MATEMATICAS I
Unidad 5; Fórmulas y funciones trigonométricas
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Unidad 5: FÓRMULAS Y FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
La característica que llama más la atención al alumno cuando estudia trigonometría
es la enorme cantidad de fórmulas que tiene que aprender o memorizar.
Localiza en tu libro de texto, o apuntes, las formulas trigonométricas que aparecen
resaltadas como importantes. Allí hallarás una demostración y explicación de cómo se
utilizan.
Estas son algunas de las más utilizadas:
Presta atención al ejemplo que aparece resuelto en este video.
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Video 5 – 1 – a : https://www.youtube.com/watch?v=KNKtro9N0nE
Presta atención a la resolución del ejercicio de simplificación que aparece en el
siguiente video.
Video 5 – 2 – a : https://www.youtube.com/watch?v=_7SVKP74Pn4
Presta atención a la resolución de todos los ejercicios de simplificación que aparecen
en el siguiente video.
Video 5 – 2 – b : https://www.youtube.com/watch?v=8sN8sXqjl-A
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Ejercicio 5 – 1.- (IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS)
Copia en tu cuaderno la resolución de los ejercicios de identidades trigonométricas
que aparecen en el siguiente video.
Video 5 – 3 – a : https://www.youtube.com/watch?v=He7SY4kFDVA
Ejercicio 5 – 2.- (IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS)
Copia en tu cuaderno la resolución de los ejercicios de identidades trigonométricas
que aparecen en el siguiente video.
Video 5 – 3 – b : https://www.youtube.com/watch?v=A5mcbFkMJR0
Aquí tienes otro ejemplo de la resolución de un ejercicio de identidades
trigonométricas que aparece en el siguiente video.
Video 5 – 3 – c : https://www.youtube.com/watch?v=Yu63ixRvXkY
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Y otro ejemplo más de la resolución del ejercicio de identidades trigonométricas que
aparece en el siguiente video.
Video 5 – 3 – d : https://www.youtube.com/watch?v=5FioTmDE5Ho
Ejercicio 5 – 3.- (IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS)
Ahora una para ti sin video de ayuda.
Demuestra la siguiente identidad:
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Las ecuaciones trigonométricas son muy variadas. Te pido que resuelvas las
más sencillas.
En primer lugar te muestro unas cuantas resueltas por mí mismo.
Ejemplo 1.- (ecuación de primer grado)
i) Averigua los ángulos que cumplen la ecuación sen x = 0,4
ii) Averigua los ángulos que cumplen la ecuación sen x = - 0,4
iii) Averigua los ángulos que cumplen la ecuación cos x = 0,4
iv) Averigua los ángulos que cumplen la ecuación cos x = - 0,4
v) Averigua los ángulos que cumplen la ecuación tan x = 0,4
vi) Averigua los ángulos que cumplen la ecuación tan x = - 0,4
Solución:
Este tipo de ecuaciones tiene como máximo dos soluciones. La calculadora científica
nos permite averiguar una solución, la otra la averiguamos con un truco. Las resolveremos
en grados; si el ejercicio pidiera la solución en radianes pues no hay problema, después los
pasaríamos a radianes, como hemos visto en el ejercicio 1.
i) SHIFT SEN-1
0,4 = y las calculadora nos da una solución 23º34º41º
Este ángulo está situado en el primer cuadrante donde los valores de seno son
positivos. El otro ángulo estará en el segundo cuadrante, donde también los
valores de seno son positivos. Este ángulo es 180 – A.
Soluciones: 23º34º41º y 180 - 23º34º41º = 156º25º19º
ii) SHIFT SEN-1
- 0,4 = y las calculadora nos da una solución. -23º34º41º
Este ángulo está situado en el cuarto cuadrante donde los valores de seno son
negativos. El otro ángulo estará en el tercer cuadrante, donde también los valores
de seno son negativos. Este ángulo es el complementario
180 – A. Soluciones: - 23º34º41º y 180 – (-23º34º41º) = 203º34º41º. Pero el
ángulo negativo no se suele utilizar y lo pasamos a positivo sumándole 360º, y
obtenemos 360 + (-23º34º41º) = 336º25º19º
iii) SHIFT COS-1
0,4 = y las calculadora nos da una solución.87º42º27º.
Este ángulo está situado en el primer cuadrante donde los valores de coseno son
positivos. El otro ángulo estará en el cuarto cuadrante, donde también los valores
de coseno son positivos. Este ángulo es 360 – A. Soluciones: 87º42º27º. y 360 -
87º42º27º = 272º17º33º
iv) SHIFT COS-1
- 0,4 = y las calculadora nos da una solución.113º34º41º
Este ángulo está situado en el segundo cuadrante donde los valores de coseno son
negativos. El otro ángulo estará en el tercer cuadrante, donde también los valores
de coseno son negativos. Este ángulo es el complementario 360 – A. Soluciones:
113º34º41º y 360 - 113º34º41º = 246º25º19º
v) SHIFT TAN -1
0,4 = y las calculadora nos da una solución. 21º48º5º
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Este ángulo está situado en el primer cuadrante donde los valores de tangente son
positivos. El otro ángulo estará en el tercer cuadrante, donde también los valores
de tangente son positivos. Este ángulo es 180 + A. Soluciones: 21º48º5º y 180 +
21º48º5º = 201º48º5º
vi) SHIFT TAN-1
- 0,4 = y las calculadora nos da una solución. -21º48º5º
Este ángulo está situado en el cuarto cuadrante donde los valores de tangente son
negativos. El otro ángulo estará en el segundo cuadrante, donde también los
valores de seno son negativos. Este ángulo es 180 + A. Soluciones: - 21º48º5º y
180 + (-21º48º5º) = 158º11º55º. Pero el ángulo negativo no se suele utilizar y lo
pasamos a positivo sumándole 360º, y obtenemos 360 + (-21º48º5º) =
338º11º55º
Atención signo de las razones trigonométricas
Seno Coseno
En estos esquemas vemos que el seno es positivo en el primer y segundo cuadrante.
Mientras que el coseno es positivo en el primero y el cuarto. Existe otro esquema similar
para la tangente que es positiva en el primero y el tercero.
Recuerda Ecuaciones trigonométricas básicas
SOLUCIONES SOLUCIONES SOLUCIONES
sen x = 1 x = 90º cos x = 1 x = 0º tan x = 1 x = 45º y 225º
sen x = 0 x = 0º y 180º cos x = 0 x = 90º y 270º tan x = 0 x = 0º y 180º
sen x = -1 X = 270º cos x = -
1
x = 180º tan x = -
1
x = 135º y 315º
Las ecuaciones de la tabla anterior son muy importantes y los estudiantes de
matemáticas superiores de los últimos cien años(al menos) han terminado memorizándolas,
pero la cuestión no es memorizar sino aprender. Estos resultados se obtienen del estudio del
círculo goniométrico de la unidad 4.
NOTA IMPORTANTE
sen A = número, los dos valores del ángulo A son:
A1 el que se obtiene con la calculadora y el otro A2 = 180 – A1
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cos A = número, los dos valores del ángulo A son:
A1 el que se obtiene con la calculadora y el otro A2 = 360 – A1
tan A = número, los dos valores del ángulo A son:
A1 el que se obtiene con la calculadora y el otro A2 = 180 + A1
Ejercicio 5 – 4.-(DOS ÁNGULOS CON UNA MISMA RAZÓN TRIGONOMÉTRICA)
Resuelve el siguiente ejercicio ayudándote del ejemplo anterior.
En cada caso halla, en grados, dos valores para el ángulo A tales que:
a) sen A = 0,32 ; b) cos A = 0,58 ; c) tan A = - 1,5 ; d) sen A = - 0,63
Ejemplo 2.- (ecuación de segundo grado)
Presta atención al siguiente ejercicio. Tiene cuatro apartados. En el apartado a)
encontramos una ecuación de segundo grado completa y aplicamos la fórmula. En los dos
siguientes las ecuaciones son incompletas y no se aplica la fórmula sino el procedimiento
correspondiente; despejar con la raíz cuadrada o sacar factor común. La última ecuación es
más difícil pues mezcla dos razones trigonométricas distintas, el seno y el coseno, y en este
caso debemos recurrir a la fórmula fundamental de la trigonometría (seno)2 +(coseno)
2 = 1,
para despejar y sustituir.
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Observa de qué manera al resolver una ecuación trigonométrica de segundo grado se
obtienen una o dos ecuaciones de primer grado, como las del ejemplo 1. Por lo tanto ya te
has dado cuenta de que resolver una de estas ecuaciones es un laborioso ejercicio de cálculo.
Ejercicio 5 – 5.-(ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS DE SEGUNDO GRADO)
Resuelve el siguiente ejercicio ayudándote del ejemplo anterior. Soluciona las
siguientes ecuaciones trigonométricas:
a) ; b) ; c) √
Ejercicio 5 – 6.-(ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS)
Resuelve la ecuación trigonométrica que aparece en el siguiente video, pero sustituye
senx por cosx.
Video 5 – 4 – e : https://www.youtube.com/watch?v=3RzvkD0XJw8
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Ejercicio 5 – 7.-(ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS)
Resuelve la ecuación trigonométrica que aparece en el siguiente video. Pero sustituye
el 1 por -1.
Video 5 – 4 – f : https://www.youtube.com/watch?v=F6G56eccQV0
En matemáticas utilizamos una medida de ángulos diferente a los grados, y son los
radianes. Debes conocer esta unidad de medida.
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Atención la calculadora en trigonometría
Podemos trabajar en grados DEG o radianes RAD. Para seleccionar uno u otro, debes pulsar
la tecla MODE dos veces y elegir 1 o 2. Si trabajas en radianes usarás el número , lo
encontrarás en la calculadora como segunda función en la última fila tercera columna, en
color marrón. Ya sabes que para obtenerlo debes pulsar antes la tecla SHIFT.
Truco Pasar de radianes a grados y viceversa
Así el resultado es
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Ejercicio 5 – 8.-(PASAR DE GRADOS A RADIANES Y VICEVERSA)
i) Resuelve el siguiente ejercicio utilizando las explicaciones anteriores.
ii) Resuelve el siguiente ejercicio utilizando las explicaciones anteriores.
Ejercicio 5 – 9.-(PASAR DE GRADOS A RADIANES Y VICEVERSA)
Ejercicio 5 – 10.-(GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS)
Investiga en tu libro de texto y escribe en tu cuaderno las características más
importantes de cada una de las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente.
Una función trigonométrica aparece representada en el siguiente video. Presta
atención a la detallada explicación.
Video 5 – 7 – a: https://www.youtube.com/watch?v=VxSyRH_sWwU
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Otra función trigonométrica muy diferente aparece en el siguiente video. Presta
atención a la detallada explicación.
Video 5 – 7 – b: https://www.youtube.com/watch?v=IqrX6E8VHl8