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Corso di
Matematica Finanziaria
II modulo
Docente: Prof.ssa Carla Barracchini
APPUNTI
SULLA TEORIA DI PORTAFOGLIO
2
Introduzione
La teoria del portafoglio vuole essere un supporto
formale per linvestitore che deve effettuare delle
scelte finanziarie finalizzate al raggiungimento di
obbiettivi di rendimento, fissato un orizzonte temporale
e subordinatamente ad un profilo di rischio accettabile.
Le scelte possono essere sintetizzate con la seguente
tabella
Finalit Intervallo di
variabilit
Tipologie di titoli
Tolleranza al rischio
Il livello di perdita annuale che si pu sopportare senza abbandonare il progetto di investimento
Basso: da 0% a 5%
Moderato: da 6%
a 15% Alto: da 16% a
25%
fondi monetari e certificati di deposito
obbligazioni a medio e
lungo termine, azioni solide in mercati maturi
azioni a crescita aggressiva
Obbiettivi di rendimento
Quale componente del rendimento si vuole enfatizzare: reddito, crescita o entrambi?
Reddito: fonte stabile di reddito annuale
Crescita/reddito: in parte reddito stabile e in parte crescita
Crescita: crescita del valore del portafoglio
Reddito: obbligazioni
Crescita/reddito: azioni solide in mercati maturi
Crescita: azioni a crescita
aggressiva
Orizzonte temporale
Per quanto tempo si intende mantenere linvestimento?
Breve: da 1 a 5 anni
Lungo:pi di 5anni
fondi monetari , certificati di deposito, obbligazioni di breve e medio periodo (meno di 5 anni)
azioni a crescita aggressiva
3
Attualmente uno degli strumenti usato dagli investitori
istituzionali per la costruzione e realizzazione di
un'analisi statico-quantitativa dei mercati il modello
scoperto agli inizi degli anni 50 da Harry Markowitz
(Portfolio Selection 1952). Lo scopo della sua teoria
quello di costruire un portafoglio che dato un rischio
contenuto offra il massimo rendimento atteso.
In realt non esiste un portafoglio ideale in termini
assoluti, ma tanti portafogli in relazione alla diversa
propensione al rischio di ciascun investitore.
Considerati i contenuti fortemente innovativi del modello
ma data la difficolt di utilizzo dello stesso, nel 1963 un
allievo di Markowitz, W. Sharpe ne diede una versione
semplificatrice.
Ulteriori sviluppi si sono avuti da parte di Linter nel
1965 e Massin nel 1966 che hanno caratterizzato i
prezzi di equilibrio in un mercato che seguiva le regole
del modello di Markowitz.
Non tutti i modelli di selezione del portafoglio si rifanno
allapproccio di Markowitz: recentemente due
ricercatori, Konno e Yamasaky, hanno proposto un
4
modello di relazione di portafoglio che ha il pregio di
formularsi come un problema di programmazione lineare
e si posa su ipotesi simili a quelle di Markowitz.
Non vanno poi trascurati gli approcci basati sui concetti
della analisi multicriteria, che rifiuta lapproccio
razionale ottimizzante e critica il concetto di soluzione
ottima. Secondo questa analisi i modelli di selezione del
portafoglio vanno intesi come un insieme di procedure
che per un verso restringono il campo delle alternative
possibili e per altro verso procedono ad evidenziare
portafogli particolarmente adatti alle esigenze e alle
possibilit del decisore.
Lapproccio di Markowitz ha poi fornito le basi al pi
noto dei modelli di equilibrio dei mercati finanziari: il
CAPM (Capital Asset Pricing Model).
Essendo la teoria del portafoglio basata sul concetto di
rischio e rendimento dei singoli titoli necessario
definire prima tali grandezze in termini finanziari.
5
1.Rendimenti incerti
Consideriamo un titolo e la sua variabile di rendimento in
un intervallo di tempo che assumiamo unitario.
Un titolo di puro sconto acquistato al prezzo P oggi, in
t=0, e che vale M in t=1, considerato un titolo certo,
non rischioso.
Per esso la varianza (o rischiosit) nulla ed il
rendimento (certo) noto:
P M 0 1 t P(1+i)=M
i=(M-P)/P
Nella teoria del portafoglio il tasso effettivo di
rendimento, nel periodo considerato, viene anche
indicato con r o R:
R=(M-P)/P
Se consideriamo invece un titolo con cedole intermedie
(nellintervallo considerato) allora il rendimento
effettivo non noto se non ex post, una volta che si
siano reinvestite le cedole e ritirato alla scadenza il
capitale, pur essendo noto il prezzo di acquisto P pagato
in t=0. Per esempio:
6
P iC iC+C
t=0 t=1
Il montante M in t=1 (che include anche eventuali premi e
reinvestimenti di cedole) non noto con certezza, ed ha
il carattere di una variabile casuale, per esempio
Mk = iC(1+jk) + (iC+C)
con probabilit pk e possiamo, quindi, considerare la v.c.
rendimento del titolo avente le uscite
Rk=(Mk-P)/P
con probabilit pk.
Definiamo rendimento atteso (1)
e assumiamo come misura della rischiosit del titolo, la
varianza (2)
==k
kkk REpRR2222 )()()(
(la varianza una misura di quanto il rendimento
effettivo, Rk, che si realizza possa discostarsi, in media,
dal valore atteso). Nel caso di titoli azionari anchessi
appartenenti alla classe di attivit finanziarie rischiose
kk
k pR=
7
il rendimento del titolo, dato il prezzo Pt al tempo
iniziale t, ed il prezzo Pt+1 al tempo t+1, viene calcolato
da: (3)
t
tttt P
DPPR 11 ++ +=
Definiamo, poi, come fattore di rendimento il seguente
rapporto: (4)
t
tt
PDPR 11* ++ +=
Dove Dt+1 sono i dividendi pagati, di solito in contante,
tra il tempo t ed il tempo t+1.
Spesso per semplicit si assume che le realizzazioni
possibili, Rk, siano tutte equiprobabili, non avendo
sufficienti informazioni sulleffettiva probabilit pk associata
a ciascuna realizzazione. I rendimenti di un titolo vengono
determinati utilizzando i prezzi del titolo a diverse
scadenze. Per esempio, supponiamo di conoscere i prezzi
di un titolo ai tempi t=0,1,2.,N mesi
P0 P1 P2 PN
0 1 2 N
8
possiamo quindi calcolare il rendimento mensile,
assumendo che abbia le realizzazioni
0
011 P
PPR =
con probabilit pari a pk=1/N, e in generale la
realizzazione
1
1
=
k
kkk P
PPR
con probabilit pk=1/N, con k=1,2,..N.
Il rendimento atteso (mensile) del titolo :
2. Rendimenti come variabili casuali Normali
Il rendimento di un titolo rischioso pu essere trattato
come variabile casuale con valore atteso e varianza 2,
parametri che ci permettono di elaborare una teoria del
portafoglio per la determinazione della combinazione
ottimale dei titoli da inserire in un portafoglio di titoli
rischiosi.
=
==
N
kkRN
RE1
1)(
9
Di solito ci si assume in modo da semplificare lanalisi.
Infatti la v.c. normale descritta interamente da media
e varianza sufficienti per ottenere un quadro completo
dei possibili rendimenti di unattivit finanziaria.
La media e la varianza di un titolo non sono le uniche
misure adottate per misurare rispettivamente il
rendimento atteso e il rischio di un titolo. Tuttavia se il
rendimento del titolo considerato ha una distribuzione
normale allora esse racchiudono in forma sintetica tutte
le informazioni possibili su quel titolo.
Vediamo perch e in quali circostanze si possa modellare
il rendimento di un titolo come variabile casuale normale.
Dalla (4) possiamo anche definire il logaritmo del
rendimento R per periodo: (5)
t
tt
PDP
r 11ln ++ +=
poich 1=t
t
PP
)1ln(1ln 11 tt
ttt RP
DPPr +=
++= ++
Con un R inferiore a 0,15 r sar approssimativamente
uguale a R. Perci al fine di analizzare lipotesi di
10
normalit dei rendimenti pi conveniente analizzare i
rendimenti logaritmici.
Si consideri landamento del rendimento di un titolo
1,2,N giorni. Sia Rt(1) il rendimento semplice per un
giorno, dal giorno t al giorno t+1 e sia rt(1) il
corrispondente rendimento logaritmico tale che
))1(1ln()1( tt Rr +=
Ipotizzando che i pagamenti in contante siano
immediatamente reinvestiti nel titolo a prezzo corrente
di mercato, possiamo definire come rendimento composto
di n giorni Rt(n) dal giorno t al giorno t+n il prodotto di
una sequenza ininterrotta di rendimenti semplici
giornalieri
1+Rt(n)=[1+Rt(1)][1+Rt+1(1)][1+Rt+n-1(1)]
Se non vi sono pagamenti durante il periodo di
investimento di n giorni, il rendimento composto Rt(n)
sar identico al rendimento semplice definito
dallequazione (3) per il periodo di n giorni.
Il rendimento logaritmico rt corrispondente a Rt(n)
1 1
definito come rt(n)=ln[1+Rt(n)]. Dalle propriet del
logaritmo abbiamo (6)
Cio il rendimento logaritmico di un investimento della
durata di n giorni uguale alla somma degli n rendimenti
logaritmici giornalieri realizzati durante il periodo
dinvestimento di n giorni.
Supponiamo ora che i rendimenti logaritmici per
investimenti della durata di un giorno siano delle
variabili casuali indipendenti identicamente distribuite,
con media e varianza 2. In base a condizioni
sufficientemente generali circa la distribuzione di tali
rendimenti, il teorema del limite centrale afferma che il
rendimento logaritmico di n giorni definito nellequazione
(6) converger verso una distribuzione normale con
media n e varianza n2 al crescere di n.
Fintanto che i rendimenti logaritmici giornalieri sono v.c.
statisticamente indipendenti con varianza finita, la
distribuzione dei rendimenti logaritmici per intervalli di
tempo pi lunghi converger verso una distribuzione
normale al crescere della durata del periodo
=
=
=
+++ =+=+=+1
0
1
0
1
0)1()]1(1ln[))]1(1(ln[)](1ln[
n
k
n
k
n
kktktktt rRRnR
1 2
dinvestimento. Levidenza empirica indica che la
convergenza si ottiene per periodi di una settimana o di
un mese circa. Questo risultato importante per lo
studio dellandamento dei corsi azionari perch vi sono
numerosi contributi nella letteratura statistica e in
quella del calcolo delle probabilit che analizzano proprio
le caratteristiche delle distribuzioni normali. I risultati
di tali studi possono essere applicati se i rendimenti
logaritmici si distribuiscono, asintoticamente, in modo
normale.
Vi un unico caso in cui i rendimenti logaritmici si
distribuiscono in modo perfettamente normale per
qualsiasi periodo di investimento. Se i rendimenti
logaritmici giornalieri rt(1) si distribuiscono essi stessi
in modo normale, i rendimenti rt(n) per investimenti di n
giorni si distribuiscono anchessi in modo normale per
tutti gli n1. In questo caso rt(n) sar uguale alla somma
di n variabili casuali normalmente distribuite e non
occorrer fare riferimento al teorema del limite
centrale per ottenere la normalit di rt(n).
1 3
Da studi iniziali sulla distribuzione dei rendimenti dei
titoli azionari risulta che la varianza campionaria di
rendimenti logaritmici aumenta in modo approssimativa-
mente lineare con la durata del periodo di investimento.
Questi risultati sembrano favorire lipotesi che i rendi-
menti logaritmici di un titolo azionario tendano a distri-
buirsi, asintoticamente, in modo normale, con varianza
finita della distribuzione dei rendimenti giornalieri. Da
questi studi, tuttavia, risulta anche che, per rendimenti
misurati per brevi intervalli di tempo, si possono
osservare valori estremi, positivi e negativi, pi elevati
che ci si potrebbe aspettare se tali rendimenti fossero
distribuiti normalmente. Il fatto che nella distribuzione
di rendimenti logaritmici giornalieri si possano riscon-
trare delle code abbastanza spesse (fat tails) contrad-
dice lipotesi che tali rendimenti siano normalmente
distribuiti ed induce a pensare che per intervalli pi
lunghi la normalit dei rendimenti logaritmici sia,
quantomeno, un risultato asintotico.
14
3.Portafoglio di due titoli rischiosi
Supponiamo ora che un investitore scelga di investire in
due titoli rischiosi B1 ed B2, uniperiodali (della durata di
un anno
per esempio). Facciamo poi lipotesi che i titoli siano
infinitamente divisibili, ossia che si possa acquistare un
titolo anche solo parzialmente e quanto si realizza in t=1
proporzionale a quanto si investito in t=0.
Consideriamo allora il portafoglio che consiste
nellinvestire:
x1 nel titolo B1
x2 nel titolo B2
con
x1+ x2=1, x i0
dove x i la frazione del capitale unitario che vogliamo
investire nel titolo B i (se W il capitale totale da
investire e W i le quote da investire nel titolo i, allora x i=
W i/W).
Note le caratteristiche rischio/rendimento dei singoli
titoli B1 ed B2, la composizione del portafoglio dipende
da x1 e x2. Combinando la composizione linvestitore pu
1 5
cambiare il rendimento ed il rischio del portafoglio.
Come vedremo rischio/rendimento del portafoglio si
potranno esprimere in funzione di rischio/rendimento dei
singoli titoli. Indichiamo con R i la v.c. rendimento dei
titoli:
R1 ={R(1)k,p(1)k} k=1,.. N1 R2 ={R(2)k,p(2)k} k=1,.. N2 dove R(1)k=(M(1)k-P1)/P1
si realizza con probabilit p(i )k.
Essendo P1 il prezzo in t=0 del titolo B1 ed M(1)k le
realizzazioni in t=1 con probabilit p(1)k. Analogamente
per R2. Indichiamo con R il rendimento del portafoglio,
che sar una v.c., le cui realizzazioni dipendono da quelle
dei titoli componenti.
Infatti se la ricchezza alla fine del periodo :
W=W+W1R(1)i+W2R(2)j
il rendimento del portafoglio di composizione (x1, x2)
dato da
=
WWWRij
' cos che
jiii
ij RxRxWRW
WRW
R )2(2)1(1)2(2)1(1 +=+=
16
Cio la v.c. rendimento del portafoglio una
combinazione lineare della v.c. rendimento dei singoli
titoli ed si avr
N=N1N2 possibili uscite
con valore R ij(i=1 N1; j=1 N2)
e probabilit composta p ij=p(R(1)i,R(2)j) affinch si
realizzi levento R(1)i per la v.c. R1 e levento R(2)j per la
v.c. R2.
Poich almeno una delle N coppie possibili si realizza:
e
se si fissa R(1)k per B1,con k=1 N1.
Dove p(1)k la probabilit che titolo esca con
realizzazione R(1)k qualunque sia quella del secondo titolo.
Analogamente p(2)k per il secondo titolo. Pertanto le
probabilit marginali si possono ottenere sommando per
riga e per colonna le probabilit congiunte
=1 2
1N
i
N
jijp
=
=
1
1)1( 1
N
kkp
=
=
2
1)1(
N
jkjk pp
1 7
R21 R2j R2N
R11
R1i
R1N
p11
p ij
pNN
p(1)1
p(1)i
p(1)N
p(2)1 p(2)j p(2)N
Il problema che le probabilit congiunte non si
conoscono, ma in genere sono note le quelle marginali,
sufficienti a calcolare il rendimento atteso del
portafoglio, E(R) o :
Quindi noti i rendimenti attesi dei singoli titoli
componenti il portafoglio, il rendimento atteso del
portafoglio la combinazione lineare dei due rendimenti.
Il rischio del portafoglio, misurato dalla varianza 2(R),
dipende dalle varianze dei singoli titoli e dalle
= = = = = = = =
=+=+===1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 1 1 1 1)2(2)1(1)2(2)1(1 )()(
N
i
N
j
N
i
N
j
N
i
N
j
N
i
N
jijjijiijjiijij pRxPRxpRxRxpRRE
= = = =
+=+=+=1 2 2 1
1 1 1 12211)2()2(2)1()1(1)2(2)1(1 [][
N
i
N
j
N
j
N
i i jjjiiijjiji xxpRxpRxpRxpRx
18
correlazioni esistenti fra i vari titoli. (La correlazione
viene misurata tramite la covarianza fra le v.c. R1 ed R2.)
Se le coppie di possibili realizzazioni aventi tutte uguali
probabilit di verificarsi sono disposte come in figura a
sinistra, allora c una relazione inversa tra R1 ed R2. Un
portafoglio composto da questi due titoli avr un
rendimento atteso stabile perch si recupera su
unattivit quello che si perde sullaltra.
Al contrario una relazione tra rendimenti positiva, come
in figura a destra, determiner un portafoglio con un
rendimento atteso o molto alto o molto basso.
Definiamo la covarianza che esprime la relazione tra R1
ed R2:
mentre
(Notiamo che se la probabilit che in entrambi i titoli sia
la realizzazione di R1 che di R2 sia maggiore (minore) dei
rispettivi rendimenti attesi, allora la covarianza
positiva. Al contrario se i rendimenti si muovono in
maniera discordante rispetto ai rispettivi rendimenti
= =
==
1 2
1 12)2(1)1(1221 ))((),cov(),cov(
N
i
N
jijji pRRRRRR
2),cov( iii RR =
19
attesi, allora la varianza negativa. Vediamo allora la
covarianza negativa in figura a sinistra e positiva in
figura a destra.)
Se cov=0 si dice che le v.c. sono non correlate, e ci pu
accadere (condizione sufficiente ma non necessaria) se
esse sono statisticamente indipendenti, cio P ij=p(1)ip(2)j
4.Varianza di un portafoglio di due titoli rischiosi
Calcoliamo la varianza di un portafoglio:
1221
22
22
21
21 2 xxxx ++=
Spesso meglio utilizzare il coefficiente di
correlazione, che non dipende dallunit di misura delle
variabili ed una sorta di covarianza normalizzata,
compreso nellintervallo (-1,1):
21
1212
=
= =
=+=+==1 2
1 1
22)2(21)1(1
22211)2(2)1(1
22 )]()([)()()(N
i
N
jijjiijjiijij pRxRxpxxRxRxpRR
=++= ijjiji pRRxxRxRx )])((2)()([ 2)2(1)1(2122)2(2221)1(21
=++= ijjiijjiji pRRxxpRxpRx ))((2)()( 2)2(1)1(212
2)2(22
21)1(
21
20
da cui
Poich cov(Ri,Ri)=2i introduciamo la matrice di varianza-
covazianza (simmetrica):
Ponendo X=[x1,x2] si ha
Possiamo ora rappresentare ogni portafoglio ammissibile
nel piano cartesiano media-varianza MV.
Sappiamo dal vincolo di bilancio che x1+x2=1, cio che
tutta la ricchezza disponibile viene investita, e che x i0,
cio che non sono ammesse vendite allo scoperto,
pertanto dobbiamo stimare un solo parametro, visto che
x1=1-x2 e che quindi linsieme che otteniamo nel piano MV
unidimensionale in cui rappresentiamo una curva di
equazioni(7):
con x2[0,1]
2112122
22
21
21
22
2)( xxxxR ++=
222112
21122
1
=V
VXXR ')(2 =
2 1
Eliminando x2 otteniamo lequazione di una curva nel
piano MV, luogo geometrico dei portafogli ammissibili.
Osserviamo che:
x2=0 =1, 2= 12
x2=1 =2, 2= 22
quindi i due estremi sono i punti P1 e P2 relativi ai singoli
titoli B1 ed B2, cio si investe tutto o nelluno o nellaltro
titolo.
Al variare di x2 fra 0 e 1 otteniamo una curva che
congiunge i due estremi.
Supponiamo che B1 sia il titolo a media e varianza
inferiori.
Analizziamo i casi particolari al variare del coefficiente
di correlazione:
++=
+=
21122222
22
212
22212
)1(2)1()1(
xxxx
xx
2 2
a) Perfetta correlazione: =1
In tal caso si ha (8):
Dalla seconda equazione esplicitiamo x2:
e sostituendo nella prima equazione:
che lequazione di una retta con coefficiente angolare
b>0 che dipende dalla relazione tra i rendimenti attesi e
le varianze dei due titoli, ed intercetta pari ad a. La
frontiera efficiente in tal caso rappresentata dal
segmento di retta congiungente i due punti P1 e P2.
2 P2
1 P1
12 22
+=++=
+=2
2212212222
22
21
22
22212
])1[()1(2)1()1(
xxxxxx
xx
12
12
=x
ba+=
+
=
++=
+=12
12
12
2121
12
111212112112
12
11 )(
2 3
b) Perfetta correlazione negativa: =-1
Si ha (9):
da cui:
2212 )1( xx =
quindi essendo
0)1( 2212 xx
per
21
12
+x
si ha
+
=
2212
2212
)1()1(
xx
xx
rispettivamente per:
24
Se x2=1/(1+2) allora =0, cio il portafoglio a rischio nullo ed il rendimento :
21
2112
+
+=
Nel caso 2) si ha:
21
12
+
+=x
e sostituendo nella prima equazione della (9):
1121
12
21
21122
21
11
21
1 )1( ba +=+
++
+=
+
++
+
+=
che lequazione di una retta con coefficiente angolare
b1>0.
Il portafoglio a rischio nullo ha composizione ),( 21 = xxx
con
21
12
+=x e
21
221 1
+== xx
e rendimento atteso
)( 1221
11
21
2112
+
+=+
+=
Possiamo allora rappresentare la frontiera di portafoglio
2 P2 1 P1 12 22
2 5
Dalla figura possiamo evincere che in presenza di 2 titoli
perfettamente non correlati si pu costruire un
portafoglio a rischio nullo calcolando le giuste porzioni di
x1 e x2.
c) Rendimenti non correlati:=0
Si ha (10):
+=
+=22
22
212
22212
)1()1(
xx
xx
esplicitando x2 dalla prima equazione si ha
12
22
12
12 1;
=
= xx
e sostituendo nella seconda
22
2
12
121
2
12
22 )()(
+
=
che nel piano (,) lequazione di una conica, mentre nel
piano (2,) lequazione di una parabola:
2 P2 1 P1 12 22
22
21
21
22
221
212
22
21
22
21
21
2212
2 )(2)()()()( ++++=+=
26
Per trovare il portafoglio a rischio minimo possiamo
utilizzare trovare il minimo della funzione 2(x2).
1. Si ha:
da cui
mentre dal vincolo di bilancio si ha
e poich
otteniamo che (x1,x2) minimizzano 2 (o ) e sono
quindi il portafoglio a rischio minimo:
22
22
21
22
2 )1( xx +=
02)1(2 2222122
2
=+=
xxdxd
22
21
21
2
+=x
22
21
22
1
+=x
0)(2 22212
22
>+=
dxd
2 7
e rendimento:
Osserviamo che allo stesso risultato si poteva pervenire
trovando il min della funzione 2()
d) Caso generico: (-1,1)
In questo caso le equazioni descritte dal sistema MV
descrivono una conica (piano ,) o una parabola (piano
2,)
Il portafoglio a rischio minimo si determina ugualmente
risolvendo il problema di minimizzazione.
=-1 =0 2 1 =1 2
222
22
1
212
12
22
21
222 )()(
++
+=
22
21
221
212
1222
21
21
1 )(
+
+=
++=
28
Dallequazione
[ ][ ]212122212122212122121221222122
12
212122
21
21
222
12
2
2))((2)2()(1
))((2)()()(1
++++++
=
++
=
osserviamo che
0)2( 212221 >+ per + per 1~2 21
22
21 >=
+<
in modo che soddisfatta la condizione (-1,1).
Minimizziamo ora la funzione
212222
22
21
222
2 )1(2)1()( xxxxx ++=
ottenendo
0)21(22)1(2 2122222122
=++= xxxdxd
da cui
2122
21
2112 2
)(
+
=x
e considerando che
odx
d>+= )2(2 212221
2
22
x2 punto di minimo e che x2>0 per 1-2>0, cio
29
Quindi il portafoglio a rischio minimo esiste per
(-1,1/2).
In tali casi il portafoglio ((1-x2),x2) ha rendimento
=+x2(2-1). Se x2(0,x2) si hanno portafogli non
preferiti mentre per x2(x2,1) si hanno i punti della
frontiera efficiente.
5.Vendite allo scoperto
In questo caso eliminiamo la condizione x i0 assumendo
invece x i R. Quindi se ad esempio x1 1, cio x1 negativo vuol dire che il titolo B1 venduto
allo scoperto, cio loperatore vende titoli che non
possiede, deve prenderli in prestito per poterli vendere
e si impegna poi a restituirli ad una data futura
concordata. Si indebita allo scopo di acquistare di pi
(x2 >1) del titolo B2.
In questo caso otteniamo come luogo dei punti
ammissibili del piano rischio-rendimento le stesse curve
ottenute prima, ma non dobbiamo considerare solo la
porzione di curva compresa fra i punti P1 e P2 ma tutta la
curva come rappresentato in figura rispettivamente
30
per =1, =-1, (-1,1)
x1
3 1
Loperatore sceglier la composizione che massimizza la
propria soddisfazione, restringendo lanalisi ai soli punti
della frontiera efficiente.
Nota una utilit del danaro u(x), la funzione
D(,)=u()-
oppure D(,)=u()- con ,>0 e (0,1) pu essere assunta come funzione di utilit nel piano
(,). Comunque non sempre necessario partire da una
funzione u(x), ma sufficiente che una funzione D
soddisfi alcuni criteri generali che richiediamo debbano
valere per una funzione di utilit. Cio le curve di
isoutilit D(,)=C esplicitate in =F(,C) devono essere
crescenti e convesse, in quanto al crescere di , cio
aumentando il rischio, la soddisfazione resta la stessa
solo se si ottiene un rendimento maggiore (da cui F>0).
Inoltre se il rischio non elevato un piccolo aumento di
rischio sar compensato, per lindifferenza da un piccolo
aumento di rendimento, ma se il rischio elevato, un
aumento anche piccolo del rischio sar compensato, per
lindifferenza, da un maggior incremento del rendimento
(da cui F>0). Perci le curve sono come in figura.
3 2
Non possibile considerare curve di isoutilit
decrescenti (vedi figura) perch allora linvestitore
stima di pari soddisfazione portafogli aventi basso
rischio e alto rendimento e portafogli aventi alto rischio
e basso rendimento contraddicendo il criterio MV.
Vediamo qualche esempio di funzioni di utilit D:
a) D(,)=-a con a>0 e costante.
Le curve di isoutilit hanno equazione D=c (costante) ,
ossia
-a=c che sono rette di pendenza a ed intercetta c.
3 3
b) D(,)=/, le curve di isoutilit =c sono rette
passanti per lorigine con coefficiente angolare c.
c) D(,)=-a2 a>0, le curve di isoutilit sono date da
=a2+c cio parabole con intercetta c.
d) D(,)=-1/(b-) con
34
P2 P1
Invece per un investitore mediamente avverso al rischio
il portafoglio di scelta ottimale sar:
P2 P1
Per un investitore poco avverso al rischio il punto scelto
cadr lontano dal portafoglio di rischio minimo:
P2 P 1
Mentre il punto scelto potrebbe superare il punto P2 se
fossero consentite vendite allo scoperto, investendo pi
di quel che si ha nel solo titolo B2:
3 5
P2 P 1
Sempre per quel che riguarda il problema di scelta
ottimale individuale del portafoglio supponiamo nota la
funzione di preferenza D(,).
Per determinare il punto della frontiera efficiente che
fornisce la massima utilit non necessario determinare
prima la frontiera efficiente, ma possiamo risolvere
direttamente il problema di ottimizzazione.
La regione ammissibile definita dalle equazioni
parametriche:
=++=
=+=VXXxxxx
Xxx'2
'
212122
22
21
21
22211
x1+x2=1 e dove =(1,2)
Quindi per ogni fissata composizione, X=(x1,x2), possiamo
calcolare direttamente il valore di soddisfazione
corrispondente:
F(X)=F(x1,x2)=D((x1,x2),(x1,x2))
x1+x2=1
36
(che si pu anche scrivere UX=1, con U=(1,1,,1))
Impostiamo allora il problema di ottimo:
max F(X)
UX=1
che risolto ci da il portafoglio ottimo.
Essendo il vincolo lineare si ha x1=1-x2 e quindi possiamo
scrivere:
++=
+=
212222
22
21
22
22212
)1(2)1()1(
xxxx
xx
e considerare allora
f(x2)=D((x2),(x2))=F((1-x2),x2)
risolvendolo come problema di libero max f(x2)
Se D tale che le curve di isoutilit sono crescenti e
convesse e la frontiera efficiente una funzione
crescente e concava, allora il problema di ottimo da
soluzione unica.
Una volta trovato il portafoglio che rende massima la
funzione di utilit, calcoliamo i corrispondenti valori di
rendimento atteso e rischio ricavandoli dal sistema
parametrico media-varianza.
3 7
7. Modello di Markowitz: portafoglio con n titoli
rischiosi
Markowitz sostiene che la varianza della media dei
rendimenti decresce all'aumentare del numero n dei
titoli. E' per questo motivo che egli effettua la sua
analisi su n titoli, evidenziando l'importanza della
diversificazione del portafoglio per ridurne il rischio.
Nel caso di un portafoglio con n titoli rischiosi, B1, B2,,
Bn, il problema della costruzione ottimale non
sostanzialmente differente dal caso di un portafoglio di
due titoli.
Ricordiamo le ipotesi che stanno alla base del problema
in esame:
Tutti i titoli hanno la medesima durata (modello
uniperiodale)
I titoli sono infinitamente divisibili
Sono consentite vendite allo scoperto;
Non esistono rischi di insolvenza (il solo rischio
misurato dalla varianza o dalla deviazione standard)
Non esistono gravami fiscali o costi di transazione
38
Gli agenti sono price taker: non influenzano i prezzi
dei titoli ed il mercato (esiste una base oggettiva per
tutti che la frontiera efficiente)
Gli agenti sono massimizzatori del profitto o
dellutilit attesa
Il mercato coerente (assenza di arbitraggio)
La distribuzione dei rendimenti di tipo Normale con
media e varianza 2
Si in presenza di investitori avversi al rischio
(u(x)
39
22)(
2
1)(
2 )()( kkikkN
iikk REpR k
k
kk
== =
o la deviazione standard 2kk =
che viene usata come stima della rischiosit. Dovremo
allora analizzare il portafoglio (generico) che si ottiene
investendo x1 lire in B1,,, xn lire in Bn tenendo conto
del vincolo di bilancio
x1+ x2++ xn =1
In forma compatta, il portafoglio di composizione
X=(x1,,xn) ha vincolo UX=1 dove U=(1,,1). Osserviamo
che se non mettiamo il vincolo di non negativit x i0,
significa che sono consentite vendite allo scoperto.
Nel portafoglio di composizione X=(x1,x2,,xn),
analogamente al caso di 2 soli titoli, si trova che il
rendimento atteso di portafoglio (X), una
combinazione lineare dei rendimenti attesi dei singoli
titoli:
(X) = x11+x22++xnn
= X
dove =(1,,n).
40
Per quanto riguarda la varianza 2(X) del portafoglio di
composizione X ci aspettiamo che, analogamente al caso
con due titoli, intervengano le covarianze dei due titoli a
due a due. Supponendo che siano note le probabilit
congiunte per titoli a due a due, (Br, Bs), ossia
P(R(r) ir, R(s) is) ir=1,,Nr; is=1,,Ns
Per cui si ha
srisirsis
N
i
N
irirsr srr
r
r
s
s
rRRpRRBB
,)()()(1 1
)( )())((),cov( == = =
potremmo disporre le varianze e le covarianze degli n
titoli in una matrice V, detta matrice varianza-
covarianza, con
V(i,i)= cov (B i, B i) = i2
V(i,j)=V(j,i)= cov(Bi,BJ)= i ,j
E dove
11. 1n
V=
n1 nn
La matrice V (quadrata di ordine n) ovviamente
simmetrica, e noi assumeremo che sia anche definita
positiva.
4 1
La varianza del portafoglio di composizione X=(x1, x2,,
xn), analogamente al caso di due titoli, risulta essere la
forma quadratica associata alla matrice di varianza-
covarianza V:
2(X)=XVX = jin
jiji xxV
= 1,,
e la deviazione standard del portafoglio
)()( 2 XX =
Riassumendo, note le caratteristiche dei singoli titoli B1,
B2,,Bn per il portafoglio di composizione X=(x1, x2,, xn)
si ha:
2(X)=XVX
(X)= X
UX=1
Dove
=(1,2,n),
V i ,j = cov(B i, Bj) = i ,j;
U=(1,,1).
42
8. Portafoglio ottimo
8.1. Caso con assenza di vincoli di non negativit e di
attivit a rendimento certo
Se supponiamo che un investitore abbia una data
funzione di preferenza individuale D(,) o D(2,) da
massimizzare, potremo risolvere direttamente il
problema di ottimo, per determinare il portafoglio di
massima soddisfazione:
max F(x1, x2,, xn) = D((x1, x2,, xn), (x1, x2,, xn))
1=i
ix
oppure eliminare il vincolo di uguaglianza e risolvere un
problema di libero in (n-1) variabili.
Esempio.Se loperatore assume D(,)=-a2 si avr
max F(x1, x2,, xn) = X-aXVX
UX=1
Ed essendo V definita positiva, -V definita negativa, ed
il problema di max ha ununica soluzione che definisce il
portafoglio ottimo.
43
Inoltre, essendo il vincolo lineare e la funzione obiettivo
concava, il problema di ottimizzazione convessa cos
che le condizioni del I ordine sono necessarie e
sufficienti per risolvere il problema.
Come si visto anche per il caso di due titoli, conviene a
volte risolvere la parte tecnica comune a tutti gli
investitori, e determinare nel piano (,) o (2,) la
regione dei portafogli ammissibili e la frontiera
efficiente (luogo dei portafogli efficienti).
In questo caso per ogni fissato livello di rendimento =pi
(costante fissata), cerchiamo il portafoglio minimo, ossia
il vettore X*(pi*) che minimizza la varianza, soluzione del
problema di ottimo
min 2(X) = XVX
X=pi*
UX=1
Applicando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange
introduciamo la seguente funzione
XUXVXXXL '1()'*('),,( 2121 ++= pi
44
si ottiene
( )[ ])2(1*))(*(
)(1*)(*
22
11
pipipi
pipipi
+=
+=
x
UVRVx
x*(pi) un punto della frontiera (efficiente) della
regione G dei portafogli ammissibili, e nel piano (2,)
tale frontiera una parabola di vertice (2m=1/; m=/) G m 2m Interessa anche riportare la frontiera efficiente nel
piano (,). In tal caso le ultime due equazioni ,
forniscono per frontiera della regione G nel piano (,)
un arco di iperbole
m m Propriet della frontiera efficiente
Quindi, se
X1=pi1*Y+Z
45
soluzione ottima corrispondente al rendimento pi1* (con
varianza 12) e
X2=pi2*Y+Z
soluzione ottima corrisponde al rendimento pi2* allora
la soluzione ottima corrispondente al rendimento
(combinazione lineare convessa)
pi*=api1*+(1-a)pi2*
data da
X*=aX1+(1-a)X2
Con ci si dimostrato che se sono consentite vendite
allo scoperto, qualunque combinazione lineare convessa di
portafogli di frontiera ancora un portafoglio di
frontiera.
Dati X1 e X2, due portafogli di frontiera con rendimenti
attesi pi1 e pi2, per ogni a R
X*=aX1+(1-a)X2
il portafoglio di frontiera corrispondente al
rendimento atteso
pi*=api1*+(1-a)pi2*
46
Come ottenere un portafoglio di frontiera
Tutti i portafogli di frontiera si possono ottenere a
partire da due qualunque di essi.
Noti due portafogli di frontiera X1 ed X2 corrispondenti
ai rendimenti attesi pi1* e pi2* per determinare la
soluzione ottima corrispondente al rendimento atteso di
un livello * sufficiente determinare il valore di a tale
che
*=api1*+(1-a)pi2*
ossia
a= (-pi2*)/(pi1*-pi2*)
1-a= (pi1*-)/(pi1*-pi2*)
si ha immediatamente
X*=aX1+(1-a)X2
8.2. Portafogli che includono unattivit non rischiosa
Insieme ai titoli rischiosi consideriamo solo un titolo non
rischioso. Questo perch nel caso uniperiodale se ci
fosse pi di un titolo non rischioso, la nostra preferenza
andr sicuramente su quel titolo certo che ha il massimo
rendimento. Consideriamo il titolo non rischioso N, la cui
47
varianza quindi nulla, f=0 ed il cui rendimento certo
un determinato valore Rf*.
8.2.a.Portafoglio con un titolo rischioso ed uno certo
Supponiamo che nel mercato sia possibile effettuare
operazioni di debito o credito esenti da rischio ad un
tasso effettivo di rendimento Rf. Investendo un capitale
C in tale titolo non rischioso N, a fine periodo si avr il
montante C(1+Rf).
Supponiamo che sia disponibile anche un titolo rischioso
B, con varianza B2 e rendimento atteso B.
B B
Rf B
E naturale richiedere
B>Rf
altrimenti opteremo per il titolo non rischioso, per il
criterio M/V e non vi sarebbe il problema della
diversificazione del portafoglio (per aumentare il
rendimento atteso).
48
Consideriamo allora il portafoglio ottenuto investendo xf
lire nel titolo N e (1-xf) nel titolo B, otteniamo un
portafoglio (xf, 1-xf) avente rendimento atteso
=xfRf+(1-xf)B
e varianza
22
22222
)1()1(2)1(
Bf
BfafffBfff
x
xxxx
=
++=
in quanto la varianza del titolo certo nulla. Inoltre
anche la covarianza tra un titolo certo ed un titolo
rischioso sempre nulla.
Si deduce poi la deviazione standard
=(1-xf)B
Esaminando il parametro xf dalle equazioni precedenti
otteniamo il luogo, nel piano (,) dei portafogli
ammissibili.
Essendo
(1-xf)=/B e xf=1-/B
si ottiene
B
fBf
B
Bff
BB
fB
RR
RR
R
+=
=
+
= 1
49
che lequazione della retta nel piano(,), la retta congiungente i due punti rappresentativi di N ed B (che anche la frontiera efficiente). B * B RfN * B
Lultima equazione quella della frontiera efficiente di
un portafoglio composto da un titolo privo di rischio ed
un portafoglio rischioso. La quantit Rf viene chiamata
premio per il tempo mentre il coefficiente m=(B-RF)/B
rappresenta il premio per il rischio e misura lincremento
di rendimento di corrispondente ad un incremento
unitario di rischiosit. A seconda delle curve di isoutilit
si avr la scelta del portafoglio ottimo (che massimizza
lutilit D(,).
La soluzione ottima, geometricamente, un punto (*,*)
di tangenza, e, dovendo appartenere alla retta, soddisfa
bf
fB
fA
x
RR
*1*
**
=
+
=
la quantit investita nel titolo N, e
50
Bfx
**)1( =
la quantit investita in B.
Se il punto di tangenza sopra B, ossia *>B, allora
xf
5 1
=(1, 2,, n) i rendimenti attesi e V la matrice (n*n)
di varianze-covarianze.
Per un portafoglio P di composizione Y=(y1, y2,, yn), y i
=1, si ha quindi il rendimento atteso
p= Y
e varianza
VYYp '2
=
e lanalisi oggettiva che ogni operatore pu fare porta
alla determinazione della frontiera efficiente della
regione ammissibile che abbiamo gi visto. Per esempio
nel piano (,) si ottiene un ramo di iperbole del tipo
min G min Con i soli titoli rischiosi non possibile comporre un
portafoglio che abbia un livello di rischiosit inferiore al
valore minimo m (perch tutti i punti della regione
ammissibile hanno varianza maggiore).
Se invece disponibile unattivit non rischiosa N con
tasso effettivo di rendimento Rf, e varianza nulla, allora
combinando gli (n+1) titoli possibile ampliare la regione
5 2
ammissibile ed avere dei portafogli con rischiosit
inferiore a m.
Di nuovo assumiamo Rf
5 3
11
==
n
iiy
e
x i =(1- xf) y i i=1, , n
in tal modo il rendimento e la varianza del portafoglio si
riscrivono come
i
n
iifff yxRx
=
+=1
)1(
p
VYYx f ')1( 22 = p2 dove intervengono il rendimento p e la varianza p2 di
un generico portafoglio costituito dagli n titoli rischiosi
B1, B2, , Bn di composizione (y1, yn) con y i=1.
Inoltre dallultima equazione, la deviazione standard
=(1-xf)p ( )Tyyp '= e mettendo a sistema le equazioni di e :
= xfRf+(1-xf)p
=(1-xf)p
si ottiene
(1-xf)=/p; xf=1-(/p)
fp
fp RR
+
=
54
che nel piano (,) lequazione di una retta,
congiungente il punto (0, Rf) del titolo N con un qualsiasi
punto (p,p) della regione ammissibile del problema con
soli n titoli rischiosi.
L(linea di mercato) m G N Quindi la regione ammissibile si ampliata, un cono di
vertice (0,Rf), nel titolo N, e la frontiera ora una
retta: la retta L uscente dal punto (0,Rf) e tangente al
ramo di iperbole della vecchia frontiera efficiente F
(ossia dei soli titoli rischiosi). Il punto di tangenza, m
(m,m), quello che corrisponde al portafoglio di
mercato (o portafoglio aleatorio ottimo) di composizione
( )mnm yy ,...,1 (ottenuto come nel caso ci siano solo titoli rischiosi nel portafoglio) con rendimento atteso m e
varianza m2.
5 5
La nuova frontiera efficiente la retta L congiungente il
titolo N con il punto rappresentativo di m, ed come se
ci fossimo ricondotti al problema di investire xf lire nel
titolo certo N e (1-xf) lire nel portafoglio m con
rendimento m e varianza m2 (che svolge lo stesso ruolo
del titolo B nel caso semplice di due titoli visti prima). Il
portafoglio m di composizione ( )mnm yy ,...,1 ha il ruolo di mostrare un comportamento che comune a tutti gli
operatori. Infatti tra tutti i portafogli rischiosi possibili
essi ripartiscono tutti la loro ricchezza nei titoli
rischiosi in proporzione al portafoglio di mercato. In ci
consiste il teorema della separazione: gli investitori
individuano il portafoglio m (ed il punto (m,m)), e solo
successivamente risolvono il problema di investire xf in
N ed (1- xf) in m, quindi la proporzione dei titoli rischiosi
da inserire in portafoglio m viene determinata
indipendentemente dalle preferenze degli investitori.
Quanto investire, ossia la scelta ottima di xf, dipender
poi solo dalla particolare avversione al rischio
(individuale), ma una volta determinato xf (da investire
56
nel titolo certo) la composizione del portafoglio di n
titoli rischiosi mnf
mf
mf yxyxyx )1(,...,)1(,)1( 21
in cui si nota che la scelta di xf cambia con linvestitore
mentre i valori del portafoglio di mercato sono gli stessi
per tutti gli operatori.
La seguente
fm
fm RR
+
=
lequazione della frontiera efficiente detta anche linea
critica o retta di mercato (capital market line) che
rappresenta le preferenze di tutti gli operatori e la
tendenza del mercato.
La sua pendenza
m
fm R
=
detta prezzo di mercato del rischio e ci dice il premio,
cio lincremento di rendimento corrispondente ad un
incremento unitario di rischiosit per i portafogli
efficienti.
La retta fornisce una relazione oggettiva, valida per
tutti gli investitori. Ci dice cio che un portafoglio
5 7
composto razionalmente con i titoli disponibili, deve
avere rendimento atteso uguale al tasso Rf maggiorato di
. Ora vediamo come determinare il portafoglio di
mercato. Sappiamo che la regione ammissibile
costituita da rette uscenti dal punto Rf e congiungenti N
con i punti P della regione delimitata da F. Le rette di
pendenza
p
fpp
R
=
variano quindi al variare del punto P nella regione
delimitata dal ramo di iperbole. Il punto di tangenza che
individua il portafoglio di mercato corrisponde quindi alla
retta che ha pendenza p massima, inoltre poich Rf
58
=
=
=
=
n
ii
jij
iij
n
ifii
p
fp
y
as
yyV
RyR
1
1
1
..
max
8.3. Portafoglio con vincoli di non negativit e
assenza del titolo certo
In questo caso dobbiamo aggiungere al modello di
Markowitz i vincoli di non negativit x i 0.
Il portafoglio (x1,, xn) ha di nuovo valore atteso del
rendimento e varianza rispettivamente
(X)= X
2(X)=XVX
ma i vincoli ora sono
UX=1 e X0
Per determinare la frontiera della regione ammissibile G,
di nuovo, fissiamo un livello di rendimento pi* (compreso
tra il minimo e il massimo dei rendimenti attesi dei
singoli titoli rischiosi) e risolviamo il problema di ottimo
59
minXVX
RX=pi
UX=1
x0
La risoluzione del problema pi complessa e utilizza la
seguente lagrangiana:
L=XVX-1( X-pi)-2(UX-1)-KX
con 1,2 e K=( k1,, kn) sono moltiplicatori di Lagrange.
Tutta la regione G ammissibile rappresentata nel piano
(2,) dalle equazioni
2=XVX
= X
U'X=1
X0
la cui frontiera nel piano una curva costituita da archi
di parabole, e quindi differenziabile con continuit
eccetto che in un numero finito di punti, detti vertici
(corner portfolios) che collegano tra loro archi
appartenenti a parabole diverse, ed ogni arco appartiene
60
alla frontiera della regione ammissibile di un
sottoinsieme degli n titoli.
G 2
8.4. Portafoglio con vincoli di non negativit e in
presenza del titolo certo
In tal caso sono presenti nel portafoglio n titoli rischiosi
le cui percentuali devono soddisfare il vincolo di non
negativit ed un titolo a rendimento certo la cui quota
xn+1 pu in alcuni casi assumere valori negativi. Ci
significa che linvestitore pu ricorrere a prestiti in
denaro ad un tasso fissato allinizio del periodo
supponendo che i prestiti e i crediti siano ottenibili allo
stesso tasso, cos da evitare lintroduzione di due titoli
distinti a rendimento certo.
Si hanno tre possibilit:
il ricorso al prestito vietato ed ammesso solo
linvestimento
6 1
vi sono delle limitazioni al prestito
il ricorso al prestito e linvestimento sono illimitati
9. I limiti dell'approccio media/varianza
Il modello di Markowitz, con un approccio immediato e
comprensibile, ha la capacit di dare giustificazione a
due regole empiriche di carattere intuitivo e di larga
adozione pratica:
i vantaggi della diversificazione,
la disponibilit che ogni operatore dimostra ad un
"trade-off" tra rischio e rendimento: rischio di pi se
ho la possibilit di guadagnare di pi.
Naturalmente, come accade ad ogni rispettabile modello
economico finanziario, anche l'approccio di Markowitz
stato oggetto di numerose critiche. Ne presentiamo
alcune.
Solo particolari funzioni di utilit Von Neumann
Morgenstern sono coerenti col criterio media-varianza.
6 2
La varianza pu essere ragionevolmente considerata un
parametro "sfavorevole" solo per v.c. la cui
distribuzione di probabilit simmetrica.
La varianza (anche per v.c. aventi distribuzione
simmetrica) non rappresenta che una dimensione del
rischio associato ad un portafoglio.
Il modello si riferisce a portafogli uniperiodali,
un'estensione del modello ad un orizzonte
multiperiodale non risulta altrettanto espressivo e
gestibile.
Sembra che le ragioni di fondo di tale inadeguatezza
nascano dalla natura statica del modello stesso; oggi
un'impostazione soddisfacente delle problematiche di
selezione di portafoglio deve risultare necessariamente
dinamica in quanto occorre affrontare congiuntamente il
problema della scelta e il problema della gestione.
La minimizzazione del rischio dei portafogli efficienti
si basa sulle presenza di titoli poco correlati o
addirittura negativamente correlati; in presenza di
titoli a forte correlazione positiva, quali ad esempio i
6 3
titoli obbligazionari, il modello di Markowitz funziona
poco.
La determinazione effettiva della matrice delle
covarianze presenta notevoli difficolt sia per quanto
concerne le metodologie statistiche utilizzate sia per
la numerosit dei titoli presenti sul mercato.
La risoluzione del problema di minimizzazione vincolata
della varianza presenta qualche difficolt computa-
zionale ove si impongano alle variabili decisionali
vincoli pi aderenti alle condizioni dei mercati reali
quali ad esempio: x i0, oppure x i multiplo intero di un
lotto minimo
Essendo i valori degli input (matrice delle covarianze e
rendimenti medi) stimati, e dunque noti con margini di
incertezza, le difficolt computazionali aumentano
quando si rendono necessarie le cosiddette "analisi di
sensitivit" al variare degli input stessi (dove per
analisi di sensitivit si intende la stabilit di una
soluzione ottimale al variare di uno o pi input del
problema)
64
10. Altri approcci alla selezione del portafoglio
Il modello di Markowitz per la selezione di portafoglio
non l'unico proposto e ci sembra doveroso segnalarne
altri: alcuni si ispirano, come Markowitz, alla logica
razionale ottimizzante, altri alla logica dell'analisi
multicriteria.
Il modello di Sharpe (noto anche come S.I.M. "single
index model") corrisponde ad un caso particolare di
Markowitz e presenta notevoli vantaggi applicativi, dove
si considerino le grandi difficolt collegate con la
determinazione della matrice delle covarianze in un
mercato dove siano presenti diverse centinaia di
portafogli elementari.
Nel modello di Sharpe si ipotizza che le v.c. che
esprimono i rendimenti periodali dei vari investimenti
rischiosi possano essere "spiegate" da un'unica v.c. I
(indice).
La v.c. I rappresenta la variazione dellindice di mercato
scelto come rappresentativo dellandamento dei titoli
In pratica lindice di Sharpe mette a confronto il rischio
ed il rendimento di un portafoglio di attivit rischiose
6 5
con quello di unattivit priva di rischio. E una misura del
rendimento in eccesso di unattivit rischiosa rispetto ad
una priva di rischio per unit di rischio:
indice di Scarpe = (rendimento medio del portafoglio -
rendimento di unattivit priva di rischio)/deviazione
standard attivit rischiosa.
Tale confronto descrive se il maggior rischio a cui si
sottoposti investendo denaro in unattivit rischiosa ha
comportato un maggior guadagno: indica cio se
convenuto fare linvestimento o se sarebbe stato meglio
rimanere liquidi.
Un'ulteriore generalizzazione del modello di Markowitz
associa ad ogni portafoglio, oltre al valore medio e alla
varianza (che sono i momenti centrali di ordine uno e
due), anche il momento centrale di ordine tre:
e interpreta il valor medio e 3 quali indicatori
"favorevoli", la varianza come indicatore "sfavorevole".
33 ))(( RExp ii =
66
L'utilizzo del terzo momento centrale vuole ovviare al
fatto che la varianza considera allo stesso modo scarti
al di sotto del valor medio e scarti al di sopra.
Il momento 3 di un portafoglio, combinazione lineare di
portafogli elementari, ha per un'espressione pi
complicata della varianza, e la schematizzazione dell'ap-
proccio risulta particolarmente pesante.
Inoltre esistono v.c. con distribuzione di probabilit
asimmetrica e 3=0.
Quando poi la distribuzione di probabilit del rendimento
simmetrica, risulta 3=0, e dunque, il modello viene a
coincidere con quello di Markowitz.
Un modello semplice e di significato finanziario pi
immediato propone la selezione del portafoglio in base ad
una f.d.u. logaritmica: la scelta di tale f.d.u. si giustifica
se osserviamo che equivale alla massimizzazione della
media geometrica dei rendimenti.
Recentemente H. Konno e H. Yamazaki (1991) hanno
proposto un modello di selezione di portafoglio che si
formula in termini di programmazione lineare e che
fornisce soluzioni assai simili a quelle di Markowitz e
6 7
coincidenti con esse nel caso di rendimenti aventi
distribuzione di probabilit normale.
H. Konno e H. Kamazaki cerano quei portafogli per i quali
la v.c. rendimento ha minima deviazione assoluta dal suo
valore medio.
Le impostazioni basate sull'analisi muticriteria, invece,
tendono al superamento dello schema, radicato e
criticabile, della logica razionale ottimizzante e cercano
piuttosto di selezionare portafogli soddisfacenti,
oppure, di scartare portafogli sicuramente inaccettabili.
L'analisi muticriteria prevede innanzitutto che in un
processo decisionale il sistema di preferenze del
decisore, i vincoli e gli obiettivi vanno definendosi e
precisandosi nel contesto del processo stesso, ed inoltre
ogni alternativa risulta variamente caratterizzata da
parametri qualitativi e quantitativi, spesso non commen-
surabili tra di loro, che non possono essere rappresen-
tati e conglobati da un'unica funzione di utilit.
Su questi fondamenti, i modelli di selezione di portafogli
vanno visti come una serie di procedure che, da un lato,
restringono il campo delle alternative escludendo porta-
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fogli certamente non selezionabili, per l'altro lato
considerano i vari parametri qualitativi e quantitativi
associati ai portafogli non scartati e procedono con
tecniche specifiche ad evidenziare i portafogli pi adatti
alle esigenze e alle disponibilit del soggetto economico
valutatore.
11. Breve applicazione pratica alle teorie esposte
Con lo scopo di approfondire la ricerca abbiamo svolto unanalisi pratica della teoria esposta utilizzando come strumento il foglio elettronico Excel. La volatilit in Excel si esprime con VAR(x) dove x indica la variazione percentuale progressiva del titolo. La volatilit pu anche essere espressa dalla formula DEV.ST.(A,B)*RADQ(X)*100. Si parla in questo modo di deviazione standard. I parametri (A,B) esprimono lintervallo oggetto di disanima (linizio e la fine). A seconda poi dellintervallo temporale in cui losservazione compiuta si avr che X=252 se su base annua, X=64 se su base semestrale, X=5 se su base settimanale. La covarianza espressa dalla seguente formula COVARIANZA(X;Y) in cui X esprime le variazioni percentuali del primo titolo ed Y le variazioni percentuali del secondo.
69
E s emp i oE s emp i oE s emp i oE s emp i o
TELECOM
TELECOM 0,00058 OLIVETTI 0,000539 TIM 0,000473 GENERALI 0,000036 ALLEANZA 0,000086 COMIT 0,000062 FIDEURAM 0,000244 EDISON 0,000064 ENI -0,000004 STM 0,000522 MEDIASET 0,000369 BIPOP 0,000028
0,002999
Matrice varianze/covarianze:
esprime in forma matriciale la relazione dei titoli espressi in portafoglio secondo le formule di cui sopra. La covarianza con lo stesso titolo coincide con la sua varianza.
E s emp i oE s emp i oE s emp i oE s emp i o
T E L E C O M O L I V E T T I T I M G E N E R A L I A L L E A N Z A C O M I T F I D E U R A M E D I S O N E N I S T M M E D I A S
E T B I P O P
T E L E C OM
0 , 0 0 0 6 0 , 0 0 0 5 0 , 0 0 0 04
0 , 0 0 0 0 4 0 , 0 0 0 0 9 6 E - 0 5 0 , 0 0 0 2 4 0 , 0 0 0 0 6 0 0 , 0 0 0 5 2 0 , 0 0 0 4 0 , 0 0 0 0 3
O L I V E T TI
0 , 0 0 0 5 4 0 , 0 0 1 0 , 0 0 0 6 0 0 , 0 0 0 4 2 E - 0 5 0 , 0 0 0 3 6 0 , 0 0 0 1 - 4 E - 0 4 0 , 0 0 0 7 3 0 , 0 0 0 4 9 0 , 0 0 0 1 8
T I M 0 , 0 0 0 4 7 0 , 0 0 0 6 0 , 0 0 0 7 0 , 0 0 0 0 5 0 , 0 0 0 1 4 E - 0 5 0 , 0 0 0 3 1 0 , 0 0 0 1 3 - 1 E - 0 5 0 , 0 0 0 5 7 0 , 0 0 0 4 2 0 , 0 0 0 1
G E N E R AL I
3 , 6 E - 0 5 0 0 0 , 0 0 0 2 0 , 0 0 0 1 6 6 E - 0 5 0 , 0 0 0 8 0 , 0 0 0 0 7 5 E - 0 5 0 0 , 0 0 0 0 6 0 , 0 0 0 2
A L L E A N ZA
8 , 6 E - 0 5 0 0 , 0 0 0 1 0 , 0 0 0 1 6 0 , 0 0 0 4 0 , 0 0 0 1 0 , 0 0 0 1 5 0 , 0 0 0 0 5 5 E - 0 5 0 , 0 0 0 6 0 , 0 0 0 0 9 0 , 0 0 0 0 6
C O M I T 6 , 2 E - 0 5 0 0 0 , 0 0 0 0 6 0 , 0 0 0 1 3 E - 0 4 0 , 0 0 0 1 1 0 , 0 0 0 0 4 3 E - 0 5 0 , 0 0 0 0 2 0 , 0 0 0 0 3 - 0 , 0 0 0 0 2
F I D E U R AM
0 , 0 0 0 2 4 0 , 0 0 4 0 , 0 0 0 3 0 , 0 0 0 0 8 0 , 0 0 0 1 5 0 , 0 0 0 1 0 , 0 0 0 7 0 , 0 0 0 0 7 0 0 , 0 0 0 3 9 0 , 0 0 0 3 4 0 , 0 0 0 2 9
E D I S O N 6 , 4 E - 0 5 0 , 0 0 0 1 0 , 0 0 0 1 0 , 0 0 0 7 0 , 0 0 0 0 5 4 E - 0 5 0 , 0 0 0 0 7 3 E - 0 4 5 E - 0 5 0 , 0 0 0 0 9 0 , 0 0 0 1 5 0 , 0 0 0 0 5
E N I - 4 E - 0 6 0 0 0 , 0 0 0 0 5 0 , 0 0 0 0 5 3 E - 0 5 0 0 , 0 0 0 0 5 0 0 0 , 0 0 0 2 - 0 , 0 0 0 0 2
S T M 0 , 0 0 0 5 2 0 , 0 0 0 7 0 , 0 0 0 6 0 0 , 0 0 0 0 6 0 , 0 0 0 2 0 , 0 0 0 3 9 0 , 0 0 0 0 9 0 0 , 0 0 1 0 , 0 0 0 6 1 0 , 0 0 0 2 5
M E D I A SE T
0 , 0 0 0 4 0 , 0 0 0 5 0 , 0 0 0 4 0 , 0 0 0 6 0 , 0 0 0 0 9 0 , 0 0 0 3 0 , 0 0 0 3 4 0 , 0 0 0 1 5 2 E - 0 5 0 , 0 0 0 6 1 0 , 0 0 0 8 3 0 , 0 0 0 2
B I P O P 2 , 8 E - 0 5 0 , 0 0 0 2 0 , 0 0 0 1 0 , 0 0 0 0 2 0 , 0 0 0 0 6 - 2 E - 0 4 0 , 0 0 0 2 9 0 , 0 0 0 0 5 - 2 E - 0 5 0 , 0 0 0 2 5 0 , 0 0 0 2 0 , 0 0 0 9
0 , 0 0 3 0 , 0 0 3 9 0 , 0 0 0 3 0 , 0 0 0 8 0 , 0 0 1 4 8 E - 0 4 0 , 0 0 3 1 0 , 0 0 1 0 0 , 0 0 5 0 , 0 0 3 6 5 0 , 0 0 2
70
Rendimento atteso
Pu essere determinato in vari modi sia statisticamente che in modo pi marcatamente soggettivo. Nel primo caso utile la formula (1+MEDIA(x,y))^T in cui x,y esprimono l'intervallo considerato e T indica il numero di osservazioni fatte in questo intervallo. Nel secondo caso ci aiuta l'analisi fondamentale con l'esame dei dati di bilancio (Eva, Ebit, P/e) o le previsioni future.
Rendimento complessivo di portafoglio (con pesi gi calcolati)
E(ri) Pesi Volatilit e(ri) ponderato
T E L E C O M 11% 0,057868 10,44033 0,00617 O L I V E T T I 14% 0,05444 20,4455 0,00774 T I M 4% 14,1498 G E N E R A L I 5% 8,226232 A L L E A N Z A 9% 0,075606 13,21336 0,02611 C O M I T 8% 0,322414 6,420567 0,00656 F I D E U R A M 12% 18,44791 E D I S O N 5% 11,64882 E N I 4% 8,501576 S T M 15,60
% 0,004789 25,04624 0,00075
M E D I A S E T 15% 0,101323 17,81803 0,0152 B I P O P 22% 0,38356 21,84104 0,08307
1 0,14559201
Rend imen to a t t e s o : 0 . 145592010 . 145592010 . 145592010 . 14559201