Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik Elektro - FTI Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Trihastuti Agustinah
TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linear
O U T L I N E
2. Teori
3. Contoh
4. Simpulan
5. Latihan
1. Objektif
Mahasiswa mampu:
1) mendeskripsikan ruang hasilkali dalam beserta teorema yang menyertainya
2) menghitung vektor ortogonal dan ortonormal melalui proses Gram-Schmidt
Contoh Simpulan Latihan Objektif Teori
Tujuan Pembelajaran
Ruang hasilkali dalam merupakan
generalisasi dari konsep ruang hasilkali-
dalam Euclidean. Selain berbeda dalam
notasi yang digunakan, konsep ini digunakan
untuk mendapatkan basis ortonormal
melalui aplikasi proses Gram-Schmidt.
Objektif Simpulan Latihan Teori Contoh
Pendahuluan
Objektif Simpulan Latihan Teori Contoh
Hasikali-dalam (inner product)
Hasilkali-dalam Euclidean: u∙v
Notasi umum hasilkali-dalam: ⟨u,v⟩
Aksioma:
⟨u,v⟩ = ⟨v,u ⟩ simetri
⟨u+v,w⟩ =⟨u,w⟩ + ⟨v,w⟩ aditif
⟨ku,v⟩ = k⟨u,v⟩ homogenitas
⟨v,v⟩ ≥ 0 definit positif ⟨v,v⟩ = 0 iff v = 0
Contoh 1
Objektif Simpulan Latihan Teori Contoh
Norma dan jarak
Definisi norm atau panjang Euclidean untuk vektor u=(u1, u2,∙∙∙, un):
Definisi jarak (distance) antara titik u=(u1, u2,∙∙∙, un) dan v=(v1, v2,∙∙∙, vn):
222
21
21, nuuu +++=⟩⟨= uuu
2222
211 )()()(),( nn vuvuvud −++−+−=−= vuvu
Contoh 2
Objektif Simpulan Latihan Teori Contoh
Hasilkali-dalam dibangkitkan oleh matriks
Vektor u=[u1 u2 ∙∙∙ un]T dan v=[v1 v2 ∙∙∙ vn]T
(ekspresi dalam matriks n×1)
Matriks A dapat dibalik:
karena u·v = vTu, maka
⟨u,v⟩ = (Av)T Au ⟨u,v⟩ = vTATAu
⟨u,v⟩ = Au · Av = ?
Objektif Simpulan Latihan Teori Contoh
Hasilkali-dalam berbobot
Hasilkali-dalam: dibangkitkan oleh matriks identitas n×n
⟨u,v⟩ = Iu·Iv = u·v
=⟩⟨
2
121 20
0320
03][,uu
vvvu
=
2003A
=
2
121 20
03][
uu
vv
Hasilkali-dalam berbobot:
Bukti.
2211 23 vuvu +=
dibangkitkan oleh matriks:
⟨u,v⟩ = 3u1v1 + 2u2v2
Objektif Simpulan Latihan Teori Contoh
Hasilkali-dalam berbobot
Secara umum, hasilkali-dalam Euclidean berbobot
⟨u,v⟩ = w1u1v1 + w2u2v2 + ∙∙∙ + wnunvn
=
nw
ww
A
000
000000
2
1
merupakan hasilkali-dalam pada Rn yang dibangkitkan oleh matriks
Objektif Simpulan Latihan Teori Contoh
Sifat-sifat hasilkali-dalam
Jika u, v, dan w adalah vektor di ruang hasilkali-dalam, dan skalar k
⟨u,v+w⟩ = ⟨u,v⟩+ ⟨u, w⟩
⟨0, v⟩ = ⟨v, 0⟩ = 0
⟨u – v,w⟩ = ⟨u,w⟩ – ⟨v, w⟩
⟨u,kv⟩ = k⟨u,v⟩
⟨u, v– w⟩ = ⟨u,v⟩ – ⟨u, w⟩
⟩⟨ vu ,2⟨u,v⟩ = 0
Objektif Simpulan Latihan Teori Contoh
Ortogonalitas
Dua vektor u dan v adalah ortogonal iff
Teorema Phytagoras:
Bukti.
⟩++⟨=+ )( ),(2 vuvuvu
22 vu +=
⟨u,v⟩ = 0
222 vuvu +=+
2v++= 2u
Objektif Simpulan Latihan Teori Contoh
Ortogonal dan Ortonormal
Himpunan vektor ortogonal:
– himpunan vektor-vektor dalam ruang hasilkali-dalam
– semua pasangan dari vektor berlainan dalam himpunan tersebut adalah ortogonal
Ortonormal: – himpunan vektor ortogonal
– tiap vektor dalam himpunan tersebut memiliki norma 1
Objektif Simpulan Latihan Teori Contoh
Normalisasi
Normalisasi: proses perkalian vektor tak-nol dengan kebalikan dari panjang vektor tersebut
1 1 11=== v
vv
vv
v
Vektor dengan norma 1: v
v1
Bukti.
Contoh 3
Objektif Simpulan Latihan Teori Contoh
Koordinat relatif terhadap basis ortonormal
Jika S = {v1, v2, ∙∙∙, vn} adalah basis ortonormal untuk ruang hasilkali-dalam V, dan u adalah sebarang vektor dalam V, maka
Vektor koordinat u relatif terhadap S
koordinat relatif terhadap S
u = ⟨u,v1⟩v1 + ⟨u,v2⟩v2 + ∙∙∙ + ⟨u,vn⟩vn
(u)S = (⟨u,v1⟩, ⟨u,v2⟩, ∙∙∙ , ⟨u,vn⟩)
⟨u,v2⟩ ⟨u,v1⟩ ⟨u,vn⟩
Objektif Simpulan Latihan Teori Contoh
Koordinat relatif terhadap basis ortogonal
S = {v1,v2,∙∙∙,vn}: basis ortogonal untuk ruang vektor V
Vektor u sebagai kombinasi linear dari vektor basis ortogonal
=′n
nSvv
vv
vv , , ,
2
2
1
1
n
n
n
nvv
vvu
vv
vvu
vv
vvuu , , ,
2
2
2
2
1
1
1
1 +++=
nn
n vv
vuvv
vuvv
vuu 2222
212
1
1 , , , ⟩⟨++
⟩⟨+
⟩⟨=
Normalisasi dari tiap vektor dalam S
basis ortonormal
Contoh 4
Objektif Simpulan Latihan Teori Contoh
Teorema proyeksi
Rumus proyeksi
uuu ⊥+= WW projproj
karena uuu WW projproj −=⊥
maka
)proj(proj uuuu WW −+=
W
w2
w1
u
0
u = w1 + w2
W
u – projWu
0
u
projWu
Objektif Simpulan Latihan Teori Contoh
Teorema proyeksi
Misal W merupakan subruang dimensi terbatas dari ruang hasilkali dalam V
rrW vvuvvuvvuu ⟩⟨++⟩⟨+⟩⟨= ,,,proj 2211
1) Jika S = {v1, v2, ∙∙∙, vr} adalah basis ortonormal untuk W, dan u adalah sebarang vektor dalam V, maka
2) Jika S = {v1, v2, ∙∙∙, vr} adalah basis ortogonal untuk W, dan u adalah sebarang vektor dalam V, maka
rr
rW v
vvuv
vvuv
vvuu 222
2
212
1
1 ,,,proj ⟩⟨++
⟩⟨+
⟩⟨=
Objektif Simpulan Latihan Teori Contoh
Proses Gram-Schmidt
Langkah 1: set v1 = u1
Proses ortogonalisasi: step-by-step
Langkah 2: dapatkan vektor v2 ortogonal terhadap v1 hitung komponen u2 ortogonal pada W1
121
122222 ,proj
1v
v
vuuuuv ⟩⟨−=−= W
W1
u2
v1
v2
projW1u2
Objektif Simpulan Latihan Teori Contoh
Proses Gram-Schmidt
Langkah 3: Bentuk vektor v3 ortogonal terhadap v1 dan v2
22
2
2312
1
133333 , ,proj
2v
vvuv
vvuuuuv ⟩⟨
−⟩⟨
−=−= W
Langkah ke-n: …
W2
projW2u3
u3
v1
v2
v3
Contoh 5
Objektif Simpulan Latihan Teori Contoh
Dekomposisi QR
Matriks A adalah matriks (m×n) dengan vektor kolom
Faktor dari A: A = QR
dengan
– Q adalah matriks m×n dengan vektor kolom ortonormal
– R adalah matriks segitiga atas n×n dapat dibalik
bebas linear
⟩⟨⟩⟨⟩⟨⟩⟨⟩⟨⟩⟨
=
33
2322
131211
,00,,0,,,
ququququququ
R
???
Contoh 6
Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan
Contoh 1
Misalkan u =(u1,u2 ) dan v = (v1,v2). Tunjukkan bahwa hasilkali-dalam Euclidean berbobot:
⟨u,v⟩ = 3u1v1 + 2u2v2
memenuhi aksioma hasilkali-dalam.
Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan
Contoh 1
Jawab:
• ⟨u,v⟩ = ⟨v,u⟩
• Jika w = (w1,w2), maka ⟨u+v,w⟩ = 3(u1 + v1) w1+ 2(u2+v2) w2
= (3u1w1+2u2 w2)+(3v1w1+2 v2w2) = ⟨u,w⟩ +⟨v,w⟩
• ⟨ku,v⟩ = 3(ku1)v1 + 2(ku2)v2
= k(3u1v1 + 2u2v2) = k⟨u,v⟩
• ⟨v,v⟩ = 3v1v1+ 2v2v2 = 3v12+ 2v2
2 ≥ 0
⟨v,v⟩ = 0 iff v1=0 , v2=0 v = (v1,v2) = 0
Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan
Contoh 2
Vektor u =(1,0) dan v = (0,1) di R2, dapatkan norma dan jarak
Hasilkali-dalam berbobot: ⟨u,v⟩ = 3u1v1 + 2u2v2
3)]0)(0(2)1)(1(3[ , 2121 =+=⟩⟨= uuu
21)1 ,1( ),1 ,1() ,( ⟩−−⟨=−= vuvud
5)]1)(1(2)1)(1(3[ 21 =−−+=
101 22 =+=u
2)1(1)1 ,1() ,( 22 =−+=−=−= vuvud
Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan
Contoh 3
Dapatkan basis ortonormal untuk vektor-vektor u1 = (0,1,0), u2 = (1,0,1) dan u3 = (1,0,-1).
11 =u 22 =u 23 =u
)0 ,1 ,0(1
11 ==
uuv
==
21 ,0 ,
21
2
22 u
uv
−==
21 ,0 ,
21
3
33 u
uv
Himpunan S = {v1,v2,v3} adalah ortonormal, karena
0 , , , 323121 =⟩⟨=⟩⟨=⟩⟨ vvvvvv
1321 === vvv
Jawaban contoh 3
Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan
Contoh 4
Vektor v1= (0,1,0), v2= (-4/5,0,3/5), v3= (3/5,0,4/5). Buktikan S={v1, v2, v3} merupakan basis ortonormal untuk R3.
• Ekspresikan vektor u = (1, 1, 1) sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor dalam S
• Dapatkan vektor koordinat (u)S
Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan
Contoh 4
• Hasilkali-dalam u dan vi:
⟨u,v1⟩ = 1; ⟨u,v2⟩ = -1/5; ⟨u,v3⟩ = 7/5
• Vektor u sebagai kombinasi linear
u = v1 – (1/5)v2 + (7/5) v3
(1, 1, 1) = (0,1,0) – 1/5(-4/5, 0, 3/5) + 7/5 (3/5, 0, 4/5)
• Vektor koordinat u relatif terhadap S:
(u)S = (⟨u,v1⟩, ⟨u,v2⟩, ⟨u,v3⟩) = (1, -1/5, 7/5)
• Basis ortonormal: vektor ortogonal dengan norma 1
Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan
Contoh 5
Gunakan proses Gram-Schmidt untuk mentransformasi vektor basis u1 = (1,1,1), u2 = (0, 1,1), u3 = (0,0,1) ke dalam basis ortogonal {v1, v2, v3}; kemudian dapatkan basis ortonormal {q1, q2, q3};
Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan
Contoh 5
Langkah 1:
121
122222 ,proj
1v
vvuuuuv ⟩⟨
−=−= W
−=−=
31 ,
31 ,
32)1 ,1 ,1(
32)1 ,1 ,0(
Langkah 2:
v1 = u1 = (1,1,1)
222
2312
1
133333 , ,proj
2v
vvuv
vvuuuuv ⟩⟨
−⟩⟨
−=−= W
−−−=
31 ,
31 ,
32
3231)1 ,1 ,1(
31)1 ,0 ,0(
−=
21 ,
21 ,0
Langkah 3:
)1 ,1 ,1(1 =v
−=
31 ,
31 ,
32
2v
−=
21 ,
21 ,03vBasis ortogonal:
Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan
Contoh 5
Norma dari v1, v2 dan v3:
Basis ortonormal:
31 =v36
2 =v 21
3 =v
==
31 ,
31 ,
31
1
11 v
vq
−==
61 ,
61 ,
62
2
22 v
vq
−==
21 ,
21,0
3
33 v
vq
)1 ,1 ,1(1 =v
−=
31 ,
31 ,
32
2v
−=
21 ,
21 ,03vBasis ortogonal:
Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan
Contoh 6
Dapatkan dekomposisi QR untuk matriks berikut:
=
111011001
A
Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan
Contoh 6
Vektor kolom dari matriks A:
=
111
1u
=
110
2u
=
100
3u
Basis ortonormal diperoleh dari proses Gram-Schmidt pada contoh 4:
=313131
1q
−=
616162
2q
−=
2121
0
3q
Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan
Contoh 6
Matriks R
Dekomposisi QR
=
⟩⟨⟩⟨⟩⟨⟩⟨⟩⟨⟩⟨
=210061620313233
,00,,0,,,
33
2322
131211
ququququququ
R
RQA
−
−
=
2100
61620
313233
216131
216131
06231
111
011
001
Ruang hasilkali dalam merupakan perluasan konsep dari ruang hasilkali-dalam Euclidean
Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan
Ruang hasilkali dalam
Ortonormal dibentuk dari himpunan vektor ortogonal dengan tiap vektor dalam himpunan tersebut memiliki norma 1
Proses Gram-Schmidt digunakan untuk mendapatkan basis ortogonal dari sebarang basis untuk ruang hasilkali dalam dimensi terbatas
1) Dapatkan basis ortonormal dari {u1, u2,u3} dengan menggunakan proses Gram-Schmidt untuk u1 = (1, 1, 1), u2 = (-1, 1, 0) dan u3 = (1, 2,1).
Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan
Soal Latihan
2) Misalkan ⟨u,v⟩ merupakan hasilkali-dalam Euclidean pada R2, dan misal vektor u = (3, -2), v = (4, 5), w = (-1, 6). a) Dapatkan ⟨u+v, w⟩. b) Bila hasilkali-dalam diubah menjadi hasilkali-dalam
berbobot ⟨u, v⟩ = 4u1v1 + 5u2v2, dapatkan ⟨u+v, w⟩.
, .
Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan