1. Introducción
• Concepto de transitorio
• Orden del circuito
2. Transitorios de primer orden
• Respuesta natural
• Respuesta transitoria en continua
• Respuesta transitoria en alterna
3. Transitorios de segundo orden
• Circuitos básicos
• Respuesta natural
• Respuesta ante escalón (continua)
• Respuesta a onda sinusoidal (alterna)
4. Ejemplos de aplicación
Tema 13: Transitorios de 1er y 2º orden
V(t)
t=0
Transitorio: Evolución debida a cambios topológicos en el circuito. Transición entre un régimen permanente y otro, tras un cambio en las condiciones del estado del circuito.
Los transitorios son debidos a elementos que almacenan energía: Bobinas y condensadores.
Introducción. Concepto de transitorio
Resistencias y
FuentesCeq
Resistencias y
FuentesLeq
Resistencias y
FuentesCeq1
Ceq2
ORDEN DEL CIRCUITO: número de elementos almacenadores de energía (Leq o Ceq) que tenga el circuito.
Circuitos de primer orden Circuitos de segundo orden
Resistencias y
FuentesLeq1
Leq2
Resistencias y
FuentesLeq
Ceq
Introducción. Orden del circuito
CVC(t)ReqResistencias
CVC(t)
Req vista desde el condensador
0(0)cv V
e( ) R ( )c q cv t i t
( )( ) cc
dv ti t C
dt
e
( ) 1( ) 0
Rc
cq
dv tv t
dt C
/( ) tcv t A e
eR q C
0A V
Cte de tiempo
El condensador se descarga sobre la resistencia siguiendo una evolución exponencial desde el valor inicial V0 hasta 0=V∞
Para un t=τ se alcanza un 63% del ΔV=V0-V∞
/0( ) t
cv t V e
Cálculo de la constante, A:
0(0)cv V
/( ) tcv t A e
Transitorios de primer orden. Respuesta en ausencia de fuentes
Respuesta natural
Condiciones iniciales
CVC(t)
Req
V
CircuitoActivo
CVC(t)
Thévenin visto desde el condensador
Resistencias Y Fuentes
/0( ) ( ) tX t X X X e
0(0)cv V
e e
( ) 1 1( )
R Rc
cq q
dv tv t V
dt C C
/0( ) ( ) t
cv t V V V e
eR q C Cte de tiempo
( )cv V
Cualquier otra variable del circuito tiene una evolución temporal de la misma forma que la de la tensión del condensador.
Respuesta forzada=permanenteRespuesta natural=transitorio
Respuesta forzada=permanenteRespuesta natural=transitorio
El condensador evoluciona desde su valor inicial hasta el nuevo régimen permanente siguiendo una exponencial
Para un t=τ se alcanza un 63% del salto (ΔV=V∞-V0)
Única para el circuito
/ /0( ) (1 )t t
cv t V e V e
Respuesta a entrada ceroRespuesta a estado cero
Transitorios de primer orden. Respuesta en continua
CircuitoActivo
CVC(t)
Thévenin visto desde el condensador
Resistencias Y Fuentes
/( ) 2 cos( ) tX t X t K e
0(0)cv V
e e
( ) 1 1( ) ( )
R Rc
c caq q
dv tv t V t
dt C C
/( ) 2 cos( ) t
cv t V t K e
eR q C Cte de tiempo
/tK e
Respuesta forzada=permanenteRespuesta natural=transitorio
Respuesta forzada=permanenteRespuesta natural=transitorio
Vc(t)
Única para el circuitoCálculo de la constante, K:
0(0)cv V
(0) 2 coscv V K
0 2 cosK V V
Cualquier otra variable del circuito tiene una evolución temporal de la misma forma que la de la tensión del condensador.
Transitorios de primer orden. Respuesta en alterna
L
iL(t)
Geq
0(0)Li I
0A I
e( ) ( )L q Li t G v t
( )( ) LL
di tv t L
dt
e
( ) 10L
Lq
di ti
dt G L
/( ) tLi t A e
eqG L Cte de tiempo
La bobina se descarga sobre la resistencia siguiendo una evolución exponencial desde el valor inicial I0 hasta 0
Para un t=τ se alcanza un 63% del ΔI=I0-I∞
Resistencias L
Geq vista desde la bobina
iL(t)
Cálculo de la constante, A:
/( ) tLi t A e
0(0)Li I
/0( ) t
Li t I e
Transitorios de primer orden. Respuesta en ausencia de fuentes
Respuesta natural
Condiciones iniciales
CircuitoActivo
L
Norton visto desde la bobina
Resistencias Y Fuentes
iL(t)
Geq L
iL(t)
i
/0( ) ( ) tX t X X X e
0(0)Li I
e e
( ) 1 1( )Lc
q q
di tv t I
dt G L G L
Cte de tiempo
/0( ) ( ) t
Li t I I I e
iL(t
)
I0
I∞
La bobina evoluciona desde su valor inicial hasta el nuevo régimen permanente siguiendo una exponencial
Respuesta forzada=permanenteRespuesta natural=transitorio
Respuesta forzada=permanenteRespuesta natural=transitorio
( )Li I
Para un t=τ se alcanza un 63% del valor salto
/ /0( ) (1 )t t
li t I e I e
Respuesta a entrada ceroRespuesta a estado cero
Única para el circuito
Cualquier otra variable del circuito tiene una evolución temporal de la misma forma que la de la intensidad de la bobina.
Transitorios de primer orden. Respuesta en continua
eqG L
( )Li t
/( ) 2 cos( ) tX t X t K e
CircuitoActivo
L
Norton visto desde la bobina
Resistencias Y Fuentes
iL(t)
0(0)Li I
.e e
( ) 1 1( ) ( )Lc LR P
q q
di tv t i t
dt G L G L
/( ) 2 cos( ) tLi t I t K e
Cte de tiempo
Geq L
iL(t)
Icc(t)
Respuesta forzada=permanenteRespuesta natural=transitorio
Respuesta forzada=permanente
/tK e
Respuesta natural=transitorio
Única para el circuito
Cálculo de la constante, K:
(0) 2 cosli I K
0 2 cosK I I 0(0)Li I
Cualquier otra variable del circuito tiene una evolución temporal de la misma forma que la de la intensidad de la bobina.
Transitorios de primer orden. Respuesta en alterna
eqG L
Resistencias y
FuentesC
L
00
( )(0) cL
t
dv ti I C
dt
2e
2
R( ) ( ) 1 1( ) ( )qC C
g
d v t dv tVc t V t
dt L dt LC LC
• RLC serie: circuito compuesto por una resistencia, bobina y condensador en serie.
0(0)cv V
• RLC paralelo: circuito compuesto por una resistencia, bobina y condensador en paralelo.
ReqL
iL(t)
Ig(t)C
VC(t)
L C
Resistencias y
Fuentes
2
2e
( ) ( )1 1 1( ) ( )
RL L
gq
d i t di tVc t i t
dt C dt LC LC
0(0)Li I 00
( )(0) L
Ct
di tv V L
dt
Condiciones iniciales
VC(t)
Req
C
L
Vg(t)
iL(t)
Condiciones iniciales
Equivalante Thévenin
visto desde el cjto. LC Leq
Ceq
Equivalante Norton visto desde el cjto. LC
Leq Ceq
Transitorios de segundo orden. Circuitos básicos
2 21 2 0,S S
2 202 0S S
Respuesta natural
2202
( ) ( )2 ( ) 0
d X t dX tX t
dt dt
1 21 2( ) S t S tX t K e K e
e
e
0
R,
2constante de amortiguamiento α
1,
2R
1frecuencia de resonancia ,
q
q
para RLC serieL
para RLC paraleloC
para RLC serie y paraleloLC
Polinomio característico
2 21 0S 2 2
2 0S
0
1 21 2( ) S t S tX t K e K e
Respuesta Sobre amortiguada
1 2S S 0
1 2( ) ( ) tX t K t K e
Respuesta Críticamente amortiguada
1 dS j 2 dS j 0
1 2( ) os( )tdX t K e c t K
Respuesta Subamortiguada
220frecuencia natural d
Transitorios de segundo orden. Respuesta en ausencia de fuentes
Transitorios de segundo orden. Respuesta en continua
2 21 0S 2 2
2 0S
0
1 21 2( ) S t S t
cV t V K e K e
Respuesta Sobreamortiguada
t
X(t
)
0V
V
( )cV t
Determinación de K1 y K2:
Condiciones iniciales: V0 e I0
Rég. permannete: V∞
1 21 1 2 2
( ) ( ) S t S tc cI t dV tK S e K S e
C dt
01
01 2 2
1 1
/
V VK
I CS S K
0 1 1 2 2/I C K S K S En forma matricial:
0 1 2V V K K
Transitorios de segundo orden. Respuesta en continua
Determinación de K1 y K2:
Condiciones iniciales: V0 e I0
Rég. permannete: V∞
1 1 2
( ) ( )( )t tc cI t dV t
K e K t K eC dt
01
02
0 1
/1
V VK
I CK
0 1 2/I C K K
En forma matricial: 0 2V V K
1 2S S
0
1 2( ) ( ) tcV t V K t K e
Respuesta Críticamente amortiguada
0V V
( )cV t
Transitorios de segundo orden. Respuesta en continua
Determinación de K1 y K2:
Condiciones iniciales: V0 e I0
Rég. permannete: V∞
1 2 1 2
( ) ( )( ) os( )t tc c
d d d
I t dV tK e sen t K K e c t K
C dt
0
0
1 1
/d
V VX
I CY
0 1 2 1 2/ osdI C K senK K c K
En forma matricial: 0 1 2osV V K c K
1 dS j 2 dS j
0
1 2( ) os( )tc dV t V K e c t K
Respuesta Subamortiguada
220frecuencia natural d
0V
V
( )cV t
1 2osX K c K 1 2Y K senK2 2
1K X Y
2 ( / )K arctg Y X
Transitorios de segundo orden. Respuesta en alterna
2 21 0S 2 2
2 0S
0
1 21 2( ) 2 cos( ) S t S t
cV t V t K e K e
Respuesta Sobreamortiguada
Determinación de K1 y K2:
Condiciones iniciales: V0 e I0
Rég. permannete:
1 21 1 2 2
( ) ( )2 ( ) S t S tc cI t dV tV sen t K S e K S e
C dt
01
1 2 2 0
2 cos1 1
/ 2
V VK
S S K I C V sen
0 1 1 2 2/ 2I C V sen K S K S
En forma matricial: 0 1 22 cosV V K K
2 cos( )V t
( )cV t
1 21 2
S t S tK e K e
1 1 2
( )( ) 2 ( ) ( )t tcc
dV tI t C V sen t K e K t K e
dt
01
2 0
2 cos0 1
1 / 2
V VK
K I C V sen
0 1 2/ 2I C V sen K K
En forma matricial: 0 22 cosV V K
1 2S S
0
1 2( ) 2 cos( ) ( ) tcV t V t K t K e
Respuesta Críticamente amortiguada
Transitorios de segundo orden. Respuesta en alterna
( )cV t
1 2( ) tK t K e
Determinación de K1 y K2:
Condiciones iniciales: V0 e I0
Rég. permannete: 2 cos( )V t
1 2 1 2
( )( ) 2 ( ) ( ) os( )t tcc d d d
dV tI t C V sen t K e sen t K K e c t K
dt
0
0
1 1 2 cos
/ 2d
V VX
Y I C V sen
0 1 2 1 2/ 2 osdI C V sen K senK K c K
En forma matricial: 0 1 22 cos osV V K c K
1 dS j 2 dS j
0
1 2( ) 2 cos( ) os( )tc dV t V t K e c t K
Respuesta Subamortiguada
220frecuencia natural d
1 2osX K c K 1 2Y K senK
2 21K X Y
2 ( / )K arctg Y X
Transitorios de segundo orden. Respuesta en alterna
1 2os( )tdK e c t K
Determinación de K1 y K2:
Condiciones iniciales: V0 e I0
Rég. permannete: 2 cos( )V t
50 V
Interruptor
4
0.1 H
t = 0
R = 4 R = 2.5 R = 7.5
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20
2
4
6
8
10
14
16
18
20
Tiempo (s)
Cor
rient
e (A
)t 0.025 s
t 0.013 s
t 0.04 s
i = 50/4 = 12.5 A
L/R 0.1/4 0.025 s
i = 50/2.5 = 20 A
L/R 0.1/2.5 0.04 s
i = 50/7.5 = 6 A
L/R 0.1/7.5 0.013 s
Motor de CC
/0( ) ( ) t
Li t I I I e
Circuito de primer orden
Influencia de la resistencia:
R afecta a la cte. de tiempo y a I∞
La intensidad de la bobina evoluciona desde su valor inicial hasta el régimen permanente siguiendo una exponencial
Transitorio de arranque de un motor CC
50 V
Interruptor
4
0.1 H
t = 0
L = 0.1H L = 0.2H L = 0.05H
Tiempo (s)
Cor
rient
e (A
)
0 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20
2
4
6
8
10
12
14
L → 0
i = 50/4 = 12.5 A
L/R
Influencia de la bobina:
L afecta a la cte. de tiempo
Motor de CC
/0( ) ( ) t
Li t I I I e
Circuito de primer orden
La intensidad de la bobina evoluciona desde su valor inicial hasta el régimen permanente siguiendo una exponencial
t 0.025 s
t 0.0125 s
t 0.05 s
Transitorio de arranque de un motor CC
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05-6
-4
-2
0
2
4
6
Tiempo (s)
Cor
rient
e de
l prim
ario
(A
)
1er Orden 2º Orden
Conmutación
2
12 VInterruptor cerrado
1F
1 100
5 mH
R/2L 200
0 1/LC 14142 << 0 Subamortiguado
Interruptor abierto
Circuito de primer ordenCircuito de segundo orden serie
2 20 0d
Circuito de encendido de un automóvil. Transitorio
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05-150
-100
-50
0
50
100
150
Tiempo (s)
Ten
sión
del
prim
ario
del
tran
sfor
mad
or (
V)
Conmutación Régimen permanente final
Pico de tensión: chispa en la bujía
R = 2 R = 4 R = 0.5
R
12 VInterruptor C
1 100
L
Interruptor abierto: 2º orden subamortiguado
R/2L 0 1/LC α<< 0
2 20 0d
Interruptor abierto: 1er orden
τ=L/R
0.0145 0.015 0.0155 0.016 0.0165 0.017 0.0175 0.018 0.0185 0.019
-300
-200
-100
0
100
200
300
Tiempo (s)
Te
nsi
ón
de
l pri
ma
rio
de
l tra
fo (
V)
2 20 0d
Influencia de la resistencia:
Circuito de encendido de un automóvil. Transitorio
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5x 10
4
Tiempo (s)
Ten
sión
del
sec
unda
rio d
el tr
afo
(V)
L = 5 mH L = 7.5mHL = 2.5mH
R
12 VInterruptor C
1 100
L
Interruptor abierto: 2º orden subamortiguado
R/2L 0 1/LC α<< 0
2 20 0d
Interruptor abierto: 1er orden
τ=L/R
0.0145 0.015 0.0155 0.016 0.0165 0.017 0.0175 0.018
-1
-0.5
0
0.5
1
x 104
Tiempo (s)
Te
nsi
ón
de
l se
cun
da
rio
de
l tra
fo (
V)
Influencia de la bobina:
Circuito de encendido de un automóvil. Transitorio
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05-6
-4
-2
0
2
4
6
Tiempo (s)
Cor
rient
e de
l prim
ario
(A
)
L = 2.5mH R = 4 C = 0.5F
R
12 VInterruptor C
1 100
L
Interruptor abierto: 2º orden subamortiguado
R/2L 0 1/LC α<< 0
2 20 0d
Interruptor abierto: 1er orden
τ=L/R
Influencia de R, L y C en el transitorio de 1er orden:
Circuito de encendido de un automóvil. Transitorio
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