Teorema de LaplaceExemplos e fórmula para o cálculo da matriz inversa.
Pré-requisitos.Submatriz : Sendo M quadrada, a submatriz,
chamada de Mij é a matriz obtida da matriz M, RETIRANDO DESTA A LINHA i E A COLUNA j. Cada elemento possui uma submatriz associada.
Exemplo:
M=[1 2 −14 5 67 8 9 ]
M 11=[5 68 9 ]
M 12=[4 67 9 ]
M 13=[4 57 8]
Determinante das submatrizes.det Mij = Dij
M 11=[5 68 9 ]
M 12=[4 67 9 ]
M 13=[4 57 8]
34845
98
6511
===D
64236
97
6412
===D
33532
87
5413
===D
A cada elemento aij podemos definir:
Aij = (1)i+j.Dij
Exemplos:A11 = ( 1)1+1D11 = (+1)( 3) = 3A12 = ( 1)1+2D12 = ( 1)( 6) = + 6A13 = ( 1)1+3D13 = (+1)( 3) = 3
Quando muda o sinal?Quando não muda?
Cofatores.
i+j é impar
i+j é par
Teorema de LaplacePara calcular o determinante de uma matriz quadrada de ordem n, escolhemos arbitrariamente uma de suas filas (linha ou coluna).
O DETERMINANTE DA MATRIZ É A SOMA DOS PRODUTOS DOS ELEMENTOS DESSA FILA PELOS SEUS RESPECTIVOS COFATORES.
ExemploA escolha da fila não afeta o resultado
do determinante, mas a escolha deve ser inteligente.
Escolha:1ª linha.A11= 3 A12= + 6 A13 = 3
detM = a11A11 + a12A12 + a13A13
detM = 1.( 3) + 2. 6 + ( 1)( 3) = 12
Resolva de novo por regra de Sarrus.
9 87
6 54
121=M
Exemplo
Escolha: 2ª coluna.
detA = a12A12+a22A22+a32A32+a42A42
detA = 0.A12+( 2)A22+0A32+0A42
detA = ( 2)A22
A22= ( 1)2+2. = 183.
detA= ( 2)( 183) = 366
A=[ 1 0 10 03 −2 1 −15 0 −3 −2
−9 0 4 7]
7 4 9
235
0 10 1
Matriz inversa de ordem 3.
Onde:Aij é o cofator do elemento aij.
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa=A
A=A
det
11
t
AAA
AAA
AAA
333231
232221
131211
t
AAA
AAA
AAA
333231
232221
131211
013
312
201=AAdet
1A
A11= (1)1+1. = 3
A12= (1)1+2. = (1)(9) = 9
A13= (1)1+3. = 1
A21= (1)2+1. = (1)(2)= 2
A22= (1)2+2. = 1(6) = 6
A23= (1)2+3. = ( 1)1= 1
Exemplo
01
31
03
32
13
12
5
3 9 1
01
20
2
03
21
6
13
01
1
A31= ( 1)3+1. = 1( 2)= 2
A32= (1)3+2. = ( 1)( 1) = 1
A33= ( 1)3+3. = 1.1= 1
31
20
32
21
12
01
2 1 1
51-
51
51
51-
56
59-
52
5-2
53
511 =
111
169
223
-=A