, así como
establecer aquellos puntos que deben enfatizarse dentro ella y aquellos que deben tomarse
con cierta reserva.
Brousseau (1990a) señala que por lo general, la didáctica es utilizada bajo cuatro
direcciones, que resultan de las afectaciones que las instituciones hacen a ésta, según sus
expectativas:
1. La didáctica es vista como una palabra culta para designar la enseñanza. Bajo esta
perspectiva la didáctica se convierte en un proyecto social de hacer apropiar un
saber constituido o en vías de constitución.
2. La didáctica sería la preparación de lo que sirve para enseñar. La didáctica es pues,
el conjunto de técnicas que sirven para tal propósito.
3. La didáctica sería el conocimiento de la enseñanza. La didáctica se vincula con la
descripción y el estudio de la actividad de enseñanza en el marco de una disciplina
de referencia.
Las dos primeras hacen referencia a la didáctica como un conjunto de datos normativos,
prescriptitos y organizados para la decisión y la acción, mientras que la tercera posee una
postura más reflexiva, formándose como un campo de investigación. Estos diversos puntos
50
Capítulo 3: Marcos de referencia
de vista sobre la didáctica son compatibles e incluso hasta cierta forma complementarios.
Sin embargo, existe una cuarta postura que ha aparecido hace una quincena de años.
4. Bajo el nombre de didáctica se ha intentado constituir una ciencia de la
comunicación de los conocimientos y de sus transformaciones; una epistemología
experimental que intenta teorizar la producción y la circulación de los saberes.
Cada una de las posturas anteriores da lugar a la exigencia de diferentes aportes que la
didáctica de las matemáticas puede hacer a la formación de los profesores. No obstante,
uno de los aportes fundamentales al respecto anterior lo constituye el hecho de considerar
que cada conocimiento o saber debe poder ser determinado por una situación, en donde las
relaciones que conforman ésta hagan que ese conocimiento sea necesario para su
realización o mantenimiento (Brousseau, 1990a).
Una de los pedidos a nuestro respecto más comunes de los profesores es, que por lo menos,
la didáctica les proporcione lo esencial de las técnicas específicas de las nociones que hay
que enseñar, las cuales resulten compatibles con sus concepciones educativas. De esta
manera, esperan la presentación de técnicas locales y comunes que le proporcionen
métodos listos para usar, así como de técnicas especiales que les permitan ayudar y guiar a
alumnos con dificultades especiales, pero también técnicas globales que guíen toda un área
de las matemáticas. Esta parte técnica de la didáctica es un fundamento de la
profesionalización de la actividad del profesor, pues constantemente se les exige a éstos la
implementación de actividades que logren incidir sobre los problemas de aprendizaje de los
alumnos, exigencia que se transmite a la didáctica. Sin embargo, dado que los
conocimientos que hay que proporcionar al alumno dentro de una misma asignatura son
51
Capítulo 3: Marcos de referencia
variados, el número de situaciones que habría que presentar al profesor es muy elevado. Por
tanto, la didáctica debe estructurar los elementos de estudio en grupos unificadores y de
este modo enunciar formas de intervención genéricas. Es decir, se busca proporcionar
conocimientos científicos sobre los cuales fundamentar las acciones del profesor, que le
permitirán el análisis de las mismas y la elaboración de sus propias técnicas.
Empero, poseer un catálogo de técnicas o situaciones de enseñanza no proporciona al
profesor capacitación alguna para que la enseñanza se traduzca en aprendizajes por parte de
los alumnos, requiere por tanto, una preparación que le permita la creación de verdaderas
situaciones de aprendizaje. Se necesita que el profesor se interese por el estudio de las
relaciones entre la enseñanza y el aprendizaje ligadas al contenido matemático a enseñar,
así como también por el estudio de las condiciones de creación, difusión y adquisición
provocada de tal contenido. Así, a nuestro entender, éste requiere poseer los conocimientos
teóricos derivados de las investigaciones científicas relacionadas con esas temáticas, los
cuales forman parte de las situaciones de aprendizaje y le dan sustento. De este modo, el
profesor adquirirá elementos que le ayuden al desarrollo de sus clases. No obstante, esos
conocimientos demandan el uso de la terminología adecuada para evitar caer en
contrasentidos, y nos indican que no basta con los conocimientos y condiciones de que
disponen los profesores, como muchos de ellos desean.
Otro punto que los profesores podrían esperar de la didáctica (Brousseau, 1990a) es el
conocimiento sobre su trabajo, es decir, de la enseñanza: los comportamientos de los
alumnos en las condiciones específicas de enseñanza; las condiciones que hay que crear en
52
Capítulo 3: Marcos de referencia
las situaciones a proponer y las que hay que mantener en la gestión de la enseñanza; así
como los fenómenos didácticos que enfrentan los participantes.
Se tiene que tener presente que la enseñanza directa del saber es imposible, pues en caso
contrario deberíamos renunciar a hacerlo funcionar. El uso y la destrucción de los
conocimientos precedentes forman parte, por tanto, del aprendizaje, admitiendo en
consecuencia durante este proceso la reorganización didáctica del saber, así como una
cierta dosis de errores y contrasentidos, tanto por parte del alumno como de la enseñanza.
Esto nos permite vislumbrar que el único medio para el profesor de conocer las
circunstancias de la creación y difusión de los conocimientos, es haber enseñado la noción
a ese alumno, o bien, disponer de un conjunto de referencias, efecto de la tradición o de un
conocimiento profesional. Sólo así se puede pensar en situaciones de aprendizaje no
vividas. Se requiere que el profesor vea su clase como un lugar de experimentación, en
donde puede obtener información pertinente para adecuar y modificar su práctica docente.
Siguiendo en el sentido de los aportes de la didáctica de las matemáticas a la formación de
los profesores, Artigue (1995a) señala que existen restricciones que rigen a esta formación,
así como diversas problemáticas que debe afrontarse. A continuación describiremos
algunas de ellas.
En primer lugar, se debe tener presente que muchos de los profesores a los que se dirige un
curso de formación inicial en didáctica de las matemáticas sólo conocen el ambiente escolar
a través de su experiencia como estudiantes, por tanto, cuando ellos sienten la necesidad de
una formación que les ayude a resolver las problemáticas que se le presentan, solicitan una
ayuda inmediata para mejorar la gestión de sus actividades en el salón de clases.
53
Capítulo 3: Marcos de referencia
Por otra parte, los profesores en práctica, difícilmente reconocen el aporte de la formación
didáctica, pues los saberes que de ella derivan no ofrecen una contribución inmediata a las
problemáticas que enfrentan. La didáctica se vive frecuentemente, en un principio, como
una visión que desestabiliza. Si bien ayuda a comprender el funcionamiento del alumno,
ella favorece más la crítica de la enseñanza tradicional que la oferta de soluciones
inmediatas. Se requiere entonces que dentro de la formación inicial en didáctica se
privilegien aquellos aspectos que se puedan explotar más fácilmente, pero sin descuidar y
socavar ese carácter desestabilizante, a la vez que permita a los profesores sobre llevar
dicho carácter.
Otro punto que confiere un carácter restrictivo a la formación didáctica inicial, es el hecho
de que las estrategias que se promueven exigen frecuentemente mucho conocimiento y
experiencia por parte del profesor, así como también que éste sea capaz, en el momento, de
anticipar y de desarrollar sistemas de recolección de información, de interpretación y de
toma de decisiones. Esto nos hace ver que es importante, en un primer término, que los
profesores aprendan a realizar estas últimas acciones y que no debemos exigirles la
utilización de estrategias de expertos. Dado que la didáctica busca un ambiente satisfactorio
en el seno de la clase, parece adecuado comenzar con el objetivo de lograr que los
profesores sean cada vez más sensibles a las cuestiones relacionadas con la calidad de vida
matemática en la clase.
Por último, mencionaremos que dentro de los cursos de formación didáctica es importante
que los formadores definan su posición y señalen su diferencia respecto al profesor, sobre
todo en la formación de profesores en ejercicio. El formador ha de dar a su discurso al
54
Capítulo 3: Marcos de referencia
menos un carácter de novedad, incluso de revelación y legitimarlo apoyándose en un saber
sabio que el profesor-alumno no posee; el contenido de su didáctica será bien innovación o
bien una lejana especialidad científica. Esto toma una mayor relevancia si la formación se
imparte en la universidad, entonces, la didáctica ha de definirse por sus investigaciones
“científicas” (Brousseau, 1990b).
3.2 Teoría de las situaciones didácticas
Con frecuencia se concibe a la enseñanza de las matemáticas (y a la enseñanza en general)
como la parte de las relaciones entre el sistema educativo y el alumno en lo que respecta a
la transmisión de un saber dado, interpretándose entonces a la relación didáctica como una
comunicación de informaciones (Brousseau, 2000). En consecuencia, se toman como
componentes básicos para el análisis de los procesos de enseñanza y aprendizaje de los
conceptos matemáticos los elementos del siguiente esquema (figura 2).
55
Capítulo 3: Marcos de referencia
Saber
escolar
Sistema
educativo
Alumno
Aprendizaje
Comunicación
Transposición didáctica
Figura 2: Triángulo didáctico
Ahora bien, si tenemos en cuenta que el sujeto que aprende se encuentra situado en un
contexto dentro del cual ha desarrollado numerosas concepciones del mundo que lo rodea,
no es de extrañar que dichas concepciones constituyan un marco de referencia a partir de
las cuales discriminan los conocimientos que se le van proporcionando. Muestra de ello es
la incesante mención que los psicólogos hacen sobre la tendencia natural de los sujetos para
adaptarse a su medio.
Si identificamos los conocimientos que el sujeto desarrolla con el contacto del medio, con
los saberes enseñados, y si identificamos al sujeto que aprende con el alumno, se obtiene el
siguiente esquema (figura 3).
56
Capítulo 3: Marcos de referencia
Conoci-mientos
Sujeto apren-diendo
Sistema
educativo
Alumno
Saber
escolar
Medio Material, social,…
Enseñanza Adaptación
Figura 3: Influencia del medio
Por otra parte, la corriente constructivista del aprendizaje postula que para lograr que los
alumnos adquieran conocimientos significativos, se deben crear las condiciones adecuadas
para promover que sean los propios alumnos quienes construyan los saberes.
La teoría de las situaciones didácticas constituye una corriente de corte constructivista, la
cual postula que el alumno aprende por adaptación al medio en el que se encuentra, al
enfrentar en él, problemáticas, desequilibrios, contradicciones, etc., tal como se producen
en la sociedad: resultando de estas adaptaciones respuestas que dan muestra de un
aprendizaje. De ahí que dicha teoría supone la existencia de al menos una situación donde
los saberes matemáticos puedan ser determinados, caracterizados y diferenciados de otros
57
Capítulo 3: Marcos de referencia
(Brousseau, 2000). Esta teoría postula el estudio de las interacciones que los individuos
llevan a cabo ante una situación particular como una manera para entender y generar el
conocimiento (Aparicio, 2003).
Por “situación” entenderemos como señala el mismo Brousseau (2000), a un modelo de
interacción con el medio que determina un conocimiento dado como el recurso del que
dispone el sujeto para alcanzar o conservar en este medio un estado favorable. Así como
por “medio” al conjunto de objetos que el alumno es capaz de manipular de manera ágil y
segura sin cuestionar su naturaleza, así como todas las actividades de ayuda al estudio; los
objetos matemáticos, las herramientas, los libros, los cursos, etc. Algunas situaciones
requieren del manejo de determinados conocimientos anteriores, pero existen otras que no
requieren alguno.
De este modo la teoría de las situaciones didácticas requieren de una participación activa de
los alumnos, requiriéndose que el profesor conforme la situación a partir de elementos que,
por ejemplo, provoquen rupturas en las concepciones de los alumnos. Rupturas que el
alumno buscará estabilizar dentro de la situación en que se encuentra, produciéndose dentro
de este proceso, el aprendizaje. Importan entonces para el desarrollo de las situaciones, un
estudio detallado de las condiciones en las que se dio la construcción del conocimiento
(estudio epistemológico), los obstáculos que su forma de enseñanza favorecen (estudio
didáctico), así como las nociones y concepciones que los alumno poseen del concepto
(estudio cognitivo) (Aparicio, 2003). Ello nos dará una visión del camino a seguir para
elaborar la situación.
58
Capítulo 3: Marcos de referencia
Entonces, la labor de los profesores es la búsqueda y formulación de aquellas actividades
que conformarán la situación que los alumnos deben enfrentar, es decir, colocarlos en el
centro de situaciones que le permitan hacer las adaptaciones necesarias para llegar al
conocimiento. Los alumnos deben actuar, hablar, interactuar, reflexionar, como producto de
la situación didáctica y el medio propuesto. El profesor es quien propone una situación con
la cual busca producir un conocimiento, pero dentro de ésta, el alumno debe tomar las
riendas y comprometerse con la acción, requiriendo que la motivación de dicho
compromiso provenga de la situación misma. Al término de dicha situación, se requiere que
el profesor le otorgue un estatus cultural a las producciones que los alumnos han realizado,
que las confronte con el saber matemático y establezca la formalización de dicho
conocimiento, hacerlo formar parte de dicho conjunto de saberes; este proceso recibe el
nombre de institucionalización.
Se trata de que los alumnos tenga un desempeño similar al de una comunidad científica,
que entren en contacto con un problema y actúen sobre él (acción), que formulen caminos
de acción y que validen sus realizaciones. Siendo la responsabilidad del profesor la
institucionalización de los conocimientos abordados dentro de la situación.
Tenemos pues, que esta teoría nos propone una manera de conducir el desarrollo de las
clases, distinta a la forma clásica, esta última basada en exposiciones magistrales donde el
profesor es el principal actor y el alumno se limita a ser un receptor pasivo de los
conocimientos. Burdamente diríamos, un contenedor que está esperando pacientemente a
ser llenado. Buscamos a través de esta teoría, mirar y hacer que el profesor mire, el
quehacer didáctico al interior de las aulas como una microcomunidad científica,
59
Capítulo 3: Marcos de referencia
desarrollando un modelo de actividad semejante al de la comunidad matemática. De esta
manera, la teoría de las situaciones didácticas nos proporciona un modelo teórico
experimental y práctico que contribuya a la formación del profesorado, permitiéndonos
incidir sobre sus actuales prácticas docentes, al proporcionarles una nueva forma de
concebir la interacción al interior del salón de clases. Así como elementos que les permitan
reformular el papel que desarrollan dentro del aula; sus acciones deben encaminarse ya no a
la enunciación de saberes, sino al análisis y el desarrollo de aquellas condiciones que
favorezcan la adquisición de conocimientos por parte del alumno, es decir, dejar de
centrarse en el desarrollo de actividades relacionadas con la enseñanza, para empezar a
centrarse en el desarrollo de actividades destinadas a propiciar que el alumno aprenda. De
este modo, poco a poco llevar al profesor a que conciba a su labor como:
“la de guiar el aprendizaje, de proponer actividades que los enfrente (a los
alumnos) a las dificultades inherentes al nuevo concepto y de proporcionarles
las herramientas para superarlas, es decir, incentivar el proceso de
pensamiento en el alumno de tal manera que le permita enfrentarse a
situaciones nuevas y proponer soluciones. Esto es, darle al alumno un papel
más activo en su propio proceso de apropiación de un concepto, confiriéndole
una mayor responsabilidad” (Cantoral, 2003)
Es decir, nuestro interés no es propiamente capacitar al profesor para el diseño de
situaciones didácticas, sino buscamos que a través de dicha teoría el profesor se cuestione
sobre la forma de desarrollar sus clases y a partir de ello incidir sobre dichas prácticas.
60
Capítulo 3: Marcos de referencia
No obstante, creemos conveniente describir algunos otros elementos que conforman la
teoría de las situaciones didácticas: situaciones didácticas y situaciones a-didácticas.
3.2.1 Situaciones didácticas
Una situación didáctica es el conjunto de relaciones en las que se encuentra implicado el
profesor como parte de las interacciones que se establecen entre el alumno y los problemas
planteados por él, dentro los cuales se busca que los alumnos tengan un desempeño lo más
independientemente posible, con el propósito de que éstos construyan o adquieran un
conocimiento matemático. Para ello, el profesor requiere comunicar o abstenerse de
hacerlo, según el caso, preguntas, métodos de aprendizaje, heurísticas, etc.
La teoría de las situaciones distingue tres tipos de interacción del sujeto con su medio:
• El tipo “acción”, que consiste para el actor, fijar un estado del medio o determinar o
limitar las acciones de otros actores.
• El tipo “comunicación”, que consiste en modificar los conocimientos de otro actor
por medio de mensajes portadores de informaciones.
• El tipo “prueba”, que tiende a la justificación o validación cultural de los actos o las
declaraciones.
La noción y la definición de un concepto no pueden ser aprendidas mediante la simple
enunciación y explicación del mismo, es necesario que se pongan en juego en la resolución
de problemas donde la noción funcione de manera más o menos local. De este modo, el
profesor debe evitar hacerle saber al alumno el conocimiento que se espera que adquiera.
61
Capítulo 3: Marcos de referencia
La comprensión de dicha noción o definición adquirirá mayor significado mientras mayor
sea el éxito que se tenga en la solución de problemas mediante su aplicación. Sin embargo,
dicha significación posteriormente tendrá que ser modificada para permitir el aprendizaje
de nuevos conceptos.
Durante la conformación de las actividades que integrarán la situación didáctica, se debe
buscar una participación del alumno lo más autónoma y fecunda posible. De modo que la
situación debe lograr que el alumno acepte la responsabilidad de enfrentarse a ella y
resolverla. No obstante, el profesor debe ejercer una vigilancia constante de las acciones
que se desarrollan.
Hasta aquí, podemos notar la intención explicita del profesor por lograr que los alumnos
aprendan los conocimientos matemáticos, intención que debe caracterizar a toda actividad
didáctica, pero que no vasta, por lo que el profesor debe constantemente buscar devolverle
al alumno la responsabilidad de su aprendizaje (devolución). Cabe señalar el no confundir
responsabilidad con culpabilidad.
3.2.2 Situaciones a-didácticas
A diferencia de una situación didáctica, en la situación a-didáctica desaparece la intención
explícita de enseñar. Éstas surgen de la propia situación didáctica, son situaciones que no
son previstas en la implementación, pero que permiten que el alumno se relacione con el
conocimiento puesto en juego, siendo importante la aparición de dichas situaciones en los
diseños didácticos. Este conocimiento, que entra en juego, está totalmente justificado por la
62
Capítulo 3: Marcos de referencia
lógica interna de la situación y el alumno puede construirlo sin atender a razones didácticas
y sin la intervención del profesor. Podemos distinguir tres tipos de situaciones a-didácticas.
Situación a-didáctica de acción. Esta situación proporciona al alumno un problema cuya
resolución se hará por medio de los aprendizajes que se quieren lograr, o por medio de los
aprendizajes previos que el alumno posee. Para ello, el medio que rodea a tal situación debe
procurar las condiciones que permitan tal suceso. La forma de actuar del alumno, ante el
problema, debe verse retroalimentada de modo tal que éste obtenga información que le
permita evaluar su desempeño, y en caso necesario, reformular sus acciones con el fin de
dar solución al problema. También se habla de la etapa de acción dentro de una situación a-
didáctica, cuando el alumno tiene el primer contacto con el problema, cuando comienza a
estudiarlo para comprenderlo, plantea sus primeras ideas para solucionarlo y realiza sus
primeras acciones. Tales acciones pueden ser entendidas como manipulaciones físicas o
mentales.
Situación a-didáctica de formulación. Para que el alumno vaya concretando las ideas que
ha ido desarrollando, es necesario que las estructure, siendo importante la enunciación de
dichas ideas para poder asignarle un significado. Esta exigencia de la formulación propicia
un intercambio de información entre una o varias personas, o entre la persona y el mismo
medio, intercambio que favorece la adquisición de nuevos resultados entre los actores de la
situación. También se habla de la etapa de formulación dentro de una situación a-didáctica,
cuando el alumno expresa sus ideas, cuando reconoce el límite de lo que sabe, cuando
reconoce una definición, un teorema, etc., así como también cuando da significado a las
expresiones matemáticas. Las nociones que se emplean aquí son de tipo protomatemática.
63
Capítulo 3: Marcos de referencia
Situación a-didáctica de validación. Aquí, el alumno fórmula sus resultados como
aseveraciones, las cuales habrán de someterse ante los demás participantes para su estudio,
y ser aceptados o rechazados previa justificación de tal o cual acción. Es decir, en la medida
de sus posibilidades, el alumno debe mostrar una prueba que permita demostrar la validez
de sus resultados. Esto permitirá consensuar los resultados obtenidos, reformular las
aseveraciones y obtener un consenso sobre la solución optima del problema. Aquí las
nociones que se manejan son las matemáticas. También se habla de una etapa de validación
dentro de una situación a-didáctica, cuando es el mismo alumno quien se cuestiona sobre la
validez de sus acciones, justifica los procedimientos realizados, identifica y corrige sus
errores.
Debemos señalar que las situaciones a-didácticas anteriores no son excluyentes, por lo que
dentro de una de ellas se pueden encontrar las otras dos. Por ejemplo, dentro de la situación
a-didáctica de acción pueden encontrarse las de formulación y validación y así para las
otras dos. Además dentro de las situaciones a-didácticas el orden de presentación de las
etapas de acción, formulación y validación es indistinto.
3.3 Ingeniería didáctica
En el seno de la didáctica de las matemáticas surge, una concepción de investigación en la
cual el trabajo didáctico se realiza en forma similar al de un ingeniero. Por ejemplo, un
ingeniero debe: recolectar datos del lugar en el que se llevará a cabo el trabajo, establecer
las condiciones que predominan en dicho lugar y elaborar con dichos datos el proyecto a
realizar. Estas acciones se realizan de forma previa al desarrollo de la construcción a
64
Capítulo 3: Marcos de referencia
realizar, posteriormente se siguen una cuidadosa supervisión de la obra que permita tomar
las decisiones y modificaciones necesarias en el momento adecuado, todo esto basado en
conocimientos científicos y aceptando someterse a un control de tipo científico, pues de
ellos se sustentarán las decisiones tomadas. De este modo, la ingeniería didáctica se puede
concebirse como un conjunto de secuencias que son estructuradas, organizadas y
articuladas entre sí por el profesor (ingeniero), con el fin de realizar un proyecto de
aprendizaje para una población determinada de alumnos.
En los años ochenta (Artigue, 1995b), dado el desarrollo de la didáctica de la matemática,
esta ingeniería surge como un medio para abordar dos puntos cruciales:
• Las relaciones entre la investigación y la acción en el sistema de enseñanza.
• El papel que conviene hacerle tomar a las “realizaciones didácticas” en clase, dentro
de las metodologías de la investigación didáctica.
Con respecto al primer punto, podemos mencionar que si no se articulan adecuadamente los
dos momentos del proceso científico técnico (investigación y acción) se reduce el
significado de cada uno de ellos: el logro de una “buena acción” es un objetivo que influye
sobre el proceso de investigación; la acción “implementada” se presenta como
“investigación”.
Respecto al segundo punto, se puede decir que la ingeniería didáctica busca romper con las
investigaciones que se basan en el uso de encuestas, test, cuestionarios, etc. posteriormente
al desarrollo de un fenómeno, acción, actividad, etc. Las cuales resultan fuentes de
información que son insuficientes para retratar la complejidad de los procesos que se llevan
65
Capítulo 3: Marcos de referencia
a cabo dentro del salón de clases; la información recabada es un retrato parcial basado en la
memoria de los participantes. Dichas investigaciones se basan en métodos de validación
externa, se llevan a cabo mediante la comparación de dos grupos: el de control y el
experimental. Por su parte, la ingeniería didáctica posee un proceso de validación
esencialmente interno, basado en la confrontación entre el análisis a priori y a posteriori del
diseño didáctico implementado (Artigue, 1995b).
Como metodología de investigación, la ingeniería didáctica se caracteriza como un
esquema experimental basado en las “realizaciones didácticas” en clase, las cuales implican
realizar la planeación, el desarrollo, la observación y el análisis de las mismas (Artigue,
1995b). Para el diseño de las realizaciones didácticas, el profesor-investigador debe decidir
actuar sobre un cierto número de variables de los sistemas didácticos, las cuales determinan
la organización global y local de la ingeniería. Estas variables son fundamentales para la
significación de los conocimientos matemáticos que se espera que el alumno aprenda, pues
afectan la jerarquía de las estrategias de solución que el alumno pone en funcionamiento.
Sin embargo, es importante señalar que la ingeniería didáctica se utiliza en la didáctica de
las matemáticas bajo un doble aspecto; a demás de ser una metodología de investigación, es
un medio para la producción y análisis de situaciones de enseñanza-aprendizaje (Ruiz,
2002). Siendo en nuestro caso, utilizada bajo la segunda acepción.
Dada su estructura interna, la ingeniería didáctica nos provee de un adecuado marco de
referencia que nos permita justificar las acciones que llevamos a cabo dentro del salón de
clases, así como sus posibles modificaciones. El diseño didáctico a desarrollar, dentro del
salón de clases, sigue una estructura similar al diseño de una investigación. En él se
66
Capítulo 3: Marcos de referencia
establecen las acciones que se deberán seguir para alcanzar los objetivos de aprendizaje; los
recursos que se necesitan para el desarrollo de las clases; así como el uso y los tiempos en
que ellos se ocuparán. Durante la puesta en marcha de las “realizaciones didácticas” el
profesor y los alumnos interactúan constantemente, lo que permite al profesor tomar las
decisiones pertinentes que favorezcan la evolución del proyecto de aprendizaje, superar los
obstáculos que se presenten y llevar a buen término las “realizaciones” hechas, así como el
logro de los objetivos. De este modo, la ingeniería didáctica es a la vez un producto,
resultante de un análisis a priori, y un proceso, en el transcurso del cual el profesor ejecuta
el producto adaptándolo, si se presenta el caso, a la dinámica de la clase (Douady, 1996;
citado en Ruiz, 2002).
El profesor en todo momento debe tomar conciencia de los factores que pueden incidir en
las situaciones de enseñanza-aprendizaje, los cuales al ser controlados por él, favorezcan
una adecuada toma de decisiones, realización de elecciones, anticipaciones, etc., que
puedan enriquecer las situaciones, pero que posteriormente su influencia pueda ser
analizada y validada.
En la ingeniería didáctica se distinguen cuatro fases de desarrollo: la fase de análisis
preliminar, la fase de concepción y análisis a priori de las situaciones didácticas de la
ingeniería, la fase de experimentación y finalmente la fase de análisis a posteriori y
evaluación (Artigue, 1995b).
• Análisis preliminar. El sustento sobre el cual se desarrollaran las situaciones
didácticas requiere, además de un encuadre teórico didáctico y de los conocimientos
67
Capítulo 3: Marcos de referencia
que se posean al respecto, una serie de análisis previos que tocan entre otros puntos:
el análisis epistemológico del contenido a abordar, el análisis de la enseñanza
tradicional, el análisis de las concepciones de los estudiantes, todo ello para
identificar los obstáculos y dificultades que determinan su evolución y las
restricciones donde se realizará la situación didáctica. Nos encontramos entonces
ante un análisis de las restricciones epistemológicas, cognitivas y didácticas. Estas
dimensiones se corresponden con la perspectiva sistémica de la didáctica de las
matemáticas que considera el estudio de las interacciones entre el profesor, el saber
y el alumno, con el objeto de analizar los modos de apropiación de un saber por el
sujeto.
• Concepción y análisis a priori de las situaciones didácticas. Se eligen las variables
sobre las cuales actuar, y sobre las cuales se establece un control destinado a incidir
en las posibles formas de actuar de los estudiantes y los significados que se pretende
se adquieran. Este análisis, tanto de tipo descriptivo como predictivo, se centra en
las características que la situación ha querido diseñar.
• Experimentación. En esta fase se pone en funcionamiento la ingeniería desarrollada
en el paso anterior.
• Análisis a posteriori y evaluación. Se conforma el análisis a posteriori a partir del
conjunto de datos recabados durante la experimentación; por medio de las
observaciones realizadas de las secuencias de enseñanza y las producciones de los
alumnos. Este análisis es confrontado con el análisis a priori para validar las
hipótesis de investigación que se hayan formulado.
68
Capítulo 3: Marcos de referencia
Estas fases aplicadas al desarrollo de las clases, permiten un constante monitoreo y análisis
de las implicaciones que los diseños didácticos implementados por el profesor tienen dentro
del salón de clases, dando como resultado la adecuación de dichos diseños. De este modo,
la ingeniería didáctica constituye un adecuado modelo de experimentación que permite al
profesor establecer si las acciones que desarrolla al interior del aula están funcionando, así
como también le permite conformar una base que, en caso necesario, le ayuda a realizar las
modificaciones pertinentes, y que además, dé sustento a éstas.
De este modo, la teoría de las situaciones didácticas y la ingeniería didáctica se conjugan
para proporcionarnos un modelo teórico, práctico y experimental que será el eje central de
nuestra propuesta de formación didáctica.
69
Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller
Capítulo 4
Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller
La formación de los profesores requiere de un largo proceso dentro del cual se encuentran
implicadas diversas acciones. Proponemos aquí el desarrollo de una propuesta teórico-
práctica, de modo que el profesor no sea únicamente un receptor de ideas y saberes, su
actuación dentro del curso lo involucrará de una mejor manera con el, además nos
permitiría observar si existen cambios en sus concepciones más allá del nivel discursivo.
En este apartado describiremos la conformación del curso-taller en didáctica de las
matemáticas que fue presentado a los profesores. Se describe la metodología seguida en su
diseño y aplicación, así como las temáticas que se abordaron y las actividades que se
desarrollaron dentro del mismo.
4. 1 Metodología
Existen numerosas propuestas de formación de los profesores, siendo, del mismo modo,
numerosos los temas que se abordan en ellas. Sin embargo, son pocas las que tienen como
centro de interés al profesor universitario. Esto nos hizo cuestionarnos sobre las acciones
más convenientes a seguir para la formación de los profesores en lo que la didáctica de la
matemática en el nivel universitario se refiere, que es en donde se centra nuestra propuesta.
70
Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller
Debido a lo anterior, decidimos que un primer paso para el desarrollo de nuestro curso
debería ser la revisión de propuestas de formación de profesores, centrando nuestro interés
en aquellas acciones llevadas a cabo para la formación de profesores de matemática del
nivel universitario, en particular, centrándonos en las propuestas que estuvieran dirigidas a
profesores de cálculo. Paralelamente se procedió a revisar la literatura para conocer
resultados provenientes de la didáctica de la matemática y, en especial de la didáctica del
cálculo, que contribuyeran a dar un panorama general de dicha ciencia, a la vez que
contribuyera a proporcionar a los profesores algunos elementos que pudieran utilizar dentro
sus clases o cursos; ya sean problemáticas, estrategias, sugerencias, etc. Se buscó
incorporar en este curso, temáticas que los profesores pudieran ya haber observado como
necesarias, pues de esta forma, ellas tendrían en los profesores una base sobre la cual
confrontarse, que permitiera conferirles cierta aplicación y utilidad a la luz de sus
concepciones y experiencias. Sin embargo, también se procuró la incorporación de otros
elementos que, aún no siendo tan reconocidos o familiares para los profesores, fuesen
importantes para su capacitación y formación.
Posteriormente, se procedió a la conformación de la propuesta denominada “Curso-Taller
de formación en didáctica de las matemáticas”, la cual tuvo una duración de seis horas,
distribuidas en cuatro sesiones de hora y media cada una. Las sesiones se llevaron a cabo
una vez por semana, fijándose el lunes para este efecto. Estas tuvieron lugar en la sala de
juntas de la dirección de FMAT.
Debido a que nuestro objetivo era tomar parte sobre las creencias y concepciones que los
profesores tienen respecto a la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, y teniendo en
71
Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller
cuenta, como señala Castillo, et al (2005), que dichas acciones pueden impactar en un doble
nivel: el del discurso y el de la práctica. No siendo el mismo impacto en ambos. Se
propusieron actividades que nos permitieran observar nuestras acciones en cada uno de
ellos. Se consideró entonces adecuado emplear un análisis cualitativo de los datos
obtenidos.
Dentro el curso – taller se pensó en comunicarle al profesor ciertos aspectos teóricos sobre
los cuales generar discusión, tanto entre el instructor – formador como entre los mismos
profesores, pues los cometarios generados de ella nos permitirían conocer el impacto que la
propuesta estaba teniendo sobre las posturas didácticas y metodológicas de los profesores.
En lo que se refiere al aspecto práctico del curso, se enfrentó al profesor con algunas
actividades que le permitieran vislumbrar los aportes que los conocimientos teóricos
comunicados tienen, pero también que alentaran aún más la discusión sobre las temáticas y
lo que ellas pueden aportar. Dentro de esta parte, se incluyó la puesta en escena de un
diseño didáctico elaborado para tal propósito, otra actividad lo constituyó la elaboración
por parte de los mismos profesores de un diseño didáctico, el cual sería discutido dentro el
curso. Cabe señalar que la elaboración de estos diseños buscaba mostrar la profundidad y
solidez de los comentarios expresados por los profesores, es decir, la puesta en práctica de
lo que el profesor menciona en su discurso.
La selección de la población de profesores participantes en el curso se realizó mediante
invitación abierta a los profesores que impartían cálculo en la Facultad de Matemáticas.
Misma que posteriormente se extendió a otros profesores que hubieran impartido o
pensaban impartir cálculo, así como a otros profesores interesados en el tema, y que
72
Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller
tuvieran relación con la asignatura de cálculo. Es así como se incorporan dos egresados de
la licenciatura en matemáticas de la FMAT que en ese entonces impartían cálculo en la
Facultad de Ingeniería Química de la Universidad Autónoma de Yucatán. Llegándose a
conformar una población de 10 profesores, con una asistencia promedio a la sesiones de 7
profesores, debido a las otras múltiples labores que éstos debían desempeñar.
El registro de información se llevó a cabo mediante la grabación en audio de los diálogos y
discusiones generadas y toma de notas. Éstas nos permitieron llevar un registro de las
posturas que los profesores presentaban ante los saberes que se les comunicaban y de los
cambios o modificaciones que estas sufrían.
4.2 Estructura del Curso-Taller
En el presente trabajo se ha dispuesto la realización de un curso-taller tendiente a
proporcionar a los profesores una primera aproximación a la didáctica de las matemáticas,
donde se discutan algunos resultados producto de las investigaciones en esta materia, así
como algunas estrategias para favorecer el aprendizaje del cálculo. Se establecieron como
objetivos del curso los siguientes puntos:
1. Concientizar al profesor sobre la importancia de los resultados derivados de la
didáctica de las matemáticas para su acción docente.
2. Proporcionar algunos aspectos que puedan serles útiles durante la planificación,
desarrollo y evaluación de sus clases.
73
Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller
A continuación se hace una descripción de las temáticas abordadas en cada una de las
sesiones del curso:
♦ Sesión 1. La didáctica de las matemáticas
o ¿En qué consiste la didáctica de las matemáticas?
o Situaciones observadas en la FMAT y sus posibles implicaciones
o Reportes de investigación
♦ Sesión 2. Aportes de la didáctica de las matemáticas
o El estatus herramienta-objetos de los conceptos
o La visualización
o Pensamiento y lenguaje variacional
o El problema de la transferencia del conocimiento
♦ Sesión 3. Experimentación
o Teoría de las Situaciones didácticas
o Puesta en escena de una secuencia didáctica
♦ Sesión 4. Discusión y sugerencias
o Discusión de actividades propuestas por los profesores
o Comentarios a cerca de las actividades desarrolladas
La primera sesión estuvo destinada a proporcionar a los profesores un panorama general de
la didáctica de las matemáticas; se describieron algunos de sus objetivos y los aportes de
ésta a los sistemas didácticos. En esta primera sesión se pretendió mostrar la importancia de
esta didáctica para la formación docente y los aportes que ella puede proporcionar al trabajo
que se realiza dentro del salón de clases. Para ello se presentaron algunos resultados
74
Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller
provenientes de las tesis de García (2006a) y García (2006b) desarrolladas en la misma
Facultad. En ellas se describen las acciones que se llevan al interior del aula en las clases de
cálculo, trabajos que, como ya hemos mencionado, buscaron identificar algunos factores y
elementos que pudieran ser causantes del rezago y reprobación de esta asignatura. Junto
con los reportes anteriores se presentaron algunas problemáticas de aprendizaje que se
derivan de esa manera de proceder. Se buscó lograr que los profesores tomen conciencia de
la necesidad de modificar sus prácticas docentes que actualmente desarrollan; que ellos
conozcan el impacto que algunas de sus acciones pueden provocar en el aprendizaje de los
alumnos, pues como menciona Cooney (2001), citado en Moreno (2005), el cambio en las
creencias de los profesores, las cuales guían sus acciones, no suele producirse a menos que
éstos vean la evidencia de que el cambio es necesario y que produce beneficios. Para
finalizar esta primera sesión, se presentan dos investigaciones relacionadas con la didáctica
del cálculo. Una que nos permitiera mirar las dificultades de aprendizaje que provoca la
actual forma de presentar un determinado concepto, que proponga una forma alternativa
para presentarlo y que reporte los resultados obtenidos de la experimentación de esa nueva
presentación. Otra que nos permitiera mostrar cómo los trabajos en didáctica de las
matemáticas pueden proveer de elementos para la capacitación constante de los profesores.
Dichas investigaciones son el trabajo de tesis de Aparicio (2003): “Sobre la noción de
continuidad puntual: Un estudio de las formas discursivas utilizadas por los estudiantes de
Ingeniería en contextos de geometría dinámica”, y el reporte de investigación de Godino et
al, (2005): “Conflictos epistémicos en un proceso de estudio de la noción de función.
Implicaciones para la formación de profesores”.
75
Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller
En la segunda sesión se discutió sobre algunas temáticas propias de la didáctica de las
matemáticas, las cuales mostraran al profesor, puntos sobre los cuales poner atención al
momento de planear, desarrollar y evaluar sus clases. Para ello se dispuso de una primera
aproximación al estudio de los cuatro temas arriba mencionados, el primero y el último se
centraron en ampliar las discusiones sobre las dificultades que se presentan en el estudio de
los contenidos de cálculo y el aprendizaje resultante. El segundo y tercer tema pretendierón
proporcionar al profesor algunas herramientas y estrategias para implementar dentro las
clases y en las actividades que se desarrollan en ellas (estas temáticas son descritas
brevemente un poco más adelante). Como parte de esta sesión se presentó al profesor una
actividad relacionada con el tema del pensamiento y lenguaje variacional (ver anexo A).
En la tercera sesión se presentó al profesor la Teoría de las Situaciones Didácticas. La
presentación de esta teoría tuvo la intención de hacer que el profesor vislumbre otra forma
de mirar su quehacer didáctico; como un símil de una comunidad matemática. Se buscó que
los profesores propicien espacios para una actuación más dinámica de los alumnos dentro
del aula, dando a los estudiantes ciertas facilidades para actuar, formular y validar sobre
una situación de aprendizaje. Esto con la finalidad de que sean ellos mismos quienes
busquen apropiarse de ciertas nociones y conceptos que les permitirán sentar las bases
sobre las cuales edificar, fundamentar y dar significado a los conceptos matemáticos. De
este modo, el profesor se concibe como en un orientador e institucionalizador del
conocimiento matemático Dentro de ésta sesión, y con la finalidad de hacer más
comprensibles los elementos que se describen en dicha teoría, se llevó a cabo la puesta en
escena de un diseño didáctico elaborado para tal propósito (ver anexo B). Al finalizar la
sesión, se pedió a los profesores el desarrollo de un diseño didáctico que abordará los
76
Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller
elementos descritos durante la sesión. Así, se formaron equipos de tres profesores para
realizar la tarea propuesta.
En la cuarta, y última sesión, se realizó la discusión de las secuencias didáctica elaboradas
por los profesores, con la finalidad de aclarar, corregir o detectar aquellos aspectos de esta
teoría que no hallan sido comprendidos o que hallan generado duda a la hora de ponerlos en
práctica. También se pretendió observar con éstos diseños y discusiones, la incidencia e
impacto sobre sus concepciones, ya sea a un nivel práctico, a un nivel del discurso, en
ambos niveles o en ninguno de ellos. Para finalizar esta sesión, y el curso-taller, se pedió a
los profesores que externaran sus comentarios respecto al curso en general y sobre las
dudas que pudieran surgir respecto a algún punto en particular.
4.2.1 La dualidad de los conceptos matemáticos
Antes de comenzar este tema, pensemos en el siguiente ejemplo. Los niños estudian desde
la educación básica las operaciones de suma, resta, multiplicación y división. Estas
operaciones las realizan con números enteros, decimales y fraccionales. Centremos nuestra
atención en la suma de números fraccionales.
Las operaciones con fracciones constituyen un tema de gran dificultad para muchos
alumnos, por lo general, esto se debe a su enseñanza como algoritmos sin sentido, que se
aprendidos de memoria. Cuando el niño llega al estudio de las fracciones, se le presenta la
notación 28 y se le dice que eso se lee “ocho medios” y que con ocho medios obtiene 4
enteros, afirmación explicada por medio de la división 82 , de modo que ante expresiones
77
Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller
como 29 el alumno tiende a efectuar la división, obteniendo , mirando así a las
fracciones como una división no realizada. De este modo, cuando se le presenta la siguiente
operación
5.4
29
28+ , ante el desconocimiento de cómo realizar eso, recurre a su visión de las
fracciones, llegando a realizar algoritmos tales como: 5.95.4429
28
=+=+ , es decir,
realiza el proceso de división que tiene en su mente. Si bien su respuesta es correcta, por lo
general, se le exige que realice el siguiente procedimiento 2
172
9829
28
=+
=+ , en donde el
proceso de dividir queda atrás y se requiere ver a la fracción como un nuevo “tipo de
número” sobre el cual se pueden realizar las operaciones básicas, es decir, la fracción que
representa un proceso de división debe verse como un objeto matemático nuevo. Esta forma
de ver a la fracción como un proceso y como un objeto matemático es una característica de
todos los entes matemáticos.
Los conceptos que maneja la matemática son entes abstractos que existen en la mente de las
personas, las cuales pueden tomar, según el caso, un tratamiento como procesos o como
objetos, es decir, presentan un tratamiento dual según la perspectiva desde que se le estudie
y el enfoque bajo el cual se utilice (Cantoral, 1993). Resultando justamente esa dualidad,
una de las razones que explican la complejidad del conocimientos matemático. Por
ejemplo: un estudiante es capaz de realizar la derivada de cualquier función, pero en
ocasiones es incapaz de construir la gráfica de la derivada.
Sfard, (1991), citado en Meel (2003), define los cimientos de la matemática en la
diferenciación entre dos entidades: Concepto y Concepción. Donde un concepto se entiende
78
Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller
como la idea oficial definida matemáticamente, mientras que la concepción hace referencia
a un grupo de representaciones y vínculos internos del estudiante que son causados por el
concepto. Lo anterior confiere a los conceptos matemáticos una concepción dual, pudiendo
ser visualizados como estáticos, instantáneos e integradores (estructurales) o dinámicos,
secuenciales y detallados (operacionales). El aspecto operacional de los objetos se relaciona
con los procesos algorítmicos que ocurren a un nivel físico y mental. La concepción
estructural es más abstracta, más integrada y menos detallada que una concepción
operacional, se relaciona con las matemáticas avanzadas al ser organizaciones mentales
abstractas. Sfard (1991); citado en Meel (2003), menciona ello de este modo se entra en el
mundo de la visualización, al relacionarse con la capacidad de “ver” las construcciones
matemáticas avanzadas que no son entidades físicas, sino organizaciones mentales
abstractas.
Aún cuando las concepciones operacional y estructural parecen ser excluyentes, pues
observan a un mismo concepto desde dos perspectivas diferentes, estas dos operaciones no
son exclusivas en forma mutua (Meel, 2003). Estas dos visiones son propias de un objeto
matemático y son inseparables dado que el concepto alberga tanto elementos estructurales
como procedimentales.
El conocimiento de dichas concepciones y sobre todo de la concepción que maneja el
estudiante, dan al profesor una base sobre la cual construir actividades de aprendizaje que
sean acordes a dicha concepción y, en caso de requerirlo, lograr que éstos se apropien de la
otra concepción. Uno de los pasos esenciales en el aprendizaje de las matemáticas es el de
construir objetos matemáticos; hacer de un proceso un objeto (Cantoral, et al, 2003).
79
Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller
Por lo general, el aprendizaje de los conceptos requiere del tránsito por una serie de etapas,
las cuales pueden prolongarse mucho más allá de la duración de un semestre escolar
(Cantoral, et al, 2003). Por ejemplo, se debe iniciar con el desarrollo de un proceso en
términos concretos, poco a poco al irse familiarizándose el alumno con este proceso, será
capaz de desarrollarlo y coordinarlo en su pensamiento (pensamiento operacional).
Posteriormente, este proceso es dotado de significado y de una nueva y única identidad,
convirtiéndose en el pensamiento del estudiante en un objeto. Esto posibilita al estudiante
abordar el tratamiento del concepto desde las dos perspectivas, ya sea en un nivel dinámico,
como proceso, o en un nivel estático, como objeto. Los conceptos matemáticos son
poderosos en tanto que pueden desarrollarse como algoritmos y ser aplicados en diversas
situaciones y contextos, sin embargo, el aprendizaje de dichos conceptos bajo esta forma
sin ninguna base teórica sobre la cual se sustente, propicia un “aprendizaje” pobre y carente
de significado, que en sí no constituyen verdaderos aprendizajes matemáticos.
Meel (2003), menciona que existen razones para suponer que durante el desarrollo de los
conceptos, las concepciones procedimentales preceden a las estructurales. Sin embargo,
esto no implica que siempre se dé esta sucesión, sino que es más bien una vía natural de
desarrollo del concepto. Sfard (1991) citado en Meel (2003) menciona que existen tres
etapas distintas durante el desarrollo de un concepto: la generación de un proceso a partir
de objetos ya familiares (interiorización), el reconocimiento de los procesos como
entidades autónomas (condensación) y la capacidad de concebir la nueva entidad como una
estructura sintetizada similar a un objeto (reificación).
80
Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller
1. La interiorización. El estudiante se familiariza con los procesos. Comprende
un cambio de concepciones con base en las operaciones físicas hasta hacer
operaciones fundadas en las representaciones mentales de los procesos.
2. Condensación. En lugar de trabajar mediante una secuencia larga de
procesos mentales relacionados pero distintos, la condensación permite al
estudiante concebir una secuencia como un solo proceso y relacionar su
entrada y salida, sin los pasos intermedios.
3. La reificación. Es la responsable del desarrollo de los objetos matemáticos.
En esencia, la reificación es un salto desde la concepción de una nueva
entidad como una conexión estrecha a un proceso, hasta la concepción de la
noción de una entidad como un objeto en el que se puede actuar. Este
cambio permite la capacidad de ver algo familiar desde una perspectiva
totalmente distinta que separa la secuencia condensada de una secuencia de
origen. La estructura que se presenta, a pesar de que esté invariablemente
conectada al proceso que ejemplifica, ya puede observarse como un objeto
estático en el ojo de la mente. Además, la nueva entidad comienza a
presentar su significado a partir de su asociación, no en el terreno de los
procesos, sino como un miembro de una categoría de objetos abstractos que
mejoran el alcance de las aplicaciones.
4.2.2 La visualización
Dentro del estudio de los conceptos del cálculo, la representación gráfica es una
herramienta utilizada por los profesores para realizar las explicaciones y comentarios
81
Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller
correspondientes. Esto se extiende, en algunos casos, a los teoremas, los ejercicios, etc.,
(Cantoral, Montiel, 2001). Con ello se busca favorecer la comprensión y significado de los
alumnos sobre esos objetos matemáticos. Por otra parte, si recordamos que éstos objetos
son abstracciones que viven en la mente de quien los estudia y que para su comunicación
requieren de representaciones que permitan expresarlos y manipularlos, la “visualización”
toma una gran relevancia. De este modo, podemos afirmar que la “visualización” de las
representaciones geométricas de los conceptos del cálculo, juega un papel destacable dentro
de los actuales procesos de enseñanza, aprendizaje del cálculo. No obstante la importancia
de estos procesos, los argumentos geométricos/visuales, así como los numéricos, son
relegados a un segundo término e incluso en algunos casos son rechazados, sobrevalorando
en contraposición a los de tipo analítico y algorítmico.
Una hipótesis relacionada con el estudio y aprendizaje del cálculo desarrollada en Farfán
(1997), que es citada en Cantoral y Montiel (2001), asume que:
“previo al estudio del cálculo se requiere de la adquisición de un lenguaje
gráfico que posibilite, esencialmente, la transferencia de campos conceptuales
virtualmente ajenos a causa de las enseñanzas tradicionales, estableciendo un
isomorfismo operativo entre el álgebra básica y el estudio de curvas, mejor
aún, entre el lenguaje algebraico y el lenguaje gráfico”.
Esta maestría en el manejo de ambos dominios permitirá al alumno, en un primer momento,
una mejor comprensión de las representaciones geométricas utilizadas en las explicaciones
de los conceptos, al ser capaces de manipular al concepto en dos representaciones distintas.
Por otra parte, en un segundo momento, si esta habilidad se conjunta con un dominio de la
82
Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller
intuición y de la argumentación, será posible transitar entre diversas representaciones de los
conceptos bajo estudio (Cantoral y Farfán, 1998).
Sin embargo, la visualización en matemáticas no se reduce sólo a lo que a geometría se
refiere, generalmente es entendida como la habilidad para representar, transformar,
generar, comunicar, documentar y reflejar información visual (Cantoral, Montiel, 2001).
Como ejemplo de la visualización podemos mencionar a los aspectos gesticulativos que los
alumnos realizan al momento de explicar un concepto para sí mismo o para los demás, así
como a aquellos que los alumnos realizan al momento de resolver problemas. Procesos
como los anteriores favorecen en el alumno la creación de representaciones mentales sobre
los objetos que son abordados, con lo cual el pensamiento del alumno va forjándose.
Tenemos entonces que la visualización no puede reducirse a la simple representación
externa de una representación interna, es decir, no únicamente se refiere a un proceso de
tipo óptico sino que involucra procesos de codificación y decodificación de información.
En este sentido, como menciona Cantoral (2001) citado en Aparicio (2003), involucra
diversas actividades:
• La habilidad para interpretar información especial que se obtiene directamente por
medio del sentido de la vista pero que se presenta de manera codificada.
• La habilidad para imaginar y anticipar transformaciones espaciales.
• La habilidad para crear e interpretar representaciones visuales de conceptos cuyo
origen no es visual.
83
Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller
De este modo, como señalan Montiel y Cantoral (2001), la visualización es una herramienta
que al operarse en distintos grados permite el desarrollo del pensamiento matemático en el
alumno. Donde por pensamiento matemático nos referiremos a las formas en que piensan
las personas que se dedican profesionalmente a las matemáticas (Cantoral. et. al., 2003), a
los procesos que utilizan a la hora de enfrentarse a cuestiones que involucran conceptos
matemáticos.
En matemáticas son varios los casos donde es posible observar el uso de la visualización,
por ejemplo, en la teoría de conjuntos donde se presenta la propiedad de inclusión, la cual
se representan con un diagrama como el de la figura 4, en donde se ilustra el caso en el que
el conjunto A queda contenido en el conjunto B.
B A
Figura 4. Inclusión de conjuntos )( BA ⊂
Las gráficas de las funciones son también otro ejemplo en donde la visualización juega un
papel importante, lo cual podemos ver reflejado en el estudio de las propiedades analíticas
de las mismas. Por ejemplo, al tratar la propiedad de la reflexión con respecto a los ejes
o . Además, las gráficas de las funciones constituyen un medio adecuado
para desarrollar las habilidades de visualización. Las gráficas no son objetos solo de
representación sino objetos de tratamiento sensorial, conceptual y operacional.
( )xf− ( xf − )
84
Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller
De este modo la visualización juega un papel importante dentro del aprendizaje de las
matemáticas, dado su poder como medio para asimilar los conceptos matemático por medio
de representaciones, pero también debido a su poder para facilitar y promover la
comunicación matemática.
Un ejemplo con el que podemos ilustrar la importancia que la representación, ya sea mental
o gráfica, puede tomar por sobre la realización analítica de un ejercicio, o dicho de otra
manera, la importancia que la visualización juega por sobre la simple realización de un
algoritmo aplicado mecánicamente, es el siguiente:
¿Por qué 211
111
1
1
1
1
1
11
1
21
12 −=
−−
−=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
==−−
−
−
−
−∫∫ x
xdxxxdx es obviamente incorrecta?
Este ejemplo es tomado del libro “Funciones. Visualización y pensamiento matemático”
(Cantoral, Montiel, 2001), el cual a su vez fue tomado en “Visualization in teaching and
learning mathematics” publicado por W. Zimmermann y S. Cunningham (1991).
Analizando el ejemplo podemos notar que el procedimiento algorítmico no tiene errores
algebraicos, por lo que en un primer instante los alumnos que únicamente basen su
exploración del problema en dicho proceso, podrían argumentar que no existe ningún error
y la respuesta es correcta. Otros que dirijan su estudio a la función que se debe integrar,
podrían argumentar que la función 2
1x
es positiva para todo valor de x, y si se relaciona a
la integral con el área bajo la curva, la respuesta es incorrecta. Por otra parte, si el alumno
es capaz de representar en su mente la imagen de la gráfica de la función o dibujar dicha
85
Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller
gráfica, podrá darse cuenta que dicha función no es continua en cero y cuestionarse sobre la
validez del método, dándole pie a una rica discusión con sus compañeros y profesor que
puede dar lugar a nuevos conocimientos o, por lo menos, al interés por buscarlos. Para más
detalle sobre lo referido, puede consultarse (Aparicio, Ávila, 2006).
Por último, es importante mencionar que las investigaciones empíricas muestran que
existen en los alumnos, diferentes forma cognitivas de abordar los problemas, hay quienes
requieren un tratamiento más visual, quienes adquieren una mayor comprensión mediante
un tratamiento numérico, otros mediante un abordamiento simbólico, etc. Estos resultados
deben enriquecer la didáctica contemporánea, al permitir que los alumnos desarrollen sus
propios estilos cognitivos y no llevarlos a optar por alguno en especial (Cantoral, 1993).
4.2.3 Pensamiento y lenguaje variacional
En lo referente al proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, existen diversas
teorías que tratan de explicar la forma en que dichos aprendizajes se desarrollan, ya sea
dentro del salón de clases o fuera de estos, otras que buscan establecer los procesos
cognitivos que son desarrollados por los alumnos durante las actividades que se les
proponen para tal fin, aquellas que buscan conocer las diferencias entre el saber que se
enseña en la escuela y el saber sabio o científico, así como también, teorías que intentan
proporcionar elementos para la elaboración de situaciones características que permitan la
apropiación de ciertas nociones o conceptos.
La corriente socioepistemólogica es una aproximación de naturaleza sistémica que trata con
los fenómenos de producción y difusión del conocimiento matemático tomando en cuenta
86
Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller
cuatro componentes: el epistemológico, el didáctico, el cognitivo y el sociocultural. Siendo
éste último el que proporciona la visión característica con que se aborda el estudio de tales
fenómenos, al tratar el desarrollo y evolución de éstos en el marco de un conjunto de
prácticas sociales dentro de las cuales los conocimientos toman significado y a raíz de las
cuales también es posible su génesis. Tenemos entonces que el aprendizaje y enseñanza de
las matemáticas constituyen una práctica humana pero también social (Cantoral, 2004). Así,
los aprendizajes de los alumnos toman una mayor riqueza de significados al enfrentarlos a
situaciones relacionadas con la vida cotidiana o relacionada con las acciones que se
aproximen a su vida social, dentro de las cuales se propicie interacciones entre los actores
del contexto dentro el cual se desenvuelven.
En marco teórico anterior se desarrolla una línea de investigación que permite tratar la
articulación entre las investigaciones y las prácticas sociales que dan vida a la matemática
de la variación y el cambio en los sistemas didácticos: el pensamiento y lenguaje
variacional (Cantoral, Farfán, 1998). Sin embargo, el lenguaje y pensamiento variacional
también constituye una ruta de desarrollo para abordar el estudio de las distintas nociones
de los conocimientos relacionados con la variación y el cambio:
Este pensamiento y lenguaje variacional estudia los fenómenos de enseñanza,
aprendizaje y comunicación de saberes matemáticos de la variación y el
cambio en el sistema educativo y en el medio social que le da cabida, pone
particular atención en el estudio de los diferentes procesos cognitivos y
culturales con que las personas asignan y comparten sentidos y significados
87
Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller
utilizando para ello diferentes estructuras y lenguajes variacionales. pp. 1
(Cantoral, 2004).
Si consideramos al cálculo como la disciplina que se encarga del estudio de la variación y
el cambio, el desarrollo de tal capacidad en los alumnos se vuelve una herramienta
poderosa para el estudio y comprensión de las nociones, conceptos, axiomas, teoremas y
resultados propios de esta materia, pero sobre todo y lo más importante, permitirá a los
alumnos la posibilidad de asignarle un mayor significado a los aprendizajes que adquieran,
así como comprender las ideas que le dieron origen a tales conceptos. Por ejemplo: la
derivada es definida en algunos libros de texto, y en ocasiones así enseñada, como la
pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto de su dominio. Esta
definición no permite al alumno apropiarse de la idea de la medición de la variación que
existe detrás de este concepto, al ser observada únicamente como un valor que se le asigna
a un punto de la función. En este sentido, señalamos entonces que las representaciones
(significantes) geométricas de ciertos conceptos, como éste de función derivada, quedan a
un nivel estático, útil sólo para trabajos o tareas de carácter geométrico y no, en un nivel
dinámico, susceptible de articular y activar relaciones.
Centrando al lenguaje y el pensamiento variacional como parte inherente del pensamiento
matemático avanzado, tenemos que dicho enfoque posee una doble orientación: además de
tratar la matemática de la variación y el cambio, también estudia a los procesos complejos
de pensamiento. Los resultados que se desprende de estas orientaciones permiten
enriquecer las situaciones de enseñanza de la escuela contemporánea.
88
Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller
Para comprender con mayor profundidad a lo que no referimos con el término variacional,
establezcamos la diferenta que existe entre la variación y el cambio, conceptos que en
ocasiones son llegados a manejar como sinónimos: La noción de cambio denota la
modificación de estado, de apariencia, de comportamiento o de condición de un cuerpo, de
un sistema o de un objeto; mientras que la variación, la estamos entendiendo como una
cuantificación del cambio, es decir, estudiar la variación de un sistema o cuerpo significa
ejercer nuestro entendimiento para conocer cómo y cuánto cambia el sistema o cuerpo
dado. Es en este sentido que nos referimos a los argumentos de tipo variacional. Decimos
que una persona utiliza o comunica argumentos y estrategias de tipo variacional cuando
hace uso de maniobras, ideas, técnicas, o explicaciones que de alguna manera reflejan y
expresan el reconocimiento cuantitativo y cualitativo del cambio en el sistema u objeto que
se está estudiando (Cantoral, et. al., 2005).
Una de tales estrategias que, por lo general, utilizan los alumnos cuando abordan el estudio
de cuestiones relativas al cálculo, y otras materias, es el aspecto gestual que éstos
entrelazan con las formas discursivas que utilizan al discutir sobre alguna noción. En lo que
respecta a la continuidad puntual, puede verse el trabajo de Aparicio y Cantoral (2006) en
donde reportan que los alumnos utilizan ambos aspectos (gestual y discursivo) como parte
de sus procesos de apropiación de tal noción, viéndose favorecido el aprendizaje con el
análisis de la dimensión gestual en articulación con lo discursivo.
En seguida, presentaremos una actividad tomada del articulo “Sociepistemología de la
predicción” (Cantoral, et al, 2005), que consideramos pertinente para ejemplificar algunas
estrategias y procesos variacionales.
89
Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller
A continuación se presentan tres tablas numéricas, la idea es:
a) Determinar cuál de estas tablas corresponde a una ecuación lineal, cuál a una
ecuación cuadrática y cuál a una ecuación cúbica.
b) Una vez determinado a qué tipo de ecuación corresponde cada una de las tablas
numéricas, se pide encontrar la expresión algebraica de cada una de estas ecuaciones.
x y x y x y
-3 -78 -3 -29.25 -3 624
-2 -57.75 -2 96 -2 404.25
-1 -40.5 -1 221.25 -1 243
0 -26.25 0 346.5 0 131.25
1 -15 1 471.75 1 60
2 -6.75 2 597 2 20.25
3 -1.5 3 722.25 3 3
De entre las estrategias utilizadas para dar respuesta a los cuestionamientos anteriores, la
mayoría de los profesores (se reporta que aproximadamente el 80%) utilizaban la
graficación para responder al primer cuestionamiento, sin embargo, la naturaleza de las
gráficas a las que dan lugar las tablas no permite distinguir con facilidad la gráfica de la
ecuación cuadrática y la gráfica de la ecuación cúbica. Mientras que para el segundo inciso,
los profesores procedieron generando sistemas de ecuaciones lineales para dar solución a
los que se les pedía.
90
Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller
La función lineal si bien es la más fácil de distinguir, debido a la naturaleza de su forma
gráfica, es de importancia central. Ella constituye una de las vías de involucramiento con la
actividad matemática planteada, y su estudio dentro del contexto de la actividad facilita el
surgimiento de las ideas, estrategias y argumentos variacionales.
En el caso de la función lineal, las ideas y técnicas que surgen con mayor frecuencia al
trabajar con la tabla de valores, se relaciona con la pendiente y variación, pues por su
naturaleza, una idea para identificar a la función lineal se basa en el cálculo de las
diferencias para cualquier par de ordenadas consecutivas, esto con la intención de
identificar una variación constante, y así indicar a dicha función. Otro modo de proceder es
mediante el cálculo de la ecuación ( )
ii yy −+1
( iiii
iiii xx
xxyy
yy −−
)−=− +
+
++ 1
1
11 para establecer una
ecuación de la recta que satisfaga los puntos establecidos en la tabla. Esta última forma de
proceder es un medio para dar solución al segundo inciso.
La estrategia anterior, surgida para el caso de las funciones lineales, nos permitirá en un
primer momento mostrar que la idea de variación en el ámbito numérico posibilita
establecer la gráfica que corresponde a un polinomio de segundo grado, al identificar la
tabla en la cual las variaciones son constantes en las segundas diferencias. Análogamente
para el polinomio de tercer grado. En un segundo momento, las ideas anteriores nos
permitirían crear un vínculo entre las ideas de variación y el concepto de derivada, el cual
parece haberse olvidado en el discurso matemático escolar debido a la transposición
didáctica.
91
Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller
El pensamiento y los argumentos variacionales que son puestos en juego en la forma de
proceder anterior, van creando en la mente de los alumnos estrategias por medio de las
cuales pueden abordar diferentes problemas, tanto dentro como fuera del cálculo,
proporcionándole además una forma de organizar sus esquemas de respuesta de forma más
propicia para el abordaje de conceptos que involucren ideas de cambio y variación. Esto
contribuye al desarrollo del pensamiento matemático en él.
En el ejemplo anterior, podemos darnos cuenta que la adquisición de un lenguaje y
pensamiento variacional requiere de espacios temporalmente prolongados en comparación
con el tiempo didáctico habitual (Cantoral y Farfán, 1998). Sin embargo, los beneficios en
la comprensión de las nociones de cálculo son “muy buenos”.
Veamos otro ejemplo tomado del libro “Desarrollo del pensamiento matemático” (Cantoral,
et al, 2003) referente al pensamiento y lenguaje variacional en el contexto gráfico. A través
de las respuestas a las actividades que se proponen se obtienen indicios sobre las estrategias
variacionales que los participantes utilizan y las formas como argumentan su elección
frente de sus compañeros.
Pregunta 1. Marca sobre la gráfica de la función que aparece enseguida la porción que
consideres que cumple con la condición 0)( >xf .
92
Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller
-2 -1 1 2
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
Para contestar a esta pregunta los alumno identifican el cuadrante en el que se encuentra
una determinada parte de la gráfica, marcando como positiva aquellas partes que se
localizan en los primeros dos cuadrantes.
Pregunta 2. Marca sobre la gráfica de la función que aparece enseguida la porción que
consideres que cumple con la condición 0)´( >xf .
-2 -1 1 2
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
93
Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller
Con frecuencia los alumnos confunden el signo de la derivada con el de la función y
utilizan este razonamiento para dar sus respuestas, en otro caso, recuerdan que las
pendientes de las tangentes a la curva determinan el signo de la derivada y utilizan este
hecho. Sin embargo, este cambio de registro utilizado para dar respuestas (de una pregunta
planteada en un contexto simbólico, la respuesta se construye en un contexto visual) es
complicado para el alumno, traduciéndose en un menor numero de respuestas correctas y
justificaciones escasas y muy escuetas.
Pregunta 3. Marca sobre la gráfica de la función que aparece enseguida la porción que
consideres que cumple con la condición 0)``( >xf .
-2 -1 1 2
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
El recurso dominante en las respuestas de los alumnos, resulta ser la memoria. Ellos suelen
recordar que la segunda derivada positiva se corresponde con la concavidad hacia arriba, en
tanto que la concavidad hacia abajo está asociada con la segunda derivada negativa. De esta
forma algunos estudiantes pueden contestar correctamente la pregunta, aún cuando no
dispongan de explicación alguna para confirmar su razonamiento. Los alumnos por lo
94
Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller
general no cuentan con algún otro argumento que permita enfrentar la situación planteada.
De hecho, es usual entre los alumnos disponer de un método mnemotécnico para establecer
estas correspondencias, "es cóncava hacia arriba entonces retienen mas agua, si lo es hacia
abajo retendrá menos agua, de hecho tirará el agua". Este símil es un recurso memorístico
que no parece implicar estrategias propiamente variacionales.
Pregunta 4. Marca sobre la gráfica de la función que aparece enseguida la porción que
consideres que cumple con la condición 0)( >′′′ xf .
-2 -1 1 2
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
Esta pregunta suele plantear un reto especial, tanto a los estudiantes como a los profesores,
pues aunque entienden efectivamente el enunciado del problema, no pueden construir una
respuesta que les parezca convincente. Se carece de elementos cognitivos y didácticos que
les permitan construir una respuesta adecuada. Es hasta este momento en que ellos se
encuentran en situación de aprendizaje, ya que la serie de tareas anteriores permitían,
aunque fuese sólo con recursos mnemotécnicos, dar una respuesta a las preguntas
planteadas. Empero esta última cuestión plantea una problemática no prevista por ellos, el
95
Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller
éxito en la pregunta radica en poder descifrar los códigos variacionales y articularlos en
signos variacionales, pues la respuesta habrá de ser construida. En este momento, los
estudiantes y los profesores suelen entrar en una situación de aprendizaje muy rica. Sólo
quienes han dominado algunas de las estrategias del pensamiento y el lenguaje variacional
pueden abordarla eficazmente. Como resultado de esta actividad se concluye que el manejo
simultáneo y coordinado de las derivadas sucesivas parece ser una condición sin la cual la
formación de la idea de derivada, y en consecuencia de la noción de predicción, deviene
inevitablemente frágil.
Para finalizar debemos comentar que el pensamiento y lenguaje variacional, como toda
actividad y estudio, requiere de algunas habilidades previas por parte de los estudiantes,
como por ejemplo, se supone el dominio de la matemática básica y las formas de
pensamiento asociadas, así como el rompimiento con formas de pensamiento prevaracional,
como es el caso del pensamiento algebraico. Además, se precisa del manejo de un universo
de gráficas extenso y rico en significado (Cantoral y Farfán, 1998).
4.2.4 La noción de transferencia
Otro problema con la enseñanza de las matemáticas resulta del hecho de que los
“aprendizajes” logrados por los estudiantes, en la mayoría de los casos, sólo pueden ser
aplicados en situaciones similares a aquellas en las que fueron enseñados y aprendidos. Este
escenario no permite el logro de aprendizajes significativos que ayuden al alumno a
progresar dentro de la misma asignatura o en otras donde ellos son importantes y útiles. Al
alumno sólo se le muestran los algoritmos y procedimientos deben seguir, los cuales se
relacionan con los conceptos que aprenden. No se le muestra las ideas que hay detrás ellos
96
Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller
o las condiciones que posibilitan su aplicación. Al respecto, Cantoral y Mirrón (2000)
(citados en Zúñiga, 2002) señalan:
“…la enseñanza habitual del análisis matemático logra que los estudiantes
deriven, integren, calculen límites sin que sean capaces de asignar un sentido
más amplio a las nociones involucradas en su comprensión. De modo que aún
siendo capaces de derivar una función no pueden reconocer en un cierto
problema la necesidad de derivación…”.
La transferencia del conocimiento puede entonces ser entendida como la capacidad de los
alumnos de utilizar un conocimiento que han aprendido en un contexto determinado, en
otros que difieren sustancial o parcialmente del inicial. Por ejemplo, tomemos la noción de
función. El alumno además de poder identificar y establecer funciones en el dominio
matemático o en problemas de orden matemático, también debe ser capaz de hacer lo
mismo en otros contextos como pueden ser la química, la medicina, las ciencias sociales,
etc.
Por otra parte, la noción de transferencia del conocimiento no únicamente se aplica en lo
que se refiere a llevar el conocimiento matemático a otros contextos o ciencias, idea muy
arraigada en el pensamiento de los profesores, sino que también implica la aplicación del
aprendizaje previo como ayuda al aprendizaje subsiguiente dentro de la matemática
(Aréchiga, 1998).
Uno de los grandes retos del sistema educativo es lograr que los aprendizajes que los
alumnos adquieren en la escuela puedan ser aplicados a situaciones fuera de ellas, es decir,
97
Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller
propiciar la transferencia del conocimiento escolar a otros ámbitos. Tal es la importancia
que se le atribuye a éste hecho que, si se atienden los reportes a este respecto, se puede
vislumbrar que a escala mundial existe un consenso referente a la eficiencia de los
aprendizajes escolares en el sentido de que existe un vínculo entre la calidad de la
educación con la cantidad y calidad de la transferencia de los aprendizajes (Gómez, 2003)
De poco sirve un aprendizaje que viva solamente en un contexto determinado o en una
situación particular. El aprendizaje y la creación de nuevo conocimiento en los humanos se
constituye cada día al ir adaptando lo que saben a las nuevas situaciones que se le van
presentando.
González (2003), en su trabajo reporta que los estudiantes de economía de la Escuela de
Economía de la Universidad Central de Venezuela presentan dificultades para transferir los
conocimientos que aprenden en sus cursos de matemáticas, en este caso, de álgebra lineal, a
la resolución de problemas de economía. Ellos no son capaces de plantear
matemáticamente los problemas, pero una vez planteados son capaces de resolverlos sin
grandes problemas. Entre las causas que la autora reporta de tal fenómeno se encuentran:
♦ Enseñanza de la matemática en forma memorística. Durante la enseñanza media
prolifera el aprendizaje memorístico y mecanicista, donde se aplican los saberes
matemáticos en la resolución de “problemas” de forma similar a como se sigue un
recetario de cocina. Esta forma de aprendizaje continua hasta el nivel superior,
donde se observa la tendencia de los alumnos a memorizar contenidos y poca
presencia de razonamiento.
98
Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller
♦ Proceso de enseñanza centrada en el maestro o profesor. Por una parte se encuentra
la forma en como los profesores imparten sus clases; por medio de exposiciones
donde ellos son los poseedores del conocimiento y quienes monopolizan la
selección de las actividades de enseñanza. Por la otra, la actitud apuntista de los
alumnos hace que descuiden las explicaciones que se dan, además, en muchas
ocasiones esos apuntes son realizados de forma incorrecta o incompleta, y si
agregamos que sólo de ahí se basan para su estudio, esto genera lagunas en el
conocimiento de los alumnos.
♦ Curso con falta de un diseño instruccional sistemático. No existen indicaciones
sobre cómo tratar la materia, lo que genera un tratamiento tradicional de la misma y
que no existan actividades que desarrollen la habilidad del alumno en la resolución
de problemas y la transferencia de conocimiento, así como la creatividad del
estudiante.
En relación a las causas anteriores, la autora establece que la transferencia del conocimiento
matemático a la economía, o cualquier otra rama del saber, exige dominio de los contenidos
y una visión más allá de una rutina de resolución de problemas. Si el profesor es quien
explica los problemas, el alumno no desarrolla capacidad de razonamiento, y al momento
de la evaluación para determinar el contenido matemático a utilizar para abordar alguna
situación, el alumno no tiene esa capacidad desarrollada, por lo cual tampoco la
transferencia de la matemática a otra ciencia.
Esto nos muestra la importancia de cambiar el seguimiento clásico de la clase; teoría-
teoremas-demostración-ejemplos, así como la inclusión de diversos contextos en los que se
99
Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller
apliquen los conocimientos bajo estudio, para permitir al alumno una visión amplia y
generalizada de la forma que esos conocimientos toman en cada uno de ellos, esto con el
fin de ir desarrollando la habilidad de transferencia del conocimiento.
4.3 Desarrollo de la secuencia didáctica
Las funciones reales de variable real fue el tema elegido para el desarrollo del diseño
didáctico que formó parte del curso-taller.
Es complejo lograr que los alumnos comprendan el concepto de función. La enseñanza de
este concepto pone gran énfasis en su gráfica, en la expresión que se le puede asignar en un
momento dado y/o en sus propiedades, descuidándose la idea de relación entre variables
que constituye al concepto. De ahí que uno de los ejercicios clásicos del tema de funciones
consiste en hallar el valor de una función al evaluar ciertos números, ejercicio con el cual se
espera que los alumnos interioricen correctamente las ideas de relación y dependencia que
en ella se presentan. Considérese como ilustración, lo siguiente:
)2(1
f⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
21fSea para todo real 1)( += xxf x . Calcular: , )2(f )2(−f )2(f− , , , ,
, )()(
bfaf),( baf + )()( bfaf + .
Otros profesores creen que es suficiente enunciar la definición del concepto para que éste
sea comprendido, al no existir mayores complicaciones notacionales en dicha definición.
Sin embargo, como señalan Farfán y García (2005), el estudio del concepto de función
100
Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller
resulta complejo, pues es un objeto muy elaborado que es producto de numerosas
generalizaciones.
Las funciones constituyen uno de los principales elementos sobre los que se fundamenta el
desarrollo actual del cálculo, lo cual puede ser observado durante el estudio de las
diferentes nociones y conceptos propios de esta disciplina. La comprensión y dominio de
este concepto propicia la adquisición de habilidades potenciales para comprender temas
posteriores tales como derivadas, límites, integrales, etc. Por ejemplo, la derivada de una
función en un punto determinado nos permite establecer una relación entre dicho punto y la
derivada, relación que da origen a una nueva función, a partir de la cual puede obtenerse el
valor de la derivada en cualquier punto de la función original, es decir, el estudio de las
variaciones de un fenómeno puede ser reportado por medio de una función que nos permita
predecir y analizar esas variaciones.
El aprendizaje de las funciones se ve favorecido por un tránsito entre las múltiples
representaciones de éste concepto, al permitir una comprensión más rica e integral del
mismo (Gatica, Tauber, 2002). Por lo general, en la escuela, durante las primeras
aproximaciones al concepto de función, este tránsito entre representaciones parece
restringirse a un sólo sentido: del analítico (expresión algebraica) al gráfico, auxiliándose
para lograr dicho traslado en el registro tabular. Esta característica pudiera ser el resultado
de considerar a la representación gráfica como el hecho principal del estudio de una función
(Bagni, 2004). En general, en la práctica didáctica, la representación gráfica de las
funciones tiene un papel destacado, no obstante, esto no excluye la posibilidad y la
101
Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller
oportunidad de un amplio uso de otros registros (por ejemplo, el uso del registro simbólico,
verbal, gestual).
Las gráficas de las funciones y otras ecuaciones son utilizadas como auxiliares en la
explicación de los conceptos de cálculo; son un medio de significación de objetos
matemáticos como definiciones, teoremas, etc. (Cantoral, Montiel, 2001). Por ejemplo, en
las clases y en los mismos libros, es posible notar gráficas como la de la figura 5 para
ejemplificar a la derivada como la pendiente de la recta tangente que pasa por un punto.
Figura 5
( ))(, hafha ++
))(,( afa
B’ B
y
A
xa
)(af
)( haf +
ha +
4.3.1 Problemas en el aprendizaje de las funciones
El rol central de la representación gráfica de las funciones, ha generado algunos obstáculos
para que los alumnos logren comprender la noción de función (Bagni, 2004). Este papel
protagónico de la representación gráfica fija en la mente de algunos estudiantes la idea de
que una expresión para ser función debe poder ser graficada, pero además, debido al uso de
gráficas continuas como herramientas para la explicación de otros conceptos, se favorece la
102
Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller
aprehensión de la idea de que las funciones poseen la característica de tener gráficas
“continuas” (Bagni, 2004; Ochoviet, et al, 2006; Aparicio, Cantoral, 2006).
Por otra parte, otra fuente de errores lo constituye la expresión analítica que casi siempre se
asocia a la relación que da lugar a la función. Los alumnos no llegan a considerar como
verdaderas funciones a aquellas definidas a trozos, debido a que no están conformadas por
una única expresión analítica, muchos consideran que ellas representan a varias funciones.
Por otra parte, si ellos no vislumbran variables en la expresión analítica que define a la
función, no la aceptan como tal, por ejemplo, 2)( =xf no es considerada como una
función.
Otro problema derivado de la excesiva valoración que se le da a conexión entre las
funciones y su representación gráfica, es la subvaloración del dominio de la función. Bagni
(2004) menciona que “si el aspecto para definir una función, es la misma presencia de la
curva trazada en el plano cartesiano, la indicación explícita del dominio de tal función
puede parecer absolutamente superflua: la función f “existiría” si y sólo si el gráfico
cartesiano de y = f(x) “puede diseñarse” y eso podría erróneamente sustraer significado a
la indicación del dominio”.
La expresión del dominio de una función es una parte esencial de la definición de función.
Sin embargo, las funciones se indican sólo con una simple fórmula sin referencia a su
dominio. Por ejemplo:
1)(
+=
xxxf Encuentre y para )2( hf + )( hxf +
103
Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller
Por otra parte, Artigue (1995c) describe algunas otras dificultades relacionadas con el
estudio de las funciones: el propio concepto de función, su flexibilidad proceso-concepto,
el estatus de herramienta y las articulaciones de los registros simbólicos (este último
también observado por Bagni (2004)).
En lo que respecta al concepto de función, se menciona que se han detectado dificultades
para la identificación de lo que en verdad es una función. Dentro del marco de los enfoques
conjuntistas con los que se trata esta noción, se muestran las brechas entre las definiciones
dadas por los estudiantes y los criterios utilizados para reconocer una función (Vinner,
1983, citado en Artigue, 1995c). Por ejemplo: en algunos libros de texto, como el “Calculo
de una variable. Transcendentes tempranas” de Steward (2003), se da la siguiente
definición de función:
A“Una función es una regla que asigna a cada elemento f de un conjunto x
exactamente un elemento, llamando , de un conjunto )(xf B .”
Mientras que se describe una forma de determinar una función en el registro de
representación gráfico como sigue:
“Una curva en el plano xy es la gráfica de una función si y sólo si, ninguna
recta vertical se intersecta con la curva más de una vez”
Esto muestra que los criterios para determinar la existencia de una función giran en torno
no a la definición, sino alrededor de prototipos comunes, en este caso, a la asociación
104
Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller
función - curva regular. Ello puede ser la causa de que los alumnos no identifiquen como
función a relaciones como para Ν∈xxxg 2)( = .
Respecto a la flexibilidad proceso-objeto, se menciona que existe dificultad para lograr ver
a la función como un “proceso” y como una “entidad conceptual”, ambivalencia requerida
para trabajar en cálculo a partir de un cierto nivel.
También se han encontrado dificultades para considerar a las funciones verdaderas
herramientas, lo cual podemos notar con mayor énfasis al tratar de llevar las funciones a un
problema planteado en otros contextos matemáticos o no matemáticos, y que necesitan tal
traslado para ser resueltos.
Por último, se señalan diversos problemas en lo que respecta a la articulación entre los
diversos registros de representación de la noción de función. Una causa de tales dificultades
lo es la forma de desarrollar la enseñanza, otorgándole un gran predominio al registro
algebraico y darle un papel herramental al registro gráfico.
4.3.2 Desarrollo histórico del concepto
La definición formal del concepto de función ha sido el resultado de un sin número de
ajustes a través de la historia, la cual ha tenido que irse modificando desde sus primeras
definiciones y usos para adaptarse a los avances y estudios que se realizaban de éste y otros
temas. Esto vuelve al concepto mismo y a su definición, un complejo conjunto de
abstracciones, dentro de las cuales se han perdido las concepciones intuitivas y originales
105
Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller
que los vieron surgir, estructurándose una idea de gran generalidad que le da cabida en un
sin número de situaciones, complejidad que a simple vista no es perceptible.
En las culturas de la antigüedad, como la griega y la babilonia, podemos encontrar el uso de
las funciones de un modo intuitivo. Los babilónicos registraban por medio de tabulaciones
sus observaciones de los fenómenos naturales, dentro las cuales buscaban regularidades con
la intención de realizar predicciones de los mismos, llevándolos a intentos de aritmetizar
tales observaciones (Farfán, García, 2005). De este modo utilizaban a las funciones como
relaciones que permitían comprender y describir el mundo que los rodeaba. También los
mismos babilonios utilizaban tablas en las cuales relacionaban números con sus cuadrados,
números y sus raíces cuadradas, etc., surgiendo también las funciones como relaciones
entre números (Hitt, 1987).
En la antigüedad la idea abstracta de variable no existía, las cantidades se describían
verbalmente o por medio de gráficas (Sastre et al, 2005). Además, al considerar los griegos
al movimiento y el cambio como entidades fuera de las matemáticas, ellos se veían en la
necesidad de hablar en términos de incógnitas e indeterminadas. Lo cual según Ruiz
(1998), citado en Farfán y García (2005), conduce a las proporciones y a las ecuaciones
más que a las funciones. Esto constituye uno de los primeros obstáculos para el desarrollo
de la noción de función.
La Edad Media se caracterizó entre otras cosas, por el intento de dar una explicación a los
fenómenos naturales, desarrollándose las bases para la modelación matemática. Durante los
siglos XV y XVI se realiza la diferenciación entre variable de una función e incógnita de
una ecuación, Ruiz (1998) citado en Farfán y García (2005), lo cual repercutiría de manera
106
Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller
favorable en la estructuración de la noción de función. Por otra parte, Galileo, siguiendo
con los procesos de modelación matemática contribuye a la evolución de éste concepto. Al
parecer la intención de Galileo era relacionar las causas y efectos de los fenómenos, cuya
necesidad de establecer la concepción de variable independiente y de variable dependiente
parecía ser el paso siguiente. En este período la función se definía mediante una descripción
verbal de sus propiedades específicas o mediante un gráfico (Sastre et. al., 2005).
Es a finales del siglo XVI y durante el siglo XVII, cuando las funciones se comienzan a
representar mediante fórmulas algebraicas, esto favorecido por lo desarrollado por
Descartes y Fermat en la geometría analítica. Este hecho posibilitó que el desarrollo de la
aritmética y el álgebra no siguieran dependiendo enormemente de los resultados y
representaciones geométricas. Youschevitch (1976), citado en Farfán y García (2005),
señala que es aquí donde por primera vez se establece que una ecuación en e yx
representa una dependencia entre dos cantidades. Esto abre el camino para el desarrollo de
la teoría de las funciones.
La noción formal de función se va desarrollando aun más con los trabajos de Newton sobre
las primeras y últimas razones y el método de fluxiones, así como los de Leibnitz sobre el
cálculo de diferenciales. Aunque ellos no hacen uso explícito de las funciones, pues
desarrollaron su cálculo infinitesimal trabajando sobre curvas y variables, el concepto de
función va creciendo en importancia al relacionarlo con el análisis de las relaciones entre
las operaciones sobre la variable x y el comportamiento de una variable dependiente
(Bagni, 2004). La expresión función aparece en una obra de matemática de Leibnitz en
1673, en “métodos tangentium inversa seu de functionibus”. Él utilizaba este término para
y
107
Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller
referirse a cualquier cantidad que varía de un punto a otro de una curva, como por ejemplo
la longitud de la tangente, la normal y la ordenada, estableciendo por ejemplo que “una
tangente es una función de la curva” (Sastre et. al., 2005).
Por su parte, Leonard Euler rechazó los argumentos geométricos como medio para
fundamentar los resultados de los infinitésimos que establecieron Newton y Leibnitz,
fundando el tema sobre una teoría formal de funciones. En su “Introducition a L’analyse
infinitésimale” él define a una función como:
“Una función de una cantidad variable es una expresión analítica formada
arbitrariamente con esta variable y con números o cantidades constantes”
Donde por “expresión analítica formada arbitrariamente” está aceptando el uso de
operaciones algebraicas y operaciones trascendentes como exponenciales, logarítmicas,
trigonométricas e incluso derivadas e integrales, admite la extensión de éstas al infinito, así
como la posibilidad de que las constantes sean incluso números complejos.
Es Bernoulli el que introduce el símbolo “ ” para representar a las funciones, el cual
evolucionó con Euler a “ ”.
fx
)(xf
Posteriormente este concepto siguió evolucionando, el problema de la cuerda vibrante
representa un parteaguas sobre el de las funciones que se manejan hasta esa época.
Precisamente aquí, Euler se vio en la necesidad de generalizar la definición de función,
tomando en cuenta funciones arbitrarias, especiales, no derivables actualmente (con picos),
a las que él llamó discontinuas o mixtas (Farfán, García, 2005), donde el término
108
Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller
discontinua lo utilizaba para referirse a funciones que no tienen una ecuación conocida,
incluso aun siendo continuas en el sentido moderno. El mayor efecto que produjo este
problema fue extender el concepto de función, de modo que se aceptará como tal, a
aquellas funciones definidas por expresiones analíticas a trozos, así como a funciones con
gráfico y sin expresión analítica (Sastre et. al., 2005).
Otro problema que contribuyó al desarrollo del concepto de función, lo constituye aquella
afirmación del siglo XVIII que se aceptaba sin demostración: “Si dos expresiones
analíticas coinciden en un intervalo, ellas coinciden en todas partes”. En esta época,
Fourier estableció, sin demostrar, que dada una función, él podía desarrollarla en un
intervalo apropiado mediante una serie trigonométrica. Esto rompió con la idea anterior,
pero permitió ver a la función como correspondencia entre dos conjuntos de números
independientes, pero limitando esto a funciones con gráfica continua.
Dirichlet, en 1829, estableció las condiciones suficientes para que el resultado de Fourier
fuera posible y definió a la función como:
y es una función de la variable x“… , definida en el intervalo , si
para todo valor de la variable
bxa <<
x en ese intervalo, le corresponde un valor
determinado de la variable . Además, es irrelevante como se establece esa
correspondencia” (Sastre et. al., 2005).
y
Y es a partir de sus trabajos que la noción de función se libera del concepto, expresión
analítica. Posteriormente, la Teoría de Conjuntos iniciada por Cantor, provoca una nueva
evolución del concepto función:
109
Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller
“toda correspondencia arbitraria que satisfaga la condición de unicidad entre
conjuntos numéricos o no numéricos” (Sastre et. al., 2005).
Con los desarrollos en algebra y topología, el grupo Bourbaki (1939), definió al concepto
función, en forma semejante a la dada por Dirichlet (Yousvhkevitch (1976), citado en
Sastre et. al., 2005):
“Sean E y dos conjuntos, que pueden o no ser distintos. Una relación entre
un elemento variable
F
Ex de y un elemento variable de , se llama
relación funcional en y, si para todo x en
y F
E , existe un único en el cual
está en la relación dada con
y F
x . Damos el nombre de función a la operación
que de esta forma asocia cada elemento en E con el elemento yx en que
está en relación con
F
; se dice que y es el valor de la función en el elemento x
x , y se dice que la función está definida por la relación dada. Dos relaciones
funcionales equivalentes determinan la misma función “.
Dado el recorrido histórico anterior, podemos notar que las funciones tienen su origen sobre
fenómenos ligados a la naturaleza, en donde las funciones les servían para estudiar y
realizar predicciones de tales fenómenos, para lo cual debían establecer las dependencias de
los sucesos y los elementos que forman parte de ellos. Idea que con el transcurso y
evolución de las matemáticas tuvo que ir transformándose para adaptarse las funciones a
situaciones más complejas dentro de la propia matemática, hasta llegar a su definición
formal conjuntista.
110
Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller
El cálculo se ocupa del estudio y tratamiento de fenómenos asociados a la naturaleza, en
este contexto, la nociones de límite y función son pieza importante, sin embargo, al llegar a
la definición actual de función (conjuntista) se pierde la parte vivencial, sensorial-
experimental del cálculo y se busca en su lugar, evitar estos enfoques y amarres en su
enseñanza.
4.3.3 Tratamiento en los libros de texto
En los libros de texto, las funciones por lo general son estudiadas como relaciones entre
conjuntos o pares ordenados. En lo siguiente se analizarán la forma que algunos libros, que
se utilizan en la Facultad de Matemáticas para la enseñanza del cálculo, presentan el tema
de funciones. Se revisarán tres libros: el “Apostol”, el “Spivak” y el “Stewart”.
♦ Apostol, T. Calculus. Cálculo con funciones de una variable, con una
introducción al álgebra lineal. Vol 1. (1982)
En la introducción al tema se habla de la función como una relación entre conjuntos de
objetos. Se mencionan algunas relaciones de forma cuantitativa que pueden observarse en
nuestro entorno; “en los periódicos es posible observar gráficos, tablas, fórmulas, encuestas
de opinión, etc.”. Aquí también se dan algunos ejemplos de relaciones que describen
funciones, entre ellos el siguiente:
Se dice que el volumen de un cubo es función de la longitud de sus aristas. Si las
aristas tienen longitud , el volumen está dado por la fórmula 3xV =x
111
Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller
De esta forma, se busca que los alumnos visualicen el uso de las funciones en su entorno,
para posteriormente proporcionar una definición de función, que se aclara no es formal y
constituye una primera aproximación al concepto.
Dados dos conjuntos de objetos, el conjunto X y el conjunto Y, una
función es una ley que asocia a cada objeto de X uno y sólo un objeto de
Y. El dominio X se denomina el dominio de la función. Los objetos de
Y, asociados con el objeto en X forman otro conjunto denominado el
recorrido de la función (pp. 62)
Esta definición conjuntista posee un gran nivel de abstracción para ser comprendida. Los
alumnos por lo general no comprenden a que se refieren esos conjuntos X y Y y no logran
asociar una función entre conjuntos de objetos que no sean números, además, la palabra
“ley” está asociada en la mente del alumno a una relación que debe ser aplicada y cumplida
por todos, así como a una regularidad que es conocida, provocando que algunas relaciones
no sean considerados como funciones.
Dentro de los ejemplos, que se proporcionan de funciones, se presenta uno que no posee
gráfica continua y que tampoco cuenta con una expresión algebraica que lo represente. Lo
cual puede contribuir a incidir en cierta medida en algunos de los problemas mencionados
antes (ver el apartado correspondiente).
( )xπLa función número primo. Para cualquier , sea 0>x el número de
números primos menores o iguales a x . El dominio de π es el conjunto de los
números reales positivos. Su recorrido es el conjunto de los enteros no negativos
{0, 1, 2,…}
112
Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller
Se proporcionan dos representaciones esquemáticas del concepto de función. En la primera
(figura 6) los conjuntos X Y y están formados por puntos, y una flecha indica cómo se
aparea un punto arbitrario Xx de con su imagen de )(xf Y . Otra forma de ilustrar el
concepto función, es como una máquina en la cual los objetos del conjunto X se
transforman para producir objetos del conjunto Y (figura 7). Interpretaciones que no
permiten ver las relaciones que existen entre los elementos de los conjuntos.
f(x)
Y
x
X
f
f(x)
x
f
Figura 6 Figura 7
Posteriormente existe un apartado donde se establece la definición formal del concepto de
función.
Una función f es un conjunto de pares ordenados (x, y) ninguno de los
cuales tiene el mismo primer elemento. (pp. 65)
Se establece que el conjunto de los elementos de x se llama dominio de f. El conjunto de
segundos elementos y se denomina recorrido de f, o conjunto de valores de f. Para esta
nueva definición se establecen ejemplos de funciones continuas y definidas por una sola
expresión algebraica.
113
Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller
Esta forma de definir a la función resulta difícil de comprender por parte del alumno, pues
carece en su totalidad de indicios que le permitan percatarse de relación alguna entre los
elementos que forman los pares ordenados. Noción que es de vital importancia que el
alumno atienda, pues constituye la idea central sobre la que descansa el concepto de
función.
xComo resultado de esta definición se establece que a cada valor de le corresponde un
único valor de y , constituyendo esto una forma para discriminar entre una función y algo
que no lo es, pues resulta que no puede existir un valor de x con dos valores distintos de
, sin embargo, no se aclara el porque de esto y tampoco la definición del concepto lo
permite. Esto es aceptado por “imposición” o convicción y no por una verdadera
comprensión.
y
♦ Stewart, J. Calculo de una variable. Transcendentes tempranas (2003)
Al iniciar el tema se introduce la idea de relación: “las funciones surgen siempre que una
cantidad depende de otra”. Inmediatamente se presentan una serie de ejemplos en donde es
posible analizar dichas dependencias.
rEl área de un círculo depende del radio del mismo. La regla que relaciona r
con A se expresa con la ecuación . Con cada número positivo 2rA π= r existe
asociado un valor de y decimos que es función de r . A A
El costo para enviar por correo una carta de primera clase depende de su
peso . Aún cuando no existe una fórmula sencilla que relaciona con C , la
oficina de correos tiene una regla para determinar C cuando se conoce .
C
w w
w
114
Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller
Posteriormente se presenta la definición de función.
Una función es una regla que asigna a cada elemento f x de un
conjunto exactamente un elemento, llamado , de un conjunto A )(xf B .
(pp. 12)
Se establece que el conjunto se llama dominio. El rango de es el conjunto de todos
los valores posibles de , conforme
A f
)(xf x varia en todo el dominio. Los valores del
dominio representan las variables independientes y los valores del rango, las variables
dependientes.
Aún cuando en los ejemplos, el alumno sea capaz de identificar las relaciones y
dependencias que existe entre las variables, es difícil pensar que identifique la presencia de
conjuntos a los que pertenecen los valores que van variando. Lo cual puede en un momento
dado, provocar que no se tengan bases suficientes para significar la definición de la
función.
Al igual que en el libro de Apóstol, también se realizan la representaciones de la función
como una máquina y como un diagrama de flecha (sagital), agregándose aquí una tercera
representación, la gráfica dada por el conjunto de parejas ordenadas ( )( ){ }Axxfx ∈,
(figura 7).
115
Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller
Figura 7
)2(f)1(f
1 2 xx
)(xf
y
( ))(, xfx
Posteriormente se establece la prueba de la línea vertical como medio para determinar si
una expresión es una función o no.
Una curva en el plano xy es la gráfica de una función de x si y sólo si
ninguna recta vertical se intersecta con la curva más de una vez. (pp. 18)
xDe nuevo, en esta prueba de la línea vertical, las ideas de relación entre los elementos y
y no son expresadas de forma directa, es decir, en la forma de identificar si una función lo
es o no, no se vislumbra la necesidad de la idea central de esta noción “las relaciones”.
Lancemos la siguiente pregunta ¿qué sucede si la línea vertical trazada no corta a la
curva? Cuestionamiento que puede causar problemas en más de un alumno.
En temas posteriores, se estudia a las funciones seccionalmente definidas, considerándose
como funciones especiales, situación que puede alentar a que no sean aceptadas por todos
como verdaderas funciones. Creemos que éstas deben ser presentadas desde un principio
116
Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller
pues enriquecerán y serán de gran ayuda para lograr que los alumnos presten mayor
atención a las ideas de dependencia y correlación entre las variables.
♦ Spivak, M. Cálculo infinitesimal. (2001)
El concepto de función también es explicado como una relación y es definida
provisionalmente como:
Una función es una regla que asigna a cada uno de ciertos números reales
un número real. (pp.49)
Se proporcionan los siguientes ejemplos:
La regla que asigna a cada número su cuadrado.
La regla que asigna a todo número el número 0 si es irracional y el número
1 si es racional.
a a
17
2ππ36La regla que asigna a 2 el número 5, a 17 el número , a el número 28, a
17
2ππ36
π36 el número 28, y a todo ,2≠y 17, , ó , el número 16 si y es de la
forma con a y b en . Q2ba +
Sin embargo, se menciona que una cosa debe quedar clara con los ejemplos: una función es
una regla cualquiera que hace corresponder a ciertos números otros, no necesariamente
una regla que pueda ser expresada mediante una fórmula algebraica, ni siquiera una
condición uniforme aplicable a todo número; ni es tampoco necesariamente una regla a la
117
Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller
que sea posible encontrar una aplicación en la práctica. Más aún, la regla puede
prescindir de algunos números y puede incluso no estar del todo claro a qué números se
aplica la función. Esta aclaración nos parece importante dada la forma en que se definió
provisionalmente al concepto de función. Señalaremos dos aspectos que abstraemos de los
ejemplos y la observación que hace el autor sobre ellos. En primer lugar, para alguien (en
este caso un estudiante) que se está iniciando en el estudio del cálculo, ciertamente los
ejemplos muestran variedad, es decir, la posibilidad de tener un conjunto bastante grande y
diverso de funciones (tantas como reglas pueda definir), sin embargo, esta diversidad en sí
misma encierra un mensaje implícito, a saber, lo complejo del concepto y lo difícil que será
para quien lo estudie, lograr dominarlo. En efecto, pues el segundo aspecto que
señalaremos da muestra de ello. El autor se toma la molestia de indicarle al lector tal
complejidad, misma que hemos descrito en el recorrido histórico sobre la evolución del
concepto de función, por ejemplo, que una función no es una fórmula necesariamente, entre
otras. Así, se ha querido evitar que los alumnos o lector pase, sufra o cometa los errores sui
generis sobre tal concepto. Empero, ¿es esto suficiente?
Se muestra la necesidad de contar con una notación para las funciones, estableciendo que si
es la función, entonces, el número que asocia con f f x se designará por , que se lee
valor de en
)(xf
f x .
En el libro se hace una aclaración con respecto a la notación utilizada para representar a la
funciones: si el dominio no se restringe más, se sobreentiende formado por todos aquellos
número para los cuales la definición tiene sentido. Por ejemplo: Una definición tal como
118
Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller
111)(−
+=xx
xk1,0,1
11)( ≠−
+= xxx
xk ; puede abreviarse poniendo . Pero una
definición como , 3
17 π≤≤− x2)( xxr = , no puede abreviarse. Esto es señalado como
una fuente de falta de significación del dominio de una función, por lo cual debe tomarse en
cuenta.
Conforme se avanza en el estudio de la funciones, se hace ver la necesidad de cambiar la
definición dada en un principio, estableciéndose como adecuado definirla en término de
pares ordenados.
( )1333)( 3 +−++= xxxxfLas expresiones y 3)( xxf = ciertamente son reglas
distintas, si por regla entendemos las instrucciones que se dan para determinar
y que sin embargo queremos que definan la misma función. )(xf
Se menciona que no cualquier colección de pares ordenados puede ser función.
Llegando a la siguiente definición:
Una función es una colección de pares ordenados de números con la
siguiente propiedad: si ( )ba, y ( )ca, pertenecen ambos a la colección,
entonces ; en otras palabras, la colección no debe contener dos
pares distintos con el mismo primer elemento. (pp. 60)
ba =
Para posteriormente establecer la definición formal.
119
Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller
Si f es una función, el dominio de f es el conjunto de todos los a para los
cuales existe algún b tal que ( )ba, esta en f. Si a ésta en el dominio de f,
se sigue de la definición de función que existe, en efecto, un número b
único tal que esta en f. Éste b único se designa por ( ba,
) ( )af . (pp.60)
Se menciona que ésta definición resulta una abstracción muy difícil de captar, por lo que el
lector puede seguir imaginado una regla. Pero que indistintamente de ver a la función con
su definición intuitiva o con la formal, la mejor manera de representar una función es
haciendo dibujitos. Como resultado se destina un capítulo a la graficación.
Se menciona también la prueba de la recta vertical, la cual se explica de la definición de
función como par ordenado; dos puntos sobre la misma vertical corresponden a pares de la
forma y y, por definición, una función no puede contener ( y si
. Viceversa, si un conjunto de puntos del plano tienen la propiedad de que no hay dos
puntos situados sobre la misma vertical, entonces dicho conjunto es la gráfica de una
función. Se considera que las líneas verticales no necesariamente cortan a la gráfica, pues
su dominio puede no ser todo ℜ . Aunque aquí existe la aclaración de que la línea vertical
no necesariamente debe cortar a la gráfica, aún no se contemplan las ideas de relación y
variabilidad para determinar cuándo algo es función o no.
( ba, ) )),( ca ),( caba,
cb ≠
Este libro si bien parece cubrir algunos aspectos que los otros no y discutir dificultades que
se habían señalado en el apartado anterior. El elevado nivel de abstracción que maneja
resulta, una problemática, que puede causar un mayor número de perjuicios que de
beneficios.
120
Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller
Aún cuando en un principio los tres libros tratan de abordar a las funciones como
relaciones, dando algunos fenómenos para ejemplificar esto, podemos observar que estas
ideas son prontamente abandonadas para dar paso a la definición formal del concepto de
función y abordar su estudio posterior por medio de ella. Otro aspecto en común que
pudimos observar, es la ejemplificación de relaciones a través de la búsqueda de áreas o
volúmenes, siendo éstos temas que los alumnos ya dominan y por tanto son fácilmente
comprendidos, sin embargo resultan insuficientes para lograr una adecuada significación de
las relaciones que se establecen en las funciones, debido a las grandes diferencias con que
los alumnos han utilizado esos temas anteriormente. Por ejemplo, los alumnos han siempre
realizado el cálculo de área y volúmenes de figura que poseen medidas fijas, estáticas. Por
lo cual, ellos pueden no vislumbrar la variación y dependencia que se establecen
intrínsecamente en los ejemplos que los libros proporcionan.
4.3.4 Diseño de la secuencia didáctica
Para el diseño de la secuencia didáctica pensamos en desarrollar la noción de función
considerando su origen como un medio para plantear, pedir, producir, reproducir
dependencias o conexiones entre variables acontecidas en el mundo físico, mental o social,
y entre ellos (Freudhental, 1983; citado en Bonacina, et al, 2004). Se optó por presentar un
problema dentro del cual se tuviera que establecer relaciones entre cantidades que varían,
esto como medio para solucionar una cuestión específica. Se pensó en un problema
relacionado con planes tarifaros de energía eléctrica, más específicamente, la valoración de
la conveniencia de las tarifas para las personas.
121
Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller
El diseño didáctico constó de dos actividades. La primera pensada para lograr que el sujeto
desarrollara la idea de relación entre variables. La segunda, que era en cierto sentido una
generalización de la primera, buscaba el desarrollo de las ideas de dominio y rango. En
ambas, se fomentaba un tránsito entre diversas representaciones del concepto: verbal,
tabular, analítica y gráfica.
En la primera actividad se atiende el análisis de la conveniencia del cambio de tarifas para
una persona en particular, se ofrece como información una descripción general de las
características de la nueva tarifa y ejemplos sobre el importe a pagar según determinados
consumos realizados. De ésta manera se buscaba que el o los sujetos identificarán las
variables involucradas dentro el problema y las relaciones que se establecen entre ellas, así
como el reconocimiento del tipo de función a la cual da lugar la representación tabular
proporcionada. En el mejor de los casos se conseguiría una representación simbólica de ella
y se utilizaría para contestar la pregunta plateada.
En la segunda actividad, el cuestionamiento principal era determinar al grupo de personas a
quienes les conviene el cambio en las tarifas. Para ello, se les presentó una gráfica que
relacionaba el consumo realizado y el monto a pagar, para ese cálculo se usó la tarifa
antigua. Es de señalar que la gráfica presentada no era contigua y no se establecía expresión
algebraica alguna que la representara, o algún otro elemento que diera pie a la construcción
de esta expresión. Así, se cuestionaba sobre la interpretación que se le podría dar a dicha
gráfica en términos de una descripción sobre la forma de calcular los costos a pagar por el
consumo de energía. La idea era que se realizara un estudio de la función en el contexto
gráfico, así como observar cierta problemática que ésta presentaba; Por ejemplo, para un
122
Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller
consumo de 50 Kw. el monto a pagar podía calcularse de dos formas distintas obteniéndose
resultados distintos. Estas acciones deberían favorecer el surgimiento de nociones
relacionadas con el dominio de la función y su importancia, así como la posibilidad de
función. Por su parte, el segundo inciso de esta actividad buscaba que el alumno transitara
entre un registro simbólico y uno gráfico, así como realizar conversiones y
transformaciones en dichos registros, de forma que con ayuda de lo realizado en la primera
actividad se diera solución a este segundo inciso.
El tránsito entre diversos registros de representación del conceptos función, así como la
búsqueda constante de relaciones y la atención centrada sobre la variabilidad de los costos,
consideramos favorecería ideas y concepciones que impactaría fuertemente sobre la
comprensión del objeto matemático función.
4.3.5 Análisis a priori
Dados los problemas que se menciona se presentan en el estudio de las funciones, se espera
que nuestro diseño didáctico movilizará al o los sujetos en:
1. Hacer uso de las funciones como una herramienta que permite dar solución a
problemas; modelando las relaciones entre consumo-costo (variables).
2. El tránsito entre diversas representaciones del concepto de función. En la actividad
1, el sujeto debería poder inferir la idea de relación de un registro tabular y verbal, y
representarlo en uno simbólico. En la actividad 2 se buscaba transitar entre una
representación gráfica a una verbal, pero también en sentido contrario, de un
registro verbal a uno gráfico.
123
Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller
3. Promover la discusión en equipos de trabajo para generar argumentos relacionados
con las características de las funciones: tales como correspondencia, dominio y
codominio.
4. Vislumbrar la importancia del dominio de las funciones.
5. Dar significado a las funciones dadas en partes, así como la argumentación sobre
por qué dichas funciones son consideradas como tales. Así, se buscaba que el sujeto
rompiera con la posible idea previa de que las gráficas de las funciones son
contiguas que obedecen a funciones continuas en un cierto intervalo o global.
6. Conferir mayor significado a la noción de función. De tal forma que a través de una
experiencia cotidiana, se dé una interpretación a los elementos que conforman a
dicha noción.
124
Capítulo 5: Resultados y discusión
Capítulo 5
Resultados y discusión
En este capítulo presentamos un análisis de las posturas de los profesores frente a los temas
abordados y ante el curso-taller en general. Buscamos determinar el impacto que se tuvo
sobre las creencias y concepciones de los profesores, así como determinar el grado de
aceptación y el tipo de actitud que presentan los profesores hacia cursos-talleres de este
tipo.
5.1 Registro de la información
Debido a que las posturas que externa una persona depende mucho de la situación en la que
se encuentra, consideramos que los comentarios y opiniones de los profesores en lo que
respecta a los cursos de capacitación en didáctica de las matemáticas y que provengan de
encuestas, serían en gran medida de naturaleza distinta de aquellas provenientes de la
experiencia de vivir un curso-taller de este tipo. Siendo más enriquecedoras para nuestros
propósitos, las opiniones provenientes de esta última fuente.
El registro de la información se llevó a cabo mediante la grabación en audio de los diálogos
y discusiones generadas por los profesores participantes durante las cuatro sesiones de que
constó el curso-taller. Éstas nos permitieron analizar el impacto que la propuesta estaba
125
Capítulo 5: Resultados y discusión
teniendo sobre las posturas didácticas y metodológicas de los profesores, así como observar
las posturas y actitudes de los profesores ante la formación didáctica.
En lo siguiente haremos un análisis de la información recabada, análisis que
complementaremos con algunos breves extractos de las grabaciones realizadas a fin de dar
una idea sobre las posturas de los profesores en el curso-taller. Para identificar los extractos
que se presentan emplearemos la siguiente notación: Ek, Sn, Pm. En donde:
E: extracto
k: número del extracto
S: sesión
n: número de la sesión
P: profesor
m: número que le corresponde al profesor dentro del diálogo
En los diálogos presentados se emplearán las siguientes abreviaturas para señalar cortes de
secuencia de los mismos:
{…} Ruido y no distinguible
[…] cortes en el extracto
( ) Pausa de los profesores por mas de 5 segundos
5. 2 Las creencias de los profesores
Como anteriormente habíamos señalado, para hacer realidad el deseo de trasformar y
adaptar la educación matemática a las nuevas necesidades, es preciso que el docente
126
Capítulo 5: Resultados y discusión
modifique la manera de ejercer su profesión; de un método centrado en él, a otro centrado
en el alumno. El logro de ello se encuentra estrechamente relacionado con un cambio en las
creencias de los profesores en torno a la matemática, su enseñanza y el aprendizaje (Blanco,
Barrentes, 2003; Azcárate, 1998, citados en Parra, 2005). Dichas creencias se han forjado a
través de su experiencia profesional y la experiencia de su paso por la escuela, y
constituyen uno de los grandes retos a vencer dentro de los cursos de capacitación y
formación de los profesores, pues muchas de ellas se vuelven verdaderos obstáculos para
lograr un cambio en su método de enseñanza (Campanario, 2003). De esta forma,
consideramos necesario para el éxito de cualquier propuesta de formación, ya sea que tenga
su origen en la investigación o no, el lograr un cambio en las concepciones del profesor.
Creer que ellos al asistir a un curso de actualización dejan todas sus creencias y aceptan
como cierto todo aquello que se les presenta, es tanto como suponer que los alumnos son
mentes en blanco que reciben gustosos y sin queja lo que el profesor les comunica. A
propósito de lo referido, véase los siguientes extractos:
Extracto 1, sesión 1.
P1 …díganme si no es verdad {…}, aprender es un problema doloroso ( ) y eso nadie lo puede evitar, eso creo que debemos quitárnoslo de la mente los que en algún momento vamos a estudiar cálculo, ( ) eso hay que decírselo al estudiante, tienen que entenderlo.
Extracto 2, sesión 1.
P1 (es necesario) que ellos hablen de algo, ponerlos a ellos a explicar algo, no algo súper complicado, sino que él lea, que él tenga dudas, lo importante no es que entienda a la primera, lo importante es que tenga dudas.
Estas creencias sobre los procesos de aprendizaje, o mejor dicho, los mecanismos por
medio de los cuales los profesores conciben el aprendizaje de sus alumnos, dan pauta para
127
Capítulo 5: Resultados y discusión
el desarrollo de actividades dentro del salón de clases. Por ejemplo, el profesor cuyo
comentario es expresado en el extracto 2, comenta que realizó la siguiente actividad.
Extracto 3, sesión 1.
P1 Cuando vimos la derivada por ejemplo de un campo escalar, les dije (a los alumnos), vamos a construir, vamos a inventarnos la definición, y me empezaron a dar unas y pues no puse nada (en la pizarra) pues por que no funciona, y ellos mismos me iban diciendo no funciona por tal cosa…
No obstante, estas creencias en muchos de los casos resultan diferentes de la forma como se
desarrolla el aprendizaje en los alumnos, resultando esto contraproducente para los fines
deseados y para el adecuado logro de los objetivos de las actividades que se desarrollan en
la clase. Continuando con el desarrollo del extracto anterior podemos analizar lo siguiente.
Extracto 4, sesión 1.
P1 …Los nerviosos (alumnos que se ponen nerviosos ante un cambio en la forma de desarrollo de la clase), que pasa con los nerviosos, ya estaban artos, decían -- “ya danos la definición” – “ya nos cansamos de buscarla, ya dánosla”…
De este modo, los alumnos van perdiendo interés en las actividades que se plantean dentro
de las clases y ante esta situación, el profesor se encierra aún más en el método expositivo
como medio para desarrollar las clases.
A lo anterior, debemos agregar ciertas creencias referentes a lo que es posible desarrollar
dentro del aula, es decir, las actitudes y habilidades que son factibles desarrollar en el
estudiante y aquellas que éste debe adquirir por cuenta propia como parte de su aprendizaje
y a través de procesos prolongados de estudio. De modo que ante aquellos resultados que
tratan de incidir sobre esas últimas actitudes y habilidades, el profesor presenta un mayor
grado de incredulidad respecto a su validez y eficacia.
128
Capítulo 5: Resultados y discusión
Extracto 5, sesión 2.
P1 Aquí hay una cosa, en cuánto tiempo lo vamos ha hacer, yo no se ustedes, pero en un momento dado puedo haberme pasado 20 años en tratar de hacer esas cosas {…} yo soy profe de la facultad de matemáticas desde 1985 y eso que me están planteando me ha costado toda mi vida, haber de que estamos hablando, que tengo que decirle a mi estudiante. Sí, yo creo que esto es bien importante aquí sobre todo en términos de la evaluación ¿no?, cómo vamos a evaluar eso que a mí me tomó 20 años de mi vida y todavía hoy tengo que sentarme a hacer las cosas.
Los profesores están acostumbrados a tratar con conocimientos que poseen una validez
universal, dada la naturaleza de la disciplina que abordan; la matemática. En este sentido,
los conocimientos provenientes de la didáctica de las matemáticas aparecen ante sus ojos
como resultados que no poseen la generalidad a la que están acostumbrados, constituyendo
esto un obstáculo para aceptar los conocimientos que se les presentan. Prestemos atención
al siguiente extracto:
Extracto 6, sesión 3.
P1 Solo estoy diciendo, en cuanto a lo que he visto y oído, y situándonos en el ambiente de las ciencias sociales, que es distinto a lo que estamos acostumbrados… de que los resultados son válidos en todos lados, son matemáticas, pero aquí no estamos hablando de matemáticas, sino didáctica de las matemáticas y ese término socioepistemología sí ha traspasado las fronteras es sólo es hacia Latinoamérica donde México tiene gran influencia y no más.
Con relación a lo anterior, Campanario (2003) menciona que los profesores consideran que
los resultados que provienen de la didáctica son opinables. Ello se debe a la diversidad de
resultados que pueden obtenerse en el contexto de la clase cuando se ponen en acción. Por
lo cual el profesor debe modificar dichos resultados para alcanzar en cada caso los
objetivos deseados.
5. 3 El profesor ante un cambio en su práctica
Todo cambio en las actuales prácticas docentes de los profesores resulta muy complejo y,
en general, no suele producirse a menos que el profesor sienta duda y vea la evidencia de
129
Capítulo 5: Resultados y discusión
que el cambio es necesario y el aporte de beneficios. Si no hay motivo para dudar de las
creencias propias, tampoco hay razón para cambiarlas. En este sentido, nos parecen muy
interesantes las reflexiones de Cooney (2001), citado en Moreno (2005), sobre el papel que
juega el elemento de “la duda”, el cual puede sembrarse en el propio profesor o
simplemente surgir espontáneamente, y es el punto central para promover el cambio.
Algunos profesores han tomado conciencia de la necesidad de cambiar sus actuales formas
de acción docente, esto debido a las múltiples problemáticas que se presentan en el
aprendizaje, mismas que han sido vislumbradas dentro las clases. Otros profesores, han
tomado conciencia de esto, en gran parte, por los altos índices de reprobación, rezago y
eficiencia termina que se presentan en la Facultad de Matemáticas de la UADY.
Extracto 7, sesión 3.
P1 …muchas veces nosotros en las clases de matemáticas de la Facultad de Matemáticas desde el primer curso de cálculo queremos ver de forma axiomática los números reales. Terminas el primer curso y ya les pusimos examen, ya reprobaron, muchas cosas ya pasaron y según nosotros ya les enseñamos axiomáticamente los números reales, pero ¿en realidad saben los alumnos lo que nosotros pensamos que les enseñamos? yo creo que esa es la pregunta y a veces es respondida por los mismos alumnos. Nosotros que hemos sido egresados de aquí lo hemos visto claramente, muchos de nosotros decimos lo entendí hasta que llegue a análisis.
Sin embargo, los profesores carecen de elementos que les ayuden a realizar dicho cambio,
así como también carecen de conocimientos adecuados sobre los cuales fundamentar sus
acciones, a la vez que le permitan guiar y dar sentido a tales modificaciones.
Extracto 8, sesión 1.
P1 …una de las cosas que empezamos a hacer hace algún tiempo {…} era que discutíamos, […] el profe venía y decía […] – “tengo un problema” – o – “estoy haciendo esto”-- no llegábamos a cosa muy finas, puntuales muchas veces ¿no?, pero si era importante que en un momento dado entre todos platicarlo […], entonces tu ibas, y ya tu te ibas de aquí con otras herramientas {…}. Sin embargo todavía no hemos llegado a cosas puntuales. Una de las tareas (que se planearon) era que mandemos actividades en el salón de clases, y yo no sé que paso pero nadie mandó actividades durante un mes […] no entendíamos lo que eran las actividades, no entendíamos que era dar las condiciones, no entendíamos eso.
130
Capítulo 5: Resultados y discusión
Esto ha comenzado a despejar el camino para poder incidir en las acciones que los
profesores llevan a cabo al interior del aula, y ha logrado hacer que algunos de ellos estén
dispuestos a escuchar propuestas didácticas bajo las cuales conducirse. Esto provocó que
ante este curso-taller, esos profesores presentaran una actitud “positiva”, lo que se tradujo
en una adecuada participación en las actividades propuestas.
Extracto 9, sesión 3.
P1 En la facultad de matemáticas se ha desarrollado durante muchos años el método tradicional y los resultados no han sido buenos, como para decir que estamos bien {…}, cómo que habría que darle cierta duda que beneficie al método.
P2 Yo diría que mucho más de cierta duda. Aquí en la Facultad de Matemáticas ¿cuántos tronados hay?, ¿cuántos matemáticos ya salieron desde 1975?
P3 Doscientos.
P2 Doscientos, o sea es ridículo. Simplemente yo no me atrevería a decir nada acerca del método tradicional. Vamos a ponernos a pensar, eso es algo de lo que estamos hablando acá. Simplemente que yo diga que algo tiene de bueno lo que hemos hecho se demuestra cuando yo te digo doscientos… no tiene nada de bueno. ( ) Es que los doscientos hubieran salido de todos modos!
Por otro lado, una característica que pudimos detectar en los profesores, es que no todos
poseen un carácter reflexivo sobre su práctica docente. Ellos no poseen elementos y bases
suficientes o adecuadas para evaluar su propio desempeño y el impacto real que las
actividades que desarrollan dentro del salón de clases tienen en los alumnos, ya sea para
traducirse en aprendizajes o para traducirse en motivación para involucrarse en ellas. El
hecho de encontrarse en el nivel universitario no garantiza que los alumnos posean interés
por los temas que se traten dentro de la clase, ni que posean la motivación suficiente para
buscar un desempeño aceptable ante cualquier actividad, y más aún, que dicha motivación
provenga del deseo de aprender.
Extracto 10, sesión 1.
P1 ¿Quién va ha determinar si estoy enseñando bien o no? Ósea, es una pregunta fundamental, ¿Quién lo va a determinar?
131
Capítulo 5: Resultados y discusión
Extracto 11, sesión 1.
P1 …cuánto aprendieron, si aprendieron mis alumnos es que soy buen maestro, sino aprendieron no lo soy!
Esta falta de reflexión puede ser la causa de que el profesor cuestione de forma superficial
la forma expositiva bajo la cual desarrolla sus clases y se conforme con mínimos
“indicadores de efectividad” de la misma; la aprobación de los alumnos de un examen
determinado. Aún cuando esto último no refleja un verdadero aprendizaje de los alumnos,
ni mucho menos es un indicador confiable o adecuado para establecer que un profesor ha
tenido un “buen” o “mal” desempeño. Se requiere hacer que éste vea la reflexión sobre sus
clases como una práctica propia de su quehacer didáctico. Sin embargo, esto sólo puede
lograrse por medio de la práctica constante. De modo que se vuelve oportuno proporcionar,
en cursos como éste, elementos que permitan al profesor desempeñarse como un
investigador dentro de sus clases; la Ingeniería Didáctica, que fue utilizada en el curso-
taller, constituye un adecuado modelo de formación para lograr tal fin. Los profesores
deben realizar un análisis de las condiciones en la que se desarrollará la situación de
aprendizaje, un análisis del saber que se pondrán en juego, así como de los objetivos que
desean alcanzar. Para, con la información anterior, elaborar dicha situación de aprendizaje
y ser llevada a la práctica. Posteriormente el profesor debe hacer un análisis de los
resultados que obtuvo y confrontarlo con los análisis previos, para con ello realizar las
modificaciones pertinentes a tal situación.
Atendiendo al punto anterior, otra forma de favorecer la reflexión sería mediante la
inclusión en el curso-taller de actividades tendientes a buscar que el profesor articule
elementos de su práctica docente actual a las discusiones que se generan dentro de él. Esto
132
Capítulo 5: Resultados y discusión
le permitirá la confrontación personal entre sus acciones y los puntos que se discuten,
logrando ver las diferencias existentes y la viabilidad que pueden tener los puntos
abordados.
Por otra parte, la reflexión puede contribuir a estabilizar las expectativas que se generan en
el profesor en cuanto a la actitud del alumno frente a las propuestas de cambio en su forma
de desarrollar las clases. Pues, aún cuando los profesores consideran necesaria, o al menos
adecuada, cierta capacitación que les ayude a hacer frente a las problemáticas que ellos han
detectado, sus acciones se ven limitadas ante el impacto negativo que se cree pueden tener
en la actitud de los alumnos. Otra limitante lo constituye la experiencia de los profesores
respecto al desempeño del alumno dentro del aula, la cual les permite “asegurar” que éstos
tienden a dar un mínimo esfuerzo dentro de las clases. Esto se convierte en un motivo de
preocupación y de objeción por parte del profesor hacia cambios en la forma de desarrollar
sus clases en donde se confiere a los alumnos una mayor participación autónoma.
Extracto 12, sesión 1.
P1 Sin embargo, el alumno, en un momento dado, ante prácticas diferentes, por que como quiera ya tiene una cierta práctica ¿no?, […] que de repente hay tres o cuatro estudiantes que cuando se quieren hacer las cosas diferentes como que se ponen nerviosos ¿no?, empiezan ha decir “haber, haber”. Por ejemplo la discusión en matemáticas a tres o a cuatro estudiantes no les gusta, yo por ejemplo soy uno de ellos, bueno quizás una de las razones por las que estudie matemáticas es por que ahí no había discusiones […] ahí era lo que tu pudieras demostrar eso es lo que es, entonces era la única carga eso.
Extracto 13, sesión 1.
P1 …mucho depende (de cómo) tú entiendes las cosas, aunque yo me pare de cabeza si mi alumno no hace de su parte, no porque sea “burro”, porque no se le pega la gana, ósea de mi parte no hay mucho que yo pueda hacer y me he parado de cabeza casi, casi ¿no?, […] no tocan su libreta, y les da igual porque así están acostumbrados, porque vienen con esa idea me van a dar todo , un día antes estudian, copian la tarea o sea, y esa mentalidad de la prepa se quita con trabajo.
133
Capítulo 5: Resultados y discusión
Esta forma de ver la actuación de los alumnos dentro del salón de clases se convierte en una
barrera que obstaculiza un cambio en las actuales responsabilidades del profesor y los
alumnos; de clases donde el profesor tiene el papel central, a otras donde el alumno tiene
una participación mas dinámica y el rol central. Los profesores consideran que no es
factible dejar que el alumno se haga cargo de su aprendizaje debido a que no está preparado
para ello. Ante esta aparente “imposibilidad”, el profesor se ve en la necesidad de seguir
haciéndose cargo de presentar los conocimientos y/o sólo exigir al alumno el estudio de los
contenido hasta después de haber presentado él mismo el conocimiento. Esta necesidad de
presentar el conocimiento por parte del profesor puede verse aún en el caso de solicitarse al
alumno un estudio previo de los temas.
Extracto 14, sesión 1.
P1 En la clase se hacen ejercicios, entonces lo que se hace es que después se intercambien las libretas con su compañero de a lado, entonces su compañero de a lado se encarga de evaluar, entonces el fin no es que ponga la calificación y ya, sino el fin es que el estudiante que esta evaluando tiene que entender antes el concepto, antes de poder calificar, o sea no se puede calificar bien o mal a su compañero si no sabe el concepto, el tiene que poner sus comentarios, de manera que se esta forzando al estudiante de manera indirecta a que el aprenda bien el concepto.
Extracto 15, sesión 3.
P1 …muchas veces creemos que para que lo aprendan y lo entiendan, se lo tenemos que explicar nosotros los profesores […].
P2 Más que nada para que sepamos que si lo aprendieron.
Esta situación constituye un elemento que puede afectar de manera negativa al modelo
docente que proponemos, dada la devolución al alumno de la responsabilidad de su
aprendizaje que se propone en él.
Cabe señalar aquí la distinción que los profesores hacen de los alumnos. Por ejemplo,
aquellos que consideran “buenos” y aquellos que no lo son. En este sentido, aún cuando se
134
Capítulo 5: Resultados y discusión
considera que esos alumnos “buenos” pueden aprender independientemente de las
actividades que se desarrollan, se tiende a pensar, por lo general, con mayor énfasis en
ellos a lo hora de diseñar las clases y un poco menos en los “otros” alumnos.
Extracto 16, sesión 1.
P1 Te estoy hablando de que esos tres o cuatro son los buenos, los que se ponen nerviosos ante un cambio son ellos […] ellos independientemente de cómo tu los trates (van a aprender), pero esa instrucción (la discusión en clases) les pone nerviosos, entiendes, yo me pongo nervioso cuando esos tres o cuatro se ponen nerviosos […] porque con los otros (alumnos) no hay problemas… he, o sea con los otros (alumnos) no hay problemas porque … […] con ellos no pasa nada al final de cuentas, en términos digamos de que tu estés controlando la situación como docente […]. No sé a ustedes pero si me pone nervioso que tres o cuatro de los chavos buenos no estén contentos.
Pareciera que los profesores consideran que la búsqueda de un cambio en sus prácticas sólo
se requiere para beneficiar a aquellos alumnos que presentan dificultades para aprender
bajo los métodos actuales, pues lo alumnos “buenos” no tienen tal necesidad. Esto puede
generar en el profesor la idea de que se va a dejar de prestar atención a unos para atender a
otros, cuando al contrario de esta idea, se deben establecer condiciones en las que todos los
alumnos se sientan con libertad de actuar, discutir y expresarse, así como en un ambiente
en el que se tenga la oportunidad de aprender y dentro el cual perciban tal posibilidad. La
creencia anterior constituye una problemática reportada en la literatura en cuanto a la
aceptación de los resultados de la didáctica de las matemáticas, por lo que será importante
pensar en ella en posteriores cursos de formación.
Los profesores muestran cierta aceptación por la corriente constructivista, constituyendo un
marco de referencia sobre el cual basar sus actividades. Sin embargo, esta corriente resulta
ser no muy bien comprendida, llevando a ponerla en práctica con ciertas deficiencias y
basadas en interpretaciones personales y erróneas.
135
Capítulo 5: Resultados y discusión
Extracto 17, sesión 3.
P1 … aquí viene la parte del llamado constructivismo ¿no?, porque aquí la comunicación alumno-profesor sería decirle al estudiante te planteó estas actividades, por ejemplo […] una plática tipo seminario, por decir – fulanito tu vas a explicar este tema, vas a venir a exponerlo aquí a clase – van a hacer preguntas y esa es una forma de actuar. El va a tener que ponerse a investigar, ver que entiende de eso, el puede hacer preguntas, le podemos hacer preguntas, […] con eso vamos a ver si lo que entiende es correcto ¿no?
A este respecto podemos señalar que dado que la Teoría de las Situaciones Didácticas
maneja una postura constructivista, sin las adecuadas aclaraciones sobre el significado del
constructivismo, se puede generar un punto de encuentro durante la formación del profesor
en lo que respecta a la Teoría de las Situaciones Didácticas. Los profesores podrían asignar
de forma directa, las problemáticas que han experimentado dentro de constructivismo a
esta teoría, así como las frustraciones provenientes de la constatación del fracaso a la hora
de implementar dicha corriente, tanto en la práctica del profesor como en la actividad del
alumno.
Dentro de los cursos de capacitación y formación didáctica de profesores, ellos esperan
obtener técnicas o estrategias innovadoras que les ayuden a conducir sus clases, que les
permitan hacer frente de manera adecuada a las problemáticas que se les presentan y que
logren favorecer el aprendizaje en ¡todos! los alumnos. Sin embargo, estas expectativas no
logran ser cubiertas por los cursos de actualización y formación docente, los cuales en la
mayoría de los casos son dirigidos a la enseñanza en general y donde existe poco o ningún
ejemplo concreto en matemáticas, y menos aún para la educación superior. Constituyendo
esto una de las principales quejas de los profesores hacia dichos cursos.
Extracto 18, sesión 4.
P1 En otros cursos de docencia hablan de que nuestro máximo logro debe ser un plan de clases y al menos alguna vez yo lo he hecho, por que en la facultad de ingeniería química he trabajado con […] y el tiene hecho un ahí una historia de sus planes de clase y a veces le pregunto – oye ¿y te sirve de
136
Capítulo 5: Resultados y discusión
algo?— no, pero me lo piden – y a mi eso del plan de clases en matemáticas no le veo mucho sentido ¿no?
Extracto 19, sesión 4.
P1 Una de mis principales quejas (en un curso de docencia tomado con anterioridad) era que no había nada en matemáticas, (y ante esa queja le respondían) – OK. No hay nada, entonces que lo hagan ustedes”. -- cómo que hazlo -- digo – Se supone que vine a que me digas que hacer ¿no?, o que me des un libro nuevo donde digas que voy a hacer.
De esta forma, las experiencias no tan positivas de los profesores respecto a cursos de
capacitación didáctica o especialización docente, se vuelven vivencias que los predisponen
para rechazar otras actividades destinadas a su formación, así como los saberes que en ellas
se presentan. Veamos:
Extracto 20, sesión 4.
P1 Yo he tenido malas experiencias de cursos así como de didáctica de docencia […] desde el primero de ellos oía argumentos más o menos parecidos ¿no? Nos presentaban una nueva forma de dar clases que prometía buenos resultados que el método tradicional […] y lo comparaban con lo peor que existía y decías ha bueno si sirve […], al tratar de aislar lo novedoso me daba cuenta de que no había gran diferencia, sino que es algo que ya existe sólo puesto de otra manera, entonces yo pienso que el método no es lo importante sino como se utilice y en que caso […] y no requerimos de más métodos o técnicas.
Durante el desarrollo del curso salió a discusión algunas acciones que los profesores, por
experiencia, han observado como favorecedoras o perjudiciales para el aprendizaje de los
alumnos de uno o varios temas. Sin embargo, desconocen cómo utilizar a su favor éstas
acciones en otros contextos. Creemos que se debe a que no son concientes de las razones
que sustenta su eficacia, perdiéndose de este modo valiosa información que puede
favorecer la reorganización o modificación de las actividades que se plantean al interior del
aula, esto en beneficio del aprendizaje del alumno de una diversidad de temas. Empero más
aún, no cuentan con la debida formación docente, es más, se carece de ella. En nuestra
opinión, la experiencia de un ejercicio docente no es suficiente para cubrir o suplir una
formación integral (conocimientos empíricos, habilidades y actitudes).
137
Capítulo 5: Resultados y discusión
Extracto 21, sesión 1.
P1 …otra manera, lo visual, hay muchos conceptos que se entienden muy bien con un dibujo, con un movimiento.
Extracto 22, sesión 4.
P1 Sabes que es bueno, un tema abordarlo desde diferentes enfoques, el de límite por ejemplo, una tabla sirve para ver lo que pasa en el límite, incluso en varias variables…
Comentarios como los anteriores nos permiten vislumbrar que la dualidad proceso-objeto
de los saberes matemáticos, la visualización, el uso de la tecnología y el uso de diversos
sistemas de representación, son temáticas cuyos beneficios han sido observados
viviencialmente por los profesores, habiéndose dado con esto, un paso de importancia
fundamental, pues se tendría una mayor posibilidad de que el impacto de ellas sobre las
concepciones y creencias del profesor no sólo queden en el discurso, sino que sean llevadas
a la práctica. Por otra parte, también pudimos darnos de cuenta que La Teoría de las
Situaciones Didácticas constituye un adecuado medio para incidir sobre las prácticas
docentes de los profesores participantes. No como diseñadores de situaciones didácticas,
sino como un modelo con características teóricas, experimentales y prácticas que son
coherentes con su visión, experiencia y forma de explicar o sustentar un cambio en el tipo
de práctica de aula.
En lo que respecta al pensamiento y lenguaje variacional (PyLV), la actividad desarrollada
dentro del curso taller (ver anexo A) nos permitió vislumbrar que los mismos profesores
poseen dificultades para trabajar bajo esta temática. Ellos consideran que las habilidades
que se buscan desarrollar requieren de mucho tiempo de estudio, además de sentir que se
estaría obligando a un alumno a estudiar bajo una concepción que pueden no comprender
¡ni requerir!
138
Capítulo 5: Resultados y discusión
Extracto 23, sesión 2.
P1 Haber si alguien grafica y repinta la gráfica, representaría un tipo de pensamiento distinto al de alguien , como yo, que sólo pinte los intervalos […] entonces me pregunto que significa esto a la hora que yo trate…suponte que vas a tratar con dos tipos así, y lo que vas a decirle a él y lo que me vas a decir, me puede perjudicar a mí, no podríamos pensar en esa situación, o sea lo que yo diga en el salón de clase puede fomentarle a alguien la forma de pensar, pero a otros les puede obstaculizar ¿no puede pasar eso?.
Extracto 24, sesión 2.
P1 Si muestras una cosa gráfica, por ejemplo, a la gente como decía […], aquella gente analítica no lo va a entender de manera gráfica, conviene mas que lo pongas de forma analítica, y estas haciendo a un lado a los geométrico, y por el contrario si atiendes al analítico haces un lado al geométrico.
Analizando las estrategias utilizadas por lo profesores para dar solución a las preguntas
planteadas en la actividad (ver anexo A), pudimos percatarnos que los profesores hacen un
escaso uso de estrategias variacionales. Por ejemplo, un comentario relacionado con la
pregunta dos de dicha actividad es el siguiente:
Extracto 25, sesión 2.
P1 …la parte de la pendiente tal vez se pueda hacer (utilizar la pendiente de las rectas tangentes a la curva), pero también lo de creciente y decreciente (de la curva) es hasta que vez el teorema, yo por eso así lo utilicé (el teorema)…
Por lo general, los profesores poseen un pensamiento analítico, el cual les ha resultado
efectivo para abordar las cuestiones que estudian, mostrándose reacios a utilizar otras
formas de proceder, de pensar.
Extracto 26, sesión 2.
P1 Tengo 47 años y yo lo resuelvo así, con un teorema.
P2 Pero es un pensamiento analítico.
P1 A lo que voy es a eso, hay gente que la única forma que tiene para entender las cosas es de una forma, entonces tenemos que tener cuidado de ello y no podemos discriminar a nadie.
Comentarios como estos generaron discusión entre los profesores, algunos de los cuales
expresaban comentarios a favor de este pensamiento variacional.
139
Capítulo 5: Resultados y discusión
Extracto 27, sesión 2.
P1 Si tú le hablas de movimiento, si tú le dices agarra y pon un punto y empieza a avanzar sobre la curva tienes que ir observando hacia donde va, hacia donde se va moviendo con respecto a las alturas, por ahí como que lo captan mejor.
P2 Si va subiendo llega a un punto máximo de la , es como un objeto que va subiendo y cuando veo que ya empieza a bajar --¡ah!-- aquí ya cambio el comportamiento, cuando deja de subir --¡ah!—aquí empieza a decrecer esta cosa, y es otra forma de verlo.
y
En las primeras dos preguntas de la actividad del PyLV existió una discusión sobre las
distintas formas de abordar el problema, sin embargo, para la pregunta tres, todos los
profesores utilizaron el recurso de la concavidad. En lo que respecta a la pregunta cuatro,
algunos profesores lograron llegar a la respuesta correcta, los cuales afirmaron que
únicamente con un pensamiento analítico es muy difícil llegar a resolver la cuestión. Sin
embargo, surgió el siguiente comentario:
Extracto 28, sesión 2.
P1 O sea la pregunta es ¿no tendría nada de malo que ningún estudiante pueda resolver la cuarta (pregunta)? […] Ahora todos los estudiantes…
P2 Tendrían que hacer las anteriores (preguntas)…
P1 Todos los estudiantes de la facultad deberían hacer la primera y la segunda…creo que estaríamos reflejando que estamos en buen camino si los estudiantes después de cursar el primer y segundo semestre de cálculo pueden contestar uno y dos sin dificultad.
Esto muestra, una vez más, que los profesores se conforman ante hechos que parecen dar
muestras de un aprendizaje, pero los cuales pueden resultar de la memoria y de procesos
mecanicistas. Sin existir un entendimiento de los saberes. Recordando que este grupo de
profesores son catedráticos de una facultad de ciencias exactas (matemáticas) e ingenierías
(computación), a nuestro entender, tales profesores deben vislumbran al aprendizaje como
un proceso sistémico y articulable. Es decir, a nuestro modo de ver, el aprendizaje es más
que una habilidad operacional, una habilidad mental o un entendimiento conceptual de los
objetos matemáticos, tampoco la suma de éstas, sino, una correcta articulación, en el caso
140
Capítulo 5: Resultados y discusión
de cálculo, de un entorno experimental, uno conceptual, uno operacional y uno formal
(disciplinario) de los conceptos. Un aprendizaje es íntegro, sistémico, no fragmentario y
secuencial.
Derivada de la presentación del tema PyLV, se generó una discusión relacionada con el uso
de las gráficas, dentro las clases, como medios para auxiliar la comprensión de los
conceptos. A partir ella pudimos observar la postura de uno de los profesores de presentar
los contenidos por medio de sus definiciones desde el principio, él considera que el uso de
la representación geométrico para tal efecto genera problemas, pues ella no es aplicable a
todos los casos, mientras que las definiciones no poseen esta dificultad.
Extracto 29, sesión 2.
P1 Yo creo que cuando se definen los conceptos, tiene que ser en base a la definición y la cuestión gráfica tiene que ser como pilón, como una segunda forma que en algunos casos sirve y en otros no, no puede ser al revés (discusión entre los profesores) […] yo creo que lo primero que debes… la base es la definición analítica y sobre esa puedes ir viendo otras cosas…
Como podemos notar, los profesores mostraron ciertas reservas con respecto a las ideas
expresadas en el pensamiento y lenguaje variacional. Por una parte, reconocen que es difícil
lograr desarrollar en el alumno habilidades relacionadas con él, y por la otra, consideran
que no todos los alumnos pueden verse beneficiados de la implementación de estrategias
variacionales en las clases, por ejemplo, aquellos con un pensamiento analítico. Sin
embargo, al final de la actividad del PyLV se presentaron algunos comentarios que
consideramos positivos y nos muestra la incidencia del tema en la mente del profesor.
Extracto 30, sesión 2.
P1 Si yo pudiera fomentar un poco el pensamiento geométrico y el analítico, dependiendo de quien sea, pues bueno, va a llegar el momento en que tu mente si es muy analítica… pero tu profesor se ha encargado de facilitarte un pensamiento geométrico, de repente un poco, como que vas incorporando… no te vas a convertir en alguien geométrico, pero como que ya puedes incorporar
141
Capítulo 5: Resultados y discusión
ciertas cosas que de repente van a hacer que sufras menos a la hora de que vayas analizando, y también puede suceder lo mismo al revés.
5. Posturas de los profesores ante la Teoría de las Situaciones Didácticas
La teoría de las situaciones didácticas constituye uno de los puntos centrales de nuestra
propuesta. Se intentó mirar el quehacer didáctico al interior de las aulas, como un modelo
de la actividad científica matemática dando a los estudiantes ciertas facilidades para actuar,
formular y validar sobre una situación de aprendizaje específica, dejando al profesor en un
papel de orientador e institucionalizador del conocimiento matemático. Consideramos
pues, adecuado dedicarle un apartado a la discusión y el análisis del impacto de ella en el
profesor; en sus estrategias didáctica, en su actitud, en sus creencias, etc.
Como antes habíamos señalado, las creencias de los profesores respecto al aprendizaje de
las matemáticas determinan en gran parte su actuar docente. Por lo general, los cursos de
capacitación deben incidir sobre dichas prácticas para lograr un cambio en su forma de
actuar y que no quede todo únicamente a un nivel del discurso del profesor. Sin embargo,
pudimos observar claramente con el tema del pensamiento y lenguaje variacional, que si se
le presentan al profesor temas que rompan bruscamente con sus concepciones y creencias,
él tiende a rechazar eso que se le comunica. La Teoría de la Situaciones Didácticas resultó
ser un medio adecuado para incidir sobre la práctica del profesor, al no contravenir de
manera fuerte sus concepciones respecto a la enseñanza y aprendizaje, más al contrario,
parece complementarse con ellas.
142
Capítulo 5: Resultados y discusión
Extracto 31, sesión 3.
P1 Para mi aprender es algo duro, es un proceso nada lúdico y muchas veces hasta doloroso, […] pero esto (las situaciones didácticas) me parece factible.
Extracto 32, sesión 3.
P1 Yo creo que estos métodos favorecen costumbres, de que tú intentes por ti mismo buscar respuestas, y pues ya no es que simplemente te presenten las cosas y te las dan, yo siento que es mejor proceso mental que tú intentar entender eso que te están diciendo, del modo que te lo están presentando.
Extracto 33, sesión 3.
P1 Tendríamos que recocer el carácter experimental de la matemática. De repente como que no estamos muy acostumbrados a reconocer ese carácter experimental de la matemática ¿no?
P2 ¿Quiénes no lo consideramos? ¿Los profesores?
P1 Y en general los matemáticos, ¿no?, como que no vemos a las matemáticas con el carácter experimental.
P3 Como sería en biología, química, economía…
P1 por ejemplo como que la matemática no la vemos así, la vemos más como axiomática, ya esta hecha, pero como que hasta hace poco tiempo se pensó en ver ese carácter experimental de las matemática ¿no? {…}, deberíamos recuperarlo y eso embonaría muy bien con la acción, formulación y validación, pero de repente no lo hemos reconocido así.
El hecho de que esta teoría sea aceptada por los profesores como concordante con sus
expectativas referentes a la forma en que debe desarrollarse la clase de matemáticas,
establece un gran punto a su favor, pues favorece que los profesores vislumbren como
viable la adopción de dicho modelo como forma de planear, orientar su práctica.
El carácter experimental de las matemáticas, es un punto importante sobre el cual se debe
hacer un mayor énfasis como parte de la reformulación y reelaboración de las actividades
del curso. García (2006b) reporta que los profesores ven a la matemática como una ciencia
axiomática, lo cual asigna a las demostraciones una gran importancia dentro de sus clases,
llegándose a establecer que los conocimientos o resultados que se pueden utilizar en la
resolución de ejercicios, problemas o en la demostración de otros teoremas, deben ser sólo
aquellos que hallan sido previamente demostrados o que puedan demostrarse. Esto deja
entender la importancia de lograr que el profesor acepte el carácter funcional de las
143
Capítulo 5: Resultados y discusión
matemáticas y que perciba como adecuado para el desarrollo de las clases, la
implementación de ese carácter experimental. Pues de lo contrario, podríamos enfrentarnos
a un obstáculo para hacer que el profesor perciba a su salón de clases como una
minicomunidad científica, donde constantemente se desarrollan conocimientos, producto
del enfrentamiento del alumno con situaciones problema. Conocimientos que devienen en
aprendizajes.
Por otra parte, para algunos profesores el trabajo extra que representa la búsqueda o diseño
de situaciones de aprendizaje a las cuales enfrentar al alumno puede llegar a constituir un
problema. Además que no se posee la destreza para conformar verdaderas situaciones de
aprendizaje, algunos profesores esperan que ante un trabajo más complejo se tengan la
garantía de que dicho esfuerzo tendrá éxito.
Extracto 34, sesión 3.
P1 Si fuera el mismo resultado […], pero si el nuevo (la propuesta de la teoría de las situaciones didácticas) me lleva más tiempo y llegó al mismo resultado, entonces para que cambiamos, sino no esta siendo mejor…
Extracto 35, sesión 4.
P1 El método debe garantizar que el alumno aprenda, en todo caso debemos ser un experto en ese tipo de cosas para que funcionen…
Algunos profesores consideran erróneamente que el modelo que propone la teoría se
presenta en el mismo método tradicional pero ordenado de forma distinta. Lo que nos
muestra cierta dependencia de esos profesores con este método. Pues estos tienen énfasis y
estructuras distintas.
144
Capítulo 5: Resultados y discusión
Extracto 36, sesión 4.
P1 La clase pasada se decía --¿y si lo hacemos al revés (el método tradicional)? no pasa lo mismo--, o sea, sólo hay que hacer lo mismo en diferente orden decíamos ¿no se puede hacer así? ¿No se tiene el mismo resultado? Resultaba que la modificación sólo pareciera que era cambiar de orden.
Dentro de la fase de experimentación de la actividad didáctica y durante la discusión de los
diseños didácticos elaborados por lo profesores, pudimos observar que estos tienen una
gran preocupación por institucionalizar los conocimientos bajo estudio. Se sobrepone la
necesidad del profesor de guiar al alumno hacia el conocimiento que se desea, por sobre la
propuesta de acción lo más autónoma posible. De modo que, al finalizar la sesión destinada
para tal fin, tanto el profesor como el alumno puedan “asegurar” que se ha tenido éxito en
el logro del aprendizaje deseado, con la profundidad y formalidad requerida. Entendemos
que el profesor (internamente) busca “justificar” la continuidad,pertinencia de su práctica
tradicional, a través de buscar o establecer relaciones entre una nueva propuesta y la que ya
se tiene.
Extracto 37, sesión 3.
P1 Me daría miedo que empiece a diseñar actividades que distraigan de la institucionalización, quizás este pensando en una institucionalización simplista, pensar que la institucionalización es la definición o el teorema. Me preocupa, si me preocupa que ellos sepan las definiciones y los teoremas.
A los profesores les cuesta trabajo superar la necesidad de participación en el aprendizaje
de los alumno como detonadores de éste. En los diseño didácticos elaborados por ellos, se
podía observar en todo momento, su guía sobre el alumno para asimilar el tema de estudio.
En uno de sus diseños, pudimos observar cómo las actividades que conformaban, buscaban
la aparición en el alumno de ciertas dudas de las cuales el profesor esperaba percatarse y a
partir de ello, entrar en acción; mostrando el conocimiento que se buscaba sea aprendido.
No obstante esto, pudimos observar que los profesores se interesan cada vez más por que
145
Capítulo 5: Resultados y discusión
los alumnos argumenten sobre una situación, aunque sea de forma guiada, y comprueben
esos argumentos, esto nos muestra indicios que apoyan la viabilidad de la teoría de las
situaciones didácticas en la formación de los profesores.
En la discusión de los diseños, también pudimos observar que los profesores realizan
ciertos análisis de las dificultades que los alumnos experimentan en un determinado tema,
lo cual le ayudará a conformar las situaciones de aprendizaje que propondrá al alumno, así
como a realizar el análisis de los resultados obtenidos con la implementación de la
situación.
Una de las primeras acciones a realizar dentro de un curso de formación como éste, es
convencer al profesor de la capacidad del alumno para generar aprendizajes por cuenta
propia, siempre y cuando se le ubique bajo las condiciones adecuadas. Ellos podrían
adquirir conocimientos que no sean los esperados y adecuados, pero que tienen un imparto
real sobre su aprendizaje. Sin embargo, esto es difícil de aceptar por parte de los profesores
e incluso de asimilar.
5. Comentarios de los profesores respecto al curso-taller
A continuación señalamos algunos comentarios realizados por los profesores participantes
respecto al Curso-Taller:
Extracto 38, sesión 4.
P1 Se dijeron varias cosas, institucionalizaste muchas cosas que antes solamente pensábamos.
P2 Me sirvió para aclarar muchos conceptos que estaban en su germen ahí ¿no?, pero que sin embargo no le habíamos dado el peso específico debido. Para mi el estar aquí me sirvió […] pues me surgieron muchas inquietudes que estoy deseoso de poder implementar y haber ¿no?, que resultados pudiera obtener. En particular el punto que yo siento más árido, […] (es) la actitud de los
146
Capítulo 5: Resultados y discusión
estudiantes, para que este modelo chambee yo creo que es fundamental que el alumno se sienta incómodo ante el hecho de no saber, porque cuando creamos la situación y creamos los obstáculos, es factible que el estudiante al haber confrontado lo que ya sabe, digamos su conocimiento matemático, sus experiencias, lo que ya sabe… cuando un problema se le presenta simplemente se eche, que diga -- ¡ah!, no es cierto, lo que yo sabía que funcionaba ya no funciona – siento que ahí es donde cae nuestra responsabilidad ¿no? de cómo levantar al estudiante […] de forma que diga – voy a seguir.
Extracto 39, sesión 3.
P1 He tenido malas experiencias de cursos así como de didáctica de docencia desde hace 20 años ¿no?, desde el primero de ellos oía argumentos muy parecidos, que presentaban una nueva forma de dar clases, que prometía buenos resultados que el método tradicional y ciertamente había cosas que son útiles y otras no, pero el común denominador era que siempre se presentaba como lo novedoso […] nos prometía muchas cosas. A lo largo de ese tiempo he tomado muchos cursos, diplomados y más, y he leído muchos artículos, etc., y ciertamente puedo decir que hay ese común denominador todavía, hay muchas cosas que se prometen como muy buenas, como que van a cambiar, como que vamos a tener buenos resultados si usamos este método que si usamos el anterior y cuando he tratado de aislar lo novedoso que te propone un método me doy cuenta que no hay gran diferencia, sino que es, algo nuevo que ya existe sólo puesto de otra manera, entonces yo pienso que el método no es lo importante sino como se utilice y en que casos […] entonces no requerimos de más métodos o técnicas sino simplemente aprender a usarlos en el momento indicado.
Extracto 40, sesión 3.
P1 No existe una varita mágica que nos resuelva el problema, por lo que es bueno conocer estos métodos, pues, digo, todo son estrategias, pero ahí es donde uno tiene también que ir pensando según el grupo que se tenga.
Extracto 41, sesión 3.
P1 Me parece que ha valido la pena sentarme aquí cuatro lunes, tal vez sea porque no tengo ningún prejuicio ¿no?, por que la verdad nunca he tomado nada de didáctica ni nada de nada, o sea soy chen matemático, lo que si me ha interesado es que lo que yo diga o yo haga con mis alumnos lo entiendan ¿no?, pero no que sólo los que lo pescan al vuelo, a mí me ha preocupado que todos los alumnos entiendan de lo que se trata el asunto […] Es una forma interesante de organizar las ideas la que nos presentaron aquí {…} yo creo que hasta en términos generales se pudiera adaptar este curso a cualquier curso de matemáticas de la Facultad de Matemáticas, pero si estaría chido, por ejemplo, que pudiéramos hacer para este mini curso una invitación general y que los profes que les interese que vengan, pudiera ser cupo limitado para que valga la pena, quizás se puedan dar algunos cursos como este mini curso en lo que seguramente pudiéramos decir otras cosas de tal manera que pudiéramos ofrecerlo a todos los demás.
Extracto 42, sesión 4.
P1 … Estas es la primera vez (en todos los cursos que he tomado) en la que hay la oportunidad de discutir cosas de matemáticas y de nivel licenciatura, y las cosas que hemos hecho acá son de las cosas que yo puedo decir que es útil.
Extracto 43, sesión 4.
P1 Yo he tomado unos cursillos de didáctica y mucho se hablaba de haz tu plan de clases: que introducción, desarrollo… a partir de un cronograma de 5 minutos a 5 minutos siendo muy precisos… realmente eso no funciona en matemáticas, tal vez para otras materias funcione, pero nunca se hablaba del estilo de lo que ahora hablamos {…} aquí hablamos de cómo hacer la estructura de la clase, y tal vez se haga mas lenta la clase {…} pero que los pocos temas que
147
Capítulo 5: Resultados y discusión
abordemos se entiendan, y creo que eso es preferible a cubrir un amplio terreno y nadie entienda nada.[…] lo que he visto acá es muy diferente a lo que he visto en otros cursos. No ha habido cursos específicamente para matemáticas.
Extracto 44, sesión 3.
P1 En otros cursos de docencia hablan de que nuestro máximo logro debe ser un plan de clases y al menos alguna vez yo lo he hecho, por que en la facultad de ingeniería química he trabajado con […] y el tiene hecho un ahí una historia de sus planes de clase y a veces le pregunto – oye ¿y te sirve de algo?— no, pero me lo piden – y a mi eso del plan de clases en matemáticas no le veo mucho sentido ¿no? y lo que me gusto de este curso es que primero no te paraste ahí a hablar y hablar y nosotros te oímos, sino que se armó la discusión por ratos y dimos opiniones y creo que nadie se quedo callado.
Los comentarios anteriores nos muestran que los profesores consideran adecuada la
estructura del curso, señalando al mismo tiempo su necesidad de un mayor número de
cursos de este estilo, es decir, que se centren en una didáctica que tenga como objeto
de estudio y campo de acción a la matemática misma, pero aún más, que se centre en el
nivel universitario en el que ellos se desenvuelven. Esto constituye una exigencia
valida genuina y legítima que todo curso de formación debe atender. Sin embargo, esto
también exige a los profesores ser más reflexivos sobre su práctica docente para que
sean capaces de utilizar nuevos conocimientos en sus clases y realizar por ellos mismos
las adaptaciones necesarias.
Durante el desarrollo del curso pudimos observar, debido a las expresiones de los
profesores, que es apropiado para un primer curso de didáctica de las matemáticas, no
utilizar muchos tecnicismos, pues estos provocan que los profesores se pierdan dentro
esos conceptos y dirijan gran parte de su atención en intentar entenderlos. De este
modo, el no haberles dado a los profesores lecturas para ser discutidas dentro de las
sesiones resultó en cierta medida, adecuado. En lugar de eso la presentación de
temáticas y de resultados provenientes de la didáctica de las matemáticas que incidiera
148
Capítulo 5: Resultados y discusión
de forma directa sobre las creencias de los profesores generó un gran ambiente para la
discusión y el intercambio de experiencias que enriquecieron de forma considerable el
curso.
No obstante, el dominio de los términos propios de la didáctica de las matemáticas se
hace necesario para evitar caer en contrasentidos, por lo cual, conforme el profesor
profundice en su formación didáctica se le debe ir exigiendo el uso y comprensión de
dicho términos.
También pudimos observar que los profesores, al menos en su discurso, consideran
viable la aplicación del modelo de actividad, a realizarse en las clases, que propone la
Teoría de las Secuencias Didácticas, el cual favorece el aprendizaje de los temas de
cálculo. Esto constituye un avance para la formación de los profesores, pues alrededor
de dicho modelo es posible engranar un mayor número de temas que favorezcan la
profundización en la formación en didáctica de las matemáticas.
149
Capítulo 6: Reflexiones finales y conclusiones
Capítulo 6
Reflexiones finales y conclusiones
Una de las exigencias más comunes de los profesores dentro de los cursos de capacitación y
formación docente, es el establecimiento y comunicación de técnicas que dicten su forma
de actuar dentro las clases y/o el establecimiento de actividades prototipo que favorezcan la
generación de aprendizajes. Muchas de las veces, ellos esperan que esas técnicas o
prototipos sirvan para guiar toda su actuación docente. Por lo general, estas ideas están
relacionadas con las creencias que se tienen de dichos cursos; en ellos se establecen
métodos novedosos e innovadores que lograrán incidir sobre los problemas de enseñanza y
aprendizaje y bajo los cuales habrá que desarrollar las futuras clases.
La exigencia anterior se ve presente en los profesores de cálculo de la Facultad de
Matemáticas, quienes, motivados por los resultados negativos en cuanto al
aprovechamiento que los alumnos de esta facultad presentan, han sentido la inquietud de
reformular las actividades que desarrollan dentro de sus clases. Esto ha llevado a algunos a
la búsqueda de herramientas, metodologías o acciones que puedan favorecer el aprendizaje
de los alumnos, obteniendo algunos resultados positivos. Recordemos el comentario de una
profesora:
Extracto 22, sesión 4.
P1 Sabes que es bueno, un tema abordarlo desde diferentes enfoques, el de límite por ejemplo, una tabla sirve para ver lo que pasa en el límite, incluso en varias variables…
150
Capítulo 6: Reflexiones finales y conclusiones
Sin embargo, pudimos notar que la aplicación de tales herramientas se ha llevado a cabo de
forma escueta, viéndose limitados los beneficios que se podrían obtener y, en un momento
dado, generarse problemas que lleven al profesor a experimentar consecuencias nada
favorables, las cuales repercutan en su ímpetu por cambiar sus prácticas.
Lo anterior nos muestra dos puntos importantes a resaltar. El primero es el hecho de que las
diferencias existentes entre lo que el profesor espera de los cursos de formación didáctica y
lo que en ellos se propone, constituyen un punto que puede generar frustración y un
sentimiento negativo hacia dichos cursos. En este sentido, las experiencias no tan positivas
de ellos al respecto, ya sea por el motivo anterior o por que a partir de ellos no han
experimentado mejoras en su desempeño y el de los alumnos, genera sentimientos de
desconfianza hacia lo que se les presenta, siendo esto un obstáculo para su formación.
Situación que preveíamos desde un principio.
Extracto 20, sesión 4.
P1 Yo he tenido malas experiencias de cursos así como de didáctica de docencia […] desde el primero de ellos oía argumentos más o menos parecidos ¿no? Nos presentaban una nueva forma de dar clases que prometía buenos resultados que el método tradicional […] y lo comparaban con lo peor que existía y decías ha bueno si sirve […], al tratar de aislar lo novedoso me daba cuenta de que no había gran diferencia, sino que es algo que ya existe sólo puesto de otra manera, entonces yo pienso que el método no es lo importante sino como se utilice y en que caso […] y no requerimos de más métodos o técnicas.
Tenemos entonces que, en estos cursos, se deben plantear con bastante énfasis y claridad,
los objetivos que se proponen lograr, los saberes que pretenden establecer y las limitaciones
de los mismos. Lo cual, como ya vimos, cobra una gran relevancia en el ámbito de la
didáctica, debido a las falsas concepciones y expectativas que se forjan alrededor de éste.
151
Capítulo 6: Reflexiones finales y conclusiones
Como segundo punto, podemos señalar la necesidad de proveerles a los profesores una
capacitación que les permita dar dirección a las acciones que ellos han comenzado a tomar,
debido a que todas ellas, o al menos su mayoría, podemos decir, están basadas sobre
intuiciones y creencias, las cuales se desprenden de su experiencia como alumnos y su
experiencia profesional, esto debido a que carecen de formación alguna que los oriente y
les de bases para fundamentar dichas acciones. Esto torna difícil el romper con el papel
protagónico que el profesor tiene dentro las clases y lograr así incidir sobre su actuar como
autoridad “didáctica”, el cual norma y guía todas las actividades de enseñanza y de
aprendizaje.
De esta manera, fue importante presentarle al profesor un modelo teórico y práctico que le
de una renovada visión de su quehacer docente al interior del aula. Buscábamos que los
profesores miren al aula de clases como una microcomunidad científica donde es posible
generar conocimientos y aprendizajes, siempre y cuando se procuren las condiciones
adecuadas para ello. Pero también, buscábamos proporcionarle algunas herramientas y
medios a través de los cuales puedan conducir su desempeño y el de sus alumnos bajo una
nueva perspectiva. El profesor debe buscar y permitir que el alumno se sienta en libertad de
actuar, formular y validar sobre una situación específica de aprendizaje, es decir, debe
desarrollar espacios adecuados que permitan al alumno hacerse responsable de construir su
aprendizaje, y dentro los cuales pueda lograrlo. El profesor tendrá la responsabilidad de
institucionalizar los conocimientos. Para complementar al modelo anterior propusimos un
modelo que haga que el profesor vea el aula como un lugar para experimentar, que se mire
y actué como un investigador que analiza las actividades que pone en acción, así como los
resultados que en ellas producen; el estudio de los puntos fuertes y los débiles de dichas
152
Capítulo 6: Reflexiones finales y conclusiones
actividades y acciones. De modo que esto le provea de información pertinente para adecuar
su modelo docente a las nuevas realidades que se le presentan, así como mantener una
actitud abierta a la continua formación.
Durante el curso pudimos dar nos cuenta de lo adecuado de incluir un modelo experimental
al modelo de formación, pues observamos que algunos de los profesores no son reflexivos
sobre su desempeño dentro del salón de clases. Recordemos lo siguiente:
Extracto 10, sesión 1.
P1 ¿Quién va ha determinar si estoy enseñando bien o no? Ósea, es una pregunta fundamental, ¿Quién lo va a determinar?
Sin ésta reflexión el mismo modelo que proviene de la Teoría de las Situaciones Didáctica
resultaría insuficiente para lograr los planteamientos de formación anteriores, apareciendo
solamente como un modelo de acción que a los ojos de los profesores viene a “complicar”
su labor, al requerir de un mayor tiempo y preparación.
Otra cosa de la que pudimos percatarnos, es que la aceptación de parte de algunos
profesores de cualquier propuesta de cambio se ve condicionada por el hecho de que dicho
cambio garantice que se van a producir beneficios, más aún si esa nueva forma de acción
exigirá de ellos un mayor esfuerzo y el profesor ha tenido malas experiencias en otros
cursos de formación. Sin embargo, el mayor punto sobre el cual se debe incidir para lograr
modificar las prácticas del profesor lo constituye su epistemología, donde se encuentran
reflejadas sus creencias de cómo se enseña, cómo se aprende, que es la actividad
matemática y lo que se puede y no desarrollar en el aula. Es esta epistemología, la base
153
Capítulo 6: Reflexiones finales y conclusiones
sobre la cual el profesor discrimina y evalúa lo que se le propone y que determinará si lo
acepta o no.
En este sentido la Teoría de las Situaciones Didácticas se presentó como un modelo de
acción idóneo para nuestros propósitos. Los profesores consideran que dicha teoría es
concordante con sus creencias y concepciones sobre la forma en que se aprende, ya que
notamos que ésta va de acuerdo con ellas o al menos no la contraviene fuertemente ni las
rompe de tajo. Esto provee al modelo de una mayor posibilidad de impacto real sobre las
prácticas y no únicamente sobre el discurso del profesor.
No obstante, existen algunos otros puntos que predisponen al profesor hacia una actitud
renuente a aceptar los resultados provenientes de la didáctica de las matemáticas, así como
a aceptar la validez de los resultados que ella presenta.
En primer lugar, podemos señalar la marcada preocupación que muestran los profesores por
presentar la parte formal de los conocimientos. Ellos requieren presentar las definiciones,
los teoremas y las demostración de los mismos, situación que se desprende de la necesidad
del profesor de asegurar, al menos en parte, de que el alumno ha estudiado los
conocimientos desde la perspectiva formal propia de la matemática, y que les “asegure” que
los alumnos han “aprendido matemáticas”. Esto resulta de un traslado de exigencias; la que
hace la matemática al profesor dentro de las actividades propias de la disciplina y la cual el
profesor vierte sobre su clase.
Otro punto a señalar lo constituye la renuencia que algunos profesores muestran para
aceptar que los alumnos se comprometerán o lograrán alcanzar por ellos mismos o con la
154
Capítulo 6: Reflexiones finales y conclusiones
ayudad de ellos los saberes, pues la experiencia les ha mostrado que no todos los alumnos
responden con el mismo interés. Ellos consideran que los alumno “buenos” si serán capaces
de lograrlo, pero que el resto de los alumnos no, e irremediablemente necesitarán de su
ayuda. Situación con la que no contábamos originalmente pero sobre la cual el modelo
logró incidir. Se requiere pues trabajar sobre las creencias, opiniones o visiones que un
profesor tiene sobre las potencialidades de cada uno de sus alumnos, sensibilizarlo hacia un
trato empático e individual.
Por otra parte, aún cuando los profesores no consideran como obvios los resultados que se
les presentan, ellos parecen consideran que esos conocimientos poseen poca validez, al
tener dichos resultados una aceptación reducida en el ambiente científico y ésta parecer
resultado de la influencia y/o la moda, más que por veracidad. Recordemos lo siguiente:
Extracto 6, sesión 3.
P1 Solo estoy diciendo, en cuanto a lo que he visto y oído, y situándonos en el ambiente de las ciencias sociales, que es distinto a lo que estamos acostumbrados… de que los resultados son válidos en todos lados, son matemáticas, pero aquí no estamos hablando de matemáticas, sino didáctica de las matemáticas, y ese término socioepistemología sí ha traspasado las fronteras es sólo es hacia Latinoamérica donde México tiene gran influencia y no más.
En conclusión, podemos mencionar que no obstante los puntos mencionados antes, y que
representan puntos que todo curso de formación debe tener en cuenta, los profesores
mostraron una actitud positiva hacia el modelo presentado, produciendo comentarios
favorables respecto a la viabilidad de su consideración como modelo orientador y su
contemplación como un modelo que puede reportar beneficios al aprendizaje de los
alumnos. Esto nos permite vislumbrar que es posible engranar un mayor número de
155
Capítulo 6: Reflexiones finales y conclusiones
resultados provenientes de la didáctica de las matemáticas, en la capacitación y formación
del profesor universitario.
Por otra parte, las problemáticas anteriores que se relacionan con los señalamientos
realizados en capítulos previos respecto a la postura de los profesores frente a los resultados
de didáctica, nos llevan a plantear algunas sugerencias para el diseño de nuevos cursos de
formación. Primeramente, podemos sugerir que las temáticas que se aborden en un primer
curso no contradigan fuertemente y de tajo la epistemología del profesor, pues ello puede
hacer surgir en los profesores una actitud de rechazo a lo que se le comunica y objetar la
viabilidad de llevar a cabo lo que se le propone. Se debe buscar una incidencia gradual
sobre ella, lo que reportará mejores resultados. Otra sugerencia es que, además de buscar
mostrarle al profesor las problemáticas que su práctica puede causar, también se les
proporcionen algunos resultados prácticos que puedan aplicar prontamente dentro de sus
clases, e ir mirando los aportes de su formación. También podemos sugerir, hacerle ver al
profesor que un cambio en sus prácticas docentes será beneficioso para todos los alumnos,
tanto para aquellos que consideran “buenos” como para los otros alumnos, pues esto se
vuelve una objeción fuerte por parte del profesor. Finalmente mencionaremos la
importancia de que las temáticas y el modelo a proponer tengan a la propia matemática
como punto de estudio, como objeto a problematizar a la luz de la enseñanza ó como hoy
día se busca el aprendizaje, para que el profesor no vea afectadas las exigencias propias que
esta disciplina hace a sus estudiosos y a sus usuarios, pero sí se logre incidir sobre ellas.
156
Capítulo 6: Reflexiones finales y conclusiones
Todo lo anterior nos permite ver que cualquier curso de formación debe contemplar el
ámbito en el que se desarrolla el profesor, así como también en necesario que contemple
resultados similares a los aquí establecidos, pues de ello dependerá el éxito de los mismos.
Por último, quisiéramos agregar que las temáticas referentes a la dualidad objeto-proceso
de los conceptos matemáticos, el uso de la tecnología como herramienta cognitiva, la
visualización, así como los diferentes registros de representación de los conceptos
matemáticos, constituyen temáticas que los profesores han vislumbrado como útiles durante
su experiencia docente, lo que los lleva a presentar cierto interés en una capacitación en
ellos. Por otra parte, el pensamiento y lenguaje variacional, aún cuando fue un tema de gran
discusión y que motivó cambios en el discurso de los profesores, parece ser tomado con
ciertas reservas, esto por lo aparentemente difícil de desarrollar en ciertos tiempos.
157
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166
ANEXO A
Actividad
Dada la siguiente gráfica de una función indique la porción en la que se cumpla lo
siguiente:
-2 -1 1 2
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
1. Marca sobre la gráfica de la función que aparece enseguida la porción que
consideres que cumple con la condición . 0)( >xf
2. Marca sobre la gráfica de la función que aparece enseguida la porción que
consideres que cumple con la condición . 0)´( >xf
3. Marca sobre la gráfica de la función que aparece enseguida la porción que
consideres que cumple con la condición . 0)``( >xf
4. Marca sobre la gráfica de la función que aparece enseguida la porción que
consideres que cumple con la condición 0)( >′′′ xf .
167
ANEXO B
Actividad
Pedro se ha enterado de las nuevas tarifas de energía eléctrica que se desea implementar en
la región en donde vive, esto con el fin de solventar un problema que el cálculo de dichas
tarifas generaba y adecuar los cobros a los gastos en la producción de la energía. Debido a
que en esa región se consumen muchos kilowatts de electricidad, se propone establecer una
tasa preferencial para aquellos usuarios que consuman una cantidad menor o igual a 300
Kw. y cobrar una tasa mayor por cada kilowatt que sobrepase ese margen. En un volante se
propone la siguiente tabla para ejemplificar los nuevos costos.
1º bimestre 2º bimestre 3º bimestre 4º bimestre 5º bimestre.
Costo 125 228.4 310 67.75 158
Consumo 250 398 500 135.5 310
1. Con el antiguo plan tarifario Pedro pagaba $225 pesos por un gasto de 375 Kw., lo
cual constituía su gasto promedio durante todo el año ¿Le conviene el cambio de
tarifas, para pagar menos en su consumo? Justifica tu razonamiento.
168
2. La siguiente gráfica relaciona el consumo de kilowatts realizado con el pago
correspondiente utilizando para ello las antiguas tarifas.
a. ¿Existe una descripción del modo como se calculaban las tarifas antiguas?
Explica.
b. ¿A qué personas les conviene más el cambio de tarifas?
-50 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
-80
-40
40
80
120
160
200
240
280
320
360
400
x
y
169
Recommended