Teorema-Teorema Limit
Beberapa Limit Dasar
Teorema A Misalkan 𝑛𝑛 bilangan bulat positif, 𝑘𝑘 adalah konstanta. Maka1. lim
𝑥𝑥→𝑎𝑎𝑘𝑘 = 𝑘𝑘; 2. lim
𝑥𝑥→𝑎𝑎𝑥𝑥 = 𝑎𝑎; 3. lim
𝑥𝑥→𝑎𝑎𝑥𝑥𝑛𝑛 = 𝑎𝑎𝑛𝑛.
Teorema Limit Utama
Teorema B Misalkan 𝑛𝑛 bilangan bulat positif, 𝑘𝑘 adalah konstanta, dan 𝑓𝑓 dan 𝑔𝑔 adalah fungsi-fungsi yang memiliki limit di 𝑎𝑎. Maka1. lim
𝑥𝑥→𝑎𝑎𝑘𝑘𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑘𝑘 lim
𝑥𝑥→𝑎𝑎𝑓𝑓 𝑥𝑥 ;
2. lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓 𝑥𝑥 + 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓 𝑥𝑥 + lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑔𝑔 𝑥𝑥 ;
3. lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓 𝑥𝑥 − lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑔𝑔 𝑥𝑥 ;
4. lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓 𝑥𝑥 � 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓 𝑥𝑥 � lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑔𝑔 𝑥𝑥 ;
5. lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓 𝑥𝑥𝑔𝑔 𝑥𝑥
=lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓 𝑥𝑥
lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑔𝑔 𝑥𝑥jika lim
𝑥𝑥→𝑎𝑎𝑔𝑔 𝑥𝑥 ≠ 0;
6. lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑛𝑛 = lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓 𝑥𝑥𝑛𝑛;
7. lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑛𝑛 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑛𝑛 lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓 𝑥𝑥 , asalkan
lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓 𝑥𝑥 > 0 jika 𝑛𝑛 genap.
Contoh 1Tentukan limit berikut dan berikan alasan pada setiap langkahnya.
lim𝑥𝑥→1
3𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 + 5
PEMBAHASAN Kita gunakan teorema-teorema limit sebelumnya.lim𝑥𝑥→1
3𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 + 5 = lim𝑥𝑥→1
3𝑥𝑥2 − lim𝑥𝑥→1
2𝑥𝑥 + lim𝑥𝑥→1
5
= 3 lim𝑥𝑥→1
𝑥𝑥2 − 2 lim𝑥𝑥→1
𝑥𝑥 + lim𝑥𝑥→1
5
= 3 12 − 2 1 + 5= 6
Teorema B2 dan B3
Teorema B1
Teorema A3, A2, dan A1
Latihan 1
Tentukan limit berikut dan berikan alasan setiap langkahnya.
lim𝑥𝑥→2
3𝑥𝑥5 − 7𝑥𝑥4 + 5𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥3 − 2𝑥𝑥2 + 1
Teorema Substitusi
Teorema C Jika 𝑓𝑓 adalah fungsi polinomial atau fungsi rasional dan 𝑎𝑎 berada di domain 𝑓𝑓, maka
lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑎𝑎
Latihan 2
Tentukan limit berikut.
lim𝑥𝑥→5
𝑥𝑥2 − 25𝑥𝑥 − 5
Fungsi yang Berbeda di Satu Titik
Teorema D Jika 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑔𝑔 𝑥𝑥 ketika 𝑥𝑥 ≠ 𝑎𝑎, maka lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓 𝑥𝑥 =lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑔𝑔 𝑥𝑥 dengan syarat limit-limitnya ada.
Contoh 2
Tentukan lim𝑥𝑥→5
𝑔𝑔 𝑥𝑥 dimana
𝑔𝑔 𝑥𝑥 = �𝑥𝑥 + 5 jika 𝑥𝑥 ≠ 5𝜋𝜋 jika 𝑥𝑥 = 5
PEMBAHASAN Di sini fungsi 𝑔𝑔 terdefinisi di 𝑥𝑥 = 5 dan 𝑔𝑔 5 = 𝜋𝜋. Tetapi nilai limit 𝑔𝑔 𝑥𝑥 ketika 𝑥𝑥 mendekati 5 tidak tergantung pada nilai fungsi di 5. Karena 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 + 5 untuk 𝑥𝑥 ≠ 5, maka
lim𝑥𝑥→5
𝑔𝑔 𝑥𝑥 = lim𝑥𝑥→5
𝑥𝑥 + 5 = 5 + 5 = 10
Pembahasan
0 2 4 6 8
5
10
𝑥𝑥
𝑦𝑦 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥
0 2 4 6 8
5
10
𝑥𝑥
𝑦𝑦 𝑦𝑦 = 𝑔𝑔 𝑥𝑥
Grafik fungsi f (Latihan 2) dan fungsi g (Contoh 2)
Latihan 3
Tentukan nilai limit-limit berikut.
(a) limℎ→0
2+ℎ 2−4ℎ
(b) lim𝑡𝑡→0
𝑡𝑡2+9−3𝑡𝑡
Teorema Apit
Teorema E Misalkan 𝑓𝑓, 𝑔𝑔, dan ℎadalah fungsi-fungsi yang memenuhi 𝑓𝑓 𝑥𝑥 ≤ 𝑔𝑔 𝑥𝑥 ≤ ℎ 𝑥𝑥untuk semua 𝑥𝑥 yang dekat dengan 𝑎𝑎, kecuali mungkin di 𝑎𝑎 dan
lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
ℎ 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿
maka lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿a
L
x
y
0
f
g
h
Latihan 4
Tunjukkan bahwa
lim𝑥𝑥→0
𝑥𝑥2 sin1𝑥𝑥
= 0
Ilustrasi
x
y
0
#HaveANiceDay