1. Problematique
Problematique
• Contexte : La decomposition en serie de Fourier presuppose que le signalsoit periodique. Toutefois, les signaux ”naturels” sont rarement periodiques.
• Objectif : Etendre la notion de serie de Fourier aux signaux aperiodiques.
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2. De la decomposition a la transformee de Fourier
De la decomposition a la transformee de Fourier
• Principe : Pour les signaux s(t) aperiodiques, nous allons considerer ques(t) est periodique mais de periode T0 → ∞.
I Signaux periodiques : Comme T0 = 1f0
, on peut ecrire
cn =1T0
∫(T0)
s(t)e−2jπ n
T0tdt et s(t) =
∑n∈Z
cne2jπ n
T0t
(1)
I Signaux aperiodiques : On pose f = nT0
et on fait tendre T0 → ∞. On definit alors lavariable continue X(f) comme suit
X(f) = limT0→∞
T0cn =
∫ ∞
−∞
s(t)e−2jπft dt (2)
et on obtient en utilisant la methode des rectangles :
s(t) = limT0→∞
1T0
∑n∈Z
T0cne2jπ n
T0t
=
∫ ∞
−∞
X(f)e2jπft (3)
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3. Transformee de Fourier
Transformee de Fourier
Definition 3.1 (Transformee de Fourier)
Soit s(t) un signal respectant les trois conditions suivantes :
• s(t) est borne (pas de valeurs infinies).
•∫ ∞−∞
s2(t)dt est finie.
• Les discontinuites de x(t) sont en nombre fini.
Sous ces conditions, la transformee de Fourier de s(t), S(f), est definie par :
S(f) = F (s(t)) =
∫ ∞
−∞
s(t)e−2jπftdt (4)
• La fonction S(f) ∈ C est appelee spectre de s(t).
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3. Transformee de Fourier
Transformee de Fourier
Definition 3.2 (Transformee de Fourier Inverse)
Soit s(t) un signal dont la transformee de Fourier S(f) = F (s(t)) existe. Lesignal s(t) s’obtient en calculant la transformee de Fourier inverse de S(f) :
s(t) = F −1[S(f)] =
∫ ∞
−∞
S(f)e2jπftdf (5)
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3. Transformee de Fourier
Transformee de Fourier
• La transformee de Fourier peut etre vue comme la projection d’un signalaperiodique dans un espace compose d’exponentielles complexes.
Domaine temporel Domaine fréquentiel
• Par rapport a la decomposition en serie de Fourier ou les frequences sontdonnees par fn = nf0 (n ∈ Z), la transformee de Fourier determine lescomposantes aux frequences f , ou f est une variable continue.
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3. Transformee de Fourier
Transformee de Fourier
• Exemple :
Soit s(t) = Πl(t) le signal porte de largeur l defini par :
s(t) = Πl(t) =
{1 si − l
2 ≤ t < l2
0 ailleurs(6)
En utilisant (4), s(t) a pour transformee de Fourier :
S(f) = F [Πl(t)] =sin (πfl)
πf(7)
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
−1
0
1
temps (sec)
Figure: Espace temporel
−10 −5 0 5 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
f
|S(f
)|
Figure: Espace frequentiel (|S(f)|)
−10 −5 0 5 10−40
−30
−20
−10
0
10
20
30
40
f
φ(S
(f))
Figure: Espace frequentiel(φ(S(f)))
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4. Proprietes Linearite
Propriete de la transformee de Fourier
Propriete 4.1 (Linearite)
Soit x(t) et y(t) deux signaux de transformee de Fourier respectives X(f) et Y(f)et α et β deux constantes. La transformee de Fourier de αx(t) + βy(t) est donneepar l’equation :
F (αx(t) + βy(t)) = αF (x(t)) + βF (y(t)) (8)
• Multiplier un signal par un gain α dans le domaine temporel revient amultiplier sa transformee de Fourier par un gain α dans le domainefrequentiel.
• Additionner deux signaux dans le domaine temporel revient a additionnerleurs transformee de Fourier dans le domaine frequentiel.
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4. Proprietes Linearite
Propriete de la transformee de Fourier
• Exemple :
Soit x(t) = Πl(t) le signal porte de largeur l. Les figures suivantes presentent le signals(t) = αx(t) dans le domaine temporel et frequentiel (α = 0.75).
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
−1
0
1
temps (sec)
Signal x(t)Signal α x(t)
Figure: Espace temporel
−10 −5 0 5 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
f
Spe
ctre
|S(f
)|
Signal x(t)Signal α x(t)
Figure: Espace frequentiel (module)
−10 −5 0 5 10−40
−30
−20
−10
0
10
20
30
40
f
φ(S
(f))
Signal x(t)Signal α x(t)
Figure: Espace frequentiel (phase)
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4. Proprietes Dualite
Propriete de la transformee de Fourier
Propriete 4.2 (Dualite)
Soit x(t) un signal dans le domaine temporel de transformee de FourierX(f) = F (x(t)). Le signal temporel d’equation X(t) a pour transformee deFourier x(−f).
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4. Proprietes Dualite
Propriete de la transformee de Fourier
• Exemple :
Soit x(t) =sin(πtl)πt , en utilisant le theoreme de la dualite on montre que la transformee de
Fourier de x(t) est une porte Πl(f). Les figures suivantes presentent le signal x(t) dans ledomaine temporel et frequentiel (l = 2).
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
−1
0
1
2
temps (sec)
Signal x(t)
Figure: Espace temporel
−10 −5 0 5 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
f
Spe
ctre
|X(f
)|
Signal x(t)
Figure: Espace frequentiel (module)
−10 −5 0 5 10−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
f
φ(X
(f))
Signal x(t)
Figure: Espace frequentiel (phase)
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4. Proprietes Translation temporelle
Propriete de la transformee de Fourier
Propriete 4.3 (Translation temporelle)
Soit x(t) un signal ayant pour transformee de Fourier X(f) = F (x(t)). Le signals(t) = x(t + τ), obtenu en translatant le signal x(t) de τ, a pour transformee deFourier :
S(f) = F (x(t + τ)) = X(f)e2jπfτ (9)
• Avancer un signal dans le domaine temporel revient a multiplier satransformee de Fourier par une exponentielle complexe e2jπfτ dans ledomaine frequentiel.
• L’information liee a la position temporelle du signal est contenue dans laphase.
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4. Proprietes Translation temporelle
Propriete de la decomposition
• Exemple :
Soit x(t) = Πl(t) le signal porte de largeur l. Les figures suivantes presentent le signals(t) = x(t + τ) dans le domaine temporel et frequentiel (τ = 0.5).
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
−1
0
1
2
temps (sec)
Signal x(t)Signal x(t+τ)
Figure: Espace temporel
−10 −5 0 5 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
f
Spe
ctre
|S(f
)|
Signal x(t)Signal x(t+τ)
Figure: Espace frequentiel (module)
−10 −5 0 5 10−40
−30
−20
−10
0
10
20
30
40
f
φ(S
(f))
Signal x(t)Signal x(t+τ)
Figure: Espace frequentiel (phase)
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4. Proprietes Dilatation/contraction temporel
Propriete de la transformee de Fourier
Propriete 4.4 (Dilatation/contraction temporelle)
Soit x(t) un signal de transformee de Fourier X(f) = F (x(t)). En dilatant (ou encontractant) l’echelle des temps d’un facteur γ, la transformee de Fourier des(t) = x(αt) (α ∈ R) est donnee par :
S(f) = F (x(αt)) =1|α|
X(
fα
)(10)
• Lorsque l’on contracte un signal dans le domaine temporel, on le dilate dansle domaine frequentiel et inversement.
• Un signal infiniment bref contient un spectre infiniment large.
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4. Proprietes Dilatation/contraction temporel
Propriete de la transformee de Fourier
• Exemple :
Soit x(t) = Πl(t) le signal porte de largeur l. Les figures suivantes presentent le signalcompresse s(t) = x(αt) dans le domaine temporel et frequentiel (α = 1.5).
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
−1
0
1
2
temps (sec)
Signal x(t)Signal x(α t)
Figure: Espace temporel
−10 −5 0 5 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
f
Spe
ctre
|S(f
)|
Signal x(t)Signal x(α t)
Figure: Espace frequentiel (module)
−10 −5 0 5 10−40
−30
−20
−10
0
10
20
30
40
f
φ(S
(f))
Signal x(t)Signal x(α t)
Figure: Espace frequentiel (phase)
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4. Proprietes Derivation
Propriete de la transformee de Fourier
Propriete 4.5 (Derivation)
Soit x(t) un signal de transformee de Fourier X(f) = F (x(t)). La transformee deFourier de sa derivee, s(t) =
dx(t)dt , est donnee par la relation :
S(f) = F (s(t)) = 2jπfX (f) (11)
• Cette propriete permet de convertir des equations differentielles dans ledomaine temporel en equations polynomiales dans le domaine frequentiel.
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4. Proprietes Conservation d’energie
Propriete de la transformee de Fourier
Propriete 4.6 (Theoreme de Parseval-Plancherel)
Soit x(t) un signal de transformee de Fourier X(f) = F (x(t)). L’energie du signal,E, est egale a :
E =
∫|x(t)|2dt =
∫|X(f)|2df (12)
• L’energie d’un signal peut se determiner en integrant dans le domainetemporel et/ou dans le domaine frequentiel.
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4. Proprietes Parite
Propriete de la transformee de Fourier
Propriete 4.7 (Parite)
Soit x(t) un signal de transformee de Fourier X(f) = F (x(t)), il est possible dedemontrer les proprietes suivantes :
Signal x(t) Spectre X(f)Reel paire Reel paire
Reel impaire Imaginaire impaireReel Complexe (partie reelle paire, partie imaginaire impaire)
Imaginaire paire Imaginaire paireImaginaire impaire reel impaire
Imaginaire complexe (partie reelle impaire, partie imaginaire paire)
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5. Signaux Particuliers Impulsion de Dirac
Signaux Particuliers
Definition 5.1 (Impulsion de Dirac)
L’impulsion de Dirac, δ(t), est une distribution ayant pour proprietes :
• δ(t) = 0 pour tout t , 0.
•∫ ∞−∞
x(t)δ(t)dt = x(0)
Propriete 5.1 (TF d’un Dirac)
La transformee de Fourier de δ(t) est egale a :
F (δ(t)) = 1 (13)
• La preuve decoule immediatement de la deuxieme propriete de l’impulsionde Dirac.
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5. Signaux Particuliers Impulsion de Dirac
Signaux Particuliers
• Representation :
Les figures suivantes presentent l’impulsion de dirac, δ(t), dans les domaines temporel etfrequentiel.
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
−1
0
1
2
temps (sec)
δ(t)
Figure: Espace temporel
−10 −5 0 5 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
f
Spe
ctre
Signal δ(t)
Figure: Espace frequentiel (module)
−10 −5 0 5 10−40
−30
−20
−10
0
10
20
30
40
f
Spe
ctre
Signal δ(t)
Figure: Espace frequentiel (phase)
L’impulsion de dirac est un signal tres rapide qui excite toutes les frequences. A titred’illustration, l’eclatement d’un ballon ou le tir d’une arme a feu generent un son proche d’uneimpulsion de dirac.
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5. Signaux Particuliers Constante
Signaux Particuliers
Definition 5.2 (Constante)
Le signal constante, x(t), est defini par l’equation :
x(t) = 1 (14)
Propriete 5.2 (TF d’une constante)
La transformee de Fourier de x(t) est egale a :
X(f) = F (1) = δ(f) (15)
• La preuve decoule directement des theoremes 5.1et 4.2 (dualite).
• Attention : La transformee d’une constante n’est pas une constante c-a-dF (1) = δ(f) , 1.
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5. Signaux Particuliers Constante
Signaux Particuliers
• Representation :
Les figures suivantes presentent le signal constant x(t) = 1, dans les domaines temporel etfrequentiel.
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
−1
0
1
2
temps (sec)
x(t)=1
Figure: Espace temporel
−10 −5 0 5 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
f
Spe
ctre
Signal x(t)=1
Figure: Espace frequentiel (module)
−10 −5 0 5 10−40
−30
−20
−10
0
10
20
30
40
f
Spe
ctre
Signal x(t)=1
Figure: Espace frequentiel (phase)
La composante continue du signal est contenue dans la composante |X(f = 0)| du spectre.
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5. Signaux Particuliers Exponentielle complexe
Signaux Particuliers
Definition 5.3 (Exponentielle complexe)
Le signal exponentiel complexe, x(t), de frequence f0 est defini par l’equation :
x(t) = e2jπf0t (16)
Propriete 5.3 (TF d’une exponentielle complexe)
La transformee de Fourier de x(t) est egale a :
X(f) = F(e2jπf0t
)= δ(f − f0) (17)
• La preuve decoule directement du theoreme 5.1 et 4.3.
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5. Signaux Particuliers Exponentielle complexe
Signaux Particuliers
• Representation :
Les figures suivantes presentent l’exponentielle complexe x(t) de frequence f0 = 2Hz, dans lesdomaines temporel et frequentiel.
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
−1
0
1
2
temps (sec)
ConstanteExponentiel complexe
Figure: Espace temporel(module)
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
−100
−50
0
50
100
temps (sec)
ConstanteExponentiel complexe
Figure: Espace temporel(phase)
−10 −5 0 5 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
f
Spe
ctre
ConstanteExponentiel complexe
Figure: Espacefrequentiel (module)
−10 −5 0 5 10−40
−30
−20
−10
0
10
20
30
40
f
Spe
ctre
ConstanteExponentiel complexe
Figure: Espacefrequentiel (phase)
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5. Signaux Particuliers Sinusoıde
Signaux Particuliers
Definition 5.4 (Sinusoıde)
Le signal sinusoidal, x(t), de frequence f0 est defini par :
x(t) = sin(2πf0t) (18)
Propriete 5.4 (TF d’une Sinusoıde)
La transformee de Fourier de x(t) est egale a :
TF [sin(2πf0t)] =j2
(δ(f + f0) − δ(f − f0)) (19)
• La preuve decoule des formules d’Euler et du theoreme 5.3.
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5. Signaux Particuliers Sinusoıde
Signaux Particuliers
• Representation :
Les figures suivantes presentent un signal sinusoidal de frequencef0 = 2Hz, dans les domaines temporel et frequentiel.
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
−1
0
1
temps (sec)
Sinusoide
Figure: Espace temporel
−10 −5 0 5 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
f
Spe
ctre
Sinusoide
Figure: Espace frequentiel (module)
−10 −5 0 5 10−3
−2
−1
0
1
2
3
f
Spe
ctre
Sinusoide
Figure: Espace frequentiel (phase)
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5. Signaux Particuliers Fonction Signe
Signaux Particuliers
Definition 5.5 (Signe)
Le signal signe, sgn(t), est defini par l’equation :
sgn(t) =
−1 si t < 00 si t = 01 si t > 0
(20)
Propriete 5.5 (TF de la fonction signe)
La transformee de Fourier de sgn(t) est egale a :
TF [sgn(t)] =1
jπf(21)
• La preuve s’obtient en demontrant que la transformee de Fourier de lafonction f(t) = 1
πt est egale a F ( 1πt ) = −jsgn(f) et en utilisant le theoreme
4.2.
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5. Signaux Particuliers Fonction Signe
Signaux Particuliers
• Representation :
Les figures suivantes presentent la fonction signe x(t) = sgn(t), dans les domaines temporelet frequentiel.
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
−1
0
1
temps (sec)
Fonction Signe
Figure: Espace temporel
−10 −5 0 5 100
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
f
Spe
ctre
Fonction Signe
Figure: Espace frequentiel (module)
−10 −5 0 5 10−3
−2
−1
0
1
2
3
f
Spe
ctre
Fonction Signe
Figure: Espace frequentiel (phase)
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5. Signaux Particuliers Fonction Echelon
Signaux Particuliers
Definition 5.6 (Echelon)
Le signal echelon, u(t), aussi appele fonction de Heaviside, est defini par :
u(t) =
0.5 si t = 00 si t < 01 si t > 0
(22)
Propriete 5.6 (TF d’un echelon)
La transformee de Fourier de u(t) est egale a :
F (u(t)) =1
2jπf+δ(f)
2(23)
• La preuve s’obtient en remarquant que u(t) = 12 (sgn(t) + 1)
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5. Signaux Particuliers Porte
Signaux Particuliers
Definition 5.7 (Porte)
Le signal porte, Πl(t), de largeur l et d’amplitude unitaire est defini par :
Πl(t) =
{1 si − l
2 ≤ t < l2
0 ailleurs(24)
Propriete 5.7 (TF d’une porte)
La transformee de Fourier de Πl(t) est egale a :
F (Πl(t)) = lsinc (πfl) (25)
ou sinc(x) = sin(x)/x est la fonction sinus cardinal.
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5. Signaux Particuliers Porte
Signaux Particuliers
• Representation :
Les figures suivantes presentent la fonction porte x(t) = Πl(t) pour l = 1, dans les domainestemporel et frequentiel.
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
−1
0
1
temps (sec)
Figure: Espace temporel
−10 −5 0 5 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
f
|S(f
)|
Figure: Espace frequentiel (module)
−10 −5 0 5 10−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
f
φ(S
(f))
Figure: Espace frequentiel (phase)
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5. Signaux Particuliers Signal Periodique
Propriete de la transformee de Fourier
Definition 5.8 (Signal Periodique)
Sous reserve que la decomposition en serie de Fourier d’un signal periodiquex(t) de periode T0 = 1
f0existe, x(t) peut s’exprimer sous la forme :
x(t) =∞∑
n=−∞
cne−2jπnf0t (26)
Propriete 5.8 (TF d’un signal periodique)
La transformee de Fourier de x(t) est egale a :
F (x(t)) =∞∑
n=−∞
cnδ(f − nf0) (27)
• La preuve decoule directement des theoremes 4.1 et 5.3.
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5. Signaux Particuliers Signal Periodique
Signaux Particuliers
• Representation :
Les figures suivantes presentent un signal carre de periode T0 = 2 et la fonction portex(t) = Πl(t) avec l = 1, dans les domaines temporel et frequentiel.
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
−1
0
1
temps (sec)
CarréPorte
Figure: Espace temporel
−10 −5 0 5 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
f
|S(f
)|
CarréPorte
Figure: Espace frequentiel (module)
−10 −5 0 5 10−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
f
φ(S
(f))
CarréPorte
Figure: Espace frequentiel (phase)
Vincent Choqueuse (IUT GEII) Transformee de FourierPrincipe et Proprietes 33 / 33