Técnicas de Integración 8
Sección 8.3
Potencias y productos de
funciones trigonométricas
© Salas / Hille / Etgen, CALCULUS, Vol. I
Una y Varias Variables 4a Ed.
Editorial Reverté (Reimpresión 2007)
2010 1 Dr. Gonzalo Urcid S. - INAOE
Cálculo Integral :: C8/S3
2010 2 Dr. Gonzalo Urcid S. - INAOE
Cálculo Integral :: C8/S3
2010 3 Dr. Gonzalo Urcid S. - INAOE
Cálculo Integral :: C8/S3
11(2) cos sin cos ; 1
1
m mx xdx x C mm
2010 4 Dr. Gonzalo Urcid S. - INAOE
Cálculo Integral :: C8/S3
1
2
3
2010 5 Dr. Gonzalo Urcid S. - INAOE
Cálculo Integral :: C8/S3
1
2
2
3
2010 6 Dr. Gonzalo Urcid S. - INAOE
Cálculo Integral :: C8/S3
2010 7 Dr. Gonzalo Urcid S. - INAOE
Cálculo Integral :: C8/S3
2010 8 Dr. Gonzalo Urcid S. - INAOE
Cálculo Integral :: C8/S3
2010 9 Dr. Gonzalo Urcid S. - INAOE
Cálculo Integral :: C8/S3
La notación producto generalizado
1
1 0
0 1
1 11 1
1
) ( ) (1) (2) ( 1) ( ) (1) ( )
) (1) ( ) ( ) (1) ( ) ; ( ) 1 (producto "nulo")
) ( ) ( )
) ( ) ( ) ; {1, , } (conjunto indiz
n
j
n
i j
n nn n
j kk kj j
n
xx Ij x I
a f j f f f n f n f f n
b f f n f n f f n i f j
c f j f f k f
d f j f x f I n
1 2
1 1 1
1 2 1 1 1
1 1 1
11
ado)
) 1 2 3 ( 1) ! ( 1)! ( 1) (factorial de )
) (ley de separación)
) ( ) ( ) ( ) (derivació
n n n
j j j
jn n
k j j j n n k k
k k k j
n n
i i j
ii j i
e j n n n n n n j n n j n
f f f f f f f f f f f
d dg g x g x g x
dx dxn del producto generalizado)
2010 10 Dr. Gonzalo Urcid S. - INAOE
Cálculo Integral :: C8/S3
/ 2 / 2/ 21 2
00 0
/ 21 1 2
0
:
Partiendo de la fórmula de reducción 8.3.1, se tiene que
1 1sin sin cos sin
1 1sin cos sin 0cos0 sin
2 2
1(1)(0) (0)(1)
n n n
n n n
nx dx x x x dx
n n
nx dx
n n
n
n
Problema 62 a)
/ 22
0
/ 2 / 22
0 0
1sin
1sin sin
n
n n
x dxn
nx dx x dx
n
2010 11 Dr. Gonzalo Urcid S. - INAOE
Cálculo Integral :: C8/S3
/ 2 / 2 / 22 2 2 2 4
0 0 0
:
Aplicando la fórmula de reducción simplificada del inciso a), para 2 2
2 1 (2 1)(2 3)sin sin sin
2 2 (2 2)
(2 1)(2 3)(2 5)
2
k k k
n k
k k kx dx x dx x dx
k k k
k k k
Problema 62 b) Fórmulas de Wallis
/ 2 / 22 6
0 0
/ 2 / 22 1 2 1
0 0
(2 1)(2 3) 1sin
(2 2)(2 4) 2 (2 2) 2
( 1)( 3)( 5) 1 1 3 5 ( 1)
( 2)( 4) 2 2 2 4 6 2
análogamente para 2 1 3
2 2 (2 2)sin sin
2 1 (2 1)(2
k
k k
k kx dx dx
k k k k k
n n n n
n n n n
n k
k k kx dx x dx
k k k
/ 22 3
0
/ 2 / 22 5
0 0
/ 2
0
sin1)
2 (2 2)(2 4) 2 (2 2) 2sin sin
(2 1)(2 1)(2 3) (2 1)(2 1) 3
2 (2 2) 2 ( 1)( 3) 2 2 4 6 ( 1)( cos )
(2 1)(2 1) 3 ( 2) 3 3 5 7
k
k
x dx
k k k k kx dx xdx
k k k k k
k k n n nx
k k n n n
2010 12 Dr. Gonzalo Urcid S. - INAOE
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John Wallis – Arithmetica Infinitorum (1656)
(1616-1703) ~ 87 años
2010 13 Dr. Gonzalo Urcid S. - INAOE
Cálculo Integral :: C8/S3
/ 2
/ 2 1
( 1) / 20
1
:
1 3 5 ( 1) 2 12 y es par
2 4 6 2 2 2sin
2 4 6 ( 1) 23 y es impar
3 5 7 2 1
n
jn
n
j
n jn n
n jx dx
n jn n
n j
Problema 62 b) Fórmulas de Wallis
/ 2 / 2
0 0
/ 2 / 2 / 2 / 2
2 20 0 0 0
2 2 2
/ 2 0 / 2
20 / 2 0
: demostrar que cos sin
cos (cos ) sin sin
y 0 0
sin sin sin (p
n n
nn n n
n n n
x dx x dx
x dx x dx x dx x dx
u x du dx x u x u
x dx udu x dx
Problema 62 c)
or aditividad)
2010 14 Dr. Gonzalo Urcid S. - INAOE
Cálculo Integral :: C8/S3
7
0
: calcular las siguientes integrales definidas. Para la 1era
integral se toma 7 3 que es el caso impar; para la 2da integral se toma
6 2 que corresponde al caso par, así
. sin
n
n
Problema 63 y 64
63(7 1) / 2 3
/ 2
1 1
6/ 2 3/ 2
6
01 1
2 2 2 4 6 16
2 1 2 1 3 5 7 35
2 1 2 1 1 3 5 5. cos
2 2 2 2 2 4 6 2 32
j j
j j
j jx dx
j j
j jx dx
j j64
2010 15 Dr. Gonzalo Urcid S. - INAOE
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4
2010 16 Dr. Gonzalo Urcid S. - INAOE
Cálculo Integral :: C8/S3
4
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2010 18 Dr. Gonzalo Urcid S. - INAOE
Cálculo Integral :: C8/S3
2010 19 Dr. Gonzalo Urcid S. - INAOE
Cálculo Integral :: C8/S3
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 12 2 2
1 2
(1) tan tan sec tan 2
tan (tan sec tan ) tan sec tan
tan(tan ) (tan ) tan tan
2 1
1tan tan tan ; 2
1
n n n
n n n n n
nn n n
n n n
x x x x n
xdx x x x dx x xdx xdx
xx d x xdx xdx
n
xdx x xdx nn
2010 20 Dr. Gonzalo Urcid S. - INAOE
Cálculo Integral :: C8/S3
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 12 2 2
1 2
:
cot cot csc cot 2
cot (cot csc cot ) cot csc cot
cot(cot ) ( cot ) cot cot
2 1
1cot cot cot ; 2
1
n n n
n n n n n
nn n n
n n n
x x x x n
xdx x x x dx x xdx xdx
xx d x x dx x dx
n
x dx x x dx nn
Problema 65
2 2 2
2 2 4 2 4
2 2 4 2 4
cot cot csc cot 2 ; si 2 2
cot cot csc (cot csc cot )
cot cot csc cot csc cot
n n n
n n n n
n n n n
x x x x n n
x x x x x x
x x x x x x
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2010 22 Dr. Gonzalo Urcid S. - INAOE
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Cálculo Integral :: C8/S3
2010 24 Dr. Gonzalo Urcid S. - INAOE
Cálculo Integral :: C8/S3
2 2
2 1 3
2 2
: csc 2 ; sean, csc csc
( 2)csc (csc ) ( 2)csc ( csc cot )
( 2)csc cot ; además, csc cot
csc (fórmula de integración
n n
n n
n
n
xdx n u x dv xdx
du n xd x n x x x dx
du n xdx v xdx x
xdx udv uv vdu
Problema 67
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
2
por partes)
csc cot ( cot )[ ( 2) csc cot ]
csc cot ( 2) csc cot
csc cot ( 2) csc (csc 1)
csc cot ( 2) csc ( 2) csc
( 2) csc csc csc
n n
n n
n n
n n n
n n n
x x x n x x dx
x x n x x dx
x x n x x dx
x x n xdx n x dx
n xdx xdx 2
2 2
2 2
2
2
cot ( 2) csc
( 1) csc csc cot ( 2) csc , de donde
1 2csc csc cot csc ; equivalentemente
1 1
1 1 cos 2csc csc ; finalmente,
1 sin sin 1
(47) cs
n
n n n
n n n
n n
n
x x n x dx
n xdx x x n xdx
nxdx x x xdx
n n
x nxdx xdx
n x x n
1 21 2c csc cos csc ; 2
1 1
n n nnx dx x x x dx n
n n
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Cálculo Integral :: C8/S3
2010 26 Dr. Gonzalo Urcid S. - INAOE
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2010 27 Dr. Gonzalo Urcid S. - INAOE
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2010 28 Dr. Gonzalo Urcid S. - INAOE
Cálculo Integral :: C8/S3
Ejercicios sugeridos, Sección 8.3
Prácticos: 5, 8, 16, 27, 35, 43
Teóricos: 57, 62, 65, 67
2010 29 Dr. Gonzalo Urcid S. - INAOE
Cálculo Integral :: C8/S3