Unidad IIIUnidad III
Ecuaciones e inecuacionesEcuaciones e inecuaciones
¿Qué es una igualdad ¿Qué es una igualdad algebraica?algebraica?
• Ejemplo
4.3+5=17
4.x+5=17
S={3}
Tratemos ahora de encontrar el Tratemos ahora de encontrar el conjunto soluciónconjunto solución
•x+4=x
•S={ }
•0.x=10
•Las expresiones con conjunto solución
vacío son ABSURDOS o
CONTRADICCIONES
¿Qué sucede en los siguientes ¿Qué sucede en los siguientes casos?casos?
•X+X=2.X
•S={R}
•0.X=0
Ecuaciones lineales:Ecuaciones lineales:
•Aquellas igualdades algebraicas en el que el máximo exponente de la incógnita es 1.
Ecuación lineal es :Ecuación lineal es :a.x + b = ca.x + b = c
• Ejemplo:
X+3=10
X+3-3=10-3
S={7}
• Ejemplo
34
12.
44
12.4
x
x
x
• Ejemplo
311311
.33
11.3
5655.3
65.3
S
x
x
x
x
DesigualdadesDesigualdades
• Sean a y b dos números R
Si
”a es mayor que b” entonces su diferencia es positiva.
obaba
• Sean a y b dos números R
Si
”a es menor que b” entonces su diferencia es negativa.
obaba
• Sean a y b dos números R
Si
”a es igual a b” entonces su diferencia es cero.
obaba
Inecuación LinealInecuación Lineal
• Cuando las desigualdades incluyen incógnitas se llaman inecuaciones y es lineal cuando el máximo exponente de la incógnita es 1.
EjemploEjemplo
• La solución que satisface esta ecuación no es un único valor , sino un intervalo, es decir, un subconjunto de los números Reales. 6,
63
18.
33
18.3
S
x
x
x
EjemploEjemplo
45
,
45
45
5.4
S
x
x
x
Presten atenciónPresten atención
• Si el número que multiplica a la incógnita es positivo la desigualdad conserva el sentido.
• Si el número que multiplica a la incógnita es negativo la desigualdad cambia el sentido.
¿Cómo se expresan los ¿Cómo se expresan los intervalos?intervalos?
• Cuando
Intervalo semiabierto• Cuando
Intervalo abierto
aax ,
aax ,
• Cuando
Intervalo semiabierto• Cuando
Intervalo abierto
,aax
,aax
Sistemas de Sistemas de ecuaciones con ecuaciones con dos incógnitasdos incógnitas
¿Cuándo encontramos la ¿Cuándo encontramos la solución?solución?
• Cuando se satisfagan al mismo tiempo las dos ecuaciones planteadas
ProblemaProblema
• Un comerciante desea incorporar en su negocio dos artículos y dispone de $2000 para invertir. El primer artículo tiene un costo de $300 y ocupa un espacio de 4m en su depósito. El segundo cuesta $400 y necesita un espacio de 5m. El espacio con que se cuenta en el depósito es de 26 m.
• ¿Cuántos artículos de cada tipo deberá adquirir?
• Un comerciante desea incorporar en su negocio dos artículos y dispone de $2000 para invertir. El primer artículo tiene un costo de $300 y ocupa un espacio de 4m en su depósito. El segundo cuesta $400 y necesita un espacio de 5m. El espacio con que se cuenta en el depósito es de 26 m.
• ¿Cuántos artículos de cada tipo deberá adquirir?
X : tipo AX : tipo Ay : tipo By : tipo B
265.4
2000.400.300
yx
yx
222
111
..
..
cybxa
cybxa
265.4
2000.400.300
yx
yx
2000
400
300
1
1
1
c
b
a
26
5
4
2
2
2
c
b
a
¿Cómo identificar si un sistema ¿Cómo identificar si un sistema tiene solución?tiene solución?
Tiene solución y es única
Compatible-determinado
80755
4004
3002
1
2
1
bb
aa
Infinitas solucionesInfinitas solucionesCompatible-indeterminadoCompatible-indeterminado
• Ejemplo
5,05,042
63
2
1
2
1
bb
aa
2.4.6
12.3
yx
yx
5,05,021
42
2
1
2
1
cc
bb
No tiene soluciónNo tiene soluciónIncompatibleIncompatible
• Ejemplo
1122
55
2
1
2
1
bb
aa
10.2.5
8.2.5
yx
yx
8,01108
55
2
1
2
1
cc
aa
Métodos de Métodos de resoluciónresolución
Método de sustituciónMétodo de sustitución
• Consiste en despejar una incógnita en alguna de las dos ecuaciones y luego sustituir el valor de esta incógnita en la
otra ecuación
Método de igualaciónMétodo de igualación• Consiste en despejar la misma
incógnita de ambas ecuaciones para luego igualarlas y encontrar el valor
de la otra.
Una vez hallado un valor, reemplazando, encontraremos el otro.
• Conjunto solución de un sistema de ecuaciones
lineales con dos incógnitas: es el único par
ordenado (X;Y) que verifica ambas ecuaciones
Interpretación gráfica de Interpretación gráfica de un sistema de dos un sistema de dos
ecuaciones con dos ecuaciones con dos incógnitasincógnitas
¿Cómo graficamos el conjunto ¿Cómo graficamos el conjunto solución?solución?
• Al despejar “y” obtenemos dos RECTAS de la forma:
Y=a.X+b a: pendiente b:ordenada al origenEl conjunto solución será la intersección de
las dos rectas que hallamos.En caso de que las rectas no se corten ,
estaremos en presencia de un sistema incompatible, es decir , un sistema que no tiene solución.
Dado el siguiente sistemaDado el siguiente sistema
xy
xy
yx
yx
9
.2
9
0.2
Sistemas de Sistemas de inecuacionesinecuaciones
•Resolución gráfica
• Una editorial va a sacar a la venta una colección sobre arte y lo hará en dos presentaciones diferentes, una económica y otra de lujo con una mejor encuadernación. El gasto que tendrá la editorial en el material es de $2 por cada libro de la edición económica y $ 8 por cada uno de la edición de lujo. Además existe un gasto por el trabajo del personal que se calcula en $5 y $8 por cada libro respectivamente. La editorial dispone de $16000 para el material y $24000 para el pago de su personal.
• Con estas condiciones, ¿puede editar 5000 libros de la edición económica y 500 de la de lujo?
0
0
240008.5
16000.8.2
x
y
yx
yx
DespejandoDespejando
0
0
240008.5
16000.8.2
x
y
yx
yx
xy
xy
85
3000
41
2000
• ¿Puede la editorial editar 5000 libros de la edición económica y 500 de la de lujo?
• La respuesta es NO. El punto (5000; 500) está fuera del conjunto solución.