Fundamentos Físicos I_Tema 2 María Elena Saiz 0
Tema 2: Principios de conservación
En este tema se recuerdan los conceptos fundamentales que permiten estudiar la evolución de los sistemas
físicos. Nos introducimos en la parte de la Física llamada Mecánica. La Mecánica consta de dos partes:
1) la Cinemática, que estudia los movimientos que pueden adquirir los cuerpos.
2) la Dinámica, que estudia la relación causa-consecuencia, es decir, las interacciones (causas) con los
movimientos que estas producen (consecuencias).
El estudio completo de los sistemas reales es muy complejo por la multitud de factores que habría que tener en
cuenta, pero se pueden hacer ciertas hipótesis, simplificaciones, aproximaciones… que permiten abordar aspectos
parciales del problema. Así, la Dinámica empieza estudiando la hipótesis de una partícula, pero amplía a sistemas
de muchas partículas, pasando después a sistemas continuos: sólidos rígidos, sólidos deformables, líquidos, gases y
plasmas.
A partir del modelo “fuerza” (inventado para cuantificar las interacciones conocidas) y definiendo ciertas
magnitudes útiles (momento lineal, momento angular, energía, etc.), se establecen unos principios generales que son
aplicables a cualquier circunstancia, pudiendo deducir consecuencias concretas cuando se aplican a situaciones
más particulares (gravitatorias, electromagnéticas, cuánticas, etc.).
Un principio de conservación es tan férreo que se asume, se busca, y si algún proceso “parece” no
verificarlo, no se rechaza el principio pensando que falla sino que se busca la “pieza que se nos ha olvidado”
tener en cuenta.
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Conceptos previos de Dinámica
Partícula libre no está sometida a ninguna interacción. Realmente no existe, pues sería necesario
que estuviera aislada, pero puede considerarse libre si:
a) está a distancia muy grande de otros objetos tal que las interacciones con ella son despreciable
b) no está a distancia muy grande pero la interacción neta sobre ella es nula
Las leyes de Newton son las leyes básicas de la Dinámica; relacionan la causa (descrita por el
concepto de fuerza con el que se cuantifica la interacción) con el efecto o consecuencia (el
movimiento que produce en el cuerpo).
Principio de inercia Newton: Una partícula libre se mueve siempre con velocidad constante, es
decir, sin aceleración. También puede enunciarse así: Un cuerpo permanece en estado de reposo o
movimiento rectilíneo uniforme salvo que existan fuerzas que obliguen a cambiar su estado de
movimiento.
SR inercial sistema que está en reposo o se traslada respecto de otro con movimiento uniforme
(V cte implica que no cambia ni en módulo, ni en dirección, ni en sentido). Por tanto,
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a) dos observadores inerciales (observador inercial = observador que ve un fenómeno desde un SR
inercial) pueden relacionar las medidas que cada uno hace en su SR. Si V << c
transformaciones de Galileo; si V c transformaciones de Lorentz
b) dos SR inerciales no pueden tener un movimiento relativo de rotación (la rotación implica ya
una aceleración)
Momento lineal (o cantidad de movimiento) p mv . Da más información que sólov . En
función de esta magnitud, el Principio de inercia quedaría enunciado como: toda partícula libre se
mueve con p cte .
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Momento lineal y su conservación. Leyes de Newton
El principio de conservación del momento lineal (basado en los resultados de los experimentos de
choques) dice: el momento lineal de un sistema de partículas que están sujetas sólo a interacción mutua
(está aislado) se conserva, es decir, total
p cte. Vamos a ver que a partir de él pueden deducirse las tres
leyes de Newton.
Sea un sistema aislado formado por dos partículas1 que describen las trayectorias del dibujo, donde
tales trayectorias son consecuencia de la interacción mutua existente entre ambas partículas. Se han
señalado las velocidades de cada una en dos instantes de tiempo distintos.
En el instante t 1 2 1 1 2 2
p p p m v m v
En el instante t´ 1 2 1 1 2 2
p´ p´ p´ m v´ m v´
Según el principio de conservación del momento lineal,
total en t total en t´
p p
1 partícula: cuerpo, en realidad, extenso, pero considerado como puntual
t
t
t´
t´
1v
´
1v
2v
´
2v
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Es ampliable a cualquier sistema de partículas que permanezca aislado, es decir, a sistemas de más
de 2 partículas, siempre que las partículas del sistema estén sujetas sólo a interacciones mutuas.
Si total en t total en t´ 1 2 1 2
p p p p p ´+ p ´ cada partícula experimenta un cambio de
momento lineal en ese intervalo de tiempo, de forma que lo intercambian 1 2
p p en t = t´- t
1 2 1 2 1 2
t 0 t 0
p p p p dp dp lim lim
t t t t dt dt
Si se identifica que la variación temporal del momento lineal que ha sufrido cada partícula ha sido
consecuencia de la interacción con la otra partícula, y que esta interacción se cuantifica con la llamada
“fuerza” dp
Fdt
. Esta expresión es una expresión básica de la Dinámica 2ª ley de Newton
La “fórmula” anterior se interpreta como sigue: “la fuerza neta actuante sobre un cuerpo (es
la fuerza que resulta de la interacción con otro u otros cuerpos, los que sean), es igual a la
variación temporal de su momento lineal.
causa consecuencia
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En el caso más general: dp d(mv) dm dv
F v mdt dt dt dt
. Sólo si m = cte reproducimos la segunda
ley de Newton en su forma más conocida, aunque no la más general: F ma .
Resolviendo la ecuación diferencial de la 2ª ley de Newton puede obtenerse, de forma más o menos
complicada, la velocidad y la trayectoria del cuerpo sometido a esa fuerza, sin más que recordar que:
F dv dr
F ma a v r(t)m dt dt
.
El Principio de inercia enunciado antes es un caso particular de lo anterior ya que si sólo se tiene
una partícula aislada (libre) F 0 p cte mv cte v cte 1ª ley de Newton
Retomando la situación del sistema aislado con las dos partículas interactuando, se llega a la
tercera ley de Newton. Efectivamente, de 1(2) 2(1)
1 2dp dp
dt dt
F F 3ª ley de Newton
La fuerza que soporta la partícula 1 (debido a la interacción que ejerce la partícula 2 sobre ella) es igual y de
sentido contrario a la fuerza que ejerce la partícula 1 sobre la partícula 2, por lo que ¡¡¡¡las fuerzas de acción y
reacción son fuerzas que no pueden estar aplicadas ambas en el mismo cuerpo!!!!.
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Comentarios sobre las leyes de Newton
Sólo son válidas en SR inerciales, es decir, en los SR que están en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme,
ya que las definiciones de p , F ... están todas referenciadas a SR libres de interacción, es decir, inerciales.
Todos los SR inerciales son equivalentes por lo que las leyes se enuncian de la misma forma en todos.
Si un observador es un SR NO inercial, es decir, presenta algún tipo de aceleración, y desea resolver
correctamente el problema del movimiento de un cuerpo que se mueve solidario con él aplicando la 2ª ley de
Newton debe tener en cuenta, además de todas las fuerzas que tendría en cuenta si su SR fuera inercial, la
llamada fuerza de inercia o ficticia: inercia SR
F mA , siendo SR
A la aceleración que tiene el SR NO inercial
respecto del inercial. La fuerza de inercia de un SR acelerado en rotación recibe el nombre especial de fuerza centrífuga.
El que se cumpla o no la tercera ley de Newton depende de la validez de la “interacción instantánea”. En
mecánica newtoniana se suponen interacciones instantáneas (llamada también acción a distancia). Sin embargo,
en fenómenos electromagnéticos las interacciones se propagan con velocidad finita menor o igual que la de la
luz en el vacío.
Cuando deja de ser válido suponer que las velocidades V << c, que es el dominio de la Mecánica de Newton, la
medida depende del estado de movimiento de los cuerpos debe usarse la Mecánica Relativista de Einstein.
En la medida de lo muy pequeño, el instrumento perturba la propia medida a realizar porque no es posible
diseñar aparatos con precisiones tan pequeñas como se desee. Entonces entra en juego la Mecánica Cuántica.
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Comentarios sobre fuerzas
A la hora de aplicar la ecuación F ma para resolver el movimiento de un cuerpo, nos encontramos con
alguno de los siguientes tipos de fuerzas, o nos suenan ciertos nombres de fuerzas.
1) Fuerza constante. Su valor no depende ni de la posición ni de la velocidad del cuerpo. Ejemplos son: fuerzas externas
aplicadas constantes y la fuerza de rozamiento entre sólidos que surge por el contacto entre ellos.
Para equilibrio estático ap roz s
F F 0
y roz s roz lim s sF F N
Para movimiento ap roz d
F F ma
y roz d dF N roz lim sF d s
2) Fuerza dependiente explícitamente del tiempo, F f(t).
Con fuerzas del tipo 1) y 2) resolver el movimiento del cuerpo, es decir, resolver la 2ª ley de Newton, es relativamente fácil: integrar
a(t) para obtener la velocidad, e integrar v(t) para obtener la posición r(t)t, es decir, obtener la trayectoria del cuerpo.
3) Fuerza dependiente de la posición, F f(r) , las cuales pueden ser conservativas o no conservativas.
Ejemplos son: la fuerza gravitatoria entre dos cuerpos, la fuerza eléctrica entre dos cargas, la fuerza elástica o ley de Hook
( F K x ), y, en general, cuando se trabaja en problemas de oscilaciones pequeñas.
N
Froz
Fap
mg
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4) Fuerza dependiente de la velocidad, F f(v) . Son fuerzas resistivas, disipativas y, por tanto, nunca conservativas.
Ejemplos son: la fuerza de rozamiento viscoso sólido-fluido. De forma general, R(v) = Av + Bv2 donde A y B son ctes que
dependen del fluido y de la forma del objeto que se mueve dentro del fluido. Por ejemplo, para un cuerpo esférico A r y B r2
siendo r el radio de la esfera. Dependiendo del fluido y del objeto, existe una velocidad crítica para la cual ambos términos en R(v)
son comparables. Si v < vcr en R(v) predominará el primer término (término viscoso); si v > vcr el segundo (término turbulento).
5) Fuerza centrípeta, tensiones, etc. No son fuerzas distintas a las anteriores que no caigan en ninguno de los apartados.
Tienen esos nombres en función del contexto en el que nos encontremos. Por ejemplo, la fuerza centrípeta no es una fuerza con
nombre propio que ejerza “nadie”, es simplemente que la fuerza que se está ejerciendo sobre un cuerpo (que puede ser de tipo
eléctrico, gravitacional, tensional, etc.) tiene “carácter centrípeto”, es decir, está dirigida en todo momento hacia el centro de
curvatura de la trayectoria que sigue el cuerpo.
6) Fuerzas centrales. Como en el caso 5) es una propiedad que tienen algunas fuerzas. Se llaman así a aquellas fuerzas que
actúan según la línea que une el centro de fuerzas O, que es donde está colocado quien ejerce
la fuerza, y el cuerpo o partícula sobre la que actúa la fuerza, es decir, son de la forma:
r
rF(r) F(r)( u ) F(r)( )
r. El signo positivo será para fuerza repulsiva y el negativo para
atractiva. Son muy importantes en Física porque la fuerza gravitatoria y la eléctrica son de este
tipo y, como veremos más adelante, moverse bajo ellas tiene importantes consecuencias.
ru
F
F F
F
O
r
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Energía y su conservación. Recordemos algunos conceptos:
1) Trabajo realizado por una fuerza (circulación).
2
1
dW F dr W= F dr
2) Potencia: ritmo al que se realiza trabajo
dW F dr F vdt
P F vdt dt dt
, con F la fuerza aplicada sobre la partícula y v su velocidad.
3) Energía. Todo fenómeno físico lleva consigo cambios, ya sea en su posición o/y en las propiedades
del cuerpo, debidos a que han actuado fuerzas (externas o internas). A la capacidad que posee el cuerpo
de alterar su estado se dice que posee una energía (externa, interna, química, calorífica....).
3.1 Energía cinética, la ligada al movimiento: 21 1Ec mv mv v
2 2
2dv 1 d 1dW F dr F vdt m vdt m (v v)dt d mv
dt 2 dt 2 2 2
2 1 2 1
1 1W Ec Emv mv c
2 2Ec
Este resultado, W Ec , es totalmente general y no depende de la naturaleza de la fuerza que actúe,
ni del tipo de trayectoria seguida por la partícula desde el punto 1 al 2.
F
dr
r
1
2
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gF
Consecuencia: Si F dr W = 0 Ec 0 v cte . Ejemplo:
3.2 Energía potencial y fuerzas conservativas. La energía potencial es la ligada al tipo de campo
de fuerzas que actúa sobre la partícula. En el caso general, el trabajo realizado por una fuerza depende
de la trayectoria seguida por el cuerpo. Pero si no es así, es decir, si el trabajo que realiza la fuerza F no
depende de la trayectoria, es porque esta es conservativa. En ese caso, y sólo en ese caso, la fuerza F
deriva de un campo escalar que en este caso llamamos energía potencial U.
Aplicando lo estudiado en el Tema 1,
F U y F dr U dr dU 2
1
2 1
2
1
W (U(r ) U(F d r ))r dU U
Mientras que 21Ec mv
2 es independiente del tipo de fuerza que provoca el movimiento del cuerpo,
la energía potencial U(r) sí depende de la fuerza conservativa de la que derive. Por ejemplo:
Para fuerza eléctrica y gravitatoria: 1
U(r)r
Para fuerza de tipo elástico: 21F kx U(x) kx
2
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La función energía potencial U(r) está definida salvo una constante ya que U y (U cte)
tienen asociadas la misma fuerza F . Esto se resuelve eligiendo una referencia de energía potencial
cero (bien en el o en un punto concreto 0
r ). Así es como se puede hablar de energía potencial en
un punto cualquiera r del espacio.
0 0
r
r r
r
0W F dr (U(r) U(r )) U(r) F dr tal que tomamos
0U(r ) 0
Por ejemplo, con la fuerza elástica F kx se ha obtenido: 0 0
x x
0x x
U(x) U(x ) kx dx kxdx
2 2
0
1k(x x )
2 , con x0 posición de equilibrio. Tomando x0 = 0 y U(x0) = 0 queda U(x) = kx
2/2.
3.3 Energía mecánica, o total, de la partícula. Es la suma de la cinética y la potencial: Ec + U
Ya podemos enunciar el Principio de conservación de la energía mecánica: Si las fuerzas que
actúan sobre la partícula son conservativas (y si las no conservativas que actúan, si es que las hay, no
realizan trabajo) la energía mecánica de la partícula se conserva.
Efectivamente, W Ec U Ec U 0 2 1 m
(Ec U) (Ec U) cte E cte
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En el caso de actuar fuerzas no conservativas que sí realizan trabajo. Es fácil encontrar fuerzas
no conservativas en sistemas reales. Un ejemplo es la fuerza de rozamiento o la fuerza viscosa,
oponiéndose siempre al movimiento relativo. Si es fuerza no conservativa rozcF dr 0 . En
ese caso, aunque actúen también fuerzas conservativas, la energía mecánica Em = Ec + U no se
conserva y el balance energético queda así:
total cons no cons no cons
W W W U W Ec 2 1 no cons 2 1
(U U ) W Ec Ec
1 1 no cons 2 2
Ec U W Ec U m1 no cons m2
E W E cons
m no
E W
El término no cons
W representa una transferencia de energía que, en general, es irreversible.
La ley de conservación de la energía establece que la energía total de un sistema aislado
se conserva. Cada una de las contribuciones a la energía total del sistema puede variar en el tiempo,
transformándose en una de otro tipo pero su suma no cambia.
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Análisis de curvas de energía potencial
El análisis energético puede ser de gran utilidad a la hora de resolver el problema del movimiento
de un cuerpo, es decir, de encontrar su trayectoria r(t) cuando se desconoce explícitamente F(t) .
Veamos por qué decimos esto.
Sea, por ejemplo, el movimiento rectilíneo de una partícula que sabemos que se mueve bajo la
acción de una fuerza conservativa. Tomemos el eje X como dirección del movimiento.
Si el movimiento es rectilíneo en la dirección del eje X x
F F( u )
Como la fuerza actuante es conservativa )rU(-F /)rU(
z
UF ;
y
UF ;
x
UF zyx
Como en este caso 0F F zy U(x,y,z)U(r) U(x) ya que )y(fU y )z(fU x
dU(x)F u
dx (1)
Como la fuerza actuante es conservativa la energía mecánica, Em, de la partícula se conserva
2
2
m
1Ec U(x) mv U(
1 dxE cte m U(x)
2 dtx)
2
(2)
v
X Problema unidimensional
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2
m mdx 2(E U(x)) dx 2(E U(x))
dt m dt m
m
dxdt
2(E U(x))
m
0 0
x t
0x t
m
dxdt (t t )
2(E U(x))
m
Al realizar la integral del término izquierdo de la última igualdad, una vez conocida la función
U(x), y recordando que Em es un valor constante, se obtiene x(t), que es la trayectoria de la partícula
tendríamos resuelto cuantitativamente el problema del movimiento de esa partícula.
Pero también, dada una curva de energía potencial, se puede hacer una descripción cualitativa de
los posibles movimientos que puede tener la partícula en este problema unidimensional, según sea el
valor que tome su energía mecánica Em. Lo veremos a continuación.
Análisis del movimiento de la partícula a partir de la curva de energía potencial en un problema
unidimensional. Concepto de equilibrio.
Sigamos suponiendo una partícula que se mueve con movimiento rectilíneo a lo largo del eje X
bajo fuerzas conservativas. Sabemos que se cumple (1) y (2). Supongamos que la curva de energía
potencial U(x) es la de la figura que sigue. En ella vamos a ir trazando distintos valores de energía
mecánica que puede tener la partícula, Em, y vamos a analizar los posibles movimientos para esa
energía concreta.
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Partimos con un primer valor de Em, que hemos llamado E1. Se han señalado en la figura (mediante
las flechas), los valores que corresponden a la energía cinética y la potencial para ese punto x elegido.
Análisis para una energía total E1
La energía cinética para todo punto x es
1c xEE U( ) . Como el valor de U en la
gráfica corresponde a la distancia vertical
desde el eje X a la curva U(x) puede
comprobarse que 21 Ec mv < 0 x
2 . Ello
implica velocidades imaginarias y, por tanto,
sin significado físico en Mecánica Clásica (no
despreciables en Mecánica cuántica).
Por tanto, si la partícula tiene la energía total E1, no es posible ningún tipo de movimiento desde el
punto de vista de la Mecánica Clásica.
Ec
E1 U
U(x)
x
E1
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Análisis para una energía total E2
El movimiento puede ocurrir sólo en
dos regiones: entre las posiciones de los
intervalos [x1, x2] y [x3, x4], que son los
que corresponden a valores de Ec > 0.
Además, la partícula no puede “saltar” de
uno de los intervalos al otro.
Analicemos el movimiento en el intervalo
[x3, x4]. En el otro intervalo es totalmente similar.
Supongamos que la partícula se encuentra en el punto x3 Ec(x3) = 0 U(x3) = E2. Por tanto,
en ese punto e instante, la partícula se encuentra en reposo (v=0). Sin embargo, sobre ella está actuando
una fuerza 0 pues sabemos que dU(x)
Fdx
, y existe fuerza en un punto si la derivada de U(x) en ese
punto es no nula. Para justificar esto basta recordar el significado geométrico de la derivada de una
curva/función en un punto: la pendiente de la curva/función en ese punto.
x1 x2 x3 x4
U(x)
x
E2
Fundamentos Físicos I_Tema 2 María Elena Saiz 17
Por tanto, como en x3 la curva tiene pendiente no nula, en ese punto existe fuerza sobre la partícula
aunque no tenga velocidad. Por otro
lado, como dU(x)
0dx
, es decir, la
pendiente es negativa
3 3 3 xF(x ) 0 F(x ) F(x )u . Esto
significa que la partícula se acelera en la
dirección x
u , hacia la derecha.
A medida que se mueve en este
sentido, el valor de U(x) va
disminuyendo hasta que llega a un valor x = xmin2 en la que U(x) es mínima. En dicho punto la
pendiente de la curva U(x) es nula y por tanto, la fuerza en dicho punto también. En x = xmin2
min 2
min2
x
dU(x)U(x ) es mínima 0 F 0
dx y su velocidad es máxima.
x3 x4
U(x)
x
E2
xmin2 xmin1
F
Fundamentos Físicos I_Tema 2 María Elena Saiz 18
Puesto que la partícula llega a x = xmin2 con velocidad hacia la derecha no nula, rebasa esa posición
y llega a posiciones x > xmin2 actuando ahora sobre ella una fuerza no nula pero de frenado puesto que
ahora está dirigida en sentido contrario al del movimiento, es decir, hacia la izquierda.
En el intervalo (xmin2, x4] se tiene que dU(x)
0dx
x
F(x) 0 F(x) F(x)( u )
Al llegar al punto x4, la partícula permanece instantáneamente en reposo ya que ahí, de nuevo,
posee una velocidad nula (E2= U(x4)) su movimiento se invierte puesto que en ese punto ahora está
sometida a una fuerza (hacia la izquierda) no nula que la acelera en ese sentido. De esta forma, llegaría
de nuevo al punto x3. El análisis se repetiría en el intervalo [x1, x2].
Por tanto, si la partícula tiene la energía total E2, en cada intervalo de posiciones en los que es
posible el movimiento ([x1, x2] y [x3, x4]), realizaría, en conjunto, un movimiento periódico que se
repetiría indefinidamente, salvo que se modifique su energía total.
A los puntos x1, x2, x3 , x4 se les llama puntos de retroceso o de retorno
Los intervalos [x1, x2] y [x3, x4] corresponden a pozos de potencial
El intervalo (x2, x3) corresponde a una barrera de potencial
Fundamentos Físicos I_Tema 2 María Elena Saiz 19
Los puntos xmin1 y xmin2 (para los cuales U(x) es mínima) se les llama puntos de equilibrio.
Además, son puntos de equilibrio estable: 2
2
d U(x)0
dx
Análisis para una energía total E3
Para esta energía sólo es posible el
movimiento en los intervalos [x5, x6] y
[x7, ]. En el intervalo de posiciones
[x5, x6] el tipo de movimiento es como
el analizado en el apartado anterior,
siendo en este caso las posiciones x5 y
x6 los puntos de retroceso.
Analicemos el posible movimiento en el intervalo [x7, ]. Supongamos que la partícula viene
desde el . Para posiciones x >> x7 podemos decir que U(x) cte Ec cte v cte ,
E3
x5 x6 x7
U(x)
x
xmin2
acelerado
frenado
frenado
acelerado
xmin1
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resultado que podíamos haber obtenido también razonando de la siguiente manera: como para x >> x7 la
pendiente de la curva U(x) es 0 F 0 v cte .
A medida que la partícula se va acercando, empieza a experimentar una fuerza en el mismo sentido
que la de su movimiento (x
dUF u
dx con
dU0
dx ) por lo que experimenta una aceleración. Cuando
llega a xmin2 posee aceleración nula y velocidad máxima. Rebasa esta posición y para x [x7, xmin2)
experimenta una fuerza de frenado (x
dUF u
dx con
dU0
dx ). Llega al punto de retroceso x7 (v(x7) = 0
pues E3 = U(x7)) e invierte su sentido de movimiento, volviendo a sufrir todas las variaciones en la
velocidad experimentadas en la primera parte del recorrido.
En cualquier caso, en el intervalo [x7, ) la partícula tiene un movimiento no acotado pues
puede venir del infinito y regresar al infinito.
Fundamentos Físicos I_Tema 2 María Elena Saiz 21
Análisis para una energía total E4
El único movimiento posible es
un movimiento no acotado en todo
el intervalo [x8, ). Si la partícula
viene desde el infinito, se vería:
acelerada en posiciones del intervalo
(xmin2, x >>], frenada en (x9, xmin2),
acelerada de nuevo en (xmin1, x9) y
frenada en [x8, xmin1). A partir del
punto de retroceso x8 invierte su movimiento, pudiendo regresar de nuevo al infinito.
Las posiciones xmin1, xmin2 y x9 corresponden a posiciones de fuerza nula, por tanto, de
posiciones de equilibrio. Mientras que las posiciones xmin1 y xmin2 son de equilibrio estable, pues
corresponden a valores de mínimos relativos de la energía potencial U(x), la posición x9 es de
x8 x9
U(x)
x
E4
frenado
acelerado
acelerado
frenado
acelerado frenado
frenado acelerado
xmin2 xmin1
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equilibrio inestable pues corresponde a un máximo relativo de la energía potencial U(x), es decir, en el
punto x9 se tiene 2
2
d U(x)0
dx .
Nota: cuando hablamos de velocidad máxima nos referimos a la máxima velocidad dentro del intervalo
de posiciones analizado, que depende evidentemente del valor de la energía total de la partícula. Por
ejemplo para el valor de energía E4 se tiene que
min2 min1 9 min2 min1 9
Ec(x ) Ec(x ) Ec(x ) v(x ) v(x ) v(x )
Para hacer conexiones entre conceptos: ¿concuerda lo que sabes acerca del movimiento de un
oscilador armónico simple cuando se analiza su curva de energía potencial? Recordemos algunas cosas:
i.-Un oscilador armónico simple es un sistema sobre el que actúa una fuerza restauradora (recuperadora) de la
forma: F kx , es decir dirigida siempre en sentido contrario al desplazamiento de la partícula, x .
Esta fuerza recuperadora puede ser de tipo elástico, de tipo eléctrico, etc.
x
F
x
F
x = x0= pos.de equilibrio
Fundamentos Físicos I_Tema 2 María Elena Saiz 23
-x1 x1
E
U(x)
x
ii.- Ecuación dinámica del oscilador armónico simple. Según la 2ª ley de Newton
2
2
d xm F kx
dt
2
2
d x kx 0
dt m
22
02
d xx 0
dt tal que
m
k20 , cuya solución es 0
x(t) Acos t .
iii.- Energía mecánica de un oscilador armónico.
Energía cinética: 2
0
2
22 21 1 dx 1Ec m Amv m
2 2 dtx(t)
2
. Por tanto, máx en x = 0 y nula en x = A.
Al ser F kx conservativa la energía potencial es: 2 2 2
0
1U(x) m
1k x(t)
2x
2 , con U(x0=0) = 0. Por
tanto, máx en x = A y mínima (nula en este caso) en x = 0.
La energía total es: 2 2 2 22
0 0
2
0
2 21U m A x(t)
2
1E m A
1Ec m A x(t)
2cte!!
2
La representación gráfica de la función U(x) del oscilador es la de la
figura. Con lo visto en el análisis de curvas de energía potencial, podemos
concluir que para la energía total como la pintada en la figura, E, el único
movimiento posible del sistema es un mov. periódico en el pozo de
potencial entre los puntos -x1 y x1, que son simétricos respecto del eje
vertical y que corresponden a las posiciones de máxima elongación en
cada sentido del movimiento, es decir, -x1 = -A y x1 = A.
Fundamentos Físicos I_Tema 2 María Elena Saiz 24
Momento angular y su conservación
Recordemos algunos conceptos:
1) Momento de una fuerza respecto de un punto O. Se define como: r F al plano
formado por r y F .
Si actúan varias fuerzas concurrentes result i i resulti i
r F r F ,
que corresponde al momento respecto de O de la fuerza resultante.
2) Momento angular de la partícula respecto de un punto O. Se define como: L r p r mv
L al plano formado por r y v
Como, en general, r y v cambian con el tiempo, es decir, r r(t)
y v v(t) L L(t) , es decir, puede cambiar con el tiempo en módulo,
dirección y sentido. Veamos lo que vale su variación temporal:
dL d dr dp
r p p r r Fdt dt dt dt
, donde L y son referidos al mismo punto O.
O
L
r
v
r
F
O
Fundamentos Físicos I_Tema 2 María Elena Saiz 25
Por tanto, como dL
dt , se puede enunciar el principio de conservación del L : “Si 0 L = cte
(en magnitud, dirección y sentido)”
¿Cuándo 0 ? Es nulo bien cuando F 0 (partícula aislada), bien cuando, aun siendo F 0 , la
fuerza no ejerza ningún momento mecánico.
Consecuencias de la conservación del momento angular (si 0 L cte )
como L plano formado por r y v t, y la dirección de L no cambia el plano determinado
por r y v que contiene la posición inicial de la partícula, es fijo el movimiento de la partícula
está contenido en un plano.
se verifica la ley de las áreas: el radio vector barre áreas iguales en tiempos iguales
t 0 t 0
1 1 A 1 rA r r r r r li
dm lim r
2 2
A 1 1 L r v cte
dt 2t 2 2 mt
r
r r r
O
Fundamentos Físicos I_Tema 2 María Elena Saiz 26
Notas importantes:
La conservación de L es independiente de la conservación o no de p , y de la conservación o no de la energía
mecánica de la partícula.
La expresión dL
dt es una relación vectorial. Puede ocurrir que sólo alguna de las componentes de sea nula
sólo se conservará la correspondiente componente de L . Por ejemplo, si se cumple
z
z z
dL0 0 L cte
dt .
Si la fuerza que actúa sobre la partícula es central F // r 0 L cte
i. se verifica la ley de las áreas
ii. el movimiento tiene lugar en un plano
Fundamentos Físicos I_Tema 2 María Elena Saiz 27
El campo gravitatorio
Una de las interacciones fundamentales de la Naturaleza es la gravitatoria: la que surge entre los
cuerpos debida a la masa que tienen. Algunos conceptos, leyes y, por tanto, consecuencias, estudiados
hasta el momento van a ser aplicables a este tipo de interacción.
La interacción entre dos masas, m1 y m2, se cuantifica mediante la fuerza
gravitatoria. Su dependencia con las masas, distancias, etc., fue obtenida de
forma experimental por I. Newton: la Ley de Gravitación Universal.
21
1 2 1 2
m1 sobre m2 r 2 12 3
2 1 2 1
m m m mF G u G (r r )
r r r r
De igual forma: 12
2 1 2 1
m2 sobre m1 r 1 22 3
1 2 1 2
m m m mF G u G (r r )
r r r r
donde G = 6.6710-11 Nm2/kg2 es la constante de gravitación universal. Como 2 1 1 2
r r (r r )
m1 sobre m2 m2 sobre m1F F , que representa la ley de acción-reacción, 3ª ley de Newton.
m1
m2
2 1r r
2r
1r
m2
m1
m1 sobre m2F
m2 sobre m1F
Fundamentos Físicos I_Tema 2 María Elena Saiz 28
Fuerza gravitatoria ejercida por un cuerpo muy masivo de masa M (un astro, por ejemplo)
sobre otro de masa m, es decir, M >> m. Teniendo en cuenta el intercambio de momento lineal que
tiene cada masa en la interacción gravitatoria (pM = - pm MvM = - mvm ), es muy buena
aproximación suponer que M está en reposo y que es m la masa que se mueve bajo la acción
ejercida por M. El cuerpo de masa M, por tanto, es el centro de fuerzas para m y a M podemos
considerarla colocada en el origen de coordenadas. Por otro lado, el SR centrado en M es inercial
ya que lo podemos considerar en reposo. La fuerza gravitatoria que M ejerce sobre m cuando esta
se encuentra a una distancia r de M se expresará como: M sobre m r2 3
Mm MmF G u G r
r r
Por tanto, la intensidad del campo gravitatorio que M crea a una distancia r de ella es:
sobre m
r2
F Mg(r) G u
m r
Cualquier otra masa m´ colocada en un punto que dista r de M, experimentará: M sobre m´
F m´g
La fuerza gravitatoria es una fuerza conservativa gF U , donde U representa la energía
potencial gravitatoria que tiene la masa m´ por encontrarse en el campo gravitatorio g(r) creado por
Fundamentos Físicos I_Tema 2 María Elena Saiz 29
M: r
g
MmU(r) F dr G
r , donde r es la distancia de m al origen de coordenadas, que es
donde está M, y el origen de energía potencial nula se ha tomado en el infinito.
Cuando trabajamos a distancias h próximas a la superficie del astro (que consideramos que tiene
radio R) podemos expresar 0
r R h / h<<R F mg siendo 0
g el valor de la intensidad de
campo en la superficie: 0 2
Mg G
R . De esta forma, la intensidad del campo a una altura h respecto de
la superficie se expresa como: 2
0 2
Rg(r) g
(R h)
. En esa aproximación:
0U mg h
Si la única fuerza que actúa sobre m es la gravitatoria, al ser esta conservativa, la energía
mecánica de m se conserva, es decir: 2
m
1 MmE mv G cte
2 r
La fuerza gravitatoria que actúa sobre m es fuerza central 0 L = cte y el movimiento
de m se desarrolla en un plano.
Analicemos brevemente los posibles movimientos de m en el plano. Para ello, preparemos primero la
notación adecuada, así será más sencillo el análisis a partir de cosas ya estudiadas.
Fundamentos Físicos I_Tema 2 María Elena Saiz 30
Movimiento de la partícula en un plano bajo la acción de una fuerza. Problema bidimensional
Sea una partícula de masa m que describe la trayectoria de
la figura. Es conveniente utilizar en este caso coordenadas
polares planas (la distancia al origen, r, y el ángulo con el
eje horizontal, ). Recordemos que los vectores ru y u
cambian con el punto considerado r x y
x y
u cos u sen u
u sen u cos u
x y xr
y
d d dsen u cos u sen u cos u
dt d
du du
d tt dt dt
r
du du
dt dt
De aquí a la página 33 inclusive, se incluye un análisis detallado de cómo se resuelve el problema bidimensional. Sin embargo,
en clase partiremos de la expresión final que se obtiene para Em y haremos el estudio de los movimientos posibles a partir de la curva
de energía potencial efectiva Uef típica para interacciones de tipo gravitatorio, o eléctrico atractivo. Se aconseja al alumno leerlo en
su conjunto para tener la visión global del planteamiento.
Expresiones de r , v y a en este sistema de coordenadas
r
r ru
Y
X
u
u
ru
r
ru
No despistarse, el
ángulo de esta
figura, en realidad es
el que hemos llamado
coordenada en el
sistema de
coordenadas esféricas
Fundamentos Físicos I_Tema 2 María Elena Saiz 31
r
r r rr r
dud dr dr d(ru ) u r u r u
dt dt d
drv v
t dt dtu v u
dt
donde
r
drv
dt y
dv r r
dt
r
2 2
θrr θ r θ θ2 2
2 22 2 2
r
a
θ θ r r2 2 2
dud dr d d r dr du dr d d du r u u u r u r
dt dt dt dt dt dt dt dt dt dt dt
d r dr d d d d r d u 2 u r
dva
d
u r u r udt dt dt dt
t
dt dt dt
r r
2
2
a
dr d d2 r u
dt dt da u
ta u
Por tanto, r r
F F u F u , donde:
22
r r 2
d r dF ma m r
dt dt
2
2
dr d dF ma m 2 r
dt dt dt
Como la fuerza gravitatoria es central i. L cte
2
r r r r z
d dL r mv r m(v u v u ) mrv (u u ) mrr (u u ) mr u cte
dt dt
2 dmr L cte
dt
ii. r
F F(r)u F = 0
r
F
F
F
rF
Fundamentos Físicos I_Tema 2 María Elena Saiz 32
Como la fuerza gravitatoria es conservativa 1) F U(r)
r r r
U(r) 1 U(r)F F u F u u u
r r
, donde U(r) , en principio, depende de las coordenadas r
y , es decir, U(r) U(r, ) . Igualando componentes: r
UF
r
r
01 U
F
!! U f( ) U = U(r)
lo que significa que la energía potencial U depende sólo de la distancia r al centro de fuerzas.
Además, r
U dUF
r dr
por lo que Fr sólo puede ser función de r.
2) Em = cte
2 2
2 2
rm
1Ec U(r) m(v v )
1 dr dE m r U(r) cte
2 dU(r
2 t)
dt
Como 2 dL mr cte
dt
d Lr
dt mr
2
m
2
2E ct
1 drm
1e
LU(r)
22 dt mr
Fundamentos Físicos I_Tema 2 María Elena Saiz 33
Llamando 2
ef2
1 LU(r) U (r)
2 mr energía potencial efectiva
2
m efE ct
1 drm
2U (r)
dte
¡lo que equivale a un problema unidimensional en la dirección radial! Esto, unido al movimiento
angular, que se resuelve a partir de L = cte, da la trayectoria completa de m en el plano.
Diagrama típico de curvas de energía potencial efectiva como suma de las curvas 2
2 2
1 L K
2 mr r y
K´U(r)
r con K y K´constantes
Figura (a). Se representan las curvas 2
22mr
l para distintos valores del
momento angular (l1, l2, l3 con l1< l2< l3) y la curva de energía potencial U(r).
Figura (b). Se representan las funciones l
2
ef 2
1U (r) U(r)
2 mr . Las tres
curvas de trazo continuo corresponden a los valores de momento angular l1,
l2, l3 de la figura (a). Se ha representado también la curva con l = 0 que sería
la propia U(r). Notar que la curva U(r) corresponde a un potencial atractivo
ya que r
dU dU0 F= U= u F
dr dr es atractiva.
Energía Uef
Fundamentos Físicos I_Tema 2 María Elena Saiz 34
Partamos de: 2
ef2
1 LU(r) U (r)
2 mr energía potencial efectiva
2
m efE ct
1 drm
2U (r)
dte
.
Trabajemos con el perfil típíco de Uef para un potencial atractivo como es el gravitatorio.
Dependiendo del valor de la energía
mecánica total que tenga la partícula (E1, E2,
E3, 0, ó E4 en la figura) esta tendrá distintos
tipos de órbita.
Si Em < 0, el movimiento es acotado y la
órbita es: circular (cuando Em = E1)
elíptica (si Em = E2 o Em = E3)
Si Em = 0, la órbita es parabólica
Si Em > 0, el movimiento es no acotado,
existe un máximo acercamiento al centro de fuerzas pero vuelve a escaparse. La órbita es
hiperbólica cuando Em = E4
r1 r0 r2 r´o
Energía
E4
E3
E2
E1
Uef(r)
r 0
Fundamentos Físicos I_Tema 2 María Elena Saiz 35
Para complementar lo visto en la página anterior.
Trayectorias de la partícula con energía total Em > 0 (energía E4)
En cualquier caso, la trayectoria es
una hipérbola, donde el centro de
fuerzas estaría colocado en el foco
de dicha hipérbola
r-
v0
v0
r+
m m
(a) atractivo (b) repulsivo
O
Fundamentos Físicos I_Tema 2 María Elena Saiz 36
Trayectoria de la partícula con energía total Em < 0 (energías E2 o E3)
rmin r1 rmax r2
Si la energía de la partícula es Em = E1, la trayectoria es una circunferencia de radio r0
Si la energía de la partícula es Em = 0 la trayectoria es una parábola donde el centro de fuerzas
está en el foco de la parábola
r1
O
r2
r0
O
r´0 O
Fundamentos Físicos I_Tema 2 María Elena Saiz 37
Sistemas de muchas partículas. Relaciones dinámicas para el sistema
Recordemos las relaciones dinámicas y energéticas para una partícula de masa m sometida a fuerzas:
p mv ; dp
Fdt
tal que Fes la fuerza neta (de carácter externo lógicamente)
L r p r mv ; dL
dt
2
2 11
W F dr Ec Ec Ec . Si F es conservativa F U Ec U cte
Ahora, queremos encontrar relaciones equivalentes a las anteriores pero para un sistema de
partículas. Para ello, necesitamos primero algunas
definiciones.
Consideremos un sistema de N partículas cuyas localizaciones
respecto del origen de coordenadas O de cierto sistema de
referencia inercial son 1
r , 2
r ...N
r
X
Y
Z
1r
2r
3
r
Nr
1v
2v
3v
Nv
Fundamentos Físicos I_Tema 2 María Elena Saiz 38
Momento lineal del sistema de partículas: N N
sist i i i
i 1 i 1
P p m v
Momento angular del sistema de partículas: N N
sist i i i i
i 1 i 1
L L r m v
donde cada i
L está
determinado respecto de O, por lo que sist
L también.
Energía cinética del sistema de partículas N N
2
sist i i i i i
i 1 i 1
1 1Ec m v v m v
2 2
Las fuerzas actuantes sobre las partículas que forman el sistema hay que clasificarlas en: externas e
internas (para una partícula siempre eran externas).
o Fuerzas exteriores: i
F , que representa la fuerza total de carácter externo que actúa sobre la
partícula i. Provienen de las interacciones con otros elementos exteriores al sistema.
o Fuerzas interiores:i
f , que representa la fuerza total de carácter interno sobre la partícula i
debida a todas las interacciones ejercidas por el resto de las partículas que forman el sistema,
es decir, N
i ij
j 1j i
f f
. Para estas fuerzas es aplicable la ley de acción y reacción N
i
i 1
f 0
Fundamentos Físicos I_Tema 2 María Elena Saiz 39
Relación dinámica entre la fuerza y el momento lineal
Al igual que el momento lineal (angular) del sistema de partículas lo obtenemos sumando los
momentos lineales (angulares) de cada partícula, la 2ª ley de Newton para el sistema de partículas lo
obtenemos sumando la 2ª de Newton de cada partícula. Escribamos la ecuación dinámica para cada
partícula i
i
ii
dp
dtfF Al sumar a todas las partículas:
N N N Nexti
i i i
extsi
i 1 i 1 i 1
s
i 1
tdp
F f F F dt
dPF
dt
donde ext
F es la resultante de las fuerzas exteriores, independientemente de en qué partículas estuviesen
aplicadas las diferentes i
F .
Relación dinámica entre momento mecánico de la fuerza y el momento angular
NN N N N
sist i i i
i i i i ii
i 1 i 1 i 1
N
i i i
i1 1
i
i i1
dL dr dp dpp r r r
dt dt dt dtF r r fFf
Si consideramos que la fuerza de interacción entre cada par de partículas está dirigida según la
dirección que une ambas partículas (interacción gravitatoria, eléctrica, por ejemplo) N
i i
i 1
r f 0
Fundamentos Físicos I_Tema 2 María Elena Saiz 40
N N
ext extsist
i i i
i 1 i 1
dLr F
dt
donde sist
L y ext están calculados respecto del mismo punto O
extsistdL
dt
ext no tiene por qué ser el momento mecánico de la resultante
extF
(sólo si son concurrentes las iF
).
Principios de conservación formulados para un sistema de partículas
Principio de conservación del momento lineal sist
P
Si un sistema de partículas está aislado (no existen fuerzas externas actuantes sobre el sistema) o
si la fuerza neta actuante es cero el momento lineal del sistema se conserva.
Puesto que extsistdP
Fdt
si ext
F 0 sist
N
i i
i 1
m vP cte
Principio de conservación del momento angular sist
L
Si un sistema de partículas está aislado (no existen fuerzas externas actuando) o si el momento
mecánico neto de las fuerzas externas es cero el momento angular del sistema se conserva
Fundamentos Físicos I_Tema 2 María Elena Saiz 41
Puesto que extsistdL
dt Si
0F y 0F con 0
externas f. existen (no i 0F
extii
ext
i
sist
L cte
Principio de conservación de la energía
Si un sistema de partículas está aislado (no actúan ext
F Wext = 0), o si el Wext neto es nulo, la
energía del sistema (la cinética + la potencial interna) se conserva, existiendo un intercambio continuo
entre ellas.
Si un sistema de partículas no está aislado (actúan ext
F Wext 0), pero las fuerza externas
actuantes son conservativas, la energía total del sistema (la cinética + la potencial interna + la
potencial externa asociada a las fuerzas externas conservativas) se conserva.
Aunque sí existan fuerzas externas no conservativas, podemos generalizar completamente el
principio de conservacion de la energía ya que dentro del término extcons noW siempre ha sido posible
encontrar otras formas de energía que correspondan a ese trabajo,
total s i tist s scambios en otras formas de ene gía 0rE
que es lo mismo que decir que la energía puede ser transformada de una clase a otra, pero no puede ser
creada ni destruída. Esta afirmación es una generalización de la experiencia, que no ha entrado en
Fundamentos Físicos I_Tema 2 María Elena Saiz 42
contradicción con ningún proceso observado en el universo por lo que el principio de conservación de
la energía se considera de validez general.
Ello significa que las fuerzas de interacción entre los cuerpos no sólo provocan movimientos sino que son
responsables de otros fenómenos físicos. Por ej., la fricción provoca un aumento de la temperatura del cuerpo; en
otras interacciones puede originarse energía en forma de sonido, radiación electromagnética, etc. Es por eso que,
para incluir otras formas distintas de energía que la energía cinética y potencial de los cuerpos directamente
observables, el concepto de energía fue necesario generalizarlo.
Elección de un sistema de referencia importante: SR centro de masas.
La definición que hemos dado para el momento lineal de un sistema de partículas, N
isist i
i 1
P m v
,
era respecto de un cierto SR inercial. Es posible encontrar otro SR respecto del cual el momento lineal
del sistema de partículas sea siempre nulo, es decir, N
isist i
i 1
m v 0P
. Este sistema de referencia es
el SR centro de masas (CM). En la expresión anterior la magnitud con “prima” significa que está
medida en el SR centro de masas.
Fundamentos Físicos I_Tema 2 María Elena Saiz 43
Definición de CM
Vector de posición del CM:
N N
i i i i
i 1 i 1CM N
i
i 1
m r m r
rM
m
donde M es la masa total del sistema de partículas.
Velocidad del CM es:
N N
i i i i
i 1 i 1CM N
i
i 1
m v m v
vM
m
Aceleración del CM es:
N N
i i i i
i 1 i 1CM N
i
i 1
m a m a
aM
m
X
Y
Z
1r
2r
3
r
Nr
1v
2v
3v
Nv
CM
r
CM CM
v
Fundamentos Físicos I_Tema 2 María Elena Saiz 44
Las relaciones dinámicas encontradas para un sistema de partículas, cuando se expresan relativo al
centro de masas, quedan:
N N
sist i i i C sistM
1
C
i
M
i 1
P m v = = m v P Mv
extsist Fdt
Pd
N N
extsist
i i i i CM
i 1 i 1
dP dm v m a Ma F
dt dt
CM ext
CMM F
va
dM
dt
es decir, lo que correspondería a una partícula cuya masa fuera la masa total del sistema, M, y se
moviera con CM
v y CM
a bajo una fuerza ext
F que es la resultante de todas las fuerzas externas al sistema.
Si el sistema es aislado sist CM
P Mv cte , por lo que el CM de un sistema aislado se mueve con
velocidad constante respecto del SR inercial O.
Fundamentos Físicos I_Tema 2 María Elena Saiz 45
Colisiones: es un caso particular de interacción entre dos (o más) partículas.
En una colisión sólo actúan fuerzas internas por lo que:
sist sist antes de la colisión sist después de la colisiónP cte P P
Además, si:
la energía potencial interna no cambia en la colisión
sist sist antes de la colisión sist después de la colisión
Ec cte Ec Ec colisión perfectamente elástica
la energía potencial interna cambia en la colisión
sist sist antes de la colisión sist después de la colisión
Ec cte Ec Ec colisión inelástica y se habla de un
coeficiente de restitución, que da idea de la proporción de energía cinética que se pierde en la
colisión por deformación.
En clase de problemas trabajaremos con colisiones en 1-D y 2-D.