Théorie de l’agrégation
Principaux résultats
Plan
• Contexte• Définitions• Résultats (+ exemples)• Possibilités et limites• Perspectives• Discussion
I.Contexte
Historique
• Economie (Ijiri, 1971) • Conservation des flux (O’Neill & Rust, 79)• Ecologie (Luckyanov, 81)• Contrôle optimal (Sinha & Kuszta, 83)
Quelques exemples
• Echelles spatiales différentes• Echelles temporelles différentes• Sous-groupes écosystème ~découplés
Exemple
x1 x2
a
I1I2
d
x1+x2I1+I2 k
Conditions d’agrégation parfaite :
- a = d
- x1(0)=x1() ou x2(0)=x2()
II.Définitions
Agrégation
X = (X1, … ,Xn)
Y = (Y1, …, Ym) =(g1(X1,…,Xn),…,gm(X1,…Xn)) m<n
X
Y
f(X)
F(Y)
f
F
g g ?~
Exemples
• Système différentiel : f(X)=dX/dt F(Y)=dY/dt• Système dynamique : f(X(0))=X(t) F(Y(0))=Y(t)
Agrégation parfaite
, F(Y)=F(g(X)) = (f(X))g~ g~?
III.Résultats
Cas linéaire
• Modèle linéaire :– Y=g(X) =BX ; – X’=f(X)=AX ;– Y’= F(Y)= DY = BAX ?
Théorème
AMn Pm(AT), B={Pm(i), i I} Mm,n
transformation linéaire agrégative (système ordre n système ordre m)
Séparabilité linéaire
• Définition : (x1,..,xp)->y1
• Théorème : possible s’il existe des colonnes linéairement dépendants, de A.
Algor. de séparabilité linéaire
• Trouver la matrice la plus ‘proche’ qui permette l’agrégation parfaite
• Calcul itératif
Cas non linéaire
• f, g “quelconques” (non linéaires) dérivables• Même principe • Théorème
– Bjk = gj/ Xk ; Ajk= [l Bjl fl] / xk
– Cjl= Fj/ Yl ; agrégation parfaite ssi AB+B=A X– Si (deg(B)=m) ! C=AB+
Agrégation approchée
• hj(X)= i (gj/ Xi)fi(X)
• U={X, ||g(X)-Y||< }
= ||F(g(X))-Fm||2w(X)dX / ||h(X)-hm||2w(X)dX
• F(Y) = lim 0 U h(X)w(X)dX / U w(X)dX
Schéma
x1
x2
h(X)
F(Y)
Y=g(X)
X0
F(g(X0))
Agrégation approchée : erreur
= || dY/dt(X)agreg-dY/dt(X)micro||2w(X)dX = || Y (t)agreg-Y (t)micro||2w(X0)dX0
= || <Y> agreg-<Y >micro||2w(X0)dX0
= || Y (t)agreg-Y (t)micro||2p(t)dt w(X0) dX0
Espace des phasesV1 ( 0) =(X(0),X’(0))1
V2 (0)
V3 (0)
V4 (0)
V5(0)
V1 (10)
V2 (10)V3 (10)
V4 (10)
V5 (10)
V1 (15)
Agrégation Approchée :limites
• ~Valable pour le voisinage défini par la fonction de pondération
• Peut modifier :– les points d’équilibre – la stabilité des points d’équilibre
Ajout d’un paramètre
• dY/dt=F(Y(t),a)• But :
– imposer les points d’équilibre– leur stabilité
Systèmes stochastiques
• dXi=fi(X)dt+k=1..pgik(X)dWk
• A(k)B+B= A(k)
• C(k) =A(k)B+
IV.Perspectives
Avantages
• Cadre rigoureux• Minimisation de l’erreur suivant un critère
choisi
Limites
• Dans quel cadre peut-il s’appliquer ?
• Contraintes (limites de l’outil mathématique)
Prolongements possibles
• Développer la partie mathématique• Autres domaines ?• Approche algorithmique ?
Références bibliographiques• LUCKYANOV, N.K. (1984). Linear aggregation and separability of models in
ecology. Ecological Modelling, 21(1-2):1-12.• O’NEILL, R.V. & RUST, B. (1979). Aggregation error in ecological models.
Ecological Modelling, 7(2):91-105.• IWASA, Y., ANDREASEN, V. & LEVIN, S. A. (1987) Aggregation in model
ecosystems :I.Perfect aggregation. Ecological Modelling, 37(3-4):287-302.• IWASA, Y., LEVIN S. A. & ANDREASEN, V. (1989). Aggregation in model
ecosystems : II. Approximate aggregation. IMA Journal of Mathematics Applied in Medicine & Biology, 6:1-23.
• GARD, T.C. (1988). Aggregation in stochastic ecosystem models. Ecological Modelling, 44(1-2):153-164.
• N. Picard, Passage d’un modèle individuel à un modèle de distribution de la dynamique forestière. Application à une forêt dense tropicale humide de Guyane française. Mémoire de thèse, 1999.
V. Discussion