Probabilidades y Estadística I
TEMA 5
Variables aleatorias unidimensionales
Probabilidades y Estadística I
Esquema inicial
1. Variable aleatoria. Concepto
2. Tipos de variables aleatorias
3. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias.
4. Medidas características de una variable aleatoria.
5. Desigualdad de Tchebychev.
Probabilidades y Estadística I
Esquema inicial
1. Variable aleatoria. Concepto
2. Tipos de variables aleatorias
3. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias.
4. Medidas características de una variable aleatoria.
5. Desigualdad de Tchebychev.
Probabilidades y Estadística I
1. Variable aleatoria. Concepto (1/6)
OBJETIVOS
Describir los resultados de un experimento aleatorio en formade una variable real
X ∈R
Describir la incertidumbre asociada mediante una función realque describa las probabilidades subyacentes (modelos de probabilidad)
•
•
Probabilidades y Estadística I
1. Variable aleatoria. Concepto (2/6)
EJEMPLO
S=(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,1), (1,3), (2,2), (4,1), (1,4), (2,3),(3,2), (1,5), (5,1), (4,2), (2,4), (3,3), (1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (4,3),(3,4), (2,6), (6,2), (3,5), (5,3), (4,4), (3,6), (6,3),(4,5), (5,4), (4,6), (6,4), (5,5), (5,6), (6,5), (6,6)
Experimento aleatorio: lanzar dos dados
Espacio muestral
Variable aleatoria: suma de las puntuaciones (X)
Probabilidades y Estadística I
1. Variable aleatoria. Concepto (3/6)
DEFINICIÓN
:X Ω→R
i is x→
P[X-1(xi)] vendrá representado por P[X=xi]
(Ω, ℘(Ω), P)
RELACIÓN ENTRE NOTACIÓN CONJUNTISTA Y DE VARIABLE ALEATORIA
Probabilidades y Estadística I
1. Variable aleatoria. Concepto (4/6)
DEFINICIÓN
:X Ω→R
(1,1) 2 →(1, 2) 3 →(2,1) 3 →
P[X=3]= P[X-1(3)]=P[(1,2),(2,1)]
Probabilidades y Estadística I
1. Variable aleatoria. Concepto (5/6)
(Ω, ℘(Ω), P) Notación conjuntista
(X, p) Notación de AnálisisMatemático
(X, f) (X, F)
Probabilidades y Estadística I
1. Variable aleatoria. Concepto (6/6)
EJEMPLO
Resultados del experimento aleatorio (elementos de ℘(S))
Valor de la variable aleatoria X
Valor de la función de probabilidad, p(x)
(1,1) 2 p(2)=1/36
(1,2), (2,1) 3 p(3)=2/36
(3,1), (1,3), (2,2) 4 p(4)=3/36
(4,1), (1,4), (2,3), (3,2) 5 p(5)=4/36
(1,5), (5,1), (4,2), (2,4), (3,3) 6 p(6)=5/36
(1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (4,3), (3,4) 7 p(7)=6/36
(2,6), (6,2), (3,5), (5,3), (4,4) 8 p(8)=5/36
(3,6), (6,3), (4,5), (5,4) 9 p(9)=4/36
(4,6), (6,4), (5,5) 10 p(10)=3/36
(5,6), (6,5) 11 p(11)=2/36
(6,6) 12 p(12)=1/36
Probabilidades y Estadística I
Esquema inicial
1. Variable aleatoria. Concepto
2. Tipos de variables aleatorias
3. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias.
4. Medidas características de una variable aleatoria.
5. Desigualdad de Tchebychev.
Probabilidades y Estadística I
Variable aleatoria discreta
2. Tipos de variables aleatorias
Se denomina variable aleatoria discreta a aquella cuyo rango se puede poner en biyección con un subconjunto de los enteros, Z; es decir, se puede hablar de un valor de la variable y su siguiente.
Variable aleatoria continua
Se denomina variable aleatoria continua a aquella cuyo rango se puede poner en biyección con un subconjunto de Z; es decir, no se puede hablar de un valor de la variable y su siguiente.
(1/2)
Probabilidades y Estadística I
Variable aleatoria discreta
2. Tipos de variables aleatorias
Variable aleatoria continua
(2/2)
1 2, ,...., kx x x
[ , ],....,[ , ]i j k tx x x x
Probabilidades y Estadística I
Esquema inicial
1. Variable aleatoria. Concepto
2. Tipos de variables aleatorias
3. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias.
4. Medidas características de una variable aleatoria.
5. Desigualdad de Tchebychev.
Probabilidades y Estadística I
3. Distribuciones de variables aleatorias (1/13)
Variable aleatoria discreta
a) Representación diferencial: función de probabilidad, p(x)
Probabilidades y Estadística I
Resultados del experimento aleatorio (elementos de ℘(S))
Valor de la variable aleatoria X
Valor de la función de probabilidad, p(x)
(1,1) 2 p(2)=1/36
(1,2), (2,1) 3 p(3)=2/36
(3,1), (1,3), (2,2) 4 p(4)=3/36
(4,1), (1,4), (2,3), (3,2) 5 p(5)=4/36
(1,5), (5,1), (4,2), (2,4), (3,3) 6 p(6)=5/36
(1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (4,3), (3,4) 7 p(7)=6/36
(2,6), (6,2), (3,5), (5,3), (4,4) 8 p(8)=5/36
(3,6), (6,3), (4,5), (5,4) 9 p(9)=4/36
(4,6), (6,4), (5,5) 10 p(10)=3/36
(5,6), (6,5) 11 p(11)=2/36
(6,6) 12 p(12)=1/36
3. Distribuciones de variables aleatorias (2/13)
a) Representación diferencial: función de probabilidad, p(x)
Variable aleatoria discreta
EJEMPLO
Probabilidades y Estadística I
X2 3 4 5 6 7
1/36
2/36
3/36
4/365/366/36
8 9 10 11 12
p(x)
p(x) =
6 -7- x
36x = 2,...,12
0 en el resto
3. Distribuciones de variables aleatorias (3/13)
a) Representación diferencial: función de probabilidad, p(x)
Variable aleatoria discreta
EJEMPLO
Probabilidades y Estadística I
3. Distribuciones de variables aleatorias (4/13)
Variable aleatoria discreta
b) Representación integral: función de distribución, F(x) (escalonada)
Probabilidades y Estadística I
3. Distribuciones de variables aleatorias (5/13)
Variable aleatoria discreta
b) Representación integral: función de distribución, F(x)
CÁLCULO DE PROBABILIDADES CON LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN
PROPIEDADES
Probabilidades y Estadística I
Probabilidades y Estadística I
3. Distribuciones de variables aleatorias (6/13)
Variable aleatoria discreta
b) Representación integral: función de distribución, F(x) GRÁFICA
si 0 0.25
0.75 si 0 1
( ) si 1 2
si1
0
2
xx
F xx
x
< ≤ <= ≤ < ≥
Probabilidades y Estadística I
X2 3 4 5 6 7
1/36
2/36
3/36
4/365/366/36
8 9 10 11 12
p(x)
p(x) =
6 -7- x
36x = 2,...,12
0 en el resto
Probabilidades y Estadística I
3. Distribuciones de variables aleatorias (7/13)
Variable aleatoria discreta
b) Representación integral: función de distribución, F(x) EJEMPLO
X2 3 4 5 6 7
1/36
3/36
6/36
10/3615/3621/36
8 9 10 11 12
26/3630/3633/3635/36
1F(x)
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