��
�����
¹ 1. Î ¸ äëû í õî ¸ ð öåõ I ñàðä 720 êî ñòþ ì ,õèéñýí Ạ㺠º ä II ñàðä I öåõ í ü I ñàðû í õààñ 15%-èàð, II öåõ í ü 12% -èàð
èë¿¿ á¿òýýë ãàðãàæ õî ¸ óë í èéëýýä á¿ãä 819 êî ñòþ ì î ¸ æýý.Öåõ òóñ á¿ð II ñàðä õè÷í ýýí êî ñòþ ì î ¸ ñî í áý?
` y = 300 x = 420
420 = 483 / I öåõèéí II ñàðä î ¸ ñî í êî ñòþ ì /
300 = 336 / II öåõèéí II ñàðä î ¸ ñî í êî ñòþ ì /
¹ 2.Êî ì ï àí è òàðèàëàí ãèéí õî ¸ ð õýñýã ãàçðààñ 360òí òº ì ñ àâ÷ýý.Äàðààõ æèëä I õýñãýýñ àâàõ óðãàö í ü 10% -èàð,
II õýñãýýñ àâàõ óðãàö í ü 15% -èàð í ýì ýãäñýí ó÷èð á¿ãä 404òí òº ì ñ àâñàí áàéí à.Õî ¸ ð äàõ æèëä õýñýã òóñ á¿ðýýñ
õè÷í ýýí òí òº ì ñ àâñàí áý?.
` y = 160 x = 200
200 = 220 / I õýñãýýñ àâñàí òº ì ñ / 160 = 184 / II õýñãýýñ àâñàí /
¹ 3. 30 º äº ð àæèëëàñàí í ýã õ¿í ,28 º äº ð àæèëëàñàí í ýã õ¿í õî ¸ óë í èéëæ àæëû í õº ëñº í ä 1170òº ãðº ã àâ÷ýý. ¯ ¿í ä I
õ¿í èé 4 º äº ð àæèëëàñàí õº ëñ í ü II õ¿í èé 3 º äº ðò àæèëëàñàí õº ëñí º º ñ 55 òº ãðº 㺠º ð èë¿¿ áàéâ.Òýð õî ¸ ð õ¿í
òóñ á¿ð º äº ðò õè÷í ýýí òº ãðº ãí èé àæèë õèéñýí áý?
I õ¿í èé í ýã º äðèéí õº ëñ - õ II õ¿í èé í ýã º äðèéí õº ëñ – y
101y = 1515 y = 15 x = 25
¹ 4.Õî ¸ ð õ¿í õàì ò àæèë õèéæ 557 òº ãðº ã àâñàí Ạ㺠º ä í ýã í ü 10 º äº ð, í º 㺠º í ü 12 º äº ð àæèëëàñàí áàéæýý.Õýðýâ I
õ¿í º äº ðò 1òº ãðº ã 50ì º í 㺠º ð, II õ¿í 10%-èàð áàãà õýì æýýí èé ì º í 㺠àâñàí ãýæ áî äâî ë II õ¿í 12 º äðèéí õº ëñº í ä
I õ¿í èé 10 º äðèéí õº ëñº í ä àâàõ ì º í ãº í º º ñ 50òº ãðº ã 80 ì º í 㺠º ð èë¿¿ ì º í 㺠àâàõ áî ëí î .Òýð õî ¸ ð õ¿í òóñ á¿ð º äº ðò
õè÷í ýýí òº ãðº ãí èé àæèë õèéñýí áý?
I õ¿í èé í ýã º äðèéí õº ëñ - õ II õ¿í èé í ýã º äðèéí õº ëñ – y
��
228y = 5928 y = 26 x = 24,5
¹ 5. Õî ¸ ð î ðî í òî é òî î ã öèô ðèéã í ü ýðã¿¿ëæ òàâüñàí òî î í ä õóâààõàä 4 í î î ã-äî æ 3 ¿ëäæýý.Õýðýâ òýð òî î ã
öèô ð¿¿äèéí í èéëáýðò õóâààâàë 8 í î î ãäî æ 7 ¿ëäýí ý. Óóë òî î ã î ë.
y = 1 x = 7 õàðèó: 71
¹ 6. Õî ¸ ð î ðî í òî é òî î öèô ðèéã í ü ýðã¿¿ëæ òàâüñàí òî î í î î ñî î 45 –ààð èë¿¿ Ạ㺠º ä òýð òî î ã 12.5% - èàð èõýñãýæ
õóó÷èí öèô ð¿¿äèéí í èéëáýðò õóâààõàä 9 í î î ãäî í î . Óóë òî î ã î ë.
y = 2 x = 7 õàðèó: 72
¹ 7.Êî ì ï àí è 100 ãà ãàçàð äº ð⺠ëæëº í ¿¿ðë¿¿ëýõ àðãààð 60ãà ãàçàð öóâóóëàí çýðýãö¿¿ëýõ àðãààð òº ì ñ òàðüæ á¿ãä
21600ö óðãàö àâ÷ýý.ĺ ð⺠ëæëº í ¿¿ðë¿¿ëýõ ø èí ý àðãààð òàðüñàí 7 ãà ãàçàð òóòì ààñ àâñàí óðãàö í ü õóó÷èí àðãààð
òàðüñàí 13ãà ãàçàð òóòì ààñ àâñàí óðãàöí ààñ 136ö –ýýð èë¿¿ áàéñàí áî ë õóó÷èí àðãààð òàðèõàä ãà òóòì ààñ
õè÷í ýýí õýì æýýí èé óðãàö àâñàí áý?
Õóó÷èí àðãààð òàðèõàä ãà òóòì ààñ àâàõ óðãàö – õ
Øèí ý àðãààð òàðèõàä ãà òóòì ààñ àâàõ óðãàö - y
y = 80; x = 168
¹ 8. Í ýã òî î í û 5% äýýð í º 㺠º òî î í û 4% -èéã í ýì áýë 46 áî ëî õ Ạ㺠º ä õàðèí I òî î í û 4% äýýð II òî î í û 5% -èéã
í ýì áýë 44 áî ëí î .Óóë òî î í óóäû ã î ë.
9y = 3600 y = 400 x = 600
¹ 9. Õî ¸ ð òî î í û í èéëáýð 30,êâàäðàòóóäû í ÿëãàâàð í ü 120 áî ë óóë òî î ã î ë.
; 900 – 60y + 120 y = 13 x = 17
¹ 10��Õî ¸ ð�î ðî í òî é�òî î í û �àðàâòû í �öèô ð�í ýãæèéí õýý�öèô ðýýñ���äàõèí �áàãà��õýðýâ�òýð�òî î í óóäû í �öèô ðèéã�ñî ëüæ�
òàâèáàë�óã�òî î í î î ñ����í ýãæýýð�èõ�òî î �ãàðí à��Òýð�òî î ã�î ë�� �����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��
�����
������ ��������������������������������������������������������������������������������������
����� ������Õàðèó������
¹ ���Öèô ð¿¿äèéí �í èéëáýð�í ü���–�òýé�òýí öýõ��õî ¸ ð�î ðî í òî é�òî î í û �öèô ð¿¿äèéí �áàéðû ã�ñî ëüæ�òàâèáàë����ãî î ð�áàãà�
òî î �ãàðí à�Òýð�òî î ã�î ë�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
����������������������� ����������������Õàðèó������
¹ ����Õî ¸ ð�àæèë÷èí �õàì òðàí ����öàã�àæèëëàæ�áàñ���àæèë÷èí �����öàã�àæèëëàâàë����äåòàëü��¿éëäâýðëýõ�áàéâ�Õýðýâ�
òýä�õàì òðàí ��öàã�àæèëëàâàë�¿ëäñýí �õýñãèéã�����àæèë÷èí ��öàã���ì èí óòàí ä�ã¿éöýòãýí ý��Àæèë÷èí �öàã�òóòàì �õýäýí �
äåòàëü�¿éëäâýðëýõ�âý��
������������������� ����
������������������������������ ���������
�������������������������� !"#� �$������%����%&&������#���'��� �$������%������()��#��&�*��$���+���,�,,� �$���
���%�����()��#��&�*��$���+�%-�������+�&#��+� &#�����.$���%!�����%����&$�%-#��$� �/�����+�&#��+� &#���������������������������
�.$���%���
�������������� ������������������������ �����
��� ��������0������%�����$� &#��$���&#��+�1�������� �������0��������%�����$� &#��$���&#��+�1���
�����2��!�-3.�#������� �*������$&&�������%��$���$�������%-#����$��������*'�%�$������������$��������*'�
��.4$����4�%-�������$&&�������%!�'����5������ �*� �/�����������$���������%��$���%����������������������������������������������������������������
���5���������!!�6� ����������������� �$����7���!!��������
������ ��� ��� �������������������������������������������������������������
��6�����8���������������������� ����
��
��������������-���.�#���������%#��������+�%&&�����&#��+����������--����%����������%#���������+�%&&���� &#����
�./�������%#������������%#������$��()��#��&�*��$��+���--�&#��+� &#�����.$���%!���-���.�#��������%#�������&$�%-#����
�&�*��$� �/�����&#��+� &#�����.$���%���
���%#����7������&�*��$��.� �&#��+�6� �8���������%#����7������%����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
����%#����7�������&�*��$��.� �&#��+�6�� ������������%#����7��6��8����
������ ��� �����
����8������������6������������������8������������������������������ ������������ ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
����9# !��--��#���������*� !���!!$��.� ��!!$��4�*,��--��#�������� &+���$��.� ��!!$�!!$���)����#�%����
%������:�$����*� !���!!$�����)���!!$�� �#�����--���$������#�+,,�� &+���$����)���!!$��.$���%!��!# !��--��#����
������*� !�4������� &+���$��&$�%-#� �/�����)���!!$��.$���%���
�����*� !���!!$��.� ��!!$����� ���������� &+���$��.� ��!!$������ 8��������������������������������������������������������������������������������������������������������������
5*� !���7��!!������������������������������� &+�7��!!�����������
������ ��� ����
��� ������ �������
���6����6���������������������������6��������
������!�!!�7� �$�����3�#�����+��,*$��,�,,� �$�����3�#�����+��,*$��&$��&$���#�.���� �$�������%���������� ��$�����
��--�%,�,,������� �$�����3#7�������&$�%-#������������ ��$��+���--��,*$���#4'����:�$����&$�%-#�������%����%���������
��#4$����,*$���� �*'����!������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�� �$���������%������ ���������������������%����������������#4$����,*$�6�����������������������������������������������������������������������������������������������������������
���� �$���������%������ �8������������������%����������������#4$����,*$�6��8�������
�� ���� ��� �
���� ���6�����6���������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��6�����6���������������������������;������%���������������#4$����,*$�;���������������������������������������������������������������������������������������������������������
���8����������;�������%���������������#4$����,*$�;����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�������;��� �$���������%���;��� ������;���� �$��������%���
��
�����
��18�����������%�����*'���� !"#�$�.����&$�%��.��:�#�.��!*�$�.7��%����$�.����%������&$���$�� ��'��--#��.����
%����$�.������� ��%��$����&$�7���� �� �$����4��-�������:�#�.��%����$�.7����!*��$�.����%������&$���$�� ��'��--#��.�����
�!*��$�.������� ��%��$����&$�7���� �� �$����4��-�������<�.��&$�%-#���� � �/��������#�&$�%��$���%���
=!*�$�.������ �%��$���&$�7� �*'���� �>�����$�.������ �%��$���&$�7�
�*'�����
?� �%��$���������&$�7�
�*'���� 8�
����� �� ��
�� � ����� �� �
������� ���������� ������������������ ��������
������������������ ������
=!*�$�.7���--#�� ���%����$�.���� ���������#�&$�-��� �.������������������������������������������ � ������
>�����$�.7���--#�� �����!*��$�.���� ���������#�&$�-��� �.��������������������������������� � ������
?� ������� ��������#�&$�%��$���%�����������8�����������
�����=!)�#4/���,,#����@�.���� �*��,�,#������(���4�3!#! ��,�,.�,�,,����%��.�=!)�#4/��� ,�,�*,#����
%-���*'�����A���@�.4��4���A�,$�,$�,,#�����,�,#������(���4��3!#'���=����,�,.�,�,,�,,#�,�,#���&$�%-#����
�/������(���4�3!#! �"$�!��%��$���%��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
=!)�#4/��7�,�,#��3!#! �"$�!���(���4����� �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
B�.����,�,#��3!#! �"$�!���(���4��������
C ������� ���������� ������������������������������������� �����
�
��������������,�#,�,,#� !"#��,#�����#���!� -������.��/��������,#�,,$���������,#�,,$���@�# ������ &��������./�������
�,#������ -������.��/����-�������A����������,#���� ������A�%&&#&&�$��7���#�������,#��������������,#������� -�����
�.��/��./�������,�#,���,�$,��%!��-���%&&#� 7��,*�, ������%������,#������ -������.��/����-�����!���
���C ������� ���������� �
�����������������������;�����,#������ -������.��/����-���;�
�� ���������;�����,#������ -������.��/����-���;�
���������,�,#��'����$������� -�����,�,#��'����$������� -�� !"&������'��'�7�� ,�$,��������,�#,���./����D-����
��� -������,�,#��'����$��� ,�$��4������������� -������,�,#���'����$��� ,�$�,,$�����,�#,�,,#���--�%��.�=�#� !"#� -��
�&$�%-#�,�,#�� �/������,�#,������'��� ��$���%���
��� -���������,�#���� ,�$����� ������� -���������,�#����� ,�$�6���
���������� �������������������������� ��������
�����:!"#� -�� �*���'��� ��'������,�#,���.$���%,�,,�������4����,�,#���,�,,��4����,�,#��'����$���%��'���:�#�.�
�� -��,�,#����,�#,�����*,��,,#������ -�����A���#�%���� �*'������*,��,��.$�����'�%!�.!�������� -�����,�#���� ,�$,����
�� -�������,�#���� ,�$,����.� �*,��,�,,$����,�#,�����*,��,,#���--�*,��,��.� �%!��!�=�#� !"#� -����&$�%-#�,�,#��
�/������,�#,������'��� ��$���%�����
��� -���������,�#���� ,�$����� ��������� -���������,�#����� ,�$�6���
��������������� �������������������������������
����������������������������� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������:!"#��!#!��!���!!���+�E#�����4��#�--�'���.4$����!!��� &.�� ������!!���!'���-��'���:�#�.���#��!!��
+�E#--���������%�#�� &.��.�������!!��!'���-�������F&���!!��!���
���� ������������� ������ �#�&�����
������:!"#��!#!��!���!!��+�E#�����4��#�--�'���.4$����!!�!!$!!����6��#���--�%,�,,����#��!!�������A�����#�
� �$��'� &&/���+�E#--���������%�#��� &.�� ������!!��!�!��F&���!!��!���
���� ������ ���������������� ������ �#�&�����
�
�����
�����2!*G�������������3�#��,#.,�'�,��--#�--�� ��#���#��������3�#�+&.&&����3�#��+--�� ��#���#��,*$���#4'�%-���
�����+�&#��+��./���H,#.,�'�,��--#�--�� �@������#���#����#4$�����������3�#��&�*��$��.$���&#��+��4� &&/����#���#�
��#4$�����������3�#���&�*��$��.$���&#��+���$����+�6��#���--�%��$���%!�� &&/����#���#���#� �������&�*��$�
�/����� �*'������&#��+��.$���%��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
:&&/����#���#���#� �������&�*��$��.� �&#��+�6� �����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
B�����#���#���#� �������&�*��$��.� �&#��+���������
������� �� ������������ �������������������������������������
����������!!�7��A����#��,�,,��!!�7��A��������*%������%!�! �%,�,,�� �#�������!!�7��A����#�����!!�7��A������
��*%������%!��!�F&���!!�&&�7��!���
������� ���������� ��������������������������������������������������� �������
�����:!"#��!!�7�����%�#����).��#��&&�7��I���.�#��4�����%!��&&���!!��!���
� �������6����8� ������������������ ���������������
��� �:!"#��'��/����,�,.�,�,,�"$!!#�����$&�*�@���-���.�#�� �"$�!��%��.�����/����,�,.�,�,,�,,����A����#���
����'��/������A�����#�%�(�--�$���&/�#�����$&�*��'@��� ��'���?'��/�����&$�%-#� �����$&�*�@����#��,�,.�
�,�,,����.&&����%�(�--�$���%���
������� �������� ��������������������������������� ������
������������������������J�E#--���������%�#�4�����!�����+� � !"#�!#!��!���!!�7�+�E#--�����%��#7��$!�4'���.�%������
���'��#���--��!!���#���F&���!!��!����
�������� ���� ����������:�#�&�����
�
�����2!*G�������'��/�������������������#���������� !"#����%���������%������$���������,*$�������%�����$��������
�,*$� &#��'���:�#���������%������*��6���$� &#��$����,*$���������%�����*��6���$� &#��$����,*$�,,$���)��6���#���--�
%��$���%!�����%����&$�%-#����������6����$� ���������,*$� &#��$���%���
������%���� �*'������� ��������������������������%���� �*'������������ ��
�*�����%�����$� &#��$����,*$�6��������*������%�����$� &#��$����,*$�6��8���
�� ��������������� ���
�������6�������������������������������������������
���������;������%�����*�����%�����$� &#��$����,*$�;���������������������������������������������������������������������������������������������������������
���8�����������;�������%����*�����%�����$� &#��$����,*$�;���������������������������������������������������������������������������������������������
�������;��� �$���������%���;��� ;���� �$��������%����;�
������K�#�����'����.������!!'&&#�&$���$�������+�����--#�����F$���$�������� �� �$����������!!'&&#��#��-��$���
�$���������!!'&&#��#��--#�� ���%-������+���3�#+&&����'����L!!'&&#�%-#�������#���&$���$���� �����+�����--#�� �
.���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
���!!'&���&$���$�����--#�� � &��+���6�� ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
����!!'&���&$���$�����--#�� � &��+���6����<�.�7�%�����*'��������'�-3���������������������������������������������������������������������������������������
���������+��������!!'&&#��#��!!'� �&$���� ���������+���������!!'&&#��#��!!'� �&$����������������������������������������������������������������
������� ���������� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��0������1�8�����0�����6��1�������������6����8��������6����
����������8���������������������8������������������������������ ��������� ����������0�����1���0���������1�
�����:!"#�)!*%����3�#����'����.����������%����&#��+7�����+���� &#��'��&&$�� �%��'���:�#�.����)!*%����
���%���� �� �$�����&#��+7�����)!*%�������%����� ���$7��&#��+7�� &#��$���$���+��� &#���� &#�� �%��$���%!��
)!*%�����&$�%-#�����%������#���� �����+�����&&$�� �.���
���������� ������������� ���������� ������������� ���������������������������������������������
�� ���������
������ ������ 0� �6���1������ ���0 �6���1������ ��6���� �6��� ���� ���������� ��6���� �8������������� ���+�������������
�� �����������������+����������������������������������
Recommended