Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Fourier
Transformatele Fourier sinus si cosinus
Transformarea Fourier
Transformarea Fourier
Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Fourier
Transformatele Fourier sinus si cosinus
Transformarea Fourier
1 Definitie, exemple.
2 Proprietati ale transformarii Fourier
3 Transformatele Fourier sinus si cosinus
Transformarea Fourier
Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Fourier
Transformatele Fourier sinus si cosinus
Definitie, exemple.
Transformarea Fourier
Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Fourier
Transformatele Fourier sinus si cosinus
Functia f : R→ C se numeste absolut integrabila dacaintegrala
+∞∫−∞
|f (t)|dt
este convergenta.
Definitia 1.1
Fie f : R→ C absolut integrabila. Functia complexa de variabilareala F : R→ C,
F (ω) =
+∞∫−∞
e−jωt f (t)dt , ω ∈ R, (1.1)
se numeste transformata Fourier a functiei f .
Transformarea Fourier
Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Fourier
Transformatele Fourier sinus si cosinus
Deoarece f este absolut integrabila si∣∣e−jωt f (t)
∣∣ = |f (t)|,rezulta ca integrala
+∞∫−∞
e−jωt f (t)dt
este absolut si uniform convergenta ın raport cu parametrulω ∈ R.Vom nota tranformata Fourier a functiei f si astfel
F = F[f (t)], F (ω) = F[f (t)](ω), ω ∈ R,
evidentiind astfel si variabila t a functiei f si variabila ω atransformatei F . De multe ori se utilizeaza si notatia F (jω)aceasta numindu-se caracteristica spectrala sau spectrul ınfrecventa a semnalului f = f (t). Utilizam si notatia
f (t) =⇒ F (ω).
Transformarea Fourier
Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Fourier
Transformatele Fourier sinus si cosinus
Observatii:Daca f este cu valori reale, situatie ıntalnita practic, atunci
F (−ω) = F (ω),
motiv pentru care este suficient sa cunoastem F (ω) pentruvalori ω > 0.Daca f = f (t) este functie original absolut integrabila,atunci transformata Fourier F (ω) este tocmai valoareatransformatei Laplace ın punctul s = jω. Din acest motivpentru transformata Fourier se mai foloseste notatia F (jω).
Pentru f (t) = σ(t)e−t transformata Laplace este
L[f (t)](s) =1
s + 1ın semiplanul Re s > 1, si atunci
transformata Fourier este F[f (t)](ω) =1
jω + 1, ω ∈ R.
Transformarea Fourier
Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Fourier
Transformatele Fourier sinus si cosinus
Exemplul 1.1
Sa se determine transformata Fourier a semnaluluidreptunghiular de amplitudine A > 0 pe intervalul [−`, ` ], ` > 0,f : R→ R,
f (x) ={
A, x ∈ [−`, ` ] ,0, ın rest.
Transformarea Fourier
Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Fourier
Transformatele Fourier sinus si cosinus
F (ω) = A
`∫−`
e−jωt dt =Ajω
(ejω` − e−jω`
), si, folosind formula
lui Euler sin z =ejz − e−jz
2j, deducem
F (ω) =2Aω
sinω` = 2`A saω`,
unde sa : R→ R, sa(x) =
sin x
x, x 6= 0,
1, x = 0
este functia
denumita sinus atenuat.
Transformarea Fourier
Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Fourier
Transformatele Fourier sinus si cosinus
Proprietati ale transformarii Fourier
Transformarea Fourier
Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Fourier
Transformatele Fourier sinus si cosinus
Teorema 2.1
(liniaritate) Daca f1, f2 : R→ C sunt doua functii absolutintegrabile iar
f1(t) =⇒ F1(ω),f2(t) =⇒ F2(ω),
atunci pentru orice c1, c2 ∈ C functia c1f1 + c2f2 este absolutintegrabila si
c1f1(t) + c2f2(t) =⇒ c1F1(ω) + c2F2(ω). (2.1)
Transformarea Fourier
Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Fourier
Transformatele Fourier sinus si cosinus
Exemplul 2.1Sa se determine transformata Fourier pentru functiile rationale
f (t) =P(t)Q(t)
unde P si Q sunt polinoame, grad Q > 1 + grad P iar Q(t) 6= 0pentru orice t ∈ R.
Din consecinta teoremei reziduurilor avem
F (ω) = 2πj∑
Im zk>0
Rez(
P(z)Q(z)
e−jωz , zk
),
suma fiind extinsa la toti polii zk ai functieiP(z)Q(z)
situati ın
semiplanul superior.Transformarea Fourier
Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Fourier
Transformatele Fourier sinus si cosinus
Teorema 2.2
(asemanare) Daca f : R→ C este functie absolut integrabila si
f (t) =⇒ F (ω),
atunci pentru orice a ∈ R, a 6= 0 are loc relatia:
f (at) =⇒ 1|a|
F(ω
a
). (2.2)
Transformarea Fourier
Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Fourier
Transformatele Fourier sinus si cosinus
Teorema 2.3
(ıntarzierea argumentului) Daca f : R→ C este absolutintegrabila si
f (t) =⇒ F (ω),
atunci pentru orice t0 ∈ R are loc relatia:
f (t − t0) =⇒ e−jωt0F (ω). (2.3)
Transformarea Fourier
Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Fourier
Transformatele Fourier sinus si cosinus
Teorema 2.4
(deplasare) Daca f : R→ C este absolut integrabila sif (t) =⇒ F (ω), atunci pentru orice λ ∈ R are loc relatia:
e−jλt f (t) =⇒ F (ω + λ). (2.4)
Transformarea Fourier
Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Fourier
Transformatele Fourier sinus si cosinus
Teorema 2.5
Transformata Fourier F : R→ C a unei functii continue absolutintegrabile f : R→ C este o functie continua si
lim|ω|→∞
F (ω) = 0.
Transformarea Fourier
Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Fourier
Transformatele Fourier sinus si cosinus
Transformarea Fourier este injectiva. Daca F[f (t)] = F[g(t)]deducem ca f (t) = g(t) aproape pentru toti t ∈ R. Spunem cao proprietate are loc aproape peste tot (a.p.t.) daca pentruorice ε > 0, multimea punctelor unde proprietatea nu are loc,poate fi acoperita cu intervale a caror lungime totala este maimica decat ε.Pentru clasa de functii rapid descrescatoare, transformareaFourier este si surjectiva, deci inversabila si atunci vom puteascrie
f (t)⇐⇒ F (ω).
S = {f : R→ C| f ∈ C∞(R), ∀ k ,q ∈ N,∃Ck ,q,∣∣∣xk f (q)(x)
∣∣∣ ≤ Ck ,q},
unde f (q) este derivata de ordin q a functiei f .Un exemplu de functie rapid descrescatoare este estef (t) = e−t2
.
Transformarea Fourier
Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Fourier
Transformatele Fourier sinus si cosinus
Functiile din S sunt marginite si integrabile pe R.Intr-adevar, pentru f ∈ S au loc majorarile∣∣∣xk f (q)(x)
∣∣∣ ≤ Ck ,q
si ∣∣∣tk f (q)(t)∣∣∣ ≤ Ck+2,q
t2 .
Rezulta atunci∣∣∣xk f (q)(x)∣∣∣ ≤ min
{Ck ,q,
Ck+2,q
t2
}≤
C∗k ,q1 + t2
unde C∗k ,q este o constanta convenabil aleasa, iar functiaC∗k ,q
1 + t2 este absolut integrabila.
Transformarea Fourier
Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Fourier
Transformatele Fourier sinus si cosinus
Teorema 2.6
(Derivarea transformatei) Daca f ∈ S atunci transformata saFourier F este indefinit derivabila pe R, F ∈ C∞(R), si pentruorice k ∈ N are loc
tk f (t) =⇒ jkF (k)(ω). (2.5)
Transformarea Fourier
Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Fourier
Transformatele Fourier sinus si cosinus
Teorema 2.7
(Transformarea derivatei) Daca f ∈ S, si f (t) =⇒ F (ω) atunci,pentru orice k ∈ N are loc
f (k)(t) =⇒ (jω)kF (ω) (2.6)
Transformarea Fourier
Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Fourier
Transformatele Fourier sinus si cosinus
Teorema 2.8
(Transformarea integralei) Daca f : R→ C este absolut
integrabila,
+∞∫−∞
f (t)dt = 0 si f (t) =⇒ F (ω) atunci are loc relatia:
t∫−∞
f (τ)dτ =⇒ 1jω
F (ω). (2.7)
Transformarea Fourier
Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Fourier
Transformatele Fourier sinus si cosinus
Teorema 2.9Transformarea Fourier F : S → S este o aplicatie liniara sicontinua.
Transformarea Fourier
Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Fourier
Transformatele Fourier sinus si cosinus
Teorema 2.10
(Formula de inversiune) Daca f ∈ S si
F (ω) =
+∞∫−∞
e−jωt f (t)dt = F[f (t)](ω), ω ∈ R
atunci are loc
f (t) =1
2π
+∞∫−∞
ejωtF (ω)dω, t ∈ R. (2.8)
Transformarea Fourier
Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Fourier
Transformatele Fourier sinus si cosinus
Daca f ∈ S, atunci are loc formula
F[F[f ]](t) = 2πf (−t). (2.9)
Din formula de inversiune (2.8) scrisa sub forma
+∞∫−∞
ejωtF (ω)dω = 2πf (t), t ∈ R
rezulta+∞∫−∞
e−jωtF (ω)dω = 2πf (−t).
Cum membrul stang este transformata Fourier a functiei F (ω)relatia se scrie (2.9).
Transformarea Fourier
Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Fourier
Transformatele Fourier sinus si cosinus
Teorema 2.11Daca f ,g ∈ S, si
f (t) =⇒ F (ω), g(t) =⇒ G(ω),
atunci au loc
+∞∫−∞
F (x)g(x)dx =
+∞∫−∞
f (x)G(x)dx (2.10)
+∞∫−∞
f (x)g(x)dx =1
2π
+∞∫−∞
F (ω)G(ω)dω (2.11)
Transformarea Fourier
Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Fourier
Transformatele Fourier sinus si cosinus
Fie f1, f2 : R→ C. Functia f1 ∗ f2 : R→ C definita prin
(f1 ∗ f2)(t) =
+∞∫−∞
f1(τ) f2(t − τ)dτ, t ∈ R
se numeste produs ın convolutie a functiilor f1, f2.
Teorema 2.12(Imaginea convolutiei) Daca f ,g : R→ C f ,g ∈ S si
f (t) =⇒ F (ω) g(t) =⇒ G(ω),
atunci(f ∗ g)(t) =⇒ F (ω) ·G(ω). (2.12)
Transformarea Fourier
Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Fourier
Transformatele Fourier sinus si cosinus
Teorema 2.13(Convolutia imaginilor) Daca f ,g : R→ C f ,g ∈ S si
f (t) =⇒ F (ω) g(t) =⇒ G(ω),
atuncif (t) · g(t) =⇒ 1
2πF (ω) ∗G(ω). (2.13)
Transformarea Fourier
Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Fourier
Transformatele Fourier sinus si cosinus
Daca ın (2.11) alegem f = g, formula devine
+∞∫−∞
|f (x)|2dx =1
2π
+∞∫−∞
|F (ω)|2 dω. (2.14)
Formula (2.14) se numeste formula lui Parseval si,interpretata fizic, exprima o lege de conservare a energiei;primul membru reprezinta energia degajata de circuit, iar aldoilea energia spectrala.
Transformarea Fourier
Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Fourier
Transformatele Fourier sinus si cosinus
Transformatele Fourier sinus si cosinus
Transformarea Fourier
Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Fourier
Transformatele Fourier sinus si cosinus
Fie f : [0,+∞)→ C.
Definitia 3.1
Numim transformata cosinus functia Fc : [0,+∞)→ C,
Fc[f (t)](ω) = Fc[f ]](ω) =
√2π
+∞∫0
f (x) cosωx dx , ω ≥ 0. (3.1)
Transformarea Fourier
Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Fourier
Transformatele Fourier sinus si cosinus
Din teorema de inversiune a transformatei Fourier rezulta caare loc formula de inversare
f (x) =
√2π
+∞∫0
Fs(ω) cosωx dω. (3.2)
Transformarea Fourier
Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Fourier
Transformatele Fourier sinus si cosinus
Definitia 3.2
Numim transformata sinus functia Fs : [0,+∞)→ C,
Fs[f (t)](ω) = Fs[f ]](ω) =
√2π
+∞∫0
f (x) sinωx dx , ω ≥ 0. (3.3)
Transformarea Fourier
Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Fourier
Transformatele Fourier sinus si cosinus
Din teorema de inversiune a transformatei Fourier rezulta caare loc formula de inversare
f (x) =
√2π
+∞∫0
Fs(ω) sinωx dω. (3.4)
Transformarea Fourier