Senin 17 April 2023Senin 17 April 2023 Sharifuddin Bin Andy OmarSharifuddin Bin Andy Omar 11
UKURAN GEJALA PUSATUKURAN GEJALA PUSAT
Sharifuddin Bin Andy OmarSharifuddin Bin Andy Omar
Senin 17 April 2023Senin 17 April 2023 Sharifuddin Bin Andy OmarSharifuddin Bin Andy Omar 22
Penyajian data dengan cara-cara diagram, tabel, histogram, poligon, dan ozaiv, dapat dikembangkan menjadi ukuran gejala pusat dan ukuran letak.
Ukuran gejala pusat disebut juga ukuran tendensi sentral, sedangkan ukuran letak disebut juga ukuran penempatan.
Senin 17 April 2023Senin 17 April 2023 Sharifuddin Bin Andy OmarSharifuddin Bin Andy Omar 33
Ukuran gejala pusat terdiri atas:Rata-rata atau rata-rata hitungRata-rata ukurRata-rata harmonikM o d u s
Ukuran yang dihitung dari kumpulan data dalam sampel dinamakan statistik. Apabila ukuran itu dihitung dari kumpulan data dalam populasi maka disebut parameter.
Senin 17 April 2023Senin 17 April 2023 Sharifuddin Bin Andy OmarSharifuddin Bin Andy Omar 44
Rata-rata atau Rata-rata HitungRata-rata (rata-rata hitung) untuk data kuantitatif yg
terdapat dalam sebuah sampel dihitung dengan membagi jumlah nilai data oleh banyak data.
Simbol rata-rata untuk sampel adalah sedangkan rata-rata untuk populasi dipakai simbol µ. Jadi adalah statistik dan µ adalah populasi.
Nilai-nilai data kuantitatif dinyatakan dengan x1, x2, …., xn, apabila dalam kumpulan data itu terdapat n buah nilai. Simbol n menyatakan ukuran sampel, yaitu banyak data atau obyek yg diteliti dalam sampel.
x
x
Senin 17 April 2023Senin 17 April 2023 Sharifuddin Bin Andy OmarSharifuddin Bin Andy Omar 55
Rumus untuk rata-rata
n
xxatau
n
x.....xxx
n
1ii
n21
n
xx i
425210
55135451960
x
Atau lebih sederhana ditulis:
Umur pegawai masing-masing: 60, 19, 45, 35, dan 51. Maka rata-ratanya adalah:
Rumus 1
Rumus 2
Senin 17 April 2023Senin 17 April 2023 Sharifuddin Bin Andy OmarSharifuddin Bin Andy Omar 66
i
ii
f
xfx
Jika ada 1 pegawai berumur 60, 1 berumur 19, 2 berumur 20, 1 berumur 35, 1 berumur 57, 1 berumur 51, 5 berumur 45, dan 1 berumur 56, maka data tersebut lebih baik ditulis dalam bentuk:
xi fi
60 1
19 1
20 2
35 1
57 1
51 1
45 5
56 1
xi menyatakan umur pegawai (tahun), dan fi menyatakan frekuensi untuk nilai xi yg bersesuaian.
Rumus rata-rata untuk data yg berbentuk seperti ini adalah:
Rumus 3
Senin 17 April 2023Senin 17 April 2023 Sharifuddin Bin Andy OmarSharifuddin Bin Andy Omar 77
Untuk contoh tersebut, maka dianjurkan untuk membuat tabel penolong sebagai berikut:
7692,4113
543
f
xfx
i
ii
xi fi fixi
60 1 60
19 1 19
20 2 40
35 1 35
57 1 57
51 1 51
45 5 225
56 1 56
Jml 13 543
Dari tabel diperoleh Σ fi = 13 dan Σ fixi = 543, sehingga:
Senin 17 April 2023Senin 17 April 2023 Sharifuddin Bin Andy OmarSharifuddin Bin Andy Omar 88
Kita juga dapat menghitung rata-rata gabungan, yaitu rata-rata dari beberapa sub-sampel lalu dijadikan satu. Jika ada k buah sub-sampel masing-masing dengan keadaan berikut:
Sub-sampel 1: berukuran n1 dengan rata-rata , sub-sampel 2: berukuran n2 dengan rata-rata , ……………………………, dan sub-sampel k: berukuran nk dengan rata-rata , maka rata-rata gabungan dari k buah sub-sampel itu dihitung dengan rumus:
1x
i
ii
n
xnx
2x
kx
Rumus 4
Senin 17 April 2023Senin 17 April 2023 Sharifuddin Bin Andy OmarSharifuddin Bin Andy Omar 99
Contoh: 3 buah subsampel masing-masing berukuran 10, 6, dan 8 dengan rata-ratanya masing-masing 145, 118 dan 162. Maka rata-rata gabungan adalah:
9167,143
243454
86101628118614510
nxn
xi
ii
i
ii
f
xfx
Untuk data yg telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi, rata-ratanya dihitung dengan menggunakan rumus:
Rumus 5
Senin 17 April 2023Senin 17 April 2023 Sharifuddin Bin Andy OmarSharifuddin Bin Andy Omar 1010
Nilai ujian
fi
xi
Tanda kelas
fixi
21 – 30 7 25,5 178,5
31 – 40 13 35,5 461,5
41 – 50 28 45,5 1274,0
51 – 60 46 55,5 2553,0
61 – 70 29 65,5 1899,0
71 – 80 17 75,5 1283,5
81 – 90 8 85,5 684,0
91 – 100 2 95,5 191,0
Jumlah 150 8525
8333,56150
8525
f
xfx
i
ii
Senin 17 April 2023Senin 17 April 2023 Sharifuddin Bin Andy OmarSharifuddin Bin Andy Omar 1111
Cara kedua untuk menghitung rata-rata dari data dalam daftar distribusi frekuensi ialah dengan cara koding atau cara sederhana.
Untuk ini, salah satu tanda kelas diambil dan dinamakan x0 dan diberi nilai c = 0. Tanda kelas yg lebih kecil dari x0 diberi nilai c = -1, c = -2, dan seterusnya; sebaliknya yg lebih besar diberi tanda c = +1, c = +2, dan seterusnya. Jika p = panjang kelas, maka rata-rata hitung cara koding dapat diperoleh dengan rumus:
i
ii0 f
cfpxx Rumus 6
Senin 17 April 2023Senin 17 April 2023 Sharifuddin Bin Andy OmarSharifuddin Bin Andy Omar 1212
Nilai ujian fi xi ci fici
21 – 30 7 25,5 – 3 – 21
31 – 40 13 35,5 – 2 – 26
41 – 50 28 45,5 – 1 – 28
51 – 60 46 55,5 0 0
61 – 70 29 65,5 1 29
71 – 80 17 75,5 2 34
81 – 90 8 85,5 3 24
91 – 100 2 95,5 4 8
Jumlah 150 20
8333,563333,15,55150
20105,55
f
cfpxx
i
ii0
Senin 17 April 2023Senin 17 April 2023 Sharifuddin Bin Andy OmarSharifuddin Bin Andy Omar 1313
M o d u sModus (Mo) digunakan untuk menyatakan
fenomena yg paling banyak terjadi atau paling banyak digunakan.
Untuk data kuantitatif, modus diperoleh dengan cara menentukan frekuensi yg terbanyak di antara data tersebut
Contoh: terdapat sampel dengan nilai-nilai data 153,169,147,147,166,153,147, dan 164.
Maka Mo = 147, karena muncul 3 kali.
Senin 17 April 2023Senin 17 April 2023 Sharifuddin Bin Andy OmarSharifuddin Bin Andy Omar 1414
Jika data kuantitatif telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi maka modus ditentukan dengan rumus:
21
1
bbb
pbMo
b = batas bawah kelas modal, yaitu kelas interval dengan frekuensi terbanyak; p = panjang kelas modal, b1 = frekuensi kelas modal dikurangi frekuensi kelas interval terdekat sebelumnya; b2 = frekuensi kelas modal dikurangi kelas interval terdekat berikutnya.
Rumus 7
Senin 17 April 2023Senin 17 April 2023 Sharifuddin Bin Andy OmarSharifuddin Bin Andy Omar 1515
Nilai ujian fi
21 – 30 7
31 – 40 13
41 – 50 28
51 – 60 46
61 – 70 29
71 – 80 17
81 – 90 8
91 – 100 2
Jumlah 150
Kelas modal = kelas ke-4b = ½(50+51) = 50,5p = 10b1 = 46 – 28 = 18b2 = 46 – 29 = 17
6429,551429,55,50Mo
1718
18105,50
bb
bpbMo
21
1
Senin 17 April 2023Senin 17 April 2023 Sharifuddin Bin Andy OmarSharifuddin Bin Andy Omar 1616
UKURAN LETAKUKURAN LETAK
Sharifuddin Bin Andy OmarSharifuddin Bin Andy Omar
Senin 17 April 2023Senin 17 April 2023 Sharifuddin Bin Andy OmarSharifuddin Bin Andy Omar 1717
Ukuran letak terdiri atas:M e d i a nK u a r t i lD e s i lP e r s e n t i l
Senin 17 April 2023Senin 17 April 2023 Sharifuddin Bin Andy OmarSharifuddin Bin Andy Omar 1818
MEDIANMEDIANMedian (Me) = salah satu teknik penjelasan
kelompok yg didasarkan atas nilai tengah dari kelompok data yg telah disusun urutannya dari yg terkecil sampai yg terbesar, atau sebaliknya.
Jika sampel berukuran ganjil, maka Me, setelah data disusun menurut nilainya, merupakan data paling tengah.
Jika sampel berukuran genap, setelah data disusun menurut urutan nilainya, maka Me sama dengan rata-rata dua data tengah
Senin 17 April 2023Senin 17 April 2023 Sharifuddin Bin Andy OmarSharifuddin Bin Andy Omar 1919
Untuk data ganjil: 153,169,147,171,166,158,145,
164,170,160, dan 177;
Data yg diurut: 145,147,153,158,160,164,166,169, 170,171,177
Me = 164
Untuk data genap: 153,169,147,171,166,158,145,
164,170,160, 180, dan 177;
Data yg diurut: 145,147,153,158,160,164,166,169, 170,171,177,180
Me = ½(164+166)=165
Senin 17 April 2023Senin 17 April 2023 Sharifuddin Bin Andy OmarSharifuddin Bin Andy Omar 2020
Jika data kuantitatif telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi maka median ditentukan dengan rumus:
f
FnpbMe 2
1
b = batas bawah kelas median, yaitu kelas dimana median akan terletak; p = panjang kelas median, n = ukuran sampel atau banyak data; F = jumlah semua frekuensi sebelum kelas median; f = frekuensi kelas median.
Rumus 8
Senin 17 April 2023Senin 17 April 2023 Sharifuddin Bin Andy OmarSharifuddin Bin Andy Omar 2121
Nilai ujian fi
21 – 30 7
31 – 40 13
41 – 50 28
51 – 60 46
61 – 70 29
71 – 80 17
81 – 90 8
91 – 100 2
Jumlah 150
n = 150Kelas median = kelas ke-4b = ½(50+51) = 50,5p = 10F = 7+13+28 = 48f = 46
3696,568696,55,50Me
46
48150105,50
f
FnpbMe 2
121
Senin 17 April 2023Senin 17 April 2023 Sharifuddin Bin Andy OmarSharifuddin Bin Andy Omar 2222
KUARTILKUARTILJika sekumpulan data dibagi 4 bagian yg sama
banyak, sesudah disusun menurut urutan nilainya, maka bilangan pembaginya disebut kuartil. Ada 3 buah kuartil yaitu kuartil pertama (K1), kuartil kedua (K2), dan kuartil ketiga (K3). Pemberian nama ini dimulai dari nilai kuartil paling kecil.
Untuk menentukan nilai kuartil: (a) susun data menurut urutan nilainya, (b) tentukan letak kuartil, (c) tentukan nilai kuartil
Senin 17 April 2023Senin 17 April 2023 Sharifuddin Bin Andy OmarSharifuddin Bin Andy Omar 2323
Letak kuartil ditentukan oleh:
3,2,1idengan4
1nikedataKLetak i
Tentukan K1 dan K3 dari data: 153,169,147,171,166,158,145,164,170,160, 180, dan 177; Data yg diurut: 145,147,153,158,160,164,166,169, 170,171,177,180
41
1 3kedata4
1121kedataKLetak
yaitu antara data ke-3 dan data ke-4, seperempat jauh dari data ke-3
Rumus 9
Senin 17 April 2023Senin 17 April 2023 Sharifuddin Bin Andy OmarSharifuddin Bin Andy Omar 2424
Nilai K1 = data ke-3 + ¼(data ke-4 – data ke-3)
= 153 + ¼(158 – 153) = 153 + 1,25 = 154,25
4
33 9kedata
4
1123kedataKLetak
yaitu antara data ke-9 dan data ke-10, tigaperempat jauh dari data ke-9
Nilai K3 = data ke-9 + ¾(data ke-10 – data ke-9) = 170 + ¾(171 – 170) = 170 + 0,75 = 170,75
Senin 17 April 2023Senin 17 April 2023 Sharifuddin Bin Andy OmarSharifuddin Bin Andy Omar 2525
Untuk data yg telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi, kuartil Ki (i = 1,2,3) dapat ditentukan dengan rumus:
3,2,1idengan
f
F4in
pbK i
b = batas bawah kelas Ki, yaitu kelas interval dimana Ki akan terletak; p = panjang kelas Ki, n = ukuran sampel atau banyak data; F = jumlah semua frekuensi sebelum kelas Ki; f = frekuensi kelas Ki.
Rumus 10
Senin 17 April 2023Senin 17 April 2023 Sharifuddin Bin Andy OmarSharifuddin Bin Andy Omar 2626
Nilai ujian fi
21 – 30 7
31 – 40 13
41 – 50 28
51 – 60 46
61 – 70 29
71 – 80 17
81 – 90 8
91 – 100 2
Jumlah 150
n = 150i = 3Letak K3 = ¾ x 150 = 112,5
= kelas interval ke-5b = ½(60+61) = 60,5p = 10F = 7+13+28+46 = 94f = 29
8793,663793,65,6029
945,112105,60K
29
9441503
105,60f
F4in
pbK
3
3
Senin 17 April 2023Senin 17 April 2023 Sharifuddin Bin Andy OmarSharifuddin Bin Andy Omar 2727
UKURAN SIMPANGAN UKURAN SIMPANGAN ATAU DISPERSIATAU DISPERSI
Sharifuddin Bin Andy OmarSharifuddin Bin Andy Omar
Senin 17 April 2023Senin 17 April 2023 Sharifuddin Bin Andy OmarSharifuddin Bin Andy Omar 2828
Ukuran simpangan = ukuran dispersi = ukuran variasi = menggambarkan derajat bagaimana berpencarnya data kuantitatif
Yang termasuk ukuran simpangan adalah:• Rentang• Rentang antar kuartil• Simpangan kuartil (deviasi kuartil)• Rata-rata simpangan (rata-rata deviasi)• Simpangan baku (deviasi standar)• Varians• Koefisien variasi
Senin 17 April 2023Senin 17 April 2023 Sharifuddin Bin Andy OmarSharifuddin Bin Andy Omar 2929
Rata-rata Simpangan
19 –15 15
20 –14 14
35 1 1
45 11 11
51 17 17
xx i xx i ix
n
xxRS
i
6,11558
RS
Senin 17 April 2023Senin 17 April 2023 Sharifuddin Bin Andy OmarSharifuddin Bin Andy Omar 3030
Varians dan Simpangan BakuUntuk sampel, varians diberi simbol s2 dan untuk
populasi diberi simbol δ2. Simpangan baku untuk sampel diberi simbol s dan populasi diberi simbol δ
Jika kita mempunyai sampel berukuran n dengan data x1, x2, …xn dan rata-rata maka varians dan
simpangan baku adalah:
x
1n
xxs
2
i2
1n
xxs
2
i
Rumus 11 Rumus 12
Senin 17 April 2023Senin 17 April 2023 Sharifuddin Bin Andy OmarSharifuddin Bin Andy Omar 3131
1n
xxs
2
i
2084
832
15
832s2
4222,14208s
1n
xxs
2
i2
xx i 2i xx
19 –15 225
20 –14 196
35 1 1
45 11 121
51 17 289
832
ix
Senin 17 April 2023Senin 17 April 2023 Sharifuddin Bin Andy OmarSharifuddin Bin Andy Omar 3232
Bentuk lain dari rumus varians dan simpangan baku adalah:
1nn
xxns
2i
2i2
1nn
xxns
2i
2i
1nn
xxns
2i
2i2
1nn
xxns
2i
2i
Rumus 13 Rumus 14
xi (xi)2
19 361
20 400
35 1225
45 2025
51 2601
170 6612
208
20
4160
155
17066125s
22
4222,14208s
Senin 17 April 2023Senin 17 April 2023 Sharifuddin Bin Andy OmarSharifuddin Bin Andy Omar 3333
Jika data dari sampel telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi, maka untuk menentukan varians dan simpangan baku digunakan rumus:
1n
xxfsdan
1nxxf
s2
ii
2
ii2
1nn
xfxfnsdan
1nn
xfxfns
2ii
2ii
2ii
2ii2
Atau dapat pula digunakan rumus:
Rumus 16
Rumus 17 Rumus 18
Rumus 15
Senin 17 April 2023Senin 17 April 2023 Sharifuddin Bin Andy OmarSharifuddin Bin Andy Omar 3434
Nilai ujian fi xi
21 – 30 7 25,5 -31,3333 981,7757 6872,4298
31 – 40 13 35,5 -21,3333 456,1097 5916,4260
41 – 50 28 45,5 -11,3333 128,4437 3596,4233
51 – 60 46 55,5 -1,3333 1,7777 81,7737
61 – 70 29 65,5 8,6667 75,1117 2178,2390
71 – 80 17 75,5 18,6667 348,4457 5923,5767
81 – 90 8 85,5 28,6667 821,7797 6574,2375
91 – 100 2 95,5 38,6667 1495,1137 2990,2274
Jumlah 150 34133,3333
xx i 2i xx 2ii xxf
Senin 17 April 2023Senin 17 April 2023 Sharifuddin Bin Andy OmarSharifuddin Bin Andy Omar 3535
Dengan menggunakan Rumus 15 dan 16, maka:
0828,229
149
3333,34133
1150
3333,34133
1n
xxfs
2
ii2
1355,150828,229
1nxxf
s2
ii
Senin 17 April 2023Senin 17 April 2023 Sharifuddin Bin Andy OmarSharifuddin Bin Andy Omar 3636
Nilai ujian fi xi (xi)2 fixi fixi2
21 – 30 7 25,5 650,25 178,5 4551,75
31 – 40 13 35,5 1260,25 461,5 16383,25
41 – 50 28 45,5 2070,25 1274,0 57967,00
51 – 60 46 55,5 3080,25 2553,0 141691,50
61 – 70 29 65,5 4290,25 1899,0 124417,25
71 – 80 17 75,5 5700,25 1283,5 96904,25
81 – 90 8 85,5 7310,25 684,0 58482,00
91 – 100 2 95,5 9120,25 191,0 18240,50
Jumlah 150 8525 518637,50
Senin 17 April 2023Senin 17 April 2023 Sharifuddin Bin Andy OmarSharifuddin Bin Andy Omar 3737
Dengan menggunakan Rumus 17 dan 18, maka:
0828,229
1150150
85255,518637150
1nn
xfxfns
22ii
2ii2
1355,150828,229
1nn
xfxfns
2ii
2ii
Senin 17 April 2023Senin 17 April 2023 Sharifuddin Bin Andy OmarSharifuddin Bin Andy Omar 3838
Varians dan simpangan baku juga dapat ditentukan dengan cara koding seperti terlihat pada Rumus 9 dan 10 berikut ini:
1nn
cfcfnps
2ii
2ii22
1nncfcfn
ps2
ii2ii2
Rumus 20
Rumus 19
Senin 17 April 2023Senin 17 April 2023 Sharifuddin Bin Andy OmarSharifuddin Bin Andy Omar 3939
Nilai ujian fi xi ci fici ci2 fici
2
21 – 30 7 25,5 – 3 – 21 9 63
31 – 40 13 35,5 – 2 – 26 4 52
41 – 50 28 45,5 – 1 – 28 1 28
51 – 60 46 55,5 0 0 0 0
61 – 70 29 65,5 1 29 1 29
71 – 80 17 75,5 2 34 4 68
81 – 90 8 85,5 3 24 9 72
91 – 100 2 95,5 4 8 16 32
Jumlah 150 20 344
Senin 17 April 2023Senin 17 April 2023 Sharifuddin Bin Andy OmarSharifuddin Bin Andy Omar 4040
Dengan menggunakan Rumus 19 dan 20, maka:
0828,229
115015020344150
101nncfcfn
ps2
22
ii2ii22
1355,150828,229
1nn
cfcfnps
2ii
2ii2
Senin 17 April 2023Senin 17 April 2023 Sharifuddin Bin Andy OmarSharifuddin Bin Andy Omar 4141
Kita juga dapat menghitung varians gabungan, yaitu rata-rata dari beberapa sub-sampel lalu dijadikan satu. Jika ada k buah sub-sampel masing-masing dengan keadaan berikut:
Sub-sampel 1: berukuran n1 dengan varians s12,
sub-sampel 2: berukuran n2 dengan varians s22,
……………………………, dan sub-sampel k: berukuran nk dengan varians sk
2, maka varians gabungan dari k buah sub-sampel itu dihitung dengan rumus:
kn....nn
s1n....s1ns1ns
k21
2kk
222
2112
Rumus 21