ThermodynamiqueII-1/4
Phs 2101
Automne 2001
http://www.crm.umontreal.ca/~physnum
Thermodynamique - PHS 2101
Jean-Marc LinaCentre de Recherches Mathematiques, Univ. De Montréal
contact: [email protected]
3. CHALEUR
Thermodynamique - PHS 2101J.M. Lina
Dans la première partie du cours, nous avons introduitles variables thermodynamiques:
- indépendantes: la pression P, le volume V- dépendantes: la température T
On rappelle que la température a été définie à partir du« principe zéro » de la thermodynamique: les températuresde deux systèmes en contact thermique et en équilibre sont égales.
Ainsi, dans l ’espace des états (P,V,T), l 'équilibre d ’un système est représente par une surface. Cette surface est composée de surfaces plus spécifiques au comportement de la matière:solide, liquide, gaz, solide-liquide, liquide-gaz,...
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( Surface d 'équilibre thermodynamique pour1 kg de substance pure )
Les fonctions thermodynamiquessont des fonctions d 'état:
f(P,V,T)
Une fonction thermodynamiqueprend une valeur en un point(P,V,T)
Exemple: l 'énergie U
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( Surface d 'équilibre thermodynamique pour1 kg de substance pure )
On s 'intéressera en particulier à la différence de certainesfonctions d 'état entre deux points:
A
B
U(A)
U(B)
∆UA,B = U(B) - U(A)
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( Surface d 'équilibre thermodynamique pour1 kg de substance pure )
On introduit maintenant des quantités qui sont attachéesà un chemin qui relie deux états: ces quantités dépendent
A
- du point initial A
B
- du point final B
- du chemin A -> B(évolution du système)
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État d 'équilibre initial
Exemple:
Une masse
Un gazparfait
Une paroi adiabatique
PV = constante
Un piston libre
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Nouvel étatd 'équilibre
On enlève la masse:
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h
s Surface: sForce exercée sur le piston:F = P . s où P est la pressionqui règne dans le gaz.
Supposons que le déplacementest petit, dx: le travail effectué par le pistonest dW = F . dx
Pour le gaz (le système thermodynamique): le travail est
dW = - F . dx = - P . s . dx = - P . dV
Ou dV est la variation de volume du système (ici positif): ontrouve bien que dW<0, le gaz perd de l 'énergie.
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Travail élémentairepour le gaz:
dW = - P . dV
−==>−
B
A
V
V
BA dVPdWW .
Travail total pour le gaz: A -> B A
B
VA VB
VA
VB
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−=−==>−
B
A
B
A
V
V
V
V
BA dVPdVPdWW ..
A
B
VA VB
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−=>−
B
A
V
V
BA dVPW .
Cette quantité est le travail effectué par le gaz. C ’est leseul échange d 'énergie sous forme de travailavec l 'extérieur au cours de ce processus adiabatique A -> B: IL EST POSITIF SI LE SYSTEME GAGNE DE L ’ENERGIE
ATTENTION, LA MASSE DE GAZ SEULE EST LE SYSTEME THERMODYNAMIQUE QUE NOUS ETUDIONS!
Le piston fait partie de l 'extérieur.
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−=>−
B
A
V
V
BA dVPW .
Remarque: en adoptant l 'écriture
nous précisons, par l interprétation du signe de cette quantité,l 'échange en jeu: si la valeur est positive, il s ’agit d ’un travailfourni au système; si la valeur est négative, c ’est le systèmequi libère de l 'énergie sous forme de travail (voir discussionpage 64 de VWSD)
EXERCICE: No. 4.3, p.77
Soit le système illustre ci-dessous. Le volume initial à l ’intérieurdu cylindre est de 100 litres et la pression y est de 100 kPa. Leressort touche le piston mais n ’y exerce aucune force. On chauffeensuite le système, ce qui entraîne une détente de l ’air jusqu ’ à cequ ’il double de volume. La pression intérieure est alors de 300 kPa.
A) Décrire l 'évolution sur un diagramme de Clapeyron
B) Calculez le travail qu ’effectue le système forme par l ’air dans le cylindre. Quel pourcentage de ce travail contribue à comprimer le ressort?
État initial:Pression due au piston seul: P0 = 105 PaVolume: V0 = 10-1 m3
État final:Pression due au piston + contraction du ressort:
P1= 3.0 105 PaVolume: V1 = 2 V0
V0 V1 = 2V0
P0
P1
Lorsque le ressort se contracte d ’une longueur dx, ilexerce une force k.dx sur le piston, donc une pression
dVs
kdx
s
k2
=
V0 V1 = 2V0
P0
P1
dVs
kdP
2= est donc l ’accroissement de pression dans
le gaz au cours de l 'évolution. Il s ’agit d ’un accroissement linéaire.
V0 V1 = 2V0
P0
P1
Travail reçu par le système (gaz): ∫=
−01
0
2
.VV
V
dVP
+
−=
−
+−22
).( 010000100
VPVPVPPVP
= - 2.0 104 J (négatif: le système fournit de l 'énergie)
Énergie accumulée dans un ressort comprimé d ’une longueur d:
2
2
1dkEc =
Mais d correspond au volume ajouté au gaz: V0 = s . d
2022
1V
s
kEc =
D ’autre part, on a vu que
( ) 02012012V
s
kVV
s
kPPV
s
kP =−=−⇒∆=∆
donc ( ) 0012
00
01
2
1
2
1VPPV
V
PPEc −=
−=
Fraction d 'énergie pour la compression du ressort:
01
01
PP
PP
+−
On trouve 50%
( ) 0012
1VPPEc −=
( ) 0012
1VPPE +−=
EXERCICE: No. 4.6, p.78
Un ensemble cylindre et piston contient de l ’eauaux conditions initiales suivantes: 50 kPa, 100 oC, 3 m3.On comprime l ’eau lentement en suivant la loiPV = const. jusqu’ à ce qu ’elle atteigne une pressionfinale de 1 Mpa.
Calculez le travail qui s ’effectue aucours de l'évolution.
P0 = 0.5 105 PaV0 = 3 m3
T0= 100 oC
P
V
1.0 106 Pa
VPVP
55
00
105.1105.1 =⇒=
Travail (système):
1
0
0
1 ln.ln..
.1
0P
Pconst
V
VconstdV
V
constdVP
V
V
−=−=−=−∫ ∫ = 4.49 105 J
(signe!)
EXERCICE: No. 4.8, p.78
Le cylindre représente a la fig.4.15 (p.79) contient 1 kg d ’eausaturée à 30 oC. Le piston a une section de 0.065 m2 et une massede 40 kg; il repose sur des butées. Au départ, le volume est de 100litres; la pression atmosphérique ambiante est de 94 kPa et l ’acc.gravit. est de 9.75 m/s2.On fournit de la chaleur au système jusqu ’ à ce que le cylindrecontienne de la vapeur saturée.
A) Quelle est la température de l ’eau au moment ou le pistoncommence à s 'élever au-dessus des butées ?
B) Calculez le travail accompli par l ’eau durant l évolution entière.
1 kg de mélange liqu-vap. a 30 oCvolume = 100 10-3 m3
donc v = 0.1 m3/kg
A) Pour soulever le piston, il faut que la pression soit égale a
s
gmPatm
.. + = 94 103 + 6 103 = 1.0 105 Pa
Supposons qu ’au moment où le piston se soulève (i.e. P = 105 Pa)nous soyons dans une phase de vapeur surchauffée: Table A.1.3,p.697 : à cette pression, on constate que:- Temp. de saturation = 99.63 oC- Pour T > Tsat. ,le tableau indique que v > 1.69 m3/kg, autrement dit1 kg d ’eau occupe un volume > 1.69 m3. Or, lorsque le pistoncommence a se soulever, le volume est de 0.1 m3 !!C ’est donc impossible!Conclusion: nous sommes toujours dans un régime de vapeur saturée
(mélange des deux phases liq-vap) au moment où le piston se soulève.
Nous sommes donc en présence d ’une vapeur saturée, à la pression de 105 Pa:Table A.1.2, p.694: T = 99.63 oC (remarquez que c’est bienla température de saturation indiquée dans la la table A.1.3 pour cette pression)
On peut calculer le titre: fg
f
vv
vvx
−−
= = 5.84 10-2
(il y a donc 0.058 kg de vapeur)
Le titre initial ? x = 3.01 10-3
Volume de vapeur initial: 9.89 10-2 m3: le volume de vapeur n ’apas changée, mais la pression a augmenté pour atteindre 105 Pa.
Volume de vapeur: 5.84 10-2 . 1.694 = 9.89 10-2 m3
Explication:
Première phase de l 'évolution: on chauffela vapeur saturée à volume constant (c ’estle rôle des butées de maintenir un volumeconstant tant que le piston n ’est passoulevé). La pression augmente jusqu ’ àla valeur a laquelle le piston commence àse soulever.Ici, changement de régime: le piston esten équilibre avec le système thermodyn.Et les butées ne jouent plus aucun rôle: onévolue maintenant à pression constante etpuisque nous sommes dans une vapeursaturée, la température devient constante(99.67 oC).
Deuxième phase:Évolution à pression et températureconstante. Le volume du système (1 kgd ’eau) passe de 0.1 m3 à 1.69 m3 si nousvaporisons toute l ’eau.
Et si on continuait de chauffer? Le systèmeévoluerait toujours à pression constanteen vapeur surchauffée…
B) Il n ’y a du travail qu ’au cours de la seconde phase puisque la première se fait à volume constant. La variation d 'énergiedu système par échange de travail est, dans la seconde partiede l 'évolution, à pression constante (105 Pa). Le volumepasse de 0.1 m3 à 1.69 m3:
JVVPW ifsat5106.1)( −=−−=
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